Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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POTENCIAS Y RAICES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA – MATEMATICA 3 ESO PDF

Escribe como potencias positivas las negativas, y viceversa. Expresa estas potencias como potencias únicas y calcula las operaciones. a) 23 25 c) 62 6 4 b) 6 3 6 3 d) 102 104 a) 23 5 28 256 c) 62 ( 4) 66 46 656 b) 6 3 ( 3) 6 6 0,000021 d) 102 4 10 2 0,01 Expresa en forma de potencia única estas potencias y obtén el resultado. a) 2 2 3 2 7 2 c) 353 53 7 3 b) 34 64 18 3 d) 82 22 4 2 a) (2 3 7) 2 42 2 0,00056 b) (3 6)4 18 3 184 : 18 3 184 ( 3) 187 3,93 1022 c) (35 5 7)3 13 1 d) (8 2)2 4 2 42 4 2 44 256 Escribe las siguientes potencias como potencias únicas y calcula el resultado. a) (3 3)2 c) (2 2)4 b) (22) 3 d) (5 3) 2 a) 3( 3) 2 3 6 0,00137 c) 2( 2) 4 2 8 0,00391 b) 22 ( 3) 2 6 0,01563 d) 5( 3) ( 2) 56 15 625 Expresa cada número en notación científica. a) 123,5245 105 c) 5 437,65 108 b) 0,01245 109 d) 0,0054376 a) 1,235245 107 c) 5,43765 1011 b) 1,245 107 d) 5,4376 10 3 Escribe en notación científica estos números. a) 1 200 000 c) 0,00000045 b 3 230 000 000 d) 0,00000000132 a) 1,2 106 c) 4,5 10 7 b) 3,23 109 d) 1,32 10 9 Realiza estas operaciones y expresa el resultado en notación científica. a) 8,05 107 3,16 107 b) 3,13 108 1,66 107 a) (8,05 3,16) 107 11,21 107 1,121 108 b) (3,13 10 1,66) 107 (31,3 1,66) 107 29,64 107 2,964 108 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2 Potencias y raíces La masa de la Luna es de 7,34 1023 kilogramos, y la de la Tierra, de 5,98 1024 kilogramos. ¿A cuántas Lunas equivale la masa de la Tierra? 5 7 , , 9 3 8 4 1 1 0 0 2 2 4 3 8,147 La masa de la Tierra es aproximadamente 8 Lunas. Expresa en forma de raíz estas igualdades. a) 92 81 b) 63 216 c) ( 4)3 64 d) ( 10)3 1 000 a) 9 8 1 c) 4 3 64 b) 6 3 2 16 d) 10 3 1 000 Escribe en forma de raíz cada igualdad y luego halla el valor de x. a) x2 144 b) x3 — 10 1 00 — c) x2 — 1 2 6 5 — d) x5 100 000 a) x 144 12 c) x 1 2 6 5 1 2 6 5 4 5 b) x 3 1 0 1 00 3 1 3 0 1 00 1 1 0 d) x5 100 000 ⇒ x 5 100 00 0 10 Calcula cada raíz con una aproximación de dos cifras decimales, por exceso y por defecto. a) 5 5 8 b) 4 4 9 c) 3 1 50 d) 6 1 00 Calcula por aproximación estas raíces. a) 0 ,25 b) 3 0 ,064 c) 0 ,81 d) 3 0 ,125 a) b) c) d) 2.12 2.11 2.10 2.9 2.8 Por defecto Por exceso Entero 02 0 12 1 Decimal 0,52 0,25 Resultado exacto Por defecto Por exceso Entero 03 0 13 1 Decimal 0,43 0,064 Resultado exacto Por defecto Por exceso Entero 02 0 12 1 Decimal 0,92 0,81 Resultado exacto Por defecto Por exceso Entero 02 0 12 1 Decimal 0,53 0,125 Resultado exacto 5 5 8 4 4 9 3 1 50 6 1 00 Por exceso 2,265 58,95 2,654 49,31 5,323 150,57 2,166 101,56 Por defecto 2,255 57,66 2,644 48,57 5,313 149,72 2,156 98,773 2 Potencias y raíces Indica el número de raíces de estos radicales. a) 8 b) 3 3 2 c) 5 12 d) 4 a) Dos, porque tiene índice par y radicando positivo. b) Una, porque el índice es impar. c) Una, porque el índice es impar. d) Ninguna, porque el índice es par y el radicando es negativo. Escribe tres radicales equivalentes en cada caso. a) 4 3 b) 5 2 3 a) 4 3 4 2 3 2 8 9 ; 4 3 4 3 3 3 12 2 7; 4 3 4·4 3 4 16 