Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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PROPIEDADES MÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Determina el a´ngulo formado por las rectas r : y s : x 1 y 3 z 1 x 1 2t y 1 t 1 1 2 z 2 t 2. Determina el a´ngulo formado por los planos : 2x 3y z 6 0 y : 2y z 5 0. 3. Determina el a´ngulo que forma la recta r : con el plano : 2x y 0. x 1 y z 10 1 1 2 4. Escribe la ecuacio´n de la recta perpendicular al plano : 2x y z 3 y que pasa por el punto P( 1, 0, 3). 5. Halla la ecuacio´n del plano perpendicular a la recta r : y que pasa por el punto P (0, 1, 2). x 1 t y 2 3t z t 6. Calcula la distancia que separa al punto P (1, 2, 3) del plano : 2x y z 3 0. 7. Calcula la distancia que separa al punto P (1, 0, 3) de la recta r : x 1 t y 2 t z t 8. Dadas las rectas r : y s: x y z 1 x 1 t y 1 2t 1 2 1 z t a) Demuestra que son paralelas. b) Calcula la distancia que separa a ambas rectas. 9. Dados los planos : x y z 0 y : 2x 2y 2z 3 0: a) Demuestra que son paralelos. b) Calcula la distancia que separa a ambos planos. 10. Dadas las rectas r : y s : x y z x 1 t y t 1 1 1 z t r P s α β a) Demuestra que se cruzan. b) Escribe la ecuacio´n del plano que contiene a s y es paralelo a r. c) Demuestra que P (2, 2, 2) es un punto de r y calcula la distancia que separa a P de . ¿Co´mo sera´ esta distancia en relacio´n a la distancia que separa a las rectas r y s? SOLUCIONES 1. Vectores directores de r y de s: ur (1, 1, 2) y us (2, 1, 1) cos (rr, s ) Wu · u W 1 1 r s Wu W · Wu W 6 · 6 6 r s (rr, s ) arccos 80 24 1 6 2. Vectores normales de y de : n (2, 3, 1) y n (0, 2, 1) cos (r , ) Wn · n W 7 7 Wn W · Wn W 14 · 5 70 (r , ) arccos 33 13 7 70 3. Vector normal de : n (2, 1, 0) Vector director de r : ur (1, 1, 2) sen (r , r ) Wn · u W 1 1 r Wn W · Wu W 5 · 6 30 r (r , r ) arcsen 10 31 1 30 4. El vector normal del plano es un vector director de la recta. Por tanto: r : x 1 y z 3 2 1 1 5. El vector director de la recta es un vector normal del plano. Por tanto: : x 3y z D 0 Como P 3 2 D 0 D 1 : x 3y z 1 0 6. Punto del plano: A (0, 0, 3) Vector normal del plano: n (2, 1, 1) A P (1, 2, 6) d (P, ) WA P · n W 6 6 Wn W 6 7. Punto de la recta: Ar (1, 2, 0) Vector director de la recta: ur (1, 1, 1) ArP (0, 2, 3) d (P, r ) WA P · uW W 1W 3 r r Wu W 3 3 r 8. a) Vectores directores de r y de s: ur (1, 2, 1) y us (1, 2, 1) Al ser iguales, las rectas son paralelas o coincidentes. Como el punto A (0, 0, 1) pertenece a r pero no a s, se deduce que r y s son paralelas. b) Si P (1, 1, 0) es un punto de s: d (r, s ) d (A, s ) WPA · u W 2 6 s Wu W 6 3 s 9. a) Los vectores normales a los planos son proporcionales; por tanto, los planos son paralelos ya que no son coincidentes ( pasa por el origen y no). b) Si O (0, 0, 0) es uno de los puntos de y A un punto de : 3 0, 0, 2 d ( , ) d (O, ) WA O · n W 3 3 Wn W 12 2 10. a) Ar (0, 0, 0) As (1, 0, 0) ur (1, 1, 1) us (1, 1, 1) ArAs (1, 0, 0) rango (ur, us) 2 y rango (ArAs, ur, us) 3 Las rectas se cruzan. b) (As, ur, us) 0 x 1 y z 1 1 1 1 1 1 : x y 1 0 c) P r 2 2 2 1 1 1 d (P, ) W 1W 2 12 12 02 2 d (P, ) d (r, s ) 1. Dados los planos no paralelos : Ax By Cz D 0 y : A x B y C z D 0, calcula las coordenadas de un vector de direccio´n de la recta r determinada por la interseccio´n de dichos planos. 