Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Estudia la posicio´n relativa de los planos y en los siguientes casos: a) : 2x y z 2 0 : 6x 3y 3z 2 0 b) : x y 1 0 : x z 2 0 2. Estudia la posicio´n relativa de las rectas r y s en los siguientes casos: a) r: x y 2 z 5 3 2 4 s: x 3 t y 5 t z 6 3t b) x y z r: 1 2 3 x 1 y 1 z s: 3 2 1 c) r: x y 2 z 2 2 3 s: x 5 4t y 5 4t z 5 6t 3. Estudia la posicio´n relativa de la recta r y del plano en los siguientes casos: a) x y z r : 1 1 1 : 2x y z 0 b) r : x 10 3t y 7 2t z 1 t : 3x 2y z 1 0 4. Estudia la posicio´n relativa de los planos , y en los siguientes casos: a) : x y z 0 : 3x 2y 1 0 : x 2z 1 0 b) : 2x y 3z 4 : x 2y z 7 : 2x y z 2 5. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto P (1, 0, 3) y es paralela a la recta r: x 1 y 2 z 1 2 2 r s α 6. Determina la ecuacio´n del plano que contiene a la recta r: x y z 1 1 1 3 y es paralelo a la recta s: x 2 y 3 z 2 1 2 2 P r α 7. Determina la ecuacio´n del plano perpendicular a la recta r: y que pasa por el punto P (2, 1, 4). x 1 y 2 z 1 2 4 8. Determina las ecuaciones de la recta perpendicular al plano : 2x y 3z 0 y que pasa por el punto P ( 2, 1, 0). 9. Escribe la ecuacio´n del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 3) y Q (3, 3, 1) y es paralelo a la recta de ecuaciones parame´tricas r: x 1 2t y 1 t z 2t 10. Calcula el valor de k para que la recta de ecuaciones parame´tricas r: este´ contenida en el plano x 1 t y 1 t de ecuaci´on general : 2x 3y kz 0. z 1 t 11. Dada la recta r: 2x y z 0 x y z 1 0 a) Escribe la expresio´n algebraica del haz de planos cuya arista es la recta r. b) Determina la ecuacio´n del plano que contiene a la recta r y que pasa por el punto P ( 1, 2, 2). SOLUCIONES 1. a) rango M rango 1 2 1 1 6 3 3 rango M* 2 2 1 1 2 6 3 3 2 Planos paralelos. b) rango M rango 2 1 1 0 1 0 1 rango M* 2 1 1 0 1 1 0 1 2 Planos secantes. 2. a) Ar (0, 2, 5) As ( 3, 5, 6) ur (3, 2, 4) us (1, 1, 3) ArAs ( 3, 7, 1) rango (ur , us ) 2 y rango (ArAs , ur , us) 2 Las rectas se cortan. b) Ar (0, 0, 0) As (1, 1, 0) ur (1, 2, 3) us (3, 2, 1) ArAs (1, 1, 0) rango (ur , us ) 2 y rango (ArAs , ur , us) 3 Las rectas se cruzan. c) Ar (0, 2, 0) As (5, 5, 5) ur (2, 2, 3) us (4, 4, 6) ArAs (5, 3, 5) rango (ur , us) 1 y rango (ArAs , ur , us) 2 Las rectas son paralelas. 3. a) Escribiendo la recta r en parame´tricas y sustituyendo en el plano, se obtiene: 2t t t 0 0 · t 0 La recta esta´ contenida en el plano. b) 3 (10 3t ) 2 ( 7 2t ) 1 t 1 0 6 · t 18 t 3 La recta corta al plano en el punto P (1, 1, 2). 4. a) M M* 1 1 1 1 1 1 0 3 2 0 3 2 0 1 1 0 2 1 0 2 1 rango M 2 y rango M* 2 Los tres planos se cortan en una recta. b) M 2 1 3 1 2 1 2 1 1 M* 2 1 3 4 1 2 1 7 2 1 1 2 rango M 3 y rango M* 3 Se cortan en un punto. 5. La recta buscada tiene el mismo vector de direccio ´n que r. Por tanto, su ecuacio´n es: r : x 1 y z 3 1 2 2 6. El plano pedido pasa por el punto P (0, 0, 1) y tiene como vectores directores a ur ( 1, 1, 3) y a us (1, 2, 2). Por tanto, su ecuacio´n es: 0 x y z 1 1 1 3 1 2 2 4x 5y 3z 3 0 7. El vector normal del plano es n (1, 2, 4) y, por tanto, su ecuacio´n es: x 2y 4z D 0 2 2 16 D 0 D 20 x 2y 4z 20 0 8. El vector de direccio´n de la recta es el normal al plano, n (2, 1, 3) y, por tanto, su ecuacio´n es: s: x 2 y 1 z 2 1 3 9. (P, PQ, u ) siendo u (2, 1, 2) el vector de direccio´n de r. 0 x 2 y z 3 1 3 2 2 1 2 4x 2y 5z 23 0 10. Para cualquier valor del para´metro t el punto de la recta (1 t, 1 t, 1 t) debe verificar la ecuacio´n del plano. 