Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios? a) —1 3 —x2 b) abc c) —1 x — d) x2 y2 La única expresión que indica la suma de varios monomios no semejantes es la d: x2 y2. Indica los coeficientes y los grados de los siguientes monomios. a) 2a2bc b) x5 c) 3x2y2 d) ac a) Coef: 2 b) Coef: 1 c) Coef: 3 d) Coef: 1 Grado: 4 Grado: 5 Grado: 4 Grado: 2 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x 5 e y 4. a) x2 2xy y2 c) (x xy) 3y3 b) 2x2 2(xy y2) d) 4x2 xy y a) 52 2 5 4 42 81 c) (5 5 4) 3 43 177 b) 2 52 2(5 4 42) 58 d) 4 52 5 4 4 84 La medida del radio menor de una corona circular es r, y la del mayor es R. Escribe la expresión algebraica de su área. Expresión algebraica: R2 r2 (R2 r2) (R r)(R r) Dados los monomios A(x) —2 5 —x2, B(x) 3x3, C(x) x3 y D(x) x2 5x, resuelve estas operaciones. a) A(x) A(x) B(x) e) [C(x) D(x)] B(x) b) [A(x) B(x)] C(x) f) A(x) B(x) D(x) c) A(x) C(x) · C(x) g) [B(x) C(x)] [D(x) A(x)] d) A(x) · A(x) C(x) h) A(x) [C(x) A(x)] B(x) a) 2 5 x2 x2 3x3 2 4 5 x4 3x3 e) [x3 ( x2 5x)] 3x3 4x3 x2 5x b) 2 5 x2 3x3 x3 3x6 2 5 x5 f) 2 5 x2 3x3 ( x2 5x) 6 5 x7 6x6 c) 2 5 x2 x3 x3 x6 2 5 x2 g) [3x3 x3] x2 5x 2 5 x2 1 5 2 x5 20x4 d) 2 5 x2 x2 x3 2 4 5 x4 x3 h) 2 5 x2 x3 2 5 x2 3x3 6 5 x8 1 2 2 5 x7 Dados los polinomios P(x) x3 x2 1, Q(x) 2x4 x2 3x y R(x) x3 3x, realiza las siguientes operaciones. a) P(x) Q(x) R(x) b)P(x) Q(x) R(x) c)[P(x) Q(x)] R(x) d)P(x) [Q(x) R(x)] a) x3 x2 1 (2x4 x2 3x) ( x3 3x) 2x4 2x2 1 b) (x3 x2 1) (2x4 x2 3x) ( x3 3x) 2x7 2x6 x5 4x4 2x3 x2 6x c) [(x3 x2 1) (2x4 x2 3x)] ( x3 3x) 2x7 x6 8x5 6x4 5x3 9x2 3x d) (x3 x2 1) [(2x4 x2 3x) ( x3 3x)] 2x7 x6 2x5 x4 x3 x2 Calcula las siguientes potencias: a) (m 2n)2 b) ( 5 9b)2 c) ( 3x y)3 d) (2 3b)3 a) (m 2n)2 m2 4n2 4mn c) ( 3x y)3 27x3 y3 27x2y 9xy2 b) ( 5 9b)2 25 90b 81b2 d) (2 3b)3 4 12b 9b2 3.7 3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para a 6 y b 4 utilizando su factorización. a) a2 2ab b2 b) a2 2ab b2 a) (a b)2 100 b) (a b)2 4 Utiliza la factorización de a2 b2 para calcular mentalmente las siguientes operaciones. a) 252 52 b) 652 352 c) 1252 252 d) 6002 4002 a) 252 52 (25 5) (25 5) 30 20 600 b) 652 352 (65 35) (65 35) 100 30 3000 c) 1252 252 (125 25) (125 25) 150 100 15 000 d) 6002 4002 (600 400) (600 400) 1000 200 200 000 Si es posible, expresa los siguientes polinomios en forma de potencia. a) 4x2 4x 1 b) 100y2 4 40y a) (2x 1)2 b) (10y 2)2 Efectúa las siguientes divisiones. a) (x7 x5 x3 x) : (x4 x2 1) b) (x4 5x3 11x2 12x 6) : (x2 x 2) c) (x5 2x4 3x2 5x 6) : (x2 3x 2) d) (6x4 x3 5x2 3x 14) : (2x2 3x 7) a) Cociente: x3, y resto: x b) Cociente: x2 4x 5, y resto: x 4 c) Cociente: x3 5x2 17x 58, y resto: 203x 106 d) Cociente: 3x2 4x 2, y resto: 37x La división de P(x) 2x3 4x2 k entre x 3 da de resto 0. ¿Cuánto vale k? k 90 Escribe el dividendo de una división de polinomios en la que el divisor es x 2; el cociente, 4x2 x 2, y el resto, 2. Se aplica: dividendo divisor cociente resto. Dividendo 4x3 7x2 6 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto. a) (3x3 2x 1) : (x 1) b) (x5 2x4 6) : (x 1) c) (3x3 3x2 12x 12) : (x 2) d) (x3 2x2 x 2) : (x 2) a) Cociente: 3x2 3x 5 Resto: 4 b) Cociente: x4 x3 x2 x 1 Resto: 5 c) Cociente: 3x2 3x 6 Resto: 0 d) Cociente: x2 1 Resto: 0 15 1 2 1 2 25 1 2 0 2 15 1 0 1 0 25 3 3 12 12 25 3 6 6 12 25 3 3 6 0 15 1 2 0 0 0 6 15 1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 1 1 5 15 3 0 2 1 15 3 3 3 5 15 3 3 5 4 3.14 3.13 3.12 3.11 3.10 3.9 3.8 Comprueba con la regla de Ruffini si los números 2 y 3 son soluciones de la ecuación x4 3x3 x 3 0. ¿Es solución x 3? ¿Es solución x 2? x 3 sí es solución. x 2 no es solución. Indica en notación ordinaria el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de la división: Dividendo: 2x3 3x2 4 Divisor: x 1 Cociente: 2x2 x 1 Resto: 3 Utiliza la regla de Ruffini para hallar el número k de forma que, al dividir el polinomio x3 2x2 k 1 entre x 4, el resto sea 0. ⇒ k 1 8 0 k 9 ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? a) Un factor de x2 1 es x 1. b) Un factor de x2 1 es x 1. a) Para x 1, el valor numérico de x2 1 es 0. b) Para x 1, el valor numérico de x2 1 es 2. Luego x 1 es un factor. Luego x 1 no es factor. Sin hacer la división, di si estas divisiones son exactas o no. En caso de que no sean exactas, indica cual es el resto. a) (x5 x3 4x2 6x 2) : (x 1) b) (3x4 x3 3x2 x 1) : (x 2) a) Valor numérico para x 1: 1 1 4 6 2 14 b) Valor numérico para x 2: 48 8 12 2 1 47 Resto: 14. La división no es exacta. Resto: 47. La división no es exacta. Sin realizar la división, explica razonadamente si 4x4 8x3 2x2 6x 4 es divisible entre x 2? El valor numérico para x 2: 4 24 8 23 2 22 4 12. Resto: 12. La división no es exacta. Si se divide el polinomio 3x3 2x2 kx 1 entre x 1, el resto es 2. ¿Cuánto vale k? El resto de la división de (3x3 2x2 kx 1) (x 1) es igual al valor numérico del polinomio para x 1. Valor numérico para x 1: 3 2 k 1 2 ⇒ k 0 Halla el número m para que el polinomio P(x) sea divisible entre x 4. P(x) x3 2x2 m Valor numérico para x 4: ( 4)3 2 42 m 0 ⇒ m 32 Calcula las raíces de los siguientes polinomios y factorízalos. a) P(x) x2 144 c) R(x) x3 2x2 x 2 b) Q(x) x2 12x 32 d) S(x) x3 2x2 5x 6 a) x2 144 (x 12)(x 12) c) Raíces posibles: x 1, 2 Las raíces del polinomio son: x 12, x 12. Raíces de la ecuación: 1, 1, 2 Factorización: x2 2x2 x 2 (x 1)(x 1) (x 2) b) Raíces posibles: x 1, 2, 4, 8, 16, 32 d) Raíces posibles: x 1, 2, 3, 6 Se comprueba y se obtiene: x 4, x 8. Se comprueba y se obtiene: x 1, x 2, x 3. Factorización: x2 12x 32 (x 4)(x 8) 3.23 3.22 3.21 3.20 3.19 3.18 45 1 2 k 1 45 2 4 8 45 1 2 0 3.17 15 2 3 0 4 15 2 2 1 1 15 2 1 1 3 3.16 25 1 3 0 1 3 25 1 2 10 20 38 25 1 5 10 19 35 15 1 3 0 1 3 35 1 3 0 0 3 35 1 0 0 1 0 3.15 Dado el siguiente polinomio: P(x) 27x3 108x2 3x 12 a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo? b) ¿Puede ser x 5 raíz del polinomio? c) ¿Es x 1 raíz del polinomio? ¿Y x 4? a) Solo puede tener 3 raíces como máximo, ya que es un polinomio de grado 3. b) No, porque x 5 no se encuentra entre los divisores de 12, que es el término independiente del polinomio. c) x 1 no es raíz del polinomio porque P(1) 72, pero x 4 sí es raíz porque P(4) 0. ¿Es cierto que la suma de los n primeros números naturales es Sn — n (n 2 — 1) ? Para n 1 es inmediato: 1 (1 2 1) 1 Para n 2: 1 2 2 (2 2 1) 3 Para n 3: 1 2 3 3 (3 2 1) 6 Suponemos que es cierto para n. Para n 1: 1 2 … n (n 1) n (n 2 1) (n 1) n (n 2 1) 2(n 2 1) (n 1) 2 (n 2) Sn 1 Sn Comprueba que para cualquier número natural n se cumple que 2n > n. Para n 1: 21 2 1 Para n 2: 22 4 2 Para n 3: 23 8 3 Suponemos que es cierto para n. Para n 1: 2n 1 2n 2 n 2 n n n 1, ya que n 1. A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Lenguaje algebraico. Operaciones con monomios Expresa en lenguaje algebraico. a) El área de un rectángulo de base b y altura h. b) El área de un cuadrado de lado l. c) El volumen de un cubo de arista x. d) El volumen de un cilindro de radio de la base r y altura h. e) El perímetro de un triángulo isósceles de lados iguales x y lado desigual y. a) A b h c) V x3 e) P 2x y b) A l2 d) V r2h Completa la columna correspondiente al valor numérico de los monomios para los valores de las variables que se indican y calcula su grado. 3.28 3.27 3.26 3.25 3.24 Polinomio x, y Valor numérico Grado 5x2y x 2 5 y 4 1 20 2 1 3 1 —4 x 3 3 —xy3 4 3y 3 1 4 1 3 4 1 x 1 — x 2 y— 1 2 4 y 2 1 1 2 4 3x2y4 x 2 3 y 4 1 12 2 4 6 1 Dados los monomios A(x) 6x2, B(x) 3x4, C(x) —1 2 —x4 y D(x) 2x, realiza las siguientes operaciones. a) A(x) D(x) e) B(x) : C(x) b) B(x) C(x) f) D(x) B(x) c) A(x) B(x) C(x) g) A(x) B(x) C(x) d) A(x) D(x) h) A(x) : D(x) B(x) a) 6x2 ( 2x) 6x2 2x e) 3x4 1 2 x4 6 b) 3x4 1 2 x4 5 2 x4 f) 2x 3x4 6x5 c) 6x2 3x4 1 2 x4 6x2 5 2 x4 g) 6x2 3x4 ( 2x) 9x10 d) 6x2 ( 2x) 12x3 h) 6x2 ( 2x) 3x4 3x 3x4 9x5 Averigua en qué monomios se convierten las siguientes expresiones al sumar términos semejantes. a) 3x2 5x2 4x2 c) 5x2y 6x2y 3x2y b) d) 4z3p4 7p4z3 a) 3x2 5x2 4x2 2x2 c) 5x2y 6x2y 3x2y 2x2y b) (6 12 2 4)abc 2 2 abc abc d) 4z3p4 7p4z3 3z3p4 Operaciones con polinomios Dados los polinomios: P(x) 2x4 x3 —1 2 —x2 3x 1 Q(x) 3x3 x2 —2 3 —x 2 R(x) 4x4 x2 4 Realiza las siguientes operaciones. a) P(x) Q(x) b) Q(x) R(x) c) R(x) Q(x) P(x) d)P(x) Q(x) R(x) a) P(x) Q(x) 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 3x3 x2 2 3 x 2 2x4 2x3 3 2 x2 1 3 1 x 3 b) Q(x) R(x) 3x3 x2 2 3 x 2 ( 4x4 x2 4) 4x4 3x3 2 3 x 6 c) R(x) Q(x) P(x) 4x4 x2 4 3x3 x2 2 3 x 2 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 4x4 x2 4 3x3 x2 2 3 x 2 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 4x4 3x3 2 3 x 6 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 2x4 4x3 1 2 x2 7 3 x 5 d) P(x) Q(x) R(x) 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 3x3 x2 2 3 x 2 ( 4x4 x2 4) 2x4 2x3 5 2 x2 1 3 1 x 1 Rellena en tu cuaderno cada recuadro con el coeficiente adecuado. a) (2x2 x 1) ( 3x2 5x ) x2 2x 4 b) (3x4 x 2) ( x4 x ) 4x4 3x 3 c) (5x3 x2 ) ( x3 x2 2) 2x3 3x2 3 a) (2x2 ( 3) x 1) ( 3x2 5x ( 5)) 5x2 2x 4 b) (3x4 x 2) (( 1)x4 ( 4) x ( 1)) 4x4 3x 3 c) (5x3 ( 4) x2 ( 1)) (( 3) x3 x2 2) 2x3 3x2 3 3.32 3.31 —6abc —12abc —4abc 2 3.30 3.29 Dados los polinomios: P(x) —1 2 —x4 2x3 1 Q(x) 3x3 4x 2 R(x) 4x2 5x 3 Realiza las siguientes operaciones: a) P(x) [Q(x) R(x)] c) x [Q(x) x2 P(x)] b) [R(x)]2 P(x) d)2x Q(x) 3P(x) x2 R(x) a) 1 2 x4 2x3 1 [(3x3 4x 2) (4x2 5x 3)] 1 2 x4 2x3 1 (3x3 4x2 9x 1) 3 2 x7 8x6 7 2 x5 3 2 5 x4 5x3 4x2 9x 1 b) [4x2 5x 3]2 1 2 x4 2x3 1 3 2 1 x4 42x3 39x2 30x 8 c) x (3x3 4x 2) x2 1 2 x4 2x3 1 1 2 x7 2x6 3x4 x3 4x2 2x d) 2x (3x3 4x 2) 3 1 2 x4 2x3 1 x2 (4x2 5x 3) 1 2 7 x4 x3 5x2 4x 3 Identidades notables Efectúa estas operaciones. a) (2x2 3y)2 d) (2x4 x2)2 b) (3x 2y)3 e) (5a 3b) (5a 3b) c) (3x3 x )2 f) (2xy 4zt) (2xy 4zt) a) (2x2 3y)2 4x4 9y2 12x2y d) (2x4 x2)2 4x8 4x6 x4 b) (3x 2y)3 27x3 8y3 54x2y 36xy2 e) (5a 3b) (5a 3b) 25a2 9b2 c) (3x3 x )2 9x6 x 6x3 x f) (2xy 4zt) (2xy 4zt) 4x2y2 16z2t2 Factoriza utilizando las identidades notables. a) x4 y4 c) x4 