Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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MATEMATICAS EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE SEGUNDO DE SECUNDARIA EN WORD

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CLICK AQUI PARA VER VIDEOS I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1.1. Realiza operaciones fundamentales correctamente en Q. 1.2. Operar correctamente operaciones combinadas en Q, donde intervengan signos de colección. II. PROCEDIMIENTOS: A. Motivación: Hallar el resultado de: y dar su respuesta con aproximación al centésimo: Rpta:.............................................................. B. Contenido Teórico: En ejercicios donde aparecen algunos o todas las operaciones estudiados, efectuamos éstas según el siguiente orden: 1.- Operamos las POTENCIAS y las RAICES. 2.- Luego operamos las multiplicaciones y divisiones. 3.- Finalmente operamos las SUMAS y RESTAS. SIGNOS DE COLECCIÓN: Los más usados son: PARENTESIS ( ), LLAVES { } y CORCHETES [ ]. Si en un ejercicio de operaciones combinadas aparecen los Signos de Colección, efectuamos las operaciones al interior de éstos. Si en los Signos de Colección ocurre que hay unos al interior de otros, empezamos efectuando operaciones al interior de los primeros. Ve esquema: Ejemplo 01: Efectuar: SOLUCIÓN: Al operar al interior de cada Signo de Colección, el orden de las operaciones es el mismo que lo explicado. 26 + 2  42 + 4 + 52 x 32 -  , operando dentro [ ] 26 + 2  16 + 4 + 25 x 9  - 8 26 + 2  + 16 + 4 + 225 - 8  26 + 2  237  26 + 747 500 Rpta. Ejemplo 02: ¿Cuál es el decimal que resulta al efectuar la siguiente operación? E = (0,18333) (0,151515 .....) : (0,111 .....) SOLUCIÓN: Hallamos la generatriz de cada decimal: • 0,18333.... = • 0,151515...= • 0,111....... = Reemplazando: E = 0,25 Ejemplo 03: Reducir: SOLUCIÓN: Efectuando: Rpta. PRACTICA DE CLASE Nº 01 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. Hallar el resultado de: : (- 2)2 +  (- 8) (- 3) : (- 2) + (- 7)2 - (- 6) (- 8)  a) 53 b) 48 c) 59 d) 62 e) N.a. 02. Efectuar: a) - 1 b) c) d) - e) - 03. Efectuar: a) 0 b) - 1 c) 1 d) 2 e) N.a. 04. Reducir: a) 1 b) 2 c) d) 3 e) N.a. 05. Efectuar: a) 1 b) c) 4 d) 2 e) N.a. 06. Simplificar: a) b) - c) - 4 d) - e) 1 07. ¿Cuál es la fracción generatriz de: 0,12 + 0,333....+0,58222....? a) b) c) d) e) 08. Calcular la raíz cuadrada de: E = 99,777.... + 0,222..... a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10 09. ¿Cuánto le falta a los de los de para ser igual a la fracción generatriz del decimal 0,555....? a) 0 b) c) d) e) 10. ¿Cuántos "paréntesis" se deben considerar en: P = ... para que "P", resulte igual a 0,1? a) 18 b) 12 c) 30 d) 20 e) 10 11. Calcular el valor de: a) 0,1 b) 0,15 c) 0,2 d) 0,25 e) más que 0,25 12. La raíz cúbica de 23 . 312 excede a la raíz cuadrada de 26 . 34 en: a) 9 b) 99 c) 90 d) 33 e) 66 13. Efectuar: a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/3 e) 1/4 14. ¿Cuántas fracciones propias de denominadas 75 y donde el numerador es un número de dos cifras, existen? a) 30 b) 35 c) 40 d) 65 e) N.a. 15. Si: x = , calcular el valor de: E = a) b) c) 0 d) 1 - e) 1 - TAREA DOMICILIARIA Nº 01 01. Si: a = 2 - ; b = + 1 y c = . ¿A qué es igual: a + b + c ? a) b) c) 3 d) 1 e) 0 02. Efectuar: a) 6,25 b) 1 c) 8 d) 4 e) N.a. 03. Calcular: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Efectuar: y dar como respuesta la raíz cuadrada de lo obtenido. a) 1 b) 3 c) 9 d) 4 e) 16 05. Efectuar: E = y dar como respuesta: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16 06. Evaluar: E = (0,125) - 3 : (0,25) - 2 y dar como respuesta: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 16 I. Objetivos Específicos: 1.1. Realizar operaciones conjuntistas con intervalos II. Procedimientos: A) Motivación ¿Cuántos números existen entre 999 y 1001 ?. Suponga que está en el campo de los números reales. Rpta.: ............................................................ B) Contenido Teórico Es la unión de los números racionales (Q) con los irracionales (II) Es decir: Q U II = R Ejemplo: De Números Reales: 0,5, - , , 1 + ,  + 2, - 7, - , etc. A. VALOR ABSOLUTO : a Es la distancia del CERO a dicho número. Luego: B. INTERVALOS: Conjunto de números reales que pueden o no incluir los extremos. CLASES : 1. ABIERTO.- Cuando no incluyen los EXTREMOS y no llevan signo igual. Así: M =  x  R / a < x < b Ejemplo : B =x  R / -3 < x < 3  -3, 3  2. CERRADO: Cuando incluyen los extremos y lleva signo IGUAL. Ejemplo : C =  x / – 3  x  0  - 3, 0  3. ILIMITADO: Cuando sus extremos están representados por infinito + ó –. 