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NUMEROS RACIONALES PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF













Los Números Racionales Nuestros antepasados de la Edad de Piedra no tuVieron necesidad de usar fracciones, pero parece ser que durante la Edad de Bronce apareció por primera vez la noción y notación de fracción. Pruebas de esto las encontramos en el Papiro de Ahmes, donde figura el uso de fracciones unitarias (numerador la unidad) , las cuales se utilizaban para calcular otras facciones con numerador diferente de la unidad, como por ejemplo 2/7 = 1/4 + 1/28, la excepción a esta regla la constituía la fracción 2/3 a la cual le asignaban un papel especial. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Mediante esta idea ellos expresaron 2/n como suma de fracciones unitarias para valores impares de n , desde 5 hasta 101. Podemos mencionar que la definición de proporción dada por Eudoxo no esta muy alejada de la definición de número real dada por las cortaduras de Dedekind en siglo X:IX, ya su vez este concepto dado conjuga con el de los números r a ciona les, habiendo una cantidad ilimitada de ellos . Como cuestión anecdótica podemos mencionar que la m ayor parte de la contribución mesopotámica a la m a temá tica proviene de los primeros siglos del segundo milenio a .c .; pero hay una idea concreta de la que no se tiene evidencia hasta casi el año 300 a .c.: Los babilonios no dispusieron de u n símbolo para el cero, dejando por ello un espacio en aquella posición donde debiera haber ido. Esto le trajo muchas confusiones. Tiempo después lograron inventar el primer signo para el cero , en la época de Alejandro Magno, el cu a l consistía en un par de cuñas pequeñas situa das oblicuamente e indicaban -la posición donde faltaba una cifra o un lugar vacío. Los matemáticos mesopotámicos fueron extremadamente hábiles inventando algoritmos. Uno de ellos fue el algoritmo para aproximar raíces cuadradas, que posteriormente fue atribuido a diversos matemáticos, entre ellos los griegos Arquitas (428- 365 a.c.) y Heron de Alejandría ( ¿? d.c.). así como a Newton. La descripción del método es: Supongamos que se quiere hallar x = Fa. Sea 'al una primera aproximación a la raíz pedida. A partir de ella calcular una segunda aproximación b l de modo que se verifique b l= a/al ' Si al era demasiado pequeña, entonces b l seria demasiado grande y viceversa, y por lo tanto la media aritmética a2= (al +b¡)/2 será una mejor aproximación. Este proceso se continua indefinidamente. Mientras que en Grecia tenemos que los pitagóricos se esforzaron por alcanzar la armonía en el reino de los números y de este modo lograr abarcar con la mirada todo el Universo, captándolo mediante números enteros . Así podían sentir que se hallaban en los umbrales del misterio de la existencia. Pero una potencia infernal destrozó este sueño implacablemente, a la vez que engendró los más altos hallazgos y de más vasto alcance: el descubrimiento de los números irracionales. 1. ¿Puedes hallar Fa con seis cifras decimales, aplicando el método babilónico? Compara el resultado obtenido con el que obtendrias usando una calculadora, ¿ que te p~rece? 11.0 OBJETIVOS Al culminar el presente capítulo, el alurrmo será capaz de: l . Dar los conceptps formales de las fracciones y números racionales 2 . Resolver problemas con enunciado aplicando métodos de razonamiento y haciendo uso de las técnicas enseñadas. 11.1 CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES Sea. z* = Z - {O}, A = Z x Z*. Definimos en A la relación de la siguiente forma: V, (a, b) (e, d) E A , (a, b) - (c,d) si y sólo si a· d = b . e Teniendo en cuenta lo visto sobre relaciones, clase de equivalencia y conjunto cociente definidas en el capítulo de cuatro operaciones, se demuestra que: l. - es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. 