NÚMEROS RACIONALES Y AVALES EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PDF










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EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES Se conoce que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los números enteros Z, es decir que la suma, diferencia y producto de dos números enteros, es otro entero (Ley de clausura o cerradura). Ejemplo: Sean los números enteros 13 y 7, Luego: * 13 + 7 = 20 ........(20  ZZ ) * 13 - 7 = 6 ........( 6  ZZ ) * 13 . 7 = 91 ........(91  ZZ ) Sin embargo la división es una operación que está parcialmente definida, pues el cociente no siempre es entero, por ejemplo: * = 4 (4  ZZ ) * = c (c  ZZ ) como en la vida diaria se van a dar estos casos, es necesario ampliar el conjunto de los números enteros. Empezaremos tomando a los números enteros en pares ordenados, denotándolo a través de la división, como por ejemplo: * (5, 3) = * (-8, 2) = * (0, 9) = * (7, 0) = Indeterminado Luego hay que tener cuidado que la segunda componente del par ordenado no sea cero. Formemos el conjunto ZZ x ZZ *, donde: ZZ = (....-3,-2,-1,0,1,2,3,...) ZZ * = (....-3,-2,-1,1,2,3, ....) Gráficamente: Z x ZZ * = (a,b)/a  ZZ  b  ZZ * * (a,b) representa Observando algunos pares y denotando las componentes mediante la división: ...(2,4) (4,8) (6,12).... ... ... “son equivalentes” La observación nos permite indicar que estos concientes son “equivalentes”, pero si nos preguntarán: ¿los cocientes y son “equivalentes”? Necesitaríamos un fundamento teórico para responder dicha pregunta. En el conjunto ZZ x ZZ *, definimos la siguiente relación  : (a,b)  (c,d) cuando a.d  b.c Luego = cuando aºd = bc Ejemplos *  , porque 8 (10) = 16 (5) * porque (-9)(-4)= 6(6) Se puede probar que la relación  es una relación de equivalencia en el conjunto ZZ x ZZ *, por verificar las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. Al ser  una relación de equivalencia, determina en Z x Z una clasificación en clases de equivalencia y en cada clase están todos los pares equivalentes entres sí. Por ejemplo: .... (-2,4)(-1,-2)(1,2)(2,4)(3,6).... ...  Luego todos ellos conforman una clase de equivalencia: Asimismo cualquiera de ellos puede ser tomado como un representante de la clase, por ejemplo: y la notación sería en ese caso así: En una clase de equivalencia de los infinitos representantes que tiene, hay uno en particular, aquel cuyas componentes son primos entre sí, el cual es denominado representante canónico. Por ejemplo, en la siguiente clase de equivalencia: es el representante del canónico de la clase, porque: 3 y 4 son PESI. Cada una de las clases de equivalencias determinadas en ZZ x ZZ * es denominado número racional. 1. Si: Halle la suma de cifras de la suma de la parte periódica y la parte no periódica de A + B

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad