Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

NUMERACIÓN PROBLEMAS RESUELTOS PDF















Numeración El hombre primitivo a veces registraba un numero cortando muescas en un palo o en un trozo de hueso. Un testimonio de esto se ha encontrado en Checoslovaquia, donde se ha encontrado un hueso procedente de un cachorro de lobo, con una antigüedad de unos 30000 años, donde figuran 55 incisiones distribuidas en dos series, una con 25 y la otra con 30, estando distribuidas las incisiones en grupos de cinco. En las civilizaciones antiguas la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo, aunque la mayoria de ellos usaba el sistema de numeración decimal. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

La excepción se produjo en los pueblos de la Mesopotamia, donde se usaba un sistema de numeración de base 60; prueba de ello es que se han encontrado miles de tablas correspondientes a la dinastía de Hammurabi (aproximadamente 1800- 1600 a.c.) en la que se nos muestra un sistema de numeración de base 60 completamente desarrollado, (otra excepción constituye la numeración Maya que usaba las bases 20 y 5 aunque con alguna irregularidad). Otros testimonios de lo afirmado lo encontramos en ciertos dibuj os y símbolos trazados sobre ladrillos o tabletas sirias y babilónicas, entre los siglos XXX Y XX antes de nuestra era. 1. Cualquiera que haya sido el origen del sistema de numeración de base 60. en la actualidad se sigue usando en ciertas cuestiones de la vida diaria. ¿ puedes plantearte dos ejemplos de ello? 2 . ¿Puedes concebir el proceso del conteo de las horas minutos y segundos en el sistema de numeración decimal? 6.0 OBJETIVO "El uso del sistema de numeración decimal es consecuencia del accidente anatómico de que la mayor parte de nosotros nacemos con diez dedos en las manos y en los pies· Aristóteles Representar y leer correctamente los números 6.1 NUMERACIÓN Parte de la Aritmética. que nos enseña como pueden formarse de un modo convencional y sistemático. todos los números. SISTEMA DE NUMERACIÓN.- Conjunto de reglas y convenios que permiten formar. representar y expresar los números mediante un número limitado de símbolos y palabras. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN.- Es el número constante de unidades de un orden que se requieren para formar una unidad del orden inmediato superior. Ejemplo BASE = 12 "Doce unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior" CONCLUSIONES: l. Existen tantos sistemas de numeración como bases existen. 2. Todo entero mayor que uno puede ser base de un sistema de numeración. PRINCIPIOS GENERALES DE UN SISTEMA DE NUMERACION DE BASE "N" l. Con la cifra cero y las (n-1) que representan, los (n-1) prtineros números, se pueden representar todos los números. 2. "n" unidades de un orden cualquiera forman una Unidad del orden inmediato superior y viceversa. 3. Toda cifra escrita un lugar a la izquierda de otra, representa unidades colectiva n veces mayores que las de ésta otra. Ejemplo de sistemas de Numeración Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Nombre Binario Ternario Cuaternario Quinario Exal Heptal Octal Nonario Decimal enesimal Cifras O; 1 O; 1; 2 O; 1; 2; 3 O; 1;2;3;4 O; 1;2;3;4; 5 O; 1;2;3;4;5;6 O; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 O; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 O; 1; 2; 3;4; 5; 6;7;8;9; O; 1; 2; ................. (n-2); (n - 1) OBSERVACIÓN.