PRODUCTOS NOTABLES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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  • PRODUCTOS NOTABLES

    Los productos notables son fórmulas que permiten efectuar multiplicaciones indicadas, sin aplicar los criterios generales de la multiplicación algebraica, y deben satisfacer las siguientes propiedades:

    PROPIEDAD 1 El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores, en efecto:

    Gºproducto =  Gºfactores

    Ejemplo. 1: Hallar el grado de P(x) Si: P(x)=(x4+ 3) (x6–2x–3) (x3 – 4)

    Solución:

    Observemos que el grado en cada paréntesis es:

    P(x) = (x4 + 3) (x6 – 2x – 3) (x3 – 4) Gº = 4 Gº = 6 Gº = 3  Gº [P (x)] = 4 + 6 + 3 = 13

    Ejemplo 2: Hallar el grado de R(x) Si: R(x) = (x2 + 5)3 (x4 – 1)6 Solución: Para este caso, el grado correspondiente en cada paréntesis es:

    R(x) = (x2 + 5) 3 (x4 – 1) 6 6 24  Gº [R (x)] = 6 + 24 = 30

    PROPIEDAD 2 : El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientesde los factores, es decir:

    Ejemplo 1: Hallar el término independiente de P(x) en: P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x – 6) (x7 – 3)

    Solución El término independiente en cada paréntesis es:

    P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x –6) (x7 – 3) T.I = 2 T.I = -6 T.I = -3

     T.I. [ P(x)] = (2) (-6) (-3) = 36

    Ejemplo 2: Hallar el término independiente de P(x) en: P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3 .

    Solución:

    En este caso, el término independiente en cada paréntesis es: P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3 T.I= (-1)5 T.I. = (-2)3  T.I. [ P(x)] = (-1)5 (-2)3= (-1) (-8) = 8

    Debemos tener en cuenta las siguientes potenciaciones, respecto a los radicales monómicos.

    1) ( )2 = = = 2 2) ( )2 = 2 3) (2 )2 = 22 2 = 4 (2) = 8 4) (3 )2 = 32 2 = 9 (2) = 18 5) ( )3 = = = 2 6) (2 )3 = 23. 3 = 8(2 ) = 16 7) ( )3 = = 3 8) (3 )3 = 33. = 27 (3 ) = 81

    Para un entendimiento coherente respecto a los productos notables y las identidades, los observaremos por grupos:

    I. Cuadrado del Binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

    II. Cubo del Binomio * (a + b)3 = a3 + 3a2 b +3 ab2 + b3 * (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3 ab2 - b3

    Estas mismas fórmulas se pueden expresar bajo las formas: * (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) * (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

    III. Diferencia de cuadrados (suma por diferencia) * (a + b) (a – b) = a2 – b2

    IV. Suma y Diferencia de cubos * (a + b) (a2 – ab + b2) = a3+ b3 * (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

    01. Efectuar R = (x+a) (x-a) (x2 + a2) (x4+ a4) + a8

    Solución Teniendo en cuenta que:

    Entonces: * (x + a) (x – a) = x2 – a2 * (x2 - a2) x2 + a2) = x4 – a4 * (x4 – a4) (x4 + a4) = x8 – a8

    Por consiguiente: R = x8 – a8 + a8  R = x8

    02. Simplificar: S =

    Solución Dado que:

     a  0  b  0

    S =  = 1 Rpta.

    03. Calcular: R = ( )5 Solución: Expresando convenientemente, se tendría: R = [( - 1)2]2 ( - 1)

    Operando por partes: [( -1)2]2 = (2 – 2 +1)2 = (3-2 )2 = 9 - 12 + 8 = 17 – 12

    Con lo cual, se tendría: R = (17 – 12 ) ( -1) R = 17 - 17 – 24 + 12 R = 29 - 41 Rpta.

    04. Si: x – x-1 = 05. Calcular x3 + x-3

    Solución Elevando la condición al cubo, se obtiene:

    (x + x-1)3 = ( )3 x3 + x-3 + 3x . x-1 (x + x-1) = 6 Dado que: x + x-1 = x3 + x-3 + 3 = 6  x3 + x-3 = 3 Rpta.

    V. Multiplicación de binomios con un término en común.

    *) (x +a ) (x + b) = x2 + (a +b) x + ab **) (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc

    VI. Cuadrado del trinomio

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + + 2ac + 2bc

    VII. Cubo del trinomio Forma 1: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + + 3 (a + b) (a + c) (b + c) Forma 2: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3 b2c + + 3c2a + 3c2b + 6 abc

    01. Simplificar S = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 + + (a – b + c)2 + (- a + b + c)2

    Solución Desarrollando cada término, se tendría:

    S = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc -------------------------------------------- S = 4a2 + 4b2 + 4c2

    Factorizando “4”: S = 4(a2+ b2 +c2) Rpta

    02. Simplificar: S = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 – - (a-b+ c)3 - (-a + b + c)3

    Solución: Haciendo el cambio a + b = x de variables: a - b = y

    se tendría en S. S = (x + c)3 – (x – c)3 –(c + y)3 – (c-y)3 Desarrollando cada término

    S = x3 + 3x2c + 3xc2 + c3 -x3 + 3x2c – 3xc2 + c3 -c3 - 3c2y – 3cy2 - y3 -c3 + 3c2y2 – 3cy2 + y3 ---------------------------------- S = 6x2 c - 6c2 y2 S = 6 c [ x2 – y2 ] Volviendo a las variables originales: S = 6c [ (a + b)2 – (a –b)2 ] S = 6c [ a2 +2ab + b2 –a2 + 2ab –b2] S = 6c [4ab]  S = 24 abc Rpta.

