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PROPORCIONALIDAD ARITMETICA PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF




















Problema N° 2 La obra que hace un obrero por hora, varia en razón directa a su salario por hora e inversamente proporcional a la raiz cuadrada del número de horas que trabaja por día. Si puede hacer una obra en 12 días cuando trabaja 9 horas por día a razón de SI. 6 la hora ¿Cuántos días empleará en hacer la misma obra trabajando 16 horas por día a SI . 9 la hora? CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Problemas N° 3 La duración de un viaje por ferrocarril es DP a la distancia e IP a la velocidad. A su vez la velocidad es IP a! número de vagones y DP a la raíz cuadrada de la cantidad de carbón que se consume por kilómetro. Si un viaje de 200 km con 20 vagones. hecho en 4 horas consumió 100 kg de carbón por kilómetro ¿Cuántos kilogramos de carbón se consumirán en un viaje de 100 km hecho con 15 vagones en 6 horas? Problema N° 6 60 · 12 ·x h = 150·x ·h 120 ... (4) El espacio que recorre un cuerpo en caída libre es O.P. al cuadrado del tiempo. Si en los primeros "a" segundos recorre N metros. ¿Cuántos metros recorre en los próximos "2a" segundos? Según los diálogos de Platón. nos relata que la comunidad matemática griega se vió sorprendida por un descubrimiento que destruía las bases de la fé pitagórica en los números enteros. Este descubrimiento fué el de que incluso dentro de la geometría misma los números enteros y sus razones resultaban inadecuados para dar cuenta de algunas propiedades básicas. Por ejemplo dos cantidades. tales como las longitudes de la diagonal y el lado de un cuadrado. no tienen una razón tal como la de un número entero a otro. A tales parejas de segmentos se les llama inconmensurables por muy pequeña que sea la unidad de medida elegida. siendo este uno de 105 problemas famosos de la antigüedad que aquejo a 105 sabios de aquella época. Esto produjo la ruina de toda la teoría de proporciones. ya que sus ideas de razón y proporción no bastaban. ¿Pero puede uno comparar entonces las razones entre magnitudes inconmensurables? l. ¿Puedes dar diversos ejemplos de segmentos inconmensurables? . 2. ¿Puedes investigar acerca del problema de las reses planteado por Arquímedes. cuya solución demanda cantidades astronómicas de cifras? 'Un 'conocimiento profundo de las cosas no lo obtendremos ni ahora ni nunca. en tanto que no las contemplemos en su crecer desde el principio.' Aristóteles 2.0 OBJETIVOS Al finalizar el capítulo el estudiante estará capacitado para: a. Relacionar proporcionalmente, en una sola formula. todas las magnitudes que intervienen en un fenómeno natural. haciendo uso de ·los teoremas de proporcionalidad. b. Reconocer el comportamiento aritmético. algebraico y geométrico de 2 magnitudes que varían en forma directamente proporcional (DP) o en forma inversamente proporcional (IP) c. Aplicando el principio fundamental de comparación de magnitudes podrá deducir formulas proporcionales. d. Con el mismo principio anterior podrá resolver problemas de regla de tres compuesta. haciendo uso de enunciados equivalentes 2.1 MAGNITUD Es todo aquello que se puede medir. Por ejemplo la fuerza. la masa. la velocidad. etc. En el caso de regla de tres consideramos como magnitudes a la obra realizada. el número de obreros, la dificultad de la obra, el rendimiento de los obreros, etc. 2.2 MAGNITUD, CANTIDAD, UNIDAD Es necesario diferenciar estos tres conceptos . lo cual se puede explicar con el siguiente ejemplo: volumen 7 Magnitud Cantidad Unidad metro cúbico (m3) Si cambia la unidad. cambia la cantidad pero no la magnitud. Por ejemplo: 7 m3 = 7000 dm3 2.3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE COMPARACIÓN DE MAGNITUDES Cuando en un fenómeno natural. donde intervienen más de dos magnitudes. se quiere establecer una relación proporcional entre dos de