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PROBABILIDADES TEORIA Y EJEMPLOS DE NIVEL PREUNIVERSITARIO - ADMISION UNI PDF






























Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 A.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI A.C. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 A.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el año 594 A.C. para cobrar impuestos. El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad d~ datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo' se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesaday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareclO el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691. fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de · reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días. la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias 'estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. 15.0 OBJETIVOS Exponer de manera informal. las definiciones y teoremas referentes a probabilidades, con el propósito de entenderlo de manera intuitiva y elemental. El capítulo presenta una breve introducción a los principios generales que gobierna el cálculo de probabilidades de eventos de interés para determinados fenómenos bajo estudio. La ruta comprende, definir apropiadamente lo que significa un experimento aleatorio , espacio muestral, eventos y cálculo de probabilidades usando frecuencias relativas. Finalmente, se verá la determinación axiomática de probabilidades para el caso de un espacio muestral finito . 15.1 MODELOS MATEMÁTICOS Es importante distinguir entre lo que significa un fenómeno observable y un modelo matemático que describa éste fenómeno. Al observar un determinado fenómeno no influimos de manera alguna sobre su comportamiento, mientras que al elegir un modelo para describir éste fenómeno sí podemos aplicar nuestro propio juicio critico. Bajo esta perspectiva, distinguimos al modelo determinístico y al modelo probabilístico. Un modelo determinístico supone que el resultado' real está determinado por las condictones bajo las cuales se efectúa el experimento o procedimiento. En un modelo probabilístico, sin embargo, las condiciones experimentales determinan solamente el comportamiento probabilístico 1 de los resultados observables. Ejemplo l. (Modelo determinístico) Si se coloca una batería en un circuito simple. el modelo matemático que posiblemente describa el flujo observable de corriente sería 1 = ~. conocido como la Ley de Ohm. El modelo pronostica el valor de 1 para cada par de valores conocidos E y R. Si se repite el experimento anterior cierto número de veces, mantenien~o los mismos valores E y R, se espera obtener el mismo valo~ de 1. Es decir, la batería, el alambre y el amperímetro utilizados para generar y medir la corriente determinan el resultado de cada repetición. Ejemplo 2. (Modelo probabilístico) En el intento por determinar cuanta lluvia <;aería debido a una tormenta que pasa por una zona específica, las observaciones meteorológicas puedan dar mucha información sobre el mal tiempo que se aproxima (presión barométrica en diversos puntos. cambios de presión, velocidad del viento, origen y dirección de las tormentas, etc.), pero esta información sólo nos puede determinar la forma de la precipitación como débil, regular o intensa, y no cuantifica con exactitud cuánta lluvia caerá. Un modelo probabilístico especificaría la distribución de probabilidades de las precipitaciones con mayor exactitud 15.2 EXPERIMENTO ALEATORIO Existen características generales que diferencia un experimento aleatorio de un experimento determinístico. Un experimento aleatorio esta asociado a un modelo probabilístico que explica un determinado fenómeno . Ejemplo 3. (Experimento aleatorio) El: Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. E 2 : De una urna que contiene sólo esferas negras y blancas, se escoge una esfera y se anota su color. Ea: Se lanza una moneda cinco veces y se cuenta el número total de