Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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PROBABILIDADES PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF


















1. Determinar la probabilidad p o un estimador de ella para cada uno de los siguientes eventos a. La aparición de un número impar en una tirada de un dado equilibrado. b. La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda. c. La aparición de un as . el diez de diamantes o el dos de corazones en una sola extracción de una baraja de 52 cartas. d. La obtención de 7 puntos en una sola tirada de un par de dados. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

e . La aparición de cruz en el siguiente lanzamiento de una moneda. si en 100 lanzamientos previos aparecieron 56 caras. Resolución a . De los 6 casos igualmente probables. 3 casos (cuando salga 1, 3 ó 5) son favorables al evento. Luego. p = ~ = ~ b . Si e denota cara y S denota sello. los dos lanzamientos pueden dar origen a los cuatro casos siguientes ce. CS. se. ss todos igualmente probables. Unicamente los tres primeros casos son favorables al evento de interés. 3 Entonces p = 4: c . El evento puede ocurrir de 6 formas (uno para cualquiera de los ases dan en total 4 formas . el diez de diamantes y el dos de corazones) de total de 52 casos igualmente favorables. Entonces p = 5 6 2 2 3 6 . d. Cada una de las siete caras de un dado puede salir con cada uno de las seis caras del otro dado. así que el número total de casos que pueden presentarse. todos igualmente probables. es de 6 . 6 = 36 Estos pueden ser denotados por (l . 1). (2 . 1). .. .. . (6. 6). Hay 6 formas de obtener 7 como suma. dadas por (l. 6). 6 1 (2. 5). (3 . 4). (4. 3). (5 . 2). (6. 1) . Entonces p = 36 = (3 e. Dado que (100 - 56) fueron los sellos obtenidos en los 100 lanzamientos. la probabilidad estimada de sellos es la frecuencia relativa 1~0 = 0,44 2. Un experimento consiste en el lanzamiento de una moneda y un dado. Si El es el evento de que salga cara en el lanzamiento de la moneda y E2 es el evento de obtener '3 Ó 6' en el lanzamiento del dado. explicar que significado tiene cada uno de los siguientes eventos: Resolución a. El b . E2 c. ElE~ d. P(E lE21 e . P(Ell E21 f. PIEl + E21 Sello en la moneda y cualquier número en el dado l. 2. 4 Ó 5 en el dado y cualquier cosa en la moneda Cara en la moneda y 3 Ó 6 en el dado probabilidad de cara en la moneda y 1. 2 . 4 Ó 5 en el dado probabilidad de cara en la moneda. dado que ha salido 3 Ó 6 el dado probabilidad de sello en la moneda o 1. 2 . 4 Ó 5 en el dado. o ambas cosas 3. De una caja que contiene 6 bolas rojas. 4 blancas y 5 azules se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que sea a. Roja b. Blanca c. Azul d. No Roja e. Roja o Blanca Resolución Denote. y los eventos de extraer una bola roja. blanca y azul respectivamente. Entonces. 6 6 2 a . P(R) = 6+4+5 = = 15 5 b. 4 4 P(B) = 6+4+ 5 = 15 c. 5 5 1 P(A) = 6 + 4 + 5 = 15 = 3 d. P(R) = 1 - P(R) = 1 - ~ = ~ 6+4 10 2 e . P(R u B) = 6 + 4 + 5 = 15 3 ' Note que P(R u B) = P(R) + P(B). Es decir. se cumple la regIa de eventos mutuamente excluyentes. 4. Se· extraen sucesivamente 3 bolas de la caja del problema 3 anterior. Hallar la probabilidad de que sean extraídas en el orden roja. banca y azul si las extracciones son: a. Con reemplazamiento b. Sin reemplazamiento Resolución Denote R. B Y A los eventos de extraer una bola roja. blanca y azul respectivamente. Entonces. a. P(R n B n Al = P(RIP(BIP(AI = (6 += +5)(6+: + 5)(6 + ~ + 5) = ~. Esto se debe a que los eventos son independientes b. P(R n B n Al = P(RIP(B I RIP(AI R n Bl = (6 +: ... 