2. - es una relación de equivalencia sobre A . 3 . Sean a, b, E Z con b :1:- O, entonces los conjuntos [(a, b)J = {(x, y) E A, (x, y) - (a, b)} son clases de equivalencias inducidos por en A. 4. A j- = {[(a, b)Jj(a, b) E A} es un conjunto cociente formado por las clases· de equivalencias que induce - en A 5. Los elementos de Aj- son conjuntos disjuntos que particionan al conjunto A Se define al conjunto de los números racionales por: Q =Aj- Notación: [(a,b)) se representará por ~ y también por [ ~ ] Definamos la adición. multiplicación y orden en Q: [(a. b)) + [(c. d)) = [(ad + be, bd)), esto es ~ + ~ = b d a e a· e [(a. b)) . [(c. d)) = [(ac, bd)) , esto es b . d = b . d Sean by d enteros con b > ° y d > 0, entonces ad+bc bd [(a, b)) < [(e, d)) (::> a . d < b . e (el lado derecho se evalúa en los Enteros) (Q, +, " <) es una estructura Matemática la cual es algebraica - topológica. A los elementos de Q se les llaman números racionales, cada número racional es una clase de equivalencia y a los elementos de la . clase de equivalencia se le llaman fracciones, las fracciones que pertenecen a un mismo número racional son equivalentes Por ejemplo (1, 2) es una fracción y [(1,2)) = Ha, b)/(a, b) - (l , 2)} = {(l, 2),(2 , 4), .. . ) es un número racional. (1,2) y (2,4) son fracciones equivalentes. Definidones de Orden Sean ~ e y E Q Se dirá que - x es menor ó igual que y si y sólo si (x < y) v (x = y), se representará por x :5 y - y es mayor ó igual que x si y sólo si x es menor ó igual que y, se representará por y ~ x - y > x si Y sólo si x < Y - Y ~ x si Y sólo si x :5 Y Propiedades de los números Racionales Para todo x. y. Z E Q: Operaciones internas ó de Cerradura x + y E Q . x · y E Q . Al Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z A2 Conmutativa: x + y = y + x A3 EXiste el elemento neutro aditivo denotado por O tal que: x + O = x , A4 Existe el inverso aditivo de x denotado por -x tal que: x + (-x) = O M 1 Asociativa: x . (y . z ) = ( x . y) . z M2 Conmutativa: x . y = y . x M3 Existe el elemento neutro multiplicativo denotado por 1 tal que: x . 1 = x M4 Para x :F- O existe el inverso multiplicativo de x denotado por x -1 tal que x . x -1 = 1 Cancelativo x· y = x . z y X t= O =? Y = z. AM Distributiva: x · (y + z) = x . y + x . z. Que el orden es: O 1 Reflexivo x:=; x . 02 Transitivo: x < y /\ Y < z =? X < z . 03 Antisimétrico: x :=; y /\ Y :=; x =? X = y. 04 El Orden es Total: Si x t= y entonces x :=; y v x;::: y OA Orden/adición: Si x + z :=; y + z entonces x :=; y OM Orden/multiplicación: z ;::: O Y x :=; y =? X . Z = y . z Tricotomía Se cumple exactamente sólo uno de los siguientes casos xy Nota: El cOn.j unto A = { ... , -T3' -T2' -T1 ' °l ' l2 ' l3 ' .. .... } tI. ene una relación 1 a 1 con los Enteros Z = { .. . , - 3, -2, - 1, 0, 2,3, .. ... . } además las operaciones de suma, producto y la relación de orden en el conjunto A tiene su análogo en Z y se preserva n , por esa razón se dice que los enteros están contenidos en los Racionales. Q (Q , + , • , <) sirve para ordenar, para contar cantidades , hacer balances. Para expresar repartos, pero hay longitudes que no se pueden representar con los racionales por ejemplo ji . Demostración de que J2 no es racional No hay ningún número racional ajb que exprese la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado l . Si lo hubiera, sería (ajb)2 = 1 + 1 = 2. "Sabemos" que todo n ° racional s e puede expresar mediante una