ellas. las otras magnitudes deben mantenerse con un valor constante. Ejemplo: En el fenómeno termoeléctrico: La corriente eléctrica que circula por un conductor. con una intensidad l. durante cierto tiempo t. produce una cantidad de calor Q. siendo R la resistencia del conductor. R -1---y/\y/\/y\. ----- ¡ ¡ ¡ Q 1 : amperios R: obrIrlos t : segundos Q : calorlas Si queremos averiguar como varía proporcionalmente: Q respecto a 1 ~ R Y t permanecen con un valor constante Q respecto a R ~ 1 Y t permanecen con un valor constante 1 respecto a R ~ Q y t permanecen con un valor constante 2.4 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) Dos magnitudes varian en forma directamente proporcional (DP) cuando. al aumentar una de ellas. la otra aumenta en la misma proporción. y si la prunera disminuye. la segunda también disminuye en la misma proporción. Ejemplo: En el problema donde intervienen: W : peso que se desea transportar (toneladas) D: distancia (km) C: costo del transporte (soles) Para relacionar proporcionalmente el costo C con la distancia D. mantenemos el peso W constante. El siguiente cuadro de valores. se ha deducido para cierta cantidad de mercadería. La cual se ha supuesto es W = 200 kg. Para W :: 200 kg (constantl! por el principio de comparación de magnitudes) Costo (soles) Distancia (km) x3 ~ 20 10 60 30 ~ 120 60 ~ ~ 30 15 10 5 x3 x2 x2 +4 + 4 +3 Del cuadro se deduce: Comportamiento arltm~tico Cuando la distancia se triplica el costo también se triplica Cuando la distancia se duplica el costo tamb1én se duplica Cuando la distancia se divide entre 4 el costo también se divide entre 4 y así sucesivamente Entonces: C DPD Comportamiento algebraico 51 dividimos los valores correspondientes del costo C entre la distancia D se obtiene un cociente constante. Costo C (soles) 20 60 120 30 10 = 2soles Distancia D (km) = 10 = 30 = 60 = 15 = 5 km C Es decir i5 = constante ~ C - =k D k recibe el nombre de constante de proporcionalidad Comportamiento geom.strlco Graficando los valores del costo e y la distancia D obtendremos un conjunto de puntos coltnea1es que estén en el primer cuadrante por donde se puede trazar una recta que pasa por el origen. 120 60 40 20 10 ~ _ ~ ___ ~L-____ ~____________ D~ 5 10 20 30 40 50 60 En el gráfico se observa que -C = k = Tgt3 D De modo que: la constante de proporcionalidad es la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal. 2.5 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Dos magnitudes varían en forma inversamente proporcional cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye en la misma proporcl6n tomaremos como referencia el problema anterior donde interviene el costo C. la distancia D y el peso W. Para un costo C de SI. 120 el cual mantenemos constante por el principio de comparacl6n de magnitudes. se obtiene el siguiente cuadro: C = SI. 120 (Constante) W (!tg) D (km) 200 60 x2 < 400 30 +4 \ 100 120 ~ 300 40 60 200 x3 +5 Del cuadro se deduce: C~mportamlento arltm~tlco Cuando el peso se duplica la distancia se divide entre 2. Cuando el peso se triplica. la distancia se divide entre 3 . Cuando el peso · se divide entre 4 . la distancia se cuadruplica y así sucesivamente Entonces: el peso W es inversamente proporcional a la distancia D Lo cual se denota I W IP D I También se escribe I W DP l/D I ó Comportamiento algebraico w: l/n D 51 multiplicamos los valores correspondientes del peso W y la distancia D se obtiene un producto constante W. D = 200.60 = 400.30 '= 100.120 :;: 300.40 = 60.200 = 12000 (constante) Es decir W. O = constante ~ I W . D = k I Comportamiento geom6trico Graftcamos los valores de W y D se observa una, hlp6rbola equilátera. Graficando los valores del peso W y la distancia D. obtenemos un conjunto de puntos por donde se puede trazar la parte positiva de una hipérbola equilátera. w(peso) 400 300 200 100 r mperbola equilátera W.D = constante r-------------------- K = producto de las coordenadas de un punto cualesquiera , , , 60 - - ~, -.,- - • - - - ,,- - - - - -~_--_____ _ , , , , ~~--------------------------_D~) 304060 120 200 2.6 PROPORCIONALIDAD CUADRÁTICA Y CÚBICA En el fenómeno termoeléctrico donde intervienen: Q = Calor eléctrico. 