Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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NUMEROS REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

NÚMEROS REALES Clasifica los siguientes números. a) 0,1121231234123451234561234567… b) 45,45455545554555455545554555… c) 4,1010010001000010000010000001… d) 8 2 3 2 2 a) Número irracional b) Número racional con período decimal 4555 c) Número irracional d) Número irracional El ecuador de la Tierra es, aproximadamente, una circunferencia de 40 000 kilómetros de longitud. ¿Cuánto mide el radio de la Tierra? ¿Qué tipos de números aparecen en este problema? L 2 r 40 000 kilómetros ⇒ r 6366,20 km Clasifica los siguientes números. a) 3 b) 9 c) 2 2 d) 4 a) 3 1,732050808 es un número irracional. b) 9 3 es un número racional. c) 2 2 2 es un número racional. d) 4 es un número irracional. Un terreno cuadrado tiene 100 metros de lado, y se quiere ampliar a otro de la misma forma y área doble. ¿Por cuánto hay que multiplicar el lado? ¿Cuánto medirá el nuevo lado? Área del cuadrado dado: 10 000 m2 Lado del nuevo cuadrado: 100k Ecuación: (100k)2 20 000 Se opera: 10 000k2 20 000 Se simplifica: k2 2 Valor de k:k 2 Valor del nuevo lado: 100 2 100 1,4142… 141,421… Un aula de dibujo es rectangular; sus medidas son 10 metros de largo, 8 metros de ancho y 5 metros de altura. Una mosca revolotea dentro del aula. ¿Cuál es la máxima distancia que puede recorrer sin cambiar de dirección? ¿Qué tipos de números aparecen en este problema? La dirección máxima está dada por dos vértices opuestos (no de dos caras). Distancia: ( 102 82 5 2) 1 89 13,75 m Haz en tu cuaderno una tabla de aproximaciones por exceso y por defecto del número 2 , hasta un orden de aproximación de la milésima. 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 Dato: 2 Aproximaciones de 2 ↓ Precisión Por defecto 2 Por exceso Intervalos de 2 1 unidad 1 2 2 [1; 2] 1 décima 1,4 2 1,5 [1,4; 1,5] 1 centésima 1,41 2 1,42 [1,41; 1,42] 1 milésima 1,414 2 1,415 [1,414; 1,415] … … … … … Expresa los tres primeros intervalos de la aproximación decimal del número real 7 2,645751311… Los tres primeros intervalos encajados son: [2; 3], [2,6; 2,7], [2,64; 2,65] Halla el error absoluto y el error relativo que se produce cuando se toma para — 2 3 5— el valor 8,3. ¿Cuál es el orden de la aproximación? 2 3 5 8,3333333… El error absoluto es: Ea | A V | ⇒ Ea |8,3 8,3333333| 0,0333333… El error relativo es: Er E V a ⇒ Er 0 8 , , 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0,004000000016 El orden de aproximación son las décimas. Utiliza la aproximación de Arquímedes y la de Metius para el número , y calcula el área de una circunferencia de 20 metros de radio. ¿Crees que son aceptables los errores cometidos en ambos casos? La aproximación de Arquímedes para el número es 2 7 2 3,142857143… y la de Metius es 3 1 5 1 5 3 3,141592920… El área de una circunferencia es: A r2 AA 2 7 2 202 1257,142857 m2 A M 3 1 5 1 5 3 202 1256,637168 m2 Sabiendo que 5 2,236067977…, escribe las cinco primeras aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo. Realiza las siguientes operaciones con un orden de aproximación de dos cifras decimales, por exceso y por defecto: a) 2 2 1 0 b) 7 3 2.11 2.10 2.9 2.8 2.7 Aproximaciones de 5 ↓ Precisión Por defecto Por exceso Por redondeo 1 unidad 2 3 2 1 décima 2,2 2,3 2,2 1 centésima 2,23 2,24 2,24 1 milésima 2,236 2,237 2,236 1 diezmilésima 2,2360 2,2361 2,2361 2 2 1 0 2 2 1 0 Error máximo Por exceso 2,83 3,17 6,00 0,02 Por defecto 2,82 3,16 5,98 7 3 7 3 Error máximo Por exceso 2,65 1,74 4,61 0,04 Por defecto 2,64 1,73 4,57 Escribe en notación científica los números: a) 75,9 1015 b) 0,0114 1023 c) 345,8 1017 a) 75,9 1015 7,59 1016 b) 0,0114 1023 1,14 1021 c) 345,8 1017 3,458 1019 Realiza la siguiente operación y expresa el resultado en notación científica. (3,45 1012 40,12 1010) : (8 108) (3,45 1012 40,12 1010) (8 108) 4,8 103 La masa de la Tierra es, aproximadamente, de 5,98 1024 kilogramos, y la de la Luna, de 7,34 1022 kilogramos. ¿Cuántas lunas se podrían formar con una masa equivalente a la masa de la Tierra? Relación entre las masas: (5,98 1024) (7,34 1022) 0,815 102 8,15 10 La masa de la Tierra es unas 81 veces la masa de la Luna. Por tanto, con la masa de la Tierra se podrían formar casi 82 lunas. Escribe tres potencias equivalentes de cada una de las siguientes. a) 7—12 — c) 9—32 — e) 11—15 — b) 7—32 — d) 27—13 — f) 2—79 — a) 7 24 , 7 36 , 7 48 c) 9 64 , 9 96 , 9 1 8 2 e) 11 1 2 0 , 11 1 3 5 , 11 2 4 0 b) 7 64 , 7 96 , 7 1 8 2 d) 27 26 , 27 39 , 27 1 4 2 f) 2— 11 48—, 2— 22 17 —, 2 23 86 Calcula las siguientes potencias en forma fraccionaria y luego pasándolas a forma radical. Comprueba que los resultados son iguales. a) 4 82 b) 21 1 5 0 c) 17 63 d) 11 1 4 2 a) Forma fraccionaria: 4 82 44 256 b) Forma fraccionaria: 21 1 5 0 212 441 Forma radical: 4 82 48 44 256 Forma radical: 21 1 5 0 5 2110 21 1 5 0 212 441 c) Forma fraccionaria: 17 63 172 289 d) Forma fraccionaria: 11 1 4 2 113 1331 Forma radical: 17 63 3 176 172 289 Forma radical: 11 1 4 2 4 1 112 113 1331 Introduce el factor en el radical. a) 7 2 b) 3 3 3 a) 9 8 b) 3 8 1 Extrae factores de los radicales. a) 6 125 b) 3 6 48 a) 6 125 5 3 72 35 5 b) 3 6 48 3 2 3 34 6 3 3 Opera y simplifica. a) 42 75 105 c) 3 — 1 5 2 1 5 2 — 2 56 b) 3 1 6 5 5 1 2 d) 4 —1 9 6— : 5 81 — 1 7 8 5 — a) 4 2 7 5 1 05 3 0 c) 20 b) 30 1029 d) 6 5 20 210 34 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 2.13 2.12 Racionaliza las siguientes expresiones. a) — 5 7 — c) — 2 1 3 — b) — 2 5 3 — d) — 2 3 5 6 — a) 5 4 9 7 c) 2 3 b) 5 2 5 3 d) Realiza las siguientes operaciones. a) — 5 8 — — 3 32 — — 6 5 0 — c) 10 3 4 0 6 3 5 000 b) 2 3 1 6 3 2 50 3 5 4 d) 3 2 8 5 3 43 a) 59 4 0 2 c) 40 3 5 b) 4 3 2 d) 41 7 Los lados de tres cuadrados miden, respectivamente, —5 4 1—, — 5 6 1— y — 5 3 2— . Ordénalos de menor a mayor según el área. Denominador común: 12 Potencias fraccionarias equivalentes: 5 1 3 2 , 5 1 2 2 y 5 1 8 2 Ordenación según el área, equivalente según el lado: La menor es: 5 1 2 2 5 16 . La mediana es: 5 1 3 2 5 14 . La mayor es: 5 1 8 2 5 23 . Representa en la recta real los números: a) 1 0 b) 1 3 c) 2 d) — 4 — 2 6,283 2.23 2.22 2.21 2 6 2 3 3 0 1 5 3 2.20 0 1 2 3 4 1 1 1 2 3 10 13 6 6,2 6,3 7 6,2 6,28 6,29 6,3 6,28 6,283 6,284 6,29 ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números reales? a) 1 y 1 b) 2 y 3 c) 3 y 7 d) 1 y —1 2 — a) d(1, 1) 2 b) d(2, 3) 1 c) d( 3, 7) 4 d) d 1, 1 2 3 2 ¿Cuál de estos dos números reales, y , es mayor? Se comprueba haciendo que los dos números reales tengan el mismo denominador. 3 3 2 1 2 3 3 1 Expresa de otras dos formas cada uno de estos intervalos y represéntalos gráficamente. a) |x 3|<2 b) ( 8, 0) c) 2 < x < 9 a) x 3 2 b) ( 8, 0) c) 2 x 9 1 x 5 8 x 0 ( 2, 9) (1, 5) x 4 4 ¿Qué intervalo, en el eje de abscisas, determina un círculo con centro el origen de coordenadas y 5 centímetros de radio? Sea AB el diámetro que determina en el eje de abscisas. Se designa por O el centro del diámetro AB. Se designa por r el valor del radio y por X un punto cualquiera del eje OX. Intervalo: AB d(OX) r R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Laura quiere fabricar otro depósito con el doble de capacidad, es decir, 40 litros, y desea mantener la misma forma cúbica. ¿Cuánto medirá ahora la arista aproximando hasta los milímetros? Se trata de calcular la raíz cúbica de 40. Conviene hacer notar a los alumnos que la arista no será el doble de la anterior. Aproximamos sucesivamente. 33 27 40 43 64 → 3… 3,43 39,304 40 3,53 42,875 → 3,4… 3,413 39,651821 40 3,423 40,001688 → La mejor aproximación es 3,42 dm. La profesora de Laura le pide ahora calcular las medidas de un cartón de leche de un litro, sabiendo que la base es cuadrada y la altura es el doble de la arista de la base, aproximando nuevamente las medidas hasta los milímetros. Queremos que a2 2a 2a3 sea igual a 1 dm3, es decir, buscamos la raíz cúbica de 0,5. Aproximamos sucesivamente. 0,73 0,343 0,5 0,83 0,512 → 0,7… 0,793 0,493039 0,5 0,803 0,512 → 0,79 dm es la mejor aproximación. 