- En los sistemas de numeración de bases mayores que 10 usaremos los símbolos: a. 13. 'Y. S. e ... para representar las cifras 10; 11; 12; 13; 14; ... respectivamente. 9.2 REPRESENTACIÓN POLINOMIAL DE LOS NÚMEROS TEOREMA FUNDAMENTAL: Conocida una base mayor que la unidad. n > l . todo número puede descomponerse de modo único en su forma polinómica. M = ao + aln + a2n2 + asns + ..... + aknk Donde ~. Vi = O. l .. ... k son positivos y menores que la base n. DEMOSTRACIÓN: En efecto. dividamos por la base n. el número dado M y obtenemos que: M = n ql + ao ql = n ~ + al ~ = n qs + a2 ~-2 = n ~-l + ak-2 ~- l = n ak + ak-1 O lo que es equivalente a: M = aO + (al + [ak-l + ak n)n ... )n) n M = ao + aln + a2n 2 + .. .. a' k-2 n k-2 + ak-1 n k-l + akn k Supongamos; que si por cualquier otro procedimiento. se ha obtenido otra forma polinómica de igual carácter siendo bo. b 1. b2 .... bk números menores que n . tendremos al separar el factor común n: Donde bo es el resto de la división de M por n. que hemos visto es ao. siendo el cociente. Luego b 1 es el resto de la división del cociente obtenido por n . resto que hemos visto es al; etc. Donde resulta que la forma polinómica es única. CONCLUSIONES: 1. La forma simbólica de expresar la forma polinómica de M es: M = ak ak-l .... .. ... a2a ¡aO(n) 2. Principio del valor relativo de una cifra: cada cifra representa tantas unidades siInples como indica su producto por una potencia de la base igual al número de cifras que le siguen; así ~ tiene por valor relativo a2n2 unidades siInples. 3. Valor absoluto; es el que corresponde a una cifra por su forma o signo. 6.3 LECTURA DE NÚMERos EN EL SISTEMA DECIMAL ORDEN: Lugar que ocupa una cifra empezando derecha a izquierda. CLASE: Tres ordenes consecutivos. contados de derecha a izquierda. PERIODO: Reunión de dos clases consecutivas de derecha a izquierda. Ejm: Leer el número: 486630254 296 38~ 732 157639403 · 486 630 254 296 384 732 157 639 403 9a 8a 5a 4a Cuatrillones trtllones 3a billones la la unidades Lectura: 486cuatrillones 630mil 254trillones 296m1l ~84billones 732 mil 157 millones 639 mil 403 unidades. EN SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE BASE DIFERENTE AL DECIMAL Para su lectura se nombran sus cifras de izquierda a derecha indicando al final la base en la que está representado. Ejm: 1432(8): uno. cuatro. tres. dos en base ocho. 6.4 PASO DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN A OTRO Dado un número en cierto sistema de numeración; si queremos expresarlo en otro sistema distinto. el procedimiento consistirá en buscar la forma polinómica respecto a las potencias de la nueva base. PRIMER CASO: Paso del sistema de base n al sistema décimal. En este caso; es suficiente responder a la pregunta ¿Cuántas unidades simples posee el número? Ejemplo: El número 2341(5) en el sistema decimal. ¿Cómo se representa? 2341(5) = (2x53 + 3x52 + 4x 5+1) Unidades = 346 SEGUNDO CASO: Paso del sistema de numeración decimal a otro diferente. Es suficiente representarlo en su forma polinómica en el sistema diferente al decimal. Expresar 234 en el sistema quinario. 