fracción ajb, tal que a es primo con b , es decir a y b no tienen ningún divisor en común. Así pues tenemos lo siguiente: a2 = 2 b2 ~ a2 es par ~ a es par, a 2 es múltiplo de 4 , es decir, a2 = 4c ~ 4c = 2b2 ~ 2c = b2 ~ b2 es par ~ b es par CONTRADICCIÓN a En forma. práctica al par ordenado (a.b) se le representa por b Sea f = ~ una fracción donde: a es el numerador y b es el denominador Interpretación: Si dividimos el círculo en cuatro partes iguales y tomamos una parte. decimos que se está considerando la cuarta parte: - PARTE -TOTAL Tenemos la cuarta parte de un total. 11.2 CLASES DE FRACCIONES: La fracción ~ es 1. Propia si lal < Ibl Ejm 2/- 3.3/5 2. Impropia si la I > lb l . Ejm 4/2. - 3/1 3. irreductible o irreducible cuando sus términos son primos entre sí. Ejm 2/7. - 9/11 4 . Decimal cuando el denominador es poten cia de 10 Ejm 4/10. 5/- 100 5 . Ordinaria ó común cuando no es decima l 5/25 . 2 /14 6 . Unitaria si la I = lb I Ejm 4/- 4 . 3/3 Un grupo de Fracciones son: a. Fracciones Homogéneas, cuando los valores a bsolutos de ,- los denominadores son iguales. Ejm 4/S ,3/- S , 2/S b. Fracciones Heterogéneas. cuando no son homogéneas Ejm 8/10 , 3/- S , 2/S Repesentación Decimal de un número Racional Sea ~ E IQI . este número racional tiene un punto que lo representa en la recta real y se dirá que dicho punto es su valor numérico. este es aquel número originado al efectuar el cociente de a entre b en forma análoga para el caso de que ~ represente a una fracción y se presentan los siguientes casos: l. El número Decimal Finito (decimal exacto). - Es aquel originado por una fracción cuyo denominador pueden ser sólo factores de 10. es decir 2 ó S. Ejemplo: 3 3 13 13 4: = 22 = 0 .75. 125 = S3 = 0 . 104, Nota: 107 SOO = 107 = 0 .214' 5 3 ~ 2 2 El mayor exponente de los factores 2 y S indica la cantidad de cifras decimales no periódicas que tendrá la fracción decimal. Ejemplo: 200 7 400 " Tendrá 400 cifras decimales no periódicas. 2 x S 2 . El número Decimal Infinito (decimal inexacto).- Puede ser: a. El número decimal periódico puro.- Es aquel número originado por una fracción ordinaria. cuyo denominador no tiene ningún factor 2 ni 5. Ejemplo: 1 3 1 = 0.27727 .... .. = O. i7 2 ...------... 7 O. 285714 1 ~ 37 = 0.027 Observación: abc -- 999 = O, abc Se denominan decimal inexacto. por que al dividir el numerador entre el denominador. no se encuentra un cociente exacto y las cifras del cociente se repiten en forma ilimitada formando periodos. En otro sistema de base n: (n-l)(n - l) (n-l )(ll) b. El número decimal periódico mixto.- Es aquel número o~iginado por una fracción cuyo denomina dor tiene como factor 2 ó 5 y ademá s otros factores diferentes a las anteriores. Ejemplo: 1 7 2 7 = 0.583 22 x 3 --"- 13 13 ---- = 0.!290 22 2 x 11 2 2 ~ 175 5 2 x 7 = 0 ,01142857 OBSERVACIÓN: Para convertir una fracción decimal inexacta, a fracción ordinaria se procede de la siguiente manera: ,.---. abc-a O.abc = 990 Se debe tener una fracción equivalente con tantos ceros como cifras no periódicas tenga y tantos nueves como cifras periódicas tenga. Ejemplo: O 31 457 = 31457 - 31 = , 99900 31426 99900 OBSERVACIÓN.- En otras bases: ,-:-.. abcde(x) - ab(x) O, abcde(X) = ==:=:==~==:~=::( x- 1)(x-l)(x-l)OO(x) NOTA: Como un número decimal inexacto es originado por una fracción que en su forma equivalente tiene a un número formado por cifras nueve, es importante tener en cuenta para el análisis la siguiente descomposición: 9 32 9 9 32 X 11 9 9 9 33 X 37 9 9 9 9 32 X 11 x 101 9 9 9 9 9 32 x 41 x 271 9 9 9 9 9 9 33 X 7 x 11 x 13 x 37 Observación: Un número es racional si y sólo si su representación decimal es decimal exacto. periódico puro o periódico mixto Fracción generatriz Sean N. E Y P números enteros positivos. E de e cifras y P de p cifras. a continuación se presenta la fracción generatriz de la representación decimal en base n de un número racional. NEn N, En = --:--:--=:-- 100 ... On NPn-Nn N, P n = ----.::.:......