2.29 2.28 2.27 2.26 —2 3— 1 3 —3 3— 1 2 2.25 2.24 01 5 –8 –4 0 –2 0 9 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Números reales Indica qué tipo de expresión decimal tienen los siguientes números. a) — 2 7 0 — b) — 1 8 1 — c) —1 1 1 8 — d) — 1 3 3 5 — a) 2 7 0 0,35. Decimal exacto c) 1 1 1 8 0,61v. Decimal periódico mixto b) 1 8 1 0,7v2v. Decimal periódico puro d) 1 3 3 5 0,37v1v4v2v8v5v. Decimal periódico mixto Copia y completa la tabla escribiendo estos números en todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen. —3 5 —; 2 ; 2; 1,2525…; 2,010010001…; 4; 0,16v ¿Qué diferencia existe entre la parte decimal de un número racional y la de un número irracional? Indica si los siguientes números son racionales o irracionales. a) 5,372727272… c) 3,5454454445… b) 0,127202002000… d) 8,66612671267… a) Racional c) Irracional b) Irracional d) Racional ¿Qué tipo de número obtendrás al sumar dos números en cada uno de los siguientes casos? Pon ejemplos. a) Dos racionales b) Dos irracionales c) Uno racional y otro irracional a) Un número racional 1 2 1 3 5 6 0,83v b) Un número irracional. 3 4,87364346116… c) Un número irracional. 2 1 2,41421356237… Una figura con forma de hexaedro (cubo) tiene 25 centímetros de arista, y queremos ampliarla a otro hexaedro cuyo volumen sea el doble. ¿Cuánto medirá la arista del nuevo hexaedro? ¿Qué relación existe con la arista del hexaedro inicial? El volumen del hexaedro inicial será: V a3 (52)3 56 cm3. Si queremos que el volumen del hexaedro transformado sea el doble, se cumplirá: V 2V 2 56 (a )3 ⇒ a 3 2 56 52 3 2 cm Y la relación existente con la arista inicial será: a 52 3 2 a 3 2 . La nueva arista será 3 2 veces más larga que la inicial. 2.34 2.33 2.32 2.31 2.30 Naturales (N) Enteros (Z) 4 Racionales (Q) 4; 3 5 ; 1,2525…; 0,16v Reales (R) Todos Aproximaciones, representación y orden en R La relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado se llama número de oro o áureo, y se designa por . Su valor es —1 2 5 — 1,618... ¿Es irracional? ¿Por qué? Calcula una aproximación por defecto con un error menor que una centésima. Sí es irracional, ya que al ser 5 irracional, entonces 1 2 5 también lo es. 1,61 ¿Qué errores, absoluto y relativo, se cometen cuando se aproxima 4,1592 a 4,16? Error absoluto 4,1592 4,16 0,0008 Error relativo 0, 4 0 , 0 1 0 6 8 0,0002 ¿Cuántos números reales existen comprendidos entre 5,187246 y 5,187247? Escribe tres de ellos. Existen infinitos números reales entre ambos, por ejemplo: 5,187 2461; 5,187 2462; 5,187 2463. Calcula la sucesión de intervalos encajados necesaria para aproximar el número 6 1 con un error inferior a una milésima. 2 6 3 2,4 6 2,5 2,44 6 2,45 2,449 6 2,450 Ahora restamos una unidad a cada extremo de cada intervalo, y obtenemos: 1 6 1 2 1,4 6 1 1,5 1,44 6 1 1,45 1,449 6 1 1,450 Por tanto, la sucesión de intervalos buscada es: I0 (1; 2); I1 (1,4; 1,5); I2 (1,44; 1,45); I3 (1,449 ; 1,450) Copia en tu cuaderno y rellena los recuadros vacíos con < o > según sea necesario en cada caso. a) —1 6 — 0,166667 c) 1,333334 —4 3 — b) 1,732051 3 d) 3 5 1,709976 a) 1 6 1,66667 c) 1,333334 4 3 b) 1,732051 3 d) 3 5 1,709976 2.39 2.38 2.37 2.36 2.35 l d Ordena de menor a mayor y representa gráficamente los siguientes números reales. ; 2 5 ; 2 3 ; 2 5 2 0 3 ; 3,15; 0,v67 Necesitamos tener la aproximación decimal de cada uno de los números: 3,14159… 2 5 4,4721… 2 3 0,666… 2 5 2 0 3 4,46 ⇒ 3,15 2 3 0,6v7v 2 5 2 0 3 2 5 Utilizando la aproximación decimal anterior, representamos gráficamente los números: Calcula la distancia existente en la recta real entre los siguientes pares de números. a) 2, 5 c) 3, 4 b) 5, — 1 2 1— d) 3, —4 3 — a) d( 2, 5) 5 ( 2) 5 2 7 b) d 5, 1 2 1 1 2 1 5 1 2 1 1 2 0 1 2 c) d( 3, 4) 4 ( 3) 4 3 1 1 d) d 3, 4 3 4 3 ( 3) 4 3 3 4 3 9 3 1 3 3 Intervalos, semirrectas y entornos Expresa, mediante desigualdades y gráficamente en la recta real, los siguientes intervalos y semirrectas. a) [ 1, ) c) ( , 3) b) ( 2, 0] d) [4, 8] a) [ 1, ) → x 1 → b) [ 2, 0) → 2 x 0 → c) ( , 3) → x 3 → d) [4, 8] → 4 x 8 → Señala si las siguientes igualdades son verdaderas o no. a) E[1, 2] [ 1, 3] c) E( 2, 3) ( 5, 0) b) E(0, 1) [ 1, 1] d) E(4, 2) (3, 5] a) Verdadera b) Verdadera c) Falsa d) Falsa 2.43 2.42 2.41 2.40 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 23 –3,15 –π 223 50 0,67 2 5 –1 –2 –1 0 1 3 3 4 5 6 7 8 Representa en la recta real el intervalo A [ 2, 5] y la semirrecta B (3, ). ¿Existe algún intervalo de puntos común a ambos? En caso afirmativo, hállalo. Sí existe intervalo común a ambos: (3, 5]. Notación científica Escribe en notación científica los números: a) 5182000000000 c) 835000000000000 b) 0,000000000369 d) 0,00000000000351 ¿Cuál tiene el mayor orden de magnitud? ¿Y cuál el menor? a) 5182000000000 5,182 1012 c) 835000000000000 8,35 1014 b) 0,000000000369 3,69 10 10 d) 0,00000000000351 3,51 10 12 Ya que el orden de magnitud nos lo indica el exponente de la potencia en base diez, el número de mayor orden es el c, y el de menor, el d. Realiza las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica. a) 2,85 1010 3,16 108 4,28 109 c) (10,25 105) (20,5 10 7) b) 3,01 10 5 8,24 104 71,5 107 d) (7,35 106) (1,49 103 40,2 104) (9,95 10 3) a) 2,85 1010 3,16 108 4,28 109 2,85 1010 0,0316 1010 0,428 1010 2,4536 1010 b) 3,01 10 5 8,24 104 71,5 107 1773,3716 106 1,7733716 109 c) (10,25 105) (20,5 10 7) 0,5 1012 5 1011 d) (7,35 106) (1,49 103 40,2 104) (9,95 10 3) 2,98055427136 1014 Se realiza primero la suma, luego la multiplicación y finalmente la división. Se concluye expresando el resultado en notación científica. En el año 2003, la distancia entre la Tierra y Marte era de 56 millones de kilómetros (la distancia más corta de los últimos 60 000 años). Calcula cuánto tiempo hubiera tardado en llegar a Marte una nave espacial que hubiese llevado una velocidad de 1,4 104 metros por segundo. v s t ⇒ t v s 1 5 , 6 4 1 1 0 0 6 4 k m m /s 4 106 s tardará la nave en llegar a Marte. Radicales. Potencias de exponente fraccionario Ordena de mayor a menor estos radicales. a) 3, 1 0, 3 2 6 b) 2, 4 5 , 5 1 2 a) 1 0 3 3 2 6 b) 5 1 2 4 5 2 2.48 2.47 2.46 2.45 2.44 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Calcula el valor de las siguientes potencias. a) 25 32 b) 343 23 c) 160,25 d) 270,3333… a) 25 32 125 b) 343 23 49 c) 160,25 2 d) 270,3333 3 Efectúa las siguientes operaciones. a) 8 2 7 e) —1 2 — 4 8 3 4 b) 3 5 12 3 2 00 f) 1 2 3 3 2 6 2 c) 3 4 5 3 92 g) 3 8 d) 4 2 187 1 08 h) 3 6 4 2 a) 8 2 7 6 3 2 16 e) 1 2 4 8 3 4 12 2 5 b) 3 5 12 3 2 00 3 2 6 52 3 2 5 6 2 f) 1 2 3 3 2 6 2 3 2 c) 3 4 5 3 92 15 2 19 76 g) 3 8 4 2 d) 4 2 187 1 08 4 2 3 4 4 2 3 h) 3 6 4 2 4 Radicales semejantes. Racionalización Introduce los factores en el radical y opera. a) 2 5 3 5 0 b) 32 2 4 1 2 c) 3 53 5 1 5 d) 5 1 0 a) 2 5 3 5 0 3 2 3 53 2 52 3 2 4 55 b) 32 2 4 1 2 4 3 8 24 3 22 4 2 6 39 c) 3 53 5 1 5 5 35 515 3 5 5 3 6 510 d) 5 1 0 5 2 2 5 2 53 Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales y opera. a) 2 3 2 160 b) 3 5 4 320 c) 7 4 9 072 d) 2 3 2 16 a) 2 3 2 160 2 3 2 4 33 5 22 3 3 2 5 12 3 1 0 b) 3 5 4 320 3 5 2 5 33 5 22 32 5 2 3 5 180 3 0 c) 7 4 9 072 7 4 2 4 34 7 2 3 7 4 7 42 4 7 d) 2 3 2 16 2 3 2 3 33 22 32 2 3 36 6 Opera y simplifica. a) 2 20 3 45 80 c) — 3 2 7 — — 5 75 — — 4 12 — b) 4 3 1 6 5 3 5 4 2 3 2 50 d) — 2 6 — — 3 2 4 — — 1 5 4 — a) 9 5 b) 13 3 2 c) 2 3 3 d) 5 3 6 6 2.53 2.52 2.51 2.50 2.49 Racionaliza las siguientes expresiones. a) — 4 2 — e) — 1 1 2 2 — i) — 3 5 2 — b) — 3 3 3 — f) — 2 2 2 — j) — 2 1 3 — c) — 3 3 — g) — 1 3 2 1 — k) — 2 2 3 3 — d) — 5 1 0 — h) — 1 2 7 — l) — 3 5 2 — a) 2 2 e) 3 2 2 i) 1 5 5 10 b) 3 9 f) 2 1 j) 2 3 c) 3 g) k) 5 2 6 d) 2 1 0 h) 2 6 14 l) 1 5 5 10 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Di si son verdaderas o falsas estas afirmaciones. a) La raíz de un número negativo no existe. b) Todo número decimal es racional. c) Todos los números irracionales son reales. d) El número 1 3 2 pertenece a N, Z, Q y R. a) Verdadera b) Verdadera c) Verdadera. d) Verdadera En la siguiente cadena de contenidos: N Z Q R Encuentra un número que pertenezca a cada conjunto, pero no a los anteriores. 