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PROBABILIDADES EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF














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El cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción y análisis de fenómenos estadísticos. La teoría de probabilidades es de trascendental importancia en las matemáticas, pues tiene una aplicación directa en muchos problemas de ingeniería, administración, economía, etc, donde es necesario tomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estadísticos. Ejm: ¿Cuál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado? EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EJEMPLOS ε1 : Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles ε2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta ESPACIO MUESTRAL (). Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Para los ejemplos antes mencionados: 1 = (c,c); (c,s); (s,c); (s,s) 2 = (1;2;3;4;5;6) EVENTOS O SUCESOS: Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ....). Del ejemplo 1 antes mencionado, sea el evento A = en los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos A = (c,c); (c,s); (s,c) OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos. Operación Se lee: A  B: Ocurre A, ocurre B o ambas Ocurre al menos uno de ellos. A  B: Ocurre A y ocurre B; Ocurre ambas a la vez A – B: Ocurre solamente A; Ocurre A pero no B AC : No ocurre el suceso A. CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS * SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y sólo si A B =  ; esto quiere decir que no ocurren juntos (simultáneamente). Ejemplo: En una aula de Pre UNI , se tiene los siguientes sucesos: A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años.  Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos. * SUCESOS COMPATIBLES Aquellos que pueden presentarse simultáneamente. Ejemplo: Lanzar dos dados y que aparezcan un dos o un cinco. * SUCESOS INDEPENDIENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se lanza un dado 2 veces D: Sale 3 en el primer lanzamiento E: Sale 3 en el segundo lanzamiento. * SUCESOS DEPENDIENTES Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se tiene dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras, en tanto que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la urna A una bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B, el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A. * DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD. (Definición Clásica). Si A es un suceso de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P (A) y está dado por la relación: Ejm 1: Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo. Solución  = 1,2,3,4,5,6 A = 2,3,5  P(A) = 3/6 = 1/2 En forma general para “n” dados se cumple que Nº casos totales = 6n  Cuando se lanzan dos dados simultáneamente, aumenta la diversidad de eventos que puedan ocurrir, esto es: 6² = 36 casos en total Los eventos más frecuentes, son aquellos que involucran a la SUMA de los números que aparecen en sus caras superiores. CUADRO de las SUMAS que se OBTIENEN al LANZAR DOS DADOS: Dado 2 Dado 1  1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 De este cuadro se deduce que: * SUMA MAS PROBABLE que salga es el 7 y su probabilidad es de 6/36. * SUMAS MENOS PROBABLES son el 2 y el 12 y su respectiva probabilidad es de 1/36, para cada uno. Resumen del cuadro de Sumas: Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nº de casos 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Proba-bilidad 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 Ejm. 2: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados, su suma sea un múltiplo de 3? Solución: Para que sea múltiplo de 3, la suma debe ser 3,6,9 o 12, siendo los casos favorables de 2,5,4 y 1 respectivamente, que en total hacen 2+5+4+1, igual a 12 casos favorables, con respecto a 36 casos en total. Por lo tanto, la probabilidad será: Para el caso de NAIPES: Debemos saber que el mazo consta de 52 cartas: - palo de 13 cartas de corazones() - palo e 13 cartas de diamantes (•) - palo de 13 cartas de Tréboles () - palo de 13 cartas de Espadas () Ejm 3: De un mazo de 52 cartas, al extraer una de ellas ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as? Solución: Como en un mazo de 52 cartas hay 4 ases, entonces la probabilidad será: Para el caso de MONEDAS: Una moneda tiene una CARA y un SELLO, es decir, cada moneda tiene dos casos totales. En general, para “n” monedas, se cumple que: Nº de casos totales = 2n Deducción sencilla: en cada MONEDA, se cumple que: Probabilidad para obtener CARA = ½ Probabilidad para obtener SELLO = ½ AXIOMAS DE PROBABILIDADES 1. Si A es un suceso