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NUMEROS RACIONALES Y AVALES EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF










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EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES Se conoce que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los números enteros Z, es decir que la suma, diferencia y producto de dos números enteros, es otro entero (Ley de clausura o cerradura). Ejemplo: Sean los números enteros 13 y 7, Luego: * 13 + 7 = 20 ........(20  ZZ ) * 13 - 7 = 6 ........( 6  ZZ ) * 13 . 7 = 91 ........(91  ZZ ) Sin embargo la división es una operación que está parcialmente definida, pues el cociente no siempre es entero, por ejemplo: * = 4 (4  ZZ ) * = c (c  ZZ ) como en la vida diaria se van a dar estos casos, es necesario ampliar el conjunto de los números enteros. Empezaremos tomando a los números enteros en pares ordenados, denotándolo a través de la división, como por ejemplo: * (5, 3) = * (-8, 2) = * (0, 9) = * (7, 0) = Indeterminado Luego hay que tener cuidado que la segunda componente del par ordenado no sea cero. Formemos el conjunto ZZ x ZZ *, donde: ZZ = (....-3,-2,-1,0,1,2,3,...) ZZ * = (....-3,-2,-1,1,2,3, ....) Gráficamente: Z x ZZ * = (a,b)/a  ZZ  b  ZZ * * (a,b) representa Observando algunos pares y denotando las componentes mediante la división: ...(2,4) (4,8) (6,12).... ... ... “son equivalentes” La observación nos permite indicar que estos concientes son “equivalentes”, pero si nos preguntarán: ¿los cocientes y son “equivalentes”? Necesitaríamos un fundamento teórico para responder dicha pregunta. En el conjunto ZZ x ZZ *, definimos la siguiente relación  : (a,b)  (c,d) cuando a.d  b.c Luego = cuando aºd = bc Ejemplos *  , porque 8 (10) = 16 (5) * porque (-9)(-4)= 6(6) Se puede probar que la relación  es una relación de equivalencia en el conjunto ZZ x ZZ *, por verificar las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. Al ser  una relación de equivalencia, determina en Z x Z una clasificación en clases de equivalencia y en cada clase están todos los pares equivalentes entres sí. Por ejemplo: .... (-2,4)(-1,-2)(1,2)(2,4)(3,6).... ...  Luego todos ellos conforman una clase de equivalencia: Asimismo cualquiera de ellos puede ser tomado como un representante de la clase, por ejemplo: y la notación sería en ese caso así: En una clase de equivalencia de los infinitos representantes que tiene, hay uno en particular, aquel cuyas componentes son primos entre sí, el cual es denominado representante canónico. Por ejemplo, en la siguiente clase de equivalencia: es el representante del canónico de la clase, porque: 3 y 4 son PESI. Cada una de las clases de equivalencias determinadas en ZZ x ZZ * es denominado número racional. 1. Si: Halle la suma de cifras de la suma de la parte periódica y la parte no periódica de A + B A) 26 B) 25 C) 27 D) 24 E) 28 2. Si: Halle: A) B) C) D) E) 3. Si ; halle la última cifra del período generado por A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 4. Para cuántos valores de la expresión: representan número fraccionarios mayores que 7? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Si: Calcule N máximo y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 20 B) 18 C) 25 D) 12 E) 22 6. Determine la suma de las dos últimas cifras del período originado por la fracción . A) 9 B) 6 C) 4 D) 8 E) 10 7. Si se cumple que: = Calcule: A) 6 B) 11 C) 22 D) 5 E) 24 8. ¿Cuál es el menor número par, tal que la suma de su séptima y tercera parte es un número que posee una cantidad par de divisores propios? A) 720 B) 210 C) 840 D) 420 E) 350 9. Si: Calcule: (m + n) A) 12 B) 13 C) 8 D) 9 E) 11 10. Calcule la suma del numerador y denominador al simplificar la expresión: A) 142 B) 121 C) 102 D) 113 E) 132 11. Si la función: Genera 72 cifras en la parte no periódica. Calcúlese la suma de cifras del período que genera la fracción: . A) 31 B) 30 C) 27 D) 29 E) 28 12. Si la fracción: es irreductible, halle la diferencia de sus términos A) 21 B) 23 C) 27 D) 33 E) 30 13. Si: Además: Calcule: (b + a + r) A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17 14. Si la fracción irreductible da origen a un número decimal 8 de la forma . Calcule: A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 15. Si f es irreductible, además: ¿Cuántas cifras periódicas origina: ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 16. Si: , siendo a < b < c y es Pesi con 154. Calcule: A) 20 B) 21 C) 22 D) 18 E) 19 17. Si: . Calcule cuantas cifras genera en el período la fracción cuando se expresa en base 6. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)5 18. Calcule (a x b x c ) si: Además: a y c son primos y a; b y c son cifras significativas diferentes entre sí. A) 5 B) 14 C) 30 D) 6 E) 15 19. Si: tiene en el denominador cifras, hallar la última cifra del período generado en E. A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 7 20. Un tanque es llenado por un caño en 4 horas por otro caño en 6 horas. Estando el tanque lleno puede ser vaciado por un desagüe en 8 horas o por otro desagüe en 12 horas. Estando el tanque lleno hasta su octava parte, se abren los caños dos horas y luego los desagües ¿En cuanto tiempo se lleno el tanque? A) 3 horas 30 min B) 3 horas 15 min C) 3 horas D) 2 horas 12 min E) 2 horas