    03. Sabiendo que:

    F = Hallar : G =

    Solución: Observemos que: F = Se transforma en: F = Haciendo : x2 + x = a F = F =

    Como la cantidad subradical es un cuadrado perfecto.

    F =  F = a – 16 ó : F = x2 + x – 16

    Reemplazando en G:

    G = G = Siendo la cantidad sub-radical, un cuadrado perfecto

    G =  G = x + ó lo que es lo mismo G = Rpta.

    IDENTIDADES Son expresiones algebraicas que nos permite efectuar operaciones por simple inspección, entre las de mayor importancia, tenemos:

    VIII. Identidades de Legendre 1º) (a+b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2) 2º) (a+b)2 - (a – b)2 = 4 ab

    IX. Identidades de Lagrange 1º) (ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2) 2º) (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + + (az – cx)2 + (bz - cy)2 =(a2+b2+ c2) (x2 + y2 +z2)

    X. Identidades de Gauss: 1º) (a + b + c) (a2+ b2 + c2-ab-ac-bc) = = a3 + b3 + c3 – 3abc 2º) (a + b + c) [(a-b)2 + (a-c)2 + + (b-c)2] = a3 + b3+ c3 – 3abc

    XI. Identidades de Argand

    1º) (x2 + xy +y2) (x2 – xy + y2) = = x4 + x2 y2 + y4

    2º) (x2 + x + 1 ) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

    A) Si : a + b + c = 0; se verifica que:

    1.) a2 + b2 + c2 = - 2 (ab + ac + bc) 2.) a2b2 + a2c2 + b2c2 = (ab+ ac + bc)2 3.) a3 + b3 + c3 = 3abc 4.) = 5.) =

    B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + ac + b  a = b = c

    C) Si :  x = y

    01.- Sabiendo que; Calcular: Solución Sea E :

    Elevando el cuadrado, se obtiene: E2 = + E2-2 = Nuevamente elevando el cuadrado obtenemos: (E2 –2 )2 = + 2

    Reemplazando el valor de la condición: E2 – 2 =

    De donde: E2 = 5  E = Rpta.

    02.- Si: Calcular: R =

    Solución Operando en la condición:

    Por proporciones: (x + y)2 = 4xy

    Desarrollando y simplificando, vemos que: x2 + 2 x y + y2 = 4x y x2 – 2xy + y2 = 0

    (x – y)2 = 0  x = y Reemplazando “x” por “y” en R; se obtiene: R =  R = 0 Rpta.

    Son aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma:

    (a  0)

    donde: ax2 = Término cuadrático bx = Término Lineal c = Término independiente

    a, b y c son los coeficientes respectivos de sus términos.

    I. Por factorización.- Si el discriminante de la ecuación: ( = b2 – 4 ac) es un cuadrado perfecto, es decir:   0, 1, 4, 9, 16, 25, ........

    Para su solución aplicamos aspa simple

    Ejemplo: Resolver 10 x2 + 11 x – 6 = 0

    Solución Para esta ecuación: a = 10, b=11 y c = -6; el discriminante es:  = (11)2 – 4 (10) (-6) = 361

    como, 361 es un cuadrado perfecto la ecuación se puede factorizar.

    10 x2 + 11 x – 6 = 0 2 x 3  15 x

    5x -2  Con lo cual: (2x + 3) (5 x – 2) = 0

    Recordemos que:

    Si: a. b = 0  a = 0  b = 0

    en nuestro caso : x =  x =

    II. Por fórmula.- Se aplica la fórmula cuando la factorización no es inmediata

    Deducción: Sea la ecuación: ax2 + bx + c  0 dividiendo entre “a” x2 +

    adicionando : a los dos miembros de la igualdad:

    dado que los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto, se tendría:

    extrayendo raíz cuadrada

    x =

    Las dos soluciones o raíces son:

    x1 = x2 =

    De otro lado, siendo:  = b2 – 4 ac

    x1 = x2 =

    Ejemplo: Resolver : x2 – x – 1 = 0 Solución

    a = 1; b = -1: c = -1 En este caso:  = (-1)2 – 4(1) (-1)  = 5 Con lo cual: ;

    En la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 (a  0); se cumple que:

    x1 = x2 =

    Las raíces de la ecuación de segundo grado, depende de la cantidad subradical.  = b2 – 4 a c ( Discriminante) De acuerdo a esto: 1º.- Si:  = b2 – 4 a c  0; las dos raíces son reales y diferentes. 2º.- Si:  = b2 – 4 a c = 0; las dos raíces son reales e iguales. 3º.- Si:  = b2 – 4 a c  0; las dos raíces son números complejos y conjugados.

