Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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PROBLEMAS METRICOS EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

PROBLEMAS MÉTRICOS Las dimensiones de las hojas de un libro de texto de 80 páginas son 20 30 centímetros. Si se extendieran, sin solaparse, todas las hojas del libro sobre el suelo, ¿qué superficie ocuparían? Número de hojas del libro: 160 Superficie de una hoja: 20 30 600 cm2 Superficie que ocuparían: 160 600 96 000 cm2 9,60 m2 El volumen de un cubo es numéricamente igual a su área total. Tomando como unidad el centímetro, calcula cuánto miden su arista, su superficie y su volumen. Sea x la medida de la arista. x3 6x2 ⇒ x2(x 6) 0 ⇒ x 0, x 6 Solución válida: x 6 a) Medida de la arista: 6 cm b) Medida del área: 6x2 216 cm2 c) Medida del volumen: x3 216 cm3 Calcula el área de un trapecio circular cuyos radios mayor y menor miden 10 y 5 centímetros, respectivamente, y que abarca un ángulo de 60 . x 10 cos 60 5 cm ⇒ R 10 5 15 cm Alateral (15 10) 20 500 cm2 Abase 102 100 cm2 Atrapecio 500 100 600 cm2 Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son tres múltiplos consecutivos de 3. Halla las dimensiones de sus lados y el área del triángulo. Medida de los tres lados consecutivos: x 3, x, x 3 Teorema de Pitágoras: (x 3)2 x2 (x 3)2 Se opera: x2 6x 9 x2 x2 6x 9 ⇒ x2 12x 0 ⇒ x(x 12) 0. Soluciones de la ecuación: x 0, x 12. La primera solución no es válida. Medidas de los lados: catetos: 9, 12; hipotenusa: 15 Atriángulo: 9 2 12 54 Halla el área del pentágono que aparece en la figura. El radio de la circunferencia inscrita se corresponde con la apotema: r. El radio de la circunferencia circunscrita se corresponde con el radio del octógono: R. Ángulo central 360 5 72 2 180 72 108 54 sen 10 54 sen x 72 ⇒ x 11,76 cm ap2 102 5,882 65,43 ⇒ ap 8,09 cm A 11,76 2 5 8,09 237,85 cm2 Halla el área de las bases y el área total de un cilindro de 5 centímetros de radio y 12 de altura. a) Área de las bases: 2 r2 2 25 50 cm2 157,01 cm2 b) Área lateral: 2 rh 2 5 12 120 cm2 377 cm2 c) Área total: 157,01 377 534,01 cm2 8.6 8.5 8.4 8.3 8.2 8.1 10 cm 20 cm x 60° 10 cm Calcula el área lateral y el área total del tronco de pirámide de la figura. Para calcular la apotema que corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo señalado en la figura: 25 h2 9 ⇒ h 4 cm Se calcula el área lateral: AL (P 2 p) A AL (40 2 16) 4 112 cm2 AT AB Ab AL 16 100 112 228 cm2 La generatriz de un cono mide 10 decímetros, y su altura, 80 centímetros. Calcula su área lateral y su área total. Se aplica Pitágoras para calcular el radio r: r g 2 h2 60 cm AL r g 3,14 60 100 18 840 cm AT AL AB AL r2 18 840 11 304 30 144 cm La figura representa un tronco de cono de radios R y r. Calcula el área lateral y el área total. Se resta el área de la base superior del radio de la base superior para obtener 2 cm, que es la distancia horizontal que las separa. Según el triángulo rectángulo que vemos dibujado dentro de la figura calculamos la generatriz. g 1 00 22 10,20 cm AL r g 3,14 12 10,20 384,34 cm AT AL AB Ab AL R2 r2 AT 153,86 78,5 384,34 616,70 cm Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones sean 50 80 100 milímetros. El volumen de un ortoedro es: V AB h 50 80 100 400000 mm 400 m. El volumen de un cubo es de 25 cm3. ¿Cuánto aumentará su volumen si se duplica la longitud de sus aristas? Ecuación: x3 25 litros Volumen: (2x)3 8x3 8 25 200 litros Incremento: 200 25 175 litros Dibuja un cilindro recto de 5 centímetros de radio y 12 centímetros de altura. Calcula su volumen. a) La base del cilindro es un círculo de radio r 5 cm. Área de la base r2 52 25 cm2 b) El área lateral del cilindro es el área de un rectángulo. Base del rectángulo: 2 r Altura del rectángulo altura del cilindro Área lateral: 2 5 12 120 cm2 c) Área de todo el cilindro: 120 25 145 cm2 d) Volumen del cilindro: 25 12 300 cm3 8.12 8.11 8.10 8.9 8.8 8.7 4 cm 5 cm 10 cm r g 7 cm 5 cm 10 cm r h Las aristas de dos cubos difieren en 2 centímetros, y sus volúmenes, en 56 cm3. Halla el valor de la longitud de las aristas de ambos cubos. Medidas de las aristas: x, x 2 Ecuación resultante: (x 2)3 x3 56 ⇒ x3 6x2 12x 8 x3 56 ⇒ 6x2 12x 48 0 ⇒ x2 2x 8 0 Soluciones: x 4, x 2 Medida de las aristas: x 2 cm, 4 cm Del prisma de la figura conocemos el área de sus caras. Sin resolver ningún sistema, calcula su volumen sabiendo que: a b 270 cm2 b c 450 cm2 a c 540 cm2 ab bc ac a2b2c2 (abc)2 V2 V2 ab bc ac 270 450 540 6 561 000 El volumen del ortoedro es de 8100 cm3. Sabiendo que el volumen de un cono mide 300 cm3, y su altura, 30 centímetros, calcula su generatriz. V 300 cm3 V 1 2 AB h ⇒ AB 2 h V 20 cm2 h 30 cm AB r2 ⇒ r A B 2,52 cm La generatriz de un cono es g h 2 r2 3 02 2 ,522 30,11 cm El radio medio de la Tierra, suponiendo una esfera perfecta, es aproximadamente de 6370 kilómetros. A partir de este dato, calcula: a) La longitud del ecuador terrestre. b) El área de la superficie terrestre. a) Longitud del ecuador: 2 r 2 6370 40 000 km b) Área de la superficie terrestre: 4 r2 4 63702 510 millones de km2 La anchura y la profundidad de una sala de música de forma rectangular suman 54 metros. Si su superficie es de 720 m2, ¿cuáles son las dimensiones de la sala? Medidas de las dimensiones: x, 54 x Ecuación de áreas: x(54 x) 720 Se opera: 54x x2 720 Ecuación de segundo grado: x2 54x 720 0 Soluciones de la ecuación: x 30, x 24 Dimensiones de la sala: 30 m de largo, 24 m de ancho Se quieren pintar las paredes y el techo de una sala de exposiciones que tiene forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide 9 metros y la altura de la sala es de 12 metros. Halla la superficie total que va a ser pintada. La base hexagonal se descompone en 6 triángulos equiláteros de lado 9 cm. Área de la base 6 92 3 4 420,89 cm2 Área lateral: 6 ab h 6 9 12 648 m2 Superficie que va a ser pintada: 648 420,89 1068,89 m2 8.18 8.17 8.16 8.15 8.14 8.13 a c b l h En clase de Tecnología, los alumnos van a construir el tablero de un juego de mesa como el de la figura. ¿Qué cantidad de madera (expresada en metros cuadrados) será necesaria, como mínimo, si son 20 alumnos en el aula? Apotema tg 2 l 0,41 15 6,15 cm Aoctoedro 1 2 8 apotema 30 738 cm2 AT 4 302 738 4338 cm2 La cantidad de madera necesaria será: 20 4338 86 760 cm2 8,68 m2 Un aula tiene 12 metros de largo, 10 de ancho y 4 de alto. Si se llenase con bloques cúbicos de porexpán de 2 metros de arista, ¿podrías decir cuántos se necesitarían? Si la clase tiene 20 alumnos y cada uno transporta el mismo número de bloques, ¿cuántos tendrá que mover cada alumno para rellenar completamente la clase? Vaula 12 10 4 480 m3 Vbloque 23 8 m3 Para llenar el aula hacen falta 48 8 0 60 bloques