1 = Intensidad de corriente R = Resistencia eléctrica. t = tiempo Si en el laboratorio hacemos un experiInento haciendo variar la intensidad I. manteniendo constantes la resistencia y el tiempo se obtiene el cuadro siguiente: I Q a b 2a 4b 3a 9b a/2 b/4 a/3 b/9 Comportamiento arltm~tico Se observa que cuando los valores de la intensidad experimentan cierta variación. entonces los valores del calor también experiInentan variaciones pero elevadas al cuadrado. Es decir: El calor eléctrico Q varía en forma D.P con el cuadrado de la variación de la intensidad de corriente I Q DP 12 Comportamiento algebraico Del cuadro de datos podemos deducir 10 siguiente: b 4b 9b b/4 b / 9 g = constante = (2a)2 = (3a)2 = 2 = = (a / 2)2 (a/ 3)2 1 2 a Q IQ KI2 o sea -=k ~ = 1 2 Comportamiento geom~trlco Graftcando los valores tabulados se obtienen puntos por donde se puede trazar una parábola cuyo vértice pasa por el origen. Q 9b - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4b b b/4 ...:::;...----------- a a 2a 3a 2 El comportamiento aritmético entre la potencia P que desarrolla el motor de un buque y su velocidad V se aprecia en el siguiente cuadro. Las otras magnitudes que también intervienen en el fenómeno permanecen constantes. v p a b 2a Sb 3a 27b a/2 b/S a/3 b/27 Se observa que la potencia experimenta las variaciones de la velocidad pero elevadas al cubo. Es decir: I P DP vsl 'La relación algebraica se puede obtener como sigue: b. Sb 27b biS b/27 =.f.. = constante a3 = (2a)3 = (3a)3 = (a/2)3 = (a/3)3 y2 . La ecuación corresponde a la gráfica de una parábola cúbica con su vértice en el origen de coordenadas que pasa por los puntos tabulados. p 27b 8b b ~~~------------~V a 2a 3a El fenómeno de grativación universal donde intervienen: F = fuerza de atracción mI Y m2 : masas d = distancia entre los cuerpos Manteniendo las masas constantes el siguiente cuadro muestra como varia la fuerza con la distancia. mI .! I~ d ~I I mI Y m2 = constante I d F a b 2a b/4 3a b/9 4a b/16 Cuando la distancia experimenta una variación, la fuerza experimenta la variación inversa pero elevada al cuadrado. Es decir: I F IP d 2 1 y su comportamiento algebraico es el siguiente: Es decir I F . d2 = k I y su comportamiento geométrico se muestra en el gráfico, de la figura: b b 4 b/9 F b/16 - - - - .,- - - - -, - - - -:-,"::----.....-- a 2a 3a 4a 2.7 PROPORCIONALIDAD COMPUESTA d Cuando intervienen mas de dos magnitudes, el objetivo principal es relacionarlas en una sola fórmula proporcional. Regla práctica para construir una f6rmula proporcional Se basa en dos pasos: Primer paso: Una de las magnitudes se compara proporcionahnente con cada una de las otras magnitudes, y cuando se estén comparando dos magnitudes las otras deben mantener un valor constante , por el principio de comparación de ma¡mitudes. Segundo paso: Se construye la fórmula disponiendo las magnitudes que son IP en forma de producto y las que son D.P en forma de cociente. Finalmente todo se iguala a una constante de proporcionalidad. Ejemplo 1 Construir la fórmula proporcional entre las magnitudes: C = Costo de un transporte P = Peso a transportar O = distancia a transportar Resoluci6n: ler. Paso: tomaremos el costo C y lo comparamos con las otras magnitudes por ser la más sencilla para comparar. Es oportuno indicar que se puede tomar cualesquiera de las magnitudes; si con una de ellas la comparación no es muy clara se toma otra de las magnitudes. I Para d = 10 km (constante) I Peso Costo Luego: se puede concluir que: x2 (200 kg ~ SI . 30 ) (400 kg ~ 5/ . 60 x2 I Costo O.P. Peso l··: (1) +4 100 kg ~ SI. 15 ) +4 I Para Peso = 400 kg (constante) I Distancia Costo Luego: se puede concluir que: x2 (lOkm ~ SI . 