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PRINCIPIO DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN PREGUNTAS RESUELTAS DE COMBINATORIA

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO 
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el n-ésimo paso de Nr maneras o formas , entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N1×N2 × ..........× Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
En particular si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen m resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de m×n formas. 
1. Al lanzar un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuántos resultados se obtendrán?
A) 7 B) 8 C) 10 D) 4 E) 12
Resolución :
PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si una tarea se puede desarrollarse  de m maneras, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n maneras, y no es posible  realizar  ambas tareas  simultáneamente, entonces una o la otra pueden llevarse a cabo de n+m maneras diferentes.
EJEMPLO 1 :
En el estante de una biblioteca  hay cinco libros de estadística de autores diferentes y siete libros de matemática, también de distintos autores.
Si deseamos seleccionar un solo libro, ¿Cuántas  opciones diferentes tenemos?
Resolución :  
* En este es suficiente  sumar las opciones de cada tipo de libro: 5 + 7 = 12
* Observa que si elegimos un libro de estadística  ya no podemos elegir otro de matemática; luego, ambos casos no pueden ocurrir a la vez.
2. Un producto se vende en 3 mercados en el primero se tienen disponibles 7 tiendas en el segundo en 4 tiendas y en el tercero en 6 tiendas. ¿De cuántas maneras puede adquirir una persona un ejemplar de dicho producto?
A) 148 B) 17 C) 168 D) 24 E) 236
Resolución :
EJEMPLO 2 :
En tres mercados de una pequeña ciudad se venden arroz por saco; en el primer mercado hay disponibles seis tiendas, en el segundo cuatro y en el tercer mercado cinco tiendas.
¿De cuántas maneras puede realizarse la compra de un saco de arroz?
RESOLUCIÓN :
* Es evidente que, si decidimos comprar el saco  de arroz en el primer mercado, por  ejemplo, ya no lo compraremos  ni el segundo  ni en el tercer mercado.
* Luego, la compra puede realizarse de:
6+4+5 = 15 maneras diferentes.
PRINCIPIO  DE  ADICIÓN
Cuando afrontemos casos en los cuales dos situaciones no pueden darse simultáneamente, entonces usamos el principio de la adición.
Si un evento «A» ocurre o se puede efectuar de «m» maneras diferentes  y otro evento «B» se puede efectuar de «n» maneras diferentes , entonces «A» ó «B», se puede efectuar (en forma no simultánea) de «m+n» maneras diferentes.
Generalización del principio de la adición
Si un evento E1 ocurre de n1 formas diferentes, un segundo evento E2 tiene n2 formas  de ocurrir y, así sucesivamente, un evento Ek ocurre de nk formas, entonces el evento E que consiste en realizar E1 o E2 , o…. finalmente Ek, ocurre de:

n1 + n2 +……..+ n k formas diferentes, siempre que los conjuntos de resultados posibles de cada evento no aparezca simultáneamente.
Ejemplo 1:
«Chary» desea viajar de Lima a Cuzco; si dispone de 4 líneas aéreas y 2 líneas terrestres  ¿ de cuántas maneras diferentes puede realizar el viaje?
reSolución:
Para viajar de Lima a Cuzco a, puede hacerlo por línea aérea (4 maneras) o por línea terrestre (2 maneras) , considerando  que al elegir un transporte  ya no se podrá utilizar otro en forma simultánea , es decir podrá utilizar ya sea  a1 ó a2  ó a3 ó  a4  ó b1 ó b2 .