cúbicos. Cada alumno moverá 3 bloques. Se quiere levantar un monumento en forma de pirámide. Su base será cuadrada, y la altura prevista, de 30 metros. Si se necesitan 811,2 m3 de piedra, ¿cuál es la medida de la arista de la base? Vpirámide 1 3 abase h ⇒ abase 3Vp h irámide ⇒ abase 3 3 8 0 11,2 81,12 m abase l2 ⇒ l 8 1,12 9,01 m El almacén de una empresa gráfica tiene forma de ortoedro y sus dimensiones son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla las longitudes de las aristas y el volumen total sabiendo que el área total es de 752 m2. Dimensiones de los lados: 3x, 4x y 5x, ya que son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Área total: 2(3x 4x) 2(3x 5x) 2(4x 5x) 752 m2 Se opera: 94x 752 Valor de x: x 8 Dimensiones del almacén: 24 m, 32 m y 40 m Volumen del ortoedro: V 24 32 40 30 720 m3 En cada esquina de una plancha de hojalata de forma cuadrada se recorta un cuadrado de 5 centímetros de lado. Después, doblando los rectángulos hacia arriba y pegando las caras laterales, se forma una caja de 281,25 cm3. Halla el lado inicial de la plancha. Sea x el lado de la plancha. Se utiliza la fórmula del volumen de ortoedro: 1280 5(x 10)(x 10) ⇒ 256 x2 20x 100 ⇒ x2 20x 156 0 ⇒ x 26, x 6 El lado de la plancha de cartón mide 26 cm. El valor x 6 no es válido, ya que el lado debe ser positivo. 8.23 8.22 8.21 8.20 36 8 0 2 8.19 R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Un arquitecto quiere quitar la rampa y construir una nueva, de forma que, para subir, sólo haya que dar tres vueltas. ¿Cuánto medirá esa rampa? Ahora el cateto vertical medirá 8 m. La hipotenusa del triángulo será: h 3 1,42 82 → h 32,4 m La rampa medirá en total 3 32,4 97,2 metros. Y si hiciéramos que la rampa diera cinco vueltas completas, ¿qué longitud tendría que recorrer Luis? Ahora el cateto vertical medirá 4,8 m. La hipotenusa del triángulo será: h 3 1,42 4,82 → h 31,76 m La rampa medirá en total 5 31,76 158,8 metros. Una vez hecho el ejercicio, se puede explicar por qué la rampa más corta no es la mejor, calculando la pendiente de cada una usando la trigonometría (tema anterior) e incluso construyendo rampas a escala. A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Perímetro, área y volumen Asocia en tu cuaderno cada magnitud con la unidad que le corresponde. a) Cantidad de cartón de un tetra brik I. cm3 b) Suelo cubierto con parqué II. hm3 c) Espacio que ocupa una caja III. cm2 d) Longitud del cordón de una deportiva IV. cm e) Cantidad de agua de un pantano V. m2 Escribe una magnitud que se exprese en las siguientes unidades. a) m b) m3 c) cm2 d) mm a) Longitud de una mesa. b) Agua consumida en una casa durante tres meses. c) Superficie que ocupa una hoja de papel. d) Longitud de un tornillo. Indica las unidades que corresponden a las siguientes magnitudes, y di si se trata de un perímetro, un área o un volumen. a) Zona ocupada por 10 CD extendidos sobre una mesa. b) Espacio que ocupan 10 CD colocados unos sobre otros. c) Medida del borde de un CD. a) Área. Se mide en m2. b) Volumen. Se mide en m3. c) Perímetro. Se mide en m. Área de figuras planas Calcula el perímetro de un cuadrado de 576 cm2 de superficie. l 5 76 24 cm de lado. P 4 24 96 cm Calcula los lados de este triángulo sabiendo que su área es de 30 dm2. 30 b 2 10 ⇒ b 6 dm mide la base. c 6 2 10 2 11,66 dm mide cada uno de los lados iguales. 8.30 8.29 8.28 8.27 8.26 8.25 8.24 10 dm Halla el área del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 centímetros, y uno de sus catetos, 5. c 1 32 5 2 12 cm A 5 2 12 30 cm2 La diagonal de un rectángulo mide 39,36 decímetros, y su base, 18. Halla su perímetro y su área. El otro lado del rectángulo, a: a 3 9,362 182 35 dm P 2 18 2 35 106 dm A 18 35 630 dm2 El lado de un hexágono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del hexágono. a 2 02 102 17,32 cm A 20 6 2 17,32 1401 cm2 Halla la altura del trapecio de la figura sabiendo que su área es de 190 cm2. 190 (22 2 16) h h 190 37 2 10,27 cm Halla el área de la corona circular formada por dos circunferencias de 3 y 8 centímetros de radio. ¿Cuál es el área del trapecio circular de 90 ? ¿Y del trapecio de 40 ? A (82 32) 235,5 cm2 es el área de la corona circular. Área del trapecio de 90 A 4 23 2 5,5 117,75 cm2 Área del trapecio de 40 40 3 6 (8 0 2 32) 20,58 c,m2 Calcula la longitud de las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 centímetros de lado. El radio de la circunferencia inscrita es la mitad del lado del cuadrado, r 4 cm. L 2 4 25,12 cm. El radio de la circunferencia circunscrita es la mitad de la diagonal del cuadrado. r d 2 5,66 cm ⇒ L 2 5,66 35,54 cm El área de un sector circular dibujado en un círculo de 9 decímetros de diámetro es de 8,84 dm2. Calcula el número de grados que abarca. 8,84 3 4 6 , 0 5 2 n ⇒ n 8, 84 4 3 ,5 6 2 0 50,05 Con centro en el de una circunferencia de 106,81 centímetros de longitud, se ha trazado otra cuyo radio es 4 centímetros menor que el de aquella. Calcula el área de la corona circular que determinan. 106,81 2 R ⇒ R 17 cm mide el radio de la circunferencia mayor. r 13 cm mide el radio de la menor. A (172 132) 376,8 cm2 es el área de la corona circular. 8.38 8.37 8 2 82 2 8.36 8.35 16 cm 22 cm 8.34 8.33 8.32 8.31 Halla el perímetro y el área de la siguiente figura. Dibuja un polígono que tenga la misma área. ¿Tiene también el mismo perímetro? P 6 2 16 2 2 2 219,06 cm2 A 6 16 22 22 6 16 96 cm2 El polígono de igual área es un rectángulo de lados 16 y 6 cm, y perímetro: 6 2 16 2 12 32 44 cm, que es distinto del de la figura del ejercicio. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras planas, cuyas medidas vienen dadas en centímetros. a) b) a) Altura del triángulo: 2 02 1 02 17,32 cm ⇒ Atriángulo 20 2 17,32 137,2 cm2 Asemicírculo 102 314,16 cm2 Atotal 137,2 3 314,16 1076,68 cm2 P 3 2 10 188,4 cm b) P 8 4 2 6 4 40 cm La altura de los paralelogramos, si la base es de 4 cm, es la del triángulo isósceles de base 8 cm y lados iguales a 6 cm: h 6 2 42 4,47 cm. A 2 4 4,47 35,76 cm2 Calcula el perímetro y el área de la figura siguiente. La figura está formada por 2 trapecios isósceles y un triángulo equilátero. Trapecio superior: h 5 2 (6 3)2 4 cm ⇒ A (6 2 3) 4 18 cm2 Trapecio inferior: A (3 2 7) 18 90 cm2 Lados iguales: l 1 82 ( 7 3) 2 18,44 cm Triángulo equilátero: h 72 3 ,52 6,06 ⇒ A 7 2 6,06 21,21 cm2 Área de la figura: A 18 90 21,21 129,21 cm2 P 7 2 18,44 2 5 2 6 66,88 cm 8.41 16 cm 8 cm 6 cm 20 cm 8.40 8.39 16 cm 6 cm 6 cm 18 cm 5 cm 7 cm 3 cm Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos Halla el área total y el volumen de las siguientes figuras. a) Un cilindro de 19 centímetros de diámetro y 10 de altura. b) Un ortoedro de 20 decímetros de largo, 8 de ancho y 9 de alto. c) Una esfera de 32 centímetros de diámetro. a) A 2 9,52 2 9,5 10 1163,96 cm2 V 9,52 10 2835,29 cm3 b) A 2 20 8 2 20 9 2 8 9 824 cm2 V 20 8 9 1440 cm3 c) A 4 162 3217 cm2 V 4 3 163 17 157,28 cm3 Halla el área lateral de estos cuerpos geométricos. a) AL 2 10 24 1507,97 cm2 b) AL 4 7 12 336 cm2 Calcula el volumen de las siguientes figuras geométricas. a) b) a) Apotema de la base: a 102 52 8,66 cm ⇒ V 6 10 2 8,66 25 6495 cm3 b) Altura del triángulo de la base: h 82 4 2 6,93 cm ⇒ V 8 2 6,93 14 388,08 cm3 El área de un cubo es de 864 cm2. Calcula su volumen. 