4. CERRADO POR UN EXTREMO : Cuando se incluye un extremo y el otro no. A =  x / 5  x  8  5, 8  5. ABIERTO POR UN EXTREMO : No se incluye un extremo. M = x / 3 < x   3, +  PROBLEMAS : Ejemplos 01. Dados los intervalos P =  -3, 2  , Q =  -1, 3  , Hallar P U Q Solución : Se grafican los intervalos. 02. Dados : Hallar M  N Solución : Se grafican los intervalos 03. Hallar el intervalo R – S , Si R = [ - 5, 1 [ y S = ] – 2, 3 ] Solución : Se grafican los intervalos El extremo exterior se respeta, pero el INTERIOR se cambia. 04. Hallar el intervalo P – Q, SI P = ] – 2, +  [ y Q = [ 2, 5 ] Solución : Se grafican los intervalos P – Q = ] – 2, 2 [ U ] 5, +  [ 05. Graficar y hallar A B , si A= [ -4, 1 [ y B = ] – 2, 3 ] Solución : Se grafican los intervalos En la figura simétrica, se respetan los EXTREMOS “extremos” y se cambian los extremos “MEDIOS”. PRACTICA DE CLASE Nº 02: Resolver : 01. El conjunto A = { x /x  R , 5 x 9 } con notación de intervalo se escribe : a) [ 5, 9 ] b) ] 5, 9 [ c) [ 5, 9 [ d) ] 5, 9 ] e) N.a. 02. El conjunto B = { x /x  R , x  - 2 } con notación de intervalo se escribe : a)  - , - 2  b) ] 0 , - 2 [ c) [ 0 , - 2 ] d)  0, -   e) N.a. 03. El intervalo [ -3 , 5 [ con notación conjuntista se escribe : a) { x / -3  x  5 } b) { x / x  5 } c) { x / x  -3 } d) { x / -3 x 5 } e) N.a. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 Sean los intervalos: A = [ 2, 4 [ y B = ] 3 , 8 [ Hallar : 01. Hallar: A U B a) [ - 8 , 2 ] b) ] – 8 , - 2 [ c) [ 2 , 8 [ d) [ - 2 , 8 ] e) N.a. 02. Hallar: A  B a) ] 3 ,4 [ b) [ - 4 , - 3 [ c) [ 2 , 4 ] d) [ - 1 , 6 ] e) N.a. 03. Hallar: A - B a) [ - 2 , 3 [ b) [ 2 , 3 ] c)  - 3 , +   d) [ 3 , 8 [ e) N.a. 04. A  B a) [ - 2 , 3 ] U [ - 4 , 6 ] b) [ - 2 , 2 ] U [ - 3 , 3 ] c) [ 0 , 1 ] U [ 3 , 5 ] d) [ 2 , 3 ] U [ 4 , 8 [ e) N.a. 05. Dado U =  -  +   ; A =  -  , 2  y B =  - 4 ,   Hallar A U B a)  -  , - 3  b)  -  , 8  c) U d)  - 3 , + 3  c) N.a. 06. Hallar: A  B a) ] – 4 , 2 ] b) ] 2 , 4 [ c) ] – 4 , - 2 [ d) A e) N.a. 07. Hallar: ( A U B )’ a) A b) Ø c) B d) U e) N.a. 08. Hallar: A – B a) B b) A c)  -  , - 2  d)  -  , 4  e) N.a. 09. Dados los intervalos: A = ] - 4 ; 3 [ y B = [ - 3 ; 5 [ ; obtener (A  B) – (A  B) a) ] - 4 ; - 3 [  ] 3 ; 5 [ b) R - ] - 4 ; - 3 [ c) R - ] - 3 ; 5 [ d) ø e) N.a. 10. Efectuar: | - 0 , 2 | + | 1, - | + | | y dar la respuesta redondeada a los centésimos. a) 0, 41 b) 0,87 c) 1,25 d) 1,27 e) 4,21 TAREA DOMICILIARIA Nº 02 01. El conjunto A = {x  R / 5  x <12}, con notación de intervalo se escribe: .......................... ........................................................... 02. Dado: x  ] – 2, +], con notación conjuntista se escribe: .................................................... I. Objetivos Específicos: - Transforma y simplifica radicales. - Homogeniza radicales Con responsabilidad y en forma grupal. - Multiplicar y/o dividir correctamente radicales. II. Procedimientos: A) Inicial: Los números reales es la unión de los racionales (Q) con los irracionales (I=); es decir: Q  I = R Gráficamente: Responde a la siguiente pregunta: ¿Cuántos reales hay entre 2 y 5? Respuesta: .............................................................. Complete Ud. Los elementos que faltan: B) Contendio Teórico: Para responder correctamente a la pregunta anterior sólo basta estudiar la siguiente teoría con paciencia. Transformación y simplificcación de radicales: Trasnformar radicales, es un proceso en el cual en índice de un radical se trnasforma en otro ya sea mukltiplicámdose o dividiéndose por un número entero. Ejemplo: Transfromar a índice 6. Solución: De indice 3 a índice 6, sólo se multiplica el exponente de la cantidad subradical por 2. Así: Homogeneizar radicales, es un proceso que consiste en hacer que todos los índices de los radicales que se tienen que homogenizar tengan al final el mismo índice (índices iguales). Ejemplo: Homogeneizar: Solución: 1°) Sea saca el mcm de los índices: mcm (3 - 6 - 4) = 12 2°) Éste mcm, se divide por cada índice anterior, éste resultado se multiplica por cada exponennte de la cantidad subradical, así:   Multiplicación y división de Radicales: Para efectuar las operaciones de multiplicación y/o división de radicales, debemos tener en cuenta que los radicales deben ser homogéneos. Recordando, Radicales homogéneos son aquellos radicales que tienen elm mismo índice. Por lo tanto, la multiplicación y/o división de radicales, se realiza así : Primero: homogeneizamos radicales. Segundo: Escribimos los radicandos bajo un solo radical. Tercero: Simplificamos los radicandos. Ejemplo: Efectuar: Solución: E = ; mcm (4 - 76 - 12) = 12 E = E = PRACTICA DE CLASE 03 I) ¿Qué son radicales homogéneos? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... II) Realiza la transformación de los siguientes radicales: 01. Transfromar el radical en otro índice 4. 02. Transfromar el radical en otro índice 6. 03. Transformar el radical en otro índice 6. 04. Transfromar el radical en otro índice 8. 05. Transformar el radical en otro índice 20. 06. Homogeneizar los siguientes radicales: 07. Homogeneizar los siguientes radicales: 08. Escriba bajo un solo radical: 09. Escriba bajo un solo radical: EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01. Homogeneizar los siguientes radicales: Dar el menor: a) b) c) d) e) N.a. 02. Homogeneizar los siguientes radicales: Dar el mayor: a) b) c) d) e) N.a. 03. Escriba bajo un solo radical. a) b) c) d) e) N.a. 04. Escribir bajo un solo radical y señalar la cantidad subradical. a) 216 b) 604 c) 41 d) 32 e) N.a. 05. Efectuar: E = a) b) c) d) 350 e) N.a. 06. Efectuar: F = a) 12 b) 12 c) d) 12 e) N.a. 07. Efectuar: P = a) b) c) 5 d) 5 e) 12 08. Efectuar: a) b) (32)–1 c) d) e) 09. Efectuar: a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) N.a. 10. Reducir: a) 1 b) 7 c) 49 d) 7 e) N.a. 11. Ordenar de menor a mayor: a = ; b = c = a) a; b; c b) a; c; b c) b; a; c d) c; a; b e) c; b; a 12. Si: a1 = 3 an + 1 = an + Entonces: a10 – a8 es igual a: a) 0,000000003 b) 0,00000033 c) 0,000000033 d) 0,00000333 e) 0,0000000033 13. Si: 2 <  < 5, calcular: M = a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) x 14. Determinar el valor de: F = a) - 16 b) 32 c) 42 d) - 14 e) 18 15. Reducir: E = a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA Nº 03 01. Homogeneizar: 02. Transfromar a índice 8. 03. Efectuar: 04. Reducir: I) Objetivos Específicos: 1.1. Convertir un número irracional en racional. II) Procedimientos: A) Motivación: ¿Será lo mismo que ? Rpta: ........................, porque: ......................... B) Contenido Teórico: Actividad: lee detenidamente la siguiente, información, subrayando lo que consideres importante para su comprensión. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES: Factor Racionalizante: Llamamos así a un número irracional, que al multiplicar con otro número irracional el resultado da un número racional. Analice los siguientes, ejemplos: 01. De su factor racionalizante (F.R.) es 02. De su F.R. es 03. De su F.R. es 04. De su F.R. es 05. De – 2 su F.R. es + 2 06. De su F.R. es 07. De su F.R. es 08. De su F.R. es Racionalización: Es un proceso que consiste en convertir un número irracional en racional. Y se realiza de la siguiente manera: Primero: Buscamos el factor racionalizante del radical que se desea racionalizar que puede ser del numerador o del denominador. Segundo: Multiplicamos tanto al numerador como al denominador de la fracción por su factor racionalizante. Al efectuar quedará el numerador o denominador racionalizado según halla sido la intención inicial. Ejemplos: Racionalizar los denominadores de: 01. su F.R. del denominador es 02. su F.R. es 03. Racionalizar el numerador de Primero Convertimos: Su F.R. de = PRACTICA DE CLASE Nº 04 01. Racionalizar los numeradores de: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 02. Racionalizar los denominadores de: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 01. Reducir: a = a) b) 3 c) 5 d) 5 e) 4 02. Hallar la fracción decimal equivalente a la siguiente expresión: a) 0,125 b) 0,114 c) d) e) 03. Después de racionalizar se obtiene: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Efectuar: a) 1 b) 2 c) d) 33 e) N.a. 05. Calcular E2, si: a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) N.a. 06. Reducir: y dar como representa la quinta potencia de lo obtenido: a) b) c) 1 d) 8 e) N.a. 07. Multiplicar los radicales homogéneos a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. 08. Sumar los radicales semejantes: a) 8 b) 8 c) d) 1 e) N.a. 09. Luego de racionalizar el denominador de: ; indicar el numerador simplificado. a) b) c) d) e) N.a. 10. Luego de racionalizar el denominador y simplificar: ; indicar el numerador. a) b) c) d) e) N.a. 11. ¿Cuál es el factor racionalizante que hace racional el denominador de: ? a) b) c) d) e) N.a. 12. ¿Calcular el cuadrado de: a) 1 b) 3 c) 31 d) 7 e) 8 13. Calcular el cuadrado de: a) 11 b) 13 c) 8 d) 10 e) 0 14. Evaluar: a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) 3 15. Reducir: y dar como respuesta la décima potencia de lo obtenido. a) 20 b) 18 c) 19 d) 32 e) Na. TAREA DOMICILIARIA Nº 04 01. Calcular: 02. Racionalizar el denominador de: 03. I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.1 Comprenda que muchos de los objetos que vemos en nuestro medio tiene una representación matemática: 1.2 Dada una ecuación reconozca que clase de gráfico va ha generar. II. PROCEDIMIENTOS A. Motivación ¿Sabías que muchas de las líneas que hay en el mundo tienen su representación matemática?. ¡Si! La recta, la parábola...