1 2x2 b) 4x2 12x 9 d) x3 27y3 9x2y 27y2x a) (x2 y2) (x2 y2) c) (x2 1)2 b) (2x 3)2 d) (x 3y)3 División de polinomios. Regla de Ruffini Realiza las siguientes divisiones de polinomios: a) (6x3 2x2 1) : (x2 x 2) b) ( 3x4 x2 2x 3) : (3x2 2x 1) c) (x6 2x3 3x 3) : ( 2x3 x 2) a) Cociente: 6x 8 b)Cociente: x2 2 3 x 2 9 c) Cociente: 1 3 x3 1 4 x 3 2 Resto: 4x 15 Resto: 8 9 x 2 9 5 Resto: 1 4 x2 x Efectúa estas divisiones y comprueba que se cumple la regla de la división. a) — 3 x x 2 2 2 3 x x 1 1— b) — 4 x x 2 2 3 1— Resolvemos realizando las divisiones: a) 3 x x 2 2 2 3 x x 1 1 3 x 2 9x 2x 4 1 b) 4 x x 2 2 3 1 4 x 2 13 3 3.37 3.36 3.35 3.34 3.33 Ejecuta las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto. a) (3x4 2x2 x 3) : (x 1) b) (x5 2x3 x 1) : (x 1) c) (2x3 x2 3x 1) : (x 2) a) Cociente: 3x3 3x2 x Resto: 3 b) Cociente: x4 x3 x2 x 2 Resto: 1 c) Cociente: 2x2 5x 13 Resto: 27 Calcula el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de realizarlas. ¿Qué teorema has utilizado? a) (x7 3x2 1) : (x 1) b) (x101 2) : (x 1) c) (x5 2x3 3) : (x 3) a) P(1) 17 3 12 1 1 Resto 1 b) P( 1) ( 1)101 2 1 2 3 Resto 3 c) P(3) 35 2 33 3 243 54 3 192 Resto 192 Hemos utilizado el teorema del resto. Halla el valor de k en los siguientes polinomios teniendo en cuenta los datos indicados. a) x3 (k 2)x 1 es divisible entre (x 1). b) (x4 kx2 2x 1) : (x 1) tiene 4 de resto. c) x4 3x3 kx2 x 6 tiene por factor (x 3). a) Igualamos el valor del polinomio en 1 a cero: P( 1) ( 1)3 (k 2) ( 1) 1 1 k 2 1 k 2 0 ⇒ k 2 b) Igualamos el valor del polinomio en 1 a 4: P(1) 14 k 12 2 1 1 1 k 2 1 4 k 4 ⇒ k 8 c) Igualamos el valor del polinomio en 3 a 0: P( 3) ( 3)4 3 ( 3)3 k ( 3)2 ( 3) 6 81 81 9k 3 6 9k 9 0 ⇒ k 1 Factorización de polinomios Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios. a) P(x) 3(x 1) (x 2) (x 4) b) Q(x) 2(x 5)3 c) R(x) (x 6)2 (x 1)2 a) Raíces: 1, 2, 4 b) Raíces: 5 (triple) c) Raíces: 6 (doble), 1 (doble) Escribe un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean x1 1, x2 2 y x3 4. ¿Existen más polinomios que verifiquen esas condiciones? ¿Por qué? (x 1) (x 2) (x 4) 0 ⇒ Polinomio: x3 3x2 6x 8 0 Pueden existir infinitos polinomios que cumplan estas condiciones, dependiendo del valor que se dé al coeficiente de su término de mayor grado. 3.42 3.41 3.40 3.39 25 2 1 3 1 25 2 4 10 26 25 2 5 13 27 15 1 0 2 0 1 1 15 1 1 1 1 1 2 15 1 1 1 1 2 1 15 3 0 2 1 3 15 3 3 3 1 0 15 3 3 1 0 3 3.38 Factoriza los siguientes polinomios: a) P(x) x3 x2 6x b) Q(x) x3 3x2 4x 12 c) R(x) x3 6x2 12x 8 d) S(x) x3 9x a) P(x) x3 x2 6x x(x2 x 6) x (x 2) (x 3) x2 x 6 0 ⇒ x b) Q(x) x3 3x2 4x 12 (x 2) (x2 5x 6) (x 2) (x 2) (x 3) x2 5x 6 0 ⇒ x c) R(x) x3 6x2 12x 8 (x 2) (x2 4x 4) (x 2)3 x2 4x 4 0 ⇒ x d) S(x) x3 9x x (x2 9) x (x 3) (x 3) Observa el siguiente esquema y escribe el polinomio inicial y su expresión factorizada. P(x) x4 3x3 3x2 11x 6 P(x) (x 1)2 (x 3) (x 2) Factoriza el polinomio P(x) 2x3 7x2 3x 18 sabiendo que verifica las siguientes condiciones: P —3 2 — 0; P( 2) 0 y P( 3) 0 Como conocemos las raíces del polinomio, por el teorema del factor sólo nos falta conocer el coeficiente: P(x) k x 3 2 (x 2) (x 3) k x2 1 2 x 3 (x 3) k x3 7 2 x2 3 2 x 9 P(x) k x3 7 2 k x2 3 2 k x 9k Igualando coeficientes resulta: k 2. C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E ¿Cuál de estas expresiones algebraicas es un monomio? Explica tu respuesta. a) 1 2x b) —4 x — c) 3x 2 d) x2 3 Para ser un monomio, el exponente debe ser natural. Vamos a ver el exponente de cada expresión: a) Exp 1 2 . b) Exp 1. c) Exp 2. d) Exp 2. Por tanto, el único monomio es el apartado d. 3.46 3.45 3.44 2 2 QT 4 1 6 16 2 4 ( 4)2 4 1 4 1 2 25 1 5 12 8 25 1 2 8 8 25 1 4 4 0 2 3 QT 5 2 5 24 2 5 5 2 4 1 ( 6) 1 2 251 3 4 12 25 1 2 10 12 251 5 6 0 2 3 QT 1 2 5 2 1 1 4 1 ( 6 ) 1 2 3.43 ¿Cuáles de los siguientes monomios son de grado 7? a) 3x7 c) 6xy5 e) 6za3bm2 b) 9bc4e d) 13z6j f) 5x2y2z3 Los monomios de grado 7 son: 3x7, 13z6j, 6za3bm2, 5x2y2z3. ¿Puedes realizar la división (3x3 4x 1) : (x2 1) utilizando la regla de Ruffini? Justifica tu respuesta. Sí, el divisor (x2 1) (x 1) (x 1), con lo cual se aplica la regla de Ruffini primero con la raíz 1 y después con 1, o al contrario. Un polinomio es de grado 7 y otro es de grado 6. Indica el grado de los polinomios que resultan de estas operaciones entre ellos. a) Suma b) Producto c) Cociente a) La suma tendrá grado 7, ya que es el mayor de los grados de los dos polinomios. b) El producto tendrá grado 7 6 13. c) El cociente tendrá grado 7 6 1. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios de grado 3. ¿Puede el polinomio P(x) Q(x) ser de grado 2? Pon un ejemplo que justifique tu respuesta. La suma será de grado 2 si los coeficientes de los términos de grado 3 son opuestos y los de grado 2 no lo son. Ejemplo: ( 4x3 2x2 3x 1) (4x3 5x 3) 2x2 8x 4 Si P(0) 7, ¿puede ser P(x) ax2 bx 8? Razona la respuesta. Si P(x) ax2 bx 8, entonces P(0) a 02 b 0 8 8 para cualquier valor de a y b. Por tanto, P(0) 7. Indica razonadamente cuáles son las raíces del polinomio P(x) (x 1) (x 2) (x 3). Este polinomio lo anulan los valores 1, 2 y 3. ¿Es el polinomio M(x) de grado 8? M(x) 3x8 5x7 4x5 x8 2x3 2x8 x2 1 Sí, porque el grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Calcula el resto de la división M(x) : (x 6) sabiendo que M(6) 3. Si M(6) 3, aplicando el teorema del resto sabemos que el resto será 3. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Si (x 6) divide a L(x), entonces 6 es una raíz de L(x). b) Si G( 5) 0, (x 5) es un factor de G(x). c) Un polinomio de grado 5 no puede tener 6 raíces. d) Un polinomio con término independiente igual a 0 posee al menos una raíz. e) 5x7 4x7 2x7 es un trinomio. a) Falsa, ya que si (x 6) divide a L(x), entonces 6 es una raíz de L(x). b) Verdadera, por el teorema del factor. c) Verdadera, el teorema fundamental del álgebra nos indica que como mucho tendrá 5 raíces. d) Verdadera, ya que x 0 será una raíz. e) Falsa, es un monomio. ¿Es divisible entre (x 3) el polinomio x9 39? Calculemos P( 3): P( 3) ( 3)9 39 39 39 0, por lo que el polinomio es divisible entre (x 3). 3.56 3.55 3.54 3.53 3.52 3.51 3.50 3.49 3.48 3.47 Indica cuál de estos polinomios tiene 8 como raíz y 24 de término independiente. a) 3x 24 b) 3x 24 c) 24x 8 d) 24(x 8) El b, porque 3 ( 8) 24 0 ⇒ 8 es raíz, y 24, el término independiente. ¿Puede tener el polinomio Q(x) x10 ax6 37 raíces enteras distintas de 1, 1, 37 y 37? Justifica tu respuesta. No, porque las raíces enteras de un polinomio tienen que estar entre los divisores del número independiente. Si el polinomio P(x) x2 kx t tiene una raíz doble en x 2, ¿cuánto valen k y t? Tener una raíz doble en x 2 ⇒ (x 2)2 0 ⇒ x2 4x 4 0, con lo cual k 4 y t 4. Calcula el resto de la siguiente división. (x157 49x38 17) : (x 1) Aplicando el teorema del resto: P( 1) ( 1)157 49 ( 1)38 17 1 49 17 33 Por tanto, el resto será 33. El polinomio Q(x) es de grado 3, y sabemos que Q( 1) Q(2) Q(0) 0. a) ¿Cuál es la posible expresión del polinomio Q(x)? b) Y si además sabemos que Q( 2) 16, ¿cuál es entonces su expresión exacta? a) Conociendo las raíces podemos expresar el polinomio como: Q(x) k (x 1) (x 2) x kx3 kx2 2kx. b) Calculamos Q( 2) y lo igualamos a 16: Q( 2) k ( 2 1) ( 2 2) ( 2) k ( 1) ( 4) ( 2) 8k ⇒ 8k 16 ⇒ k 2 Q(x) 2 (x 1) (x 2) x 2x3 2x2 4x P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Relaciona en tu cuaderno las magnitudes indicadas correspondientes a un triángulo equilátero de lado x con los monomios de la columna de la derecha. Perímetro x Área 3x Altura x2 Demuestra que si dos números se diferencian en 16 unidades, la diferencia de sus cuadrados es igual a 16 veces la suma. Utiliza el lenguaje algebraico y las igualdades notables. Si x y 16 ⇒ x2 y2 16 (x y) (x y) (x y) 16 (x y) ⇒ (x y) 16 (x ( x y) y) Utiliza la notación polinómica para demostrar que la suma de un múltiplo de 12, un múltiplo de 8 y un múltiplo de 20 es a su vez múltiplo de 4. Sean p, q y r números naturales. Un múltiplo de 12 será de la forma 12 p. Un múltiplo de 8 será de la forma 8 q. Un múltiplo de 20 será de la forma 20 r. Su suma será: 12p 8q 20r. Sacando factor común: 12p 8q 20r 4 (3p 2q 5r), obteniendo claramente un múltiplo de 4. 3.64 3.63 3 4 3 2 3.62 3.61 3.60 3.59 3.58 3.57 ¿Qué monomio expresa la diagonal de un cubo de lado x? Calculamos primero la diagonal de la base usando el teorema de Pitágoras: d2 x2 x2 ⇒ d2 2x2 ⇒ d 2 x Esta diagonal, una arista y la diagonal del cubo forman un triángulo rectángulo, por lo que podemos volver a utilizar el teorema de Pitágoras: D2 ( 2 x)2 x2 ⇒ D2 2x2 x2 ⇒ D2 3x2 ⇒ D 3 x Por tanto, el monomio que expresa la diagonal del cubo es 3 x. Sean los polinomios E(x) 4 x2, F(x) —5 3 — x2 y G(x) 2 x2 10 x asociados a distintas figuras geométricas. Relaciona en tu cuaderno las cantidades de estas tres columnas. Se calcula el valor de los tres polinomios en x 3. E(3) 4 32 36 F(3) 5 3 32 15 G(3) 2 32 10 3 48 Volumen de un cono de radio 3 y altura 5 1 3 r2h 1 3 32 5 15 Área de un cilindro de altura 5 y radio 3 2 r2 2 rh 2 32 2 3 5 18 30 48 Volumen de una esfera de radio 3 4 3 r3 4 3 33 36 Calcula a, b y c sabiendo que x3 6x2 ax b es el cubo del binomio x c. (x c)3 x3 3x2c 3xc2 c3 Igualamos los coeficientes correspondientes a los términos de igual grado: 6 3c ⇒ c 2 a 3c2 ⇒ a 3 ( 2)2 ⇒ a 12 b c3 ⇒ b ( 2)3 ⇒ b 8 Halla los valores de a y b para que los restos de las divisiones de (ax2 bx) (x 3) entre (x 1) y (x 1) sean, respectivamente, 6 y 2. Utilizamos el teorema del resto, calculando el valor del polinomio en 1 y 1 e igualándolos a los valores del resto que nos da el enunciado. P(1) (a 12 b 1) (1 3) ( 2) (a b) 6 ⇒ a b 3 sumando 2a 3 1 2 2a 7 2 ⇒ a 7 4 P( 1) [a ( 1)2 b ( 1)] ( 1 3) ( 4) (a b) 2 ⇒ a b 1 2 restando 2b 3 1 2 2b 5 2 ⇒ b 5 4 3.68 3.67 Volumen de un cono F(3) 48 de radio 3 y altura 5 Área de un cilindro G(3) 36 de altura 5 y radio 3 Volumen de una esfera E(3) 15 de radio 3 3.66 3.65 Volumen de un cono de radio 3 y altura 5 G(3) 36 Área de un cilindro E(3) 15 de altura 5 y radio 3 Área de una esfera F(3) 48 de radio 3 Simplifica los siguientes polinomios. a) (x 2) (x 2) (x 3) (x 3) x(2x 1) 4 b) (x2 2x 1) (x4 2x3 3x2 1) x6 2x3 a) (x 2)(x 2) (x 3)(x 3) x(2x 1) 4 x2 4 x2 9 2x2 x 4 2x2 x 1 b) (x2 2x 1)(x4 2x3 3x2 1) x6 2x3 x6 2x5 3x4 x2 2x5 4x4 6x3 2x x4 2x3 3x2 1 x6 2x3 6x3 4x2 2x 1 Calcula los valores de a y b necesarios para que se cumplan estas igualdades. a) x5 5x3 4x2 3x 2 (x 2) (x4 ax3 bx2 2x 1) b) x6 x5 2x4 4x2 4x 8 (x2 x 2) (x4 ax3 bx 4) Multiplicamos e igualamos los coeficientes: a) (x 2)(x4 ax3 bx2 2x 1) x5 ax4 bx3 2x2 x 2x4 2ax3 2bx2 4x 2 x5 (a 2)x4 (b 2a)x3 (2 2b)x2 3x 2 a 2 0 ⇒ a 2 b 2a 5 ⇒ b 2 2 5 ⇒ b 1 2 2b 4. Vemos que es correcta con los valores que habíamos obtenido. b) (x2 x 2)(x4 ax3 bx 4) x6 ax5 bx3 4x2 x5 ax4 bx2 4x 2x4 2ax3 2bx 8 x6 (a 1)x5 (a 2)x4 (b 2a)x3 (4 b)x2 (4 2b)x 8 a 1 1 ⇒ a 0 a 2 2 sirve de comprobación. b 2a 0 ⇒ b 2a ⇒ b 0 4 b 4 sirve de comprobación. 