8 1 b) 5 2 3 5 3 ( 23)3 15 2 9; 5 2 3 5 5 (23) 5 25 2 15; 5 2 3 5 10 (23) 10 50 2 30 Comprueba si los radicales son equivalentes. a) 5 1 12 y 10 1 16 b) 3 1 32 y 12 1 38 a) 5 1 12 5 2 (112) 2 10 1 14. No son equivalentes. b) 3 1 32 3 4 (132) 4 12 1 38. Son equivalentes. Expresa los siguientes pares de radicales con el mismo índice. a) 1 1 y 3 7 2 b) 3 5 y 6 2 5 a) 1 1 2 3 1 13 6 1 13 y 3 7 2 3 2 (72) 2 6 7 4 b) 3 5 3 2 5 2 6 5 2 6 2 5 Escribe en forma radical estas potencias. a) 3 43 b) 5 72 c) 7 25 d) 3 15 a) 3 3 4 b) 5 7 c) 5 7 2 d) 5 3 Expresa estas raíces en forma potencial. a) 3 2 7 b) 8 6 4 c) 3 125 d) 4 1 000 a) 27 13 3 33 3 c) ( 125) 13 ( 5) 33 5 b) 64 18 2 68 2 34 d) 1 000 14 10 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario. a) 3 7 9 b) 3 1 012 c) 134 d) 4 1 58 a) 7 93 73 343 c) 13 42 132 169 b) 10 1 3 2 104 10 000 d) 15 84 152 225 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 2.13 2 Potencias y raíces Indica qué pares de potencias son iguales. a) 17 25 y 17 1 4 0 c) 11 24 y 11 13 50 b) 29 58 y 29 34 d) 37 13 y 370,666... a) Son iguales. Si simplificamos 1 4 0 , tenemos 2 5 . b) No son iguales, porque las fracciones 5 8 y 3 4 no son equivalentes. c) Son iguales. Ambas tienen por fracción irreducible 1 2 . d) Son iguales. Si pasamos 1 3 a número decimal, obtenemos 0,6666… Calcula cada raíz después de factorizar. a) 1 44 c) 2 55 b) 3 0 ,027 d) 3 0,00 8 a) 1 44 2 4 32 22 3 12 b) 3 0 ,027 3 2 7 10 3 3 3 3 10 3 3 10 1 0,3 c) 2 25 5 2 32 5 3 15 d) 3 0,008 3 8 1 0 3 3 23 1 0 3 2 10 1 0,2 Realiza estas operaciones. a) 3 5 3 7 3 2 c) 5 2 3 b) 5 3 5 4 5 2 d) 4 5 6 a) 3 5 3 7 3 2 3 5 7 2 3 7 0 c) 5 2 3 5 2 3 5 23 4 0 b) 5 3 5 4 5 2 5 3 4 2 5 6 d) 4 5 6 4 5 6 20 6 Introduce en el radical los números que están fuera. a) 3 3 c) 11 7 b) 7 3 2 d) 4 3 4 a) 3 3 3 2 3 2 7 c) 11 7 1 12 7 8 47 b) 7 3 2 3 7 32 3 6 86 d) 4 3 4 3 4 34 2 56 Efectúa estas sumas de radicales. a) 3 1 8 5 3 2 6 5 0 b) 12 3 8 1 6 3 2 4 a) 3 1 8 5 3 2 6 5 0 3 2 32 5 2 5 6 2 52 3 3 2 5 22 2 6 5 2 19 2 b) 12 3 8 1 6 3 2 4 12 3 3 4 6 3 3 23 12 3 3 3 6 2 3 3 24 3 3 2.24 2.23 2.22 2.21 2.20 2 Potencias y raíces Calcula el valor de estas operaciones. a) 64 23 c) 11 25 b) 7 12 7 d) 4 32 a) 64 23 26 2 4 0,0625 b) 7 12 7 7 12 7 12 7 12 12 70 1 c) 11 25 11 25 52 111 11 d) 4 32 22 2 3 0,125 Realiza las siguientes operaciones expresando los radicales como potencias fraccionarias. a) 7 2 5 2 c) 4 5 3 12 7 b) 1 2 3 5 d) 5 32 a) 7 2 5 2 35 2 5 35 2 7 35 2 12 b) 1 2 5 5 2 3 1 23 3 2 5 2 6 1 23 52 6 43 200 c) 4 5 3 12 7 4 3 (53) 3 12 7 12 5 9 7 d) 5 3 2 2 5 3 2 5 3 2.26 3 2 5 2 2 3 5 2 2.25 2 Potencias y raíces P R O B L E M A S P R O P U E S T O S Indica el proceso para acertar la edad, en años, de Pablo con el mínimo de preguntas. Pablo se limitará a responder: "mayor” y "menor”. Busca un intervalo en el cual se encuentre su edad. Una vez lo tengas, vete reduciéndolo escogiendo el punto medio del intervalo. Si pruebas con un intervalo inicial muy grande, antes encontrarás uno en el que se encuentre la edad, y podrás empezar a aplicar la “regla del punto medio”. Si vas probando con pequeños, puede que te cueste más encontrar el intervalo. Por ejemplo, pregúntale a Pablo si su edad es 4 años. Si