MONOTONÍA Y CURVATURA–DERIVADAS BACHILLERATO RESUELTO PDF

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a)Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Calcula los puntos en los que alcanza un ma´ximo o un mı´nimo relativo. 2. Dada la funcio´n f (x ) , se pide: 4x x 2 4 a) Sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Sus intervalos de concavidad y convexidad. c) Los ma´ximos y mı´nimos relativos y los puntos de inflexio´n. 3. Estudia la curvatura de la funcio´n f (x ) x · e determinando sus intervalos de concavidad y convexidad y los x2 puntos de inflexio´n. 4. La funcio´n f (x ) a · e2x b · x 2 c tiene un punto de inflexio´n en (0, 3) y la pendiente de la recta tangente en ese punto es igual al valor L . 

Calcula los valores de a, b y c. 2x lim xA0 2 sen x x 5. ¿Cua´les deben ser las dimensiones (altura y radio de la base) de un depo´sito de agua cilı´ndrico de volumen ma´ximo, si su superficie total, incluidas las dos tapas, es de 300 m2? y x 6. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto ( 1, 3) y corta los ejes de coordenadas determinando un tria´ngulo de a´rea ma´xima. Y O 1 1 X 7. Considera la funcio´n f (x ) x 3 bx 2 cx d. a) ¿Que´ valores deben tomar b, c y d para que la funcio´n tenga un punto de inflexio´n en x 1 y la recta tangente a la gra´fica de f (x ) en ese punto sea y 2x 3? b) Para esos valores, estudia el crecimiento y la curvatura de la funcio´n. 

SOLUCIONES 1. Dominio: R { 1, 1}; f (x ) 2x (x 2 1)2 c) Halla los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente es 5. 8. Considera la funcio´n f (x ) ax 3 bx. Sabiendo que tiene un extremo en (1, 4), halla el valor de a y b. 9. Encuentra dos nu´meros sabiendo que su producto es ma´ximo y que la suma del primero con el cuadrado del segundo es 48. 1. Halla el nu´mero x que hace que el valor del determinante de la matriz A sea mı´nimo. x 1 x 1 1 x 2. De todos los tria´ngulos recta´ngulos tales que la suma de su hipotenusa y un cateto sea 12 cm, halla el que tiene a´rea ma´xima. 3. Halla las dimensiones del recta´ngulo de a´rea ma´xima que se puede inscribir en una circunferencia cuyo radio mide 2 cm. 4. Se quiere construir una piscina con forma de paralelepı´pedo rectangular tal que su anchura sea doble que su altura y que la suma del largo, ancho y alto sea 24 m. Halla las dimensiones que debe tener la piscina para que su capacidad sea ma´xima. 5. De una chapa circular de radio 10 cm se recorta un sector circular y con la lata restante se construye un embudo. Halla el sector que debe cortarse para que el embudo tenga capacidad ma´xima. 6. Descompo´n el nu´mero 45 en suma de dos nu´meros tales que el producto del cubo del primero por el cuadrado del segundo sea ma´ximo. 7. La comisio´n que cobra un agente de seguros viene dada por la funcio´n: f (x ) 60 000 270x , donde x representa el importe, en euros, de la po´liza contratada. 63x 2 3x 3 20 500 ¿Cua´l es el importe de la po´liza que le garantiza una comisio´n ma´xima? 8. La cotizacio´n de las acciones de una empresa a lo largo del pasado an˜o vino dada por la expresio´n f (t ) 1,8 0,57t 0,11t 2 0,006t 3, donde t representa el mes del an˜o (0 t 12). a) Halla los periodos del an˜o durante los cuales crecio´ la cotizacio´n de las acciones y durante los cuales decrecio´. b) ¿Cua´ndo la cotizacio´n fue ma´s alta y cua´ndo fue ma´s baja? ¿Que´ valor alcanzaron las acciones en esos momentos? Fı´jate que esta´s hallando extremos en el intervalo cerrado [0, 12].

1. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcio´n f(x) x3 12x y calcula sus extremos relativos. 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la siguiente funcio´n: 3. Estudia la curvatura de la funci´on f(x) x 3 y determina sus puntos de inflexi´on. 

4. Halla los ma´ximos, mı´nimos y puntos de inflexio´n, si los tiene, de la funcio´n f(x) x3 6x2 9x. Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y estudia su curvatura. 5. La funcio´n f(x) x3 3x2 ax b tiene un ma´ximo en el punto P(0, 1). Calcula los valores de a y b. 

6. Dada la funcio´n f(x) x4 ax3 5, halla el valor de a para que tenga un extremo relativo (ma´ximo o mı´nimo) cuando x 1. 7. La capacidad de concentracio´n de una saltadora de altura en una competicio´n de atletismo de tres horas de duracio´n viene dada por la funcio´n f: [0, 3] definida por f(t) 100t · (3 t), donde t mide el tiempo en horas. a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentracio´n aumenta y los intervalos en que disminuye. b) ¿En que´ momento de la competicio´n la capacidad de concentracio´n de esta deportista es nula? c) ¿Cua´l es el mejor momento, en te´rminos de su capacidad de concentracio´n, para que la atleta pueda batir su propia marca? 8. Halla la base x y la altura y de una cartulina rectangular de perı´metro 60 cm que, al dar la vuelta completa a un lado vertical, genera un cilindro de volumen ma´ximo. y x 9. Una figura de cuatro metros de perı´metro esta´ formada por un recta´ngulo al que se encuentra adosado un tria´ngulo recta´ngulo iso´sceles, siendo el lado comu´n uno de los catetos. ¿Cua´les deben ser las dimensiones de esta figura para que su a´rea sea ma´xima? y x