 Maneras de viajar : 4 + 2 = 6

Ejemplo 2:
Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir entre el transporte por bus o tren . Si hay 7 rutas para el tren y 8 para el auto. ¿De cuántas maneras podremos cumplir con el viaje?
reSolución :
* al igual que el ejemplo anterior ; al escoger una ruta se tendrá que excluir a otra , por lo tanto :
NÚMERO DE MANERAS : 7+8 = 15
EJEMPLO 3 :
De cuantas maneras diferentes podra viajar una persona de A a E sin pasar ni regresar por el mismo camino?
RESOLUCION :
* analizando todas las posibilidades se obtendrá:

Problema 3:
En un salón de 18 hombres y 20 mujeres se elige al azar un delegado para que represente al salón en una asamblea de delegados del colegio. ¿Cuántas posibilidades hay para elegir dicho representante?
a) 36 b) 360 c) 38 d) 90 e) 21
Resolución:
Puede ser elegido uno de los 18 hombres o una de las 20 mujeres. Entonces 18+20=38 posibilidades. (Principio de Adición)
Rpta : ‘‘C’’
Problema 4:
En el problema anterior, en lugar de elegir un solo representante, se desea elegir una pareja formada por un hombre y una mujer. ¿Cuántas son las posibilidades de elegir?
a) 180 b) 360 c) 19 d) 21 e) 190
Resolución :
Escojamos uno de los 18 hombres, el puede hacer pareja con cualquiera de las 20 mujeres.
Cada hombre tiene 20 posibilidades de hacer pareja. Dado que hay 18 hombres, entonces hay 18× 20 = 360 maneras de hacer parejas es decir 360 maneras de elegir una pareja (Principio de Multiplicación)
Rpta : ‘‘B’’
Problema 5:
Nicole dispone de 5 pares de sandalias, 4 pares de zapatos negros, 3 pares de zapatos marrones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá usar los calzados?
a) 120 b) 14 c) 15 d) 100 e) 18
Resolución :
Notarás que no puede usar varios pares a la vez (simultáneamente), pues si se pone sandalias no podrá usar zapatillas; entonces aplicamos el principio de adición :




Podrá usar un par de calzados de 14 maneras distintas.
Rpta : ‘‘B’’
Problema 6:
En la figura A, B, C y D son ciudades y cada línea es un camino. Si una persona desea viajar. ¿De cuántas maneras puede elegir su recorrido?. Se sabe :
1) Sale de A hacia D (pasando por B y C sin retroceder).
2) Sale de A hacia D y luego regresa hacia A.
3) Sale de A hacia D y luego regresa hacia A sin pasar de nuevo por el mismo camino.




a)60, 3400, 3600  d)59, 3600, 3540  b)60, 3600, 3540 e)60, 360, 3599  c)60, 3000, 4240
Resolución:
Problema 7:
Un ladron quiere abrir una caja fuerte cuya clave consta de  4 dígitos, solamente sabe que los dígitos posibles son 2,4,6, y 8. ¿Cuál es el número máximo de combinaciones erradas que podría intentar?
A)24 B)255 C)256 D)23 E)110
Resolución :
Primero contemos el total de combinaciones :
Nótese que para cada una de ellas hay 4 posibilidades, ya que para cualquier combinación se pueden repetir los dígitos más de una vez.
* Luego se multiplica dichas posibilidades (Principio de Multiplicación) porque la marcación de los dígitos se hace uno tras otro.
De las 256 combinaciones, 1 de ellas abrirá la caja,entonces las 255 restante serán erradas.
El N° máximo de combinaciones erradas
 = 256–1=255
Rpta : ‘‘B’’
Problema 8:
¿Cuántos números de 3 cifras necesitan al menos una cifra par o cero en su escritura?
a) 800 b) 900 c) 666 d) 775 e) 680
Resolución :
Cuando en un enunciado expresa : «Por lo menos o al menos» ; resolveremos de la siguiente manera :
Calculamos la cantidad total de números de 3 cifras y a este total le quitamos la cantidad de números de tres cifras formados solo por cifras impares (Los números que no debemos considerar).
 ¿Que nos quedará? ... Números de 3 cifras con al menos una cifra PAR o CERO en su escritura, así :
 La cantidad de números que utilizan al menos una cifra par o cero en su escritura es
900–125=775
Rpta : ‘‘D’’
Problema 9:
María tiene para vestirse 8 pantalones (4 Iguales), 3 minifaldas, 7 blusas (2 Iguales), 5 polos (4 Iguales) y 8 pares de zapatos.
¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse?
a) 420 b) 512 c) 614 d) 720 e) 1024