Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

MATRICES , SISTEMAS Y DETERMINANTES EJEMPLOS RESUELTOS DE ALGEBRA LINEAL PDF

Matrices y sistemas lineales ,Definiciones y ejemplos , Operaciones con matrices, Matrices especiales ,Propiedades de las operaciones , Matrices con numeros complejos, Sistemas lineales , Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales , Matrices escalonadas y sistemas escalonados , Operaciones de renglon para matrices, equivalencia por filas y soluciones,de sistemas escalonados, Metodo de Gauss ,Metodo de Gauss-Jordan y sistemas con solucion unica ,Sistemas homogeneos , Estructura de las soluciones ,Sistemas lineales con numeros complejos ,Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos, Matrices invertibles y determinantes ,Matrices invertibles y sus inversas , Definicion y propiedades , Matrices invertibles y sistemas lineales , Metodo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz , Matrices elementales , Inversas de matrices con componentes complejas , Determinantes , Desarrollo por cofactores , Propiedades, M´etodo de la adjunta para hallar la inversa , Regla de Cramer , Determinantes de matrices con componentes complejas,Ejercicios resueltos ,Ejercicios propuestos CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION Matrices y sistemas lineales En este cap´ tulo se introducen los conceptos b´asicos que se requieren para estudiar ´algebra lineal. Comenzamos en la primera secci´on con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon para operar ciertos arreglos num´ericos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matem´aticas. Continuamos en la segunda secci´on con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingenier´ a y seguramente el lector ya tuvo alg´un contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato; aqu´ nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera secci´on contiene un compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulte el mayor n´umero de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva el estudiante. Matrices Definiciones y ejemplos De nici´on 1.1 Una matriz A es un arreglo de m-renglones o las y n-columnas de m×n n´umeros reales: Se dice entonces que A es una matriz de tama˜no m×n y simb´olicamente se escribe A = [ai j] , i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ...,n. Esto es, ai j representa el n´umero que se encuentra en la la i y en la columna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A. Nota 1.1 1. Los par´entesis rectangulares se pueden suplir por par´entesis circulares en notaciones matriciales. En este libro emplearemos par´entesis rectangulares. 2. En el caso particular de que una matriz tenga tama˜no 1×1 escribiremos simplemente a en lugar de [a]; es decir, identi caremos toda matriz [a] con el n´umero real a. Ejemplo 1.1 Si A = −2 3 5 −4 2 1 , A es una matriz 2×3 y, para este caso, a11 = −2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = −4, a22 = 2, a23 = 1. Nota 1.2 Al conjunto de matrices de tama˜no m×n lo denotaremos, en este libro, porMm×n. De nici´on 1.2 Dos matrices A = [ai j], B = [bi j] son iguales (A = B) si y s´olo si: • A y B tienen el mismo tama˜no y • ai j = bi j ∀i , j. Ejemplo 1.2 De acuerdo con la de nici´on precedente 1 3 9 5 7 2 = 1 3 9 5 6 2 . Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A = a 1 −1 2a y B = 2 1 −1 4 sean iguales. Soluci´on Dado que ambas matrices tienen el mismo tama˜no ellas ser´an iguales si y s´olo si coinciden componente a componente; para lo cual es su ciente que a = 2 y 2a = 4; esto es, para a = 2. Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A = a 0 3 3a y B = 1 0 3 4 . Soluci´on Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego se debe tener simult´aneamente a = 1 y a = 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A = B para cualquier valor de a. 1.1.2 Operaciones con matrices 1. Multiplicaci´on de un escalar1 con una matriz. Si λ ∈ R y A = [ai j] ∈ Mm×n se de ne λA = [λai j]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. 2. Suma de matrices. Si A,B ∈ Mm×n, A = [ai j], B = [bi j]; se de ne la suma de A con B como A+B = [ci j], con ci j = ai j +bi j ∀i , j. As´ , la suma de dos matrices s´olo se puede realizar cuando ´estas tienen el mismo tama˜no y el resultado es tambi´en una matriz m×n. 11Diremos que todo n´umero real es un escalar. 3. Multiplicaci´on de una matriz la por matriz columna.2 a11 a12 · · · a1n ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b11 b21 · · · bn1 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = a11b11+a12b21+· · ·a1nbn1. De acuerdo con esta de nici´on, el producto de una matriz la con una matriz columna s´olo se puede llevar a cabo cuando la primera tiene tama˜no 1×n y la segunda n×1 (las dos tienen el mismo n´umero de componentes) y el resultado de la operaci´on ser´a una matriz 1×1 (un n´umero real). 4. Producto de una matriz m×n con una matriz n× p. Si A = [ai j] ∈Mm×n y B = [bi j] ∈Mn×p, el producto de A con B se de ne como AB = [ci j] donde ci j = n k=1 aikbk j , para i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultado de multiplicar la i-´esima la de A con la j-´esima columna de B. Adem´as, para poder efectuar el producto, la primera matriz debe tener el mismo n´umero de columnas que de las la segunda y la matriz AB tiene entonces tama˜no m× p. En forma equivalente, si Fi, i = 1, . . . ,m, son las las de A y Cj , j = 1, . . . , p, son las columnas de B, entonces Note que en este caso la matriz la tiene tama˜no 1×5 y la columna 5×1 (las dos tienen el mismo n´umero de componentes). 12Una matriz la es una matriz que tiene solamente un rengl´on y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna (cfr. inciso 3 de la p´ag. 8). Ejemplo 1.6 Si A = −1 −2 4 0 2 1 y B = ⎡ ⎣ 1 −2 4 5 0 −1 0 2 −1 0 0 1 ⎤ ⎦, A ∈M2×3, B ∈M3×4; el producto AB est´a de nido (el n´umero de columnas de A es igual al n´umero de las de B, en este caso 3) y el producto AB ser´a una matriz 2×4, dos las y cuatro columnas (tantas las como A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las las de la matriz producto AB procedemos de la manera siguiente. La primera la de AB: Los elementos de la primera la de AB se obtienen multiplicando, sucesivamente, la primera la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: c11 = −1 −2 4 ⎡ ⎣ 1 0 −1 ⎤ ⎦ = −5, c12 = −1 −2 4 ⎡ ⎣ −2 −1 0 ⎤ ⎦ = 4, c13 = −1 −2 4 ⎡ ⎣ 4 0 0 ⎤ ⎦ = −4, c14 = −1 −2 4 ⎡ ⎣ 5 2 1 ⎤ ⎦ = −5. La segunda la de AB: Los elementos de la segunda la de AB se obtienen multiplicando, sucesivamente, la segunda la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: c21 = 0 2 1 ⎡ ⎣ 1 0 −1 ⎤ ⎦ = −1, c22 = 0 2 1 ⎡ ⎣ −2 −1 0 ⎤ ⎦ = −2, c23 = 0 2 1 ⎡ ⎣ 4 0 0 ⎤ ⎦ = 0, c24 = 0 2 1 ⎡ ⎣ 5 2 1 ⎤ ⎦ = 5. Luego, AB = −5 4 −4 −5 −1 −2 0 5 . En realidad, la notaci´on matricial est´a dise˜nada para ejecutar mec´anica y mentalmente los c´alculos cuando el tama˜no de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de aqu´ , el lector ya no encontrar´a un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en el ejemplo precedente; pues utilizaremos sistem´aticamente (1.1) para producto de matrices y haremos los c´alculos sin hacer expl´ citas las operaciones. Ejemplo 1.7 ⎡ ⎣ −1 0 1 2 1 1 3 −2 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ 0 −1 1 1 1 −1 0 1 2 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ F1C1 F1C2 F1C3 F2C1 F2C2 F2C3 F3C1 F3C2 F3C3 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 0 2 1 1 0 3 −2 −5 5 ⎤ ⎦. 1.1.3 Matrices especiales 1. Matriz cero. La matriz cero de tama˜no m×n se de ne como aquella que tiene las m×n componentes nulas; esto es, O = [ai j] donde ai j = 0 ∀i , j. As´ , por ejemplo, O = 0 0 0 0 0 0 es la matriz cero 2×3. 2. Matriz identidad n×n: In = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ; es decir, In = [ai j], donde ai j = 1, si i = j; 0, si i = j. As´ , por ejemplo, I3 = ⎡ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎦ es la matriz identidad 3×3. 3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subsecci´on 1.1.2, a las matrices que tienen s´olo una la o s´olo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices la y matrices columna. Adem´as, en este libro utilizaremos una notaci´on especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan m´as de un elemento) an´aloga a la notaci´on vectorial b = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a21 ... an1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ . La raz´on de esta notaci´on se ver´a m´as adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en el cap´ tulo 3. A las matrices de tama˜no n×n les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto formado por ´estas lo denotaremos por Mn. Si A = [ai j] es una matriz cuadrada de orden n se dice que los elementos a11, a22, a33,..., ann forman o est´an en la diagonal de la matriz A. Y si A = [ai j] ∈ Mm×n, diremos que los elementos ai j con i = j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.8 Si M = ⎡ ⎢⎢⎣ −1 5 0 2 7 3 −1 1 3 0 4 2 1 −5 9 7 ⎤ ⎥⎥⎦ entoncesm11 = −1,m22 = 3,m33 = 4,m44 = 7 son los elementos de la diagonalde la matriz cuadrada M. De nici´on 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que est´an por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes que est´an por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. Ejemplo 1.9 Si A = ⎡ ⎢⎢⎣ −1 5 0 2 0 3 −1 1 0 0 4 2 0 0 0 7 ⎤ ⎥⎥⎦ y B = ⎡ ⎢⎢⎣ −1 0 0 0 −5 3 0 0 2 0 4 0 6 0 4 0 ⎤ ⎥⎥⎦ , entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior. De nici´on 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = λi, i = 1, 2, . . . , n, son las componentes de la diagonal de esta matriz se escribe A = diag(λ1,λ2, . . . ,λn) para representar a la matriz diagonal A. Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada ⎡ ⎣ 4 0 0 0 3 0 0 0 8 ⎤ ⎦ es diagonal. Esto es, A = diag(4, 3,8). De nici´on 1.5 Si A = [ai j] ∈ Mm×n se de ne la matriz transpuesta de A como At = [bi j], donde bi j = aji para i = 1, 2, ...,n y j = 1, 2, ...,m. De la de nici´on 1.5 se desprende que At tiene tama˜no n×m y que en la matriz transpuesta la primera columna es la primera la de A, la segunda columna es la segunda la de A, etc´etera. De nici´on 1.6 Una matriz A es sim´etrica cuando At = A. La de nici´on 1.6 entra˜na que una matriz sim´etrica es necesariamente cuadrada; pues si A ∈Mm×n y A es sim´etrica, entonces A = At ∈Mn×m, de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales deben tener el mismo tama˜no. Ejemplo 1.11 Si A = 1 2 3 4 5 6 7 8 , At = ⎡ ⎢⎢⎣ 1 5 2 6 3 7 4 8 ⎤ ⎥⎥⎦ . Ejemplo 1.12 La matriz A = −1 2 2 3 es sim´etrica pues claramente A = At . 1.1.4 Propiedades de las operaciones A continuaci´on enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son, en general, f´aciles de probar y su comprobaci´on se deja como ejercicio al lector. 1. Si A,B,C ∈Mm×n y λ,β ∈ R: (a) A+B ∈Mm×n. (b) A+(B+C) = (A+B)+C. (c) A+B = B+A. (d) A+O = A, donde O es la matriz cero m×n. (e) Existe una matriz −A ∈Mm×n tal que A+(−A) = O. De hecho, si A = [ai j], −A = [−ai j]. (f) λA ∈Mm×n. (g) λ(βA) = (λβ)A. (h) (λ+β)A = λA+βA. (i) λ(A+B) = λA+λB. (j)3 1A = A. 2. (a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C est´an de nidos, entonces A(BC) = (AB)C. (b) Si AB est´a de nido se tiene: λ(AB) = (λA)B = A(λB). (c) Si A ∈Mm×n, AIn = ImA = A. (d) En general AB = BA. (e) Si A ∈Mm×n y B,C ∈Mn×p , entonces A(B+C) = AB+AC. 3. (a) Si A y B son matrices del mismo tama˜no (A+B)t = At +Bt . (b) Si A, B son matrices tales que el producto AB est´a de nido, entonces (AB)t = BtAt . (c) (At )t = A ∀A ∈Mm×n. Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividad del producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB est´e de nido, no garantiza que ni siquiera el producto BA est´e de nido; por ejemplo, si A es una matriz 2×3 y B es una matriz 3×4, el producto AB est´a de nido y el producto BA no. M´as a´un, aunque los productos AB y BA est´en de nidos ´estos, en general, ser´an distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.13 1 1 3 2 1 0 2 4 = 3 4 7 8 , 1 0 2 4 1 1 3 2 = 1 1 14 10 ; esto es, 1 1 3 2 1 0 2 4 = 1 0 2 4 1 1 3 2 Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par de propiedades simples del producto de matrices que ser´an utilizadas m´as adelante. 