te responde mayor, pregúntale si es 34; si te responde menor, haya el punto medio del intervalo (4, 34), que es 19. Entonces le preguntas si tiene más o menos años que 19. Si te dice mayor, tienes el intervalo (19, 34), el punto medio es 26,5. Redondea el número a un entero: 26 ó 27, y repite el proceso. Halla la arista de un cubo si su capacidad es 2 000 litros, utilizando las cuatro operaciones. Sabemos que la arista elevada al cubo nos da como resultado el volumen. Buscamos entre los números enteros una aproximación: 103 1 000 113 1 331 123 1 728 133 2 197 Hallamos el valor central del intervalo y calculamos su valor al cubo: 12,53 1 953,125 Tomamos ahora el intervalo (12,5, 13) y repetimos el proceso del punto medio: 12,753 2 072,672 De nuevo con el intervalo (12,5; 12,75): 12,6253 2 012,307 Consideramos la arista del cubo como 12,625 cm. 2.28 2.27 2 Potencias y raíces E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Potencias de exponente entero Calcula estas potencias. a) ( 2)3 c) 3 2 b) 123 d) 4670 a) ( 2)3 8 c) 3 2 1 9 b) 123 1 d) 4670 1 Expresa como una potencia de 2 cada número. a) 1 024 c) — 6 1 4 — b) 417 d) 4 83 a) 1 024 210 c) 6 1 4 2 6 b) 417 (22)17 234 d) 4 83 22 (23)3 211 Escribe como potencias positivas, las negativas, y viceversa. a) 4 3 b) —1 5 — 2 c) 32 d) —2 3 — 4 a) 4 1 3 b) 5 2 c) 3 1 2 d) 3 2 4 Expresa estas operaciones como una sola potencia positiva. a) 23 26 d) 79 7 2 b) 3 2 35 e) 42 49 45 c) (74) 3 f) 92 33 a 23 6 29 d) 79 ( 2) 711 b) 3 2 5 33 e) 42 9 5 46 c) 74 ( 3) 7 12 f) 32 2 33 34 3 37 Calcula el resultado expresándolo en forma de potencia positiva. a) —16 4 2 2 3 — c) (53 23)2 b) 2 2 3 2 5 2 d) 273 37 9 1 a) 16 4 2 2 3 24 (2 2) 2 2 3 2 3 b) 2 2 3 2 5 2 (2 3 5) 2 30 2 c) (53 23)2 (103)2 106 d) 273 37 9 1 (33)3 37 (32) 1 39 37 3 2 34 2.33 2.32 2.31 2.30 2.29 2 Potencias y raíces Potencias de 10. Notación científica Escribe en notación científica estos números. a) 234,9 104 c) 23 millones b) 1 3 03 d) 0,0000245 a) 2,349 106 c) 2,3 107 b) 3 10 3 d) 2,45 10 5 Realiza estas operaciones y expresa el resultado en notación científica. a) 4,02 104 5,1 104 c) 3,11 103 2,2 103 b) (3 105) (2 104) d) (7 108) (4 10 3) a) 4,02 104 5,1 104 9,12 104 c) 3,11 103 2,2 103 9,1 102 b) (3 105) (2 104) 6 109 d) (7 108) (4 10 3) 1,75 1011 Una persona duerme, por término medio, ocho horas diarias. Expresa en notación científica los segundos que ha dormido, en toda su vida, una persona de ochenta años. 80 años. Cada año tiene 365 días, de cada día duerme 8 horas, cada hora tiene 60 minutos, y cada minuto, 60 segundos. 80 365 8 60 60 840 960 000 8,4096 108 segundos Radicales. Potencias de exponente fraccionario Calcula cada raíz con una aproximación de una cifra decimal, por exceso y por defecto. a) 3 3 5 b) 4 3 00 Indica el número de raíces de estos radicales. a) 5 2 43 c) 4 16 b) 3 125 d) 6 4 a) Una, porque tiene índice impar. b) Una, porque tiene índice impar. c) Ninguna, porque tiene índice par y radicando negativo. d) Dos, porque tiene índice par y radicando positivo. Calcula estas raíces. a) 4 3 8 c) 2 12 b) 3 7 9 d) 5 3 20 a) 4 3 8 3 84 32 9 c) 212 2 1 2 2 26 64 b) 3 7 9 7 93 73 73 343 d) 5 320 3 2 5 0 34 81 2.39 2.38 2.37 2.36 2.35 2.34 3 3 