1 ∈ N; 1 ∈ Z; 1 2 ∈ Q; 2 ∈ R Las longitudes x, y, z, ¿pueden escribirse como cocientes de dos enteros? ¿Por qué? No, ya que x 8 , y 6 y z 5 son números irracionales. El salón rectangular de mi casa tiene 6 y 4 metros de dimensión. ¿Entre qué dos aproximaciones decimales se encuentra su diagonal? Por el teorema de Pitágoras: d 6 2 42 3 6 16 5 2 7,21110…⇒ ⇒ 7,2 d 7,3 2.58 2.57 2.56 2.55 6 3 2 1 2 2.54 2 m x 2 m y 3 m 1 m 2 m z ¿Qué intervalo se puede expresar mediante la desigualdad x 3 2? El intervalo buscado es [1, 5]. ¿Qué números enteros están a la vez en las semirrectas ( , 2] y ( 6, )? 5, 4, 3 y 2 Di si son ciertas o no estas afirmaciones. a) Toda raíz cuadrada no exacta es irracional. b) La suma de un número racional y otro irracional es racional. c) Los radicales 6 2 5 y 3 5 son equivalentes. d) 3 5 8 d) En el intervalo ( 3, 4) no hay números enteros, pero sí racionales. a) Falsa. Puede ser una raíz con resultado decimal periódico. b) Falsa. Si fuese cierta: b a x d c ⇒ x d c b a sería racional, ya que tendría forma de fracción (donde b a es racional y x es irracional). c) Verdadera. Ya que: 6 2 5 6 5 2 2 3 51 2 3 5 d) Falsa. Ya que: a b a b. Si fuese cierta, 1 6 9 2 5 ⇒ 4 3 5. e) Verdadera. En el intervalo citado no hay ninguna unidad entera negativa, pero sí fraccionaria. Explica cómo expresiones tan distintas como 20,5, 2 y 8—16 — son equivalentes. 20,5 2 12 2 2 12 8 16 (23) 16 2 36 2 12 P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Para solar la entrada de una nueva sala de exposiciones se utilizan baldosas de 20 30 centímetros. Si la entrada es un recinto circular de 6 metros de radio, ¿cuántas baldosas se necesitan como mínimo, suponiendo que se puedan aprovechar todos los recortes? Acirculo r2 36 m2 360000 m2 Abaldosa 30 20 600 cm2 360000 600 1884,9 ⇒ El n.º mínimo de baldosas son 1885. En un club de matemáticos tienen una diana de números reales. A cada dardo se le asigna un número real, y se ha de clavar en la franja de la diana correspondiente. Si gana el jugador que realiza el mayor número de aciertos en las franjas adecuadas, ¿cuál de estos dos jugadores habrá ganado? 1.er jugador: 1 acierto ( 9 ∈ Z, 7 ∉ Q) 2.º jugador: 0 aciertos 1 5 ∉ Z Gana el 1.er jugador. La longitud aproximada de una circunferencia de 7 centímetros de radio es de 43,988 centímetros. ¿Cuál y de qué tipo es la aproximación de que se ha utilizado? 43,988 2 r ⇒ 43 1 ,9 4 88 3,142. Luego se ha tomado una aproximación por exceso a la milésima. 2.65 2.64 2.63 2.62 2.61 2.60 2.59 ¿Qué aproximación está más cerca del valor de la hipotenusa del triángulo de la figura, 5,385 ó 5,386 centímetros? ¿Cuánto más cerca? La aproximación 5,385 se encuentra más cerca del valor de la hipotenusa. Está aproximadamente 7 milésimas más cerca que 5,386. Un grupo de alumnos busca la raíz de un número natural y ha averiguado que se encuentra dentro de los siguientes intervalos encajados: [3; 4], [3,8; 3,9], [3,87; 3,88], [3,872; 3,873]. ¿De qué raíz se trata? Elevamos al cuadrado los extremos de los intervalos, y obtenemos: [9; 16], [14,44; 15,21], [14,9769; 15,0544]… Se observa que todos ellos contienen el 15. Por tanto, la solución es 15 3,872983… En una fábrica de latas de refrescos han decidido aproximar el número como — 1 5 5 0 7— . ¿Cuánto se ahorran de área de aluminio y de volumen de líquido por lata si cada una es cilíndrica y tiene 3 centímetros de radio y 11 de altura? Acilindro 2 r2 2 rh 18 66 84 cm2 ⇒ Aaprox 84 3,14 263,76 cm2 Vcilindro r2h 99 cm3 ⇒ Vaprox 99 3,14 310,86 cm3 Aahorrada 84 263,76 0,13 cm3 Vahorrada 99 310,86 0,16 cm3 Un país invierte el 0,17% del PIB en ayuda al desarrollo del Tercer Mundo y las ONG piden cumplir la recomendación de la ONU para erradicar la pobreza, que consiste en dedicar el 0,7%. Si el PIB del país asciende a 2 billones de euros al año, ¿cuánto dinero deja de destinar el país a ayuda al desarrollo según las indicaciones de la ONU? (Realiza todas las operaciones en notación científica.) 2 billones 2 1012 € Dinero invertido 10 1 0 7 00 2 1012 34 108 3,4 109 € Dinero recomendado 10 7 00 2 1012 14 109 1,4 1010 € Dinero no destinado 1,4 1010 3,4 109 10,6 109 1,06 1010 € Calcula el área de la circunferencia inscrita en un hexágono regular de 5 centímetros de lado. Simplifica el resultado. Radio apotema. Por el teorema de Pitágoras: r2 5 4 5 ⇒ r 2 15 cm2 Un profesor escribe en la pizarra la siguiente operación: 5 8 2 3 1 4 1 2 . Después, pide a la mitad de la clase que la desarrolle en forma de radicales, y a la otra mitad, que lo haga en forma de potencia. ¿Qué resultado obtendrá cada una de las partes de la clase? Desarrollando en forma de radicales se obtiene como resultado 30 2 Desarrollando en forma de potencia se obtiene como resultado 2 3 1 0 . 2.71 2.70 2.69 2.68 2.67 2.66 5 2 h 5 Se realiza un sorteo en la clase de Matemáticas de un grupo de 4.º de ESO con una calculadora gráfica como premio. Ganará el alumno que extraiga el número irracional más alto. Los finalistas obtienen — 7 8 3 3 — y — 5 7 3 3 —. ¿Quién ha ganado? Proponemos que: 7 8 3 3 5 7 3 3 , y operamos: 49 56 21 3 40 56 24 3 ⇒ 49 21 3 40 24 3 ⇒ 49 21 3 40 24 3 0 ⇒ 9 3 3 0, que es falso. Por tanto, la hipótesis es la contraria, es decir: 7 8 3 3 5 7 3 3 . El ganador es el que obtuvo el número irracional 7 8 3 3 . Con dos aparatos de medición distintos, se ajusta la longitud de la hipotenusa del triángulo de catetos 2 y 7. Con el aparato A se obtiene — 3 5 6— , y con el B, — 1 2 8 5 2— . ¿Qué aparato tiene mayor precisión y qué errores absolutos se han cometido en cada uno de ellos? Por el teorema de Pitágoras: h 2 2 72 4 49 5 3 7,280109… Aparato A ⇒ 3 5 6 7,2 Aparato B ⇒ 1 2 8 5 2 7,8 El aparato B es más preciso, ya que tiene orden 2 (n.º de cifras que coinciden con el número exacto). EaA 7,2 7,280109… 0,080109… EaB 7,28 7,280109… 0,000109… Un alumno piensa en un número entero. El compañero A solicita como pista para adivinarlo si el número pensado está en el entorno ( 14, 10), y el compañero B, si se encuentra en ( 1, 9). El alumno les contesta que no está en ninguno de esos entornos y que, para encontrarlo, deberían buscar en un entorno que tuviera como centro el punto medio de los centros de los dos entornos citados, y como radio, la suma de los dos radios. ¿Qué entorno les está indicando? ¿Qué posibilidades existen para el número pensado? Compañero A a(centro) 14 2 10 2 ⇒ E( 2,12) ( 14, 10) r(radio) 14 2 10 12 Compañero B a(centro) 1 2 9 4 ⇒ E(4,5) ( 1, 9) r(radio) 1 2 9 5 Centro: Radio RA RB 12 5 17 Por tanto: E(1, 17) ( 16, 18) Si el número pertenece al intervalo ( 16, 18) y no pertenece a los intervalos ( 14, 10) y ( 1, 9), entonces el número entero puede ser: 15, 14, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18. 