864 6 l2 ⇒ l 86 4 4 12 cm mide el lado del cubo. V 123 1728 cm3 Calcula el volumen de los siguientes objetos. a) V 20 16 18 1 3 20 16 12 V 7040 cm3 b) V 123 62 12 3085,17 dm3 12 dm 12 dm 20 cm 18 cm 16 cm 12 cm 8.46 8.45 8 cm 14 cm 10 cm 25 cm 8.44 7 dm 12 dm 10 cm 24 cm 8.43 8.42 Halla el área total de las figuras del ejercicio anterior. a) Altura de las caras laterales de la pirámide cuyas bases son 20 cm: h 1 22 1 02 15,62 cm Altura de las caras laterales de la pirámide cuyas bases son 16 cm: h 1 22 8 2 14,42 cm A 20 16 4 16 18 2 20 2 15,62 2 16 2 14,42 2015,12 cm2 b) Área del cubo sin la cara superior: A 5 122 1440 dm2 Área lateral del cilindro y de la base superior: A 2 6 12 62 150,80 dm2 Área de la cara superior del cubo quitando la base del cilindro: A 122 62 30,90 dm2 Área total de la figura: A 1440 150,80 30,90 1621,70 dm2 Calcula el volumen comprendido entre una esfera de 8 centímetros de radio y un cilindro dentro de ella de 3 centímetros de diámetro y 10 de altura. Haz un dibujo de la composición. V 4 3 83 1,52 10 2215,35 cm3 Calcula el área y el volumen de la caja de la figura, suponiéndola cerrada. A 2 8 10 2 8 2 2 10 52 5 2 A 321,95 cm2 V 8 10 2 2 52 2 238,54 cm3 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Señala en tu cuaderno si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) El volumen de un cuadrado se obtiene elevando al cubo la medida de su lado. b) La medida de la superficie habitable de un apartamento es de 50 metros. c) El volumen de un cuerpo geométrico se puede relacionar con su capacidad. d) El perímetro de un triángulo es el triple de su lado. a) Falsa. El cuadrado no tiene volumen. b) Falsa. La superficie se mide en unidades cuadradas. c) Verdadera. 1 dm3 1 l. d) Falsa. Es la suma de sus lados y solo es igual al triple cuando el triángulo es equilátero. Con dos triángulos rectángulos isósceles cuyos catetos miden 6 centímetros se pueden formar dos figuras de igual área: un cuadrado de 6 centímetros de lado, y un triángulo isósceles de 12 centímetros de base y 6 de altura. Dibuja las dos figuras y demuestra que tienen la misma área. ¿Tienen también el mismo perímetro? Área del cuadrado: 62 36 cm2 Área del triángulo: 12 2 6 36 cm2 Perímetro: 4 6 24 cm Lados iguales: 6 2 62 8,49 cm No tienen el mismo perímetro. Perímetro: 12 2 8,49 28,98 cm 6 cm 12 cm 8.51 8.50 8.49 8.48 8.47 Considera un prisma y una pirámide que tienen la misma base y altura. ¿Cuántas pirámides se necesitan para obtener el mismo volumen del prisma? Se necesitan 3 pirámides. Si se divide un cuadrado en dos rectángulos al unir los puntos medios de dos lados opuestos, y en dos triángulos, al trazar una diagonal, ¿el área del rectángulo y el triángulo formados es la misma? Sí, ya que en los dos casos el área es a 2 2 . ¿De qué manera habrá que unir dos cilindros iguales para que su área sea exactamente el doble que la de uno de ellos? Dibújalo. ¿Cómo habrá que colocarlos para que no se cumpla lo anterior, aun estando unidos? En el primer caso se deben colocar unidos por la generatriz. En el segundo, unidos por una de sus bases. ¿Qué relación tienen el área de un tetraedro y la de un cubo con la misma arista? Ayúdate de un ejemplo para responder a la pregunta. Si tienen de arista 4 cm, por ejemplo, Vc ubo 43 64 cm3. Para hallar el área de la base del tetraedro hay que calcular primero la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado: h 4 2 22 3,46 cm. Área del triángulo de la base: 4 2 3,46 6,92 cm2 Para calcular la altura del tetraedro, en el triángulo rectángulo del dibujo, a es la tercera parte de la altura del triángulo de la base porque en un triángulo equilátero la altura coincide con la mediana: a 3,46 3 1,15 cm Por tanto, x 3 ,462 1,152 3,26 cm Vtetraedro 1 3 6,92 3,26 7,53 cm3 64 7,53 8,5 El volumen del cubo es 8,5 veces el del tetraedro. P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R En el abanico del dibujo, calcula el área de la zona coloreada. A 1010,95 cm2 (402 302) 75 360 8.56 8.55 h f h h h f f f 8.54 8.53 8.52 x a 3,46 En la fiesta de cumpleaños de Nerea se han preparado unos sándwiches con unas rebanadas de pan con forma de prisma cuadrangular de 10 centímetros de lado de la base y 15 milímetros de altura. Contesta a las siguientes preguntas. a) En el centro de la rebanada superior de cada sándwich se ha recortado un trozo circular de 2 centímetros de radio para decorarlo. ¿Qué cantidad de pan queda en la rebanada superior? b) Nerea quiere tirar el pan del círculo recortado, y su madre, no, porque dice que con él se podría alimentar a muchas personas. Si se han preparado 50 sándwiches, ¿cuánto pan se perdería con todos los recortes? ¿Cuántas rebanadas como las utilizadas se podrían hacer con él? a) Vrebanada 102 0,1 1000 cm3 b) 50 1,26 cm3 63 cm3 Vrecorte 22 0,1 1,26 cm3 No se podría hacer ni una sola rebanada de pan. Vqueda 1000 1,26 998,74 cm3 En una fábrica de golosinas se han preparado 600 kilogramos de caramelo de fresa para hacer piruletas y caramelos como los de la figura. a) Si solo se hacen piruletas, ¿cuántas se pueden preparar? b) ¿Y cuántos caramelos, si solo se elaboran de este tipo? c) Si cada piruleta se vende a 0,75 euros y cada caramelo a 0,90, estudia la opción más rentable: hacer solo piruletas, solo caramelos o la mitad de cada uno de ellos. a) V 3,52 1 38,48 cm3 0,03848 kg ⇒ 600 0,03848 15 592,52 piruletas 15 592 piruletas b) V 4 3 2,53 65,45 cm3 0,06545 kg ⇒ 600 0,06545 9176,30 caramelos 9176 caramelos c) Solo piruletas: 15 592 0,75 11 694 € Solo caramelos: 9176 0,90 8258,40 € Mitad de piruletas y mitad de caramelos: 7796 0,75 4588 0,90 9976,20 € Lo más rentable es hacer solo piruletas. En unos recipientes cilíndricos de 6 metros de diámetro y 6 de altura se ha preparado cera para elaborar velas. Unas tienen forma de prisma cuadrangular de 7 centímetros de lado de la base y 10 de altura, y otras, forma cilíndrica de 9 centímetros de diámetro de la base y 10 de altura. Para hacer un pedido de 2000 velas con forma de prisma y 300 con forma de cilindro, ¿es suficiente con uno de los recipientes de cera? Vrecipiente 32 6 169,65 m3 de cera se hace en el recipiente. Vprisma 72 10 490 cm3 Vcilindro 32 10 282,74 cm3 En total se gastan: 2000 490 300 282,74 1 064 822 cm3 1,06 m3 se utilizan en las velas. Por tanto, hay suficiente. En una ciudad se han colocado 60 farolas formadas por cuatro trapecios isósceles de cristal de 20 milímetros de grosor, adornado con un borde de forja, como los de la figura. a) ¿Cuánto cristal ha sido necesario en la construcción de todas las farolas? b) Suponiendo que el adorno de hierro tiene un grosor tan fino que se puede considerar una figura plana, ¿qué cantidad de este metal se ha empleado en total? a) V (60 2 40) 50 0,2 500 cm3 de cristal se han empleado en la construcción de cada farola. 