5 4 3 00 Por exceso 3,23 32,8 4,14 282,6 Por defecto 3,33 35,9 4,24 311,2 2 Potencias y raíces Comprueba si los siguientes radicales son equivalentes. a) 3 4 y 6 24 c) 7 1 y 4 49 b) 5 5 y 7 7 d) 3 — 1 8 25 — y —2 5 — a) 3 4 3 2 2 2 23 ; 6 2 4 2 46 2 23 . Sí, son equivalentes. b) No son equivalentes. c) No son equivalentes. d) 3 1 8 25 3 2 5 3 3 2 5 . Sí, son equivalentes. Expresa los siguientes radicales con el mismo índice. a) 4 3 y 8 5 c) 23 y 5 5 b) 5 y 7 2 3 d) 3 2 y 4 7 a) 4 3 4 2 32 8 9 8 5 b) 5 2 7 5 7 14 5 7 7 2 3 7 2 2 32 14 2 6 c) 23 2 5 235 10 2 15 5 5 5 2 5 2 10 5 2 d) 3 2 3 4 24 12 2 4 4 7 4 3 7 3 12 7 3 Escribe estas potencias de exponente fraccionario como radicales. a) 2 53 c) 3 2 3 b) 36 32 d) 4 7 2 a) 2 53 3 2 5 c) 3 2 3 3 3 b) 36 32 3 63 d) 4 7 2 7 4 2 Expresa los siguientes radicales en forma de potencia con exponente fraccionario. a) 4 7 5 b) 5 —1 2 — 3 c) 3 81 d) — 3 1 2 — a) 4 7 5 7 54 b) 5 1 2 3 2 5 3 c) 3 81 3 43 d) 3 1 2 2 3 1 Calcula estas raíces expresándolas primero como potencias de exponente fraccionario. a) 5 8 10 b) 3 — 4 1 3 — c) 8 216 d) — 1 1 06 — a) 5 810 8 1 5 0 82 64 c) 8 2 16 2 1 8 6 22 4 b) 3 4 1 3 4 3 3 4 1 1 4 d) 1 1 06 10 2 6 10 3 0,001 2.44 2.43 2.42 2.41 2.40 2 Potencias y raíces Cálculo con potencias y raíces Realiza estas operaciones. a) 2 16 6 c) 3 7 29 3 2 7 b) 3 2 5 3 5 d) 4 1 6 2 a) 2 16 6 21 6 6 3 6 6 c) 3 7 29 3 27 3 7 2 2 7 9 3 2 7 3 b) 3 2 5 3 5 3 5 3 5 d) 4 1 6 2 4 24 2 22 4 Efectúa las siguientes operaciones. a) 3 2 2 c) 5 3 4 b) — 2 8 4 — d) — 2 5 — 4 a) 3 2 2 32 2 18 c) 5 3 4 52 32 225 b) 2 8 4 2 8 4 3 d) 2 5 4 2 5 4 2 1 1 6 5 0,64 Factoriza los radicandos para obtener cada raíz. a) 1 29 60 0 c) 3 9 261 b) 6 15 625 d) 5 537 82 4 a) 1 29 600 5 23426 5 32 23 360 c) 3 9 261 3 3373 3 7 21 b) 6 15 625 6 5 6 5 d) 5 537 824 5 2 575 2 7 14 Expresa cada número como un radical. a) 5 5 c) 3 4 2 b) 7 7 3 d) 22 3 2 a) 5 5 5 3 1 25 c) 3 4 2 4 3 4 2 4 1 62 b) 7 7 3 7 5 1 6 807 d) 22 3 2 3 2 7 3 1 28 Realiza las sumas de radicales. a) 3 2 2 c) 5 1 8 8 2 7 2 b) 5 0 2 2 0 d) 3 3 2 4 3 3 75 a) 3 2 2 4 2 2 3 2 b) 5 0 2 2 0 5 2 4 2 2 c) 5 1 8 8 2 7 2 15 2 2 2 12 2 25 2 d) 3 3 2 4 3 3 75 6 3 3 5 3 3 11 3 3 2.49 2.48 2.47 2.46 2.45 2 Potencias y raíces Calcula el valor de estas potencias. a) 8 13 b) 32 5 1 c) 81 34 d) 0 74 a) 8 13 23 2 b) 32 5 1 25 2 1 c) 81 34 34 3 d) 0 74 0 Escribe estas expresiones en forma de potencia, pero con un solo exponente. a) 2 13 4 b) 3 5 4 c) 25 12 2 d) 1 2 4 a) 2 13 4 2 43 c) 25 12 2 25 22 25 52 b) 3 5 4 5 43 d) 1 2 4 2 12 4 2 2 Efectúa las operaciones. a) 3 4 3 8 3 c) 5 2 3 2 2 10 2 7 b) 3 3 4 3 3 6 34 d) 5 3 2 a) 3 4 3 8 3 8 3 4 8 3 2 8 3 8 34323 8 37 b) 3 3 4 3 3 6 3 4 12 3 4 12 3 9 12 3 8 12 3 4 39 38 12 3 5 c) 5 2 3 22 10 2 7 30 2 6 220 221 30 2 6 20 21 30 2 7 d) 5 3 2 3 4 5 Escribe en forma de potencia estas expresiones. a) 3x · 5x · 6x b) — x x — c) 3 x 2 d) 3 x a) 3x 5x 6x (3 5 6)x 90x c) 3 x 2 x 23 b) x x x 12 d) 3 x x 1 1 2 Realiza las siguientes operaciones. a) 3 5 3 12 5 34 c) 5 12 2 3 74 b) 32 2 5 16 d) 7 15 6 1 2 0 8 a) 3 5 , 3 12 5 34 12 5 4 36 59 5 12 5 36 b) 32 2 5 16 3 43 2 14 5 16 12 3 16 23 52 3 12 3 4 23 52 c) 5 12 2 3 7 4 2 6 5 3 78 d) 7 15 6 1 2 0 8 7 15 (3 2) 1 2 0 2 32 