-::.:...--~ (n-l)(n-l) ... (n-l )n '----y---' L .# "V" e ceros P cifras (n- l) NEPn-NEn N, E P n = (n-l)(n-l) .. . (n-l)OO ... On , y '~ p cifras (n- l) . e ceros Casos especiales 100 ... 0n '----y---' P 0 , n P n = (n-l)(n-l) .. . (n-l )n .. . 'v"" e ceros P cifras (n- l) EPn-En O,E.P n = (n-l)(n- l) ... (n- l)OO .. . On ~-----y~----~'~ p cifras (n- l) e ceros CONVERSIÓN DE UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE O Y 1 DE LA BASE DECIMAL A OTRA BASE Dado un número x = O, abc ... . (comprendido entre O y 1) se quiere pasar a la base n , para ello se efectúa lo siguiente: O, abc.... X n = p, qr .... . O, qr ... .. X n = u, vw .. . O, vw .... X n = x, yz ... . El proceso termina cuando la parte decimal sea cero ó se note algún Periodo y el resultado será: O, abc .... Ejm. Convertir 0 .125 a la base 6 0,125x6=0.75 0 .75x6=4.5 0.5 x 6 = 3 Entonces 0.125 = 0.043(6) Ejm. Convertir 0.125 a la base 3 0 .125 x 3 0,375 x 3 0.125 x 3 0.375 1:125 0,375 Se formó un periodo Entonces 0.125 = 0,0101010101.. .... (3) 0,125 = 0.m3 O, pux ... .. (n) CONVERSIÓN DE UN NÚMERO REAL DE UNA BASE A OTRA Dado un número real en base p para convertir dicho numero a una base q, el número escrito en base p se convierte a la base 10 simplemente evaluando la descomposición polinómica, luego la parte decimal y la parte entera se convierten por separado. Ejm Convertir 423, 043 (6) a la base 3 X == 423: 043(6) == 4 . 62 + 2 . 6 + 3 + 0/6 + 4/62 + 3/63 X == 159,125 ,159 == 12220(3) Entonces 423,0436 == 12220,m3 0,125 == 0 ,m 3 Determinación a priori de la cantidad de cifras de la parte decimal periódica y no periódica de una fracción p Sea f la fracción Irreductible f == donde k es un 2a 5bK número entero positivo que no es múltiplo de 2 ni de 5 , entonces con respecto a la representación decimal de f, la cantidad de cifras de la parte no periódica es igual al mayor de los números a y b, además la cantidad de cifras de la parte periódica es igual a la cantidad de cifras del menor número compuesto de cifras 9 que contiene a K como factor. Teniendo en cuenta la tabla de la descomposición canónica de los números formados por cifras 9 se concluye lo siguiente: Los divisores de: 9:1,3 , 9 99 : l. 3 . 9 . 11 . 33. 99 999: 1.3.9, 27. 37. 111 , 333. 999 9999: 1, 3 . 9. 11 . 33, 99. 101 . 303. 909. 1111 . 3333. 9999 99999 : 1. 3 . 9,41 . 123.369. 271.813. 2439. 11111 , 33333. 99999 999999: 1.3. 7,9 ...... 11. 13 . ........ 999999 Cantidad de cifras K periódicas 1 3.9 2 11.33.99 3 27.37. 111 . 333.999 4 101. 303.909. 1111. 3333. 9999 5 41. 123. 271. 369. 813. 2439.11111. 33333. 99999 6 7. 13. 1137 ....... ...... 111111. 333333. 999999 Propiedad Si A, B ..... C son enteros positivos. pesi 2 a 2. ninguno es múltiplo de 2 ni de 5. si dichos números generan a . b .... c cifras periódicas entonces El producto de ellos A·B····C genera m cifras periódicas donde m es el mínimo común múltiplo de a. b ..... c. Ejm. 101 Y 7 generan 4 y 6 cifras periódicas respectivamente y como el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12 entonces 707 genera 12 cifras periódicas (707 = 101 . 7 ). Ejemplo 12 = O, xy 52 101 /""'. ---- = O, xyzuv 2 3 .5 . 