5)(5 +: + 5)(5 + ~ + 5) = 941 . Esto se debe a que los eventos son dependientes. por el proceso de extracción sin reemplazaITÚento. 5. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzall1ientos de un dado Resolución Sea E 1 el evento que denota 4 en el primer lanzall1iento y E2 el que denota 4 en el segundo lanzall1iento. El u E2 denota 4 en el primer lanzall1iento o en eLsegundo lanzall1iento o en ambos; es decir al menos un 4 en los dos lanzall1ientos. Se pide P (El u E21. Método 1 Número total de casos posibles que se pueden dar igualmente probables: 6 . 6 = 36 Número de casos en los que se da El . pero no E2 : 5 Número de casos en los que se da E2 . pero no El: 5 Número de casos en los que se da El y E2 : 1 5+5+ 1 11 Entonces. PIEl u E21 = 36 = 36 Método 2 Dado que E 1 Y E2 no son mutuamente excluyentes. y dado que El y E2 son independientes. entonces se tiene que Método 3 De la relación Pral menos un 4) + P[ningún 4) = 1 se deduce que Pral menos un 4) = 1 - P[ningún 4) 1 - P[ningún 4 en 10 lanzamiento y ningún 4 en 2 0 lanzamiento) 1 - P[EIE2) 1 - P [Ed P [E2) 1 - (~) (~) = ~~ 5. A Y B juegan 12 veces el ajedrez. de los cuales A gana 6 veces. B gana 4 y 2 terminan empates. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que a . A gane las tres partidas b. Dos partidas terminen empates c. A y B ganen alternativamente d. B gane al menos una partida Resolución Denote por: Al ' A2 Y A3 los eventos de que A gane la primera. segunda y tercera partida respectivamente. B l' B2 Y B3 los eventos de que B gane la primera. segunda y tercera partida respectivamente. E l. E2 Y E3 los eventos de que haya empate en la primera, segunda y tercera partida respectivamente. De la experiencia obtenida (probabilidad estimada o frecuencia relativa) se supone que peA gane una partida) == 1 6 2 == ; P[B gane una partida) == 1~ == ~ P [ una partida sea empate) == 1 2 2 == ~ a. P(A gane las tres partidasl == P(A1A2A31 == P(AIA2A31 P(A¡)P(A2IP(A31 = G)(~)(~) == ~. Se asume que el resultado de cada juego es independiente del resultado de los demás. Esta suposición es aceptable sólo si los jugadores no pueden dejarse influenciar psicológicamente por las otras partidas jugadas b. P(dos partidas sean empatesl P( 1 era y 2da ó 1 era y 3ra ó 2da y 3era sean empatesl P[T1T2T31 + P(T1T2T31 + P[T1T2T31 P[T¡)P[T2IP[T31 + P[T¡)P[T2)P[T31 + P[T¡) PIT21PIT31 (~)(~)(~) + (~)(~)(~) + (~)(~)(~) == 2\56 c. P[A Y B ganen alternativasl 5 72 == P[A gane. luego B. luego A ó B gane. luego A. luego BI P[A1B2A3 u B1A2B31 = P[A1B2A31 + P[B1A2BSI d. PIB gane al menos una partida) 1 - PIB no gane ninguna partida) 1 .:.. PIE ¡ B2B3) 1 - PIE¡IPIE21PIB31 1 - G)(~)(~) = ~; 6. Si un hombre compra un boleto de una rifa. en la que puede ganar un primer premio de $5 000 o un segundo premio de $2000 con probabilidades 0,001 y 0 .003 Cuál sería el precio justo a pagar por el boleto? Resolución En este caso el precio justo sería el precio esperado, dado por (5000)(0 ,001) + (2000)(0.003) = 11 Problema 7 Una Bolsa contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Cuatro personas A, B, C y D, en este orden. extraen una bola de la bolsa sin reemplazamiento. La primera que extraiga una bola blanca recibe $10. Determinar sus esperanzas Resolución Dado que hay solamente 3 bolas negras. una persona de las 4 debe ganar obligatoriamente. Denotemos por A, B, C y D de que gane A. B, e y D respectivamente. a . 222 P[A ganel = P[AI = -- = -5 . La esperanza de A es -5 10 = 4 2+3 ~M~ . 