7 15 3 2 2 0 2 2 2 0 2 34 20 7 4 32 217 2.54 2.53 2.52 2.51 3 4 1 5 1 3 2.50 12 23 12 12 23 2 Potencias y raíces C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Indica si cada igualdad es verdadera o falsa. Justifica la respuesta. a) (a b)2 a2 b2 c) (a b)2 a2 b2 b) (ap)q (aq)p d) — b a— 1 —b a — a) Verdadera por las propiedades de las potencias. b) Verdadera, (ap)q ap q aq p (aq)p c) Falsa, ya que (a b)2 a2 b2 2ab d) Verdadera, b a 1 b a 1 1 b a Explica si son verdaderas estas igualdades. a) —x x 6 3 — —x x 5 2 — b) x4 x3 x6 x2 a) Verdadera, x x 6 3 x x 5 2 ⇒ x6 3 x5 2 ⇒ x3 x3 b) Falsa, x4 x3 x6 x2 ⇒ x4 3 x6 2 ⇒ x7 x8 Razona si son verdaderas las siguientes igualdades. a) ( 3) 3 3 3 c) 7 2 2 (7 2) 2 b) 2 2 ( 2)2 d) ( 1) 1 1 a) Verdadera, porque ( 3) 3 ( 1) 3 3 3 ( 1) 3 3 3 3 b) Falsa, porque 2 2 2 1 2 1 4 ( 2)2 4 c) Falsa, porque 7 2 2 7 4 1 1 4 (7 2) 2 d) Verdadera, porque ( 1) 1 1 1 1 Si, a2 b2, ¿podemos deducir que a b? Analiza la respuesta buscando ejemplos. No necesariamente. Si a 0, por ejemplo, a 1 y b 1, por ejemplo, b 0,5; se cumple que: a2 b2 (1 0,25), pero a b ( 1 0,5). ¿Qué valores puede tomar un número a para que se cumpla que a2 a? Cero o uno. Justifica si estas igualdades son verdaderas. a) 16 4 b) 8 0 0 c) 3 8 2 d) 5 4 5 2 a) Falsa. Una raíz con índice par y radicando negativo no tiene ninguna solución. b) Verdadera. Si el radicando de una raíz es 0, independientemente del índice, la solución va a ser cero. c) Verdadera, ( 2)3 8 d) Verdadera, 5 4 5 2 4 5 2 2.60 2.59 2.58 2.57 2.56 2.55 2 Potencias y raíces ¿Es siempre la raíz cuadrada de un número menor que dicho número? Analiza la respuesta buscando ejemplos. No, para los números tales que 0 x 1, x x; por ejemplo, x 0,25; entonces, x 0,5. Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. a) a b a b b) (4 3) 2 4 3 2 c) a b a b d) (4 3) 2 7 2 a) Falsa. Contraejemplo: 5 2,236 y 5 1 4 1 4 1 2 3 b) Falsa, porque (4 3) 2 7 2 9,9 4 3 2 8,2 c) Verdadera, porque a b (a b) 12 a 12 b 12 a b d) Verdadera, porque 4 3 7 ¿Cuántas raíces cuartas tiene el número 81? Por ser la raíz de un radicando positivo con índice par, existen dos soluciones, 3 y 3. 2.63 2.62 2.61 2 Potencias y raíces P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R La unidad de memoria de un ordenador es el byte. Un kilobyte (kB) son 210 1 024 bytes, un megabyte (MB) son 210 1 024 kB, y un gigabyte (GB) equivale a 210 1 024 MB. Expresa en forma de potencia cuántos bytes tiene el disco duro de un ordenador de 120 GB. 120 GB 3 5 23 210 210 210 bytes 15 233 bytes Escribe en notación científica las siguientes cantidades. a) El tamaño del virus de la gripe: 0,000 000 002 2 metros b) La población mundial: 6 400 000 000 de personas c) El peso de una molécula de oxígeno: 0,000 000 000 000 000 000 000 053 gramos a) 2,2 10 9 m b) 6,4 109 personas c) 5,3 10 23 g La distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,8 105 kilómetros. Calcula el tiempo que tarda en llegar a la Luna una nave espacial que lleva una velocidad de 200 metros por segundo. t 3,8 20 0 108 1,9 106 s 21 días 23 h 46 min 40 s Una molécula de hidrógeno pesa 3,3 10 24 gramos. ¿Cuántas moléculas hay en un gramo de hidrógeno? N 3,3 1 10 24 34 1023 moléculas 