4 2b 4 sirve de comprobación. Halla un polinomio de primer grado en la variable x, R(x), que cumpla que R( 1) 7 y R(2) 2. R(x) será de la forma R(x) ax b; veamos qué valores toma en cada punto: R( 1) a( 1) b a b 7 R(2) a 2 b 2a b 2 Se resuelve el sistema de ecuaciones formado y se obtienen los valores: a 3 y b 4. El polinomio resultante es: R(x) 3x 4. Calcula el dividendo de una división sabiendo que el divisor es x2 3, el cociente es 4x 5 y el resto es 15x 16. D d c r ⇒ D (x2 3) (4x 5) (15x 16) D 4x3 5x2 12x 15 15x 16 D x2 3x 1 Estudia el signo de este polinomio por el procedimiento que se indica a continuación. Q(x) (x 2) (x 1) (x 3) a) Encuentra sus ceros. b) Divide la recta real en los intervalos que tienen por extremos esos ceros. c) Elige un punto en cada uno de esos intervalos y calcula el valor numérico de Q(x) en ese punto. El signo de este valor numérico es el signo de Q(x) en todo el intervalo. a) Q(x) 0 para los valores x 2, x 1 y x 3 b) Los intervalos son: ( , 2), ( 2, 1), (1, 3) y (3, ). c) Q( 3) ( 3 2) ( 3 1) ( 3 3) 1 ( 4) ( 6) 24 ⇒ signo negativo Q(0) (0 2) (0 1) (0 3) 2 ( 1) ( 3) 6 ⇒ signo positivo Q(2) (2 2) (2 1) (2 3) 4 1 ( 1) 4 ⇒ signo negativo Q(4) (4 2) (4 1) (4 3) 6 3 1 18 ⇒ signo positivo 3.73 3.72 3.71 3.70 3.69 La expresión que calcula el área de un cilindro es: A(r, h) 2 r (r h) Donde r es el radio de la base, y h, la altura del cilindro. a) ¿Cuál es el grado del polinomio A(r, h)? b) ¿Qué área tiene el cilindro A(3, 5)? c) Si un bote de refresco cilíndrico tiene aproximadamente 11 centímetros de altura y 6 centímetros de diámetro de la base, ¿qué cantidad de hojalata se ha utilizado en su fabricación? d) Si el radio y la altura de un cilindro suman 20 centímetros, y el área del mismo es de 120 cm2, ¿cuánto mide el radio? a) A(r, h) 2 r2 2 rh es de grado 2, ya que cada monomio que lo forma también lo es. b) A(3, 5) 2 3 (3 5) 6 8 48 u2 c) Si h 11 y r 3 ⇒ A(3, 11) 6 14 84 cm2 d) A(r, h) 2 r(r h) ⇔ 120 2 r 20 ⇒ r 3 cm Un Ayuntamiento quiere construir un depósito metálico para acumular agua. Disponen de una pieza cuadrada de metal de 20 20 metros, de la que cortan cuatro cuadrados de lado x en las cuatro esquinas y levantan los cuatro rectángulos resultantes para formar los laterales del depósito, soldando las esquinas. a) ¿Qué polinomio V(x) expresa el volumen que puede acumular el depósito? b) Halla los valores numéricos siguientes: V(0), V(1), V(2), V(3) V(4) V(5) V(6). c) Representa los puntos [x, V(x)] para los valores del apartado anterior. d) ¿Podrías averiguar para qué valor de x el depósito tiene el máximo volumen? a) Área de la base: (20 2x) (20 2x); altura: x ⇒ V(x) (20 2x)2 x El polinomio 4x3 80x2 400x b) x 0 ⇒ V(0) (20 2 0)2 0 0 x 1 ⇒ V(1) (20 2 1)2 1 324 x 2 ⇒ V(2) (20 2 2)2 2 512 x 3 ⇒ V(3) (20 2 3)2 3 588 x 4 ⇒ V(4) (20 2 4)2 4 576 x 5 ⇒ V(5) (20 2 5)2 5 500 x 6 ⇒ V(6) (20 2 6)2 6 384 d) En la gráfica podemos apreciar que cerca de x 3 el volumen del depósito es máximo. R E F U E R Z O Operaciones con polinomios Dados los siguientes polinomios: P(x) 3x3 4x2 10x 5 Q(x) 6x4 5x3 8x 5 R(x) x2 3x 8 Realiza estas operaciones: a) 2x2 R(x) 5P(x) 3Q(x) b) Q(x) R(x) 2P(x) a) 2 x2 ( x2 3x 8) 5 (3x3 4x2 10x 5) 3 (6x4 5x3 8x 5) 16x4 36x3 36x2 26x 10 b) (6x4 5x3 8x 5) ( x2 3x 8) 2 (3x3 4x2 10x 5) 6x6 13x5 63x4 54x3 11x2 5x 30 3.76 1 50 O Y X y = x . (20 – 2x)2 x 20 m x 20 – 2x 3.75 3.74 Completa la siguiente división de polinomios en tu cuaderno rellenando los coeficientes que faltan. Aplica la prueba de la división para comprobar que la has realizado correctamente. d(x) c(x) r(x) (x2 x 2) (2x2 x) (2x2 6x 1) 2x4 x3 2x3 x2 4x2 2x 2x2 6x 1 2x4 x3 5x2 4x 1 D(x) Utilizando la regla de Ruffini, averigua si x 3 es factor del polinomio P(x) x3 4x2 8x 15. ¿Tiene más factores dicho polinomio? ¿Por qué? Obtenemos resto 0, es decir, (x 3) es factor de P(X). El cociente queda: x2 x 5. Resolvemos: x2 x 5 0. x . No existe solución; por tanto, P(x) solo tiene un factor de primer grado. Identidades notables Utiliza las identidades notables para desarrollar o para factorizar en cada caso las siguientes expresiones algebraicas. a) 16x2 4y2 16xy b) 25z4y2 16x2b6 c) (2x 3y)3 d) (5xy 2zt) (5xy 2zt) a) 16x2 4y2 16xy (4x 2y)2 b) 25z4y2 16x2b6 (5z2y 4xb3) (5z2y 4xb3) c) (2x 3y)3 8x3 36x2y 54xy2 27y3 d) (5xy 2zt) (5xy 2zt) 25x2y2 4z2t2 Raíces y factorización de polinomios Indica si los valores x1 2 y x2 1 son raíces del polinomio P(x) x5 x4 7x3 7x 6. P(2) 25 24 7 23 7 2 6 32 16 56 14 6 0; x1 2 es raíz de este polinomio. P(1) 15 14 7 13 7 1 6 1 1 7 7 6 4; x2 1 no es raíz de este polinomio. Halla el polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 y que tiene por raíces x1 1 (raíz doble), x2 2 y x3 4. Desarróllalo. 3(x 1)2(x 2)(x 4) 3(x2 2x 1)(x2 2x 8) 3(x4 2x3 8x2 2x3 4x2 16x x2 2x 8) 3(x4 4x3 3x2 14x 8) 3x4 12x3 9x2 42x 24 3.81 3.80 3.79 1 19 2 1 1 2 4 1 5 2 1 35 1 4 8 15 35 1 3 3 15 35 1 1 5 0 3.78 54x424 44x4 42 2x2 x 1 1 1 4x 4x 2x 6x 5x2 4x2 x2 x2 2x2 ( 1)x3 2x3 x3 x3 2x4 2x4 3.77 Factoriza los siguientes polinomios. a) x3 x2 5x 3 b) x4 5x2 4 a) P(x) x3 x2 5x 3 (x 1) (x2 2x 3) (x 1) (x 1) (x 3) (x 1)2 (x 3) x2 2x 3 0 ⇒ x 2 2 4 b) Q(x) 3x4 5x3 33x2 23x 12 (x 3) (3x3 14x2 9x 4) (x 3) (x 4) (3x2 2x 1) 3x2 2x 1 0 ⇒ x ⇒ No tiene solución. A M P L I A C I Ó N ¿Qué expresión algebraica determina el área de un hexágono regular de lado x? En un hexágono regular, el radio y el lado coinciden. Con estos dos datos y sabiendo que la apotema corta el lado en su punto medio, podemos aplicar el teorema de Pitágoras: x2 a2 2 x 2 ⇒ x2 a2 x 4 2 ⇒ a2 x2 x 4 2 ⇒ a2 3 4 x2 ⇒ a x A x2 Halla el polinomio de segundo grado que cumple estas tres condiciones: – Su coeficiente principal es 5. – Tiene como factor (x 3). – El resto de su división entre (x 2) es 25. En este polinomio, un factor es (x 3); para que su coeficiente principal sea 5, multiplicamos el factor por 5. Por último, para que tenga grado 2 deberemos multiplicarlo por un binomio de grado 1 de la forma (x b), quedando: P(x) 5 (x 3) (x b). Entonces, P(x) 5 (x 3) (x 1) En el polinomio Q(y) 25y2 20y 4, cualquier valor numérico para todo valor de y es positivo, salvo en un valor que es 0. Explica por qué, utilizando la factorización por identidades notables. ¿Para qué valor de y es 0 el polinomio? Al ser un cuadrado, siempre es positivo salvo cuando 5y 2 0 ⇒ y 2 5 . Calcula a y b para que N(x) 8x3 ax2 54x b sea un cubo perfecto. ¿Qué polinomio al cubo da como resultado N(x)? 8x3 ax2 54x b (2x c)3; (2x c)3 8x3 12cx2 6c2x c3 Igualando coeficientes: 6c2 54 ⇒ c2 9 ⇒ c 3 12c a ⇒ 12 3 a ⇒ a 36 o 12 ( 3) a ⇒ a 36 b c3 ⇒ b 27 o b 27 N(x) 8x3 36x2 54x 27 (2x 3)3 o N(x) 8x3 36x2 54x 27 (2x 3)3 3.86 3.85 3.84 3 3 2 6x 2 3 x 2 3 2 x—2 x a 3.83 2 8 2 2 2 2 4 3 1 2 1 35 3 5 33 23 12 35 3 9 42 27 12 35 3 14 9 4 0 3 1 QT 2 4 12 2 2 2 2 4 ( 3) 1 2 1 15 1 1 5 3 15 1 1 2 3 15 1 2 3 0 3.82 Halla a y b para que T(x) tenga como raíces las que se indican en cada caso. a) T(x) 3x3 ax2 bx 9. Raíces: 3 y 3 b) T(x) 2x4 ax3 x2 bx 1. Raíces: 1 y 1 a) A(x) x2 9 (x 3)(x 3); tendrá que ser divisible entre (x 3) y entre (x 3). Sumamos 18a 18 0 T( 3) 3 ( 3)3 a ( 3)2 b ( 3) 9 81 9a 3b 9 9a 3b 72 0 Resto: 6b 162 0 b 27 b) A(x) x2 1 (x 1)(x 1); tendrá que ser divisible entre (x 1) y entre (x 1). Completa esta división. ¿Por qué polinomio hemos dividido 6x3 4x2 3 para que el cociente de la división sea c (x) 6x2 28x 112, y el resto, 445? D(x) d(x) c(x) r(x) d(x) ⇒ D(x) c( x) r(x) El divisor es d(x) x 4 Indica si puede existir alguna diferencia entre dos polinomios, P(x) y Q(x), que tengan las siguientes características: los factores de P(x) son (x 1), (x 5) y (x 2), y las raíces de Q(x) son 5, 2 y 1. Justifica tu respuesta. Un polinomio del tipo A(x) a (x 1) (x 5) (x 2) cumple las dos condiciones. Luego si cambiamos el valor de a tenemos infinitos polinomios que verifican esas dos condiciones. Si las raíces de un polinomio coinciden con los cortes de la gráfica del polinomio con el eje de abscisas, ¿a qué polinomio corresponde esta gráfica? a) x2 x 2 c) x2 3x 2 b) x2 x 2 d) x2 3x 2 ⇒ a) Corte con eje OX: ( 2, 0) y (1, 0) Raíces: 2 y 1 Factores: (x 2) y (x 1) O 1 1 Y X 3.91 3.90 6x2 28x 112 x 4 6x3 4x2 112x 448 6x3 28x2 112x 24x2 112x 448 24x2 112x 448 0 6x3 4x2 448 6x2 28x 112 3.89 3.88 Tiene infinitas soluciones, la única condición será: a b. T(1) 2 14 a 13 12 b 1 1 2 a 1 b 1 a b 0 T( 1) 2 ( 1)4 a ( 1)3 ( 1)2 b ( 1) 1 2 a 1 b 1 a b 0 T(3) 3 33 a 32 b 3 9 81 9a 3b 9 9a 3b 90 0 a 1 3.87 1 0 1 10 2 2 4 6 1 2 3 4 Halla el polinomio de grado P(x) ax2 bx c, que tenga el mismo coeficiente principal que el polinomio Q(x) (3x 5) (4x 1), que una de sus raíces sea igual a la raíz negativa del polinomio T(x) x2 5x 6, y la otra, igual a la suma de las raíces del polinomio S(x) (x 4) (x 3). Misma raíz negativa que x2 5x 6 Raíz: x 1 Suma de raíces de (x 4) (x 3): 4 ( 3) 1 Misma a que (3x 5) (4x 1) 12x2 23x 5 ⇒ a 12 Polinomio: P(x) 12 (x 1) (x 1) P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R La cesta de la compra Se quiere hacer un estudio sobre el precio de ciertos artículos de consumo habitual en los hogares de una localidad. Los artículos de consumo se han dividido en tres grupos: alimentación, limpieza del hogar y aseo personal. Por estudios anteriores, se sabe que en una familia media, el total de gasto en estos productos se divide en el 65% para alimentación, 20% para limpieza del hogar y 15% para aseo personal. En dicha localidad existen tres comercios A, B y C que ofrecen dichos productos. Para realizar el estudio, se ha escogido, por sorteo, un artículo de cada grupo de marcas y características determinadas, y se han observado sus precios en cada uno de los comercios. La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos: a) Completa la siguiente tabla de precios relativos elaborada dividiendo cada uno de los precios de la tabla anterior por la media aritmética del precio del artículo en los tres comercios. Como un indicador del gasto que se produce en cada uno de los comercios, se toma el valor del siguiente polinomio: P(x, y, z) ax by cz Donde x, y y z representan los precios relativos de los tres productos elegidos. b) Indica qué valores darías a las constantes a, b y c del polinomio. c) ¿Por qué se utilizan, para x, y y z, los valores de la segunda tabla en vez de los de la primera? d) Calcula el valor del polinomio para cada uno de los tres comercios. e) ¿Cuál de ellos elegirías para realizar las compras? 