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MONOTONÍA Y CURVATURA - DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Dada la funcio´n f (x ) : 1 x 2 1 a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Calcula los puntos en los que alcanza un ma´ximo o un mı´nimo relativo. 2. Dada la funcio´n f (x ) , se pide: 4x x 2 4 a) Sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Sus intervalos de concavidad y convexidad. c) Los ma´ximos y mı´nimos relativos y los puntos de inflexio´n. 3. Estudia la curvatura de la funcio´n f (x ) x · e determinando sus intervalos de concavidad y convexidad y los x2 puntos de inflexio´n. 4. La funcio´n f (x ) a · e2x b · x 2 c tiene un punto de inflexio´n en (0, 3) y la pendiente de la recta tangente en ese punto es igual al valor L . Calcula los valores de a, b y c. 2x lim xA0 2 sen x x 5. ¿Cua´les deben ser las dimensiones (altura y radio de la base) de un depo´sito de agua cilı´ndrico de volumen ma´ximo, si su superficie total, incluidas las dos tapas, es de 300 m2? y x 6. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto ( 1, 3) y corta los ejes de coordenadas determinando un tria´ngulo de a´rea ma´xima. Y O 1 1 X 7. Considera la funcio´n f (x ) x 3 bx 2 cx d. a) ¿Que´ valores deben tomar b, c y d para que la funcio´n tenga un punto de inflexio´n en x 1 y la recta tangente a la gra´fica de f (x ) en ese punto sea y 2x 3? b) Para esos valores, estudia el crecimiento y la curvatura de la funcio´n. SOLUCIONES 1. Dominio: R { 1, 1}; f (x ) 2x (x 2 1)2 se anula en x 0. Signo de f (x ): + –1 + 0 – 1 – La funcio´n es creciente en ( , 1) y ( 1, 0) y es decreciente en (0, 1) y (1, ) Ma´ximo: (0, 1) 2. Dominio: R f (x ) 16 4x 2 4 · (2 x ) · (2 x ) (x 2 4)2 (x 2 4)2 Se anula en x 2 y x 2 – –2 + 2 – La funcio´n es creciente en ( 2, 2) y es decreciente en ( , 2) y en (2, ). Mı´nimo relativo: ( 2, 1). Ma´ximo relativo: (2, 1) f (x ) 8x 3 96x 8x · (x 2 12) (x 2 4)3 (x 2 4)3 Se anula en x 0, x 2 3 y en x 2 3 – –2 3 + 0 – 2 3 + f (x) es c´oncava en ( , 2 3) y en (0, 2 3) y es convexa en ( 2 3, 0) y en (2 3, ). Puntos de inflexio´n: , (0, 0) y 3 3 2 3, 2 3, 2 2 3. f (x ) e (1 2x 2) x2 f (x ) 2x · (2x 2 3) · e x2 La derivada segunda se anula en x 0 y en x 6 2 Signo de f (x ): – + 0 – 6 + 2 6 – 2 f (x) es co´ncava en 6 6 , 0, 2 2 y convexa en 6 6 , 0 , 2 2 Puntos de inflexio´n: , e , (0, 0) 6 6 3 2 2 2 y 6 6 3 , e 2 2 2 4. f (x ) 2a · e2x 2bx y f (x ) 4a · e2x 2b Aplicando la regla de L’Hoˆpital: L 2 f (0) 2 2 lim xA0 2 cos x 1 2a 2 a 1 Como (0, 3) es punto de inflexio´n: f (0) 3 a c 3 c 2 f (0) 0 4a 2b 0 b 2 La funcio´n es: f (x ) e2x 2x 2 2 5. Superficie: 2 x 2 2 xy 300 y 300 2 x 2 2 x Volumen: C (x, y ) x 2 y V (x ) 150x x 3 Se busca el ma´ximo de V (x ) anulando la derivada primera, V (x ) 150 3 x 2 V (x ) 0 x . La solucio´n negativa 5 2 no tiene sentido. Como V 0, se alcanza 5 2 el volumen ma´ximo para x 4 m 5 2 y 8 m 10 2 6. La recta es de la forma y 3 m (x 1) Los puntos de corte con los ejes son: 3 m , 0 m y (0, m 3). El a´rea del tria´ngulo depende de la pendiente m, A (m) · (m 3) 1 3 m 2 m La derivada A (m) se anula