2.67 2.66 2.65 2.64 2 Potencias y raíces La tabla muestra las distancias medias al Sol, en kilómetros, de los planetas del sistema solar. a) ¿Cuál es el planeta más cercano al Sol? b) ¿Cuál es el planeta más lejano del Sol? c) ¿Qué planeta está más cerca del Sol, la Tierra o Urano? d) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que la de Mercurio al Sol? e) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de Neptuno al Sol que la de la Tierra al Sol? a) Mercurio b) Neptuno c) La Tierra d) N 1 6 ,5 1 1 0 0 7 8 2,5 veces La distancia de la Tierra al Sol es dos veces y media mayor que la de Mercurio al Sol. e) N 4 1 , , 5 5 1 1 0 0 9 8 30 veces La distancia de Neptuno al Sol es treinta veces mayor que la de la Tierra al Sol. La velocidad de la luz es 300 000 kilómetros por segundo, y la distancia entre el Sol y Júpiter es 7,7 · 108 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tarda la luz en llegar desde el Sol a Júpiter? t 7 3 ,7 1 1 0 0 5 8 2 567 s 42 min 47 s La luz tarda 42 minutos y 47 segundos en llegar desde el Sol a Júpiter. Según el Instituto Nacional de Estadística, la Renta Neta Nacional Disponible en el año 2002 fue de 589 862 millones de euros. Para ese año, el censo oficial reflejó una población de 40 847 371 habitantes. ¿Cuál fue la renta per cápita en euros? Realiza los cálculos utilizando la notación científica. r 4 5 ,0 ,8 8 9 4 8 7 6 3 2 71 10 1 1 0 1 7 14 441 €/persona La renta per cápita fue 14 441 euros. 2.70 2.69 2.68 Planeta Distancia al Sol (km) Júpiter 7,7 108 Marte 2,3 108 Mercurio 6 107 Neptuno 4,5 109 Saturno 1,4 109 Tierra 1,5 108 Urano 2,9 109 Venus 1,1 108 2 Potencias y raíces Queremos construir un almacén de planta cuadrada en un solar de 400 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud del lado del almacén? Por ser planta cuadrada l2 400 ⇒ l 20 m. La longitud del lado del almacén es de 20 metros. Calcula cuánto mide el cateto desconocido. 132 52 c2 ⇒ c 1 32 52 12 Tenemos un cubo y duplicamos su lado. El volumen del nuevo cubo es 216 metros cúbicos. ¿Cuál era el volumen del cubo inicial? (2x)3 216 ⇒ 8x3 216 ⇒ V x3 27 m3 2.73 2.72 2.71 5 2 2 3 2x 2x 2x x x x 216 m3 2 Potencias y raíces R E F U E R Z O Potencias de exponente entero y fraccionario Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica estas expresiones. a) — 5 5 2 0 ( 5 5 5 2) 3 ( 52 5 ) 4 2 — c) —2 1 (2 2 5 7 ) 3 2— b) — 33 33 32 3— d) —7 3 (7 5 7 7 1 ) 2 74— a) 5 5 2 0 ( 5 5 5 2) 3 ( 52 5 ) 4 2 5 1 2 5 5 5 6 5 5 4 4 5 c) 2 1 (2 2 5 7 ) 3 2 2 1 2 2 7 15 2 2 22 b) 33 33 32 3 33 3 3 33 3 23 d) 7 3 (7 5 7 7 1 ) 2 74 7 3 7 10 7 1 72 74 7 12 Calcula el valor de x en cada igualdad. a) x2 — 1 8 2 1 1— c) x 2 —1 4 — b) x4 16 92 d) 35 3x 315 a) x2 1 8 2 1 1 ⇒ x 1 8 2 1 1 1 9 1 c) x 2 1 4 2 2 ⇒ x 2 b) x4 16 92 24 34 (2 3)4 ⇒ x 6 d) 35 3x 315 ⇐ 35 x 315 ⇒ x 10 Opera y expresa el resultado como una potencia. a) —3 5 — 4 —5 3 — 3 b) —1 3 — 3 33 a) 3 5 4 5 3 3 3 5 4 4 3 5 3 3 3 5 7 b) 1 3 3 33 33 1 33 1 Realiza estas operaciones y expresa el resultado en forma de raíz. a) —2 7 — —7 2 — b) —1 5 — 5 23 a) 2 7 7 2 2 7 b) 1 5 5 23 5 23 5 1 1 2 Notación científica Escribe en notación científica los siguientes números. a) 7 millonésimas c) Dos millones y