2.74 2.73 2.72 –2 1 4 R E F U E R Z O Números reales y aproximaciones Calcula los intervalos que se aproximan al número 2 1, con un error menor que una décima, una centésima y una milésima. Error menor que una décima: (2,4; 2,5) Error menor que una centésima: (2,41; 2,42) Error menor que una milésima: (2,414; 2,415) El número irracional 3,1415926… es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Halla las aproximaciones por defecto, exceso y redondeo de hasta la milésima. Para el redondeo, calcula también los errores absoluto y relativo que se cometen. Aproximación por defecto: 3,141 Aproximación por exceso: 3,142 Aproximación por redondeo: 3,142 Error absoluto ⏐3,142 ⏐ 0,000407 Error relativo 0,00 0407 0,000129 Calcula las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo para que la hipotenusa sea un número irracional. Halla los intervalos encajados necesarios para aproximar la hipotenusa con un error inferior a la centésima. Para que la hipotenusa sea un número irracional, debe ser una raíz cuadrada no exacta. Por ejemplo, si los catetos miden 2 y 3 cm, por el teorema de Pitágoras tenemos que: 22 3 x2 ⇒ 4 9 x2 ⇒ x 1 3 cm Finalmente, hallamos los intervalos encajados necesarios para aproximar 1 3 a la centésima: 3 1 3 4 3,6 1 3 3,7 ⇒ Los intervalos buscados son: I0 (3; 4), I1 (3,6; 3,7), I2 (3,60; 3,61) 3,60 1 3 3,61 Notación científica Teniendo en cuenta que la masa del electrón es de 9,11 10 31 kilogramos y que la masa de un elefante africano es, aproximadamente, de 7500 kilogramos, ¿cuántas veces es más pesado el elefante que el electrón? m m e e l l e e f c a tr n ó t n e 9, 7 1 , 1 5 1 1 0 0 3 31 9 7 , , 1 5 1 1034 8,2327113 1033 es más pesado el elefante respecto del electrón. Opera y expresa el resultado en notación científica: 4,75 10 6 (3,56 109 9,87 107 20,46 105) 4,75 10 6 (3,56 109 9,87 107 20,46 105) 1,74 104 2.79 2.78 2.77 2.76 2.75 x 2 3 Representación en intervalos y semirrectas Relaciona mediante flechas las diferentes formas de representar los siguientes intervalos y semirrectas. Dibuja los siguientes entornos en la recta real e indica mediante desigualdades los intervalos que determinan, así como su centro y su radio. a) E(2, 4) b) E[ 1, 3] c) E(3, 1) a) E(2, 4) 2 x 6; centro 2 y radio 4 → b) E[ 1, 3] 4 x 2; centro 1 y radio 3 → c) E(3, 1) 2 x 4; centro 3 y radio 1 → Radicales y operaciones Realiza las siguientes operaciones con radicales. a) 4 5 6 3 c) 3 4 3 3 3 2 b) 3 9 1 2 d) 3 5 0 2 7 2 4 8 2 00 a) 4 5 6 3 12 5 3 32 12 1 125 c) 3 4 3 3 3 2 12 3 b) 3 9 1 2 6 3 2 6 1 2 6 3 d) 3 5 0 2 7 2 4 8 2 00 9 2 Racionaliza las siguientes expresiones. a) — 5 1 5 — b) — 7 4 11 — c) — 2 2 5 — a) 5 1 5 3 1 5 b) 7 4 11 11 7 c) 2 2 5 2 3 10 2.83 2.82 2.81 2.80 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 (0, 4) (3, 6] 0 < x < 4 –1 <– x <– 2 3 < x <– 6 [–1, 2] x > 2 (2, + ) –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 [–1, 2] → –1 ≤ x ≤ 2 → (2, + ∞) → x > 2 → –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 (3, 6] → 3 < x ≤ 6 → –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 (0, 4) → 0 < x < 4 → –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 A M P L I A C I Ó N Redondeando hasta la milésima, el volumen de una esfera es de 14,139 cm3. Averigua su radio. V 4 3 r3 ⇒ r 1,5, con 3,142 Marca en una recta numérica el conjunto de puntos cuya distancia al punto 2 sea: a) Mayor que 2 d) No mayor que 3 b) Menor que 1 e) No menor que 2 c) Igual a 3 f) Mayor que 2 y menor que 5 Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones. a) a2 a 2 b) a —1 a — c) 2a 1 < 3 a) a ∈ ℜ b) a 1 c) 1 a 2 Calcula a, b, c y d en esta igualdad: 1 04 1 46 8 112 2a 3b 5c 7d 2 10 348 54 76 2a 3b 5c 7d ⇒ a 5; b 24; c 2; d 3 La sucesión an 1 — 1 1 ! — — 2 1 ! — … — n 1 ! — se va acercando cada vez más al número irracional e 2,71828… Con qué elemento de la sucesión consigues aproximar hasta la milésima dicho número? Con el elemento a6 2,718055… Calcula la distancia entre 5 25 y 17 13 , con un error menor que una milésima. d(5—25 —, 17—13 —) |17—13 — 5—25 —| | 3 1 7 5 25 | |2,5712815… 1,9036539…| 0,6676276… ⇒ d(5—25 —, 17 13 ) 0,667 Ya que Ea |0,667 0,6676276…| 0,0006276… 0,001 Opera y simplifica. a) 2 x 5 2 5x 3 3 6x 4 9 x b) a) 3 x b) 2 10 2 Halla el valor de a y b para que se cumpla la siguiente igualdad. a 10b Donde a es un número racional entre 1 y 10 redondeado hasta dos cifras decimales. Pasamos a notación científica ambos números, y luego operamos: (2 (9 ,3 ,8 4 7 1 1 0 0 1 1 9 4 ) ) 4 5 a 10b ⇔ 94 0 9 , 0 0 , 1 05 1 0 1 7 0 0 76 949005 106 9,49005 105 106 9,49 1011 a 9,49 y b 11 (98 700 000 000 000 000 000)4 ———— (0,000 000 000 000 023 4) 5 2.91 2 35 2 43 2 56 2 35 2 43 — 2 56 2.90 2.89 2.88 2.87 2.86 2.85 2.84 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 a) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x d) x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 b) x e) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 c) –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x f) x Calcula a y b en la inecuación |x a| < b para que la totalidad de valores de x que la cumplen estén representados por el entorno ( 16, 2). a (centro) 16 2 2 2 14 7 b (radio) 16 2 2 2 18 9 P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Medidas inexactas En el dibujo aparecen las dimensiones de una mesa de pimpón. Para obtener las medidas anteriores, se ha utilizado una regla que solo aprecia hasta el milímetro. a) Indica cuál de las siguientes expresiones puede servir para determinar la verdadera medida del largo a de la mesa. b) c) Si b es el verdadero valor del ancho, escribe entre qué dos valores mínimo y máximo se encuentra el verdadero valor del área de la mesa. a) La B b) ⇒ ⇒ 122,3 66,7 a b 122,5 66,9 c) 8157,41 ≤ Área ≤ 8195,25 Las células robóticas Se va a construir un nuevo robot con forma cilíndrica capaz de realizar numerosas tareas industriales. Para ello se utilizan células con diferentes funciones, pero todas ellas con forma de esfera de 12 10 2 milímetros de diámetro. a) Estima cuántas células harían falta para que, colocadas en fila, se consiguiera alcanzar la altura del robot, que es de 165 centímetros. b) Calcula cuántas células se necesitarían para completar la longitud de la circunferencia que determina la sección del cuerpo del robot, sabiendo que tiene un diámetro de 30 centímetros. c) Evalúa el número de células necesarias para completar el área de la capa más externa de la superficie cilíndrica del robot. d) El peso de cada célula es de 0,02 miligramos. Estima el peso en kilogramos de la capa más externa del robot. Escribe los resultados en notación científica. a) 1,2 1 65 10 3 137 500 1,375 105 células c) 1,375 105 7,854 104 1,08 1010 células b) 2 π r 2 π 15 94,248 d) 1,08 1010 2 10 8 216 kg 1, 9 2 4 ,2 1 4 0 8 3 78 540 7,854 104 células 2.94 122,3 a 122,5 66,7 b 66,9 122,4 0,1 a 122,4 0,1 66,8 0,1 b 66,8 0,1 2.93 2.92 A B C a 122,4 |a 122,4| 0,1 a 122,4 0,1 A U T O E V A L U A C I Ó N Sean los números A 1,7864… y B 2,3879… Calcula A B y A B, con una aproximación hasta la milésima. A B 4,174 A B 0,602 Representa en la recta real el número 1 0. a) ¿Qué tipo de número es? b) ¿Qué teorema has aplicado para la representación? c) Halla la sucesión de intervalos encajados que lo aproximen hasta la milésima. a) Es un número irracional, ya que es una raíz cuadrada no exacta. b) Teorema de Pitágoras: 32 12 1 0 2 3 1 0 4 c) 3,1 1 0 3,2 3,16 1 0 3,17 3,162 1 0 3,163 Por tanto, los intervalos encajados buscados son: I0 (3; 4 ), I1 (3,1; 3,2), I2 (3,16; 3,17), I3 (3,162; 3,163) Un conjunto de números reales x cumple que |x 2| < 3. Describe este conjunto utilizando intervalos y desigualdades, y gráficamente. |x 2| 3 ⇔ x ∈ ( 1, 5) ⇔ 1 x 5 ⇔ Calcula el punto o puntos de la recta real que verifican la siguiente igualdad: d(x, 3) 2. d(x, 3) 2 ⇔ | 3 x| 2 ⇔ Realiza las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica. a) 3,28 105 2,35 107 b) (0,26 10 4) (8,53 109)2 c) (2,5 103) (6,2 102 31,4 104) (10,7 102) a) 3,28 105 2,35 107 2,38 107 b) (0,26 10 4) (8,53 109)2 1,89 1015 c) (2,5 103) (6,2 102 31,4 104) (10,7 102) 8,3829 10 4 Realiza las siguientes operaciones. a) 811,25 b) 8—23 — c) 91,5 d) 125—43 — a) 243 b) 4 c) 27 d) 625 2.A6 2.A5 −3 − x ⇒ x 5 x 3 2 ⇒ x 1 2.A4 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 2.A3 0 1 2 3 4 1 10 2.A2 2.A1 Racionaliza estas expresiones. a) — 4 8 — b) — 3 1 2 — c) — 7 1 3 — a) 2 b) 2 3 c) 7 4 3 Realiza las siguientes operaciones con radicales. a) 3 4 2 d) 3 7 5 2 1 2 3 2 7 b) 3 2 5 3 e) 3 5 0 2 00 8 8 c) 3 2 4 f) — 3 1 0 — — 5 40 — — 2 90 — a) 3 4 2 4 1 8 d) 3 7 5 2 1 2 3 2 7 20 3 b) 3 2 5 3 15 25 3 3 e) 3 5 0 2 00 8 8 9 2 c) 3 2 4 3 4 f) 3 1 0 5 4 0 2 9 0 7 60 10 Ordena de mayor a menor y representa gráficamente los siguientes números reales. 