11 Ejercicio Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones 1) La suma de dos irracionales es otro irracional II) El producto de dos irracionales es otro irracional III) Tj a . b E Q +. abes siempre racional IV) Un número es irracional si y sólo si su representación en número decimal tiene una cantidad infmita de cifras en la parte decimal y sin periodo alguno. V) Un, número es racional si y sólo si su representación en número decimal tiene una cantidad finita de cifra en la parte decimal ó una cantidad infinita de cifras en la parte decimal con periodo. Solución: 1) ji + (-ji) = O el. I es el conjunto de los irracionales II) ji·J2=2eI III) 21/2 e Q Respuesta F F F V V Propiedad de la Densidad Entre dos números racionales existe una infinidad de números racionales. Esto implica que para todo número real r ya sea racional ó irracional siempre existe una suceSlOn de números racionales a n que converge a dicho número real. Esto es. para todo E > O :3 N E N tal que Tj n ~ N se cumple que I a n - r I < E Ejm Se define la siguiente sucesión de números racionales ao. al . a2, . .. .. en forma recursiva. a n 1 . ao= l . a n + l = -2 +- paran=O. 1.2 ... ... a n Sabiendo que dicha sucesión converge a J2 = 1.414213562 .... .... . hallar el primer término de la sucesión que aproxima a J2 en menos 10-4 Respuesta: a3. se deja al lector el procedimiento de la solución. Propiedad: Sean ~ y ~ fracciones irreductibles tales que entonces b = ± d 11.3 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 La suma y el producto de dos fracciones irreductibles son dos fracciones homogéneas cuyos numeradores son 37 y 7 respectivamente. Si todos los términos de las dos primeras fracciones suman 15. El producto de estos términos es: Resolución: Sean las fracciones irreductibles: a c . b ' d; tal que -a +c b d ac bd 7 x ad+ bc bd = 37 x :::) a = 7 ; en (1) : 7d + b = 37 d = 5 ; b = 2 luego: a + b + c + d = 15 abcd = 70 c = 1 .. . (1) Problema N° 2 La cantidad de fracciones irreductibles comprendidas entre ~~ y ~~ tal que la diferencia de sus términos es 40 es: Resolución: 12 13 19 68,5 /\ a < 173,3 68, 5 < a < 173, 3 .,. (1) a: 69, 70, 71, ... , 173; retirando los valores que contengan al factor 2 y al 5 105 70,72, .... 172 =? 52'S} 70, 75, ... , 170 ~ 21#5 73'si 62#s 70.80 ..... 170 ~ ll#s luego quedan 43 #s Problema N° 3 Decir el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. La suma de dos números reales no racionales (irracional) puede ser racional. n. La suma de un racional y un irracional necesariamente es un irracional necesariamente es un irracional. IIl.EI producto de un número racional y un número irracional puede ser racional. IV. El producto de dos números irracionales puede ser un racional. V. Entre dos racionales distintos existen muchos otros racionales. Resolución: 1. V, 11. V, m.v, IV.V V. V, (I - J2) + J2 = 1 supongamos lo contrario r + i = ~ q i = (-r + ~) racional q Oi = O p+q ---z- = PI PI +q -2- = P2 Problema N° 4 La cantidad de fracciones irreductibles impropias de la forma 5~ ; a > O menores que 2,1 que dan origen a números decimales exactos con la primera cifra decimal no nula es: Resolución: a 1 < 50 < 2.1 => 50 < a < 105 a a 50 :::: --2: (El denominador debe ser 10) 2x5 a :::: 55. 60. 65 ..... 95 existen 9 números Problema N° 5 La cantidad de fracciones propias de la forma ~. N> O. que dan origen a números decimales periódicos mixtos es: Resolución: N o o N~9; N~8; N<72 23 x 32 ' Problema N° 6 o o N(9) : 9k < 72 ~ k < 8 :. N(9) = 7 N(8) : 8k < 72 ~ k < 9 :. N(9) = 8 o o N(8) + n(9) = 15; luego 71 - 15 = 56 fracciones Calcular la última cifra del periodo de un decimal periódico puro que ong. :t. .na 1a f raCCl.O - n: 119 + 911 . Resolución: 1 1 110 19+91 '= 19x91 110 ...-----..... 19 x 91 = O, a b ... x 110 ab ... x 19x91 = 99 .. . 9 => Problema N° 7 110 x 99 .. . 