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POLÍGONOS REGULARES EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF

https://app.box.com/s/xzk9qbro59tsrzbydk4zwks7yqyjake8 POLIGONO REGULAR: Un polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo a la vez. Todo polígono regular es inscriptible y circunscriptible. Ahora vamos a estudiar al polígono regular inscrito en una circunferencia tal como se muestra en el gráfico inferior, para lo cual se dan las siguientes definiciones. CENTRO (O) El centro de un polígono regular coincide con el centro de la circunferencia circunscrita al polígono. RADIO (R) Es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. TRIANGULO ELEMENTAL AOB Es el formado por dos radios y un lado del polígono. Ln: Es el lado del polígono regular de “n” lados. Ap: Es el apotema del polígono regular,  : Es el ángulo central del polígono regular. PRINCIPALES POLIGONOS REGULARES A continuación se presentan los lados y apotemas de los polígonos regulares así como las medidas de sus ángulos centrales. 1. Triángulo Equilátero  = 120º 2. Cuadrado  = 90º 3. Pentágono Regular  = 72º 4. Hexágono Regular  = 60º 5. Octógono Regular  = 45º 6. Decágono Regular  = 36º 7. Dodecágono Regular  = 30º OBSERVACIÓN: Si en un problema se dice que , entonces se cumple que la mAB= LADO DE UN POLÍGONO REGULAR DE 2n LADOS INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO “R” CÁLCULO DEL APOTEMA DEL POLÍGONO REGULAR Apt : Apotema R : Radio OHB Pitágoras Apt² = R² - HB² Apt = Apt = CALCULO DEL LADO DEL POLIGONO REGULAR En el triángulo AOB: (Teorema de Euclides) Ln2 = R2 + R2 – 2R.R Cos  Ln2 = 2R2 - 2R2 Cos  Ln2 = 2R2 (1- Cos ) Ln = R Formula General NOTA PERIMETRO DE FIGURAS Es el contorno de una figura geométrica. TEOREMA.- La longitud de una circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el número . C = 2R C = D C: Longitud de la circunferencia R: Radio de la circunferencia D: Diámetro de la circunferencia ¿Qué es el número ? Podemos decir que  es la longitud de una circunferencia de diámetro igual a 1. Desde hace mucho tiempo (cerca de 4000 años) se notó que el número de veces en que el diámetro esta contenido en la circunferencia es siempre el mismo, sea cual sea el tamaño de esa circunferencia. Este valor constante de la razón C/D es un número, aproximadamente igual a 3,141592, el cual se representa por la letra griega . Ya los babilonios habían observado que el valor de  está comprendido entre o sea 25/8 <  < 22/7 en fracciones decimales: 3,125 <  < 3,142. El valor más aproximado de  es de Arquímedes ( = 22/7) con error menor de 1/1000 por exceso. Otra expresión muy notable es la de Adriano Mecio .... En 1873, el inglés William Shanks calculó  con 707 cifras decimales exactas /4 = 1- 1/3 + 1/5 –1/7 + 1/9 ..... En 1984 en los Estados Unidos, calculo  con más de diez millones (exactamente 10013395) cifras exactas. PROPIEDAD Las curvas son semicircunferencias P: Perímetro de la figura sombreada P = D Por /2 (D = a + b + c) PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Cuál es el polígono regular, donde su apotema es la mitad de su lado? a) Hexágono b) Pentágono c) Cuadrado d) Octógono e) Nonágono Resolución 1. Dato Apotema = = OH 2. AH = HB = = OH 3. m = m = 45º  = 90º =  4. Angulo central = 90º =  90º = n = 4 Rpta. c 2. En un triángulo ABC, m A = 60º y el circunradio mide 4. calcular BC a) 4 b) 6 c) 8 d) e) 4 Resolución Dato R = 4 1. Construyo el BCE BE es diámetro = 2R = 8 2. m A = E = 60º = 3. Triangulo notable ACE EC = 4 BC = Rpta. e 3. En un triángulo ABC, m A = 45º y el circunradio mide 4. Calcular BC. a) 4 b) 6 c) 8 d) 4 e) 4 Resolución o = Centro 1. Datos m A = 45º, R = 4  BC = 90º 2. Angulo Central mBOC = BC = 90º 3. Triangulo notable BOC x = Rpta. d 4. En un triángulo ABC, m A = 60º y el circunradio mide 4. Calcular la distancia del circuncentro al lado BC. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 Resolución 1. Dato m A = 60º, R = 4  BC = 120º 2. Angulo central mBOC = BC = 120º 3. Triangulo notable OHC x = 2 Rpta. a 5. En que relación están las apotemas del cuadrado y del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia. a) b) :1 c) d) : 2 e) Resolución x = Apotema del cuadrado________ Apotema del triángulo Equilátero x = x = Rpta. a 6. En un triángulo ABC, AB = 4 , BC= 4 y el circunradio mide 4. Calcular la medida del ángulo B. a) 45º b) 60º c) 75º d) 90º e) 105º Resolución 1. AB = , R = 4  AB es el lado de un  equilátero AB = 120º 2. BC = , R = 4  BC es el lado de cuadrado mBOC = BC = 90º 3. Angulo Inscrito = B = x AC = 2x 4. 2x+120º+90º = 360º 2x = 150 x = 75º Rpta. c 7. Calcular “x” si: AB = R, BC = R , 0 es centro de la semicircunferencia, AO = R a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 37º Resolución 1. Dato AB = R  AB: lado del hexágono AB = 60º 2. Dato BC = R  BC: lado del cuadrado BC = 90º 3. AB +BC+CD = 180 º 60º+90º+CD =180º CD = 30º 4. Angulo exterior x = x = x = 15º Rpta. b 8. Si un cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una misma circunferencia, la razón de sus apotemas es: a) 2/3 b) 3/2 c) 2/3 d) e) Resolución x = Apotema del Cuadrado Apotema del hexágono regular Rpta. e 9. Si un triángulo equilátero y un hexágono regular, sus perímetros miden iguales. Calcular la razón en la que se encuentran sus áreas. a) 2/3 b) 3/2 c) d) e) Resolución x = Área del triangulo equilátero Área del hexágono regular x = Rpta. a PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La hipotenusa BC de un triangulo rectángulo mide , la bisectriz AP es igual al cateto menor AB. Calcular el cateto AB A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. La hipotenusa BC de un triángulo rectángulo ABC mide u, el ángulo C es 22,5°: Hallar el cateto AB A) 1 B) 2 C)1,5 D) 3 E) 3,5 3. Calcular el radio de un círculo tangente a tres rectas dadas, una es el lado de un hexágono regular de 24 m de perímetro y las otras son las prolongaciones de los lados contiguos. A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 5 4. En un círculo se han trazado dos cuerdas no paralelas AB y CD, se une A con D y B con C cortándose en F. Calcular el ángulo AFC si AB = r y CD = r 2 A) 98° B) 100° C)115° D) 117° E) 120° 5. En un triángulo isósceles (AB = AC), los ángulos B y C miden 30° cada uno, se trazan las alturas BH y CE. Calcular HE si BC = 16m. A) 4m B) 8m C) 9m D) 10m E) 12m 6. El ángulo B de un triángulo ABC mide 54°, calcular AC si el circunradio mide m. A) 1m B) 1,5m C) 2m D) 2,5m E) 3m 7. En un triángulo ABC el ángulo A mide 45°, el ángulo B mide 120° y el lado BC es 2 m. Calcular la distancia del circuncentro al lado AC. A) 0,5m B) 1m C) 2m D) 2,5m E) 3m 8. El lado de un dodecágono regular ABCDEFGHIJKM es . Calcular el valor de la diagonal AE. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. El lado de un octógono regular ABCDEFGH mide m.; se prolongan las diagonales BH y CE hasta un punto de intersección P. Calcuar PB. A) 5m B) 4m C) 3m D) 2m E) 1m 10. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH en el cuál se han trazado las diagonales AE y AC. Calcular el lado del octógono sabiendo que: AE – AC = 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. Se tiene un dodecágono regular ABCDEFGHIJKM. Calcular el lado de dicho polígono sabiendo que AG – AE = 3u. A) u B) u C) u D) u E) u 12. un hexágono regular de 2m de lado, se le prologa cada uno de sus lados en la misma longitud de su lado y en un mismo sentido. Hallar la apotema del polígono que resulte, al unir los extremos de estas prolongaciones. A) 1,5m B) 2m C) 3m D) 4m E) 6m 13. En un triángulo ABC se cumple que m< BCA=30, AB=2u y BC= u. Calcule m < BAC, sabiendo que es agudo. A) 24 B) 36 C) 72 D) 45 E) 54 14. El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero AEF están inscritos en una misma circunferencia. P es el punto de intersección entre y . Calcule PE, si AB=4u. A) u B) u C) u D) u E) u 15. En un octógono regular ABCDEFGH, P es el punto de intersección entre y . Calcule PD, si el circunradio de dicho polígono es igual R. A) B) C) D) E) POLÍGONOS REGULARES 1. En una circunferencia se traza una cuerda de medida que sub tiene un arco de 120º. Calcule la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 60º. A) B) C) D) E) 2. En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD paralela a dicho diámetro, si . Calcule , si A) 10º B) 15º C) 18º D) 8º E) 36º 3. De un punto D exterior a una circunferencia se trazan las secantes DCB y DEA, siendo diámetro. Calcule , si: y , siendo “R” radio de dicha circunferencia. A) 10º B) 12º C) 24º D) 20º E) 15º 4. Calcule el menor ángulo que forman las diagonales del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, si: AB y CD son lados del triángulo equilátero y el pentágono regular. A) 84º B) 86º C) 78º D) 76º E) 88º 5. El perímetro de un hexágono regular es . Calcule el perímetro del hexágono determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primer hexágono. A) B) C) D) E) 6. En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide , calcule la distancia del punto de intersección de las diagonales AD y FB a la diagonal AC. A) B) C) D) E) 7. Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcule A) 76º B) 84º C) 66º D) 37º E) 92º 8. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ, tal que ; los ángulos BAC, ABQ y CBQ miden 49º, 23º y 72º respectivamente. Calcule BQ. A) B) C) D) E) 9. En una circunferencia se ubican los puntos A, B y C. Calcule la distancia de C a , si los ángulos BAC y ACB miden 15º y 45º respectivamente y . A) B) C) D) E) 10. En una circunferencia de radio R = 4, su ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcule AC, si: ; y CD = R. A) B) C) D) 4 E) 11. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AQ y CH. Calcule HQ, si ° y AC = 2. A) B) C) D) E) 12. En un heptágono regular ABCDEFG, se cumple que , calcule el perímetro del heptágono. A) B) 5 C) 25 D) E) 10 13. Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R. Se traza una recta secante que biseca: al arco AB en M, a la cuerda AD en N e intersecta al arco AD en F. Calcule FN. A) B) C) D) E) 14. En un triángulo ABC se tiene que y . Calcule AB. A) B) C) D) 2 E) 3 15. En una circunferencia se inscribe el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B); tal que , y ; si y es la longitud de los lados de los polígonos regulares de n, 3 y 4 lados. Calcule “n”. A) 10 B) 12 C) 4 D) 7 E) 3 16. Calcule la longitud de la bisectriz interior BD de un triángulo ABC recto en B, si y AB = BD. A) B) C) 2 D) E) 17. Calcule la longitud del lado de un pentágono regular, cuya diagonal mide . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5