0,3v; 2 3 ; 2 3 0,3v 2 3 2 3 M A T E T I E M P O S ¿La calculadora se equivoca? Fíjate en esta operación: 123 987 4562 (123 987 455 123 987 457). Comprueba que si utilizas tu calculadora para resolverla directamente obtienes una solución, y si la simplificas previamente consigues otra distinta. ¿Por qué ocurre esto? En una calculadora convencional no podremos introducir cifras tan grandes; por tanto, tendremos que redondear, o redondeará la propia calculadora según el modelo, y de este redondeo vendrán los errores. Para resolverlo se tiene que tener en cuenta que si: 123 987 456 a 123 987 455 a 1 123 987 457 a 1 Haciendo operaciones algebraicas: A a2 (a 1)(a 1) a2 (a2 1) a2 a2 1 1 Luego A 1, independientemente del valor de a. 1 NÚMEROS REALES E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Indica, sin realizar la división, el tipo de expresión decimal de estos números. a) — 1 6 1— b) — 1 3 9 3 — c) —2 1 7 4 — d) — 7 5 7 0 — a) 1 6 1 → Periódico mixto c) 2 1 7 4 → Periódico mixto b) 1 3 9 3 → Periódico puro d) 7 5 7 0 → Decimal exacto Señala cuáles de los siguientes números decimales no son periódicos. a) 1,7 17 117 1117… c) 5 2,2360679774… b) 3,012351235123… d) 8,163264128256… a) No es periódico. c) No es periódico. b) Sí es periódico. d) No es periódico. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. a) 0,1234567891011… c) 8,023023023… b) 6 2,4494897427… d) 3 8 2 a) Irracional c) Racional b) Irracional d) Racional El laboratorio de ciencias es una clase rectangular de 8 metros de largo por 7 de ancho. Indica alguna medida en la clase que no pueda expresarse mediante números racionales. La diagonal del rectángulo: d 7 2 82 1 13 m Dado el número 53,2647, escribe: a) Las mejores aproximaciones por defecto y por exceso, y los redondeos con una, dos y tres cifras decimales. b) Los errores absolutos y relativos asociados a los redondeos. a) Con una cifra decimal: Con tres cifras decimales: Con dos cifras decimales: Exceso → 53,27 Defecto → 53,26 Redondeo → 53,26 Exceso → 53,265 Defecto → 53,264 Redondeo → 53,265 Exceso → 53,3 Defecto → 53,2 Redondeo → 53,3 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 b) E. abs. asociado a 53,3: 53,3 53,2647 0,0353 E. rel. asociado a 53,3: 5 0 3 ,0 ,2 3 6 5 4 3 7 0,0007 E. abs. asociado a 53,26: 53,26 53,2647 0,0047 E. rel. asociado a 53,26: 5 0 3 ,0 ,2 0 6 4 4 7 7 8,8238 10–5 E. abs. asociado a 53,265: 53,265 53,2647 0,0003 E. rel. asociado a 53,265: 5 0 3 ,0 ,2 0 6 0 4 3 7 5,6322 10–6 Una buena aproximación al número es la fracción — 2 7 2—. Si una fuente circular mide 12 metros de radio, ¿qué errores absoluto y relativo cometemos al medir su circunferencia tomando esta aproximación de ? L 2 r 2 3,1415 12 75,396 m Si aproximamos por 2 7 2 , tenemos que L = 75,4272 m. Error absoluto: 75,3960 75,4272 0,0312 Error relativo: 7 0 5 ,0 ,3 3 9 1 6 2 0 0,0004138 Representa en la recta real estos números. a) 5, —2 3 —, —4 7 — y — 1 4 1— b) 3, 1 0, 1 3 y 2 a) b) 2 = 6,283 6 6,2 6,3 7 6,2 6,28 6,29 6,3 6,28 6,283 6,284 6,29 0 1 2 3 4 1 1 1 2 3 10 13 –5 –4 –3 –2 –1 –2 0 1 2 3 3 47 11 4 1.7 1.6 Realiza las siguientes operaciones en donde aparecen valores absolutos. a) 4 (–4) b) 7 2 3 a) 4 ( 4) = 4 4 = 0 b) 7 2 3 7 2 3 14 3 11 Expresa de otras dos formas estos intervalos, e identifica cuáles son entornos. a) (3, 9] b) 2 x 9 c) [ 7, 4] a) (3, 9] → 3 x 9 → No es un entorno. b) 2 x 9 → ( 2, 9) → Es un entorno abierto. c) [ 7, 4] → 7 x 4 → Es un entorno cerrado. Calcula el radio y el centro de estos entornos. a) ( 5, 5) c) x 1 6 b) [ 1, 7] d) x 1 3 Sea a centro y r radio. a) ( 5, 5): a 5 2 5 0 r 5 2 ( 5) 1 2 0 5 b) ( 1, 7): a 1 2 7 6 2 3 r 7 2 ( 1) 8 2 4 c) x 1 6: a 1 r 6 d) x 1 3: a 1 r 3 Realiza estas operaciones expresando el resultado como una única potencia. a) 33 3 2 3 d) —1 5 — 3 —1 5 — 0 —1 5 — 2 b) —2 3 — 2 —2 3 — 3 e) — 1 2 — 1 1 2 2 c) 35 3 3 3 2 f) (42 )2 4 1 4 43 a) 33 3 2 3 32 d) 1 5 3 1 5 0 1 5 2 1 5 5 b) 2 3 2 2 3 3 2 3 1 3 2 e) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 c) 35 3 3 3 2 34 f) (42)2 4 1 4 43 4 5 1.11 1.10 –7 –4 –2 9 3 9 1.9 1.8 Expresa en notación científica estas cantidades. a) Longitud de un paramecio: 0,000025 metros b) Edad del universo: 15 000 millones de años a) 2,5 10 5 b) 1,5 1010 Calcula: a) 3,62 1012 2,4 1012 c) (4,35 108) (2,1 107) b) 2,45 108 6,12 107 d) (4,6 1017) : (8 1012) a) 3,62 1012 2,4 1012 1,22 1012 b) 2,45 108 6,12 107 24,5 107 6,12 107 30,62 107 c) (4,35 108) (2,1 107) 9,135 1015 d) (4,6 1017) : (8 1012) 0,575 105 5,75 104 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales. a) 3 , 5 2 , 10 5 b) 3, 2 , 3 5 , 6 3 a) 3 , 5 2 , 10 5 → Reducimos a índice común los radicales: 10 35, 10 2 2, 10 5 Ordenamos de menor a mayor: 10 2 2 10 5 10 3 5 ⇒ 5 2 10 5 3 b) 3, 2 , 3 5 , 6 3 → Reducimos a índice común los radicales: 6 3 6, 6 2 3, 6 5 2, 6 3 Ordenamos de menor a mayor: 6 3 6 2 3 6 5 2 6 3 6 ⇒ 6 3 2 3 5 3 Indica cuántas raíces tienen los siguientes números y calcúlalas cuando sea posible. a) 0 ,49 c) 4 b) 3 2 16 d) 3 125 a) 0 ,49 Tiene dos raíces reales: 0,7 y 0,7. c) 4 No tiene raíces reales. b) 3 2 16 Tiene una raíz real: 6. d) 3 125 Tiene una raíz real: 5. De los siguientes pares de potencias, ¿cuáles son equivalentes? a) 21 15 , 21 1 2 0 c) 7 24 , 7 13 50 b) 13 58 , 13 67 d) 10 23 , 100,666... a) 21 15 , 21 1 2 0 → Sí son equivalentes. c) 7 24 , 7 13 50 → Sí son equivalentes. b) 13 58 , 13 67 → No son equivalentes. d) 10 23 , 100,666... → Sí son equivalentes. 1.16 1.15 1.14 1.13 1.12 Expresa los siguientes radicales como potencias y, si es posible, simplifícalas. a) 3 6 4 c) 4 4 9 b) 2 7 d) 6 4 096 a) 3 6 4 3 2 6 2 63 22 4 c) 4 4 9 4 7 2 7 24 7 12 b) 2 7 3 3 3 32 d) 6 4 096 6 212 2 1 6 2 22 Escribe tres potencias equivalentes a: a) 3 12 b) 7 15 a) 3 12 → 3 24 , 3 36 , 3 1 5 0 b) 7 15 → 7 1 2 0 , 7 1 3 5 , 49 1 1 0 Expresa como radicales estas potencias. a) 16 23 c) 81 35 b) 125 24 d) 100 52 a) 16 23 3 1 62 3 2 8 c) 81 35 5 8 13 5 3 12 b) 125 24 4 1 252 4 5 6 d) 100 52 1 005 Los lados de tres cuadrados miden, respectivamente, 5 14 , 5 16 y 5 23 metros. Ordénalos de menor a mayor según sus correspondientes áreas. Reduciendo los exponentes de las potencias a común denominador: 5 1 3 2 , 5 1 2 2 , 5 1 8 2 . Entonces: 5 1 2 2 5 1 3 2 5 1 8 2 → 5 16 5 14 5 23 Haz las siguientes operaciones. a) 6 8 3 c) 3 3 5 2 b) 4 8 : 4 2 d) 3 1 0 : 5 a) 6 8 3 1 44 12 c) 3 3 5 2 15 3 5 23 15 1 944 b) 4 8 : 4 2 4 4 2 d) 3 1 0 : 5 6 1 02 : 53 6 0 ,8 1.21 1.20 1.19 1.18 1.17 Realiza las operaciones siguientes. a) 10 4 5 9 : 3 c) 3 4 5 b) 3 2 2 2 d) 3 3 2 7 2 a) 10 4 5 9 : 3 10 4 92 : 35 10 4 3 c) 3 4 5 12 5 b) 3 2 2 2 3 2 4 2 3 2 d) 3 3 2 7 2 9 3 3 2 9 3 6 3 3 2 Simplifica extrayendo factores. a) 1 80 c) 3 7 2 b) 4 1 62 d) 3 2 4000 a) 1 80 2 2 32 5 2 3 5 6 5 c) 3 7 2 3 2 3 32 2 3 3 2 b) 4 1 62 4 2 34 3 4 2 d) 3 2 4 000 3 2 6 3 53 22 5 3 3 20 3 3 Introduce los factores enteros en los radicales. a) 2 5 c) 10 3 2 b) 11 7 d) 5 4 2 a) 2 5 2 2 5 2 0 c) 10 3 2 3 1 03 2 3 2 000 b) 11 7 1 12 7 8 47 d) 5 4 2 4 5 4 2 4 1 250 Opera y simplifica. a) 3 1 6 3 3 1 8 3 5 0 b) 2 0 6 4 5 8 0 c) 4 3 2 4 1 62 3 4 4 8 a) 3 1 6 3 3 1 8 3 5 0 3 2 3 2 3 3 3 2 2 3 5 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 5 2 2 b) 2 0 6 4 5 8 0 2 2 5 6 3 2 5 2 4 5 2 5 18 5 4 5 12 5 c) 4 3 2 4 1 62 3 4 4 8 4 2 5 4 2 34 3 4 2 4 3 2 4 2 3 4 2 6 4 3 5 4 2 6 4 3 1.25 1.24 1.23 1.22 Racionaliza las siguientes expresiones. a) 1 5 c) 4 1 7 2 b) 3 1 1 2 d) 4 2 1 00 a) 1 5 5 5 b) 3 1 1 2 3 1 1 2 22 3 2 1 4 2 . 