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NÚMEROS REALES , OPERACIONES Y ORDENACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS BACHILLERATO 1 MATEMATICAS PDF

1. Clasifica los siguientes nu´meros decimales en racionales o irracionales. a) 12,23232323232323... d) 12,135531135531135531... b) 12,360360360360360... e) 12,112123123412345123456... c) 12,360360036000360000... 2. Indica el conjunto nume´rico ma´s pequen˜o al que pertenece cada uno de los siguientes nu´meros: a) b) c) 12,24242424... d) 1,122333444455555... e) 3,14 12 9 3 3. La siguiente tabla muestra aproximaciones por exceso y por defecto del n´umero real 3 2. Compl´etala. 2 3 2 3 Error Por defecto 1,414 1,732 Por exceso 1,415 1,733 4. Toma logaritmos en los dos miembros de las siguientes expresiones: a) A xy2z4 b) B c) C 2x2 · y4 3 2x2 · y5 6 3 z 3z 5. Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones: a) log A 2 log 3 2 log x 3 log y log z b) log B log (2x 2y) log (x 2y) 6. Escribe en forma potencial las siguientes expresiones: a) 4x2 · 3x4 b) x 3 · 3 x2 c) 2 2x d) 3x 1 3 3x 1 e) 32x 7. Escribe un nu´mero comprendido entre: a) y 2 3 11 11 b) 0,002341 y 0,002342 8. Ordena de menor a mayor los siguientes nu´meros: , , y 25 256 22 377 8 81 7 120 9. Utilizando el teorema de Tales y el teorema de Pita´goras, representa en la recta real los siguientes nu´meros reales: a) 1 4 b) 3 4 c) 8 d) 20 10. Representa en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas: a) (3, 5) b) (4, 6] c) (3, ) d) ( , 2] 11. Representa los siguientes conjuntos de nu´meros en la recta real: a) WxW 3 b) WxW 3 c) WxW 3 d) WxW 3 12. Una tienda cobra por el alquiler de una bicicleta 2 euros a la hora. Otra tienda cobra por el mismo alquiler 1,75 euros a la hora, pero a esta cantidad se le debe an˜adir 4 euros independientemente del tiempo que se contrate. ¿A partir de cua´ntas horas es ma´s econo´mica la segunda tienda? SOLUCIONES 8. 25 377 22 256 8 120 7 81 9. a) b) c) d) 10. a) 4 5 (3, 5) 0 1 2 3 b) 4 5 6 (4, 6] 0 1 2 3 c) (3, + ) 0 1 2 3 d) 0 1 (– , –2] –2 –1 11. a) x = –3, x = 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 b) –3 < x < 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 c) x < –3, x > 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 d) x < –3, x > 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 12. 2x 1,75x 4 0,25x 4 x 16 A partir de las 16 horas es ma´s econo´mica la segunda tienda. 1. a) Racional por ser un nu´mero decimal perio´dico. b) Racional por ser un nu´mero decimal perio´dico. c) Irracional por ser un nu´mero decimal no perio´- dico. d) Racional por ser un nu´mero decimal perio´dico. e) Irracional por ser un nu´mero decimal no perio´- dico. 2. a) Nu´meros enteros. b) Nu´meros naturales. c) Nu´meros racionales. d) Nu´meros reales. e) Nu´meros reales. 3. 2 3 2 3 Error Por defecto 1,414 1,732 3,146 Por exceso 1,415 1,733 3,148 0,002 4. a) log A log x 2 log y 4 log z b) log B log 2 2 log x 4 log y 6 log z c) log C log 2 2log x 5log y log 3 3log z 3 5. a) A 32 · y3 x2 · z b) B (2x 2y) · (x 2y) 6. a) 4x2 · 3x4 12 · x6 b) x 3 · x 3 · x x x 2 2 7 3 2 3 x 3 3 3 c) 2 ·x 2 · x 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2x 2 (2x) 22 x2 d) (3x 1) 3x 1 3x 1 1 1 3 3 1 3x 1 (3x 1)3 (3x 1)2 3 e) ((2x) ) (2x) 1 1 1 32x 3 2 6 7. a) 2 3 2 11 11 3 2 5 3 11 2 11 11 22 11 b) 0,002341 0,0023415 0,002342 1 y 2 Nu´meros reales. Operaciones. Ordenacio´n 1. Se quiere calcular el radio de varias bolas de acero, para lo cual se van sumergiendo en un recipiente graduado y lleno de agua para obtener, de esta forma, sus respectivos volu´menes. Completa, redondeando a dos cifras decimales, la siguiente tabla, en la que vienen expresadas las medidas halladas: Volumen (cm3) 12,5 20,3 95 225 Radio (cm) 2. Simplifica el valor de la siguiente expresio´n: 3 15 8 3 128 32 18 3. Llamamos metro a la diezmillone´sima parte del cuadrante de meridiano terrestre. Con ayuda de esta definicio´n, calcula el radio de la Tierra en el supuesto de que esta fuera una esfera perfecta. 