60 500 30 000 cm3 de cristal se han utilizado entre todas ellas. 8.60 8.59 8.58 8.57 b) La cantidad de hierro es el área comprendida entre los dos trapecios de la figura: A Atrapecio mayor Atrapecio menor (60 2 50) 40 (52 2 42) 32 A 2200 736 1474 cm2 de hierro se han utilizado. Paula ha comprado 5 kilogramos de tierra para plantas. Va a utilizar 3 macetas con forma de ortoedro de 45 centímetros de largo, 20 de ancho y 15 de alto, y otras 4 macetas con forma troncocónica de 25 centímetros de diámetro superior, 18 de diámetro de la base y 23 de altura. Sabiendo que la densidad de la tierra es de 300 kilogramos por metro cúbico, ¿tendrá suficiente tierra para llenar todas las macetas? Vortoedro 45 20 15 13 500 cm3 ⇒ 3 13 500 40 500 cm3 de tierra se utiliza en las macetas con forma de ortoedro. Para hallar el volumen de las macetas troncocónicas, hallamos primero la altura del cono si estuviera completo. Por Tales: h 9 23 12 h ,5 ⇒ 9h 12,5h 287,5 ⇒ h 28 3 7 ,5 ,5 82,14 cm Vtroncocónicas 1 3 ( 12,52 82,14 92 59,14) 2681,35 cm3 ⇒ Vtroncocónicas ⇒ 4 2681,35 10 725,4 cm3 En total se han utilizado: 40 500 10 725,4 51 225,4 cm3 51,23 dm3 51,23 kg. Por tanto, no tiene suficiente tierra. R E F U E R Z O Áreas de figuras planas Calcula el perímetro y el área de estas figuras. a) Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 38 centímetros, y uno de sus catetos, 16. b) Un cuadrado cuya diagonal mide 50 centímetros. c) Un rombo de diagonales 16 y 12 centímetros. a) El otro cateto: b 3 82 1 62 34,47 cm P 38 16 34,47 88,47 cm A 1 2 16 34,47 274,76 cm2 b) l 5 2 02 35,36 cm mide el lado. P 4 35,36 141,44 cm A 35,362 1250,33 cm2 c) l 8 2 62 10 cm P 4 10 40 cm A 16 2 12 96 cm2 Calcula el área de las siguientes figuras. a) Un sector circular de 8 centímetros de radio y un ángulo de 36 . b) La corona circular comprendida entre dos circunferencias de 19 y 34 centímetros de diámetro cada una de ellas. a) A 3 8 6 2 0 36 20,11 cm2 b) A (172 9,52) 624,39 cm2 8.63 8.62 8.61 60 50 42 52 9 23 12,5 h Calcula el área de la parte coloreada de las figuras compuestas presentadas a continuación. a) A 42 8 2 4 34,27 cm2 b) Son 3 triángulos equiláteros de 7,5 cm de lado. La altura: h 7 ,52 3,752 6,5 cm A 3 7,5 2 6,5 73,13 cm2 Calcula el perímetro y el área de esta figura. Para hallar el perímetro es necesario calcular la medida de los lados iguales del triángulo: l 1 ,712 12 l 1,98 cm P 2 7 (20 2) 5 2 1,98 7 (20 2) P 60,96 cm A 2 7 (20 7) 2 5 2 2 2 1,71 61,71 cm2 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos Calcula el área total y el volumen de las figuras indicadas a continuación. a) Un prisma pentagonal regular de 30 centímetros de perímetro en su base, 11 de altura y 3,44 de apotema. b) Un cono de 17 decímetros de diámetro en su base y 25 de altura. a) El lado de la base es 30 5 6 cm. b) La generatriz del cono: g 2 52 8 ,52 26,41 cm A 2 30 2 3,44 5 6 11 433,2 A 8,52 2 8,5 26,41 1637,46 dm2 V 30 2 3,44 11 567,6 cm3 V 1 3 8,52 25 1891,5 dm3 Halla el volumen de la figura geométrica representada a la izquierda. La altura del cono: h 2 02 5 2 19,36 cm V 1 3 52 19,36 4 52 821 cm3 ¿Qué cantidad de chapa se necesita para hacer una esfera hueca de 5 metros de diámetro? ¿Cuánta agua cabe en su interior? 461,81 0,1752 h ⇒ h 0,1 4 7 6 5 1 2 ,8 1 4,8 cm A 2 0,1752 2 0,175 4,8 5,47 cm2 8.68 20 cm 10 cm 8.67 8.66 8.65 15 cm 4 dm 8.64 1,71 cm 7 cm 5 cm 7 cm 18 cm 2 cm 2 cm Halla la altura y el área total de un cilindro de 461,81 cm3 de volumen si el radio de la base mide 35 milímetros. Ab 4 3 r3 179,60 cm2 ⇒ h A V b 2,57 cm At 2 Ab Alateral 2 179,60 2 r h 415,74 cm2 En el interior de este cubo se ha colocado una esfera tangente a sus caras. Calcula el volumen que queda entre ambas figuras. V 223 4 3 113 5072,72 cm3 A M P L I A C I Ó N El volumen de un cilindro es de 24033,18 dm3 y su altura mide 340 centímetros. ¿Cuál es su radio? 24 033,18 r2 34 r 24 3 0 4 3 3 ,18 15 dm Calcula el área de la parte coloreada de la figura representada. Asegmento circular Asector circular Atriángulo Asector circular 3 5 6 2 0 60 13,09 cm2 Para hallar el área del triángulo, hay que calcular su base y su altura. En principio es isósceles, puesto que dos de sus lados son iguales al radio de la circunferencia y, por tanto, los ángulos que forman estos con el segmento que delimita la zona a calcular son iguales: 180 2 60 60 mide cada uno de ellos. Se trata, entonces, de un triángulo equilátero y el lado desconocido mide también 5 cm. h 5 2 2, 52 4,33 cm ⇒ Atriángulo 5 2 4,33 10,83 cm2 Asegmento circular 13,09 10,83 2,26 cm2 En el interior de una esfera de 13 decímetros de diámetro hay una pirámide triangular de 8 decímetros de lado y 6 de altura. ¿Qué volumen queda entre los dos cuerpos geométricos? V Vesfera Vtetraedro Vesfera 4 3 6,52 178,07 dm3 Para hallar el área de la base de la pirámide hay que calcular primero la altura de un triángulo equilátero de 8 dm de lado: h 8 2 42 6,93 dm Área del triángulo de la base: 8 2 6,93 27,72 dm2 Vpirámide 1 3 27,72 6 55,44 dm3 V 178,07 55,44 122,63 dm3 es el volumen entre los dos cuerpos. 