2 (1 t ) 3 (1 t ) k (1 t ) 0 (5 k) · t k 5 Para k 5 la recta esta´ contenida en el plano. 11. a) t · (2x y z ) s · (x y z 1) 0 b) 2t 2s 0 t s (2x y z ) (x y z 1) 0 3x 2y 1 0 1. Estudia la posicio´n relativa de los planos , y segu´n los diferentes valores del para´metro a : : (a 1) x z 0 : ax y (a 1) z a : x y 1 2. Estudia la posicio´n relativa de la recta r y del plano segu´n los diferentes valores del para´metro a: r : : 3x ay 2z 1 ax 3y 1 x 2y az 1 3. Dadas las rectas r : y s: : x y 1 z 1 x 4 5t y 3 4t 1 3 1 z t a) Demuestra que r y s se cruzan. b) Halla la ecuacio´n del plano que contiene a r y a P(0, 0, 0). c) Determina la ecuacio´n del plano que contiene a s y a P(0, 0, 0). d) Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por P y se apoya en r y en s. 4. Determina la ecuacio´n del plano que contiene a la recta r : y es paralelo a la recta 2x y 2 z 1 1 3 s : x 2 3 y 1 2z 1 2 2 5. Escribe las ecuaciones de cada uno de los siguientes planos e indica su posicio´n relativa con respecto al sistema de referencia: 6. Escribe las ecuaciones de cada una de las siguientes rectas e indica su posicio´n relativa con respecto al sistema de referencia: 7. a) Escribe todos los planos que pasan por los puntos A( 1, 2, 1) y B(0, 1, 3). b) De todos los planos hallados en el apartado a, calcula cua´l de ellos pasa por el punto P(5, 6, 5). c) De todos los planos hallados en el apartado a, calcula el que es paralelo a la recta r : 5x 3y 0 3x z 3 P r s α β O Z X Y O Z X Y O Z X Y O Z X Y O Z X Y O Z X Y SOLUCIONES 1. M a 1 0 1 a 1 a 1 1 1 0 M* a 1 0 1 0 a 1 a 1 a 1 1 0 1 WMW (a 2) (1 a ) 0 K a 2 o a 1 a 2 y a 1 rango (M) 3, rango (M*) 3 Los tres planos se cortan en un punto. a 1 rango (M) 2, rango (M*) 2 Dos planos coincidentes y otro que los corta. a 2 rango (M) 2, rango (M*) 3 Planos en posicio´n de superficie prisma´tica. 2. M a 3 0 1 2 a 3 a 2 M* a 3 0 1 1 2 a 1 3 a 2 1 WMW (1 a )(a 2 a 6) 0 K a 1 a 1 rango (M) rango (M*) 3 La recta corta al plano. a 1 rango (M) rango (M*) 2 La recta esta´ contenida en el plano. 3. a) ur ( 1, 3, 1), us (5, 4, 1), Ar (0, 1, 1) As (4, 3, 0), ArAs (4, 2, 1) Como rango (ur, us) 2 y rango (ArAs , ur , us) 3 Las rectas r y s se cruzan. b) (P, PAr, ur) 0 x y z 0 1 1 1 3 1 : 2x y z 0 c) (P, PAs , us) 0 x y z 4 3 0 5 4 1 : 3x 4y 31z 0 d) t : : 2x y z 0 : 3x 4y 31z 0 4. r : x y 2 z 1 1 3 2 s : 1 z x 2 y 3 2 1 2 1 [A(0, 2, 0), u ( 1, 2, 6), v (1, 2, 1)] 0 x y 2 z 1 2 6 1 2 1 : 2x y 2 0 5. El primer plano es el plano coordenado XOY. Su ecuacio´n es z 0. El segundo plano es paralelo al plano coordenado XOZ. Su ecuacio´n es y a. El tercer plano corta a los ejes segu´n los segmentos de longitud a, b y c. Su ecuacio´n es: 1. x y z a b c 6. La primera recta es el eje OX. Sus ecuaciones son: y 0 z 0 La segunda recta es paralela al eje OY. Sus ecuaciones son: x a z 0 La tercera recta esta´ contenida en el plano coordenado XOY y pasa por el origen de coordenadas. Sus ecuaciones son: x at y bt z 0 7. a) La recta que pasa por A y B tiene por ecuaciones: x 1 y 2 z 1 1 3 2 3x y 1 0 2y 3z 7 0 El haz de planos cuya arista es la recta AB es: t · (3x y 1) s · (2y 3z 7) 0 b) t · (15 6 1) s · ( 12 15 7) 9 s t 3x y 1 (2y 3z 7) 0 5 5 2 2 2x 4y 5z 11 0. c) (0, 0, 3) y ( 3, 5, 6) son puntos de r. Por tanto, ur (3, 5, 9) es un vector director de r. Se debe cumplir que el vector normal del plano y el de direccio´n de r sean perpendiculares: (3t, t 2s, 3s ) · (3, 5, 9) 0 t s s · (3x y 1) 37 37 4 4 s · (2y 3z 7) 0 37x 15y 4z 3 0