en 1 9 1 2 2 m m 3. Como A (m) A (3) 0, el 9 m3 a´rea es ma´xima para m 3. La recta buscada es: y 3 3(x 1) 7. f (x ) 3x 2 2bx c y f (x ) 6x 2b a) f (1) 0 6 2b 0 b 3; la pendiente de la tangente es m 2: f (1) 2 3 2b c 2 c 5; f (1) 1 1 b c d 1 d 4, la funcio´n es f (x ) x 3 3x 2 5x 4. b) Como f (x ) 3x 2 6x 5 0, la funcio´n es siempre creciente. Estudiando el signo de f (x ) 6x 6 vemos que la funcio´n es co´ncava en ( , 1) y convexa en (1, ), ya que el u´nico punto de inflexio´n es (1, 1). 1. Considera la funcio´n f (x ) ax 3 bx 2 cx d : a) ¿Que´ valores deben tomar a, b, c y d para que la funcio´n tenga un ma´ximo en el punto (1, 2) y un mı´nimo en el punto ( 1, 2)? b) Estudia la curvatura (concavidad, convexidad y puntos de inflexio´n) de la funcio´n para los valores obtenidos en el apartado anterior. 2. Estudia el crecimiento de la funcio´n f (x ) esen x · cos x y determina sus ma´ximos y mı´nimos relativos para x [0, 2 ]. 3. ¿Para que´ valores de x es ma´ximo el valor del determinante de la matriz A ? a b c a x c ¿Para qu´e valores es m´ınimo este determinante? a b x 4. En una circunferencia de radio r se consideran dos arcos consecutivos cuya suma es un cuadrante y cuyos a´ngulos centrales respectivos miden y con 0 . 2 2 a) Calcula el valor de que hace que la suma de los cuadrados de las longitudes de sus cuerdas sea ma´xima. ¿Cua´nto vale ese ma´ximo? b) Calcula el valor de que hace que el a´rea del tria´ngulo determinado por los extremos de dichos arcos sea ma´xima. ¿Cua´l es esa superficie ma´xima? 5. Desde un punto P, que se mueve por una semicircunferencia de dia´metro AB con A( 4, 0) y B(4, 0), se trazan las perpendiculares PC y PD a la tangente a la circunferencia en el punto B y al dia´metro AB, respectivamente. Determina las coordenadas del punto P que hacen que el a´rea del trapecio APCB sea ma´xima. O B A O D P A B C SOLUCIONES 1. Calcula los ma´ximos y los mı´nimos de las siguientes funciones: a) f (x ) x x 2 4 c) f (x ) xe x e) f (x ) 1 x 1 x b) f (x ) x 2 x 1 d) f (x ) L(x 2 2x) f) f (x ) e x x 2 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) f (x ) x 4 2x 2 c) f (x ) x x 1 e) f (x ) (x 1)e x b) f (x ) x 4 x 3 d) f (x ) L(x 2) f) f (x ) 1 x 2 4 3. Calcula los puntos de inflexio´n de las siguientes funciones: a) f (x ) x 3 6x 2 b) f (x ) L(x 2 1) c) f (x ) x 2 x 2 d) f (x ) x 2e x 4. Estudia la curvatura de las siguientes funciones: a) f (x ) (x 1)2 b) f (x ) x 3 x 2 x 2 c) f (x ) x 1 d) f (x ) x 1 x 1 5. Considera la funcio´n f (x ) . Calcula: x x 2 4 a) Su dominio. b) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Sus ma´ximos y sus mı´nimos. d) Sus puntos de inflexio´n. e) La ecuacio´n de la recta tangente en su punto de inflexio´n. 6. Halla el valor de a para que la funcio´n f (x ) x 3 ax 1 tenga un extremo en x 1. Halla dicho extremo y determina si es ma´ximo o mı´nimo. 7. Considera la funcio´n f (x ) x 3 ax 2 bx 1. Se sabe que tiene dos extremos en x 1 y en x , 1 respectivamente. 3 a) Halla el valor de a y b. b) Clasifica el tipo de extremos que tiene en x 1 y en x . 1 3 c) Halla los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente es 5. 