definido en el espacio muestral () entonces: O < P(A) < 1 ; O% < P(A) < 100% 2. Al espacio muestral () le corresponde P() = I * La probabilidad será 1 cuando el suceso sea seguro. * La probabilidad será cero cuando el suceso sea imposible TEOREMA DE LA ADICIÓN: Si A y B son sucesos no excluyentes definidos en un espacio muestral, entonces: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes A  B = ; P (A  B) = 0 P(A  B) = P(A) + P (B) TEOREMA DE LA MULTIPLICACION Sean A y B dos sucesos incluidos en el espacio muestral , entonces: - Si A y B son sucesos no independientes P(A  B) = P(A) x P(B/A) Ejm. 4: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea blanca y la segunda azul. Solución P(b a) = P(b) x P(a/b) = - Si A y B son independientes P(A  B) = P(A) x P(B) Ejm. 5: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente, con reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea azul y la segunda blanca. Solución: P(a y b) = P(a) x P(b) = EXTRACCIÓN SIMPLE Para naipes, bolas y otras, cuando se quiere extraer de una en una, la probabilidad se determina por un simple cociente de los casos favorables respecto a los casos totales. Ejm. 6: De una caja que contiene 5 bolas rojas y 3 negras, se extrae uno de ellos al azar. Determinar la probabilidad que sea negra. Solución n () = 8 n (N) = 3 => P(N) = 3/8 EXTRACCIÓN MÚLTIPLE Cuando se extraen DOS o más objetos, se puede hallar la Probabilidad por dos métodos. a) MÉTODO DE LA FRACCIÓN Hacer el PRODUCTO de tantas fracciones como EXTRACCIONES se hayan realizado. Nº de Fracciones = Nº de Extracciones Ejm. 7: De un mazo de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres al azar, éstas sean una figura (J, Q, K)? Solución: En un mazo de 52 cartas existen 4 cartas “J”, 4 cartas “Q” y 4 cartas “K”, entonces tendremos 12 cartas favorables que se van a extraer de una en una. La probabilidad de la primera será: La probabilidad de la segunda será: , ya que hay una figura menos. La probabilidad de la tercera será La probabilidad respuesta será el producto: b) MÉTODO DE LAS COMBINACIONES Cuando se extraen varios objetos, se cumple que la “Probabilidad de la Extracción Múltiple equivale a un COCIENTE de COMBINACIONES”. Se debe aplicar una COMBINACIÓN, tanto a los CASOS FAVORABLES como a los CASOS TOTALES. P(k) = Siendo: K = Número de casos favorables que se extraen al azar de “r” en “r” (r>1) M = Número de casos totales, que se extraen al azar de “r” en “r”. Ejm. 8: De un mazo, se extraen 2 cartas ¿Cuál es la probabilidad que sean espadas? Solución: Como en un mazo de 52 cartas hay 13 espadas, por el método de las combinaciones, tenemos que: La probabilidad será: = Ejm. 9: En una urna se tiene 4 bolas negras, 5 blancas y 7 verdes. Al extraer tres de ellas, ¿Cuál es la probabilidad que sean negras? Solución: La probabilidad será de = Ejm. 10: Se tienen 10 objetos buenos, 4 dañados y otos 2 con daños importantes. ¿Cuál es la probabilidad que al sacar 2 objetos al azar, éstos sean buenos?. Solución: En total son: 10+4+2 = 16 objetos en total Por el método de las fracciones, será: Por el método de las combinaciones: PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determina la probabilidad de realizar el siguiente suceso: “Obtener cara por lo menos 2 veces al lanzar al aire 3 veces una moneda” Solución: Si lanzamos por vez primera, puede que resulte cara y si no cae cara tiene que ser sello; luego si lanzamos la moneda por 2da vez y después por 3ra vez se presentarán las ocurrencias que ilustramos en el diagrama adjunto. LANZAMIENTO DE LA MONEDA 1 vez 2 veces 3 veces C S CC CS SC SS CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS Como nos piden hallar la probabilidad de sacar por lo menos 2 caras, esto es 2 o más caras, entonces las caras favorables que observamos en la tercera columna son: ccc, ccs, csc y scc, siendo 4 posibilidades de un total de 8, luego: P(por lo menos 2 caras) = 2. En una caja hay 5 bolas rojas y 3 negras. Sin mirar se saca una bola y no se devuelve a la caja, luego se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas que se sacaron sean rojas? Solución: La probabilidad de sacar una bola roja la primera vez es de: , y la probabilidad de sacar una bola roja la segunda vez es de: . Como la ocurrencia de los sucesos están ligadas mutuamente, aplicamos el teorema dado: P(R y R) = P(R) + P(R) = 3. Se escogen al azar 4 naranjas entre 10 naranjas que habían en una caja, de las cuales 6 estaban malogradas, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 exactamente sean malogrados? Solución: Según los datos se tiene: Total de naranjas: 10 6 malogrados 4 sanos a) Si se extraen 4 naranjas del total de naranjas (10), entonces el número de maneras se obtendrá: 210 maneras b) Si se extraen 4 naranjas, donde dos naranjas deben ser malogradas entonces los otros dos serán sanas. El conjunto de casos posibles de extraer dos naranjas malogradas de los 6 y 2 sanas de los 4 será. = 90 maneras  la probabilidad es de: P(A) = 4. Un profesor de aula ha seleccionado a 10 niños y 4 niñas para recitar 3 poesías para actuación central del aniversario del plante. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros sean niños y la última sea niña? Solución: Según los datos el total de alumnos seleccionados son: 10 niños 14 alumnos 4 niños Determinando las probabilidades tenemos: Que el primero sea niño: Que el segundo sea niño: Que el tercero sea niña: Como los tres eventos son independientes uno del otro, la probabilidad final será: P(F) = 5. Nueve personas se sientan al azar en una mesa redonda. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas queden contiguas? Solución: Sean A, B y C las personas que van a sentarse siempre juntas o contiguas, entonces: Calculamos el número total de formas en que se puedan sentar las 9 personas: (9-1)!= 8! Si las 3 personas (A, B y C), siempre están juntos, entonces las formas que se pueden ubicar es: 3 x 2 x 1 = 6 formas Las 6 personas restantes se podrán ubicar de: 6! formas Finalmente la probabilidad (P(A)) de que las tres personas queden contiguas es: (P(A)) = EJERCICIOS 1. Se tiene una baraja de 52 cartas y de ellas se extrae una. Hallar la probabilidad de que la carta extraída: a. Sea una reina de “oros” b. Sea un As c. Sea de figura negra d. Represente su valor con un número 2. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 veces una moneda se obtenga: a. 2 caras y un sello b. Por lo menos 2 veces cara c. Caras únicamente d. A lo sumo 2 veces sello Además, hallar la probabilidad que: e. 2 caras no aparezcan consecutivamente f. Todos los resultados no sean iguales g. No se obtengan 3 sellos 3. Se va a seleccionar un comité de 5 hombres, a partir de un grupo de 8 norteamericanos, 5 ingleses y 3 franceses. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté compuesto por 2 norteamericanos, 2 ingleses y 1 francés? Rpta.: ........ 4. Se lanza un par de dados. Si la suma es 6, ¿Hallar la probabilidad de que uno de los dados sea dos ?. Rpta.: ........ 5. Una caja contiene 4 bolas rojas, 3 bolas blancas y 2 bolas azules. Si se extraen 3 bolas al azar, determinar la probabilidad de que: a. Las 3 bolas sean rojas b. 2 sean rojas y 1 sea blanca c. Las 3 bolas sean blancas d. Salga una de cada color Dar como respuesta la suma de dichos resultados Rpta.: ........ 6. Se lanza una moneda cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan todos iguales? Rpta.: ........ 7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma 7 u 11 en el lanzamiento de dos dados? Rpta.: ........ 8. De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determinar las probabilidades siguientes: a. Que todos sean ases. b. Que todos sean tréboles c. Que todos sean del mismo palo Rpta.: ........ PROBABILIDADES 1. Se lanzan un par de dados. Halle la probabilidad de obtener una suma múltiplo de 3. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN =3 ó 6 ó 9 ó 12 = 2 + 5 + 4 + 1 RPTA.: B 2. Se lanzan tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados de cada dado sea impar? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: A 3. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probabilidad de que ambas sean blancas. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN 4 B y 2 N 3 B y 5 N x = RPTA.: D 4. Se lanza un dado y dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo en el dado y dos sellos en las monedas? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 5. Se le pide a un niño que sombree un cuadrado en la siguiente figura. ¿Cuál es la probabilidad que este sea de 2 cm. de lado? A) 2/9 B) 2/7 C) 4/7 D) 5/9 E) 5/14 RESOLUCIÓN  RPTA.: B 6. Se lanza una moneda 5 veces, cuál es la probabilidad de obtener 3 caras y 2 sellos? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 7. Se lanzan 4 monedas y dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras en las monedas y una suma igual a 10 en los dados? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN A: 3 caras B =  = 10 RPTA.: C 8. Se lanzan 4 monedas en forma simultánea. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello y 3 caras? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN  RPTA.: E 9. Desde un avión se suelta un proyectil dirigido hacia un blanco (región circular de radio 40 m). ¿Cuál es la probabilidad que el proyectil dé en el blanco, si está sobre una región circular de radio 20 m? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: E 10. Diez libros, de los cuales 6 son de física y 4 de química, se colocan al azar en un estante. Determinar la probabilidad de que los libros de física queden juntos. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: B 11. En una caja se tiene 90 fichas numeradas del 1 al 90. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha esta sea múltiplo de 3 o 7? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: A 12. Dos sementales se distribuyen al azar en 3 corrales denominados A, B y C, pudiendo estar ambos en un mismo corral. ¿Cuál es la probabilidad de que el corral A quede vacío? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN  RPTA.: C 13. Se pide a Diana que escriba un número de 3 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 5? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: B 14. Ocho parejas de enamorados se encuentran en una reunión y se escogen dos personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que una se hombre y la otra mujer? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 15. Diez personas participan en una competencia de 400 metros planos; si tres participantes son de una misma nacionalidad, ¿cuál es la probabilidad de que ocupen los tres primeros puestos? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: E 16. En una banca se van ubicar 4 hombres y 4 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que se sienten en forma alternada? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: D 17. Cinco personas se van a sentar en fila y al azar; si entre ellas están Maria y Diana, cuál es la probabilidad que María se siente a la derecha de Diana? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: B 18. Walter desea viajar a Cuzco, pero solo puede hacerlo por avión o por ómnibus. Si la probabilidad de viajar en avión es el cuádruple de viajar en ómnibus y además la probabilidad de no viajar es de 0,75. ¿Cuál es la probabilidad de viajar en ómnibus? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN  P(no viajar) = 0,75 RPTA.: E 19. Una familia con tres hijos salen al campo. Una vez allí prenden una fogata y se sientan alrededor, ¿Cuál es la probabilidad de que los padres se sienten juntos? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: D 20. Maria da en el blanco 4 veces en 5 tiros, Diana 3 veces en 4 tiros y Elena da 2 veces en 3 tiros. Si las tres disparan en forma simultanea, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres acierten en el blanco? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: A 21. Se arroja una moneda 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad que se obtengan 4 caras y 2 sellos? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN P() = P() = RPTA.: C 22. Una ficha cuyas caras están marcadas con los números 3 y 4 es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea igual a 11? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: B 23. En una carpeta se van ubicar 4 hombres y tres mujeres al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 mujeres se ubiquen en el centro? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 24. Un lote de 12 focos de luz tiene 4 defectuosos. Se toman tres al azar del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad de que los tres estén buenos. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN 12 FCS RPTA.: C 25. Se compran las dupletas: 2-5, 6-6 y 8-6. Si en la primera carrera corren 10 caballos y en la segunda corren 8 caballos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una dupleta? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 26. En una caja hay 6 cartas rojas y 16 blancas, se saca una carta y se devuelve a su lugar, luego se saca otra carta. Hallar la probabilidad de que ambas cartas sean rojas. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: E 27. La probabilidad de que Milagros se compre una blusa es de 0,3 y de que compre una falda es de 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas, si la probabilidad de no comprar ninguna es de 0,5. A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 RESOLUCIÓN  P (1 sola prenda) =0,2 RPTA.: B 28. La probabilidad de aprobar Matemáticas es de 0,6 y la probabilidad de aprobar Lenguaje es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos? A) 0,12 B) 0,48 C) 0,32 D) 0,44 E) 0,14 RESOLUCIÓN P (M) = 0,6 P (L) = 0,8 P (MoL)=0,6+0,8-2(0,6)(0,8) = 0,44 RPTA.: D 29. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces se obtenga como mínimo dos caras? A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: C 30. De un grupo de 15 personas, 5 son muchachos, 6 muchachas y 4 son adultos. Se desea formar un comité de 5 personas. ¿Cuál es la probabilidad que el comité este formado por 2 adultos, 2 muchachas y 1 muchacho?