    Ejemplo: Hallar los valores de “k” en la ecuación: (k + 1) x2 – (5 k – 3) x + 9 = 0 Sabiendo que sus raíces son iguales

    Solución

    Desde que las raíces son iguales entonces:  = b2 – 4ac = 0, es decir: [-(5 k – 3)]2 – 4 (k + 1) (9) = 0 desarrollando, obtenemos la ecuación:

    25 k2 – 66 k –27 = 0 25 k 9  9k

    k -3  de donde: k = 3 (25 k + 9) (k-3) = 0   k =

    Siendo la ecuación del Segundo grado: ax2 + b x + c = 0 ; a  0

    Sus raíces son: x1 =

    de donde se cumple:

    1º) Suma de las raíces:

    x1 + x2 =

    2º) Producto de las raíces: x1 + x2 =

    3º) Diferencia de las raíces:

    x1 + x2 = (x,  x2)

    Ejemplo: ¿Qué relación guardan los coeficientes de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0 Si una de sus raíces es el triple de la otra?.

    Solución

    De acuerdo a los datos, se tiene:

    x1 + x2 = - ........ (1) x1 • x2 = ........ (2) x1= 3x2 ........ (3)

    reemplazando, (3) en (1):

    3x2 + x2 = -  x2 = - Asimismo: x1 = -

    Reemplazando en (2), tendríamos:

    I. Conociendo : “x1” y “x2”, raíces de la ecuación de segundo grado, se cumple que: (x – x1) (x – x2) = 0

    llevando a la forma canónica, se tendría la fórmula:

    II. Conociendo la suma de las raíces : S = x1 + x2 y el producto de ellas mismas P = x1 . x2, la fórmula a utilizar es:

    Ejemplo: Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, si una de sus raíces es: 2 + .

    Solución Como las raíces irracionales se presentan por pares conjugados, entonces:

    x1 = 2 +  x2 = 2 -

    con lo cual:

    i) x1 + x2 = 2 + + 2 - = 4 ii) x1 + x2 = (2+ ) (2- ) = 4-6=-2

    Reemplazando en la fórmula, obtenemos la ecuación:

    x2 – 4x – 2 = 0 (Rpta.)

    Ejemplo: Formar una ecuación de segundo grado de coeficientes reales, si una de sus raíces es:

    3 + 2i; i = tal que: i2 =-1

    “i” es la unidad imaginaria. Solución Siendo: x1= 3 + 2i  x2 = 3 – 2i Ya que las raíces complejas se presentan por pares conjugados se tiene que: i) x1 + x2 = 3 + 2i + 3 – 2i = 6 ii) x1 x2 = (3+2i) (3– 2i) = 9 –4i2 = 13 reemplazando en la fórmula, se obtiene: x2 – 6x + 13 = 0 Rpta.

    Las ecuaciones:

    ax2 + bx + c = 0; (a 0) …. (1)

    dx2 + ex + f = 0; (d 0) …. (2)

    Tienen las mismas raíces, si:

    Ejm: Calcular “a” y “b” en las ecuaciones:

    (a - 3)x2 – (a - 4) x + 3 = 0; …. (1)

    (b +1)x2 – (2b-4) x + 6 = 0; …. (2)

    Sabiendo que tienen las mismas raíces:

    Solución Ya que las raíces son las mismas, se cumple que:

    de donde obtenemos, el sistema:

    2a - b = 7 ........ () a – b = 2 ........ (ß) resolviendo () y (ß), obtenemos:

    a = 5  b = 3

    Las ecuaciones: ax2 + bx + c = 0 …….. (1) dx2 + ex + f = 0 ....... (2) tienen una raíz común; se elimina “x2” y se obtiene la raíz común; es decir:

    adx2 + bdx + cd = 0 …… ()

    adx2 + aex + af = 0 …… (ß)

    restando () – (ß); se obtiene: x (bd – ae) + (cd – af) = 0

     x =

    01. En la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 ; a  0 Las raíces son numéricamente iguales y de signo contrario.

    Si : b = 0 02. En la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0; a  0 Las raíces, son recíprocas.

    Si : a=c 16. ¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la ecuación 2(1) 0, tenga raíces de distinto signo?

    A) B)

    C) D)

    E)

    17. Los valores de “x” que satisfacen la ecuación:

    tiene la propiedad que su suma es:

    A)-14 B)-7 C)-9

    D)-2 E)7

    18. Sea A la suma de las raíces de y B la suma de las raíces a , entonces B-A es:

    A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

    19. En la ecuación cuadrática: afirmamos: I. Si la suma de sus raíces es igual a su producto, entonces b+c=0. II. Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b=0. III. Si una raíz es doble de la otra, entonces

    A) Las 3 afirmaciones son verdaderas. B) Solo I y II son verdaderas. C) Solo I y III son verdaderas. D) Solo II y III son verdaderas. E) Solo II es verdadera.

    20. Si las ecuaciones cuadráticas:

    Son equivalentes, para calcule n.

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