234 = 1 x 53 + 109 52 < 109 < 53 109 = 4.52 + 9 234 = 1 X 53 + 4 x 52 + 1.5 + 4 234 = 14145 Este proceso se esquematiza mediante las divisiones sucesivas: 234 230 46 -fA\ 45 6-o 1 o :::) 234 = 1414(5) TERCER CASO: Paso de un sistema de base n a otro de base m(my n ~ 10) Para resolver este caso es suficiente expresar el número dado en su forma polinómica en el nuevo sistema de numeración. Expresar 423(6) en el sistema octal. 423(6) = 4 x 62 + 2 x 6 + 3 = 4 (4 x 8 + 4) + 12 + 3 = 2x 82 + 2 x 8 + 1 x 8 + 4 + 3 = 2x 82 + 3 x 8 + 7 423(6) = 237(8) Como este proceso puede ser extenso para números grandes. entonces podemos aplicar los casos anteriores: Ejemplo: Expresar 2310(5) en base 8 l. Expresamos 2310(5) en el sistema decimal 2310(5) = 2 x 53 + 3 x 52 + 5 = 330 2. Este resultado lo representamos en el sistema octal. 330~ 238 41 8 -- 40 @-@ 0) ::::} 2310(5) = 512(8) OBSERVACIÓN: 2310> 512 (en el sistema de base 10) sin embargo 5 < 8 "A menor base mayor representación y viceversa" Ejemplo: + CEPRE(x) = INGRESOUNI(y) => x > y 6.5 REPRESENTACIÓN POLINÓMICA DE NÚMEROS Ejemplo: 2 3 0.2345 = -5 + - 52 +4- 52 2 4 3 651.4326(8) = 6 x 8 + 5 x 8+ 1 + 8 + 2: 8 = 6 x 82 + 5 x 8+ 1 + 4 x 8-1 + 3 x 8-2 + 2 x 8-3 + 6 x 8-4 6.6 PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA) Es una sucesión de números en la cual un término tras otro se forman agregando una misma cantidad constante. llamada razón aritmética. Ejemplo: 40.52. 64. 76. 88. 100 ..... P.A. CRECIENTE DE RAZÓN + 12 ~ RAZON> O +12 +12 +12 +12 +12 444.430.416.402. oo. P.A. DECRECIENTE DE RAZÓN -14 ~............... RAZÓN a + b = 25 Luego: Ejemplo a(25-a)(25-a)~o J. 6 7 8 19 14 números ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes entre sí existen en el sistema de base 9? Aplicación: a b Cg 100 2 1 1 322 433 544 655 766 877 88 8x(9-1)x(9-2) = 8x8x7 = 448 números El enumerar la secuencia 1.2.3 ........ n # cifras tilizad = (n + l)k - 11 ........ 11 u as '--y-----' k cifras donde n tiene k - cifras OBSERVACIÓN: Si se utiliza otra base. la misma fórmula anterior es válida. sin embargo todas las operaciones y números deben estar expresadas en dicha base. Ejemplo: Al enumerar; l. 2. 3 •....... 423 n = 423 k = 3 base 10 Se utilizan: (423+ 1) x 3 - 111 = 1161 cifras Ejemplo Al enumerar las páginas de un libro en base 8 se utilizaron 788 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? Resolucl6n: #cifras = (1008 + 1) x 3 - 1118 = 1728 = 122 1-+1008 #cifras = (10008 + 1) x 3 - 11118 = 16728 = 954 1-+10008 Luego la última página del libro tiene como número 3 cifras. #cifras = (N + 1) x 3 - 1118 l-+N 788 = 3(N + 1) - 73 -+ N = 286 = 4368 Luego el libro tiene 286 páginas y su última página esta enumerada mediante 4368 . 6.7 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Si: abc(4) = C40(5) cba(4) = (a + b)O(6) Halle: a + b + c Resolucl6n De: abc(4) = c40(5) y 16a + 4b + c = 25c + 20 14a + b = 6c + 5 De: cba(4) = (a + b)0(6) 16c + 4b + a = 6a + 6b 1 16c = 5a + 2b I Multiplicando por 2 a la ecuación (1): I 8a + 2b = 12c + 10 I (2) + (3): 16c + 8a + 2b = 5a + 12c + 2b + 10 4c + 3a = 10 i i 1 2 pues a, b y c < 4 reemplazando en (1) b = 3 Luego: a + b + c = 6 Problema N° 2 Si: abcd b = a5cbdb6 y aCilb e ab(c) = bbb(a) = ba(a+c) Halle: d oo. (1) .. . (2) ... (3) Resoluci6n: Dato: ab(c) = bbb(a) = ba¡a+c) ae + b = ba2 + ba + b ae = ba2 + ba ~Ir -e-=-b-(a-+-1-')I También: bbb(a) = ba(a+c) ba2 + ba + b = ba2 + b = ba2 + b = I a(ab - b2 - 1) = ba + be + a be + a = b(b(a+1)) + a b2a + b2 + a