Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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OPERACIONES Y CÁLCULOS CON DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Calcula las siguientes derivadas: a) D 5 arctg x b) D 3 cos x c) D 2 arcsen x 2. Calcula las siguientes derivadas expresando previamente las funciones en forma de potencia: a) D 4 x5 b) D 2x x c) D (x2 x) 3. Calcula las siguientes derivadas: a) D (x3 3x2 4x 2) b) D ( x4 x2 1) c) D (x3 4x2 1 2 ) 4. Calcula las siguientes derivadas expresando previamente las funciones en forma de potencia: a) D 1 x 3 b) D 3 x2 1 c) D 2 (x2 3)3 5. Calcula las siguientes derivadas: a) D e2x 7 b) D 3 e 1 x2 c) D 3tg x 6. Calcula las siguientes derivadas: a) D L(x3 x2) b) D L(cos x) c) D L(x2 sen x) 7. Calcula las siguientes derivadas: a) D sen (x 5) b) D cos (x2 1) c) D sen (sen x) 8. Calcula las siguientes derivadas y expresa el resultado de la forma ma´s simple posible. a) D arcsen (x2 1) b) D arctg 1 x 1 x 9. Calcula la derivada de los siguientes productos: a) D ((x2 2) · ex2 1) b) D ((1 x2) · arctg x) c) D (cos x · L(tg x)) 10. Calcula la derivada de los siguientes cocientes: a) D x2 2x 1 x2 1 b) D x x2 1 c) D ex x ex x 11. Calcula la derivada de las siguientes funciones de tipo potencial-exponencial. a) D (x2 1 x ) b) D (sen x x 1 ) c) D (tg x cos x ) 12. Determina el valor de los para´metros m y n sabiendo que la recta y x es tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) x2 mx n en el punto (1, 1). 13. Halla el valor de m para que la recta y 4x m sea tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) 3x2 5. SOLUCIONES 1. a) D 5 arctg x 5 1 x2 b) D 3 cos x 3 sen x c) D 2 arcsen x 2 1 x2 2. a) D D x 5 5 4 x5 4 4 x 4 b) D D 2x 2x 1 1 2 x x c) D (x2 ) D x x 5 5 x 2 x 2 3. a) D (x3 3x2 4x 2) 3x2 6x 4 b) D ( x4 x2 1) 4x3 2x c) D (x3 4x2 1)2 2(x3 4x2 1) (3x2 8x) 4. a) D D (x 3) 1 1 1 x 3 (x 3)2 b) D D 3(x2 1) 1 3 6x x2 1 (x2 1)2 c) D D 2(x2 3) 3 2 12x (x2 3)3 (x2 3)4 5. a) D e2x 7 2e2x 7 b) D 3 e 6x e 1 x2 1 x2 c) D 3tg x L3 · 3tg x 1 cos2 x 6. a) D L(x3 x2) 3x 2 x2 x b) D L(cos x) tg x c) D L(x2 sen x) 2x cos x x2 sen x 7. a) D sen (x 5) cos (x 5) b) D cos (x2 1) 2x sen (x2 1) c) D sen (sen x) cos (sen x) cos x 8. a) D arcsen (x2 1) 2x 1 (x2 1)2 2x x2(2 x2) b) D arctg 1 x 1 1 x 1 x2 9. a) D ((x2 2) · e ) 2x · (x2 1) · e x2 1 x2 1 b) D ((1 x2) · arctg x) 2x arctg x 1 c) D (cos x · L(tg x)) sen x · L tg x 1 sen x 10. a) D x2 2x 1 2 x2 1 (x2 1)2 b) D x x2 1 x2 1 (x2 1)2 c) D ex x 2ex(1 x) ex x (ex x)2 11. a) D (x2 1)x L(x2 1) (x2 1)x 2x2 2 x 1 b) D (sen x)x 1 (L sen x (x 1) cot x) (sen x)x 1 c) D (tg x)cos x (tg x)cos x 1 sen x L tg x sen x 12. Como f(1) 1 m n 1. Adema´s f (x) 2x m, entonces: f (1) 1 2 m 1 Se resuelve el sistema y resulta m n 1 2 m 1 m 1 y n 2. La funcio´n es f(x) x2 x 2. 13. f (x) 6x Se busca el punto de tangencia (a, f(a)) que verifica que f (a) 4. 6a 4 a 2 3 El punto de tangencia pertenece a la rec- 2 19 , 3 3 ta tangente, por tanto: 4 · m m 19 2 11 3 3 3 1. Calcula la siguiente derivada: D(2 sen x sen 2x sen x2 sen2 x sen2 x2). 2. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) x xx (x 0). 