3.93 15 1 5 6 15 1 1 6 15 1 6 0 65 1 6 65 1 0 3.92 Leche Detergente Dentífrico A 1 € 7,40 € 3 € B 0,90 € 8 € 3,10 € C 1,05 € 6,50 € 2,80 € Leche Detergente Dentífrico A 1,017 € 1,014 € B 0,915 € C 1,068 € a) b) P 0,65x 0,20y 0,15z c) Con el fin de que posteriormente los precios intervengan en el indicador en la parte que les corresponde. d) A: P 0,65 1,017 0,20 1,014 0,15 1,011 1,015 B: P 0,65 0,915 0,20 1,096 0,15 1,045 0,971 C: P 0,65 1,068 0,20 0,890 0,15 0,944 1,014 e) Se elegiría el comercio B. A U T O E V A L U A C I Ó N Transcribe las dos siguientes expresiones verbales al lenguaje algebraico. a) El producto de tres números consecutivos. b) El perímetro de un rectángulo de base b y altura h. a) x (x 1) (x 2) b) 2b 2h 2 (b h) Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para x1 2 y x2 1. P(x) —x 2 3— 2(x2 1) P(2) 2 2 3 2(22 1) 4 2 3 2 P( 1) ( 2 1)3 2(( 1)2 1) 2 1 Si P(x) 3x2 2x 4, Q(x) 2x3 x2 5x 1 y R(x) x4 x3 4x2 3x 2, realiza las siguientes operaciones. ¿Qué grado tienen los polinomios resultantes? a) P(x) Q(x) R(x) b)P(x) [Q(x) R(x)] a) P(x) Q(x) R(x) (3x2 2x 4) ( 2x3 x2 5x 1) (x4 x3 4x2 3x 2) 3x2 2x 4 2x3 x2 5x 1 x4 x3 4x2 3x 2 x4 x3 8x2 4x 3 ⇒ Grado 4 b) P(x) [Q(x) R(x)] (3x2 2x 4) [( 2x3 x2 5x 1) (x4 x3 4x2 3x 2)] (3x2 2x 4) (x4 3x3 3x2 8x 3) 3x6 9x5 9x4 24x3 9x2 2x5 6x4 6x3 16x2 6x 4x4 12x3 12x2 32x 12 3x6 11x5 19x4 6x3 13x2 38x 12 ⇒ Grado 6 Realiza las siguientes divisiones de polinomios. a) (5x4 3x2 x 1) : (x3 x 1) b) (4x3 2x 1) : (x2 x 1) ¿Podrías aplicar la regla de Ruffini? ¿Por qué? a) b) No se puede aplicar Ruffini porque los divisores no tienen grado 1. 4x3 0x2 2x 254x424 4x4 41 4x3 4x2 4x 4x 4 4x2 6x 2 4x2 4x 4 2x 6 5x4 3x2 x 154x434 4x4 41 5x4 5x2 5x 5x 2x2 6x 1 3.A4 3.A3 3.A2 3.A1 Leche Detergente Dentífrico A 1,017 € 1,014 € 1,011 € B 0,915 € 1,096 € 1,045 € C 1,068 € 0,890 € 0,944 € Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. Indica los polinomios cociente y resto. a) (2x3 4x2 5x 3) : (x 2) b) (x4 3x2 4x 2) : (x 3) a) Cociente: 2x2 8x 11 b) Cociente: x3 3x2 6x 14 Resto: 19 Resto: 40 Señala cuál de las siguientes expresiones se corresponde con el desarrollo del cuadrado del binomio (3ab c)2. a) 9a2b2 c2 b) 9a2b2 6abc c2 c) 9a2b2 6abc c2 Solución: b) 9a2b2 6abc c2 Indica a cuál de las siguientes expresiones corresponde el desarrollo de la suma por diferencia (2x2y 3y2z) (2x2y 3y2z) a) 4x4y2 9y4z2 b) 4x2y 9y2z c) 4x4y2 9y4z2 Solución: c) 4x4y2 9y4z2 Calcula el valor que debe tener k para que el polinomio P(x) x5 kx x3 4x2 x 4 tenga como factor (x 4). P(4) 45 k44 43 4 42 4 4 1024 256k 64 64 4 4 1024 256k 0 ⇒ P(4) ⇒ 1024 256k ⇒ k 4 ¿Es (x 1) un factor del polinomio x71 1? Razona tu respuesta. P( 1) ( 1)71 1 1 1 2 0 No, porque el resto de la división no es 0. Factoriza los siguientes polinomios. a) 2x3 14x 12 b) x3 3x2 9x 5 a) P(x) 2x3 14x 12 (x 1)(2x2 2x 12) 2(x 1)(x 2)(x 3) 2x2 2x 12 0 ⇒ x 2 4 10 b) Q(x) x3 3x2 9x 5 (x 1)(x2 4x 5) (x 1)2(x 5) x2 4x 5 0 ⇒ x 4 2 6 2 2 1 2 10 5 QT 4 1 6 20 2 4 4 2 4 1 ( 5) 2 15 1 3 9 5 15 1 1 4 5 15 1 4 5 0 1 4 2 3 4 8 2 QT 2 4 96 4 2 ( 2)2 4 2 ( 12 ) 2 2 15 2 0 14 12 15 1 2 2 12 15 2 2 12 0 3.A10 3.A9 3.A8 3.A7 3.A6 3.A5 M A T E T I E M P O S ¿Dónde está el error? En la resolución de esta ecuación hay un error. — 2 4 x x 3 6 — 2 → 2x 3 8x 12 → 6x 9 → x —3 2 — ¿Puedes encontrarlo? ¿Sabrías resolver correctamente la ecuación? La primera idea que surge es que al ser el denominador el doble que el numerador, el cociente no puede ser igual a 2, luego la ecuación no tiene solución. Resolviendo algebraicamente la ecuación se tiene: 2x 3 2(4x 6) ⇒ 2x 3 8x 12 ⇒ 2x 8x 12 3 ⇒ 6x 9 x 9 6 3 2 Aunque algebraicamente la ecuación tiene solución, debe hacerse notar al estudiante que antes de iniciar un problema debe analizarlo, y que en este caso la ecuación tiene un dominio cuyos valores deben ser diferentes de 3 2 , o sea, 4x 6 0. D: R 3 2 Como el resultado es 3 2 , la ecuación no tiene solución en su dominio. 2 POLINOMIOS E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Calcula el valor numérico pedido para las siguientes expresiones algebraicas. a) f(x) — x2 3 x2 4 — ; x 2 b) g(a, b) 3a2 5ab; a 1, b 4 c) h(x, y) x(y 3) xy2; x 2, y 0 a) f (2) 2 3 2 22 4 4 3 4 4 1 8 2 3 2 b) g( 1, 4) 3 ( 1)2 5 ( 1) 4 3 1 5 4 3 20 17 c) h(2, 0) 2 (0 3) 2 02 2 ( 3) 0 6 Identifica los coeficientes y los grados parciales y total de los siguientes monomios. a) 3x3yz2 c) —4x 5 2yz2— b) ab2c4 d) —1 2 — p4q2r a) Monomio: 3x3yz2 c) Monomio: 4x 5 2yz2 Coeficiente: 3 Coeficiente: 4 5 Grado respecto a x: 3 Grado respecto a x: 2 Grado respecto a y: 1 Grado respecto a y: 1 Grado respecto a z: 2 Grado respecto a z: 2 Grado total: 6 Grado total: 5 b) Monomio: ab2c4 d) Monomio: 1 2 p4q2r Coeficiente: 1 Coeficiente: 1 2 Grado respecto a a: 1 Grado respecto a p: 4 Grado respecto a b: 2 Grado respecto a q: 2 Grado respecto a c: 4 Grado respecto a r: 1 Grado total: 7 Grado total: 7 Escribe las expresiones algebraicas que corresponden al volumen de un cono y de una esfera. VCono 1 3 r2h VEsfera 4 3 r3 Realiza las siguientes operaciones. a) (x4 3x3 3x2 2x) (4x4 2x3 3x2 5x) b) ( 2x3 x 6) (x3 3x2 2x 7) a) (x4 3x3 3x2 2x) (4x4 2x3 3x2 5x) 5x4 x3 7x b) ( 2x3 x 6) (x3 3x2 2x 7) 2x3 x 6 x3 3x2 2x 7 3x3 3x2 x 1 2.4 2.3 2.2 2.1 Efectúa estos productos de polinomios. a) (x4 2x3 3x2 x 2) (x3 3) b) ( 5x3 6x 3) (x2 2x 1) c) 2x (5x2 2x 1) ( x3 4) a) (x4 2x3 3x2 x 2) (x3 3) x7 2x6 3x5 x4 2x3 3x4 6x3 9x2 3x 6 x7 2x6 3x5 2x4 8x3 9x2 3x 6 b) ( 5x3 6x 3) (x2 2x 1) 5x5 10x4 5x3 6x3 12x2 6x 3x2 6x 3 5x5 10x4 11x3 15x2 12x 3 c) 2x (5x2 2x 1) ( x3 4) (10x3 4x2 2x) ( x3 4) 10x6 4x5 2x4 40x3 16x2 8x Calcula el cociente y el resto de la división (2x5 7x4 x2 4x 1) (x2 3x 2) y comprueba que D(x) d(x) C(x) R(x). 2x5 7x4 x2 4x 1 x2 3x 2 2x5 6x4 4x3 2x3 x2 x x4 4x3 x4 3x3 2x2 x3 3x2 x3 3x2 2x 2x 1 Cociente: 2x3 x2 x Resto: 2x 1 d(x) C(x) R(x) (x2 3x 2) (2x3 x2 x) ( 2x 1) 2x5 x4 x3 6x4 3x3 3x2 4x3 2x2 2x 2x 1 2x5 7x4 x2 4x 1 D(x) Dados los polinomios P(x) (3x3 3x2 1), Q(x) (2x4 5x2) y R(x) ( x3 x 2), efectúa estas operaciones. a) P(x) Q(x) R(x) c) [Q(x)]3 b) P(x) Q(x) R(x) d) Q(x) R(x) a) P(x) Q(x) R(x) 3x3 3x2 1 2x4 5x2 x3 x 2 2x4 2x3 8x2 x 3 b) P(x) Q(x) R(x) 3x3 3x2 1 2x7 2x5 4x4 5x5 5x3 10x2 2x7 7x5 4x4 2x3 13x2 1 c) [Q(x)]3 (2x4 5x2) (2x4 5x2) (2x4 5x2) (4x8 10x6 10x6 25x4) (2x4 5x2) (4x8 20x6 25x4) (2x4 5x2) 8x12 20x10 40x10 100x8 50x8 125x6 8x12 60x10 150x8 125x6 d) 2x4 5x2 x3 x 2 2x4 2x2 4x 2x 3x2 4x Resuelve las siguientes operaciones. a) (m 2n)2 d) 4x —2 3 — y 2 b) ( 5 9b)2 e) ( 3x y)3 c) (2a 3b)2 f) (4a 5)3 a) (m 2n)2 m2 4n2 4mn d) 4x 2 3 y 2 16 x2 4 9 y2 1 3 6 xy b) ( 5 9b)2 25 81b2 90b e) ( 3x y)3 27x3 y3 27x2y 9xy2 c) (2a 3b)2 4a2 9b2 12ab f) (4a 5)3 64a3 125 240a2 300a 2.8 2.7 2.6 2.5 Descompón en factores estas expresiones. a) y2 16 c) (3x 2)2 (3x 2)2 b) 9z2 6zy y2 d) 27x3 8 54x2 36x a) y2 16 (y 4) (y 4) b) 9z2 6zy y2 (3z y)2 c) (3x 2)2 (3x 2)2 (3x 2 3x 2) (3x 2 3x 2) 6x 4 24x d) 27x3 8 54x2 36x (3x 2)3 Completa en tu cuaderno estas expresiones para que correspondan al cuadrado de un binomio. a) a2 4ab c) 4x2 9 b) x2 —2 3 —xy d) 6zyx3 9z2 a) a2 4ab 4b2 Desarrollo de (a 2b)2 b) x2 3 2 xy 1 9 y2 Desarrollo de x 1 3 y 2 c) 4x2 12x 9 Desarrollo de (2x 3)2 d) y2x6 6zyx3 9z2 Desarrollo de (yx3 3z)2 Utiliza la fórmula a2 b2 (a b)(a b) para calcular mentalmente las siguientes operaciones. a) 152 52 c) 1252 252 b) 552 452 d) 7002 3002 a) 152 52 (15 5) (15 5) 20 10 200 b) 552 452 (55 45) (55 45) 100 10 1000 c) 1252 252 (125 25) (125 25) 150 100 15 000 d) 7002 3002 (700 300) (700 300) 1000 400 400 000 Realiza estas divisiones. a) (x3 3x2 5x 10) (x 3) b) (x4 2x2 6x 7) (x 1) a) 1 3 5 10 Cociente: x2 5 b) 1 0 2 6 7 Cociente: x3 x2 x 7 3 3 0 15 Resto: 5 1 1 1 1 7 Resto: 0 1 0 5 5 1 1 1 7 0 Utiliza la regla de Ruffini para hallar el número k que hay que añadir al polinomio x3 2x2 para que, al dividirlo entre x 4, el resto sea 0. El polinomio será de la forma x3 2x2 k, procedemos a dividir para calcular el resto. 1 2 0 k El resto, k 32, tiene que ser 0; entonces: 4 4 8 32 k 32 0 ⇒ k 32 1 2 8 k 32 2.13 2.12 2.11 2.10 2.9 Calcula el valor de k que hace que el resto de la división de x3 2x 6k entre x 2 sea 0. 1 0 2 6k El resto: 6k 12 tiene que ser 0; entonces: 2 2 4 12 6k 12 0 ⇒ k 2 1 2 6 6k 12 Indica en notación ordinaria el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 D(x) x5 x4 x3 x2 x 1 c(x) x4 2x3 x2 2x 1 d(x) x 1 R 2 Resuelve esta división usando la regla de Ruffini. (x3 2x2 7x 14) (x 2) ¿Cuánto vale el resto? ¿Coincide con el valor numérico del dividendo para x 2? 