¡increíble! ¿no? nos internaremos a este fascinante aspecto de la matemática, conocemos la función lineal, la función valor absoluto, la función cuadrática. Graficaremos líneas rectas con precisión, parábolas de curvas perfectas, reflejos exactos y muchas cosas más. A coger nuestros instrumentos y a preparar nuestra mente y ¡A comenzar! ¿Cuál crees que sea la razón por la cual la antena parabólica recibe este nombre? Rpta. ......................................................... B. Contenido Teórico Función: Conjunto no vacío de pares ordenados (x; y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. Importante: 1. La función se representa mediante una regla de correspondencia, así: y = f(x) Ejemplos: (a ) y = 3x-1 ó f(x) = 3x-1 (b) y = 4x2+1 ó f(x) = 4x2+1 (c ) y = ó f(x) = 2. Toda función tiene Dominio y Rango. Dominio: Es el conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado de una función (abcisas o elementos x), y se representa D(f). Rango: Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función (ordenadas o elementos y) y se representa por R(f). Ejemplo: a) En la función: f(x) = x + 3 Estamos en el campo del conjunto de los números reales (R). Entonces: Dominio = R Rango = R b) En el gráfico, hallar el dominio y el rango: Dominio = D(f) =  -  ; +   = R Rango = R(f) = [ – 5 ; +   3. Toda función tiene una representan a sus pares ordenados. Ejemplos: a) y = 3x – 1 b) y = 4x2+ 1 c) y = d) y = EJERCICIOS DE APLICACIÓN 01. Determinar el dominio y el rango de cada una de las funciones: A = B = C = D = E = {(x;y)/y = x2 – 3} F = {(x; y) / y = x + 3; x > 2} G = {(x; y) / y = x2; x > 3} Gráfica de funciones Especiales: 1. Función Lineal.- Es aquella cuya gráfica es ujan línea recta. La regla de correspondencia para esta función tiene la forma general: y = ax + b ó f(x) = ax + b donde: a, es la pendiente de la recta. b, es el intercepto de la gráfica con el eje "y". Observación: 1) La pendiente a, es la medida de la inclinación de la recta respecto a la horizontal (eje x). 2) De izquierda a derecha, Si: a > 0 (a positivo), la recta asciende. Si: a < 0 (a, negativo), la recta desciende. Si: a = 0 (a sin signo), la recta es paralela al eje "x" y pasa por el punto (0; b) Ejemplos: 01. Graficar, hallar el dominio y el rango de: a) f(x) = 3x + 2 Solución: 1) Tabulamos: Los pares ordenados: (-1; –1); (0; 2) y (1; 5) pertenecen a la gráfica de la recta. 2) Graficamos los puntos: D(f) = R R(f) = R b) y = x – 3 1. Tabulamos Los puntos ordenados ( - 1; - 4 ); ( 0; - 3 ) y ( 1; - 2 ) pertenecen a la gráfica. 2. D(f) = R R(f) = R 2. Función Valor Absoluto: Es aquella función conformada por dos funciones con diferente dominios, su regla de correspondencia es: y = |x + b| + c. Gráficamente se obtiene dos rectas con un punto común. Ejemplo: Graficar y = |x + 2| 2. Gráficamente puntos: ( - 4; 2 ) ( - 2; 0 ), ( 0; 2 ) y ( 2; 4 ) D(f) = R R(f) =  0 ; +   Ejemplo: 02. Graficar y señalar su dominio y su rango de y = | 2x – 6 | Solución: 1. Tabulamos: Dominio = R Rango =  0 , +   3. Función Cuadrática: La gráfica de esta función de segundo grado es una parábola como la tg. Forma general de la Regla de correspondencia: y = ax2 + bx + c; a  0 - Si: a > 0, la parábola se abre hacia arriba - Si: a < 0, la parábola se abre hacia abajo - a; b y c , son coeficientes. - X es la variable independiente - Y es la variable dependiente. COORDENADAS DEL VÉRTICE Dada Y = ax2 + bx + c; la abscisa del vértice de la parábola se obtiene operando: El par ordenado correspondiente al vértice de la parábola es: ; donde D = b2 – 4ac Ejemplo 01: Graficar Y = x2 Solución: Los coeficientes son a=1; b=0 ; c=0 ; como a > 0, la gráfica se abre hacia arriba. Además: D = b2 – 4ac = 0 – 4 (1) (0) = 0 Las coordenadas del vértice son: Su gráfica es: Ejemplo 02: Graficar Y = 2 x2 + 4x – 1,da su dominio y su rango Solución: - Los coeficientes son: a = 2; b = 4 y c = -1 - Como a > 0, la gráfica se abre hacia arriba. Discriminancia D = b2 – 4ac D = (4) 2 – 4 (2) (-1)  D = 24 Luego, las coordenadas del vértice son: Su gráfica es: Dominio = R Rango = [ - 3 ;   PRÁCTICA DE CLASE Nº 05 01. Graficar: f(x) = x 02. Graficar: f(x) = | x+1| 03. Graficar : f(x) = 3, hallar su dominio y su rango 04. Graficar: Y = 3|x + 2|; x > 5 05. Graficar en un solo sistema las funciones: y = ax2 + bx + c x = ay2 + by + c 06. Graficar, dar el dominio y su rango de: y = x2 + 6x + 20 ; x > 1 07. Determinar el vértice de cada una de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x2 + 3x + 2 b) y = 4x2 + 13x + 3 c) y = x2 – 7x +12 PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 05 01. Contestar ¿Cuáles son funciones de las siguientes gráficas? a) I y II b) II y III c) Sólo II d) Todas e) N.a. 02. Señale el dominio de a) [ 3 ; +   b) ] 3 ; -   c) R d) [ - 3 ; +   e) N.a. 03. Determina el rango en: f(x) = x2 + 2 a) ] 2 , +  [ b) [ - 2 ; +   c)] - 2 ; +  [ d) [ 2 ; +  [ e) N.a. 04. Determina el dominio de: f(x) = a)  - 4 ; 7  b) [ 4 ; 7 ] c)  - 4 ; 7 ] d) [ 4 ; 7 [ e) N.a. 05. Determina el rango de: f(x) = 9 - x2 a)  -  ; - 9 ] b)  -  ; 9  c)  -  ; 9 ] d)  -  ; +   e) N.a. 06. De: ; hallar D(f) a) R b) R – {0} c) R – {1} d) R – {-1} e) N.a. 07. Los puntos ( - 2 ; - 8 ) y ( 0 ; 2 ) Pertenece a la gráfica de una función lineal. Determina la pendiente. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.a. 08. La pendiente que pasa por el origen de coordenadas es 2. si el punto (m;n) pertenece a dicha recta. Calcular (m/n) a) 1/2 b) 2 c) –1/2 d) 0 e) N.a. 09. La función y = ax + b tiene pendiente igual que la función identidad y pasa por el punto ( 3 ; 7 ). Calcular a + b. a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 10. ¿Cuánto mide ángulo que forma la gráfica de la función y = x – 3 con el eje "x"? a) 35º b) 37º c) 30º d) 45º e) N.a. 11. ¿En qué punto intercepta la gráfica de la función: Y = |x +1 |; al eje Y ? a) ( 0 ; 0 ) b) ( 0 ; 1 ) c) ( 1 ; - 1 ) d) ( - 1 ; 0 ) e) N.a. 12. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tener el rango de la función y = |x + 2| + 3? a) 1 b) –3 c) 5 d) –5 e) 3 13. ¿En cuántos puntos interseca la gráfica de la función Y = -|x |+2, al eje x? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.a. 14. ¿Cuánto es la distancia entre los puntos de intersección del ejes con la gráfica de la función y + 2 = -|x + 2| ? a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5 15. ¿En qué punto cambia de dirección la gráfica de la función Y + 3 = | x + 1| ? a) ( - 1 ; - 3 ) b) ( - 1 ; 0 ) c) ( - 1 ; 1 ) d) ( 1 ; - 3 ) e) ( 0 ; 3 ) TAREA DOMICILIARIA Nº 05 01. Graficar : Y = 2 x + 4 02. Graficar: Y = | x – 3 | + 3 03. Graficar : Y = | 2 x – 1 0| - 1 04. Graficar: Y = (x – 3 )2 – 1 05. Graficar, hallar el dominio y el rango de : Y = x 2 + 4x + 4 OBJETIVO ESPECÍFICOS 1. Realizar la suma y resta de expresiones algebraicas en forma correcta, respetando los signos. 2. Observar que estas operaciones de adición y sustracción se hacen entre términos semejantes. 3. Realizar la multiplicación y división entre monomios y polinomios en forma correcta, respetando los signos. PROCEDIMIENTOS a) Motivación En la clase anterior estudiamos la teoría exponencial y pudimos darnos cuenta de la necesidad de poder hacer algunas operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división entre estas expresiones algebraicas. De allí aparece la necesidad de querer estudiar este tema por ser de vital importancia en el área del Álgebra. Nos daremos cuenta que estas operaciones son tan simples como las operaciones entre números, la diferencia esta, en que estas se hacen entre términos algebraicos. b) Contenido Teórico 1. Suma o Sustracción Juan tiene 7 caramelos y Ana, 5 caramelos. Si los juntáramos en una sola bolsa tendríamos 12 caramelos en total. Esto se puede simbolizar de la siguiente manera: 5 car + 7 car – 12 car ó 5 c + 7c = 12c Si tuviéramos 6 caramelos y 7 panes y quisiéramos juntarlos en una sola bolsa, sólo diríamos: “se tiene 6 caramelos y 7 panes”. Es decir no podría efectuarse operación aritmética alguna. De donde se concluye lo siguiente: PARA ADICIONAR O SUSTRAER ES NECESARIO TOMAR ELEMENTOS DE UN MISMO CONJUNTO. Sumar dos o más expresiones algebraicas llamados SUMANDOS, consiste en hallar una expresión llamada SUMA o SUMA TOTAL, cuyo valor numérico sea igual a la suma de los valores numéricos de los sumandos, para cualquier conjunto de valores que se atribuyen. Regla .- Para sumar expresiones se escriben unas a continuación de otras, todas con sus propios signos y luego se reduce términos semejantes si los hubiera. Ejemplo. Si P = 5x3 - 3x + 7 ; Q = 4x3 ; R = 2x3 + 5x2 + 3x - 9 Hallar: P+Q+R Solución: P + Q + R = 3x3 + 5x2 - 2 2. Resta o Sustracción Resta r dos expresiones algebraicas, llamadas minuendo y sustraendo, consiste en hallar otra expresión llamada Diferencia, cuyo valor numérico sea igual a la diferencia de los valores numéricos del minuendo y sustraendo, para cualquier conjunto de valores que se atribuyen a sus letras. Regla Para restar dos expresiones algebraicas, se escribe el Minuendo con sus propios signos y a continuación el Sustraendo con signos cambiados, y luego se reducen términos semejantes si los hubiera. Ejemplo. Si: P – Q = 8x3 - 5x2 + 7x - 6 y Q = 8x3 - 2x2 + 7x - 7 Hallar P – Q Solución P – Q = 8x3 - 5x2 + 7x - 6 - 8x3 + 3x2 - 7x + 7 = 3x2 + 1 Propiedades de la Suma y Resta 1) Si se suma o restan expresiones algebraicas de igual grado, no se puede predecir el grado de las expresiones resultante. El máximo grado posible es igual al grado de las expresiones. 