9 = 19 x 91 x ab .. . x o o o o 10 = (10 - 1)( 10 + 1)( 10 + x) o o o 10 = (10 - 1)( 1 O + x ) .. . 0 = ( .. . 9)( . .. x) x=O 1985 r--. Si: 2779 = O, 41(m) ; halle m Resolución: 1985 /"'o. 2779 = 0,41(m) MCD (1985,2779) = 397; 5 => 7 m(5m - 28) = 12 = 6 x 2 m = 6 Problema N° 8 397 x 5 397 x 7 4m+ 1 100m-1 4m + 1 => 5m2 _ 5 = 28m + 7 n 2 -1 Convertir 431 . 14(6) a base 5 y dar como respuesta la suma de las cifras decimales periódicas. Resolución: 431(6) = 163 =1123(5) _ 14(6) - 1 _ J!.. 3 0 , 14(6) - 50 - 30 = 10 (6) ~x5=ª=1+! 10 2 2 !x5=~=2+! 222 !x5=~=2+! 222 431 , 14(6)= 1123, í2(5) Problema N° 9 Una persona entra a una casa de juegos con SI. 1080, en el primer juego pierde § una fracción "f ' de su dinero, en el segundo juego pierde del resto , en el tercer juego pierde 1,4 del nuevo resto y en el último juego gana SI. 360. Si al final del cuarto juego se da cuenta que le queda SI . 810, halle "f '. Resolución: 8 . 3 1800( 1 - O x 9 x 4 + 360 = 810 720(1 - O = 450 de donde f = ª 8 Problema N° 10 Tres obreros trabajan juntos en una misma obra. El primer obrero haría sólo el trabajo en 6 días, el segundo en 9 día s , y el tercero en 8 días. Si por el trabajo se pagó SI . 3480. ¿Cuánto le corresponde al tercero? Resoluclón: re.· 1 1 ° en 1 día hace (3 2° en 1 día hace § 3° en 1 día hace ~ 111 Juntos: - + - + - 698 72 todos lo hacen en 29 luego el 3° en un día ,hace: ~( ~~ ) = 2 9 9 9 Le corresponde: 29 (3480) = sI. 1080 11.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La diferencia de dos fracciones, una propia y otra impropia es 2 9 0' Si los términos de estas fracciones son cuatro números consecutivos, de los cuales los dos menores son de la fracción propia. El producto de estas fracciones es:· .. 3 a) - 5 . 9· b) 10 9 c) - 5 3 d) 10 7 e) - 9 2. El valor absoluto de la fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción, multiplicada por 1 4 3 , es: 1 a) - 3 b) ~ 3 5 e) - 2 d) ?. 3 3 e) - 2 3. Al sumar y multiplicar tres enteros consecutivos se determina el numerador y denominador respectivamente, de una fracción equivalente a ;8 9 4 6 0 . El mayor de los tres números es: a) 9 b) 10 e) 11 d) 12 e) 13 4. La cantidad de fracciones de la forma aabb equivalentes 209 abba a 272' es: a) 1 b)2 e) 3 d)4 e) 5 5. El número de fracciones de la forma ab equivalentes a ~ , con a ct b ct e, es be e a) 1 b)2 e) 3 d)4 e) 5 6. Hallar el primer racional que aproxima a 1 con un error menor que 10-5 : an = 1 - .! n a) 100000 100001 d) 100000 100002 b) 100001 100000 99999 e) 100003 999999 el 100001 7. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles existen: que cuando se le divide entre su inversa originan un decimal exacto con dos cifras decimales? a) 5 bl6 el 7 dl 8 el9 8. ¿Cuántas fracciones propias pueden generar una periódica pura de dos cifras? a) 90 b) 91 e) 98 d) 140 e) 150 9. La cantidad de fracciones de la forma ab equivalente a -- ba 0.571428 es: a) 1 b) 2 e) 3 d) 4 e) 5 10. Si sumamos la última cifra de los périodos que se obtienen de ~; /7; 2 1 7; 3 1 7 ; .... (41 fracciones). La cifra de unidades de la suma será: a) 3 b) 5 e) 6 d) 7 e) 9 11. Calcular la última cifra del periodo de la fracción F = ;0 3 a) 1 b)2 e) 3 d)4 e) 5 3 ,.--;:::::- /""', 12. Si AJO, abe = O, c. Halle a + b + e a) 14 b) 15 e) 16 d) 17 e) 18 /""', ----- ...--... 13. Si: S = 0.ab(7l + O.cbd(7) + O. efgg (7.Siendo S mrunmo y letras diferentes son cifras diferentes. halle b + f + d - g a) 2 b) 3 e) 4 d) 5 e) 6 14. Halle el periodo que genera en base 5 la fracción f = 32(5) 4004004004 ... 