caras obtenidas. E 4 : Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un periodo de 24 horas. E 5 : Se lanza un proyectil. Después de un determinado tiempo t se anotan los tres componentes de la velocidad Vx vy vZ • E 6 : Se fabrican artículos hasta producir lOna defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. Las caracteristicas comunes de los anteriores experimentos aleatorios son: l. Es posible repetir cada experimento indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones 2. Aunque en general no se puede · indicar cuál será el resultado particular de antemano, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento 3. A medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, cuando el experimento se repite un gran número de veces, aparece un modelo definido de regularidad. Esta regularidad hace posible la construcción de un modelo matemático con el cual se analizará el experimento2 . 15.3 ESPACIO MUESTRAL Definición.- Para cada experimento aleatorio E, se asocia el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de E, y se denota como S. Ejemplo 4. (Espacio Muestral) Asociemos los espacios muestrales de los experimentos aleatorios en el ejemplo anterior 51: {1. 2. 3. 4. 5. 6} 52: {espera negra. esfera blanca} 53: {O , 1. 2. 3 . 4. 5} 54: {O,!, 2 .... . N} donde N es el número m~imo que pudo ser producido en 24 horas 55: {vx ' vy. Vz : vx ' vy• Vz E R} 56: {lO. 11 . 12 .... } Un espacio muestral se clasifica de acuerdo al número de resultados como finito. infinito numerable e infinito. Refiriéndonos a los ejemplos anteriores, 51' 52' 53 Y 54 son espacios muestrales finito, 56 es un espacio muestral infinito numerable y 55 un espacio muestral infinito. 15.4 EVENTO Un evento, respecto a un espacio muestral particular 5 asociado con un experimento aleatorio E . es simplemente un conjunto de resultados posibles. En la terminología de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral 5 . , Ejemplo 5. (Evento) Asociemos algunos eventos a los ejemplos anteriores Al : Un número par ocurre. Es decir, Al = {2, 4, 6} A2 : {espera negra}. Es decir, se obtuvo una esfera negra As: (2). Es decir, ocurren dos caras A.: (3, 4, ... , N ). Es decir, más de dos artículos fueron defectuosos A5 : (vx' vy' vz : Vx < 5, vy < 5, Vz < 5). Es decir, la velocidad del proyectil es menor que cinco ~: ( 11 ). Es decir, sólo un artículo producido es no defectuoso IMPORTANTE! l. Podemos concluir que S mismo es un evento y también lo es el conjunto vacío. Cualquier resultado individual puede ser también considerado como un evento. 2. Si el espacio muestral S es finito o infinito numerable, todo subconjunto se puede considerar como un event03 . Si S tiene n elementos, hay exactamente 2S subconjuntos (eventos). 3. Es posible usar los diversos métodos de la teoría de conjuntos para combinar conjuntos (evento~) y obtener nuevos conjuntos (eventos) . Veamos algunos ejemplos: a) Si A Y B son eventos, A v B es e evento que ocun:e si y sólo si A o B (o ambos) ocurren. b) Si A Y B son eventos, A n B es el evento que ocurre si y sólo si A Y B ocurren. c) Si A es un evento, A es el evento que ocurre si y sólo si A no ocurre. d) Si Al' A2. ... . An es cualquier colección finita de n eventos. entonces U Al es el evento que ocurre si y solo 1=1 si al menos uno de los eventos ocurre e) Si Al' A2. .. . . An es cualquier colección finita de n eventos. entonces n Al es el evento que ocurre si y l=l sólo s1 todos los eventos Al ocurren. . An es cualquier colección infinita (numerable) de eventos. entonces U Af es el evento f=l que ocurre si y sólo si al menos uno de los eventos Al ocurre . An es cualquier colección infinita (numerable) de eventos. entonces n Af es el evento l=l que ocurre si y sólo si todos los eventos Al ocurren h) Suponga que S representa el espacio muestral asociado con un experimento E y ejecuta E dos veces. Entonces. S x S se puede utilizar para representar todos los resultados de esas dos repeticiones. Es decir. (SI . s2) E S x S significa que SI resultó cuando se ejecutó E 'la primera vez y s2 resultó cuando se ejecutó E la segunda vez4 . DefinlcI6n.