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MUESTREO Y VARIABLE ALEATORIOS EJEMPLOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

La media muestral x que se obtiene en un muestreo aleatorio simple permite hacer inferencias respecto a la media poblacional . Al extraer muestras aleatorias de una población puedes calcular la media aritmética de cada una de estas, de la cuales es posible concluir que la media muestral se aproxima a la media poblacional a medida que el tamaño de la muestra se acerca al tamaño de la población. Al repetir una gran cantidad de veces un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cada suceso tiende a estabilizarse en un número específico que corresponde a la probabilidad teórica del suceso. Este hecho se conoce como la ley de los grandes números. Los estudiantes han visto en cursos anteriores la diferencia entre población y muestra, y probablemente han reflexionado también en su vida cotidiana respecto de la imposibilidad de conocer los datos de un conjunto total de personas, y por ende la conveniencia de escoger un grupo de estudio que conocemos como muestra. Sin embargo, uno de los principales problemas en la estadística es precisamente la selección correcta de una muestra, o dicho con mayor precisión, de una muestra que permita efectivamente extrapolar lo observado en ella a toda la población. Es claro que si la muestra solo responde a algunas características de la población, extender lo observado en ella puede no ser correcto. Para graficar en lo que consiste el muestreo, suele utilizarse la analogía de la olla de sopa: la persona que cocina la revuelve, prueba una cucharada y con ello puede saber si, por ejemplo, está bien de sal. Pero en el caso de una población, nunca estamos completamente seguros de hasta qué punto hemos logrado “revolverla”, y por lo mismo de si la “cucharada” extraída es la más representativa. Esto es lo que, finalmente, confiamos al azar: se espera que si no hay intencionalidad en la extracción de la muestra, esta realmente será representativa. Por supuesto, esto requiere de algunas hipótesis sobre cómo se distribuye la población, pero el análisis al respecto está fuera de las posibilidades de este curso. ¿Qué debes saber? Definir población y muestras, y extraerlas Es preciso que aclare a los estudiantes que una misma población puede tener diversas muestras, y que una situación de estudio determina una población (sobre quienes nos interesa saber algo) y a partir de ella, una muestra. Para la pregunta 2, puede ser necesario repasar el cálculo del tamaño de la muestra (combinación de elementos), e insistir a los estudiantes en que primero calculen la cantidad de muestras y luego las determinen, para poder verificar que efectivamente las han encontrado todas. Definir espacios muestrales, eventos, y calcular probabilidades Puede ser necesario, en este caso, recordar el concepto de espacio muestral y la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades. Es también la ocasión de enfatizar en la necesidad de seguir procedimientos sistemáticos para el cálculo, como se presenta en la pregunta 5: determinar la cardinalidad del espacio muestral, los casos favorables y luego aplicar la regla. Variable aleatoria Propósito Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento. Palabras clave Experimento aleatorio, espacio muestral, probabilidad, función, dominio, recorrido Prerrequisitos §§Determinación de espacio muestral de un experimento aleatorio. §§Cálculo de probabilidad de un suceso. §§Determinación de una función, su dominio y recorrido. Activación de ideas previas El contenido que se aborda en esta lección es nuevo para los estudiantes, por lo que la activación de ideas previas puede realizarse a partir del concepto de función. Puede preguntar a los estudiantes por situaciones que se han modelado en cursos anteriores por medio de funciones. A partir de ello, señale que a varios elementos del dominio se les puede asignar un mismo valor del recorrido. Por ejemplo, si considera la función que asigna a cada estudiante del curso el número de hermanos que tiene habrá algunos de ellos a los que les corresponde el valor 0 (no tienen hermanos), a otros les corresponderá el 1, etc. En el estudio de las variables aleatorias se enfrentarán, especialmente, a este tipo de funciones. Orientaciones didácticas Una variable aleatoria es una función que nos permite analizar la probabilidad de sucesos compuestos. En particular, define un valor numérico asociado a ciertos casos del espacio muestral, de los cuales se calcula su probabilidad. Para explicar este contenido, utilice la representación conjuntista de función que se presenta; el apoyo gráfico suele ser de gran utilidad para los estudiantes. Desde un principio, recalque a los estudiantes que, al realizar un experimento, podemos observar distintos tipos de resultados. En el caso de los dados, podría considerarse la diferencia entre los valores obtenidos, la diferencia en valor absoluto, el producto, o cuántos dados indican el 5, por ejemplo. Esto induce a otras variables aleatorias, con distinto dominio y recorrido, que se pueden analizar. Si desea, a partir del mismo ejemplo presentado puede analizar los descritos anteriormente. Actividades complementarias a) Analiza cada situación. Luego, define la variable aleatoria correspondiente y represéntala en un diagrama sagital. • Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos inclusive, y se cuenta el número de letras que tiene al escribirlo con palabras. • Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia entre el número de puntos obtenidos y el número 6. b) Se elige al azar una de las letras de la palabra MURCIÉLAGO y se observa si esta es vocal o consonante. Plantea una variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada. c) Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un número natural nde tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de probabilidad asociada. El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. El primer caso que se aborda se relaciona con la correcta identificación de los casos favorables y los casos totales, especialmente cuando deben diferenciarse o no los casos. Esta confusión es común entre los estudiantes, especialmente porque hacerlo no depende de una regla matemática sino de una adecuada comprensión del problema. El segundo caso constituye un error conceptual, como es asumir que la media muestral es igual, necesariamente, a la poblacional. Es necesario que insista en este punto siempre, al abordar los contenidos y en el análisis de este tipo de problemas, ya que al constatar el error puede quedar más clara la diferencia entre ambas. 158 Matemática