2 3 P[A pierda y gane Bl = P[ABI = PlAIP[BI = (~) (4) = 10' La esperanza de B es (13 0) 10 = 3 dólMes b. c . P[A pierda, B pierda y gane Cl = PIABCI = P[AIP[B I Al P[C I ABI = (~) (~) (§) = ~ . La esperanza es (~) 10 = 2 dólMes d. P[A pierda, B pierda, C pierda y gane DI = PIABCDI = P[AIP[BIAIP[CIABIP[DIABCI = (~) (~) GXf) = /0 ' La esperanza es l~ 10 = 1 dólM 8. a. Cuántos comités de tres miembros se pueden elegir con ocho personas? b. Cuántas señales con tres banderas pueden obtenerse con ocho banderas diferentes? c. Un grupo de ocho personas consta de cinco hombres y tres mujeres. Cuántos comités que consten de dos hombres exactamente se pueden formar? Resolución a . Dado que dos comités son el mismo si están formados por los mismos miembros (sin cor~derar el orden en el cual fueron elegidos), se tiene que 3 J = 56 comités b . Aquí ei orden si interesa, y por lo tanto, se tiene que sP3 = ~: = 336 señales. c. Aquí se debe hacer dos cosas: escoger dos hombres entre [~r (~r::;é: una mujer entre tres mujeres. LUego, 9. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas. 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre si. De cuántas formas posibles pueden ordenarse? Resolución El número de ordenaciones diferentes de los 10 objetos es lO! 5!2!3! = 2520 10. Un muchacho tiene cinco monedas de distinto valores. Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas? Resolución Cada moneda puede ser o no elegida. Puesto que· cada, moneda está ligada a dos caminos (ser elegida o no) . el ' número total para las cinco monedas será 25 formas. Pero esto incluye el caso en que ninguna moneda es elegida. Luego. el número de sumas de dinero es 25 - 1 = 31 15.14 PROBLEMAS PROPUESTOS l. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos (O) o no defectuosos (NO). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continua hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos. cualesquiera que ocurra primero. Determinar el número de elementos en el espacio muestral para este experimento. a) 8 b)9 c) 10 d) 11 e) 12 2. Una caja con 15 bombillas tiene 2 unidades con filamentos rotos. Estas se prueban una por una, hasta que se encuentra una defectuosa. Determinar el número de elementos del espacio muestral para este experimento. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 3. Un lote contiene artículos que pesan 5, 10. 15, .. . , 50 libras. Se eligen dos artículos del lote. Identifíquese por X el peso del primer articulo elegido y a Y el peso del segundo articulo. Así el par de números (X,Y) representa un solo resultado del experimento. Usando el plano XY, determine el número de elementos del evento el promedio de peso de los dos artículos es menos de 15 libras. a) 15 b) 20 c) 25 d)30 e) 35 4. Sean A y B dos eventos asociados con un experimento. Exprese la siguiente proposición verbal en notación de conjunto: Exactamente uno de los eventos ocurre a) lA n Bl u lA n Bl c) lA n Bl u [A n Bl e) lA n Bl u [A n Bl b) [A n Bl u [A n Bl d) [A n Bl u [A n Bl 5. Cierto tipo de motor eléctrico falla por obstrucción de los rodajes, por combustión del embobinado o por desgaste de las escobillas. Suponga que la probabilidad de la obstrucción es el doble de la combustión, la cual es cuatro veces mas probable que la inutilización de las escobillas . ¿Cuál es la probabilidad de que el fallo sea por cada uno de esos tres mecanismos? 148 al 13' 13' 13 166 dl 13' 13' 13 238 bl 13' 13' 13 247 el 13' 13' 13 157 el 13' 13' 13 . 6. En una habitación se encuentran el siguiente grupo de personas: 5 hombres mayores de 21 . 4 hombres menores de 21. 