- Se dice que dos eventos. A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos. Se expresa esto escribiendo A n B = 4>. Es decir. la intersección de A y B es el conjunto vacío. Ejemplo 6. Se prueba un artefacto electrónico y se anota el tiempo total de uso. digamos t. Suponga que { ti t ~ O J. Sean A. B Y e tre!? eventos definidos como: A = {ti t < 100 J. B = {ti 50 ::5 t ::5 200 J y e = { t I t > 150 J Entonces. A v B = {t I t::5 200 J. B v e = ( ti t ~ 50). A í\ B = { t 1100 < t ::5 200 J B í\ e = { t 1150 < t ::5 200 J A v e = {ti t < 100 A = (t 1 t ~ 100 J. ó t > 150). A í\ e =

200 J IMPORTANTE I Una de las características básicas del concepto de experimento es que no sabemos que resultado particular se obtendrá al ejecutar el experimento. En otras palabras. si A es un evento asociado con un experimento. no podemos indicar con certeza que A ocurrirá o no. Por lo tanto. llega a ser muy importante tratar de asociar un número con el evento que medirá. de alguna manera. la posibilidad de que el evento A ocurra. Esto nos conduce a la teoría de probabilidades . 15.5 FRECUENCIA RELATIVA (Monte Carlo) Con el objetivo de asociar una med~9-a a un evento en particular. considere el siguiente procedimiento. Suponga que se repite n veces el experimento E y sean A y B dos eventos asociados con E. Sean nA Y na el número respectivo de veces que el evento A y el evento B ocurrieron en las n repeticiones. nA Deflnici6n.- fA = - se llama la frecuencia relativa del evento n A en n repeticiones de E . La frecuencia relativa fA tiene las siguientes propiedades importantes. que son verificables fácilmente a) O ~ fA ~ 1 b) fA = 1 si y sólo si A ocurre cada vez en las n repeticiones c) fA = O si y sólo si A nunca ocurre en las n repeticiones d) Si A Y B son dos eventos que se excluyen mutuamente y si fAuB = fA + fB es la frecuencia relativa asociada al evento. entonces. e) fA basado en las n rep~ticiones del experimento y considerada para una función de n. converge en cierto sentido probabilístico a prAl cuando n ~ 00 IMPORTANTE! La propiedad e) anterior esta indicada de una manera vaga para el presente curso. Esta propiedad encierra una notación bastante intuitiva de que la frecuencia relativa basada en un número creciente de observaciones tiende a estabilizarse en la proximidad de un valor definitivo. esto es una realidad empírica. La mayor parte de nosotros intuitivamente estamos conscientes de este fenómeno de estabilización aunque puede ser que nunca lo hayamos verificado. Hacerlo requiere una cantidad considerable de tiempo y paciencia. ya que se requiere un gran número de repeticiones de un experimento. Sin embargo. algunas veces podemos ser observadores de este fenómeno como lo ilustra el siguiente. Ejemplo 7 Suponga que está parado en una acera y nos fijamos en dos losas de cemento adyacentes. Imagine que empieza a llover de tal manera que en realidad podemos distinguir unas gotas de otras y les ,seguimos la pista para averiguar si caen en una losa o en otra. Continua observándose l~s gotas individuales y anotamos su punto de impacto. Si se simboliza la i-ésima gota por Xi en donde Xi ;; 1 si la gota cae en una losa y O si cae en la otra. Podriamos observar una sucesión tal como l. 1, O. 1, O. O. O. l. O. O. l .... . Ahora está claro que no podemos predecir en donde caerá la gota particular. Si calculamos la frecuencia relativa del evento A ;; {la gota cae en la losa 1}, entonces la sucesión anterior de resultados da origen a las f . 1 ti .. t 1 1 2 3 3 3 3 4 4 recuenCIaS re a vas slgUlen es: . . 