13M´as adelante, en el tema de espacios vectoriales, se ver´a la importancia de esta aparentemente inocua propiedad. Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j] ∈Mm×n y C = [bi j] ∈Mn×p. Si ck = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ b1k b2k ... bnk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ es la columna k de C y dk es la columna k de AC, k = 1, 2, . . . , p, demostrar que dk = A ck ∀k. Esto es, AC = A c1 A c2 · · · A cp (1.2) DEMOSTRACIO´ N Sean αi j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1,2, . . . , p, dk = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ α1k α2k ... αmk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ; pero αik = ai1 ai2 · · · ain ⎡ ⎢⎢⎢⎣ b1k b2k ... bnk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = n j =1 ai jbjk; por tanto, dk = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ n j=1 a1 jbjk n j=1 a2 jbjk ... n j=1 amjbjk ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (1.3) Por otra parte, A ck = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ b1k b2k ... bnk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ n j=1 a1 jbjk n j=1 a2 jbjk ... n j=1 amjbjk ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (1.4) De (1.3) y (1.4) se tiene A ck = dk ∀k. Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A = [ai j] ∈Mm×n y c = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x1 x2 ... xn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ , entonces, x1 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a21 ... am1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ +x2 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a12 a22 ... am2 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ +· · ·+xn ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a1n a2n ... amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x1 x2 ... xn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ . (1.5) En efecto: x1 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a21 ... am1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ +x2 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a12 a22 ... am2 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ +· · ·+xn ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a1n a2n ... amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x1a11 x1a21 ... x1am1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ + ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x2a12 x2a22 ... x2am2 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ +· · ·+ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ xna1n xna2n ... xnamn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn ... am1x1+am2x2+· · ·+amnxn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = A c. 1.1.5 Matrices con n ´umeros complejos En este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de n´umeros complejos en ´algebra lineal; espec´ camente en el tema de matrices con componentes complejas. El ´apendice B contiene un breve estudio de este importante campo num´erico y de sus principales propiedades, y el lector que no est´e habituado a trabajar con n´umeros complejos, o necesite repasar este tema, deber´ a consultar la secci´on B.1 de este ap´endice cuanto antes. A lo largo de este texto se incluyen apartados que contienen el uso de n´umeros complejos en temas que ya se han tratado con n´umeros reales. En general, la transici´on en cada caso ser´a muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de ´algebra lineal con n´umeros reales los cambios para tratar ´estos con n´umeros complejos son m´ nimos y, en realidad, las di cultades tienen que ver m´as con la familiaridad que tenga el lector con el uso de n´umeros complejos que con aspectos ´aridos de generalizaci´on. De hecho, el uso de este campo num´erico en ´algebra lineal se va haciendo cada vez m´as necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teor´ a como en las aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de los n´umeros complejos en ´algebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estos temas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente. Recordemos (cfr. ap´endice B) que los n´umeros complejos tienen la forma a+bi donde a,b son n´umeros reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos n´umeros se les representa por C y este campo incluye de manera natural a los n´umeros reales mediante la identi caci´on del n´umero real a con el n´umero complejo a+0i. Estos n´umeros se operan algebraicamente de manera an´aloga a los n´umeros reales, utilizando todas las propiedades de ´estos y conviniendo en que la unidad imaginaria en este sistema satisface4 i2 = −1. De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso completamente an´alogo al que se utiliza cuando ´estas tienen entradas que son n´umeros reales. Es decir, se suman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus componentes con las reglas algebraicas de los n´umeros complejos. Al conjunto de matrices de tama˜no m×n con componentes complejas lo denotaremos porMm×n(C). Todas las propiedades acerca de matrices con componentes reales que vimos en esta secci´on siguen siendo v´alidas para las matrices con entradas complejas. Ejemplo 1.16 Sean A,B ∈M2×3(C) las matrices de nidas por A = 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i y B = 3−7i 5−4i 2−9i 5i 7−6i 1+i . Entonces 1. A+B = 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i + 3−7i 5−4i 2−9i 5i 7−6i 1+i = 4−9i 5−8i 4−9i 3 11 1−8i . 2. 5A = 5 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i = 5−10i −20i 10 15−25i 20+30i −45i . 