3. Calcula la derivada de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma ma´s simple posible: a) f(x) arctg ex 1 x e 1 b) f(x) L ex x x e x c) f(x) arctg sen x cos x sen x cos x 4. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) (sen x)cos x (cos x)sen x. 5. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) aplicando la derivacio´n logarı´tmica. (Lx)x xLx 6. ¿En que´ punto es tangente a la gra´fica de la curva f(x) x2 3x 1 una recta que es perpendicular a la recta x 2y 3 0? 7. Halla la ecuacio´n de la tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) L(tg 2x) en el punto de abscisa x . 8 8. Calcula el a´rea del cuadrado ABCD sabiendo que uno de sus ve´rtices es el origen de coordenadas y que uno de sus lados esta´ sobre la recta normal en el punto de abscisa x 0 a la gra´fica de la funcio´n f(x) e2x x2. Ten en cuenta que la recta normal a una curva en un punto es la recta perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. 9. ¿Que´ funcio´n verifica que al hallar sus derivadas sucesivas cada una resulta ser triple que la anterior? 10. Obte´n la derivada primera, segunda, tercera y cuarta de la funcio´n f(x) . ¿Cua´l serı´a la expresio´n 1 x 1 general de la derivada n-e´sima de esta funcio´n? 11. Obte´n la derivada primera, segunda, tercera y cuarta de la funcio´n f(x) . ¿Cua´l serı´a la expresio´n x x 1 general de la derivada n-e´sima de esta funcio´n? 12. Obte´n la expresio´n general de la derivada n-e´sima de las funciones f(x) sen x y f(x) cos x. SOLUCIONES 1. D(2 sen x sen 2x sen x2 sen2 x sen2 x2) 2 cos x 2 cos 2x 2x cos x2 2 sen x cos x 4x sen x2 cos x2 2. Df(x) 1 (1 Lx) · xx (x 0) 3. a) Df(x) 2ex (3x 1)2 ex ex 1 2 e2x 1 1 x e 1 b) Df(x) 2ex (1 x) (ex x)2 2ex (1 x) ex x e2x x2 ex x c) Df(x) 2 (sen2 x cos2 x) (sen x cos x)2 2 sen x cos x 1 sen x cos x 1 2(sen2 x cos2 x) 2(sen2 x cos2 x) 4. Df(x) sen x · L(sen x) · (sen x)cos x cos2 x sen x cos x · L(cos x) · (cos x)sen x sen2 x cos x 5. Tomamos logaritmos: Lf(x) L L(Lx)x LxLx x · L(Lx) Lx · Lx (Lx)x xLx Lf(x) x · L(Lx) (Lx)2 Derivamos en ambos miembros: L(Lx) f (x) 1 2Lx f(x) Lx x f (x) L(Lx) · 1 2Lx (Lx)x x x xLx 6. Las rectas perpendiculares a la recta dada tienen por pendiente m 2 y Df(x) 2x 3. 2x 3 2 x 1 2 Punto de tangencia: , f , 1 1 1 9 2 2 2 4 7. 2 1 tg2 2(1 tg2 2x) 4 Df(x) f 4 tg 2x 8 tg 4 f L tg 0 Punto de tangencia: , 0 8 4 8 Recta tangente: y 4 x y 4x 8 2 8. Calculamos la recta normal. Su pendiente sera´: m 1 f (0) Df(x) 2e2x 2x f (0) 2 m 1 2 f(0) 1. La recta normal es: y 1 x x 2y 2 0 1 2 Como el origen no pertenece a esta recta, es un ve´rtice opuesto a ese lado y, por tanto, la distancia entre el origen y la recta normal es la longitud del lado del cuadrado. La distancia del origen a la recta es: d A´ rea u2 W 2W 2 4 5 5 5 9. La funcio´n f(x) 33x verifica esta condicio´n. f (x) 3e3x 3f(x); f (x) 32e3x 3f (x); ...fn) (x) 3fn 1) (x) 10. f(x) (x 1) 1; f (x) (x 1) 2; f (x) 2(x 1) 3; f (x) 6(x 1) 4; f4)(x) 24(x 1) 5 fn)(x) ( 1)n 1 · n! · (x 1) (n 1) 11. f(x) x · (x 1) 1; f (x) (x 1) 2; f (x) 2(x 1) 3; f (x) 6(x 1) 4; f4)(x) 24(x 1) 5 fn)(x) ( 1)n · n! · (x 1) (n 1) 12. Dn sen x ( 1)m sen x si n 2m m 1 ( 1) cos x si n 2m 1 Dn cos x ( 1)m sen x si n 2m 1 m 1 ( 1) cos x si n 2m