8.73 8.72 8.71 22 cm 8.70 8.69 5 cm 60º La diagonal de un cubo es de 7 3 centímetros. Calcula su área y su volumen. ¿Cuál es el radio de una esfera circunscrita al cubo? Si l es el lado del cuadrado, la diagonal de una cara es: d l 2 l2 2 l2 2l. La diagonal del cubo: D ( 2l )2 l2 2 l2 l 2 3 l ⇒ 7 3 3 l ⇒ l 7 cm A 6 72 294 cm2 V 73 343 cm3 R Estudia cómo varía el volumen de un cilindro de radio r y altura h en cada uno de los siguientes casos. a) Su altura aumenta el doble. b) Su radio disminuye a la mitad. c) Su altura aumenta el doble y su radio también. El volumen del cilindro es: V r2 h. a) V r2 2h 2 r2 h 2V El volumen también aumenta el doble. b) V 2 r 2 h 1 4 r2 h 1 4 V El volumen disminuye a la cuarta parte. c) V (2r)2 2h 8 r2 h 8 V El volumen se multiplica por 8. Halla el área total y el volumen del tronco de pirámide representado a la derecha. Para hallar el área de una cara lateral es necesario calcular su altura: h 1 02 12 2 6 2 9,54 cm Alateral 4 (12 6 2 ) 9,54 343,44 cm2 Atotal 122 62 343,44 523,44 cm2 Para obtener el volumen, hay que conocer la altura de la pirámide de la que se obtuvo este tronco: h 6 h 3 9,54 ⇒ 6h 57,24 3h ⇒ h 19,08 cm V 1 3 122 19,08 1 3 62 (19,08 9,54) 801,36 cm3 Unos módulos para guardar ropa debajo de la cama tienen la base con forma de sector circular de 60 centímetros de radio y ángulo de 80 . La altura de los mismos es de 20 centímetros. ¿Qué capacidad tienen? Si la base fuera un círculo completo, la figura sería un cilindro, de modo que es una parte de él. Asector 6 3 0 6 2 0 80 2513,27 cm2 V 2513,17 20 50 263,40 cm3 8.77 8.76 8.75 7 3 2 8.74 3 12 cm 6 10 cm 6 cm 9,54 P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Logotipo A continuación se muestra el logotipo de una marca de coches. Su contorno exterior es un hexágono regular, y en el interior incluye otro hexágono, también regular. En el diseño hay únicamente zonas de color gris y zonas de color naranja, tal y como muestra la figura. a) Calcula en qué proporción está el área de color gris respecto del área de color naranja. b) Halla dichas áreas si el lado del hexágono interior es de un centímetro. Apotema del hexágono exterior: 2 3 a Apotema del hexágono interior: 8 3 a Altura de los trapecios isósceles: 2 3 8 3 a 3 8 3 a Área de un trapecio: 7 6 4 3 a2 Área naranja: 6 7 6 4 3 a2 3 4 3 a2 Área gris: 3 4 3 a2 3 2 3 a2 3 4 3 a2 3 4 3 a2 a) 1 b) 3 4 3 a2 cm2 Bolas de colores En la siguiente disposición se verifica que: • En cualquier caso, las cuatro bolas de un mismo color son los vértices de un cuadrado. • Cualquier bola roja es el punto medio de un segmento cuyos extremos son dos bolas grises. • Cualquier bola azul es el punto medio de un segmento cuyos extremos son dos bolas rojas. • Cualquier bola amarilla es el punto medio de un segmento cuyos extremos son dos bolas azules. • Cualquier bola naranja es el punto medio de un segmento cuyos extremos son dos bolas amarillas. • Cualquier bola de color negro es el punto medio de un segmento cuyos extremos son dos bolas naranjas. Si la distancia entre dos bolas grises es de 10 centímetros, calcula las áreas de los cuadrados determinados por las bolas del mismo color y halla la distancia entre dos bolas negras consecutivas. Áreas de los cuadrados de extremos: Grises: 100 Rojos: 50 Azules: 25 Amarillos: 12,5 Verdes: 6,25 Negros: 3,125 Distancia entre dos bolas negras: 3 ,125 1,768 cm 8.79 3 4 3 a2 3 4 3 a2 6a 2 3 a 2 3 2 a 8 3 a 2 3 a 4 a 3 8 3 a 2 8.78 G R G G R G R R Na Na Na Na Am Am Am A Am A A A N N N N a–4 a–3 a–3 a–3 a N N N N N N G G G G G G A U T O E V A L U A C I Ó N Calcula el perímetro y el área de: a) Un cuadrado de 18 centímetros de diagonal. b) Un octógono regular de 7 centímetros de lado y 5,3 de apotema. a) 182 2 ⇒ l2 ⇒ l 12,73 cm; por tanto, P 50,91 cm y A 162 cm2 b) P 8 7 56 cm2 A p 2 a 56 2 5,3 148,40 cm2 Halla el área de las figuras siguientes. a) b) a) htrapecio 52 17 2 14 2 4,77 cm b) htriángulo 2 02 14 2 14,28 cm A (17 1 2 4) 4,77 73,94 cm2 A 282 28 2 14,28 983,92 cm2 Calcula el área de la zona coloreada. a) a) A Acírculo Atriángulo Acírculo 122 452,39 cm2 La altura del triángulo: h 2 02 1 02 17,32 cm Atriángulo 20 2 17,32 173,2 cm2 A 452,39 173,2 279,18 cm2 b) b) A Acuadrado Asemicírculo Atriángulo Acuadrado 102 100 cm2 Asemicírculo 1 2 52 39,27 cm2 Atriángulo 10 2 5 25 cm2 A 100 39,27 25 35,73 cm2 Calcula el área total de las siguientes figuras. a) Un prisma pentagonal de 6 centímetros de lado, 3,8 de apotema y 18 de altura. b) Un cono de 24 centímetros de generatriz y 6 de radio de base. c) Una pirámide con 2 lados verticales de 15 cm de altura cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de 8 cm de hipotenusa. a) A 2 Ab Alateral 2 P 2 a P h 2 5 6 2 3,8 5 6 18 654 cm2 b) A 62 2 6 24 1017,88 cm2 8.A4 10 cm 12 cm 20 cm 8.A3 28 cm 20 cm 20 cm 14 cm 17 cm 5 cm 8.A2 8.A1 c) Los catetos de la base miden: c 8 2 2 5,66 cm2. Para calcular la altura del triángulo lateral cuya base es la hipotenusa del triángulo de la base, consideramos el triángulo rectángulo de catetos la altura de la pirámide, 15 cm, y la tercera parte de la mediana (que coincide con la altura sobre la hipotenusa) del triángulo de la base. Altura sobre la hipotenusa: a 5 ,662 42 4 cm Altura del triángulo lateral: b 4 2 15 2 15,52 cm A 5,6 2 62 2 5,66 2 15 8 1 2 5,52 163 cm2 Halla la altura de un cilindro de 5852,79 dm3 de volumen y 23 decímetros de diámetro. 5852,79 11,52 h ⇒ h 5 1 8 1 5 , 2 5 , 2 7 9 14,09 dm Calcula el radio de una esfera de 0,18 m3 de volumen. 0,18 4 3 r3 ⇒ r 3 0,1 4 8 3 0,35 m Halla el volumen de la zona sombreada: a) V Vcubo Vcono b) V Vortoedro Vpirámide Vcubo 283 21 952 cm3 Vortoedro 16 9 5 Vcono 122 12 5428,67 cm3 Vpirámide 1 3 16 9 25 V 21 952 54 28,67 16 523,33 cm3 V 1920 cm3 M A T E T I E M P O S El área mínima de un triángulo Todas las rectas de ecuación y ax 1 forman triángulos con los ejes de coordenadas para diferentes valores de a(a 0). Calcula el valor de a para que el triángulo sea isósceles. ¿Qué valor debe tener para que el área del triángulo sea mínima? El valor de a podrá ser positivo si la recta es creciente o negativo si es decreciente, y siempre la recta pasará por el punto (0, 1). Analicemos la recta decreciente (la recta creciente será simétrica al eje x 0 y tendrá los mismos resultados). El área será: A b 2 1 b 2 El área del triángulo será mínima cuando b se acerque a cero, luego el área tenderá a cero. El triángulo será isósceles cuando b 1 y la recta pase por el punto (1, 0). Entonces, a 1. También será isósceles si b 1 y la recta pasa por el punto ( 1, 0). Entonces, a 1. 7 PROBLEMAS MÉTRICOS E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente. Halla las medidas de sus ángulos. Cp arcsen 2 4 30 Bp 90 30 60 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos. c2 82 62 ⇒ c 10 cm 8 2 6 10 2 h ⇒ h 4,8 cm 82 m 10 ⇒ m 6,4 cm 62 n 10 ⇒ n 3,6 cm Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B. ¿Qué anchura tiene el río? Bp 180 100 30 50 se 1 n 0 5 0 0 sen d 30 ⇒ d 100 se n s 5 e 0 n 30 65,27 m Resuelve estos triángulos. a) a 25 m, b 20 m, Ap 90 b) a 6 cm, Bp 45 , Cp 105 c) a 10 mm, c 7 mm, Bp 30 a) Triángulo rectángulo; c2 252 202 225 ⇒ c 15 m Bp arcsen 2 2 0 5 53 7 48 Cp 36 52 12 b) Ap 180 45 105 30 sen 6 30 sen b 45 sen c 105 b 6 s s e e n n 3 4 0 5 8,49 cm c 6 s s e e n n 3 1 0 0 5 11,59 cm c) b2 102 72 2 10 7 cos 30 ⇒ b2 27,76 ⇒ b 5,27 mm 102 72 5,272 2 7 5,27 cos Ap ⇒ cos Ap 0,315 ⇒ Ap = 108,35 Cp 180 30 108,35 41,65 7.4 7.3 7.2 7.1 B b 2 cm C 4 cm c 8 cm 6 cm m n h Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros de radio? 