medio b) 32 397 258 d) 0, 000 325 a) 7 10 6 c) 2,5 106 b) 3,2397258 107 d) 3,25 10 4 2.78 1 5 34 3 4 11 10 22 22 7 35 7 12 1 2 3 5 3 4 1 2 3 5 2.77 2.76 2.75 2.74 32 23 32 23 23 2 Potencias y raíces Calcula y expresa el resultado en notación científica. a) 8,4 103 9,23 104 c) (4 10 5) (7 10 2) b) 6,3 10 1 2,1 10 2 d) (2 106) (5 10 9) a) 8,4 103 9,23 104 0,84 104 9,23 104 10,07 104 1,007 105 b) 6,3 10 1 2,1 10 2 6,3 10 1 0,21 10 1 6,09 10 1 c) (4 10 5) (7 10 2) 28 10 7 2,8 10 6 d) (2 106) (5 10 9) 0,4 1015 4 1014 Cálculo con potencias y raíces Introduce dentro de la raíz los números que aparecen fuera de ella. a) 5 3 b) 3 3 2 c) 2 4 5 d) 4 7 a) 5 3 2 5 3 7 5 c) 2 4 5 4 2 4 5 4 8 0 b) 3 3 2 3 3 3 2 3 5 4 d) 4 7 4 2 7 1 12 Simplifica las expresiones. a) 3 5 3 2 0 c) 4 5 2 2 0 8 0 b) 2 7 3 1 2 d) 8 4 1 8 5 0 a) 3 5 3 2 0 3 5 6 5 9 5 c) 4 5 2 2 0 8 0 3 5 4 5 4 5 3 5 b) 2 7 3 1 2 3 3 6 3 3 3 d) 8 4 1 8 5 0 2 2 12 2 5 2 9 2 Efectúa estas operaciones. a) 2 3 3 2 c) 3 6 6 b) 1 25 3 5 d) 5 1 8 5 0 a) 2 3 3 2 6 6 c) 3 6 6 3 6 2 3 6 18 b) 125 3 5 5 3 5 5 5 3 d) 5 18 50 1 5 5 2 2 3 Expresa los siguientes radicales con el mismo índice. a) 2 y 4 3 c) 3 2 2 y 7 b) 5 y 4 3 3 d) 3 5 y 4 6 a) 2 4 22 y 4 3 b) 5 4 52 y 4 3 3 c) 3 2 2 6 2 4 y 7 6 7 3 d) 3 5 12 5 4 y 4 6 12 6 3 2.83 2.82 2.81 2.80 2.79 2 Potencias y raíces A M P L I A C I Ó N Realiza estas operaciones. a) (3 1 3 2) 1 d) — 22 2 4 23 — b) —( 3 3 5 5 ) 1 1 — —5 3 — e) 2 1 3 1 5 1 c) 230 230 f) 2 7 27 a) (3 1 3 2) 1 1 3 1 9 1 4 9 1 9 4 d) 22 24 23 4 1 6 8 1 1 6 2 4 3 b) ( 3 3 5 5 ) 1 1 5 3 32 5 3 3 3 2 e) 2 1 3 1 5 1 1 2 1 3 1 5 3 3 1 0 c) 230 230 2 230 231 f) 2 7 27 20 1 Calcula estas potencias. a) 40,5 b) 9 1,5 a) 40,5 4 12 4 2 b) 9 1,5 9 2 3 9 3 3 6 3 3 2 1 7 Halla el valor de x en las siguientes expresiones. a) 16x 25 c) 5x 1 625 b) 3x 2 9x d) 22x 5 8 a) 16x 25 ⇒ 24x 25 ⇒ 4x 5 ⇒ x 5 4 c) 5x 1 625 54 ⇒ x 1 4 ⇒ x 3 b) 3x 2 9x 32x ⇒ x 2 2x ⇒ x 2 d) 22x 5 8 23 ⇒ 2x 5 3 ⇒ x 4 Las siguientes raíces son exactas. Calcula en cada caso el menor valor de n que hace que se cumpla esta condición. a) 22 33 n c) 35 n 53 b) 3 72 36 n d) 4 n 23 32 a) n 3, 2 2 33 3 2 2 34 18 c) n 15 3 5, 3 5 3 5 5 3 3 6 54 675 b) n 7, 3 7 2 36 7 3 7 3 36 63 d) n 18 2 32, 4 2 32 23 32 4 2 4 34 6 Dos números naturales, a y b, verifican que ab ba. ¿Cuál es su valor? 2 y 4, porque 24 42 16 Racionalizar una fracción es encontrar otra equivalente que no tenga raíces en su denominador. Racionaliza estas fracciones. a) — 1 2 — c) — 3 3 2 — b) — 3 5 2 — d) — 3 2 22 — a) 1 2 1 2 2 2 2 2 c) 3 3 2 3 3 2 3 3 6 b) 3 5 2 3 5 2 3 3 2 2 2 2 5 2 3 22 d) 3 2 22 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2.89 2.88 2.87 2.86 2.85 2.84 35 12 2 Potencias y raíces P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Cuadrados y cubos. En las siguientes tablas aparecen los 14 y 10 primeros cuadrados y cubos perfectos. a) Escribe un número distinto de la unidad que sea cuadrado y cubo perfecto a la vez b) Comprueba que la suma de los dos primeros cubos perfectos es un cuadrado perfecto. c) Comprueba que lo mismo ocurre para la suma de los tres y de los cuatro primeros cubos perfectos, y realiza una conclusión basada en las anteriores comprobaciones. d) Comprueba que