1 2 7 14 Resto: 0 2 2 0 14 P(2) 23 2 22 7 2 14 8 8 14 14 0 1 0 7 0 Coinciden P(2) y el resto. Halla el resto de estas divisiones sin efectuarlas. a) (x25 3x2 4) (x 1) b) (x33 1) (x 1) Vamos a utilizar el teorema del resto, calculando P(1) en el primer polinomio y P( 1) en el segundo: a) P(1) 125 3 12 4 1 3 4 6 Resto 6 b) P( 1) ( 1)33 1 1 1 2 Resto 2 Indica, sin realizar las divisiones, si estas afirmaciones son ciertas. a) (x 1) es un factor de (x5 x3 4x2 6x 2). b) (2x4 4x3 x2 3x 2) es divisible entre (x 2). a) Vamos a utilizar el teorema del factor. Calculamos P(1): P(1) 15 13 4 12 6 1 2 1 1 4 6 2 14 0 Por tanto, deducimos que (x 1) no es un factor de (x5 x3 4x2 6x 2). b) Calculamos P(2): P(2) 2 24 4 23 22 3 2 2 32 32 4 6 2 0, por lo que deducimos que (2x4 4x3 x2 3x 2) es divisible entre (x 2). Si se divide el polinomio 3x3 2x2 kx 1 entre x 1, el resto es 2. ¿Cuánto vale k? Según el teorema del resto, el resto será: P(1) 3 13 2 12 k 1 1 3 2 k 1 2 k Igualamos el resto a dos como indica el enunciado: 2 k 2 ⇒ k 0 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 Dado el polinomio x3 4x2 5x 8: a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo? b) ¿Pueden ser x 1 y x 3 raíces del polinomio? Escribe el conjunto de todos los enteros que podrían ser raíz de este polinomio. c) ¿Es x 2 raíz del polinomio? a) El polinomio tiene grado 3; por tanto, como máximo puede tener 3 raíces. b) x 1 podría ser raíz del polinomio, ya que 1 es divisor de 8. x 3 no podría ser raíz del polinomio, ya que 3 no es divisor de 8. El conjunto de todos los enteros que podrían ser raíz de este polinomio será: 1, 2, 4, 8. c) Calculamos P( 2): P( 2) ( 2)3 4 ( 2)2 5 ( 2) 8 8 16 10 8 6 0 Como P( 2) 0 ⇒ 2 no es raíz del polinomio. Indica cuáles de los siguientes números son raíces del polinomio P(x) 2x4 5x3 5x2 5x 3. 0 1 —1 2 — 3 — 2 1— Calculamos P(x) para estos números: P(0) 2 04 5 03 5 02 5 0 3 3 0 ⇒ 0 no es raíz de este polinomio. P(1) 2 14 5 13 5 12 5 1 3 0 ⇒ 1 es raíz de este polinomio. P 1 2 2 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 2 5 1 2 3 1 2 6 5 8 5 4 5 2 3 0 ⇒ 1 2 es raíz de este polinomio. P(3) 2 34 5 33 5 32 5 3 3 2 81 5 27 5 9 15 3 162 135 45 15 3 240 0 ⇒ ⇒ 3 no es raíz de este polinomio. P 1 2 2 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 2 5 1 2 3 1 2 6 5 8 5 4 5 2 3 6 1 0 6 1 4 5 0 ⇒ 1 2 no es raíz de este polinomio. Calcula las raíces enteras de estos polinomios. a) x3 3x2 x 3 b) x3 2x2 2x 4 a) x3 3x2 x 3. Posibles raíces enteras: 1, 3. Probamos con cada una de ellas: P(1) 13 3 12 1 3 0 ⇒ 1 es raíz. P( 1) ( 1)3 3 ( 1)2 1 3 0 ⇒ 1 es raíz. P(3) 33 3 32 3 3 48 ⇒ 3 no es raíz. P( 3) ( 3)3 3 ( 3)2 3 3 0 ⇒ 3 es raíz. Por tanto, las raíces enteras de este polinomio son 1, 1 y 3. 2.22 2 10 20 40 48 16 2 10 20 40 48 16 2.21 2.20 b) x3 2x2 2x 4. Posibles raíces enteras: 1, 2, 4. Probamos con cada una de ellas: P(1) 13 2 12 2 1 4 3 ⇒ 1 no es raíz. P( 1) ( 1)3 2 ( 1)2 2 ( 1) 4 9 ⇒ 1 no es raíz. P(2) 23 2 22 2 2 4 0 ⇒ 2 es raíz. P( 2) ( 2)3 2 ( 2)2 2 ( 2) 4 24 ⇒ 2 no es raíz. P(4) 43 2 42 2 4 4 64 32 8 4 36 ⇒ 4 no es raíz. P( 4) ( 4)3 2 ( 4)2 2 ( 4) 4 64 32 8 4 108 ⇒ 4 no es raíz. Por tanto, la única raíz entera de este polinomio es 2. Factoriza estos polinomios sabiendo que todas sus raíces son divisores del término independiente. a) x3 2x2 x 2 b) 2x2 12x 18 a) Las posibles raíces enteras serán los divisores de 2; es decir, 1 y 2. P(1) 13 2 12 1 2 0 ⇒ 1 es raíz de este polinomio. P( 1) ( 1)3 2 ( 1)2 1 2 0 ⇒ 1 es raíz de este polinomio. P(2) 23 2 22 2 2 12 0 ⇒ 2 no es raíz de este polinomio. P( 2) ( 2)3 2 ( 2)2 2 2 0 ⇒ 2 es raíz de este polinomio. Por tanto, las raíces de este polinomio son 1, 1 y 2, y la factorización correspondiente es: x3 2x2 x 2 (x 1) (x 1) (x 2) b) El polinomio es de grado 2; por tanto, resolvemos la ecuación: 2x2 12x 18 0. x 12 1 4 44 144 Teniendo en cuenta que el coeficiente director de este polinomio es 2 y que 3 es raíz doble, la factorización será: 2x2 12x 18 2 (x 3) (x 3) 2 (x 3)2 Halla el valor numérico de P(x) x2 7x 10 para x 1, 2, 3, 5. a) ¿Para cuáles de estos valores se anula? b) Factoriza el polinomio P(x). P(1) 12 7 1 10 4 P(2) 22 7 2 10 0 P(3) 32 7 3 10 2 P(5) 52 7 5 10 0 a) El polinomio se anula en 2 y 5. b) Como el polinomio es de grado dos y hemos encontrado dos números que lo anulan, ya podemos factorizarlo: P(x) (x 2) (x 5) 2.24 3 3 12 1 22 4 2 18 2 2 2.23 Descompón en factores estos polinomios. a) x3 x2 2x c) x3 x2 5x 5 b) x3 x2 8x 12 d) x3 2x2 5x 10 a) Sacamos factor común: P(x) x3 x2 2x x (x2 x 2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: x2 x 2 0 1 2 9 Por tanto: P(x) x (x 2) (x 1) b) P(x) x3 x2 8x 12 Utilizamos Ruffini, vamos probando con los divisores de 12 hasta que obtengamos resto 0: 1 1 8 12 3 3 12 12 1 4 4 0 D(x) d(x) c(x) ⇒ P(x) (x 3) (x2 4x 4) Para factorizar el cociente utilizamos las identidades notables: x2 4x 4 (x 2)2. Por tanto, la factorización queda: P(x) (x 3) (x 2)2. c) P(x) x3 x2 5x 5 Empezamos por Ruffini: 1 1 5 5 1 1 0 5 1 0 5 0 P(x) (x 1) (x2 5) Ahora resolvemos la ecuación x2 5 0 ⇒ x2 5 ⇒ x 5 ⇒ No posee raíces reales. Por tanto, la factorización resulta: P(x) (x 1) (x2 5) d) P(x) x3 2x2 5x 10 Utilizamos Ruffini: 1 2 5 10 2 2 0 10 1 0 5 0 P(x) (x 2) (x2 5) Para factorizar el cociente utilizamos las identidades notables: x2 5 x 5 x 5 Por tanto, la factorización queda: P(x) (x 2) x 5 x 5 Factoriza los siguientes polinomios. a) x2 25 c) x3 x b) x3 x5 d) x2 x4 Factorizaremos los polinomios extrayendo factor común cuando sea posible y utilizando las identidades notables: a) x2 25 (x 5) (x 5) b) x3 x5 x3 (1 x2) x3 (1 x) (1 x) c) x3 x x (x2 1) x (x 1) (x 1) d) x2 x4 x2 (1 x2) x2 (1 x) (1 x) 2.26 2 1 x 1 1 4 2 2 2.25 El polinomio P(x) se ha factorizado y se ha obtenido la expresión P(x) (x 1)(x 2)(x 6). ¿Para qué valores de x se anula este polinomio? Para x 1, x 2 y x 6 que son los valores que anulan cada uno de los factores. ¿Qué valor debe tener m para que (x 3) sea un factor del polinomio P(x) x3 2x 3m? Para que (x 3) sea factor de P(x), P( 3) tiene que ser 0. P( 3) ( 3)3 2 ( 3) 3m 27 6 3m. Igualamos a 0: 21 3m 0 ⇒ m 7 Escribe cuatro polinomios que sean irreducibles. Respuesta libre. R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Calcula los valores enteros de n que hacen que sea un número entero. Hacemos la división, obteniendo: 3 n3 n 10 n2 1 23n 3n2 13n 10 n 1 0 1 Buscamos los valores de n para los que n 1 es divisor de 10. n 1 1 ⇒ n 0 n 1 1 ⇒ n 2 n 1 2 ⇒ n 1 n 1 2 ⇒ n 3 n 1 5 ⇒ n 4 n 1 5 ⇒ n 6 n 1 10 ⇒ n 9 n 1 10 ⇒ n 11 ¿Para qué valores enteros de x se cumple que es un entero positivo? Hacemos la división, obteniendo: x4 2x3 2x2 2x 1 x 4 2 A diferencia de los ejercicios anteriores, ahora nos dicen que el resultado debe ser entero y positivo. Por comodidad a la hora de sustituir, nos interesa descomponer totalmente el cociente: x4 2x3 2x2 2x 1 x 4 2 (x2 1)(x 1)2 x 4 2 La primera parte nunca puede ser negativa. Solo habrá que vigilar si para alguno de los valores que hacen que x 4 2 sea entero el resultado total puede ser negativo. Posibles valores de x: x 2 1 ⇒ x 3 x 2 1 ⇒ x 1 x 2 2 ⇒ x 4 x 2 2 ⇒ x 0 x 2 4 ⇒ x 6 x 2 4 ⇒ x 2 Para x 3, x 4, x 6 y x 2, el resultado total es positivo, luego son soluciones válidas. Para x 1 y x 0, el total es negativo, por lo que no se cumple la condición pedida. x5 4x4 6x3 6x2 5x 2 x 2 x5 4x4 6x3 6x2 ——— —5x 2 x 2 2.31 —3n3 —10n2 —23n n 1 2.30 2.29 2.28 2.27 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Lenguaje algebraico. Operaciones con monomios Expresa las siguientes cantidades en el lenguaje algebraico. a) El espacio recorrido en un tiempo t por un móvil que lleva velocidad constante v. b) El volumen de un cubo de arista x. c) El volumen de un cilindro de radio de la base r y altura h. d) El perímetro de un triángulo isósceles de lados iguales x y lado desigual y. a) E v t b) V x3 c) V r2h d) p 2x y En estas columnas están, desordenados, cuatro polinomios y sus respectivos valores numéricos para ciertos valores de x. Polinomio x Valor numérico x4 2x2 x 1 x 2 1 x2 3(x 1) x 0 3 x 2 3 1 x 1 5 x5 3x4 2x3 x 1 x 2 1 Relaciona en tu cuaderno cada polinomio con su valor numérico para el valor de x correspondiente. Dados los monomios A 6x2, B 3x4, C = —1 2 — x4 y D 2x, realiza las siguientes operaciones. a) A D c) A B C e) B C g) A B C b) B C d) A D f) D B h) A D B a) A D 6x2 ( 2x) 6x2 2x e) B C 3x4 1 2 x4 6 b) B C 3x4 1 2 x4 5 2 x4 f) D B 2x 3x4 6x5 c) A B C 6x2 3x4 1 2 x4 6x2 5 2 x4 g) A B C 6x2 3x4 1 2 x 4 9x10 d) A D 6x2 ( 2x) 12x3 h) A D B 6x2 ( 2x) 3x4 3x 3x4 9x5 Realiza las siguientes operaciones a) ( 2x2 x) (3x2) c) ( 3x4 2x3 5x) (4x) b) (x3 2x 1) —1 2 —x d) (4x5 3x4 x3 2x2) (2x2) a) ( 2x2 x) (3x2) 6x4 3x3 c) ( 3x4 2x3 5x) (4x) 3 4 x3 1 2 x2 5 4 b) (x3 2x 1) 1 2 x = 1 2 x4 x2 1 2 x d) (4x5 3x4 x3 2x2) (2x2) 2x3 3 2 x2 1 2 x 1 2.35 2.34 2.33 2.32 Operaciones con polinomios Dados los polinomios P(x) 2x4 x3 —1 2 —x2 3x 1, Q(x) 3x3 x2 —2 3 —x 2 y R(x) 4x4 x2 4, realiza las siguientes operaciones. a) P(x) Q(x) c) R(x) Q(x) P(x) b) Q(x) R(x) d) P(x) Q(x) R(x) a) P(x) Q(x) 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 3x3 x2 2 3 x 2 2x4 2x3 3 2 x2 1 3 1 x 3 b) Q(x) R(x) 3x3 x2 2 3 x 2 ( 4x4 x2 4) 4x4 3x3 2 3 x 6 c) R(x) Q(x) P(x) 4x4 x2 4 3x3 x2 2 3 x 2 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 4x4 x2 4 3x3 x2 2 3 x 2 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 4x4 3x3 2 3 x 6 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 2x4 4x3 1 2 x2 7 3 x 5 d) P(x) Q(x) R(x) 2x4 x3 1 2 x2 3x 1 3x3 x2 2 3 x 2 ( 4x4 x2 4) 2x4 2x3 5 2 x2 1 3 1 x 1 Rellena en tu cuaderno cada recuadro con el coeficiente adecuado. a) (2x2 x 1) ( 3x2 5x ) 5x2 2x 4 b) (3x4 x 2) ( x4 x ) 4x4 3x 3 c) (5x3 x2 ) ( x3 x2 2) 2x3 3x2 3 a) (2x2 ( 3) x 1) ( 3x2 5x ( 5) ) 5x2 2x 4 b) (3x4 x 2) ( ( 1)x4 ( 4) x ( 1) ) 4x4 3x 3 c) (5x3 ( 4) x2 ( 1) ) ( ( 3) x3 x2 2) 2x3 3x2 3 Realiza las siguientes operaciones con los polinomios P(x) —1 2 —x4 2x3 1, Q(x) 3x3 4x 2 y R(x) 4x2 5x 3. a) P(x) [Q(x) R(x)] b) Q(x) [R(x) P(x)] c) R(x) [P(x) Q(x)] ¿Qué propiedad puedes aplicar para efectuarlas? a) P(x) [Q(x) R(x)] 1 2 x4 2x3 1 [(3x3 4x 2) ( 4x2 5x 3)] 1 2 x4 2x3 1 (3x3 4x2 9x 1) 3 2 x7 2x6 9 2 x5 1 2 x4 6x6 8x5 18x4 2x3 3x3 4x2 9x 1 3 2 x7 8x6 7 2 x5 3 2 5 x4 5x3 4x2 9x 1 b) Q(x) [R(x) P(x)] (3x3 4x 2) (4x2 5x 3) 1 2 x4 2x3 1 (3x3 4x 2) (4x2 5x 3 1 2 x4 2x3 1) (3x3 4x 2) 1 2 x4 2x3 4x2 5x 2 3 2 x7 6x6 12x5 15x4 6x3 2x5 8x4 16x3 20x2 8x x4 4x3 8x2 10x 4 3 2 x7 6x6 14x5 6x4 6x3 12x2 2x 4 c) R(x) [P(x) Q(x)] (4x2 5x 3) 1 2 x4 2x3 1 ( 3x3 4x 2) (4x2 5x 3) 1 2 x4 5x3 4x 1 2x6 20x5 16x3 4x2 5 2 x5 25x4 20x2 5x 3 2 x4 15x3 12x 3 2x6 3 2 5 x5 4 2 7 x4 x3 16x2 7x 3 Podríamos haber utilizado la propiedad distributiva. 