3. (3+2i)B = (3+2i) 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i = 7−4i 8−12i 6+4i 19−9i 26i 18−27i . Aqu´ hemos realizado las operaciones (3+2i)(1−2i) = 3−6i+2i−4i2 = 3−4i−4(−1) = 3−4i+4 = 7−4i, 14En la secci´on B.1 del ap´endice B se hace un estudio m´as detallado y formal de los n´umeros complejos. para obtener la componente c11 de (3+2i)B; (3+2i)(−4i) = −12i−8i2 = −12i−8(−1) = 8−12i, para obtener la componente c12 de (3+2i)B; etc´etera. Ejemplo 1.17 Sean A = 1+i 2 −i 2−3i y B = −i 3 2+5i 2i 1−i 0 , entonces AB = 1+i 2 −i 2−3i −i 3 2+5i 2i 1−i 0 = (1+i)(−i)+2(2i) (1+i)(3)+2(1−i) (1+i)(2+5i)+2(0) (−i)(−i)+(2−3i)(2i) (−i)(3)+(2−3i)(1−i) (−i)(2+5i)+(2−3i)(0) = 1+3i 5+i −3+7i 5+4i −1−8i 5−2i . 1.2 Sistemas lineales Seguramente el lector est´a familiarizado, por cursos m´as elementales, con sistemas simult´aneos de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres inc´ognitas. Se les llama sistemas lineales porque, para el caso de dos inc´ognitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la forma ax+by=c, cuyos lugares geom´etricos corresponden a l´ neas rectas en el plano. Cuando se resuelve un sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, se busca el punto de intersecci´on de dos l´ neas rectas (si es que ´estas no son paralelas). Aqu´ estudiaremos sistemas lineales generales de m ecuaciones con n inc´ognitas siendo m y n cualquier par de n´umeros enteros no negativos. Los sistemas lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ingenier´ a y ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones en el cap´ tulo seis. y x x−y = 1 x+y = 3 1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales De nici´on 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-inc´ognitas que tiene la forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · ··· · · · · · · · · ··· · · · · · · · · ··· · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (1.6) donde los ai j ,bi ∈ R, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n, est´an dados, es lineal. Una soluci´on de este sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (α1,α2, . . . ,αn) de n´umeros reales, tales que al hacer las sustituciones x1 = α1 x2 = α2 ... xn = αn en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres inc´ognitas 2x1−3x2−x3= −4 (1.7) x1 + x2+x3= −3 (1.8) es lineal y (−1, 2,−4) es una soluci´on del mismo. En efecto, al sustituir x1 = −1, x2 = 2 y x3 = −4 en la primera ecuaci´on (1.7) se tiene 2(−1)−3(2)−(−4) = −4 y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuaci´on (1.8), (−1)+(2)+(−4) = −3. Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas x2 1 − 3x2 = 1 x1/2 1 + x2 = π no es lineal (¿por qu´e?). Si se tiene el sistema lineal (1.6) a A = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ se le llama la matriz de coe cientes del sistema. En tal caso, si ponemos x = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 · · · xn ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ y b = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como A x = b, pues al hacer el producto se obtiene ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ que equivale, por de nici´on de igualdad de matrices, al sistema (1.6). Ejemplo 1.20 Para el sistema 3×3 x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 − 3x3 = 1 3x1 + 6x2 − 5x3 = 0 la matriz de coe cientes es A = ⎡ ⎣ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ⎤ ⎦ y la ecuaci´on matricial correspondiente es ⎡ ⎣ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 9 1 0 ⎤ ⎦. De nici´on 1.8 El sistema m×n A x = b es: • Consistente: si tiene al menos una soluci´on. • Inconsistente: si no tiene soluciones. En la gura 1-1 se ilustran los lugares geom´etricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con soluci´on ´unica (a), inconsistentes (b) y (c) y con una in nidad de soluciones (d). (a) (b) (c) (d) Figura 1-1 • (a) dos l´ neas que se intersecan en un solo punto, (b) dos l´ neas paralelas que no se intersecan, (c) tres l´ neas que no se intersecan simult´aneamente y (d) dos l´ neas que coinciden. De manera an´aloga, una ecuaci´on lineal con tres inc´ognitas, ax+by+cz = d, corresponde al lugar geom´etrico de puntos que est´an en un plano en el espacio tridimensional. Tambi´en en este caso, cuando se resuelven sistemas lineales con tres inc´ognitas, se buscan intersecciones de los correspondientes planos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una in nidad de puntos o intersecarse en un ´unico punto. La gura 1-2 ilustra estas posibilidades. Figura 1-2 • Planos que se intersecan, respectivamente, en una l´ nea recta, en un ´unico punto y que no tienen intersecci´on simult´anea. De nici´on 1.9 Dos sistemas lineales del mismo tama˜no, A x = b, H x = c, son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera an´aloga a como el lector, seguramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un m´etodo que introducir ´a el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo “pivotes” para eliminar variables (inc´ognitas) y obtener un sistema equivalente en forma “escalonada” y nalmente resolverlo por sustituci´on regresiva. Ejemplo 1.21 Resolvamos el sistema lineal x1+ x2+2x3 = 9 (1.9) 2x1+4x2−3x3 = 1 (1.10) 3x1+6x2−5x3 = 0 (1.11) Para ello, con la ecuaci´on (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multiplicando5 (1.9) por −2 y sumando con (1.10); luego multiplicando (1.9) por −3 y sumando con (1.11); obteniendo el sistema equivalente: x1+x2+2x3 = −19 2x2−7x3 = −17 (1.12) 3x2−11x3 = −27 (1.13) De manera an´aloga, multiplicando (1.12) por −3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremos hecho un “pivote” con la variable x2 de la ecuaci´on (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuaci´on (1.13), produciendo el sistema equivalente “escalonado” x1 + x2 + x3 = 9 2x2 − 7x3 = −17 − x3 = −27 Finalmente, haciendo sustituci´on regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de este ´ultimo sistema de abajo hacia arriba, tenemos x3 = 3; x2 = −17+7(x3) 2 = −17+7(3) 2 = 2; x1 = 9−x2−2x3 = 9−(2)−2(3) = 1. As´ , el sistema es consistente con soluci´on ´unica x = ⎡ ⎣ 1 2 3 ⎤ ⎦ . Podemos sintetizar el m´etodo del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Ri la i-´esima ecuaci´on de un sistema lineal; la notaci´on Ri ↔ αRi +βRj signi ca que la ecuaci´on Ri se sustituye por la ecuaci´on que se obtiene de sumar α veces la ecuaci´on Ri con β veces la ecuaci´on Rj . Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema. 15Cuando se multiplica una ecuaci´on por un n´umero, signi ca que ambos lados de la igualdad en dicha ecuaci´on se multiplican por ese n´umero; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados de la igualdad. x1+x2+2x3 = 9 2x1+4x2−3x3 = 1 3x1+6x2−5x3 = 0 ←−−−−−−→ R2 ↔−2R1 +R2 R3 ↔−3R1 +R3 x1+x2+2x3 = 9 2x2−7x3 = −17 3x2−11x3 = −27 ←−−−−−−−→ R3 ↔−3R2 +2R3 x1+x2+2x3 = 9 2x2−7x3 = −17 −x3 = −3 En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas soluciones pero m´as sencillo, hasta que el ´ultimo sistema equivalente est´a escalonado y se puede resolver haciendo sustituci´on regresiva. Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusi´on anterior s´olo se trabaj´o con los coe cientes, y que de las variables x1, x2 y x3 ´unicamente se utiliza la posici´on que tienen en el arreglo. Se ve entonces que para resolver un sistema lineal A x = b, basta trabajar con la matriz de coe cientes A y el t´ermino independiente b.6 Para ello, a continuaci´on damos el siguiente concepto. De nici´on 1.10 Para el sistema lineal a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · ··· · · · · · · · · ··· · · · · · · · · ··· · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm o, en forma matricial, A x = b con x = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 · · · xn ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ y b = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , se de ne la matriz aumentada (tambi´en se le llama matriz ampliada) del mismo como [A| b] = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ El lado izquierdo en la partici´on [A| b] contiene la matriz de coe cientes [ai j] y el lado derecho contiene los t´erminos independientes bi del sistema lineal. La de nici´on anterior provee una notaci´on muy simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y ´unicamente trabajar con los coe cientes. La primera la de la matriz ampliada equivale a la ecuaci´on a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = b1, la segunda 16Llamaremos t´ermino independiente en un sistema lineal A x = b, a la matriz columna b y t´erminos independientes del mismo sistema a las respectivas componentes de este vector. la equivale a la ecuaci´on a21x1 +a22x2 +· · ·+a2nxn = b2, etc., y la ´ultima la equivale a la ecuaci´on am1x1 +am2x2 +· · ·+amnxn = bm. La l´ nea vertical en la partici´on [A| b] ´unicamente sirve para hacer notoria la columna que contiene los t´erminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede omitir, si as´ se desea, cuando se conviene en que la ´ultima columna de la matriz aumentada contenga el t´ermino independiente b del sistema. Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusi´on posterior al ejemplo 1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene: ⎡ ⎣ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 9 1 0 ⎤ ⎦ ←−−−−−−→ R2 ↔−2R1 +R2 R3 ↔−3R1 +R3 ⎡ ⎣ 1 1 2 0 2 −7 0 3 −11 9 −17 −27 ⎤ ⎦ ←−−−−−−−→ R3 ↔−3R2 +2R3 ⎡ ⎣ 1 1 2 0 2 −7 0 0 −1 9 −17 −3 ⎤ ⎦ y, al hacer sustituci´on regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. p´ag. 18), ⎡ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 1 2 3 ⎤ ⎦. Hasta aqu´ , aunque se ha utilizado en forma intuitiva el signi cado de sistema escalonado, no se ha precisado con exactitud. En la siguiente subsecci´on nos abocamos a ello. 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados De nici´on 1.11 La matriz A ∈ Mm×n est´a en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos condiciones. • Las las nulas (si existen)7 est´an por debajo de las las no nulas. • El primer elemento distinto de cero de cada la no nula est´a a la derecha del primer elemento diferente de cero de las las precedentes.8 Ejemplo 1.23 Si A = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 0 −1 2 3 −5 3 0 0 −1 0 2 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ y B = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ −1 2 4 0 3 0 1 2 −3 4 0 0 1 0 2 0 0 2 −3 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ , A est´a en forma escalonada pero B no. 17Una la es nula si todas sus entradas son ceros; una la es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero. 18En el caso que el primer elemento distinto de cero est´e en la primera la, se sobreentiende que la condici´on se cumple por vacuidad. De nici´on 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada la no nula, de una matriz en forma escalonada, se le llama pivote. De nici´on 1.13 Un sistema H x = c est´a escalonado si la matriz ampliada [H | c] es una matriz escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamar´an variables ligadas (o principales o b´asicas) y a las restantes variables libres (o no b´asicas). Ejemplo 1.24 En el sistema escalonado 4×6 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ 1 0 3 −2 1 5 0 0 5 0 1 1 0 0 0 0 7 6 0 0 0 0 0 5 −2 3 7 0 ⎤ ⎥⎥⎦ , hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1, x3, x5 y x6. As´ que estas variables son ligadas y x2, x4 son variables libres. Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustituci´on regresiva, se despejan las variables ligadas dej´andolas en funci´on de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables ligadas actuando tambi´en de abajo hacia arriba. Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados. 1. ⎡ ⎣ −5 −1 3 0 3 5 0 0 2 3 8 −4 ⎤ ⎦ 2. ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −3 0 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 −7 1 0 ⎤ ⎥⎥⎦ 3. ⎡ ⎣ 1 −3 5 0 1 2 0 0 0 3 2 −1 ⎤ ⎦ Soluci´on 1. En este caso, x1, x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y x3 = −4/2 = −2; x2 = 8−5x2 3 = 6; x1 = 3+x2−3x3 −5 = −3. Es decir, ⎡ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ −3 6 −2 ⎤ ⎦ es la ´unica soluci´on. 2. Para este sistema escalonado x1, x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las variables libres. Entonces x5 = 1, x3 = −7−2x4, x1 = 4+3x2 −5x4; lo cual indica que al dar valores concretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene una soluci´on. As´ , el conjunto de soluciones de este sistema es in nito y est´a dado por: {(x1, x2, x3, x4, x5) | x5 = 1, x3 = −7−2x4, x1 = 4+3x2−5x4; x2, x4 ∈ R}. Una manera m´as compacta de expresar las soluciones es: ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 x5 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 4+3s−5r s −7−2r r 1 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ ; r, s ∈ R. Al dar valores concretos a r y s se obtendr´a una soluci´on particular; por ejemplo, si r = 0 y s = 0, es f´acil darse cuenta que ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 x5 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 4 0 −7 0 1 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ resuelve el sistema de ecuaciones. 3. Para este sistema no pueden existir n´umeros reales x1, x2, x3 tales que 0x1+0x2+0x3 = −1; es decir, el sistema no tiene soluci´on, es inconsistente. 1.2.3 Operaciones de rengl ´on para matrices, equivalencia por filas y soluciones 1.2.3 de sistemas escalonados Motivados en los m´etodos de la subsecci´on precedente para resolver sistemas lineales, de nimos las siguientes operaciones de rengl´on ( la) para matrices. Operaciones elementales de renglo´n para matrices 1. Intercambio de las: Ri ←→ Rj . 2. Cambio de escala: Ri ←→ αRi (α = 0). 3. Suma de las: Ri ←→ αRi+βRj (α = 0). Las cuales signi can, respectivamente: • La la i se intercambia con la la j. • La la i se cambia por la misma la multiplicada por α. • La la i se cambia por la suma de α-veces la la i con β-veces la la j. Matrices equivalentes De nici´on 1.14 Sean A, B ∈Mm×n. B es equivalente por las a la matriz A (o simplemente equivalente a A), si B se puede obtener de la matriz A al aplicarle una sucesi´on nita de operaciones elementales de rengl´on. Si B es equivalente a A escribiremos B ∼ A o B↔A. Ejemplo 1.26 Si A = 1 2 3 4 5 2 −3 −1 0 1 y B = 1 2 3 4 5 0 −7 −7 −8 −9 , B ∼ A; pues B se obtiene de A mediante la operaci´on de rengl´on R2 ←→ −2R1+R2 No es dif´ cil probar el siguiente teorema. Teorema 1.1 Si A, B ∈Mm×n, entonces 1. A ∼ A. (Re exividad) 2. A ∼ B⇒B ∼ A. (Simetr´ a) 3. A ∼ B y B ∼C ⇒A ∼C. (Transitividad) Del teorema precedente inciso 2, se ve que ya no es necesario decir que B es equivalente a A, pues en tal caso simplemente podremos enunciar que A y B son equivalentes. Al aplicar operaciones de rengl´on a un sistema se obtiene un sistema equivalente. Es decir: Teorema 1.2 Si [A| b]∼[H | c], entonces los sistemas A x= b y H x= c tienen las mismas soluciones. Es claro que siempre se pueden aplicar operaciones de la a una matriz A, de manera adecuada, para obtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual hacemos patente en la siguiente proposici´on. Teorema 1.3 Toda matriz es equivalente por las al menos a una matriz en forma escalonada. Soluciones de sistemas escalonados Del ejemplo 1.25 (cfr. p´ag. 21) se conjetura el siguiente teorema, cuya demostraci´on es sencilla y se deja como ejercicio al lector. Teorema 1.4 Sea un sistema A x = b y supongamos que [H | c] es un sistema (cualquier sistema) escalonado equivalente; es decir, [A| b] ∼ [H| c ], entonces 1. A x = b es inconsistente si y s´olo si [H| c ] tiene una la de ceros en el lado izquierdo y un elemento no nulo en el lado derecho de la partici´on (ejemplo 1.25 inciso 3). 2. A x = b tiene soluci´on ´unica si y s´olo si es consistente y [H| c ] tiene pivote en todas las columnas en el lado izquierdo de la partici´on (ejemplo 1.25 inciso 1). 3. A x = b tiene in nidad de soluciones si y s´olo si es consistente y [H | c] no tiene pivote en alguna columna en el lado izquierdo de la partici´on (ejemplo 1.25 inciso 2). Nota 1.3 Es claro, del teorema anterior, que • un sistema consistente tiene soluci´on ´unica cuando una forma escalonada equivalente no tiene variables libres. • un sistema consistente tiene una in nidad de soluciones cuando una forma escalonada equivalente tiene variables libres. 1.2.4 M´ etodo de Gauss El m´etodo de Gauss sirve para “llevar” una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando operaciones de rengl´on. Bosquejamos el m´etodo por medio del siguiente algoritmo: Supongamos que A es una matriz m×n no nula (si A es la matriz cero, A est´a en forma escalonada). G1: Se busca una la en A que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; si no existe una la de A que tenga su primer elemento no nulo, entonces se busca una la de la matriz A que tenga el segundo elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; de no suceder as´ , se busca una la de A que tenga el tercer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con la primera la de A, etc.; obteniendo nalmente una matriz B1 ∼ A con un primer elemento no nulo en la primera la que llamaremos pivote (en este caso de la primera la). Por ejemplo, si A = ⎡ ⎣ 0 −4 −1 3 3 4 0 7 1 1 3 5 ⎤ ⎦, entonces una operaci´on de rengl´on para llevar a cabo este paso puede ser R1 ↔R3, resultando la equivalencia de matrices A ⎡ ⎣ 0 −4 −1 3 3 4 0 7 1 1 3 5 ⎤ ⎦∼ B1 ⎡ ⎣ 1 1 3 5 3 4 0 7 0 −4 −1 3 ⎤ ⎦ . El pivote de la primera la de la matriz B1 es b1 11 = 1. G2: Con el pivote de la primera la de B1 se transforman en ceros los elementos que est´an por debajo de ´el mediante la operaci´on suma de las, obteniendo una matriz B2 ∼ B1 ∼ A, que tendr´a todas las componentes nulas debajo del pivote de la primera la. Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los elementos debajo del pivote 1 de la primera la de la matriz B1 mediante la operaci´on R2↔−3R1+R2 para obtener la matriz B2; es decir, B1 ⎡ ⎣ 1 1 3 5 3 4 0 7 0 −4 −1 3 ⎤ ⎦∼ B2 ⎡ ⎣ 1 1 3 5 0 1 −9 −8 0 −4 −1 3 ⎤ ⎦ G3: Ahora se repiten los pasos G1 y G2 con la segunda la de la matriz B2, produciendo una matriz B3 ∼ B2 ∼ B1 ∼ A cuyas componentes ser´an nulas debajo del pivote de su segunda la. Para el caso particular ilustrado, el pivote de la segunda la de la matriz9 B2 es b2 22 = 1. Se pueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operaci´on R3 ↔4R2+R3, esto es B2 ⎡ ⎣ 1 1 3 5 0 1 −9 −8 0 −4 −1 3 ⎤ ⎦∼ B3 ⎡ ⎣ 1 1 3 5 0 1 −9 −8 0 0 −37 −29 ⎤ ⎦ G4: Se repiten los pasos G1, G2 y G3 con las las subsecuentes de las matrices equivalentes que resulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo a la de nici´on 1.11. Para el caso ilustrado previamente, la matriz B3 ya est´a en forma escalonada; con lo que A ⎡ ⎣ 0 −4 −1 3 3 4 0 7 1 1 3 5 ⎤ ⎦∼ B3=H ⎡ ⎣ 1 1 3 5 0 1 −9 −8 0 0 −37 −29 ⎤ ⎦ terminar´ a el proceso para este ejemplo particular. Nota 1.4 1. El lector debe tener en mente que el prop´osito fundamental del m´etodo de Gauss es obtener una matriz en forma escalonada equivalente a una matriz dada, mediante el uso de las operaciones elementales de rengl´on en cualquier combinaci´on. As´ que el algoritmo anterior s´olo es una gu´ a para este prop´osito. Cualquier modi caci´on es v´alida siempre y cuando se empleen ´unicamente las operaciones de rengl´on para matrices y se alcance el objetivo de obtener una matriz en forma escalonada equivalente por las a la matriz inicial. 2. A lo largo de este texto haremos uso de oraciones informales como “llevar la matriz A a forma escalonada”. Este tipo de oraciones en realidad deben interpretarse como “obtener una forma 19El n´umero 2 en b2 22 de esta notaci´on juega el papel de un supra´ ndice, haciendo referencia a la matriz B2 y no de un exponente. escalonada equivalente a la matriz A”, que ser´ a la manera apropiada de expresar este tipo de instrucciones; pero, ya que esa forma escalonada equivalente se obtiene a partir de la matriz A, nos permitiremos ese tipo de frases sacri cando rigor en aras de brevedad en el lenguaje. Sin embargo, es conveniente que el lector tenga siempre presente el signi cado preciso de esas oraciones coloquiales. Ejemplo 1.27 Obtener una matriz equivalente por las a la matriz A = ⎡ ⎢⎢⎣ 2 −4 2 −2 2 −4 3 −4 4 −8 3 −2 0 0 −1 2 ⎤ ⎥⎥⎦ que est´e en forma escalonada.10 Soluci´on A = ⎡ ⎢⎢⎣ 2 −4 2−2 2 −4 3−4 4 −8 3−2 0 0−1 2 ⎤ ⎥⎥⎦ ←−−−−−−−−→ R1 ↔(1/2)R1 ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −2 1−1 2 −4 3−4 4 −8 3−2 0 0−1 2 ⎤ ⎥⎥⎦ ←−−−−−−−−−−→ R2 ↔−2R1 +R2 R3 ↔−4R1 +R3 ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −2 1 −1 0 0 1 −2 0 0−1 2 0 0−1 2 ⎤ ⎥⎥⎦ ←−−−−−−−→ R3 ↔R2 +R3 R4 ↔R2 +R4 ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −2 1 −1 0 01−2 0 00 0 0 00 0 ⎤ ⎥⎥⎦ = H La matriz resultante, H, est´a en forma escalonada y es equivalente a la matriz A. Me´ todo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.28 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el m´etodo de Gauss. x1 − 2x2 + x3 − x4 = 4 2x1 − 3x2 + 2x3 − 3x4 = −1 3x1 − 5x2 + 3x3 − 4x4 = 3 −x1 + x2 − x3 + 2x4 = 5 Soluci´on Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremos sustituci´on regresiva.11 110Hemos marcado en color rojo los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el propo´sito es ir haciendo ceros, mediante las operaciones de rengl´on indicadas, los elementos debajo de ellos. 111De aqu´ en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de renglo´n que se requieren para obtener una forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notaci´on matricial para auxiliarse y hacer todos los c´alculos mec´anica y mentalmente. ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −2 1 −1 2 −3 2 −3 3 −5 3 −4 −1 1 −1 2 4 −1 3 5 ⎤ ⎥⎥⎦ ←→ ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −2 1 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 4 −9 −9 9 ⎤ ⎥⎥⎦ ←→ ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −2 1 −1 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 −9 0 0 ⎤ ⎥⎥⎦ . As´ , las variables ligadas son x1, x2 y las libres x3, x4. Y x2 = −9+x4; x1 = 4+2x2 −x3 +x4 = −14+ 3x4−x3. La soluci´on est´a dada entonces por: ⎡ ⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎣ −14+3r−s −9+r s r ⎤ ⎥⎥⎦ ; r, s ∈ R. Sistemas con la misma matriz de coeficientes Es frecuente en la pr´actica tener que resolver sistemas con la misma matriz de coe cientes pero con distintos t´erminos independientes; por ejemplo, los sistemas x−2y+3z = −2 −x+4y+5z = 7 (1.14) y r−2s+3t = 1 −r+4s+5t = −4 (1.15) tienen la misma matriz de coe cientes, 1 −2 3 −1 4 5 , y t´erminos independientes −2 7 y 1 −4 , respectivamente. En lugar de resolverlos cada uno por separado, podemos solucionarlos simult´aneamente colocando en el lado derecho de la partici´on de la matriz ampliada las dos columnas que contienen los dos t´erminos independientes, llevar a forma escalonada y resolver por sustituci´on regresiva para la primera columna y despu´es para la segunda: 1 −2 3 −1 4 5 −2 1 7 −4 ↔ 1 −2 3 0 2 8 −2 1 5 −3 . (1.16) Resolviendo para la primera columna tenemos y = 52 −4z, x = −2+2y−3z = 3−11z; as´ que ⎡ ⎣ x y z ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 3−11α 52 −4α α ⎤ ⎦, α ∈ R, es la soluci´on para el sistema (1.14). Resolviendo ahora para la segunda columna de (1.16) obtenemos s = −3 2 −4t, r = 1+2s−3t = −2−11t; es decir, ⎡ ⎣ r s t ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ −2−11β −32 −4β β ⎤ ⎦, β ∈ R, es la soluci´on del sistema (1.15). 1.2.5 Me´ todo de Gauss-Jordan y sistemas con solucio´ n u´nica De nici´on 1.15 Una matriz est´a en forma escalonada reducida si: 1. Est´a en forma escalonada. 2. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas. 3. Todos los pivotes son unos. Ejemplo 1.29 La matriz ⎡ ⎢⎢⎣ 1 0 2 0 0 1 8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎥⎥⎦ est´a en forma escalonada reducida. Me´ todo de Gauss-Jordan Para llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente: 1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el m´etodo de Gauss. 2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el m´etodo de Gauss de abajo hacia arriba. 