3' 4' 5' (5' "7' 8' 9' 4 5 10' 11 .... Estos valores muestran un grado considerable de variación. especialmente al inicio. Intuitivamente es claro que si continuamos indefinidamente el experimento anterior. esas frecuencias relativas se estabilizan próximas al valor de ~. porque tenemos toda la razón para creer que después de que haya ocurrido transcurrido cierto tiempo las dos losas estarían igualmente mojadas. A esta característica se le denomina de regularidad estadística 15.6 NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD Si el objetivo es asignar un número a cada evento A que mida la posibilidad de que A ocurra ·cuando el experimento se ejecute. un enfoque posible sería repetir el experimento un gran número de veces. calcular la frecuencia relativa fA y usar éste número. Sin embargo. hay dos cuestionamientos a la forma de obtener esta medida de ocurrencia del evento A. a} No está claro que grande debe ser n antes de que conozcamos el número. ¿ 1 OOO?, ¿2000? ¿ 1 O OOO? b} Una vez que se ha descrito completamente el experimento y se ha especificado el evento A, el número que se busca no debe depender del experimentador o de una racha de suerte en particular5 . Lo que se quiere es un medio de obtener tal número sin recurrir a la experimentación. Obviamente, para que el número sea significativo, cualquier experimento debería dar una frecuencia relativa cercana al valor estipulado, en especial si el número de repeticiones del experimento es grande. Definici6n.- Sea E un experimento y S su espacio muestra!. Con cada evento A asociamos un número real. designado por prAl y llamado de probabilidad de A, que satisfaga las siguientes propiedades a} 0:$ prAl :$ 1 b} PIS) = 1 c) Si A Y B son dos eventos que se excluyen mutuamente, P[A u B) = prAl + P[B) d) Si Al ' A2 , .. . , An son eventos excluyentes dos a dos, entonces IMPORTANTE I 1. De la propiedad c) anterior se deduce que para cualquier n finito , P~º Al] ~ '~l peAl] 2 . La elección de la lista de propiedades de las probabilidades está motivada por las características correspondientes de las frecuencias relativas. 3 . Por el momento no sabernos como calcular prA). sólo se anotado algunas de sus propiedades. En las próximas secciones se detallará el caso discreto de cálculo de probabilidades. Teorema 1 Si 4> es el conjunto vacío, entonces P( 4> I = O Prueba. Para cualquier evento A. se tiene que A = A u 4> . Dado que A y 4> son mutuamente excluyentes. se deduce de la propiedad e) que P( A u 4> I = P( A I + P( 4> I y la conclusión es inmediata. Teorema 2 Si A es el evento complemento de A, entonces P[AI = 1 - P[ Al Prueba. Se puede escribir S = A u A y usando las propiedades b) y c) deducimos que 1 = P[AI + P[AI . Teorema 3 Si A Y B son eventos cualesquiera. entonces P(A u BI = P(AI + P(BI - P[A í'\ BI Prueba. Para la demostración descomponga A v S y S en eventos que se excluyan mutuamente y luego aplicar la propiedad c). (Observe el diagrama de venn de la figura 1). s A AnB AnB Figura 1. Es decir. A v S = A v (A n S) y S = (A n S) v (A n S) Por lo tanto. PIA v S) = PIA) + PIA" n S) y PIS) = PIA n S) + PIA n S) Sustrayendo la segunda expresión de la primera se obtiene. PIAv S) - PIS) = PIA) - PIA n S) Por lo tanto, de lo anterior se deduce el resultado final. Teorema 4 Si A. S Y e son tres eventos cualesquiera. entonces PIAv S ve) = PIA) + PIS) + PIe) - PIAn S) - PIA n e) - PIS n e) + PIAn S n e) Prueba. Si se escribe A u B u e = A u (B u el y se aplica el resultado del teorema anterior. Teorema 5 Si A e B, entonces prAl :5 P[B) Prueba. Si se descompone B en dos eventos que se excluyen mutuamente como B = A u (B n j\). Entonces, se tiene que P[B) = prAl + P[B nA) ~ prAl por la propiedad al pues P[B n A) ~ O Definición.- Sea E un experimento y S su espacio muestral. eon cada evento Ay B asociamos un número real. designado por P[ B lA) Y llamado de probabilidad condicional de B dado A. dado por P[BIA] = P[AnB] prAl , conP[A] >0 que satisfaga las siguientes propiedades al 0:5 P[ B lA) :5 1 bl P[SIA) = 1 cl Si B 1 Y B2 son dos eventos que se excluyen mutuamente, P[ B 1 u B2 IA) = P[BdA) + P[ B2 IA) d) Si B1• B2 • .. : • Bn ... son eventos excluyentes dos a dos. entonces p[ü BdA] = P[BiIA] + P[B2 IA] + ... + P[BnIA] + ... 1=1 e) Si A = s. PI B IAI = P[B n SIAl = P[BJ, P[S] . IMPORTANTE! 