2.38 2.37 2.36 Calcula estas potencias. a) (x y 2z)2 b) (3a 2b c)2 a) (x y 2z)2 (x y 2z) (x y 2z) x2 xy 2zx xy y2 2yz 2xz 2yz 4z2 x2 y2 4z2 2xy 4xz 4yz b) (3a 2b c)2 (3a 2b c) (3a 2b c) 9a2 6ab 3ac 6ab 4b2 2bc 3ac 2bc c2 9a2 4b2 c2 12ab 6ac 4bc Identidades notables Efectúa estas operaciones. a) (2x2 3y)2 d) (2x4 x2)2 b) (3x 2y)3 e) (5a 3b) (5a 3b) c) (3x3 x )2 f) (2xy 4zt) (2xy 4zt) a) (2x2 3y)2 4x4 9y2 12x2y b) (3x 2y)3 27x3 8y3 54x2y 36xy2 c) 3x3 x 2 9x6 x 6x3 x d) (2x4 x2)2 4x8 4x6 x4 e) (5a 3b) (5a 3b) 25a2 9b2 f) (2xy 4zt) (2xy 4zt) 4x2y2 16z2t2 División de polinomios. Regla de Ruffini Realiza las siguientes divisiones de polinomios. a) (6x3 2x2 1) (x2 x 2) b) ( 3x4 x2 2x 3) (3x2 2x 1) c) (x6 2x3 3x 3) ( 2x3 x 2) a) 6x3 2x2 1 x2 x 2 6x3 6x2 12x 6x 8 8x2 12x 1 8x2 8x 16 4x 15 b) 3x4 x2 2x 3 3x2 2x 1 3x4 2x3 x2 x2 2 3 x 2 9 2x3 2x2 2x3 4 3 x2 2 3 x 2 3 x2 4 3 x 3 2 3 x2 4 9 x 2 9 8 9 x 2 9 5 2.41 2.40 2.39 c) x6 2x3 3x 3 2x3 x 2 x6 1 2 x4 x3 1 2 x3 1 4 x 3 2 1 2 x4 3x3 1 2 x4 1 4 x2 1 2 x 3x3 1 4 x2 5 2 x 3x3 3 2 x 3 1 4 x2 x Expresa las siguientes divisiones de la forma — D d( ( x x ) )— C(x) — R d ( ( x x ) ) — . a) — 3 x x 2 2 2 3 x x 1 1— c) — 4 x x 2 2 3 1— b) d) Resolvemos realizando las divisiones: a) 3 x x 2 2 2 3 x x 1 1 3 x2 9x 2x 4 1 c) 4 x x 2 2 3 1 4 x2 13 3 b) x3 x2 2 x2 x x 3 2 x 1 x2 3x x 1 3 d) 2x3 x 3 x2 2 x x 1 3 2 x x 2 3 2 5 x x 1 5 Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto. a) (3x4 2x2 x 3) (x 1) b) (x5 2x3 x 1) (x 1) c) (2x3 x2 3x 1) (x 2) a) 3 0 2 1 3 Cociente: 3x3 3x2 x 1 3 3 1 0 Resto: 3 3 3 1 0 3 b) 1 0 2 0 1 1 Cociente: x4 x3 x2 x 2 1 1 1 1 1 2 Resto: 1 1 1 1 1 2 1 c) 2 1 3 1 Cociente: 2x2 5x 13 2 4 10 26 Resto: 27 2 5 13 27 Calcula el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de realizarlas. a) (x7 3x2 1) (x 1) b) (x101 2) (x 1) c) (x5 2x3 3) (x 3) ¿Qué teorema has utilizado? a) P(1) 17 3 12 1 1 Resto 1 b) P( 1) ( 1)101 2 1 2 3 Resto 3 c) P(3) 35 2 33 3 243 54 3 192 Resto 192 He utilizado el teorema del resto. 2.44 2.43 2x3 x2 —— x— 3 x3 2x 1 —x3 2—x2 x— 2 x2 x 3 2.42 Halla el valor de k en los siguientes polinomios teniendo en cuenta los datos indicados. a) x3 (k 2)x 1 es divisible entre (x 1). b) (x4 kx2 2x 1) (x 1) tiene 4 de resto. c) x4 3x3 kx2 x 6 tiene por factor (x 3). a) Igualamos el valor del polinomio en 1 a cero: P( 1) ( 1)3 (k 2) ( 1) 1 1 k 2 1 k 2 0 ⇒ k 2 b) Igualamos el valor del polinomio en 1 a 4: P(1) 14 k 12 2 1 1 1 k 2 1 4 k 4 ⇒ k 8 c) Igualamos el valor del polinomio en 3 a 0: P( 3) ( 3)4 3 ( 3)3 k ( 3)2 ( 3) 6 81 81 9k 3 6 9k 9 0 ⇒ k 1 Factorización de polinomios Calcula las raíces enteras de los siguientes polinomios. a) P(x) 2x3 6x2 2x 6 b) Q(x) x4 2x3 7x2 8x 12 c) R(x) x4 x3 8x2 9x 9 a) Posibles raíces enteras: 1, 2, 3 y 6 P(1) 2 13 6 12 2 1 6 2 6 2 6 0 P( 1) 2 ( 1)3 6 ( 1)2 2 ( 1) 6 2 6 2 6 0 P( 3) 2 ( 3)3 6 ( 3)2 2 ( 3) 6 54 54 6 6 0 Raíces enteras de P(x): 1, 1 y 3 b) Posibles raíces enteras: 1, 2, 3, 4, 6 y 12 Q( 1) ( 1)4 2 ( 1)3 7 ( 1)2 8 ( 1) 12 1 2 7 8 12 0 Q(2) 24 2 23 7 22 8 2 12 16 16 28 16 12 0 Q( 2) ( 2)4 2 ( 2)3 7 ( 2)2 8 ( 2) 12 16 16 28 16 12 0 Q(3) 34 2 33 7 32 8 3 12 81 54 63 24 12 0 Raíces enteras de Q(x): 1, 2, 2 y 3 c) Posibles raíces enteras: 1, 3 y 9 R(3) 34 33 8 32 9 3 9 81 27 72 27 9 0 R( 3) ( 3)4 ( 3)3 8 ( 3)2 9 ( 3) 9 81 27 72 27 9 0 Raíces enteras de R(x): 3 y 3 Escribe un polinomio de grado 3 cuyas raíces sean x1 1, x1 2 y x1 4. ¿Existen más polinomios que verifiquen esas condiciones? ¿Por qué? Se tiene que anular en los tres puntos, por ejemplo: P(x) (x 1) (x 2) (x 4) (x2 x 2) (x 4) x3 4x2 x2 4x 2x 8 x3 3x2 6x 8 Tendrá las mismas soluciones cualquier polinomio que sea el resultado de multiplicar este por una constante. Factoriza los siguientes polinomios. a) P(x) x3 x2 6x b) Q(x) x3 3x2 4x 12 c) R(x) x5 x4 x3 2x2 d) S(x) 6x3 5x2 3x 2 e) T(x) 2x4 7x3 8x2 3x a) P(x) x3 x2 6x x(x2 x 6) x (x 2) (x 3) x2 x 6 0 ⇒ x 1 2 25 b) Q(x) x3 3x2 4x 12 (x 2) (x2 5x 6) (x 2) (x 2) (x 3) 1 3 4 12 x2 5x 6 0 ⇒ x 5 2 25 2 4 2 2 10 12 1 5 6 0 2 3 5 5 2 4 1 6 1 2 2 3 1 1 4 1 ( 6 ) 2 1 2.48 2.47 2.46 2.45 4 6 1 2 1 8 2 3 2 12 6 2 1 4 4 1 4 6 2 3 c) R(x) x5 x4 x3 2x2 x2(x3 x2 x 2) x2 (x 2) (x2 x 1) 1 1 1 2 x2 x 1 0 ⇒ x 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1 0 No tiene solución, el polinomio x 2 x 1 es irreducible. d) S(x) 6x3 5x2 3x 2 (x 1) (6x2 x 2) 6(x 1) x 1 2 x 2 3 6 5 3 2 6x2 x 2 0 ⇒ x 1 1 1 2 48 1 1 2 7 1 6 1 2 6 1 2 0 e) T(x) 2x4 7x3 8x2 3x x (2x3 7x2 8x 3) x (x 1) (2x2 5x 3) 2x (x 1) (x 1) x 3 2 2x (x 1)2 x 3 2 2x2 5x 3 0 ⇒ x 5 2 5 2 2 4 2 3 5 4 25 24 5 4 1 Observa el siguiente esquema y escribe el polinomio inicial y su expresión factorizada. Al dividir el polinomio entre (x 1), el resto es 0. Dividimos el nuevo cociente otra vez entre (x 1) y el resto vuelve a ser 0. El cociente resultante lo dividimos entre (x 3) y la división es exacta, quedando como cociente (x 2). Por tanto, la factorización será: (x 1) (x 1) (x 3) (x 2) (x 1)2 (x 3) (x 2) Factoriza el polinomio P(x) 2x3 7x2 3x 18 sabiendo que verifica las siguientes condiciones. P —3 2 — 0, P( 2) 0 y P( 3) 0 Como conocemos las raíces del polinomio, por el teorema del factor sólo nos falta conocer el coeficiente: P(x) k x 3 2 (x 2) (x 3) k x2 1 2 x 3 (x 3) k x3 7 2 x2 3 2 x 9 k x3 7 2 k x2 3 2 k x 9k Igualando coeficientes resulta k 2 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E ¿Cuál de estas expresiones algebraicas es un monomio? a) 1 2 x b) —4 x — c) 3x 2 d) x2 3 Para ser un monomio, el exponente debe ser natural. Vamos a ver el exponente de cada expresión: a) Exponente 1 b) Exponente 1 c) Exponente 2 d) Exponente 2 Por tanto, los únicos monomios son los del apartado a y d. 2.51 2.50 2.49 2 7 8 3 1 2 5 3 2 5 3 0 1 ( 1)2 4 6 ( 2) 2 6 1 1 2 4 1 1 1 2 ¿Puedes realizar la división (x3 x2 x 1) (x2 1) utilizando la regla de Ruffini? Para poder dividir un polinomio entre un binomio usando Ruffini, el divisor ha de tener grado 1, y en este caso tiene grado 2; por tanto, no podremos usar Ruffini directamente. Un polinomio es de grado 7, y otro, de grado 6. Indica el grado de los polinomios que resultan de estas operaciones entre ellos. a) La suma c) El cociente b) El producto d) El cubo del segundo a) La suma tendrá grado 7, ya que es el mayor de los grados de los dos polinomios. b) El producto tendrá grado 7 6 13. c) El cociente tendrá grado 7 6 1. d) El cubo del segundo tendrá grado 3 6 18. Tenemos dos polinomios de grado 3. ¿Puede el polinomio suma ser de grado 2? Pon un ejemplo. La suma será de grado 2 si los coeficientes de los términos de grado 3 son opuestos y los de grado dos no lo son. Ejemplo: ( 4x3 2x2 3x 1) (4x3 5x 3) 2x2 8x 4 Si P(0) 7, ¿puede ser P(x) ax2 bx 8? Razona la respuesta. Si P(x) ax2 bx 8 entonces P(0) a 02 b 0 8 8 para cualquier valor de a y b por lo tanto P(0) 7 Indica razonadamente cuáles son las raíces del polinomio (x 1)(x 2)(x 3). Este polinomio lo anulan los valores 1, 2 y 3. Si P(8) 0, ¿puede P(x) ser irreducible? ¿Por qué? Si P(8) 0, por el teorema del factor sabemos que P(x) (x 8) Q(x), donde Q(x) es otro polinomio de un grado menor que P(x). Por tanto, P(x) no será irreducible. El polinomio Q(x) es de grado 3 y sabemos que Q( 1) Q(2) Q(0) 0. ¿Cuál es la posible expresión del polinomio Q(x)? Y si además sabemos que Q( 2) 16, ¿cuál es entonces su expresión exacta? Conociendo las raíces podemos expresar el polinomio como: Q(x) k (x 1) (x 2) x kx3 kx2 2kx. Calculamos Q( 2) y lo igualamos a 16: Q( 2) k ( 2 1) ( 2 2) ( 2) k ( 1) ( 4) ( 2) 8k ⇒ 8k 16 ⇒ k 2 Q(x) 2 (x 1) (x 2) x 2x3 2x2 4x Calcula el resto de la división M(x) (x 6) sabiendo que M(6) 3. Si M(6) 3, aplicando el teorema del resto sabemos que el resto será 3. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Si (x 6) divide a L(x), entonces 6 es una raíz de L(x). b) Si G( 5) 0, (x 5) es un factor de G(x). c) Si B(x) es irreducible, existe al menos un valor x a para el que B(a) 0. d) Un polinomio de grado 5 no puede disponer de 6 raíces. e) Un polinomio con término independiente 0 posee al menos una raíz. f) xn 1 es irreducible o tiene como única raíz 1. a) Falso, ya que si (x 6) divide a L(x), entonces 6 es una raíz de L(x). b) Verdadero, por el teorema del factor. c) Falso, ya que si existiese un valor tal que B(a) 0, entonces (x a) dividiría a B(x), y este no sería irreducible. d) Verdadero, el teorema fundamental del álgebra nos indica que como mucho tendrá 5 raíces. e) Verdadero, ya que x 0 será una raíz. f) Verdadero, ya que: Si n es par, xn 1 0 ⇒ xn 1 no tiene solución; por tanto, el polinomio será irreducible. Si n es impar, xn 1 0 ⇒ xn 1 ⇒ x 1. 