3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operaci´on de rengl´on cambio de escala. Empleando el m´etodo de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que enunciamos a continuaci´on. Teorema 1.5 Toda matriz es equivalente por las a una y s´olo una matriz en forma escalonada reducida.12 Ejemplo 1.30 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el m´etodo de Gauss-Jordan si A = ⎡ ⎣ −2 −1 0 3 −4 3 −1 2 0 3 5 −4 0 −1 2 ⎤ ⎦. Soluci´on ⎡ ⎣ −2 −1 0 3 −4 3 −1 2 0 3 5 −4 0 −1 2 ⎤ ⎦ ←(1→) ⎡ ⎣ −2 −1 0 3 −4 0 −5 4 9 −6 0 −13 0 13 −16 ⎤ ⎦ ←(2→) ⎡ ⎣ −2 −1 0 3−4 0 −5 4 9−6 0 0−52 −52 −2 ⎤ ⎦ 112Compare con el teorema 1.3, pa´gina 23. ←(3→) ⎡ ⎣ −2 −1 0 3−4 0 −5 4 9−6 0 0−26 −26 −1 ⎤ ⎦ ←(4→) ⎡ ⎣ −2 −1 0 3 −4 0 −65 0 65 −80 0 0−26 −26 −1 ⎤ ⎦ ←(5→) ⎡ ⎣ −2 −1 0 3 −4 0 −13 0 13−16 0 0−26 −26 −1 ⎤ ⎦ ←(6→) ⎡ ⎣ −26 0 0 26 −36 0 −13 0 13 −16 0 0−26 −26 −1 ⎤ ⎦ ←(7→) ⎡ ⎣ 1 0 0 −1 18/13 0 1 0 −1 16/13 0 0 1 1 1/26 ⎤ ⎦. Donde, para facilitar su comprensi´on, esta vez hemos indicado las operaciones de rengl´on en cada paso del (1) al (7), se˜nalando los pivotes en azul m´as claro cuando se hacen ceros los elementos por debajo de los mismos y en rojo cuando se hacen ceros los elementos por encima de los pivotes. (1): R2↔ 3R1 +2R2, R3 ↔ 5R1 +2R3; (2): R3 ↔−13R2 +5R3; (3): R3 ↔ (1/2)R3; (4): R2 ↔ 2R3 +13R2; (5): R2 ↔(1/5)R2; (6): R1 ↔13R1 −R2; (7): R1 ↔(−1/26)R1, R2 ↔(−1/13)R2, R3 ↔(−1/26)R3. Nota 1.5 A diferencia de la forma escalonada reducida de una matriz, que es ´unica, es claro que al hacer operaciones de rengl´on a una matriz A para obtener una matriz en forma escalonada equivalente, se pueden obtener diferentes matrices. Sin embargo, para cualquier par de matrices en forma escalonada equivalentes a la matriz A se cumple: 1. Las dos matrices tienen el mismo n´umero de pivotes. 2. Los pivotes se encuentran en las mismas posiciones en ambas matrices; es decir, si una matriz tiene un pivote en la componente i j la otra tambi´en tiene un pivote en esta componente. Ilustramos la nota 1.5 en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.31 Sea A = ⎡ ⎣ 2 −3 1 1 5 4 −1 0 1 2 1 −2 3 1 1 ⎤ ⎦, entonces ⎡ ⎣ 2 −3 1 1 5 4 −1 0 1 2 1 −2 3 1 1 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 2 −3 1 1 5 0 5 −2 −1 −8 0 1 −5 −1 3 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 2 −3 1 1 5 0 5 −2 −1 −8 0 0 23 4 −23 ⎤ ⎦ = H1 y ⎡ ⎣ 2 −3 1 1 5 4 −1 0 1 2 1 −2 3 1 1 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 3 1 1 4 −1 0 1 2 2 −3 1 1 5 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 3 1 1 0 7 −12 −3 −2 0 1 −5 −1 3 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 3 1 1 0 1 −5 −1 3 0 7 −12 −3 −2 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 3 1 1 0 1 −5 −1 3 0 0 23 4 −23 ⎤ ⎦ = H2. As´ A ∼ H1, A ∼ H2; H1 y H2 est´an en forma escalonada, H1 = H2; ambas matrices tienen el mismo n´umero de pivotes y se encuentran en las mismas posiciones en las dos matrices. Sistemas lineales y me´ todo de Gauss-Jordan Los sistemas lineales tambi´en se pueden resolver utilizando el m´etodo de Gauss-Jordan para llevar la matriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustituci´on regresiva, como hacemos patente en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.32 Resolver el siguiente sistema mediante el m´etodo de Gauss-Jordan x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = −1 −x1 + x2 + 2x4 = 2 2x1 − x2 + x3 + 5x4 = 1 Soluci´on Llevemos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida: ⎡ ⎣ 1 −2 1 3 −1 1 0 2 2 −1 1 5 −1 2 1 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 1 3 0 −1 1 5 0 3 −1 −1 −1 1 3 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 1 3 0 −1 1 5 0 0 2 14 −1 1 6 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 1 3 0 1 −1 −5 0 0 1 7 −1 −1 3 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 −2 0 −4 0 1 0 2 0 0 1 7 −4 2 3 ⎤ ⎦ ∼ ⎡ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 7 0 2 3 ⎤ ⎦. Al hacer sustituci´on regresiva tenemos x3 = 3−7x4, x2 = 2−2x4 y x1 = 0; luego la soluci´on viene dada por ⎡ ⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎣ 0 2−2r 3−7r r ⎤ ⎥⎥⎦ ; r ∈ R. Sistemas con solucio´n u´nica En este breve apartado damos criterios para determinar cu´ando hay soluci´on ´unica en un sistema utilizando la forma escalonada reducida, los cuales son f´aciles de probar utilizando el teorema 1.4. Sea A ∈Mm×n: 1. Caso m > n. Sea A x = b un sistema lineal consistente, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes ((a)⇔ (b)): (a) El sistema A x = b tiene soluci´on ´unica. (b) La forma escalonada reducida equivalente a A consiste de la identidad n × n seguida de (b) m−n las nulas. 2. Caso m < n. Supongamos que el sistema A x = b es consistente y tiene menos ecuaciones que inc´ognitas. Entonces tiene una in nidad de soluciones. 3. Caso m = n. A x = b tiene soluci´on ´unica para todo b si y s´olo si A es equivalente a la identidad; es decir, la forma escalonada reducida equivalente a A es In. Nota 1.6 Para determinar que una matriz cuadrada sea equivalente a la identidad, basta revisar que al llevarla a una forma escalonada toda columna en ´esta tenga pivote (por su de nici´on, ´este debe ser distinto de cero); ya que entonces, por el m´etodo de Gauss-Jordan, su forma escalonada reducida equivalente ser´a la identidad. 1.2.6 Sistemas homog´ eneos De nici´on 1.16 Un sistema lineal con la forma A x = 0, donde 0 = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ 0 0... 0 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ , se llama homog´eneo. Todo sistema homog´eneo es consistente pues x = 0 es soluci´on del mismo; la llamada soluci´on trivial. De los casos 1 y 2, de criterios de soluci´on ´unica de la subsecci´on precedente, deducimos el siguiente teorema. Teorema 1.6 Sea A ∈Mm×n. Entonces 1. Si m = n, el sistema homog´eneo cuadrado A x = 0 tiene soluci´on no trivial si y s´olo si A no es equivalente a la identidad. 2. Todo sistema homog´eneo A x= 0 con menos ecuaciones que inc´ognitas (m