32 3 6 1 8 c) 4 1 7 2 4 7 7 2 23 4 2 7 9 2 36 4 7 3 2 4 18 4 6 1 8 d) 4 2 1 00 4 2 2 0 0 0 03 4 2 2 9 00 56 4 2 5 0 0 4 50 4 1 5 0 0 Racionaliza y simplifica. a) 5 1 2 b) 3 3 5 c) 1 1 2 a) 5 1 2 5 5 2 2 5 3 2 b) 3 3 5 9 3 5 15 3 2 15 c) 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 Calcula los siguientes logaritmos. a) En base 2 de 4, 16, 64, 256, 1 2 , 1 4 b) En base 3 de 27, 9, 3, 1, 1 3 , 1 9 a) log2 4 2 log2 1 2 1 log2 16 4 log2 1 4 2 log2 64 6 log2 256 8 b) log3 27 3 log3 1 3 1 log3 9 2 log3 1 9 2 log3 3 1 log3 1 0 1.28 1.27 1.26 Usando la definición de logaritmo, halla x. a) logx 36 2 b) 2 logx — 2 1 5 — c) —1 3 — log27 x a) logx 36 2 ⇒ x 2 36 ⇒ x 2 62 ⇒ x 6 b) 2 logx 2 1 5 ⇒ x 2 2 1 5 ⇒ x 2 5 2 ⇒ x 5 c) 1 3 log27 x ⇒ 27 13 x ⇒ x 3 1 2 7 1 3 Sin calculadora, halla la primera cifra de los logaritmos decimales de 5100; 823; 50; 0,32; 12 315; 3; 0,0023; 7 y 0,000 03. log 5100 3,... log 3 no existe. log 823 2,... log 0,0023 2,... log 50 1,... log 7 0,8,... log 0,32 0,4,... log 0,000 03 4,.... log 12 315 4,... Sabiendo que log 5 0,7, calcula: a) log 0,125 c) log 500 b) log 2 d) log 3 2 5 a) log 0,125 log 1 1 0 2 0 5 0 log 10 5 0 3 0 3 log 5 log 1000 3 0,7 3 2,1 3 0,9 b) log 2 log 1 5 0 log10 log 5 1 0,7 0,3 c) log 500 log (5 100) log 5 log 100 0,7 2 2,7 d) log 3 2 5 log 5 23 2 3 log 5 2 3 0,7 1 3 ,4 0,46v Mediante un cambio de base y la calculadora, halla: a) log320 d) log0,1 2 b) log5 15 e) log4 11 c) log0,5 10 f) log7 60 a) log3 20 lo lo g g 2 3 0 2,7268 d) log0,1 2 lo lo g g 0 2 ,1 0,3010 b) log5 15 lo lo g g 1 5 5 1,6826 e) log4 11 lo lo g g 1 4 1 1,7297 c) log0,5 10 l l o o g g 0 1 , 0 5 3,3219 f) log7 60 lo lo g g 6 7 0 2,1041 1.32 1.31 1.30 1.29 Toma logaritmos en estas expresiones. a) A 10 0b d c3 b) B 1 x 0 2 3 y z a) A 10 0b d c 3 ⇒ log A log 100bc 3 log d log 100 log b 3log c 1 2 log d b) B 1 x 0 2 3 y z ⇒ log B log x2y log 10 3 z 2 log x log y log 10 1 3 log z Toma antilogaritmos en estas expresiones. a) log A 3 log b log c 2 b) log B 4 log x log y —log 3 z— Tomando antilogaritmos se tiene que: a) A b 1 3 0 0 c b) B y x 4 3 z R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Demuestra la igualdad siguiente, siendo n cualquier número natural. 1 2 4 8 ... 2n 2n 1 1 Para n 1 es cierta. Veamos que si se cumple para un valor n, también se cumple para el siguiente, n 1. Deberíamos obtener 2n 2 1. 1 2 4 8 ... 2n 2n 1 (1 2 4 8 ... 2n) 2n 1 (2n 1 1) 2n 1 2 2n 1 1 2n 2 1, 2n 1 1 como queríamos demostrar. 1.35 1.34 1.33 Demuestra la igualdad siguiente, siendo n cualquier número natural. —1 1 2 — — 2 1 3 — ... — (n 1 1) n — — n n 1— Para n 2 es cierta. Suponemos que es cierta para n 1 y comprobamos que lo es para n 2. Deberíamos obtener n n 1 2 . 1 1 2 2 1 3 ... n (n 1 1) (n 1) 1 (n 2) n n 1 n n 1 (n 1) 1 (n 2) (n n (n 1) (n 2 ) 2) (n 1) 1 (n 2) (n n2 1) 2 ( n n 1 2) (n (n 1 ) ( 1 n ) 2 2) n n 1 2 Por tanto, la igualdad es cierta. A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Números reales y aproximaciones Indica qué tipo de expresión decimal tienen los siguientes números. a) — 2 7 0 — c) — 1 1 1 8 — b) — 1 8 1 — d) — 1 3 3 5 — a) 2 7 0 0,35 → Decimal exacto b) 1 8 1 0,v72 → Decimal periódico puro c) 1 1 1 8 0,61 → Decimal periódico mixto d) 1 3 3 5 0,3w714285 → Decimal periódico mixto 1.37 1.36 Copia y completa la tabla escribiendo estos números en todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer. —3 5 —; 2 ;1,2525...; 2,010010001...; 4;0,16v La relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado se llama número de oro o áureo, y se designa por . Su valor es = — 1 2 5 — = 1,618… ¿Es irracional? ¿Por qué? Calcula una aproximación por defecto con un error menor que una centésima. Sí es irracional, ya que al ser 5 irracional, entonces 1 2 5 también lo es. = 1,61 ¿Qué errores absoluto y relativo se cometen cuando se aproxima 4,1592 por 4,16? Error absoluto 4,1592 4,16 0,0008 Error relativo 0, 4 0 , 0 1 0 6 8 0,0002 ¿Cuántos números reales existen comprendidos entre 5,187 246 y 5,187 247? Escribe tres de ellos. Existen infinitos números reales entre ambos, por ejemplo: 5,187 246 1; 5,187 246 2; 5,187 246 3. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales. a) 5,372 727 272… c) 3,545 445 444 5… b) 0,127 202 002 000… d) 8,666 126 712 67… a) Racional c) Irracional b) Irracional d) Racional 1.42 1.41 1.40 l d 1.39 1.38 Naturales (N) Enteros (Z) Racionales (Q) Reales (R) Naturales (N) Enteros (Z) 4 Racionales (Q) 4; 3 5 ; 1,2525…; 0,16v Reales (R) Todos Rellena los recuadros vacíos con o según sea necesario en cada caso. a) —1 6 — 0,166 667 c) 1,333 334 —4 3 — b) 1,732 051 3 d) 3 5 1,709 976 a) 1 6 0,166 667 c) 1,333 334 4 3 b) 1,732 051 3 d) 3 5 1,709 976 Ordena de menor a mayor y representa gráficamente los siguientes números reales. ; 2 5 ; —2 3 —; — 2 5 2 0 3— ; 3,15; 0,v67 Necesitamos tener la aproximación decimal de cada uno de los números: 3,14159... 2 5 4,4721... 2 3 0,666... 2 5 2 0 3 4,46 ⇒ 3,15 2 3 0,67 v 2 5 2 0 3 2 5 Utilizando la aproximación decimal anterior, representamos gráficamente los números: Realiza las siguientes operaciones. a) 7 2 c) 9 2 5 b) 5 8 d) 9 5 3 4 : 2 a) 7 2 5 c) 9 2 5 19 b) 5 8 3 d) 9 5 3 4 : 2 16 Intervalos, semirrectas y entornos Expresa mediante desigualdades y también gráficamente en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas. a) [ 1, ) c)( , 3) b) ( 2, 0] d) [4, 8] a) [ 1, ) → x 1 → b) ( 2, 0] → 2 x 0 → c) ( , 3) → x 3 → d) [4, 8] → 4 x 8 → 3 4 5 6 7 8 3 –2 –1 0 1 –1 1.46 1.45 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 23 –3,15 –π 223 50 0,67 2 5 1.44 1.43 Señala si las siguientes igualdades son verdaderas o no. a) E [1, 2] [ 1, 3] c) E ( 2, 3) ( 5, 0) b) E (0, 1) [ 1, 1] d) E (4, 2) (3, 5] a) Verdadera c) Falsa b) Falsa d)Falsa Representa en la recta real el intervalo A [ 2, 5] y la semirrecta B (3, ). ¿Existe algún intervalo de puntos común a ambos? En caso afirmativo, hállalo. Sí existe intervalo común a ambos: (3, 5]. Potencias de exponente entero. Notación científica Escribe los siguientes números como potencias cuya base sea un número primo. a) 8, 125, 243, 1024, 2401 b) — 6 1 25 —, — 3 1 43 —, — 2 1 56 —, — 8 1 1 —, — 3 1 2 — a) 8 23 ; 125 53 ; 243 35 ; 1024 210 ; 2401 74 b) 6 1 25 5 4 ; 3 1 43 7 3 ; 2 1 56 2 8 ; 8 1 1 3 4 ; 3 1 2 2 5 Haz estas operaciones con potencias. a) 4 3 42 : (4) 1 b) —3 4 — 3 —9 8 — 2 c) 5 3 —1 5 — 2 2 a) 4 3 42 : (4) 1 1 b) 3 4 3 9 8 2 3 c) 5 3 1 5 2 2 5 Escribe en notación científica los números: a) 5 182 000 000 000 c) 835 000 000 000 000 b) 0,000 000 000 369 d) 0,000 000 000 003 51 ¿Cuál tiene un orden de magnitud superior? a) 5,182 1012 c) 8,35 1014 b) 3,69 10 10 d) 3,51 10 12 Tiene mayor orden de magnitud el c. 1.51 1.50 1.49 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 1.48 1.47 Radicales. Potencias de exponente fraccionario Ordena de mayor a menor estos radicales. a) 3, 1 0, 3 2 6 b) 2, 4 5 , 5 1 2 a) 1 0 3 3 2 6 b) 5 1 2 4 5 2 Calcula el valor de las siguientes potencias. a) 25 32 c) 160,25 b) 343 23 d) 270,3333... a) 25 32 125 c) 160,25 2 b) 343 23 49 d) 270,3333... 3 Efectúa las siguientes operaciones. a) 8 2 7 e) 1 2 4 8 : 3 4 b) 3 5 12 3 2 00 f) 1 2 : 3 3 2 6 2 c) 3 4 5 3 92 g) 3 8 d) 4 2 187 : 1 08 h) 3 6 4 2 a) 8 2 7 6 3 2 16 e) 1 2 4 8 : 3 4 12 2 5 b) 3 5 12 : 3 2 00 3 2 6 : 52 3 2 5 6 2 f) 1 2 : 3 3 2 6 2 3 2 c) 3 4 5 3 92 15 2 19 76 g) 3 8 4 2 d) 4 2 187 : 1 08 4 2 3 4 4 2 3 h) 3 6 4 2 4 Radicales semejantes. Racionalización Opera y simplifica. a) 2 2 0 3 4 5 8 0 c) 2 7 2 3 2 1 80 b) 4 3 1 6 5 3 5 4 2 3 2 50 d) 3 3 8 1 3 2 4 5 3 3 75 a) 9 5 c) 3 3 8 2 6 5 b) 13 3 2 d) 14 3 3 1.55 1.54 1.53 1.52 Racionaliza las siguientes expresiones. a) 4 2 c) 4 1 8 e) 1 1 2 2 b) 3 3 3 d) 3 2 7 f) 2 2 3 a) 2 2 c) 4 2 2 e) 3 2 2 b) 3 9 d) 3 2 7 f) 2 6 Logaritmo de un número. Propiedades Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 32 log3 729 log10 1 000 000 b) log2 — 1 1 6 — log3 — 8 1 1 — log10 — 10 1 00 — c) log2 8 log3 3 2 43 log10 5 1 00 d) log 12 32 log 13 — 2 1 7 — log 1 1 0 3 1 00 00 0 a) log2 32 5 log3 729 6 log10 1 000 000 6 b) log2 1 1 6 4 log3 8 1 1 4 log10 10 1 00 3 c) log2 8 3 2 log3 3 2 43 5 3 log10 5 1 00 2 5 d) log 12 32 5 log 13 2 1 7 3 log 1 1 0 3 100 000 3 5 Encuentra el valor de x. a) logx 125 3 c) logx — 1 1 6 — 8 b) 3 logx2 d) —1 3 — log27 x a) x 5 c) x 2 b) x 3 1 2 d) x 1 3 1.58 1.57 1.56 Si log 8 = 0,9031, halla: a) log 800 c) log 0,64 e) log 5 b) log 2 d) log 40 f) log 5 8 a) log 800 log 8 log 100 0,9031 2 2,9031 b) log 8 log 23 3log 2 ⇒ log 2 1 3 log 8 0,301 c) log 0,64 log 1 6 0 4 0 log 64 log 100 2 log 8 2 0,1938 d) log 40 log (10 4) log 10 log 4 1 2 log 2 1,602 e) log 40 log (8 5) log 8 log 5 ⇒ log 5 log 40 log 8 0,6989 f) log 5 8 1 5 log 8 0,1806 Utilizando las propiedades de los logaritmos y siendo log x = 0,70 y log y = 1,18, calcula: a) log (x 2 y) b)log x y 3 2 c) log x 3 y 2 a) log (x 2 y) 2log x log y 2,58 b) log x y 3 2 3 log x 2 log y 0,26 c) log ( x 3 y 2) 1 2 log x 2 3 log y 1,137 Aplicando un cambio de base y usando la calculadora, halla los siguientes logaritmos. a) log2 14 c) log 12 12 