4. El Ayuntamiento de Loma del Pastor, cuyo municipio cuenta con 600 habitantes de edad comprendida entre diecise´is y veinte an˜os, realiza una encuesta sobre las actividades deportivas que interesan a dicho segmento de poblacio´n. Sabiendo que el 81,818181... % contesto´ que no le interesaba el ciclismo y que el 14,583333... % contesto´ que le interesaba la natacio´n, averigua el nu´mero de jo´venes que respondieron a la encuesta. 5. Escribe el n´umero irracional 21 6 12 como un nu´mero del tipo n m, donde n y m son nu´meros enteros. 6. Demuestra que el nu´mero 20 2 19 20 2 19 es entero. 7. Encuentra los valores reales de x que verifican simulta´neamente las siguientes desigualdades: 23 68 6(x 1) 4x 5 5 3 8(x 1) 3 2x 2 2 5 m 8. Se quiere rodear de ce´sped artificial una piscina de forma circular con 5 m de radio mediante un jardı´n de forma cuadrada, tal y como muestra la figura. Se sabe que el metro cuadrado de ce´sped cuesta 5 euros. ¿Cua´nto debera´ medir el lado del cuadrado de manera que el coste no supere los 1 500 euros? 9. a) Partiendo de la desigualdad (x y)2 0, demuestra que si x e y son dos nu´meros positivos distintos, entonces 2. x y y x b) Demuestra que si a, b y c son nu´meros positivos distintos, entonces se verifica la siguiente desigualdad: (a b c) · 9 1 1 1 a b c 10. Demuestra que al sustituir cualquier nu´mero natural n en la expresio´n 5n 1 se obtiene como resultado un mu´ltiplo de 4. 11. Demuestra que al sustituir cualquier nu´mero natural n en la expresio´n 3n2 n 2 se obtiene un nu´mero par. SOLUCIONES 1. V r 4 · · r3 3 3 · V 3 4· Por tanto: Volumen (cm3) 12,5 20,3 95 225 Radio (cm) 1,44 1,69 2,83 3,77 2. 3 15 8 3 3 3 128 15 · 2 2 3 · 2 2 2 32 8 2 2 2 2 3 3 30 2 24 2 54 2 4 2 2 2 2 2 3 3 54 3 27 2 3. 1 cuadrante 107 m 4 cuadrantes 4 · 107 m Longitud del meridiano 2 · · r 4 · 107 r 6 366 000 m 6 366 km 4 · 107 2 · 4. Si calculamos las fracciones correspondientes a los nu´meros racionales 81,818181... y 14,583333..., deducimos: 900 n 9n 81,818181... % de n es · 11 100 11 174 n 7n 14,583333... % de n es · 12 100 48 n debe ser mu´ltiplo de 11 · 48 528. Como el nu´mero total de jo´venes es 600, deducimos que contestaron a la encuesta 528 de ellos. 5. 21 6 12 9 12 2 · 3 · 12 (3 12)2 3 12 6. 2 20 2 19 20 2 19 20 2 19 20 2 19 2 (20 2 19) · (20 2 19) 40 2 400 76 40 36 4 Por tanto: 20 2 19 20 2 19 2 7. 30x 30 23 20x 68 10x 15 3 8x 8 4x 3 4x 8 0 1 –1 –2 2 32 3 x 2 x 2 8. Supongamos que el lado del cuadrado mide x metros. 5 · (x2 25 ) 1 500 x 19,45 m 9. a) (x y)2 0 x2 y2 2xy 0 x2 y2 2xy 2 2 x2 y2 x y xy y x b) (a b c) · 1 1 1 a b c a a a b b b c c c a b c a b c a b c 1 1 1 a b a c b c b a c a c b 3 2 2 2 9 aplicando el apartado a. 10. Aplicamos el principio de induccio´n completa: 1. Para n 1 se verifica: 51 1 4 es mu´ltiplo de 4. 2. Supongamos la propiedad cierta para n 1: 5n 1 1 es mu´ltiplo de 4. Debemos comprobarla para n: 5n 1 5 · 5n 1 1 4 4 5(5n 1 1) 4 Como los dos sumandos de la u´ltima expresio´n son mu´ltiplos de 4, resulta que 5n 1 es mu´ltiplo de 4. 11. Aplicamos el principio de induccio´n completa: 1. Para n 1 se verifica: 3 1 2 2 es par. 2. Supongamos la propiedad cierta para n 1: 3(n 1)2 (n 1) 2 es par. Debemos comprobarla para n. Para ello: Desarrollamos la expresio´n anterior y resulta: 3(n 1)2 (n 1) 2 3n2 5n Por tanto: 3n2 n 2 3n2 5n 5n n 2 (3n2 5n) 6n 2 3n2 n 2 (3n2 5n) 2(3n 1) Como los dos sumandos de la u´ltima expresio´n son mu´ltiplos de 2, resulta que 3n2 n 2 es par.