b(b - 1) Como a > b ~ en (2) b = 1 ~ ala - 2) = O ~ a=2 b=2 ~ a(2a - 5) = 2 ~ ~a b=3 ~ a(3a - 10) = 6 ~ ~a Luego a= 2: b = 1 Y reemplazando en (1) Luego: e = 3 ab(c) = 7 abe (7) = 108 abed108 = abe108 x 108 + d = 213108 x 108 + d = 2531412 + d abed¡1081 = 2531412 + d a5ebdb6 = 2531412 + d o o d = 4 e=3 000 (1) 00 0 (2) Problema N° 3 Dado: M = -a-cc-c-c-c-a(n) + cbbca(n) + dbeOO(n) + fd(n)' 100 ~ abc < 200; abc = (e x f?; e > f. e + f = 9; e + a = 2d La suma de las cifras de M expresado en la base "n + 1" es: Resolución: Del dato: 100 ~ abe < 200 => .!. 100 121 lbe = (e x f)2 = 144 169 1 196 (2 x 5)2 (l x 11)2 => (ex f)2 = (2 x 6)2 = (3 x 4)2 (1 x 13)2 (7 x 2)2 como e > f Y e + f = 9 e = 7. f = 2 => b = 9 Y e = 6 también d = 4 reemplazando y por descomposición polinómica tenemos: M = 1666661 (n) + 69961 (n) + 49700(n) + 24(n) M = n 6 + 6n5 + 6n4 + 6n3 + 6n2 + 6n + 1 + 6n4 + 9n3 + 9n2 + 6n + 1 + 4n4 + 9n3 + 7n2 + 2n + 4 Recordamos: 2 1 3 3 4 6 4 5 10 10 5 6 15 20 15 Son coeficientes del desarrollo de un binomio. Entonces damos forma a M M = (n + 1)6 + n 4 + 4n3 + 7n2 + 8n + 5 M = (n + 1)6 + (n + 1)4 + n2 + 4n + 4 .. M = (n + 1)6 + (n + 1)4 + (n + 1)2 + 2(n + 1) + l M = 1010121(n + 1) Suma de cifras 6 Problema N" 4 Dada la siguiente progresión aritmética: abo ca. cd. ef. fe . gb. do. dd; siendo la suma cdo y ed + gb = 1 bo Hallea+b+e+d+e+f+g Resolución: Como: 6 ab. ca. cd. er. re. · gb. do. dd; se encuentran en progresión aritmética: siendo dd = lId do = 10d se puede formar: dd = lld do = 10d gb = 9d fc = 8d ef= 7d cd= 6d ca = 5d ab =4d => es una progresión aptmética de razón d > O Como cd + gb = lbo l5d = 100 + 10b 3d 3d J, Par = 20 + 2b = 2(10 + b) Suma = cdO (lld 2 + 4d) x 8 = cdo l5d x 4 = 10 x cd 6xd = cd J, 2 12 4 24 6 36 8 48 En (') se descarta d = {: Queda d = 8 => (*) b = 2 Con ello se reconstruye la progresión aritmética 32.40.48.56.64.72.80.88 a + b + c + d + e + f + g = 35 "o (*) I'roblema N" 5 Sabiendo que para escrtbtr la secuencia 1; 2; 3; .... ; xyz se ut1l1zan 927 cifras. Cuántas cifras se utilizan al impimir la siguiente secuencia: abc67• abc68 •..•• abcXYz Resolucl6n: Del dato: Desde 1 hasta xyz existen 927 cifras. 3(xyz + 1) - 111 = 927 => xyz = 345 Trabajando con el exponente en la secuencia 67. 68 •.... 99. 100. 101. .... 345 __ __ ______ ______ J 33#s 246#s 2)(33 + 3)(246 '-y-' '---y--J => 66 cifras + 738 cifras = 804 cifras En los números: 279 )( 3 = 837 cifras Total: 804 + 837 = 1641 cifras. Problema N° 6 Se tienen 3 libros siendo el total de páginas 466 y el total de cifras para numerar sus páginas 1077. además uno de los libros tienen menos de 100 páginas y la diferencia de páginas de los más voluminosos es 144. El número de páginas del mas voluminoso es: Resoluci6n: Sean el total de páginas: ab,xyz,nmp 1077 = [2 (ab + 1) - 11] + [3 (xyz + 1) - 111] + [3 (nmp + 1) - 111] => 2 (ab) + 3(xyz) + 3(nmp) = 1302 También: xyz - iiiiiP = 144 ab + xyz + nmp = 466 Luego de (1), (2) Y (3) ab = 96; xyz = 257; nmp = 113 El ,más voluminoso tiene 257 páginas Problema N° 7 ... (1) ... (2) .. . (3) La mínima base de numeración en la cual existen nm números de la forma: Resolucl6n: Como 4 - n ~ O => n = 1, 2, 3, 4 solo puede ser n = 4 Reemplazando y aplicando el dato: (a+ 4>(~) 10(b) O 2 4 (2k) (k + 1) = (k + 1) números ~ k + 1 = nm; siendo n = 4 k = 4m- 1 luego: 2k = 2(4m - 1) como a + 4 < b ~ 2(4m - 1) + 4 < b 82 + 2m < b b mínimo ~ m mínimo .L O b mín. = 83 Problema N° 8 El número 4096. en cuantos sistemas de numeración de base par se escribe con tres cifras. Resolucl6n: 4096 = abc(2x) TOO(2x):5 abc(2x) < 1000(2x) (2x)2 :5 4096 < (2x)3 ~ (2x)2:5 2 12 < (2x)3 8 < x:5 32 x: 9. 