2. a) Demuestra que la distancia que separa a los planos paralelos : Ax By Cz D 0 y : Ax By Cz D 0 se puede calcular mediante la fo´rmula: d ( , ) WD D W A2 B2 C2 b) Aplica la fo´rmula anterior para calcular la distancia entre los planos paralelos : 2x y z 3 0 y : 4x 2y 2z 3 0. 3. a) Escribe las ecuaciones de la recta r de la figura sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que forma con los ejes coordenados OX y OY a´ngulos de 60 y 45 , respectivamente. ¿Existe una sola recta que verifique estas condiciones? b) Calcula el a´ngulo que forma dicha recta con el eje OZ. 4. Calcula las coordenadas de los ve´rtices del tria´ngulo A B C que se obtiene al proyectar ortogonalmente el tria´ngulo de ve´rtices A(1, 2, 1), B( 1, 2, 2) y C( 1, 2, 3) sobre el plano : 2x y z 4 0. Calcula las a´reas de ambos tria´ngulos. 5. Un rayo parte del punto P(1, 0, 2) y se refleja en el plano : x y 2. Calcula el punto donde el rayo toca al plano sabiendo que el rayo reflejado pasa por Q( 2, 2, 0). 6. a) Escribe la ecuacio´n del plano que pasa por el punto A(1, 5, 4) y contiene a la recta de ecuaciones: r : y z 9 z 0 b) Escribe la ecuacio´n de un plano que pase por los puntos P(1, 0, 1) y Q(1, 1, 0) y forme con el plano un a´ngulo de 60 . u w v α β O r 60º 45º Z X Y B' A' C' B A C α i r P Q α π Q P 60º α 1. El vector director de la recta determinada por y se puede calcular mediante el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos: ur n n i j k A B C A B C 2. a) Sea P(a, b, c ) y Q(q, r, s ) : d ( , ) d (P, ) WQP · n W Wn W WA(q a ) B(r b ) C(s c )W A2 B2 C2 WAq Br Cs (Aa Bb Cc )W A2 B2 C2 WD D W A2 B2 C2 b) Los planos son : 2x y z 3 0 y : 2x y z 0 3 2 d ( , ) 3 3 2 3 6 4 1 1 2 6 4 3. a) La recta buscada es: r : . Para que x y z 1 a b cumpla las condiciones indicadas: 1 W(1, a, b ) · (1, 0, 0)W cos 60 2 W(1, a, b )W · W(1, 0, 0)W 2 W(1, a, b ) · (0, 1, 0)W cos 45 2 W(1, a, b )W · W(0, 1, 0)W 1 1 a 2 b 2 a 2 b 2 3 2 2 a a b 1 1 a 2 b 2 a 2 , b 1 Una de las cuatro soluciones es la recta: r : x y z 1 2 1 b) (r,rOZ) arccos W(1, 2, 1) · (0, 0, 1)W W(1, 2, 1)W · W(0, 0, 1)W arccos 60 1 2 4. AA : A x 1 2t 8 13 5 y 2 t , , z 1 t 6 6 6 BB : B x 1 2t 1 7 7 y 2 t , , z 2 t 3 3 3 CC : C x 1 2t 8 19 11 y 2 t , , z 3 t 6 6 6 S(A, B, C ) WAB ACW W(0, 10, 0)W 5 1 1 2 2 S(A , B , C ) WA B A C W 1 2 1 20 10 10 5 6 , , 2 6 6 6 6 5. Sea Q el sime´trico de Q respecto del plano . La recta que pasa por P y Q corta al plano en el punto T buscado: QQ : x 1 t y 2 t z 0 M 3 1 , , 0 2 2 M es el punto medio de QQ Q (4, 3, 0) PQ : T x 1 3t 3 1 5 y 3t , , z 2 2t 2 2 3 6. a) Haz de planos cuya arista es la recta r : t · (y z 9) s · z 0 Como el plano debe pasar por el punto A 0 · t 4s 0 s 0 : y z 9 0 b) Recta que pasa por P y por Q: x 1 y z 1 x 1 0 1 1 y z 1 Haz de planos cuya arista es la recta PQ: t · (x 1) s · (y z 1) 0 tx sy sz t s 0 cos (n , n ) 1 1 W2s W 2 2 2 · t 2 2s 2 Ya que solo se pide una solucio´n se toma por ejemplo: 2t 2 4s 2 16s 2 t 6 · s y entonces: : 6x y z 1 6 0 i T r P Q Q' M α