b) log3 32 d) log5 10 a) log2 14 lo lo g g 1 2 4 3,8073 c) log 12 12 3,5850 b) log3 32 = lo lo g g 3 3 2 = 3,1546 d) log5 10 = lo lo g g 1 5 0 = 1,4307 Transforma estas expresiones algebraicas en logarítmicas. a) A = — x 2 y t 4 3 z 5 — c) C = 1 x 0 y t3 z2 b) B = 100 t x 2 3y d) D = x 3 y 2 z —34 — t—25 — a) log A 2 log x 3 log y 5 log z 4 log t c) log C 1 2 log x log y 2 log z 3 log t 1 b) log B 2 3 log x log y 2 log t d) log D 1 2 log x 2 3 log y 3 4 log z 2 5 log t 1.62 log 12 log 1 2 1.61 1.60 1.59 Tomando antilogaritmos, convierte en algebraicas las siguientes expresiones. a) log A 3 log x 2 log y 5 log z b) log B —3 2 — log x log y —2 3 — log z 2 a) A x 3 z 5 y 2 b) B 3 z2 x3 10 y 0 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Di si son verdaderas o falsas estas afirmaciones. a) La raíz de un número negativo no existe. b) Todo número decimal es racional. c) Una fracción irreducible de denominador 63 es periódica mixta. d) El número 1 3 2 pertenece a N, Z, Q y R. e) 1 pertenece al intervalo 2 5, 3 8 . f) b a = 3,414 114 111... a) Verdadera c) Falsa e) Falsa b) Verdadera d) Verdadera f) Verdadera En la siguiente cadena de contenidos: N Z Q R Encuentra un número que pertenezca a cada conjunto, pero no a los anteriores. 1 N; 1 Z; 1 2 Q; 2 R Las longitudes x, y, z, ¿pueden ponerse como cociente de dos enteros? ¿Por qué? No, ya que x 8 , y 6 y z 5 son números irracionales. El salón de mi casa mide 4,86 metros de largo. Redondea este valor a metros y a decímetros. 4,86 m → Redondeo a metros 5 m 4,86 m → Redondeo a decímetros 49 dm ¿Qué intervalo se puede expresar mediante la desigualdad x 3 2? El intervalo buscado es [1,5]. 1.68 1.67 2 m x 2 m y 3 m 1 m 2 m z 1.66 1.65 1.64 1.63 ¿Qué números enteros están a la vez en las semirrectas ( , 2] y ( 6, )? 5, 4, 3 y 2 Copia en tu cuaderno y completa los huecos utilizando la definición de logaritmo mentalmente. a) log2 8 b) log3 4 c) log 125 3 a)3 b)81 c) 5 Di si son ciertas o no estas afirmaciones. a) Entre dos números reales siempre hay otro. b) El logaritmo de un número nunca es negativo. c) El logaritmo de un número negativo no existe. d) En el intervalo ( 4, 3) no hay números enteros, pero sí racionales. e) x x para ciertos valores de x. a) Verdadera b) Falsa c) Verdadera d) Verdadera e) Verdadera Explica cómo expresiones tan aparentemente distintas como 2 0.5, 2 y 8 —16 — son equivalentes. 8 —16 — (23)—16 — 2 —12 — 2 0,5 2 P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Para solar la entrada de una nueva sala de exposiciones se utilizan baldosas de 20 30 centímetros. Si la entrada es un recinto circular de 6 metros de radio, ¿cuántas baldosas se necesitan, como mínimo, suponiendo que se puedan aprovechar todos los recortes? Acírculo r 2 36 m2 360 000 cm2 Abaldosa 30 20 600 cm2 360 000 : 600 1884,9 ⇒ El n.º mínimo de baldosas son 1885. En un club matemático tienen una diana de números reales. A cada dardo se le asigna un número real y se ha de clavar en la franja de la diana correspondiente. Si gana el jugador que realiza el mayor número de aciertos en las franjas adecuadas, ¿cuál de estos dos jugadores habrá ganado? 1.er jugador: 1 acierto ( 9 Z, 7 Q); 2.º jugador: 0 aciertos 1 5 Z ⇒ Gana el 1.er jugador. 1.74 1.73 1.72 1.71 1.70 1.69 La longitud aproximada de una circunferencia de radio 7 centímetros es de 43,988 centímetros. ¿Cuál y de qué tipo es la aproximación de que se ha utilizado? 43,988 2 r ⇒ 43 1 ,9 4 88 3,142 Luego se ha tomado una aproximación por exceso a la milésima. ¿Qué aproximación está más cerca del valor de la hipotenusa del triángulo de la figura, 5,385 ó 5,386 centímetros? ¿Cuánto más cerca? La aproximación 5,385 se encuentra más cerca del valor de la hipotenusa. Está aproximadamente 7 milésimas más cerca que 5,386. Si entre cada dos números reales existen otros, encuentra entre — 6 2 6 5 — y — 5 2 3 0 — tres números irracionales del tipo a , a Q . 6 2 6 5 2,64 ⇒ x 1 8 0 4 0 1 0 ; y 4 5 2 0 1 0 ; z 1 8 0 4 0 3 0 5 2 3 0 2,65 En una fábrica de latas de refrescos han decidido aproximar el número como 1 5 5 0 7 . ¿ Cuánto se ahorran de área de aluminio y de volumen de líquido por lata si son cilíndricas de 3 centímetros de radio y 11 de altura? 1 5 5 0 7 3,14 Acilindro 2 r 2 2 rh 18 66 84 cm2 ⇒ Aaprox 84 3,14 263,76 cm2 Vcilindro r 2h 99 cm3 ⇒ Vaprox 99 3,14 310,86 cm3 Aahorrada 84 263,76 0,13 cm3 Vahorrado 99 310,86 0,16 cm3 Un país invierte el 0,17% del PIB en ayuda al desarrollo del Tercer Mundo y las ONG piden cumplir la recomendación de la ONU para erradicar la pobreza, que consiste en dedicar el 0,7%. Si el PIB del país es de 2 billones de euros al año, ¿cuánto dinero deja de destinar el país a ayuda al desarrollo según las indicaciones de la ONU? (Realiza las operaciones en notación científica.) 2 billones 2 10 12 € Dinero invertido 10 1 0 7 00 2 1012 34 108 € 3,4 109 € Dinero recomendado 10 7 00 2 1012 14 109 € 1,4 1010 € Dinero no destinado 1,4 1010 3,4 109 10,6 109 € 1,06 1010 € 1.79 1.78 1.77 5 2 h 1.76 1.75 Un profesor escribe en la pizarra la siguiente operación: 5 8 2 3 1 4 1 2 . Y pide a la mitad de la clase que la desarrollen en forma de radicales, y a la otra mitad, que lo hagan en forma de potencia. ¿Qué resultado obtendrá cada una de las partes de la clase? Desarrollando en forma de radicales se obtiene como resultado 30 2 Desarrollando en forma de potencia se obtiene como resultado 2 — 3 1 0 — Calcula el área de la circunferencia inscrita en un hexágono regular de 5 centímetros de lado. Radio = Apotema. Por el Teorema de Pitágoras: r2 5 4 5 ⇒ r 2 1 5 cm2 Una cafetería incrementa cada año el precio de un café en un 4% (sea cual sea el IPC). Si actualmente cuesta 1,10 euros, ¿podrías encontrar la fórmula que relaciona el precio del café con los años transcurridos? ¿Cuánto costará el café dentro de 5 años? Sea x el precio del café. Subir cada año un 4% su precio se traduce en: x x 1 4 00 x 1 1 4 00 x 1,04 Así, la fórmula pedida será 1,1 1,04n donde n = número de años transcurridos. Aplicando dicha fórmula, dentro de 5 años el precio del café será 1,1 1,04 5 1,34 En un terremoto aparecen dos tipos de ondas sísmicas: las P, longitudinales y de velocidad de propagación rápida, y las ondas S, transversales y de velocidad menor. En la escala de Richter, la magnitud de un terremoto se calcula como: M = log A 3 log (8t) 2,92 Donde A es la amplitud en milímetros de las ondas S (medidas en el sismógrafo), y t, el tiempo transcurrido, en segundos, entre la aparición de las ondas P y las S. a) Copia y completa la tabla, calculando las características para tres sismos diferentes. b) Calcula la relación entre las amplitudes de dos terremotos de magnitudes 6 y 9. (Suponemos el mismo valor para t.) a) b) log A 9 3 log (8t) 2,92 log A’ 6 3 log (8t) 2,92 Restando esas dos expresiones se obtiene: log A log A’ 3 ⇒ log A A ’ 3 ⇒ A A ’ 103 1.83 1.82 5 1.81 1.80 t (s) A (mm) M 1 8 15 2 15 4 3 45 7 t (s) A (mm) M 1 8 15 3,67 2 15 4,81 4 3 71,2 45 7 R E F U E R Z O Números reales y aproximaciones Calcula los intervalos que aproximan al número 2 1 con un error menor que una décima, una centésima y una milésima. Error menor que una décima: (2,4;2,5) Error menor que una centésima: (2,41;2,42) Error menor que una milésima: (2,414;2,415) El número irracional = 3,141 592 6… es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Halla las aproximaciones por defecto, exceso y redondeo de a la milésima. Para el redondeo, calcula también los errores absoluto y relativo que se cometen. Aproximación por defecto: 3,141 Aproximación por exceso: 3,142 Aproximación por redondeo: 3,142 Error Absoluto 3,142 0,000 407... Error Relativo 0,00 0 407 0,000 129... Representación en intervalos y semirrectas Relaciona en tu cuaderno las diferentes formas de representar los siguientes intervalos y semirrectas. –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 [–1, 2] → –1 ≤ x ≤ 2 → (2, + ∞) → x > 2 → –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 (3, 6] → 3 < x ≤ 6 → –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 (0, 4) → 0 < x < 4 → –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 (0, 4) (3, 6] 0 < x < 4 –1 <– x <– 2 3 < x <– 6 [–1, 2] x > 2 (2, + ) 1.86 1.85 1.84 Dibuja los siguientes entornos en la recta real e indica mediante desigualdades los intervalos que determinan, así como su centro y su radio. a) E(2, 4) b) E[ 1, 3] c) E(3, 1) a) E(2, 4): 2 x 6 ; Centro 2 y Radio 4 → b) E[ 1, 3]: 4 x 2 ; Centro 1 y Radio 3 → c) E(3, 1): 2 x 4 ; Centro 3 y Radio 1 → Radicales y operaciones Realiza las siguientes operaciones con radicales. a) 4 5 6 3 c) 3 4 3 : ( 3 3 )2 b) 3 9 : 1 2 d) 3 5 0 2 7 2 4 8 2 00 a) 4 5 6 3 12 5 3 3 2 12 1 125 c) 3 4 3 : ( 3 3 )2 12 3 b) 3 9 : 1 2 6 3 2 6 1 2 6 3 d) 3 5 0 2 7 2 4 8 2 00 9 2 Calcula el valor de k en cada caso. a) 3 k = 1 2 c) k 343 7 b) 5 k 2 d) k 6 25 5 a) k = 1 8 c) k 3 b) k 32 d) k 4 Operaciones con logaritmos Halla el valor de x en cada caso. a) logx 16 4 c) log11 1331 x b) log 17 x 3 d) logx 25 4 a) x 1 2 c) x 3 b) x 343 d) x 5 1.90 1.89 1.88 –1 0 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 1.87 Transforma las siguientes expresiones en un único logaritmo. a) log 16 log 3 log 12 b) log 18 log 27 log 2 c) (log 25 log 4) (log 8 log 9) a) log 16 log 3 log 12 log 16 3 12 log 2 4 2 3 2 3 log 26 b) log 18 log 27 log 2 log 27 18 2 log 2 33 3 2 2 log 1 3 = log 3 c) (log 25 log 4) (log 8 log 9) log 25 8 4 9 log 5 2 2 2 2 3 32 log 5 2 2 32 A M P L I A C I Ó N Redondeando a la milésima, el volumen de una esfera es de 14,139 centímetros cúbicos. Averigua su radio. V 4 3 r 3 ⇒ r 1,5 , con 3,142 Marca en una recta numérica el conjunto de puntos cuyas distancias al punto 2 sean: a) Igual a 3 d) No mayor que 3 b) Menor que 1 e) No menor que 2 c) Mayor que 2 f) Mayor que 2 y menor que 5 Determina el conjunto de valores que verifica cada condición. a) x 2 x 2 b) x —1 x — c) 2x 1 3 a) x R b) x 1 c) 1 x 2 1.94 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 a) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x d) x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 b) x e) –5 –4 –3 –2 –1 0 1 c) –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x f) x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 x 1.93 1.92 1.91 Calcula a, b, c y d en esta igualdad. 1 04 1 46 8 112 2a 3b 5c 7d 2 10 3 48 54 76 2a 3b 5c 7d ⇒ a 5; b 24; c 2; d 3 La sucesión an 1 — 1 1 ! — — 2 1 ! — ... — n 1 ! — se va acercando cada vez más al número e = 2,718 28… ¿Con qué elemento de la sucesión consigues aproximar hasta la milésima dicho número? Con el elemento a6 2,718 055... Ordena los siguientes logaritmos aplicando su definición y sus propiedades. log 3 1 0 , log2 1 4 1 , ln 1 e , log 3 4 3 ln 1 e log 3 1 0 log 3 4 3 log 2 1 4 1 Opera y simplifica: a) 2 x 5 2 5x 3 3 6x 4 9 x b) log 13 3 5 3 : 3 9 a) 3 x b) x 1 6 3 0 El decibelio es la unidad que se usa para medir la sonoridad, 10 log I I 0 , esto es, el volumen con que percibimos un sonido determinado, donde I es la intensidad sonora, e I0 10 12 vatios por metro cuadrado (W/m2), la intensidad umbral que el oído humano puede percibir. a) Calcula para sonidos con intensidades de 10 6 y 10 9 W/m2, respectivamente. b) Si el umbral del dolor para el ser humano está en 120 decibelios, determina qué intensidad debe tener un sonido para alcanzar dicho umbral. a) I 10 9 ⇒ 10 log 1 1 0 0 1 9 2 30 decibelios I 10 6 ⇒ 10 log 1 1 0 0 1 6 2 60 decibelios b) 120 10 log 10 I 12 ⇒ 0 log I ⇒ I = 1 W/m2 1.99 1.98 1.97 1.96 1.95 P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Gasto familiar La siguiente tabla muestra el consumo semanal de tres alimentos que realizan las familias Martínez, Aguiar y Guindo. Los precios en euros de la barra de pan, el kilogramo de carne y el litro de leche han variado durante las cuatro últimas semanas y están recogidos en esta tabla. a) Calcula el gasto total correspondiente a cada una de las familias en la primera semana. b) Halla el porcentaje de variación del precio de la carne en las semanas segunda, tercera y cuarta en relación con el precio de la primera. c) Determina el porcentaje de variación del gasto total de la familia Guindo en la cuarta semana en relación con la segunda. a) Martínez: 8 0,45 2,5 12 8 0,9 40,80 € Aguiar: 10 0,45 1,75 12 9 0,9 33,60 € Guindo: 6 0,45 2,25 12 7 0,9 36 € b) De la primera semana a la segunda: 1 1 1 2 ,5 = 0,958 1 0,958 0,042 ⇒ Ha bajado un 4,2%. De la primera semana a la tercera: 1 1 2 2 ,5 = 1,042 ⇒ Ha subido un 4,2%. De la primera semana a la cuarta: 1 1 3 2 = 1,083 ⇒ Ha subido un 8,3%. c) 3 3 4 8 ,5 ,6 75 1,116 ⇒ Ha subido un 11,6%. 6 0,45 2,25 13 7 0,95 6 0,40 2,25 11,5 7 0,9 1.100 1.a 2.a 3.a 4.a Pan 0,45 0,40 0,40 0,45 Carne 12 11,5 12,5 13 Leche 0,9 0,9 0,95 0,95 Pan Carne Leche (N.o de barras) (kg) (L) Martínez 8 2,5 8 Aguiar 10 1,75 9 Guindo 6 2,25 7 La piscina circular En el dibujo aparece representada una piscina circular que se ha construido de forma que su contorno es el de la circunferencia inscrita a un cuadrado. Se quiere plantar con césped el área de la corona circular limitada por la piscina y la circunferencia circunscrita al cuadrado mencionado. ¿Cuánto medirá esa área? Datos: Profundidad de la piscina: 2 metros Tiempo que se ha empleado en llenar la piscina con un grifo que arroja 37,23 litros por minuto: 45 horas. Volumen de la piscina: 37,23 45 60 100 521 L 100 521 dm3 100,521 m3 Radio de la piscina: r 100 2 , 52 1 4 m Superficie de la zona con césped: (R2 r2) = (32 16) 16 50,27 m2 A U T O E V A L U A C I Ó N Sean los números A = 1,7864… y B = 2,3879… Calcula A B y A B con una aproximación a la milésima. A B 4,174 A B 0,602 Representa en la recta real estos números. a) 5 3 b) 1 3 Cuál de ellos es racional y cuál es irracional? ¿Qué teoremas has aplicado en cada caso? 5 3 1 2 3 → Racional y para representarlo se aplica el Teorema de Tales. 1 3 → Irracional y para representarlo se aplica el Teorema de Pitágoras. 0 4 3 1 13 2 53 1.A2 1.A1 1.101 Un conjunto de números reales x cumplen que x 2 3. Describe este conjunto utilizando intervalos y desigualdades, y gráficamente. x 2 3 ⇔ x ( 1,5) ⇔ 1 x 5 ⇔ Realiza la siguiente operación dando el resultado en notación científica. (0,26 10 4) (8,53 109)2 7,2 1013 1,9638 1015 Realiza las siguientes operaciones. a) 811,25 c) 91,5 b) 8 23 d) 125 43 a) 243 c) 27 b) 4 d) 625 Racionaliza estas expresiones. a) 4 8 b) 3 1 12 c) 7 1 3 a) 2 b) 3 6 1 8 c) 7 4 3 Realiza las siguientes operaciones con radicales. a) 3 4 2 c) 3 2 4 b) 3 2 : 5 3 d) 3 7 5 2 1 2 3 2 7 a) 4 1 8 c) 3 4 b) 15 25 . 3 3 d) 20 3 Sabiendo que log 2 = 0,301…, calcula: a) log 5 c) log 16 b) log 20 d) log5 2 a) log 5 0,699 c) log 16 1,204 b) log 20 1,301 d) log 5 2 0,43 Transforma esta expresión en logarítmica. A x3 7 y 2 z 34 t 2 log A 3 log x 2 7 log y 3 4 log z 2 log t 1.A9 1.A8 1.A7 1.A6 1.A5 1.A4 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 1.A3 Escribe la expresión en forma algebraica. log A 1 5 log x 2 9 log y 8 logz A 5 x z 8 9 y 2 M U R A L D E M A T E M Á T I C A S M A T E T I E M P O S La nómina de los números En un país de números, cada habitante h recibe una nómina mensual en miles de euros igual a h h . Así, el habitante 1 percibe 1 1 1; el 2 cobra 2 2 1,41, etc. ¿Cuántos individuos tiene el país? ¿Cuál de ellos es el que recibe la nómina más alta? ¿Y cuál la más baja? a) Existen infinitos individuos, ya que h puede ser cualquier número real positivo. b) Si consideramos h como número natural, el mayor salario será 3 3 1,442, o sea 1 442 €. El menor 1 1 1, o sea 1 000 €. Si analizamos el mayor valor de h (consideraremos un valor muy grande, por ejemplo 1 000 000) tendremos: 1 000 000 1000 00 0 1, o sea 1000 € El problema puede ampliarse para valores entre 0 y 1, así: 0,000001 0 ,0000 01 0. Luego si nos acercamos a cero, no se tendrá sueldo. El problema podría retomarse una vez se haya acabado con las aplicaciones de la derivada en bachillerato: L’Hopital y puntos críticos, así podríamos verificar que: lim x→ ∞ x 1x 1 lim x→ 0 x 1x 0 y que el valor máximo de la función f (x) x 1x se da cuando x e, luego el mayor salario es: e e 1,4446, o sea: 1 444,6 €. 1.A10