2) Si se suman o restan expresiones algebraicas de grados diferentes, el grado de la expresión resultante es igual al grado de la expresión de mayor grado. 3. MULTIPLICACIÓN. Multiplicar dos expresiones algebraicas, llamadas multiplicando y multiplicador, consiste en hallar otra expresión algebraica llamada Producto, cuyo valor numérico sea igual al producto de los valores numéricos del multiplicando por el multiplicador, para cualquier conjunto de valores que se les atribuya a sus letras. ¬ • Primer Caso: Multiplicación de monomios Regla 1. Se determina el signo del producto de acuerdo a las reglas de los signos. 2. Se multiplica los valores absolutos de los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal aplicando la teoría de exponentes. Ejemplo: Multiplicar. - 3x5 por 8x4 y8 z Solución ( - 3x5 y ) . ( 8x4 y8 z ) = 24x9 y9 z Nota. Si se trata de multiplicar varios monomios y todos son positivos, el producto es positivo. En caso de que todos ellos son negativos, el producto es positivo si hay un número par de factores negativos y es negativo si hay un número impar de factores negativos. Ejemplo: Multiplicar los siguientes monomios: x2 y ; a2 x y5 ; x8 z5 ; - 14x2 y z5 ; a3 x2 z8 Luego: • Segundo Caso: Multiplicación de Polinomios Regla Se multiplica cada término del primer polinomio por cada termino del segundo polinomio, luego se reducen términos semejantes si los hubiera. Ejemplos. Multiplicar: 3x2 - 5x + 8 por 7x3 - 2x2 + 5x - 3 Solución ( 3x2 - 5x + 8 ) . ( 7x3 - 2x2 + 5x - 3 ) 21x5 - 6x4 + 15x3 - 9x2 - 35x4 + 10x3 - 25x2 + 15x + 56x3 - 16x2 + 40x - 24 21x5 - 41x4 + 81x3 - 50x2 + 55x - 24 Propiedades de la Multiplicación 1) En toda multiplicación algebraica el grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. 2) En toda multiplicación de polinomios homogéneos el producto es un polinomio homogéneo. 3) En toda multiplicación, el término de mayor grado del producto es igual al producto de los términos de mayor grado de los factores. 4) En toda multiplicación, el término de menor grado del producto es igual al producto de los términos de menor grado de los factores. 4. DIVISIÓN. 1. División de Monomios Se dividen los coeficientes atendiendo a una correcta aplicación de la ley de los signos, a continuación se dividen las variables aplicando la teoría exponencial (división de potencias con igual base) Ejemplo. Dividir : 2. División de un Polinomio con un Monomio Cada término del dividendo se divide con el divisor y se procede como en el caso anterior. Ejemplo. Dividir : Solución: 3. División de Polinomios Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos. Antes debemos tener en cuenta las propiedades a aplicarse en la división de polinomios. Propiedades 1° El grado del cociente es igual al grado dividendo menos el grado del divisor. 2° El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en la unidad. Además el grado del resto es menor que el grado del divisor. Þ 3° La propiedad fundamental de la división en el álgebra forma una identidad; para todo valor que se le asigne a su variable. 4° Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo. Þ Ejemplo: Hallar los grados del cociente, residuo y residuo máximo en: ; D° = 12 Q° = 12 – 7 = 5 d° = 7 R°máx = 7 – 2 = 6 A continuación detallamos 2 métodos para dividir polinomios: A) MÉTODO DE HORNER. Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema: K = Grados del divisor Ejemplo: Dividir: Solución. 1°. Completamos y ordenamos los polinomios a dividir: D(x) = 2x5 - x4 +2x3 +5x2 +0x +2 d(x) = 2x3 -x2 +0x +5 2°. Realizamos la división según el esquema:  q (x) = x2 +0x + 1 = x2 + 1 R (x) = 1x2 +0x - 3 = x2 - 3 B. MÉTODO DE RUFFINI: Este método es una consecuencia de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma: d (x) = ax + b ; a  0 De acuerdo al esquema: Donde: Ejemplo: Dividir: Solución: Como están completos y ordenados, lo llevamos al esquema: q(x) verdadero q(x) = 1x5+ 3x4-x3+ 4x2+ 7x + 2 R (x) = 5 PRÁCTICA DE CLASE Nº 06 01. Dadas las expresiones: A = 4x3 - 7xy - 5xy5 , B = 6x3 + 9xy - 3xy5 Hallar : a) A + B b) A – B c) 2A +3B d) 4A – 5B 02. Efectuar: - 8y – ( - 7y - [ ( 3y – 7x ) – ( 2y – 8x ) ] + 5x ) 03. Dados: P = (c – 1) x2 + 3x + 3y Q = 5x2 – 3 ( x + y ) Si P – Q se reduce a 6 (x+y), hallar el valor de c 04. Reducir: 4x2 + [ -T ( x2 – xy ) – ( - 3y2 + 2xy ) – ( - 3x2 + y2 ) ] 05. Simplificar la expresión: 2x – 5 [ 7 – ( x – 6 ) + 3x ] – 21 06. Hallar la suma de: x3 y – xy3 + 5 ; x4 – x2 y2 + 5x3 y – 6 ; 6xy3 + x2 y2 + 2 07. Simplificar: 08. Efectuar: a) ( - 15x2 y ) ( - 3x3 y2 z5 ) b) ( 5x3 y2 ) ( 6x5 y6 ) ( - 11 xz4 ) c) 3 a2 b ( 5a2 – 2ab + b2 ) d) ( 2x2 – 5x + 9 ) ( 6x2 – 3x + 11 ) e) ( 2x4 + 3y – 4z ) ( 7x2 y – 8xy2 + y3 ) f) ( 2x + 3y – 4z ) (2x – 3y + 4z ) EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 06 01. Calcular: (E + A)5, si: A = 1 + x - x2 ; E = x2 - x – 1 a) 32 b) 32 x10 c) - 32 x5 d) 0 e) 1 02. Reducir: S = 2(x2+x+1) +3(x2 - x+1) - 5 (x2 -1/ 5x - 2) a) 2x2 - x +1 b) 3x + 5 c) 15 d) 0 e) N.a. 03. Efectuar: R = 2n (m2+p2) - 2mn(m - n) - 2n (p2 + mn) a) m + n b) m2+ p2 + n2 c) 1 d) 3m - 2n e) 0 04. Si: P(x)= 1- x2 + x ; Q(x) = 2 – x ; R(x) = x2 + 2. ¿Cuánto le falta a la resta de Q meno R para ser igual a la suma de P más Q? a) 3x + 1 b) 4x - 2 c) x d) 3 + x e) 3 - x 05. Dadas las siguientes expresiones: A = 2(x2 + x + 2) (x - 1) + 3(x + 1) (x2 - 1) B = 2(x2 - x + 2) (x + 1) + 3(x - 1) (x2 + 1) Indica el valor de (A + B) - 4x + 6. a) 8x3 - 2x b) 10x3 - x c) 10x3 d) 10x3 + 2 e) N.a 06. Señale el resultado de multiplicar la suma de: 2x - x2 + x3 con x2 - x3 + 3 ; Con el resultado de la diferencia de 3x2 + x + 6 con 3x2 - x- 1. Al resultado final restarte: 4x (x + 5) a) x2 - x b) x2 + 10 c) 21 + x d) 21 e) N.a 07. Si se sabe que: A = 2(x2 + x +1) (x + 1) + 2x B = 2(x2 - x +1) (x - 1) - 2x Calcular: A - B - 4x - 4 a) 8x2 b) x2 - 3x + 11 c) x2 - 3x + 17 d) x2 + x - 3 e) N.a. 08. Efectuar: a) - 7 b) - 17 c) 11 d) e) N.a. 09. Efectuar: P = (a + 2b) (a2 - b2) - (a - ab) (a2 + b2) + 2ab2 a) 2a2 b b) 4a2 b c) 2a b2 d) a b2 e) a2 b 10. Calcular: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. En la división: Se obtiene como resto solamente un término constante. Indique su valor. a) - 1 b) 8 c) 2 d) - 3 e) 4 12. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del cociente que resulta de dividir: a) - 1 b) 4 c) 3 d) -x2 e) N.a. 13. Si al dividir: Ax3 +Bx2 + Cx + D por 3x2 + 2x - 1, el cociente fue (A - 2) (x) + 3 y el residuo: 3x + A + 2 a) 19 b) 28 c) 20 d) 16 e) N.a. 14. Si P y Q son dos polinomios de grados desconocidos y al realizar las siguientes operaciones se obtiene que: (PQ)2 / (P - Q) es de grado 10. ( P + Q)2 / Q es de grado 5. Hallar el grado de P, si es mayor que el de Q. a) 64 b) P 2 - Q 2 c) P2 - Q2 d) Q2 e) N.a. 15. Hallar el resto de: a) x b) 3x c) x2 – 2 d) - 5x + 32 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA Nº 06 01. De a2 sustraer la suma de 3ab – 6 y 3a2 - 8ab + 5 02. Efectuar: a) (x + y + z) + (2x – 3y + z) (– 4x + 5y – 2z) b) ( x2 + y2 – 3xy ) – ( - y2 + 3x2 – 4xy ) 03. Simplificar las siguientes expresiones: a) b) 04. Al dividir: 8x4 + 2x3 + 3x2 entre (4x – 1). Se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a: 05. Dividir: 4x5 + 2x4 + 2x3 – x2 + 4x entre 2x3 + 3x2 – x + 2 I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Lograr que el alumno determine el grado absoluto y el grado relativo, tanto de un monomio como de un polinomio y su posterior aplicación en la resolución de problemas que involucren a los grados. 2. Conocer los Polinomios especiales fundamentales y resolver ejercicios. II. PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN Habiendo aprendido a reconocer una expresión algebraica observando solamente los exponentes de las variables de la parte literal, ahora continuamos nuestra incursión en el álgebra, precisamente observando los exponentes para determinar una característica propia de las expresiones algebraicas: su grado. B. CONTENIDO TEÓRICO I. Definición - Se denomina grado de una expresión algebraica a una característica relacionada con los exponentes de sus variables. - Nuestro estudio se centrará en el campo de las expresiones algebraicas racionales enteras, por lo tanto el grado es un número entero positivo. - Se distinguen dos tipos de grados : Grado Relativo y el Grado Absoluto. - Cuando hablamos del Grado Relativo nos referimos a una determinada variable de la expresión; y cuando mencionamos el Grado Absoluto, nos referimos a todas las variables de la expresión en discusión. G. A. = Grado Absoluto G. R. = Grado Relativo II. Grados de un monomio Entero y Racional 1. El Grado Relativo se refiere sólo a una variable y está dado por el exponente que afecta a dicha variable. 2. El Grado Absoluto del monomio está dado por la suma de los exponentes de sus variables (Suma de los grados relativos) Ejemplo 1: Sea el monomio 5x7 y3 z6 GR(x) = 7  Este monomio es de séptimo grado con respecto a “x” GR(y) = 3  Este monomio es de tercer grado con respecto a “y” GR(z) = 6  Este monomio es de sexto grado con respecto a “z” GA = 7 + 3 + 6 GA = 16  Este monomio es de dieciséis grado con respecto a todas sus letras. Ejemplo 2: Hallar el coeficiente del monomio M(x; y)= 23a - b x8a yb - 3. Sabiendo que su grado absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “y” es 2. Solución Extrayendo los datos del ejemplo. GR(y) = 2  b – 3 = 2  b = 5 GA = 10, de aquí se concluye: GR(x) = 8  8a = 8  a = 1 Calculando el Coeficiente solicitado Coeficiente = Coeficiente = III. Grados de un Polinomio Entero Racional 1. El Grado Relativo de un polinomio, viene expresado por el mayor exponente que afecta a la variable. 