1. Con cada evento se puede asociar PI B). la probabilidad no condicional de B. y PI B lA I probabilidad condicional de B. En general estas dos medidas asignarán probabilidades diferentes al evento B. 2. Para justificar la definición anterior volvamos al concepto de frecuencia relativa. Suponga que se ha repetido un experimento E n veces. Sean nA. na Y nAna el número respectivo de veces de los eventos A. B Y A n B. han ocurrido en las n repeticiones. Cuál es el significado de nAna ---?: Representa la frecuencia relativa de B entre los n restlltados en los que A ocurrió. Es decir. es la frecuencia relativa condicional de B. dado que A ocurrió. Es posible escribir esta frecuencia relativa condicional como nAnB nAnB n fAna = = nA nA fA n donde fAna Y fA son las frecuencias relativas de los eventos A n B y A respectivamente . 3. Cuando n es suficientemente grande fAnB se aproxima al valor de P[A n Bl. y fA se aproxima al valor de prAl . Por lo nAnB tanto. la relación anterior sugiere que se aproximará a P[ B lA) nA 15.7 ESPACIO MUESTRAL FINITO En esta sección se detallará los experimentos en la cual el espacio muestral S consta de un número finito de elementos. Es decir. se asurrura que S se puede escribir como S = {al. a2 ..... al,} ' Con el propósito de caracterizar prAl en éste modelo consideraremos primero el evento que esta constituido por un sólo resultado llamado algunas veces un evento elemental. digamos A = {ai l. A cada uno de los eventos elementales {a¡ 1 se asigna un número Pi' llamado probabilidad de {ai l. que satisfaga las condiciones siguientes: a) Pi ~ O. i = 1. 2 ..... k b) PI + P2 + ... + Pk = 1 Dado que {ai 1 ~s un evento elemental. estas condiciones deben estar en concordancia con las postuladas para las probabilidades de eventos en general mencionadas anteriormente IMPORTANTE! l. Si A es un evento constituido por r resultados. 1 :5 r :5 k. digamos A = {a.jI' aj2' . .. . ajr 1 donde jI' j2' ... . jr representa cualquier índice r desde 1. 2 ..... k. Luego por propiedad se tiene que P[A) = Pjl + Pj2 + ... + Pjr 2. Para evaluar los Pi se debe hacer ciertas suposiciones respecto a los resultados individuales Ejemplo 8 Suponga que existe tres posibles resultados en un determinado expelimento. digamos al' a2 ' a 3' Suponga además que la ocurrencia de a I es dos veces mas probable que la de a2. la cual a su vez. es dos veces mas probable que a3' Por lo tanto. PI = 2P2 Y P2 = 2P3' Una vez que PI + P2 + P3 = 1. se tiene que 4P3 + 2P3 + P3 = l . 10 que se deduce finalmente 124 P3 = '7' P2 = '7 y PI = '7' 15.8 RESULTADOS IGUALMENTE PROBABLES La suposición más común para espacios muestrales finitos es que todos los resultados son igualmente probables. De ninguna manera esta suposición debe darse como un hecho; debe justificarse cuidadosamente. Existe muchos experimentos en la cual tal suposición es aceptable. pero también existe experimentos en las cuales esta suposición es inaceptable. Por ejemplo. no es muy realista asumir que es tan probable no recibir llamadas telefónicas en una central entre la 01 :00 hrs y 02:00 hrs. como entre las 17:00hrs y 18:00 hrs. Si los k resultados son igualmente probables. se deduce que cada Pi = ~. Esto último se debe a que PI + P2 + ... + Pk = 1. Luego para cualquier evento A que conste de r resultados. se tiene que r P[A] = - k el cálculo de PI A] puede enlenderse como la razón entre el números de maneras en que € ocurre afavor de A. y el número de maneras en que E puede ocurrir. Esta expreslOn es una consecuencia de la suposición de que todos los resultados son igualmente probables y sólo se aplica cuando se asume esta suposición. Es decir, no sirve como una definición general de probabilidad. Ejemplo 9 Se lanza un dado y se asume que todos los resultados son igualmente probables. El evento A ocurre si y sólo si aparece un número mayor que 4 . Es decir, A = {5, 6}. Por lo tanto, PIA) = ! +! ! 