2.60 2.59 2.58 2.57 2.56 2.55 2.54 2.53 2.52 ¿Es divisible entre (x 3) el polinomio x9 39? Calculemos P( 3): P( 3) ( 3)9 39 39 39 0, por lo que el polinomio es divisible entre (x 3). Indica cuál de estos polinomios tiene 8 como raíz y 24 de término independiente. a) 3x 24 b) 3x 24 c) 24x 8 d) 24(x 8) El b), porque 3 ( 8) 24 0 ⇒ 8 es raíz, y 24, el término independiente. ¿Qué polinomio podría expresarse como el cociente —x2 x 4x 1 3—? x2 4x 3 x 1 x2 x x 3 3x 3 x2 x 4x 1 3 x 3 3x 3 0 Si el polinomio P(x) x2 kx t tiene una raíz doble en x 2, ¿cuánto valen k y t? Raíz doble en x 2 ⇒ P(x) (x 2)2 x2 4x 4 Igualamos al polinomio: x2 kx t x2 4x 4 Igualamos coeficientes: k 4, t 4 Calcula el resto de esta división: (x157 49x38 17) (x 1) Aplicando el teorema del resto: P( 1) ( 1)157 49 ( 1)38 17 1 49 17 33 Por tanto, el resto será 33. Q(x) es un polinomio con coeficientes enteros cuyo término independiente es un número primo, a. Si además se cumple que: Q ( a) 0 y Q ( 1) 0 Indica razonadamente si Q(x) puede tener raíces enteras. Si el término independiente de Q(x) es a, las raíces enteras de Q(x) serán los divisores de a. Como a es primo, sus únicos divisores serán 1 y a. Q( a) y Q( 1) son distintos de cero; por tanto, Q(x) no tiene raíces enteras. P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Relaciona en tu cuaderno las magnitudes indicadas correspondientes a un triángulo equilátero de lado x con los monomios de la columna de la derecha. Perímetro: 3x Área: 4 3 x2 Altura: 2 3 x Escribe el polinomio que expresa el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son números consecutivos, siendo el mayor de ellos x. Las dimensiones serán x, x 1 y x 2. Por tanto, el volumen queda: Vol x (x 1) (x 2) x (x2 3x 2) x3 3x2 2x Utiliza la notación polinómica para demostrar que la suma de un múltiplo de 12, un múltiplo de 8 y un múltiplo de 20 es múltiplo de 4. Sean p, q y r números naturales. Un múltiplo de 12 será de la forma 12 p. Un múltiplo de 8 será de la forma 8 q. Un múltiplo de 20 será de la forma 20 r. Su suma será: 12p 8q 20r. Sacando factor común: 12p 8q 20r 4 (3p 2q 5r), obteniendo claramente un múltiplo de 4. 2.69 2.68 2.67 2.66 2.65 2.64 2.63 2.62 2.61 ¿Qué monomio expresa la diagonal de un cubo de lado x? Calculamos primero la diagonal de la base usando el teorema de Pitágoras: d2 x2 x2 ⇒ d2 2x2 ⇒ d 2 x Esta diagonal, una arista y la diagonal del cubo forman un triángulo rectángulo, por lo que podemos volver a utilizar el teorema de Pitágoras: D2 2 x 2 x2 ⇒ D2 2x2 x2 ⇒ D2 3x2 ⇒ D 3 x Por tanto, el monomio que expresa la diagonal del cubo es 3 x. Sean los polinomios E(x) 4 x2, F(x) = —5 3 — x2 y G(x) 2 x2 10 x, asociados a distintas figuras geométricas. Relaciona en tu cuaderno las cantidades de estas tres columnas. Volumen de un cono de radio 3 y G(3) 36 altura 5. Área de un cilindro de altura 5 y E(3) 15 radio 3. Volumen de una esfera de radio 3. F(3) 48 Calculamos el valor de los tres polinomios en x 3. E(3) 4 32 36 F(3) 5 3 32 15 G(3) 2 32 10 3 18 30 48 Calculamos las áreas y los volúmenes: Volumen de un cono de radio 3 y altura 5 1 3 r2h 1 3 32 5 15 Área de un cilindro de altura 5 y radio 3 2 r2 2 rh 2 32 2 3 5 18 30 48 Volumen de una esfera de radio 3 4 3 r 3 4 3 33 36 Por tanto, la relación queda: Volumen de un cono de radio 3 y F(3) 15 altura 5. Área de un cilindro de altura 5 y G(3) 48 radio 3. Volumen de una esfera de radio 3. E(3) 36 Calcula a, b y c sabiendo que x3 6x2 ax b es el cubo del binomio x c. (x c)3 x3 3x2c 3xc2 c3 Igualamos los coeficientes correspondientes a los términos de igual grado: 6 3c ⇒ c 2 a 3c2 ⇒ a 3 ( 2)2 ⇒ a 12 b c3 ⇒ b ( 2)3 ⇒ b 8 2.72 2.71 x 2.70 Halla los valores de a y b para que los restos de las divisiones del producto (ax2 bx) (x 3) entre (x 1) y (x 1) sean, respectivamente, 6 y 2. Utilizamos el teorema del resto, calculando el valor del polinomio en 1 y 1 e igualándolos a los valores del resto que nos da el enunciado. P(1) (a 12 b 1) (1 3) ( 2) (a b) 6⇒a b 3 Sumando 2a 3 1 2 2a 7 2 ⇒a 7 4 P( 1) [a ( 1)2 b ( 1)] ( 1 3) ( 4) (a b) 2⇒a b 1 2 Restando 2b 3 1 2 2b 5 2 ⇒b 5 4 Simplifica los siguientes polinomios. a) (x 2)(x 2) (x 3) (x 3) x (2x 1) 4 b) (x2 2x 1) (x4 2x3 3x2 1) x6 2x3 a) (x 2) (x 2) (x 3) (x 3) x (2x 1) 4 x2 4 x2 9 2x2 x 4 2x2 x 1 b) (x2 2x 1) (x4 2x3 3x2 1) x6 2x3 x6 2x5 3x4 x2 2x5 4x4 6x3 2x x4 2x3 3x2 1 x6 2x3 6x3 4x2 2x 1 Calcula los valores de a y b necesarios para que se cumplan estas igualdades. a) x5 5x3 4x2 3x 2 (x 2)(x4 ax3 bx2 2x 1) b) x6 x5 2x4 4x2 4x 8 (x2 x 2)(x4 ax3 bx 4) Multiplicamos e igualamos los coeficientes: a) (x 2)(x4 ax3 bx2 2x 1) x5 ax4 bx3 2x2 x 2x4 2ax3 2bx2 4x 2 x5 (a 2)x4 (b 2a)x3 (2 2b)x2 3x 2 a 2 0 ⇒ a 2 b 2a 5 ⇒ b 2 2 5 ⇒ b 1 2 2b 4. Vemos que es correcta con los valores que habíamos obtenido. b) (x2 x 2)(x4 ax3 bx 4) x6 ax5 bx3 4x2 x5 ax4 bx2 4x 2x4 2ax3 2bx 8 x6 (a 1)x5 (a 2)x4 (b 2a)x3 (4 b)x2 (4 2b)x 8 a 1 1 ⇒ a 0 a 2 2 sirve de comprobación. b 2a 0 ⇒ b 2a ⇒ b 0 4 b 4 sirve de comprobación. 4 2b 4 sirve de comprobación. Halla un polinomio de segundo grado, R(x), que cumpla R(1) 5, R( 1) 9 y R(0) 4. R(x) será de la forma R(x) ax2 bx c; veamos qué valores toma en cada punto: R(1) a12 b 1 c a b c 5 Sumamos 2a 2c 14⇒2a 2 4 14⇒2a 14 8⇒2a 6⇒a 3 R( 1) a( 1)2 b ( 1) c a b c 9 Resto: 2b 4⇒b 2 R(0) a02 b 0 c c 4 c 4 El polinomio resultante es: R(x) 3x2 2x 4 Observa la gráfica de y f(x) y halla las raíces del polinomio f(x) x2 2x 3. Las raíces de este polinomio coinciden con los puntos de corte de la gráfica con el eje OX, es decir, x 1 y x 3. 2 2 X Y O f(x) = x2 + 2x _ 3 2.77 2.76 2.75 2.74 2.73 Estudia el signo de este polinomio por el procedimiento que se indica a continuación. Q(x) (x 2)(x 1)(x 3) a) Encuentra sus ceros. b) Divide la recta real en los intervalos que tienen por extremos esos ceros. c) Elige un punto en cada uno de esos intervalos y calcula el valor numérico de Q(x) en ese punto. El signo de este valor numérico es el signo de Q(x) en todo el intervalo. a) Ceros en x 2, x 1 y x 3 b) Intervalos x 2, 2 x 1, 1 x 3, x 3 (la respuesta no es única, ya que el valor “ ” se puede considerar en un intervalo o en el siguiente) c) Aunque el punto elegido y el valor obtenido en cada intervalo no tienen por qué coincidir, el signo sí. x 3 Q( 3) ( 3 2)( 3 1)( 3 3) ( 1) ( 4) ( 6) 0 ⇒ para x 2 Q(x) es negativo. x 0 Q(0) (0 2)(0 1)(0 3) 2 ( 1) ( 3) 0 ⇒ para 2 x 1 Q(x) es positivo. x 2 Q(2) (2 2)(2 1)(2 3) 4 1 ( 1) < 0 ⇒ para 1 x 3 Q(x) es negativo. x 4 Q(4) (4 2)( 4 1)(4 3) 6 3 1 > 0 ⇒ para x 3 Q(x) es positivo. La expresión que nos da la posición, s, de un objeto que sigue un movimiento uniformemente acelerado es: s(t) —1 2 —at2 + v0t + s0 Donde a es la aceleración; v0, la velocidad inicial; s0, la posición inicial, y t, el tiempo. a) ¿Puede el polinomio M(t) 5t2 6t 3 describir un movimiento uniformemente acelerado? Identifica en, caso afirmativo, los valores de a, v0 y s0. b) ¿Puede el monomio T(t) 4,9t2 corresponder a un cuerpo que se deja caer en el vacío? ¿Por qué? ¿Cuál es el valor de a en este caso? a) M(t) puede identificar un movimiento uniformemente acelerado donde 1 2 a 5 ⇒ a 10; v0 6; s0 3 b) Vamos a identificar los valores. 1 2 a 4,9 ⇒ a 9,8 (valor correspondiente a la gravedad) v0 0 (parte de velocidad inicial nula) s0 0 (cuando comienza a caer no ha recorrido ningún espacio) Un Ayuntamiento quiere construir un depósito metálico de agua. Disponen de una pieza cuadrada de metal de 20 x 20 metros de la que cortan cuatro cuadrados de lado x en las cuatro esquinas, y levantan los cuatro rectángulos resultantes para formar los laterales del depósito, soldando las esquinas. a) ¿Qué polinomio V(x) expresa el volumen que puede acumular el depósito? b) Halla los valores numéricos de V en x 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y después dibuja los puntos [x, V(x)]. c) ¿Podrías averiguar para qué valor de x el depósito tiene el máximo volumen? a) Área de la base: (20 2x) (20 2x); altura: x ⇒ V(x) (20 2x)2 x b) x 0 ⇒ V(0) (20 2 0)2 0 0 x 1 ⇒ V(1) (20 2 1)2 1 324 x 2 ⇒ V(2) (20 2 2)2 2 512 x 3 ⇒ V(3) (20 2 3)2 3 588 x 4 ⇒ V(4) (20 2 4)2 4 576 x 5 ⇒ V(5) (20 2 5)2 5 500 x 6 ⇒ V(6) (20 2 6)2 6 384 c) En la gráfica podemos apreciar que cerca de x 3 el volumen del depósito es máximo. 1 50 O Y X y = x . (20 – 2x)2 x 20 m x 20 – 2x 2.80 2.79 2.78 R E F U E R Z O Operaciones con polinomios Dados los polinomios P(x) 3x3 4x2 10x 5, Q(x) 6x4 5x3 8x 5 y R(x) x2 3x 8, aplica la propiedad distributiva y calcula estos productos. a) P(x) [Q(x) R(x)] b) Q(x) [R(x) P(x)] a) P(x) [Q(x) R(x)] P(x) Q(x) P(x) R(x) (3x3 4x2 10x 5) (6x4 5x3 8x 5) (3x3 4x2 10x 5) ( x2 3x 8) 18x7 15x6 24x4 15x3 24x6 20x5 32x3 20 60x5 50x4 80x2 50x 30x4 25x3 40x 25 3x5 9x4 24x3 4x4 12x3 32x 2 10x3 30x2 80x 5x2 15x 40 18x7 39x6 77x5 61x4 4x3 43x2 5x 15 b) Q(x) [R(x) P(x)] Q(x) R(x) Q(x) P(x) (6x4 5x3 8x 5) ( x2 3x 8) (6x4 5x3 8x 5) (3x3 4x2 10x 5) ( 6x6 18x5 48x4 5x5 15x4 40x3 8x3 24x2 64x 5x 2 15x 40) (18x7 24x6 60x5 30x4 15x6 20x5 50x4 25x3 24x4 32x3 80x2 40x 15x3 20x2 50x 25) ( 6x6 13x5 63x4 48x3 19x2 79x 40) (18x7 39x6 80x5 56x4 22x3 100x2 90x 25) 6x6 13x5 63x4 48x3 19x2 79x 40 18x7 39x6 80x5 56x4 22x3 100x2 90x 25 18x7 33x6 93x5 119x4 26x3 119x2 169x 65 Completa la siguiente división de polinomios en tu cuaderno rellenando los coeficientes que faltan. 2x4 x3 x2 4x 1 x2 x 2 x4 x3 x2 4x 1 x2 x 2x4 x3 x2 4x 1 2x4 x3 x2 x 2x4 x3 x2 x 1 Aplica la prueba de la división para comprobar que la has realizado correctamente. 2x4 ( 1)x3 3x2 4x 1 x2 x 2 2x4 2x3 4x2 4x 1 2x2 x 2x4 x3 x2 4x 1 2x4 x3 x2 2x 2x4 x3 x 6x 1 d(x) c(x) r(x) (x2 x 2) (2x2 x) ( 6x 1) 2x4 x3 2x3 x2 4x2 2x 6x 1 2x4 x3 3x2 4x 1 D(x) Utilizando la regla de Ruffini, averigua si (x 3) es factor del polinomio P(x) x3 4x2 8x 15. ¿Tiene más factores dicho polinomio? ¿Por qué? 3 1 4 8 15 Obtenemos resto 0, es decir, (x 3) es factor de P(x) 3 3 3 15 El cociente queda: x2 x 5. 3 1 1 5 10 Resolvemos: x2 x 5 0. x 1 2 19 . No existe solución; por tanto, P(x) solo tiene un factor de primer grado. Identidades notables Desarrolla estas expresiones. a) (4x2y3 5y2t)2 c) (2x 3y)3 b) ( 3 6b3c4)2 d) (5x3z 7y2t) (5x3z 7y2t) a) (4x2y3 5y2t)2 16x4y6 25y4t2 40x2y5t b) ( 3 6b3c4)2 9 36b6c8 36b3c4 c) (2x 3y)3 8x3 36x2y 54xy2 27y3 d) (5x3z 7y2t) (5x3z 7y2t) 25x6z2 49y4t2 2.84 1 1 2 4 1 5 2 1 2.83 2.82 2.81 Raíces y factorización de polinomios Indica si los valores x1 2 y x2 1 son raíces del polinomio P(x) x5 x4 7x3 7x 6. P(2) 25 24 7 23 7 2 6 32 16 56 14 6 0; x1 2 es raíz de este polinomio. P(1) 15 14 7 13 7 1 6 1 1 7 7 6 4; x2 1 no es raíz de este polinomio. Halla el polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 y que tiene por raíces x1 1 (raíz doble), x2 2 y x3 4. Desarróllalo. 