la conjetura también se verifica para la suma de los cinco y de los seis primeros cubos perfectos. a) 64 82 43 b) 13 23 1 8 9 32 c) 13 23 33 1 8 27 36 62 13 23 33 43 1 8 27 64 100 102 La suma de n cubos perfectos es un cuadrado perfecto 13 23 33 ... n3 (1 2 ... n)2. d) 13 23 33 43 53 1 8 27 64 125 225 (1 2 3 4 5)2 152 13 23 33 43 53 63 1 8 27 64 125 216 441 (1 2 3 4 5 6)2 212 Nuestro Planeta A continuación se muestran algunas dimensiones aproximadas y otras características de nuestro planeta. Utilizando cuando sea necesario la notación científica y razonando como si el planeta tuviera forma esférica, calcula de forma aproximada: a) La superficie total de la Tierra. b) El volumen total de la Tierra. c) La masa total de la Tierra recordando que Densidad — Vo M lu a m sa en — d) La relación entre la masa de la atmósfera y la masa de la hidrosfera. e) La relación entre la superficie ocupada por los océanos y la superficie total de la Tierra. a) S 4 r2 4 3,14 6 3702 5,1 108 km2 b) V 4 3 r3 4 3 3,14 6 3703 1,08 1012 km3 c) M D V 5 500 109 1,08 1012 5,94 1024 kg d) 1 5 ,5 1 1 0 0 18 21 0,00333 3 1 00 e) 3 5 , , 6 1 1 1 0 0 8 8 0,706 S OC S TERR M AT M HID 2.91 2.90 Cubos perfectos 1 216 8 343 27 512 64 729 125 1 000 Cuadrados perfectos 1 64 4 81 9 100 16 121 25 144 36 169 49 196 Radio medio 6 370 km Densidad media 5 500 kg/m3 Masa de la atmósfera 5 1018 kg Masa de la hidrosfera 1,5 1021 kg Área ocupada por los mares y océanos 3,6 108 km2 2 Potencias y raíces A U T O E V A L U A C I Ó N Encuentra el valor de cada una de las siguientes expresiones. a) 22 c) 2 2 b) —1 2 — 2 d) —1 2 — 2 a) 22 4 c) 2 2 2 1 2 1 4 b) 1 2 2 1 2 2 2 1 4 d) 1 2 2 (2 1) 2 22 4 Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en forma de raíz. a) 32 3 34 b) 2 34 4 12 c) (( 3) 2) a) 32 3 34 32 34 3 1 4 1 4 311 b) 2 34 4 12 2 34 (22) 2 34 2 2 34 1 2 14 4 2 1 4 1 2 c) (( 3) 2) ( 3) 5 ( 3) 4 5 3 1 4 Calcula las siguientes raíces. a) 3 27 d) 3 — 2 8 7— b) 4 1 6 e) 5 2 15 c) 11 1 f) 7 0 a) 3 2 7 3 33 3 d) 3 2 8 7 3 3 2 3 3 3 2 b) 4 1 6 4 2 4 2 e) 5 2 15 23 8 c) 11 1 1 f) 7 0 0 Realiza esta operación. 3 5 3 4 7 3 5 3 4 7 12 5 4 36 73 Indica el número de raíces de estos radicales. a) 3 b) 3 5 c) 4 7 d) 5 10 a) Dos raíces reales b) Una raíz real c) No tiene raíces reales d) Una raíz real 2.A5 2.A4 2.A3 4 5 2 5 1 2 2 5 2.A2 2.A1 2 Potencias y raíces Realiza estas operaciones. a) 5 8 3 2 3 1 8 b) 1 2 5 3 4 2 7 a) 5 8 3 2 3 1 8 5 2 3 25 3 2 32 10 2 4 2 9 2 15 2 b) 1 2 5 3 4 2 7 2 2 3 5 3 4 3 3 2 3 5 3 12 3 5 3 Queremos construir un cubo de cartón cuyo volumen sea 6 metros cúbicos. ¿Qué superficie de cartón se necesita? Expresa el resultado en forma radical. Si a es la arista del cubo, a3 6 ⇒ a 3 6 a2 3 6 2. Puesto que a2 es el área de una cara y un cubo tiene seis caras, necesitamos 6 3 6 2 19,81 m2 de cartón. Escribe en notación científica. a) Cuatro milésimas b) 51 423 000 a) 4 10 3 b) 5,1423 107 Opera y expresa el resultado en notación científica. a) (3,23 102) (4,1 103) b) (2,6 104) (1,2 103) c) (1,2 105) (6 10 3) d) (5 106) (4 104) a) 3,23 102 4,1 103 0,323 103 4,1 103 4,423 103 b) 2,6 104 1,2 103 2,6 104 0,12 104 2,48 104 c) (1,2 105) (6 10 3) 7,2 102 d) (5 106) (4 104) 1,25 102 2.A9 2.A8 2.A7 2.A6