6 6 3 Ejemplo 10 Se lanza una moneda Normal dos veces . Sea A el evento: aparece una cara. Para evaluar PIA) se tiene dos posibilidades • Asumir un espacio muestral S = {O, 1, 2}, en donde cada uno de los resultados representa el número de caras que ocurren. Por lo tanto, PIA) = ~ . En el cálculo de esta probabilidad se asume que los resultados son igualmente probables lo cual es erróneo. • Asumir un espacio muestral S = {Ce, es, se, SS}. En este espacio muestral todos los resultados son igualmente probables y por lo tanto se tiene que PIA) = ~ . = ~ En el primer caso se puede emplear el espacio muestral S = {O, 1, 2} asumiendo que los resultados ° y 2 son igualmente posibles , mientras que el resultado 1 es probablemente el doble de cada uno de los anteriores. Por lo tanto. P[A) = ~ , lo cual concuerda con la respuesta anterior. En muchos ejemplos de , cálculo de probabilidades nos interesa la elección al azar de uno o más objetos de una colección de objetos dado, Veamos esto con más detalles. Suponga que se tiene N objetos . digamos al . a 2' .... aN a. Escoger al azar un objeto de las N, significa que cada uno de los objetos tiene la misma probabilidad de ser escogido. Es decir, P[ elegir a i] = ~ = 1, 2, ... , N b. Escoger al azar dos objetos entre las N. significa que cada uno de los pares de objetos (sin considerar el orden) tiene la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro par. Por ejemplo. si se elige dos objetos al azar de al, a2' .. . . aN se entiende que obtener al y a2 es tan probable como obtener a2 Y a 3' etc. Esto nos conlleva a la cuestión de cuántos pares diferentes hay. Suponga que hay K pares, luego 1 N i = 1,2, .. . , N Más adelante mencionaremos como calcular K c. Escoger al azar n objetos (n :$ N) , significa que cada n-tupla ai ' a¡ , ... , ai tiene tantas probabilidades de ser elegido 1 2 n como cualquier otro n -tupla. 15.9 MÉTODOS DE ENUMERACIÓN Para el cálculo de probabilidades en espacio muestrales finitos más complicados. es necesario contar con procedimientos de enumeración más sistemáticos. Ejemplo 11 Un lote de cien artículos contiene 10 defectuosos y 90 no defectuosos. Se eligen al azar 10 artículos, sin sustituir un artículo antes que sea elegido el . próximo, Cuál es la probabilidades que exactamente la mitad de los artículos escogidos sean defectuosos? Para determinar esta probabilidad, debemos considerar el espacio muestral S = (( i 1, i2' ... , i lO)} donde ij es un artículo posible del lote de 10. Lo primero a determinar es cuántos de tales lotes de 10 existen? , y entre estos resultados, cuántos tienen la característica de que exactamente la mitad sean defectuosos? -Es necesario responder estas interrogantes para determinar la probabilidad deseada. Principio de Multiplicación Suponga que un procedimiento designado como 1 puede hacerse de nI maneras. Suponga además que un segundo procedimiento designado como 2 , puede hacerse de n2 maneras. Finalmente, suponga que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de ni n2 maneras Para ilustrar .este principio consideremos el siguiente enfoque. Considere un punto P y dos rectas Ll y ~ . El procedimiento 1 consis"te en ir de P a Ll mientras que el procedimiento 2 consiste en ir de Ll a ~ . (ver figura 2) IMPORTANTE! Este principio puede extenderse a cualquier número de procedimientos. Si hay k procedimientos y el i-ésimo procedimiento se puede hacer de n i maneras, con i ;:: 1, 2, .. . , k, entonces el procedimiento que consiste en 1, seguido por 2, ... , seguido por k procedimiento puede hacerse de nIn2 ... nk maneras. Ejemplo 12 Un articulo manufacturado debe pasar por tres controles. En cada uno de los controles se inspecciona caracteristica particular del artículo y. se anota la conformidad. En el primer control. hay tres mediciones posibles mientras que en cada uno de los dos últimos dos controles hay cuatro mediciones posibles . Por 10 tanto, hay 3 . 4 . '4 = 48 maneras de anotar el artículo. nI } ~ n2 P } } L I L:z Figura 2 Principio de Adición Suponga que un procedimiento designado como 1 puede hacerse de nI maneras. Suponga además que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. Suponga además que no es posible que ambos 1 y 2 se hagan juntos. Entonces el número de maneras como se puede hacer 1 Ó 2 es nI + n2' Ilustremos el principio'-.de la adición anterior mediante un esquema usando las mismas notaciones anteriores P , Figura 3 IMPORTANTE! Este principio puede generalizarse a cualquier número de procedimientos. Si hay k procedimientos y el i-ésimo procedimiento se puede hacer de ni maneras, con i = 1. 