3(x 1)2(x 2)(x 4) 3(x2 2x 1)(x2 2x 8) 3(x4 2x3 8x2 2x3 4x2 16x x2 2x 8) 3(x4 4x3 3x2 14x 8) 3x4 12x3 9x2 42x 24 Factoriza los siguientes polinomios. a) x3 x2 5x 3 b) 3x4 5x3 33x2 23x 12 a) P(x) x3 x2 5x 3 (x 1) (x2 2x 3) (x 1) (x 1) (x 3) (x 1)2 (x 3) 1 1 1 5 3 1 1 1 2 3 x2 2x 3 0 ⇒ x 2 2 4 12 2 2 4 1 1 2 3 0 b) Q(x) 3x4 5x3 33x2 23x 12 (x 3) (3x3 14x2 9x 4) (x 3) (x 4) (3x2 2x 1) 3 3 1 5 33 23 12 4 3 14 9 4 3 3 1 9 42 27 12 4 3 12 8 4 3 3 14 49 2 4 0 4 3 1 2 1 0 3x2 2x 1 0 ⇒ x 2 2 2 2 3 4 3 1 2 6 8 ⇒ No tiene solución. A M P L I A C I Ó N En un hexágono regular de lado x, ¿qué polinomio determina la expresión de su área? En un hexágono regular, el radio y el lado coinciden. Con estos dos datos y sabiendo que la apotema corta el lado en su punto medio, podemos aplicar el teorema de Pitágoras: x2 a2 2 x 2 ⇒ x2 a2 x 4 2 ⇒ a2 x2 x 4 2 ⇒ a2 3 4 x2 ⇒ a 2 3 x A 3 2 3 x2 Halla el polinomio de tercer grado que cumple estas tres condiciones. • Su coeficiente principal es 8. • Es divisible por 2x2 1. • El resto de su división entre (x 2) es 56. En este polinomio, un factor es (2x2 1); para que su coeficiente principal sea 8, multiplicamos el factor por 4. Por último, para que tenga grado 3 deberemos multiplicarlo por un binomio de grado 1 de la forma (x b), quedando: P(x) 4(2x2 1)(x b). Aplicamos por último el teorema del resto para calcular b: P( 2) 4(2 ( 2)2 1)( 2 b) 4 9( 2 b) 36( 2 b) 56 ⇒ 2 b 5 3 6 6 1 9 4 ⇒b 1 9 4 2⇒b 3 9 2 Entonces, P(x) 4(2x2 1) x 3 9 2 2.89 6x 2 3 x 2 2.88 3 1 2 2 2 4 ( 3) 1 2 1 2.87 2.86 2.85 x—2 x a Demuestra que el polinomio x4 4x3 6x2 4x 1 no toma valores numéricos negativos para ningún valor de x. Factorizamos el polinomio usando Ruffini y observando que aparece el cubo de un binomio: 1 1 4 6 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 0 P(x) x4 4x3 6x2 4x 1 (x 1) (x3 3x2 3x 1) (x 1) (x 1)3 (x 1)4 Un número elevado a cuatro nunca puede ser negativo. Si N(x) 8x3 ax2 54x b, calcula a y b para que N(x) sea un cubo perfecto. En ese caso, ¿qué polinomio al cubo da como resultado N(x)? 8x3 ax2 54x b (2x c)3; (2x c)3 8x3 12cx2 6c2x c3 Igualando coeficientes: 6c2 54 ⇒ c2 9 ⇒ c 3 12c a ⇒ 12 3 a ⇒ a 36 ó 12 ( 3) a ⇒ a 36 b c3 ⇒ b 27 ó b 27 N(x) 8x3 36x2 54x 27 (2x 3)3 o N(x) 8x3 36x2 54x 27 (2x 3)3 Demuestra que la suma de la unidad más la suma de los cuadrados de tres números consecutivos es divisible entre tres. 1 x2 (x 1)2 (x 2)2 1 x2 x2 2x 1 x2 4x 4 3x2 6x 6 3(x2 2x 2) ⇒ Es múltiplo de 3. Halla a y b para que T(x) sea divisible entre A(x) en estos dos casos. a) T(x) 3x3 ax2 bx 9 y A(x) x2 9 b) T(x) 2x4 ax3 x2 bx 1 y A(x) x2 1 a) A(x) x2 9 (x 3)(x 3); tendrá que ser divisible entre (x 3) y entre (x 3). ⇒ b) A(x) x2 1 (x 1)(x 1); tendrá que ser divisible entre (x 1) y entre (x 1). ⇒ Completa en tu cuaderno esta división. 1 1 1 1 1 a 1 a 2a 3a 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 4 6 1 1 0 1 10 2 1 2 4 6 2 1 2 4 6 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 2.94 T(1) 2 14 a 13 12 b 1 1 2 a 1 b 1 a b 0 T( 1) 2 ( 1)4 a ( 1)3 ( 1)2 b ( 1) 1 2 a 1 b 1 a b 0 T(3) 3 33 a 32 b 3 9 81 9a 3b 9 9a 3b 90 0 T( 3) 3 ( 3)3 a ( 3)2 b ( 3) 9 81 9a 3b 9 9a 3b 72 0 2.93 2.92 2.91 2.90 Sumamos 18a 18 0; a 1 Resto: 6b 162 0; b 27 Tiene infinitas soluciones, la única condición será: a b Llamamos (x a) al divisor y completaremos las cantidades que nos sea posible. Obtenemos la ecuación 1 2a 3 Entonces, a 2 Factoriza el numerador y el denominador para encontrar una expresión simplificada de la fracción algebraica — R L( ( x x ) ) — , si L(x) 3x3 16x2 17x 4 y R(x) 2x3 13x2 23x 12. L(x) 3x3 16x2 17x 4 3(x 1)(x 4) x 1 3 3x2 13x 4 0⇒x 13 1 6 69 48 13 6 11 R(x) 2x3 13x2 23x 12 2(x 1)(x 4) x 3 2 2x2 11x 12 0⇒x 11 1 4 21 96 11 4 5 Estudia el signo del polinomio P(x) x3 3x2 10x según el proceso de la actividad número 78. P(x) x3 3x2 10x x(x2 3x 10) x(x 2)(x 5) x2 3x 10 0 ⇒ x 3 2 9 40 3 2 7 Si x 5⇒Por ejemplo x 6⇒P( 6) ( 6) ( 6 2) ( 6 5) ( 6) ( 8) ( 1) 0⇒P(x) es negativo. Si 5 x 0⇒Por ejemplo x 1 ⇒ P( 1) ( 1) ( 1 2) ( 1 5) ( 1) ( 3) (4) > 0 ⇒ P(x) es positivo. Si 0 x 2 ⇒ Por ejemplo x 1 ⇒P(1) (1) (1 2) (1 5) (1) ( 1) (6) 0⇒P(x) es negativo. Si x 2 ⇒ Por ejemplo x 3⇒P(3) (3) (3 2) (3 5) (3) (1) (8) 0⇒P(x) es positivo. La gráfica de la función polinómica y f(x) es la siguiente. ¿Cuál de los siguientes puede ser f(x)? a) f (x) x3 4x2 x 6 b) f (x) x3 4x c) f (x) x3 3x2 x 3 La gráfica corta el eje OX en x 1, x 1 y x 3. a) f(1) 13 4 12 1 6 1 4 1 6 4 0. No corresponde. b) f( 1) ( 1)3 4 ( 1) 1 4 0. No corresponde. c) f( 1) ( 1)3 3 ( 1)2 1 3 1 3 1 3 0 f(1) 13 3 12 1 3 1 3 1 3 0 f(3) 33 3 32 3 3 27 27 3 3 0 Corresponde con la gráfica. La suma de las raíces de un polinomio de grado 2 es 2, y su producto, 3. ¿Cuál es el polinomio sabiendo que su coeficiente de grado 2 es 1? Será de la forma (x a) (x b) x2 ax bx ab x2 (a b)x ab. Sabemos que a b 2, y a b 3. Sustituimos: x2 2x 3. Si M( 1) 5, M —1 2 — 5, M( 4) 5 y M(12) 5, y el grado de M(x) cuatro, ¿cuál es su expresión? Buscamos un polinomio de grado 4, que se anule en 1, 1 2 , 4, 12, y le sumamos 5 para que en esos valores su valor sea 5: M(x) (x 1) x 1 2 (x 4)(x 12) 5 2.99 2.98 2.97 2 5 3 3 2 4 1 ( 1 0) 2 1 2.96 3 x 1 3 2 x 3 2 3(x 1)(x 4) x 1 3 2(x 1)(x 4) x 3 2 4 6 4 3 2 11 1 12 4 2 12 2 2 4 2 6 1 3 13 1 32 4 4 3 2 3 2.95 1 3 16 17 4 1 3 36 13 4 1 3 13 14 0 1 2 13 23 12 1 3 26 11 12 1 2 11 12 0 1 1 X Y O f(x) R L( ( x x ) ) 3 2 x x 1 3 P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Transformaciones en una fracción Dada una fracción inicial cualquiera, realizamos las siguientes transformaciones sucesivas. a) Aplica las transformaciones a las fracciones: —1 3 — —4 5 — y — 1 7 0 — b) ¿Qué relación verifican las fracciones inicial y final? Demuestra, a partir de una fracción genérica — b a—, la conjetura que has obtenido en el apartado anterior. Cambio de dimensiones Esther, Elvira y Emilia han heredado de su abuelo el terreno que aparece en la figura, que tiene forma cuadrada de lado a. A Esther le corresponde la franja vertical de x metros; a Elvira, la franja horizontal de y metros, y a Emilia, el resto. Escribe mediante polinomios las siguientes medidas. a) La superficie de terreno correspondiente a Emilia. b) El área que heredan Esther y Elvira. Calcula la relación entre estas dos áreas si el terreno inicial tiene de lado 100 metros, y las anchuras de las franjas son de 30 y 40 metros, respectivamente. a) Esther: ax Elvira: y (a x) Emilia: (a x) (a y) b) Esther 100 30 3000 m2 Elvira 40 (100 30) 2800 m2 Emilia (100 30) (100 40) 4200 m2 2.101 2.100 FRACCIÓN FINAL = _A_ B A = FRACCIÓN INICIAL –1 – FRACCIÓN INICIAL FRACCIÓN INICIAL B = FRACCIÓN INICIAL –1 + 1 1 3 A 3 1 3 8 3 B 3 1 4 A B 2 3 8 3 4 Relación: 1 1 3 2 3 1 7 0 A 1 7 0 1 7 0 5 7 1 0 B 1 7 0 1 1 7 7 A B 7 5 0 1 1 7 7 1 3 0 5 7 1 0 1 7 7 Relación: 1 1 7 0 1 3 0 4 5 A 5 4 4 5 2 9 0 B 5 4 1 9 4 A B 2 4 0 1 5 2 9 0 9 4 Relación: 1 4 5 1 5 x A 1 x x 1 x x2 B 1 x 1 x x 1 A B 1 x x 1 2 (1 1 x )(1 x x) 1 x 1 x x2 x x 1 Vemos que se cumple la relación. A U T O E V A L U A C I Ó N Transcribe las dos siguientes expresiones verbales al lenguaje algebraico. a) La multiplicación de tres números consecutivos. b) El perímetro de un rectángulo de base b y altura h. a) x (x 1) (x 2) b) 2b 2h Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para x1 2 y x2 1. P(x) —x 2 3— 2(x2 1) P(2) 2 2 3 2(22 1) 4 2 3 2 P( 1) ( 2 1)3 2(( 1)2 1) 2 1 Si P(x) 3x2 2x 4, Q(x) 2x3 x2 5x 1 y R(x) x4 x3 4x2 3x 2, calcula estas operaciones. a) P(x) Q(x) R(x) b) P(x) [Q(x) R(x)] ¿Qué grado tienen los polinomios resultantes? a) P(x) Q(x) R(x) (3x2 2x 4) ( 2x3 x2 5x 1) (x4 x3 4x2 3x 2) 3x2 2x 4 2x3 x2 5x 1 x4 x3 4x2 3x 2 x4 x3 8x2 4x 3 ⇒ Grado 4 b) P(x) [Q(x) R(x)] (3x2 2x 4) [( 2x3 x2 5x 1) (x4 x3 4x2 3x 2)] (3x2 2x 4) (x4 3x3 3x2 8x 3) 3x6 9x5 9x4 24x3 9x2 2x5 6x4 6x3 16x2 6x 4x4 12x3 12x2 32x 12 3x6 11x5 19x4 6x3 13x2 38x 12 ⇒ Grado 6 Realiza las siguientes divisiones de polinomios. a) (5x4 3x2 x 1) (x3 x 1) b) (4x3 2x 2) (x2 x 1) ¿Podrías aplicar la regla de Ruffini? ¿Por qué? a) 5x4 3x2 5x 1 x3 x 1 5x4 5x2 5x 1 5x 5x4 2x2 6x 1 b) 4x3 2x2 2x 2 x2 x 1 4x3 4x2 4x 2 4x 4 4x3 4x2 6x 2 4x3 4x2 4x 4 4x3 4x2 2x 6 No se puede aplicar Ruffini porque los divisores no tienen grado 1. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) (2x3 4x2 5x 3) (x 2) b) (x4 3x2 4x 2) (x 3) Indica los polinomios cociente y resto. a) 2 2 4 5 3 b) 2 1 0 3 4 2 2 2 4 16 22 3 0 3 9 18 42 1 2 8 11 19 2 1 3 6 14 40 Cociente: 2x2 8x 11 Cociente: x3 3x2 6x 14 Resto: 19 Resto: 40 2.A5 2.A4 2.A3 2.A2 2.A1 El desarrollo del cuadrado del binomio (3ab c)2 corresponde con: a) 9a2b2 c2 b) 9a2b2 6abc c2 c) 9a2b2 6abc c2 Solución: apartado b) Indica a cuál de las siguientes expresiones corresponde el desarrollo de la suma por diferencia (2x2y 3y2z)(2x2y 3y2z). a) 4x4y2 9y4z2 b) 4x2y 9y2z c) 4x4y2 9y4z2 Solución: apartado c) Calcula el valor que debe tener k para que el polinomio P(x) x5 kx4 x3 4x2 x 4 sea divisible entre (x 4). P(4) 45 k44 43 4 42 4 4 1024 256k 64 64 4 4 1024 256k 0⇒1024 256k⇒k 4 ¿Es (x 1) un factor del polinomio x71 1? Razona tu respuesta. P( 1) ( 1)71 1 1 1 2 0; por tanto, no es factor. Factoriza los siguientes polinomios. a) P(x) 6x3 13x2 13x 20 b) Q(x) x5 x4 5x2 11x 6 a) P(x) 6x3 13x2 13x 20 (x 1)(6x2 7x 20) 6(x 1) x 4 3 x 5 2 6x2 7x 20 0 ⇒ ⇒ x 7 1 2 23 b) Q(x) (x 1)(x4 5x 6) (x 1)(x 1)(x3 x2 x 6) (x 1)2(x 2)(x2 x 3) x2 x 3 0 ⇒ x M U R A L D E M A T E M Á T I C A S M A T E T I E M P O S ¿La calculadora se equivoca? Fíjate en esta operación: 123 987 4562 (123 987 455 123 987 457) Comprueba que si utilizas tu calculadora para resolverla directamente obtienes una solución y si la simplificas previamente obtienes otra distinta. ¿Por qué ocurre esto? En una calculadora convencional no podremos introducir cifras tan grandes, por lo tanto tendremos que redondear, o redondeará la propia calculadora según el modelo, y de este redondeo vendrán los errores. Para resolverlo se tiene que tener en cuenta que si: 123 987 456 a 123 987 455 a 1 123 987 457 a 1 Haciendo operaciones algebraicas: A a2 (a 1)(a 1) a2 (a2 1 ) a2 a2 1 1 Luego A 1 independiente del valor de a.