004004(5), 'V 31 ·cifras d) 41255 15. Antonio y Beta pueden hacer una obra en 3 días, Beta y Carlos pueden hacer el 25% de la obra en 1 día y Antonio y Carlos pueden hacer la mitad de la obra en 2 días y medio. En cuántos días puede hacer Antonio dicha obra trabajando solo. 1 a) 7 17 b)7 2 17 4 d) 7 17 5 e) 7 17 16. Se tiene 3 grupos de obreros A, B Y C de 12 obreros, 6 obreros y 3 obreros respectivamente, los cuales pueden hacer una obra en 3 días , 4 días y B días respectivamente. Se forma un nuevo grupo y se toma 3 obreros del grupo A. 5 de B y 1 de C. ¿En cuántos días puede realizar la obra este nuevo grupo? a) 1 b)2 cl3 d)4 e) 5 17. Un reloj se atrasa un cuarto de minuto durante el día, pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un tercio de minuto durante la noche. Al cabo de cuántos días habrá adelantado dos minutos , sabiendo que hayal atardecer marca la hora exacta. a) 20 bl21 cl22 dl 23 el 24 18. De un recipiente que está lleno, los ~ de lo que no está l~eno, se sacan 2 litros observándose que harían falta los 5 de lo que queda para llegar a cubrir la mitad del recipiente. Calcular la capacidad del recipiente. a) lOL bl 15L e) lBL dl2BL el 32L 19. Dos caños alimentan un estanque. El primero puede llenarlo en 50 horas y después el segundo en 40 horas. Se deja correr el primero durante 15 horas y después el segundo durante 16 horas. En seguida se retiran 900 litros y luego se abren las dos llaves. constatándose que el estanque termina por llenarse en 10 horas. ¿Cuál es la capacidad del estanque? al 5000L bl 5450L cl 6000L dl 6800L el 7000L 20. Un comerciante tiene cierto número de artículos y piensa venderlos de la siguiente manera: los ~ del total a SI. 80 cada uno y el resto a SI. 50 cada uno. Pero a la hora de la venta hizo todo lo ·contrario. por 10 que dejó de recibir SI. 4500. ¿Cuánto ha recibido por la venta? al 26500 bl 27000 cl 29500 dl 30000 el 31500 11.5 AUTOEVALUACIÓN l. Dadas las fracciones: 3~.' ª7 '. .1±5..' 351 ; 221 ; el décimo término es: 11 al 2047 13 bl 2049 15 cl 2047 17 dl 2049 19 el 2047 2. Siendo a > O. la cantidad de fracciones irreductibles de la a forma 21 menores que 2. es: al 20 bl 21 cl22 dl23 el 24 3. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles. de 75 numerador 84. son mayores que 103 ? a) 9 b) 10 e) 11 d) 24 e) 31 4. ¿Cuántos racionales t5 aproximan a ~ con un error 1 menor que 3? a) 5 b)6 e) 7 d) 8 e) 9 5. Hallar la suma de las cifras del numerador de una fracción propia e irreductible de denominador 111 , ta l que reducida a decimal, cada cifra del periodo excede en tres unidades a la que está a su izquierda. a)4 b)5 e) 6 d) 7 e) 8 6. a ~ a+2 Dado: b = 0 , a talque 2 ya + 2 = e + f; b + 2 =0, a Halle b a) -3 b) .!.! 7 d) ~ 4 e) - e) - 5 9 9 9 9 7. Se tiene un número racional escrito en base 5 . Si se corre la coma un lugar hacia la derecha su valor aumenta en 1,03(5). Hallar dicho número. a) 0 ,04(5) b) 0 , 11(5) e) 0,13(5) d) 0 , 12(5) e)0 ,21(5) 8. ¿Cuántas cifras periódicas genera la fracción _ 122(3) . ? f - 1011101 ,en la IIllsma base 3. (3) a) 25 b)28 e) 30 d)42 e) 63 9. A Y B pueden hacer una obra en tres días, B y e en cuatro, A y e en cinco. ¿En cuántos días puede hacerlo A trabajando solo? 1 a) 5 17 1 e) 7 17 1 d) 8 17 10. Un estudiante debe resolver en 3 días N problemas para aprobar un curso. Si el primer día resuelve ~ del total más 8 problemas; el segundo día resuelve 1;4 de lo que queda más 9 problemas y el tercer día' resuelve ~ del resto. Hallar N si aun le falta 24 problemas por resolver. a) 110 b) 120 el 130 d) 140 e) 150 11.6 CLAVE DE RESPUESTAS De los problemas propuestos De la autoevaluaci6n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b b d a a a e a d d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 d d e a a e a e e b