6 mujeres mayores de 21 y 3 mujeres menores de 21 . Se elige una persona al azar. Se definen los eventos siguientes : . A {la persona es mayor de 21}; B = {la persona es menor de 21}; C = {la persona es hombre}; D = {la persona es mujer}. Se pide evaluar las siguientes: P(B u Dl Y PíA u Cl 12 1 al 18' 6 13 1 bl 18' 6 12 3 cl 18' 6 13 4 dl 18' 6 13 5 el 18' 6 7. Un cargamento de 1500 lavadoras contiene 400 defectuosas y 1100 no defectuosa. Se eligen a azar doscientas lavadoras (sin sustitución) y se clasifican ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren exactamente 90 artículos defectuosos? 8. Un mecanismo puede ponerse en cuatro poslclOnes digamos, a, b, c y d. Hay B de tales mecanismos en un sistema. De cuántas nJ.aneras puede instalarse ese sistema? Suponga también que dichos mecanismos estén instalados en algún orden (lineal) pre-asignado. ¿de cuantas m,aneras posibles se instalan los mecanismos si dos mecanismos adyacentes no están en la misma posición? a) 48 , 3 . 47 d) 38 , 4 . 37 b) 38 , 42 .36 e) 48 , 4 . 37 9. Supongamos que de N objetos elegimos n al azar, con sustitución. Cuál es la probabilidad que ningún objeto sea elegido mas de una vez? (Suponga que n < N) a) (N - 1)! -..!... (N -n)! N0 d) (N - 1 )! (N -n)! b) (N)! 1 (N -n)! No - 1 e) 1 N° (N-1)! 1 c) -- (N-n)! N o - 1 10. Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos. Se propone verter un líquido en un estanque y agregar sucesivamente los otros líquidos. Todas las combinaciones posibles deben probar para establecer cual da mejor resultado. ¿Cuántas pruebas deben hacerse? alBO b)90 e) 100 d) 110 e) 120 . 15.15 AUTOEVALUACIÓN 1. Considere cuatro objetos, a , b , c y d. Suponga que el orden en el cual se anotan estos objetos representa el resultado de un experimento. Sean A y B los eventos definidos como: A = (a esta en primer lugar); B = (b esta en segundo lugar). Determine el número de elementos de los eventos A n B y A u B a)2y28 b)2y14 c)6y14 d)6y28 e)2y3 2. En un periodo de 24 horas. en un momento X, un interruptor se pone en la posición "Encendido". Posteriormente. en un momento Y (durante el mismo periodo de 24 horas) el interruptor se pone en la posición de "apagado". Suponga que X e Y se miden en horas en el eje de tiempo con el comienzo del periodo como origen. El resultado del experimento consta del par de números (X.Y) . Describa el espacio muestral a) {(x. y) : O ~ x < y ~ 24) e) {(x. y) : O ~ Y ~ 24) b){(x. y) : O ~ x ~ y ~ 24) d) {(x. y) : O ~ Y < x ~ 24) e) {(x. y) : O ~ x < y) 3. Suponga que A y B son eventos para los cuales prAl = x . P[BI = y. P[A n Bl = z. Expresar P[A: u Bl y P[A: n Bl en términos de x. y. z . a) (x - z) y (y - z) b) (1 - x) y (y - z) e) (1 - z) y (y - z) d) (x - z) y (y - x) e) (y - z) y (x - z) 4. Suponga que A. B Y C son eventos tales que prAl = P[B) = 1 1 P[CI = 4 ' PíA n B) = P(C n B) = O Y P(A n C) = 8' Calcular la probabilidad de que al menos uno de los eventos A. B o C ocurra. 1 a) - 8 b) 2 8 3 e) - 8 d) ~ 8 7 e) - 8 5. Un mecanismo consta de dos tipos de repuestos. digamos 1 y 11. Suponga que hay dos del tipo 1 y tres del tipo 11. Definir los eventos Ak: la k-ésima unidad del tipo 1 este funcionando correctamente (k = l. 2). Bf la ]-eSlma unidad del tipo II esta funcionando correctamente (j = l. 2. 3). Finalmente C representa el evento: el mecanismo funciona. Dado que el mecanismo funciona si al menos una unidad del tipo 1 y dos unidades del tipo II funcionan. exprese el evento C en función de los Ak y los Bj 6. 7. a) (Al U A2) n [(B l n B 2) u (B l n B 3) u (B2 n B3)] . b) (Al U A2) n ((B l n B2) u (Bl n B3)] e) (Al u A2) n ((B l n B3) u (B2 n B 3)) d) (Al U A2) n ((B l n B 2)) e) (Al u A2) n ((B l n B2 n B)] Determinar la probabilidad p . o estimador de ella. para la apartdón de un sola tirada de dos dados de una suma dé 8 puntos. 3 5 a) 36 b) 36 12 e) 36 dl 15 36 18 el 36 En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas de 1 a 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los números de·las insignias.¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de las insignias sea 5? 1 al - 6 bl ~ 6 1 e) - 12 2 d) 12 4 e) 12 8. Suponga que se escriben tres dígitos 1. 2. 3 Y 4 en un orden aleatorio. Cuál es la probabilidad que al menos un dígito ocupe su lugar propio? 1 a) 25 2 b) 2fi 4 e) 25 1 dl 20 2 e) 20 9. Diez fichas numeradas della lOse mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (X,Y) una y otra Vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad que X + Y = lO? 4 a) 45 8 b) 45 2 el 25 4 dl 35 4 el 25 10. Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día, A fin de impedir a los operadores que sepan cuando se les inspeccionara, varia el orden de l~s visitas. ¿de cuantas maneras puede hacerlo? al 180 bl 360 el 720 dl 1440 el 2880 11. Un mecanismo complejo puede fallar en 15 partes diferentes. Si falla en 3 partes. ¿de cuantas maneras puede suceder? a) 255 bl 325 el 375 dl 425 el 455 12. Hay 12 maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño defecto y 10 maneras en las cuales pueden tener un defecto mayor. ¿de cuantas maneras puede ocurrir un defecto menor y uno mayor? ¿2 defectos menores y 2 defectos mayores? al 120 Y 2970 dl 180 y 2870 bl 130 y 2970 el 200 y 3000 el 160 Y 2870 13. De las letras a, b, e, d , e , y J ¿Cuántas palabras de clave de 4 letras se pueden formar si, Ninguna letra se puede repetir?, Cualquier letra se puede repetir cualquier número de veces? al 220 Y 1270 dl 320 y 1300 bl 230 Y 1296 el 360 y 1296 el 260 Y 1300 14. Suponga que (991 = a y (991 = b. Expresar (1001 en ~ 5 J 4 ) 95 J [unción de a y b . [Indicación: no calcule las expresiones anteriores para resolver este problema) a) 2a b) 2b e) a - b d) a + b e) 2(a + b) 15. Entre los números 1.2 ... . 50 se escoge un número al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea di' isible por 6 o por 8? al 0 .12 b) 0.18 e) 0 .24 d) 0 .30 e) 0 .36 16. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 4 monedas de cobre, y un segundo monedero contiene 4 monedas de plata y 3 de cobre. Si se elige al azar una moneda de uno ,te l·)s dos monederos Cuál es la probabilidad de que sea una moneda de plata 4 a) 42 d) 1.2 42 23 e) 42 Una muestra de 200 votantes reveló la siguiente información concerniente a tres candidatos A, B Y C de un cierto partido que se presentaba a tres cargos diferentes: 28 a favor de A y B 98 a favor de A o B pero no de e 42 a favor de B p ero no de A o e 122 a fa vor de B o e pero no de A 64 a favor de e pe ro no de A o B 14 a favor de A y e pero no de B Cuántos votantes estaban a favor de los 3 candidatos? Cuántos sólo de uno de los candidatos? a) 8 Y 142 d) 12 Y 144 b) 10 Y 142 e) 14 y 146 e) 10 Y 144 18. Cual es el precio justo a pagar para entrar en un juego en el que uno puede ganar $25 con probabilidad 0,2 y $10 con probabilidad 0,4? al $3 bl$6 el $9 dl $12 el $15 19. La probabilidad de que un hombre viva dentro de 25 años es y la pr~babilidad de que su esposa viva dentro de 25 años es -, Hallar la probabilidad de que ambos vivan y de que v?va solamente el hombre 1 1 al - y - 5 5 bl -2 1 y- 5 5 2 2 el - y - 5 5 2 3 dl - y- 5 5 3 3 el - y- 5 5 20. De un total de 800 familias con 4 hijos cada una Qué porcentaje cabe esperar que tenga, 2 niños y 2 runas? Al menos 1 nino? al37,0% Y 90,0% el37,5% y 93,75% el 39,0% y 95,0% 0)37,5% Y 90 ,0% d)37 ,5O/c y 95,0% 15.16 CLAVE DE RESPUESTAS De los problemas propuestos I el: I : I : I : I : I : I : I : I ~ I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b a e d e b e d a e 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 e a e d d d a e b e