72 122 122 2 12 12 cos ⇒ cos 0,83 ⇒ 33,92 Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70 . Sus medidas son 7 y 8 centímetros. a) Calcula la longitud de la diagonal menor. b) Halla el área del paralelogramo. a) d2 72 82 2 7 8 cos 70 74,694 ⇒ d 8,643 cm b) sen 70 h 7 ⇒ h 6,578 cm A 8 6,578 52,624 cm2 El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. El radio de la circunferencia inscrita se corresponde con la apotema: r El radio de la circunferencia circunscrita se corresponde con el radio del octógono: R Ángulo central 360 8 45 2 180 45 135 67,5 sen 12 45 sen 6 R 7,5 ⇒ R 15,68 m r2 15,682 62 209,86 r 14,49 m Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio. Ángulo central 360 5 72 2 180 72 108 54 sen 10 54 sen x 72 ⇒ x 11,76 cm a2 102 5,882 65,43 ⇒ a 8,09 cm A 11,76 2 5 8,09 237,85 cm2 Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos. a) b) c) d) a) a2 32 1,52 6,75 ⇒ a 2,6 cm ⇒ Abase 3 6 2 2,6 23,4 cm2; Alateral 3 6 8 144 cm2 Atotal 23,4 2 144 190,8 cm2 b) h2 22 12 3 ⇒ h 1,73 m ⇒ Atriángulo 2 2 1,73 1,73 m2 ⇒ Atetraedro 4 1,73 6,92 m2 c) Ap 90 70 20 ⇒ sen 4 20 sen h 70 ⇒ h 4 se se n n 2 7 0 0 10,99 m ⇒ ⇒ Alateral 4 4 10,99 175,84 m2 ⇒ Atotal 2 4 4 175,84 207,84 m2 d) Alateral 2 3 8 48 dm2; A2semiesferas 4 32 36 dm2 ⇒ Atotal 48 36 ⇒ Atotal 84 dm2 7.9 7.8 7.7 7.6 7.5 8 cm d 7 cm h 3 cm 8 cm 2 m 70° 4 m 4 m 6 dm 8 dm Halla el volumen de estos cuerpos. a) b) c) d) a) sen 7 72 sen R 54 ⇒ R 5,95 cm ⇒ a2 5,952 3,52 23,15 ⇒ a 4,81 cm ⇒ ⇒ Abase 7 5 2 4,81 84,18 cm2 V 84,18 3 16 448,96 cm3 b) tg 60 5 r ⇒ r 2,89 cm V 3 r2h 4 3 2 r3 2, 3 8925 4 2 2 ,893 94,24 cm3 c) tg 50 b 6 ⇒ b 7,15 cm Abase 6 2 7,15 21,45 cm2 ⇒ V 21,45 10 214,5 cm3 d) R 14 2 7 m r (14 5 2) 2 2 m V R2h r2h 723 223 135 m3 423,9 m3 R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60 con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita? x 10 cos 60 5 cm ⇒ R 10 5 15 cm Alateral (15 10) 20 500 cm2 Abase 102 100 cm2 Amaceta 500 + 100 = 600 cm2 ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los radios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de 60 con el suelo? h2 202 102 300 ⇒ h 17,32 cm V 102 3 17,32 1812,83 cm3 H2 402 202 1200 ⇒ H 34,64 cm V 202 3 34,64 14 502,61 cm3 Vtronco 14 502,61 1812,83 12 689,78 cm3 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Resolución de triángulos rectángulos Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos. a) b) c) d) 7.13 7.12 7.11 7.10 7 cm 16 cm 5 cm 60° 6 cm 50° 10 cm 3 m 14 m 5 m 10 cm 20 cm x 60° B A C 60° 12 cm B C 40° 9 cm C B A 11 cm 11 cm 10 cm 20 cm C A B a) Cp 90 30 60 sen 30 1 c 2 ⇒ c 6 cm sen 60 1 b 2 ⇒ b 63 cm 10,39 cm b) Bp Cp 45 a2 112 112 ⇒ a 11 2 cm 15,56 cm c) Bp 90 40 50 sen 40 9 c ⇒ c 14 cm ⇒ tg 50 b 9 ⇒ b 10,73 cm d) a2 202 102 300 ⇒ a 10 3 cm 17,32 cm ⇒ sen Bp 1 2 0 0 ⇒ Bp 30 ; Ap 60 Resuelve los triángulos sabiendo que Cp es un ángulo recto. a) Ap 55 , a 18 cm b) c 10 cm, b 6 cm c) a 18 cm, b 15 cm a) Bp 90 55 35 sen 55 1 c 8 ⇒ c sen 18 55 21,97 cm b 21,97 sen 35 12,6 cm b) a2 102 62 64 ⇒ a 8 cm sen Bp 1 6 0 0,6 Bp arcsen 0,6 36,87 Ap 90 36,87 53,13 c) c2 182 152 549 ⇒ c 23,43 cm sen Bp 23 1 , 5 43 0,64 Bp = arcsen 0,64 39,81 Ap 90 39,81 50,19 Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado. h2 122 62 ⇒ h 1 08 10,39 cm El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80 . ¿Cuál es la medida de la altura sobre este lado? tg 40 h 8 ⇒ h tg 8 40 9,53 m Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros. Halla la longitud de los lados. c 6,4 3,6 10 cm mide la hipotenusa. a2 m c ⇒ a2 6,4 10 64 ⇒ a 8 cm b2 n c ⇒ b2 3,6 10 36 ⇒ b 6 cm La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo. c m n ⇒ m 20 4 16 cm a2 m c ⇒ a2 16 20 320 ⇒ a 17,89 cm b2 n c ⇒ b2 4 20 80 ⇒ b 8,94 cm tg Ap 1 8 7 , , 9 8 4 9 ⇒ Ap 63,45 ⇒ Bp 90 63,45 26,55 La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26 . ¿Cuánto mide el lado del rombo? cos 26 4 c ⇒ c cos 4 26 4,45 cm mide el lado. 7.19 7.18 7.17 7.16 7.15 7.14 Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo. Trazando la altura desde el vértice superior derecho se obtiene un triángulo rectángulo. tg 7 3 ⇒ 66,80 360 90 2 66,80 113,20 Resolución de triángulos cualesquiera Resuelve estos triángulos. a) b) a) a2 182 202 2 18 20 cos 95 786,75⇒a 28,05 m b) Bp 180 80 35 65 s 2 e 8 n , 9 0 5 5 se 1 n 8 Ap ⇒ sen Ap 18 2 8 s , e 0 n 5 95 ⇒ Ap 39,74 sen 6 35 sen c 80 ⇒ c 6 s s e e n n 8 3 0 5 10,30 m Bp 180 95 39,74 45,60 sen 6 35 sen b 65 ⇒ b 6 s s e e n n 6 3 5 5 9,48 m Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso. a) Ap 56 , b 14 cm, c 8 cm c) a 38 cm, b 46 cm, c 22 cm b) Bp 45 , Cp 75 , a 25 cm d) Ap 42 , Cp 65 , b 14 cm a) a2 82 142 2 8 14 cos 56 134,74 ⇒ a 11,61 cm s 1 e 1 n , 5 6 6 1 se 8 n Bp ⇒ sen Bp 8 1 s 1 e ,6 n 1 56 ⇒ Bp 34,84 Cp 180 56 34,84 89,16 b) Cp 180 45 75 60 sen 25 60 sen b 45 ⇒ b 25 s en se 6 n 0 45 20,41 cm c2 252 20,412 2 25 20,41 cos 75 777,44 ⇒ c 27,88 cm c) 382 462 222 2 46 22 cos Ap ⇒ cos Ap 38 2 2 4 4 6 6 2 2 2 2 22 ⇒ Ap 55,17 sen 5 3 5 8 ,17 se 4 n 6 Bp ⇒ sen Bp 46 se 3 n 8 55,17 ⇒ Bp 83,54 Cp 180 55,17 83,54 41,29 d) Bp 180 42 65 73 sen a 42 sen 14 73 ⇒ a 14 s en se 7 n 3 42 9,80 cm sen c 65 sen 14 73 ⇒ c 14 s en se 7 n 3 65 13,27 cm 7.22 7.21 7.20 B A D C 12 cm 7 cm 9 cm 12 cm α 3 cm 9 cm 7 cm β 18 m 20 m 95° 80° 35° 6 m Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es? c2 192 132 2 19 13 cos 50 212,46 ⇒ c 14,58 cm Es escaleno. Resuelve los siguientes triángulos. a) a 3 cm, c 2 cm, Cp 140 b) a 19 cm, b 8 cm, Bp 62 a) sen 2 140 sen 3 Ap ⇒ sen Ap 3 se 2 n 140 0,96 ⇒ Ap 74,62 . No es posible. b) sen 8 62 se 1 n 9 Ap ⇒ sen Ap 19 s 8 en 62 2,1. No es posible. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo. La diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos de los que se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. El tercer ángulo es Cp 180 25 95 60 . Por el teorema del seno: sen 18 95 sen c 60 ⇒ c 18 s en se 9 n 5 60 15,65 cm mide la diagonal. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura. La suma de los ángulos interiores de un pentágono es 180 3 540 . Cada uno de ellos mide: 540 5 108 . En los triángulos de la izquierda o derecha que se obtienen al trazar las diagonales se conocen dos de sus lados, 12 cm, y el ángulo comprendido entre ellos, 108 . d2 122 122 2 12 12 cos 108 199 ⇒ d 14,11 cm Longitudes y áreas de figuras planas Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 14,4 y 25,6 centímetros. Calcula el área del triángulo. Hipotenusa: c 14,4 25,6 40 cm Altura sobre la hipotenusa: h2 m n 14,4 25,6 368,64 ⇒ h 19,2 cm A 40 2 19,2 384 cm2 7.27 7.26 7.25 7.24 7.23 50° 13 cm 19 cm 18 cm 25° 45° 12 cm La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de 33 41 24 . Halla su perímetro y su área. 33 41 24 33,69 Si b es la base del rectángulo, y a, la altura: cos 33,69 28 b ,84 ⇒ b 28,84 cos 33,69 24 cm sen 33,69 28 a ,84 ⇒ a 28,84 sen 33,69 16 cm p 2 24 2 16 80 cm A 24 16 384 cm2 El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del octógono. La apotema y un radio, junto con la mitad del lado del octógono, forman un triángulo rectángulo. Un ángulo es la mitad del ángulo central formado por dos radios consecutivos. Ángulo central 36 8 0 45 El ángulo opuesto a la mitad del lado del octógono mide 22,5 . Si a es la apotema, tg 22,5 1 a 0 ⇒ a tg 2 1 2 0 ,5 24,14 cm. A 8 20 2 24,14 1931,2 cm2 Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetros y forman un ángulo de 70 . Sea r el radio de la circunferencia: r2 72 72 2 7 7 cos 70 64,48 ⇒ r 8,03 cm ⇒ l 2 r 50,43 cm Halla el área de este paralelogramo. Altura h sen 72 h 6 ⇒ h 5,71 cm A 9 5,71 51,39 cm2 Calcula el perímetro de este triángulo. sen 20 35 sen c 115 ⇒ c 20 s e s n e 3 n 5 1 15 31,60 cm Ap 180 35 115 30 A2 202 31,602 2 20 31,6 cos 30 303,9 ⇒ a 17,43 cm p 20 17,43 31,60 69,03 cm 7.32 7.31 7.30 7.29 7.28 9 cm 6 cm 72° 20 cm 35° 115° Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos. a) b) a) AB 92 81 cm2 b) El radio: r tg 1 6 2 0 6,93 cm AB 6,932 150,80 cm2 Altura: h 9 tg 60 15,59 cm La generatriz g sen 12 60 13,86 cm AT 4 9 15,59 2 81 723,24 cm2 AT 150,80 2 6,93 13,86 753,99 cm2 V 81 15,59 1262,79 cm3 V 1 3 150,8 12 603,2 cm3 Calcula el volumen del cilindro. h 26,08 cos 32,47 22 cm Diámetro: d 26,08 sen 32,47 14 ⇒ r 7 cm V 72 22 3386,64 cm3 Halla el área total y el volumen del ortoedro. Altura del ortoedro: h 18 tg 18,43 6 cm Lado de la base: 18 tg 23,96 8 cm AT 2 18 8 2 18 6 2 6 8 600 cm2 V 18 8 6 864 cm3 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos? Isósceles. Sus ángulos agudos miden 45 . Responde a las siguientes preguntas. a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo? b) ¿Y de un triángulo cualquiera? a) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado. b) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu respuesta. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas. 7.38 7.37 7.36 7.35 7.34 7.33 9 cm 12 cm 60° 26,08 cm 32,47° 18 cm 18,43° 23,96° Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar una diagonal, dos triángulos. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos? Son iguales. En los dos casos, el área es a 2 2 . Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes: a 30 cm, b 42 cm, c 23 cm, Ap 58 , Bp 35 y Cp 87 . ¿Es correcta la solución? No, porque al lado b, que es el mayor, le debe corresponder el ángulo mayor, y no es así. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos, ¿cuál es el más conveniente? Se pueden usar los dos teoremas. Es más conveniente el del coseno porque al ser un ángulo de entre 0 y 180 , si resulta positivo, es del primer cuadrante, y si resulta negativo, es del segundo, de modo que solo hay un ángulo en cada uno de los casos. Si por el contrario se utiliza el teorema del seno, solo se obtiene un valor del seno positivo que puede corresponder a un ángulo del primer cuadrante o del segundo y, por tanto, no queda totalmente determinado. ¿Se puede resolver un triángulo conociendo solo sus ángulos? Razona tu respuesta. No, porque los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, y si no se conoce uno de los lados, es imposible determinar de cuál de todos los triángulos semejantes se trata. Explica si es posible resolver un triángulo rectángulo conociendo la altura sobre la hipotenusa y la proyección de uno de los catetos sobre la misma. Con esos datos se puede calcular la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa y esta, al sumar las dos proyecciones. Luego, se calculan los catetos con el teorema del cateto, y con los tres lados se pueden hallar los ángulos del triángulo. Por tanto, sí es posible resolverlo. P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos determinados por las visuales? Se forma un triángulo isósceles, de modo que la medida del lado desigual es el diámetro de la Tierra: La distancia a la Tierra es la altura de ese triángulo. h 6 tg 37 9 8 40 269,11 km del centro d s 6 e 3 n 7 9 8 40 711,07 km de los puntos determinados por las visuales 7.44 7.43 7.42 7.41 7.40 7.39 Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas. ¿Tendrá que utilizar las escaleras o podrá bajar la mesa en el ascensor? Las medidas de la mesa son: a 144,22 cos 33,69 120 cm un lado. b 144,22 sen 33,69 80 cm el otro lado. Se puede bajar en el ascensor. Se invierten 6 segundos en la observación de un avión que sobrevuela un punto de la Tierra. En ese intervalo de tiempo, el avión ha cambiado ligeramente de posición. Si el avión se observa perpendicularmente a una altura de 1350 metros y lleva una velocidad de 600 kilómetros por hora, ¿qué ángulo diferencia las dos visuales del observador? La distancia entre las dos posiciones del avión es: s 600 km/h 6 seg 60 3 0 60 0 0 00 m/seg 6 seg 1000 m. El ángulo que diferencia las visuales es : tg 13 1 50 ⇒ 2 32,79 . Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia. Calcula el ángulo a que mide la paralaje. sen a 2 1 0 7 0 ,5 0 0,00875 ⇒ a 30 4,84 7.47 7.46 7.45 Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario? se 2 n 2 Ap sen 18 36 ⇒ sen Ap 22 s 1 e 8 n 36 ⇒ Ap 45,92 Cp 180 36 45,92 98,08 Hay que cortar 8,08 del ángulo Cp. El triángulo que se recorta es: Ap 180 8,08 45,92 126 sen 8 c ,08 sen 1 1 8 26 sen 4 b 5,92 ⇒ c 3,13 cm b 15,98 cm Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados. Calcula las distancias que faltan en el dibujo. se 2 n 3 8 6 5 s 1 e 2 n 0 Bp ⇒ sen Bp 120 23 se 6 n 85 ⇒ Bp 30,53 Dp 180 85 30,53 64,47 se 2 n 3 8 6 5 sen A 64 B ,47 ⇒ AB 236 se s n en 85 6 4,47 213,67 m Cp 180 49 63 68 se 2 n 3 6 6 8 sen BC 63 ⇒ BC 236 se n s 6 e 8 n 63 226,79 m se 2 n 3 6 6 8 sen DC 49 ⇒ DC 236 se n s 6 e 8 n 49 192,1 m 7.49 7.48 B 18 cm C A 8,08° 45,92° R E F U E R Z O Resolución de triángulos Calcula las medidas de los ángulos y de los lados desconocidos de estos triángulos. a) b) c) d) a) tg Bp 6 4 4 9 ⇒ Bp 52,56 Ap 90 52,56 37,44 c 4 92 6 42 80,60 cm b) cos Ap 1 3 6 8 ⇒ Ap 65,09 Bp 180 90 65,09 24,91 a 3 82 1 62 34,46 cm c) c co 1 s 8 42 24,22 cm Bp 180 90 42 48 b 24,22 sen 42 16,20 cm d) c sen 24 53 30,05 cm Bp 180 90 53 37 a 3 0,052 242 18,08 cm Resuelve estos triángulos. a) b) c) a) a2 192 252 2 19 25 cos 100 1150,97 ⇒ a 33,93 dm se 1 n 9 Bp se 3 n 3 1 ,9 0 3 0 ⇒ sen Bp 19 3 s 3 e ,9 n 3 100 ⇒ Bp 33,47 Cp 180 100 33,47 46,53 b) Cp 180 85 45 50 sen 15 50 sen b 85 ⇒ b 15 s en se 5 n 0 85 ⇒ b 19,51 dm sen 15 50 sen a 45 ⇒ a 15 s en se 5 n 0 45 ⇒ a 13,85 dm c) se 2 n 0 Bp sen 12 30 ⇒ sen Bp 20 1 s 2 e n 30 ⇒ Bp 56,44 Cp 180 30 56,44 93,56 sen 12 30 sen 9 c 3,56 ⇒ c 12 se se n n 3 9 0 3 ,56 ⇒ c 23,95 dm 7.51 7.50 64 cm 49 cm 16 cm 38 cm 18 cm 42° 24 cm 53° 19 dm 25 dm 100° 15 dm 