60 ) (20km ~ SI. 120 x2 I Costo O.P. Distancial··· (2) +4 5km ~ SI . 30 ) +4 2do. Paso: Se construye la fórmula atendiendo a: Dos magnitudes D.P. quedan dispuestas en cociente Dos magnitudes I.P. quedan dispuestas en producto Luego la fórmula proporcional es: Costo = k Peso . Distancia En esta fórmula encontramos la respuesta a todas las variaciones posibles de las tres magnitudes como se puede ver en la siguiente conjunto de razones iguales: C 6C 2C P ·D = (2P)(3D) = (P) "2 (4D) = C = ....... constante ( ~ )<3D) Ejemplo 2 En el comportamiento de un gas ideal. construir la fórmula proporcional sabiendo que: Presión D.P. temperatura Presión LP. volumen D.P: cociente; I.P: producto Resolución: La fórmula proporcional será: (para volumen constante) (para temperatura constante) J;»resión. Volumen = k Temperatura Ejemplo 3 Construir la fórmula proporcional entre: 9 = cantidad de obra t = tiempo n = H obreros R = rendimiento de los obreros D = dificultad de obra Resolución: Primer paso: La obra 9 e8 la mb fAcil de comparar e DP t 9 DPn 9 DPR e IP o (para R. n, D = constantes) (para R. t, D = constantes) (para n. t, D = constantes) (para R. n , t = constantes) 2° paso: La fórmula proporcional será: Obra . Dificultad = k Rendimiento. HObreros . Tiempo En el caso que se tenga grupos de obreros mixtos. es decir con diferentes rendimientos, la fórmula será: Casos similares Por similitud podemos deducir las siguientes fórmulas: 1) En el caso de las vacas que comen la hierba que crece en un prado podemos establecer las siguientes equivalencias: de vacas < > obreros · apetito < > rendimiento cantidad de hierba < > obra Luego podemos plantear: Cantidad de Hierba = k Apetito . #Vacas . Tiempo 2) En el problema de unos monos que comen ciertos plátanos Cantidad de Plátanos = k Apetito . IMonos . Tiempo 3) En el problema de gallinas. cantidad de maíti # huevos Cantidad de Huevos Rendimiento. *Gallinas . Tiempo =~ . ~, * kg de maíz Rendimiento - * Gallinas . tiempo = k 4) Soldados. cantidad de alimento. ración Cantidad de Alimentos = k Ración Diaria. *Soldados . Tiempo 5) En el problema del estanque que tiene tuberías de alimentos y/o desagüe Cantidad de Agua que se almacena o desagua ----------~~~----------------~~ = k Diámetro de las tuberías . *Tuberías. Tiempo En cada problema se explicará la analogía de estas fórmulas de manera mas clara y precisa. 2.8 LA TRANSITlVIDAD EN LA PROPORCIONALIDAD Esto se presenta cuando una magnitud interviene en dos aspectos distintos de un mismo fenómeno. Utilizando dicha magnitud se puede relacionar las magnitudes de ]os dos aspectos del fenómeno, en una sola fórmula. La característica es que dicha magnitud no figura en la fórmula final. Explicaremos esto utilizando la cinemática y dinámica del moviIn1ento rectilíneo uniforme. En la dinámica se cumple: I Fuerza resultante = Masa. Aceleración I En la cinemática se tiene que: . ACELERACIÓN = VELOC. FlNAL - VELOC. - INICIAL TIEMPO La aceleración es la magnitud que relaciona los dos aspectos del fenómeno y reemplazando (2) en (1) . FUERZA RESULTANfE = MASA (VELOC. FINAL - VELOC. INICIAL) .. . (3) TIEMPO Observar que la aceleración no está en la relaci6~ final. Enunciado general: Si ADPB y por otro lado . BDPC Entonces ADPC 2.9 TEOREMAS DE LA PROPORCIONALIDAD Teorema 1 Si A IP B entonces IADP (l/B) 1 Teorema 2 Si ADP B entonces 1 AU DP BU I 'rj n E Q Teorema 3 Para las magnitudes que intervienen en un mismo aspecto ele cierto fenómeno. como por ejemplo las magnitudes A. B yC Si cuando C es constante: A DP B Y cuando B es constante: A DP C Entonces A DP (B.C.) cuando B y C varían o sea ~ ~ Teorema 4 (Transitivielael en la proporclonaUdael) Si A DP B en un aspecto del fenómeno donde C no interviene y B DP C en otro aspecto del fenómeno donde A no interviene Entonces: I A DP C I Analice bien la diferencia entre los teoremas 3 y 4