10 ... ...• 32 2x: 18. 20 •..... 64 Existen: 24 Bases Problema~ 9 64-18 ~ cantidad = 2 + 1 = 24 Al escribir los números de la forma: 32(x). 42(x) .. ... 702(x) se han utilizado 297 cifras (sin considerar la base). Entonces la sumE.. de las cifras de x es: Resolución: Del dato Tenemos y aplicando descomposición polinómica: En la secuencia: 32(x). 42(x) . ...• (x-l)2(X)' 102(x). 112(x)' .. .... 702(x) 3x + 2. 4x + 2 ... .• Xl - x + 2. Xl + 2. Xl + x + 2 •.... 7Xl + 2 ~' __________ ~ _________ -J'-_________ ~ _________ ~ números con 2 cifras números con 3 cifras 222 2«x -x + 2~ - (2x+ 2») + 3«7X + 2) -Jx -x+ 2») = 297 cifras (2x - 6) + (l8x + 3) = 297 x = 15 Suma de cifras : 6 Problema N° 10 En qué sistema de numeración. cuya base es par. existen 100 números de tres cifras pares diferentes Resolución: a b c(2n) 2 O O 4 2 2 6 4 4 (2n-2)(2n-4)(2n-4) (2n-2)(2n-2) (n-l)x(n-l)x(n-2) = 100 (n-1)2 (n-2) = 100 = 52 x 4 n = 6 -t base = 2n = 12 6.8 PROBLEMAS PROPUESTOS l. ¿Cuántos números de 3 cifras del sistema decimal utilizan al menos una cifra 2, o al menos una cifra 3 en su escritura? a) 402 b)448 e) 450 d)452 e) 454 2. ¿Cuántos números de la base x de tres cifras, se escriben en la base x + 1 también con tres cifras? (x > 21 a) ~ -x + 1 d) r -x + 1 b) x(x2 - x - 2)-1 e) x 3 + 1 e) x(x3 -x + 1) 3. En cuántas bases se puede considerar la siguiente suma: abe(x) + 2ab2(x) + 43x(7); considerar a, b y e fijos. a) 1 b) 2 e) 3 d)4 e) 5 !:. ' \ I ¡ 4. S1: 3a+ 3b+ 3e = 327; 'a> b > c; eba = 5x + 5Y - 5z Halle x + y + z . a) 5 b) 6 e) 7 d) 8 e) 9 5. ¿Cuántos números de la forma abe con a, b y e diferentes entre si exi~ten?, tales que: a : 1, 2. 3. 4. 5. 6 Ó 7 b: 1.3,5 Ó 7 c: O. 1. 2. 3, 4. 5. 6. 7 Ó 8 a) 160 h) 161 e) 167 d) 168 e) 210 6. En el sistema de base nueve, la cantidad de números capicúas de 4 cifras es: a), 72 b)74 el81 d)90 e) 160 7. En que sistema de numeración cuya base es impar, existen 231 números de 3 cifras que terminan en cifra par o comienzan en cifra impar. a) 13 b) 11 c) 9 d) 5 e) 7 8. En qué sistema de numeración se emplean 2240 cifras para escribir todos los números capicúas de 5 cifras. a) 6 b)7 c) 8 d) 9 e) 10 9. Halle un número de tres cifras que sea igual a 12 veces la suma de sus cifras. De como respuesta la suma de las cifras del número. a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 10. En el sistema de base buatro existen 3072 números que se representan con n cifras. Entonces Des: a)4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 6.9 AUTOEVALUACIÓN 1. Si: abcabc(nl = mnppq(7) n>5 Halle: a + b + c + m + n + p + q a) 10 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 2. Sabiendo que 43abn = m9n2: con n impar. ¿Cuántos valores distintos puede adoptar b? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 eJ 5 3. En cierto sistema de numeración de base b (b > 12) existen el doble de números con 1 cifra respecto al sistema de base a. Hallar la suma de cifras del número 135b al ser expresado en base a. a) 14 b) 15 e) 16 d) 17 e) 18 4. ¿Cuántos números de la forma (a- c>(~)