2, ... , k, entonces el número de maneras como podemos hacer el procedimiento 1, ó el procedimiento 2 , Ó, ... , ó .el k procedimiento esta dado por nI + n2 + . .. + nk maneras. Ejemplo 13 Suponga que se piensa hacer un viaje y se debe decidir entre el transporte por bus o por tren. Si hay tres rutas para el bus y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas disponibles para el viaje. 15.10 PERMUTACIONES a . Suponga que tenemos n objetos diferentes. ¿De cuántas maneras, digamos nPn se pueden agrupar (permutar) estos objetos? Por ejemplo, si tenemos los objetos a, b y c, podemos considerar las siguientes agrupaciones: abe. aeb, bac. bca. cab y cba. Luego la respuesta es 6. En general, consideremos el esquema siguiente . Agrupar 11 objetos es equivalente a ponerlos en una caja con 11 compartimentos. en algún orden específico. n La primera casilla se puede llenar en cualquiera de las n maneras. la segunda en cualquiera de las (n - 1) maneras ... .. y la última casilla de sola una manera. Por lo tanto. aplicando el principio de multiplicación anterior. vemos que la caja se puede llenar de n x (11 - l)x oO. x 1 maneras. Este número ocurre tan a menudo en matemáticas que presentamos un nombre y un símbolo especiales para él. Definición.- Si n es un entero positivo. definimos n! = 11 x (11 - l)x oO , x 1 y lo llamaremos de 11-jactorial. También definimos O! = 1 Así el numero de permutaciones de 11 objetos diferentes esta dado por b. Nuevamente consideremos 11 objetos diferentes. Esta vez deseamos escoger r de esos objetos. O :::; r ~ n . y permutamos el r elegido. Indiquemos el número de maneras de hacerlo. por nP r Recurrimos nuevamente al esquema anterior de llenar una caja :que tiene 11 compartimientos: ahora nos detendremos después que se ha llenado el compartimiento r-ésimo. Así. el primer compartimiento puede llenarse de n maneras. el segundo de (11 - 1) maneras. oO • • y el r-ésimo compartimiento de 11 - (r - 1) maneras. Así se puede realizar el procedimiento completo. usando el principio de la multiplicación. de n x (n - 1) x . .. x (n - (r - 1)) maneras. Usando la notación factorial anteriormente introducida. tenemos que P = n! n r (n-r)! Esta expresión se conoce también como Variación IMPORTANTE! (Permutaciones cuando no todos los objetos son diferentes) En los métodos presentados anteriormente, se ha supuesto que todos los objetos considerados eran diferentes (distinguibles). Para considerar el caso de objetos no diferentes, suponga que se tiene n objetos tales que hay nI de una clase, n2 de una segunda clase, ... , nk de una k -ésima clase con nI + n2 + .. . + nk = n, entonces el número de permutaciones' de esos objetos está dado por n! 15.11 , COMBINACIONES Consideremos nuevamente n objetos diferentes . Esta vez estamos interes.ados en contar el número de maneras como podemos escoger r de esos n objetos sin considerar el orden. Por ejemplo, tenemos los objetos a , b , c , y d , con r = 2 ; deseamos contar ab, ac , ad, bc, bd, y cd. En otras palabras, no contamos ab y ba puesto que los mismos objetos están relacionados y solo difieren en el orden. Para obtener el resultado general recordemos la fórmula derivada anteriormente: el número de maneras de elegir r objetos entre n y permutar los r elegidos, es igual a nP n' Sea C el número de maneras de elegir r entre n , sin cons ide rar el orden. Observe que una vez que se han escogido los r artículos. hay r! maneras de permutarlos. Por tanto. aplicando nuevamente el principio de multiplicación junto con el resultado anterior, obtenemos C ,_ n! r. - (n-r)! Así el número de maneras de elegir r entre n objetos diferentes, sin considerar el orden. Esta dado por C = n! r!