85° 45° 20 dm 12 dm 30° Longitudes y áreas de figuras planas Calcula el perímetro y el área de estas figuras. a) b) a) b 19 tg 53,84 26 cm b) Lado del rombo: l sen 6 15 23,18 cm Diagonal mayor: D 2 tg 6 15 22,39 cm ⇒ D 44,78 cm p 2 26 2 19 90 cm p 4 23,18 92,72 cm A 26 19 494 cm2 A D 2 d 44,78 2 12 268,68 cm2 Halla el área y el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 9,6 centímetros. El cateto cuya proyección es 9,6, b: b2 9,6 20 ⇒ b 13,86 cm La proyección del otro cateto sobre la hipotenusa, m: m 20 9,6 10,4 cm El cateto, c: c2 10,4 20 ⇒ c 14,42 cm p 14,42 13,86 20 48,28 cm A 13,86 2 14,42 99,93 cm2 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos La generatriz de un cono mide 10 decímetros y el ángulo que forma esta con la altura del cono es de 36 . Calcula el área total y el volumen del cono. El radio, r 10 sen 36 5,88 dm Altura, h 10 cos 36 8,09 dm AL 5,88 10 184,63 dm2 AT 5,882 184,63 293,19 dm2 V 5,88 3 2 8,09 292,76 dm3 Calcula el volumen del prisma. b 13 sen 67,38 = 12 cm c 13 cos 67,38 = 5 cm V 12 2 5 24 720 cm3 A M P L I A C I Ó N Resuelve este triángulo. Si H es el punto de corte de la altura con la hipotenusa, HB 33,33 tg 53,13 44,44 dm. a CB cos 33 5 , 3 3 , 3 13 55,55 dm Ap 90 36,87 53,13 c 4 1,662 55,55 2 69,44 dm Bp 90 53,13 36,87 b sen 33 5 , 3 3 , 3 13 41,66 dm 7.56 7.55 7.54 7.53 7.52 19 cm 53,84° 67,38° 13 cm 24 cm 33,33 dm 53,13° 12 cm 30° Halla la medida de los lados de este trapecio isósceles. Ap Bp 126,87 Ap Bp Cp Dp 360 . Como Ap Bp y Dp Cp, entonces Dp Cp 360 2 2 126,87 53,13 En el triángulo ABC, Cp 53,13 38,66 14,47 y Ap 180 126,87 14,47 38,66 Por el teorema del seno, sen 1 1 2 2 ,8 6 1 ,87 sen A 14 B ,47 ⇒ AB 12,8 s 1 en 1 s 2 e 6 n ,8 1 7 4 ,47 ⇒ AB 4 cm sen 1 1 2 2 ,8 6 1 ,87 sen 3 B 8 C ,66 ⇒ BC 12,8 s 1 en 1 s 2 e 6 n ,8 3 7 8 ,66 ⇒ BC 10 cm AD En el triángulo ACD, Ap 180 53,13 38,66 88,21 Por el teorema del seno, sen 12 5 , 3 8 , 1 13 sen D 88 C ,21 ⇒ DC 12,8 s 1 en 5 s 3 en ,2 8 3 8 ,21 ⇒ DC 16 cm Calcula el área y el volumen de estos cuerpos geométricos. a) b) a) El lado del cubo forma con la diagonal de la base un ángulo de 90 . Por tanto, la diagonal del cubo es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman las dos diagonales y el lado. Si l es la medida del lado, l 20,78 sen 35,26 12 dm. V 123 1728 dm3 b) Los lados desconocidos del triángulo son los radios de la esfera, R. Por el teorema del coseno, 12,642 R2 R2 2 R R cos 70 ⇒ 159,77 2R2 0,68R2 ⇒ R2 121,04 ⇒ R 11 m A 4 112 1520,53 m2 V 4 3 113 5575,28 m3 Unos módulos para guardar ropa debajo de la cama tienen la base con forma de sector circular. La amplitud de la misma es de 80 y su radio mide 60 centímetros. Si la altura de los módulos es de 20 centímetros, ¿qué capacidad tienen? Si la base fuera un círculo completo, la figura sería un cilindro, de modo que es una parte de él. Asector 6 3 0 6 2 0 80 2512 cm2 V 2512 20 50 240 cm3 7.59 7.58 7.57 12,81 cm 126,87° 38,66° 20,78 dm 35,26° 12,64 m 70° P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Característica de Euler Para cada una de las siguientes figuras calcula el número E C V A, siendo C el número de caras, V el número de vértices y A el número de aristas. ¿Qué propiedad observas? 1: E C V A 3 6 9 0 2: E C V A 5 6 9 2 3: E C V A 4 8 12 0 4: E C V A 6 8 12 2 5: E C V A 5 10 15 0 6: E C V A 7 10 15 2 Las figuras con un agujero tienen E 0; las que carecen de agujero tienen E = 2. Conservar el frío Una empresa está diseñando un tipo de conducto formado por un prisma hexagonal recubierto por un envoltorio de forma cilíndrica de material aislante capaz de conservar el frío. El resultado es un prisma metálico, de base un hexágono regular, inscrito en un cilindro de material aislante. La empresa cuenta con 10 metros cuadrados de plancha metálica para fabricar una cierta longitud del prisma que forma el conducto. a) Halla la relación entre las áreas laterales del prisma y del cilindro. ¿Depende de la altura? b) Calcula la superficie de material aislante que deberá adquirir la empresa para recubrir la pieza metálica construida. a) El lado de la base del prisma mide r. Para una longitud h del conducto: Área lateral del prisma hexagonal: AL1 6 r h Área lateral del cilindro: AL2 2 r h Relación entre las áreas laterales: A A L L 1 2 2 6 r r h h 3 , que no depende de h. b) 3 1 S 0 ⇒ S 10,47 m2 de material aislante. 7.61 7.60 1 2 3 4 5 6 r A U T O E V A L U A C I Ó N Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 5 y 8 centímetros. a) Calcula la altura sobre la hipotenusa. b) Resuelve el triángulo. a) h2 5 8 40 ⇒ h 6,32 cm a 5 8 13 cm b2 5 13 65 ⇒ b 8,06 cm c2 8 13 104 ⇒ c 10,20 cm b) sen Bp 8 1 ,0 3 6 0,62 ⇒ Bp arcsen 0,62 38,32 Cp 90 38,32 51,68 Calcula la medida de los lados y de los ángulos desconocidos. a) b) a) Bp 55 sen 35 1 a 8 ⇒ a sen 18 35 31,38 cm tg 35 1 b 8 ⇒ b tg 1 3 8 5 25,71 cm b) Bp 25 sen 65 1 a 9 ⇒ a 19 sen 65 17,22 cm cos 65 1 b 9 ⇒ b 19 cos 65 8,03 cm Resuelve los siguientes triángulos. a) b) a) Ap 180 30 34 116 sen 16 34 sen b 30 ⇒ b 16 s en se 3 n 4 30 ⇒ b 14,31 m sen 16 34 sen a 116 ⇒ a 16 s e s n e 3 n 4 1 16 ⇒ a 25,72 m b) a2 122 202 2 12 20 cos 85 502,16 ⇒ a 22,41 m se 2 n 0 Bp s 2 e 2 n , 8 4 5 1 ⇒ sen Bp 20 2 2 s , e 4 n 1 85 ⇒ Bp 62,76 Cp 180 85 62,76 32,24 7.A3 7.A2 7.A1 18 cm 35° 16 m 30° 34° 20 m 85° 12 m 19 cm 65° En un rectángulo se han unido los vértices de la base con el punto medio del lado opuesto formando tres triángulos. Calcula el perímetro y el área del rectángulo y del triángulo sombreado. El lado contiguo a 53,13 es la mitad de la base del rectángulo, 3 cm. La altura: a 3 tg 53,13 4 cm. prectángulo 6 2 4 2 20 cm Arectángulo 6 4 24 cm2 Atriángulo 24 2 12 cm2 Halla la medida de los lados desconocidos de este trapecio rectángulo. h 5 tg 25 2,33 cm En el triángulo de la derecha, el ángulo inferior izquierdo es: Ap 90 25 65 . Por el teorema del seno, sen 15 65 se 1 n 2 Bp ⇒ Bp 46,47 Cp 180 65 46,47 68,53 sen 15 65 sen 6 c 8,53 ⇒ c 15,4 cm La generatriz de un cono mide 26 centímetros y forma un ángulo de 67,38 con el radio de la base. Halla el área total y el volumen del cono. El radio, r 26 cos 67,38 10 cm Altura, h 26 sen 67,38 24 cm AL 10 26 816,81 cm2 AT 102 816,81 1130,97 cm2 V 10 3 2 24 2512 cm3 7.A6 7.A5 7.A4 6 cm 53,1° 25° 12 cm 15 cm M U R A L D E M A T E M Á T I C A S M A T E T I E M P O S La parcela de mi abuelo Mi padre ha heredado una parcela triangular de 400 metros cuadrados. Uno de sus lados está limitado por la casa de un vecino y los otros dos forman con ella ángulos de 55 y 90 de amplitud, respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? El terreno forma un triángulo rectángulo. Si llamo b a uno de los catetos y h al otro me queda el siguiente sistema: ⇒ tg 55