8. Considera la funcio´n f (x ) ax 3 bx. Sabiendo que tiene un extremo en (1, 4), halla el valor de a y b. 9. Encuentra dos nu´meros sabiendo que su producto es ma´ximo y que la suma del primero con el cuadrado del segundo es 48. 1. Halla el nu´mero x que hace que el valor del determinante de la matriz A sea mı´nimo. x 1 x 1 1 x 2. De todos los tria´ngulos recta´ngulos tales que la suma de su hipotenusa y un cateto sea 12 cm, halla el que tiene a´rea ma´xima. 3. Halla las dimensiones del recta´ngulo de a´rea ma´xima que se puede inscribir en una circunferencia cuyo radio mide 2 cm. 4. Se quiere construir una piscina con forma de paralelepı´pedo rectangular tal que su anchura sea doble que su altura y que la suma del largo, ancho y alto sea 24 m. Halla las dimensiones que debe tener la piscina para que su capacidad sea ma´xima. 5. De una chapa circular de radio 10 cm se recorta un sector circular y con la lata restante se construye un embudo. Halla el sector que debe cortarse para que el embudo tenga capacidad ma´xima. 6. Descompo´n el nu´mero 45 en suma de dos nu´meros tales que el producto del cubo del primero por el cuadrado del segundo sea ma´ximo. 7. La comisio´n que cobra un agente de seguros viene dada por la funcio´n: f (x ) 60 000 270x , donde x representa el importe, en euros, de la po´liza contratada. 63x 2 3x 3 20 500 ¿Cua´l es el importe de la po´liza que le garantiza una comisio´n ma´xima? 8. La cotizacio´n de las acciones de una empresa a lo largo del pasado an˜o vino dada por la expresio´n f (t ) 1,8 0,57t 0,11t 2 0,006t 3, donde t representa el mes del an˜o (0 t 12). a) Halla los periodos del an˜o durante los cuales crecio´ la cotizacio´n de las acciones y durante los cuales decrecio´. b) ¿Cua´ndo la cotizacio´n fue ma´s alta y cua´ndo fue ma´s baja? ¿Que´ valor alcanzaron las acciones en esos momentos? Fı´jate que esta´s hallando extremos en el intervalo cerrado [0, 12]. 9. Los gastos anuales en publicidad de una empresa, en euros, vienen dados por la expresio´n f (x ) 120 200 , donde x representa el nu´mero de an˜os que lleva funcionando 6 010x 2 24 040x 6 010 e x 2 la empresa. a) ¿Cua´nto dinero se gasto´ la empresa en publicidad en el momento de su creacio´n? b) ¿En que´ periodos de tiempo los gastos en publicidad crecieron? ¿En cua´les decrecieron? c) ¿En que´ an˜o se produjeron los mayores gastos en publicidad? ¿A cua´nto ascendieron? d) ¿En que´ an˜o se produjeron los menores gastos en publicidad? ¿A cua´nto ascendieron? e) Con el paso de los an˜os, ¿cua´l tiende a ser el gasto publicitario anual de esta empresa? 10. La relacio´n entre los beneficios obtenidos por la venta de un determinado producto y el tiempo en an˜os que esta´ en el mercado viene dada por la funcio´n B(t ) , medida en miles de euros. 600t t 2 100 a) Estudia los perı´odos en los que los beneficios crecen y en los que decrecen. b) Indica a cua´nto ascienden los beneficios ma´ximos anuales. c) ¿En que´ perı´odos de tiempo los beneficios son menores que 18 000 euros anuales? d) ¿Hay algu´n momento en que la venta de este producto ocasione pe´rdidas?