(n-r)! Este número aparece en muchos contextos en matemáticas y , por lo tanto, se emplea un símbolo especial para designarlo. Escribimos n! (n) r!(n-r)! = r Para nuestros propósitos, la expresión anterior se define sólo si n es un entero positivo y si r es un entero O ~ r :5 n. Sin embargo. esto puede ser generalizado para cualquier numero real n y para cualquier entero no negativo r como: ( n) = n(n-l)(n-2) oO. (n-r+ 1) r r! Los números (~I son comúnmente llamados de coeficientes binomiales. Jor4ue aparecen como coeficientes en el desarrollo de la expresión binomial (a + b)n. Veamos esto, si n es un entero positivo. (a + b)n = (a + b) x (a + b) x oO . x (a + b). Cuando se efectúa la multiplicación, cada uno de los términos consta de el producto de k aes y (n - k) bees, k = O, 1. oO' , n ¿Cuántos términos serán de la forma? Para ello, contemos simplemente el número de maneras como se puede elegir k entre n aesr~·n considerar el orden. Pero esto es precisamente dado por . Así, tenemos lo que se conoce como teorema del binomio r Los números (~I tienen muchas propiedades interesantes de las cuales sól Je mencionará dos de ellas. (A no ser que se indique otra cosa, suponemos que n es un entero positivo y r un entero tal que O :; r :; n.) a. (~) = (n ~ r) b. (~) = (~=:) +(n~ 1) Es muy fácil verificar algebraicamente las dos identidades anteriores. a . Cuando escogemos r entre n objetos simultáneamente "dejamos atrás" (n - r) objetos , y , por tanto, escoger r de k es equivalente a escoger (n - r) de n. b . Escojamos cúalquiera de los n objetos. y sea este el primero, al . Al elegir r objetos. al esta incluido o excluido pero no las dos cosas. Por lo tanto al contar el número de maneras como podemos escoger r objetos. podemos aplicar el principio de adición tratado al comienzo: Si al esta excluido. debemos escoger los r objetos p;ue se desean de los (n - 1) objetos restantes y hay ln~ 1) maneras de hacer esto. :: :~sv:e:t~::l:ir(:e,_ s~:00:e-to1~ ;b~:~:Ss:::::~:::rc~~:rr)e r-r de maneras. Así el número pedido es la suma de estos os. lo que verifica la segunda identidad. 15.12 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Definición.- Si una variable X puede tomar una serie de valores discretos Xl ' X2.... . Xk con probabilidades PI . P2 ,···. Pk. tal que PI + P2 + ... + Pk = 1 se dice que se ha definido para X una distribución de probabilidad discreta IMPORTANTE! l. Si asociamos eventos elementales a cada valor discreto de X, se tiene que Xl = X(a¡), X2 = X(a2J ..... Xk = X(ak} . Es decir. si el espacio muestral es dado por S = (al. a2 .... . akl lo que se tiene es una función variable aleatoria. X : S~9\ con la propiedad P[X = Xd = PIad . Esta [unción asocia los eventos equivalentes [X = Xi) Y [a¡") para cuantificar en general eventos elementales numéricos y no numéricos. en numéricos. Ejemplo 14 Si X denota el número de caras obtenidos al lanzar un dado dos veces, entonces la distribución de probabilidades es dado por al = {(S. S)) a2 = {(C. S)) va2 = [(S . C)J 1 P[X = O) = -4 2 P[X = 1) = - 4 as = {(C. CH X(as) = 2 ~ 1 P[X = 2) = -4 2 . La distribución de probabilidad discreta es análogo a la frecuencia relativa. en que las frecuencias relativas han sido sustituida por probabilidades. Definición.- Si una variable X puede tomar una serie de valores discretos Xl. ~ ..... Xk con probabilidades p l' P2.·· .. Pk. tal que P 1 + P2 + ... + Pk = 1 la esperanza matemática de X. denotada por E[X). se define por IMPORTANTE I l. Si las probabilidades Pi en esta esperanza matemática se sustituyen por frecuencia~ relativas. donde N = f1 + f2 + .. . t 1X 1 + ···+fkX + f k k • se tiene que E[X) = N . que es la media aritmética X de una muestra de tamaño N. Es decir. E[X) representa la media de la población de la que se ha extraído una muestra. Ejemplo 15 (continuación ejemplo 14) Si X denota el número de caras obtenidos al lanzar un dado dos veces. entonces la esperanza matemática viene dado por 111 E[X] = -(0)+-(1)+-(2) = 1 424 es decir. se espera obtener una cara en los dos lanzamientos.