2. El Grado Absoluto de un polinomio, se determina ubicando el término que tiene mayor grado absoluto. El mencionado valor viene a ser el grado absoluto del polinomio. Ejemplos 1: Sea el polinomio: P(x; y; z) = 3x5 y z8 - 23 x8 y2 z3 + 5x4 y5 z2 - z9 y2 Exponentes de x  5 8 4 0 Exponentes de y  1 2 6 2 Exponentes de z  8 3 2 9 Grado Absoluto de cada polinomio  14 13 12 11 Por la realización se concluye: GR(x) = 8  El polinomio es de octavo grado con respecto a “x” GR(y) = 6  El polinomio es de sexto grado con respecto a “y” GR(z) = 9  El polinomio es de noveno grado con respecto a “z” GA = 14  El polinomio es de grado catorce con respecto a todas sus letras. Ejemplo 2: Sea: P(x;y) = xm + n + xm yn + 2 + 3xn ym + 3 (m>n) Exponentes de x  m + n m n Exponentes de y  1 n + 1 m + 3 Exponentes de x  m + n m n Grado Absoluto de cada polinomio  m+n+1 m+n+2 m+n+3 Luego: GR(x) = m+n GR(x) = m+3 GR(x) = m+n+3 Ejemplo 3: Si el polinomio: P(x; y) = (a + 2) x2a + 1 yb + 2 + (a - b) x2a + 3 y3 + (3b - 1) xa + 1 yb + 1 es de grado absoluto10, mientras que el grado relativo de “x” es 7. Calcular la suma de los coeficientes de “P”. Solución 1° Se recomienda elaborar el siguiente cuadro: P(x; y)=(a+2) x2a + 1 yb + 2 + (a - b) x2a + 3 yb - 3 + (3b - 1) xa + 1 yb + 1 Exponentes de x  2a+1 2a+3 a+1 Exponentes de y  b+2 b – 3 b+1 Grado Absoluto  2a+b+3 2a+b a+b+2 2° Nos piden la suma de los coeficientes, es decir: (a+2) + (a – b) + (3b – 1) a+2 + a – b + 3b – 1 = 2a + 2b +1 .......... (1) 3° Calculamos “a” y “b” haciendo uso de los datos, así: GR(x) = 7  2a + 3 = 7  2a = 4  a = 2 GA = 10  2a + b + 3 = 10  2(2) + b + 3 = 10 4 + b + 3 = 10 b = 3 4° Los valores de “a” y “b” lo reemplazamos en (1), para obtener la suma de coeficientes. 2a + 2b + 1 = 2(2) + 2 (3) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11 1. POLINOMIO ENTERO Es el polinomio cuyo valor numérico depende exclusivamente del valor de su variable, y que presentan exponentes enteros y positivos (Expresión algebraica racional entero). Los coeficientes de los polinomios se pueden elegir de algún sistema matemático distinto del de los números reales. Sin embargo, a menos que se especifique otra cosa, el término polinomio se referirá siempre a un polinomio con coeficiente real. Ejemplos: P(x) = 5x + 3 de primer grado P(x) = - 5x2 + 7x - 4 de segundo grado P(x) = 3x3 - 2x + x2 - 6 de tercer grado P(x, y) = 6x5 y - 3x3 y3 + 11xy4 2. POLINOMIO ORDENADO Un polinomio es ordenado cuando sus términos están dispuestos de tal forma que los exponentes de la letra en referencia (variable ordenatriz) van aumentando o disminuyendo. Ejemplos: P(x) = 2x8 - 7x5 + 8x2 - 5 ordenado descendentemente P(x) = 7 + 4x - 6x2 + x3 - x7 ordenado ascendentemente 3. POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que es caracteriza por tener los exponentes de su variable ordenatriz desde el mayor hasta el cero (éste corresponde al término independiente). Ejemplos: P(x) = 8x + 2x2 - 11 - x3 + x4, es un polinomio completo pero desordenado. ¡IMPORTANTE! Si un polinomio es completo, no necesariamente estará ordenado. Si un polinomio es ordenado, no necesariamente estará completo. Un polinomio de grado “n” y completo posee “n+1” términos distintos. P (x) = x4 + x3 - x2 + 3x + 1; es un polinomio ordenado y completo descendentemente. P(x) = - 8 + x - 2x2 - 5x3 4. POLINOMIO HOMOGÉNEO Recibe este nombre el polinomio que es caracteriza por tener igual grado absoluto en todos sus términos. Ejemplos: a) 3x5 y9 - 5x11 y3 + 2x8 y6 + x7 y7 Grado absoluto: 14 = 14 = 14 = 14 b) 2x3 - 6x2 y + 9xy2 + y3 Grado absoluto: 3 = 3 = 3 = 3 OBSERVACIÓN: El ejemplo anterior es ordenado y completo con respecto a sus dos variables; luego, es HOMOGÉNEO. 5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio que es igual a cero para cualquier valor que se le asigne a la variable o variables, y que tienen iguales los coeficientes de sus términos semejantes. Ejemplo: P(x) = ax2 + bx + c = 0 Para que este polinomio sea idénticamente nulo es necesario que: a = b = c = 0 6. POLINOMIO IDÉNTICO Dos polinomios son idénticos, si poseen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. Se caracterizan por tener iguales los coeficientes de sus términos del mismo grado (llamados TÉRMINOS SEMEJANTES). Ejemplo: Sean los polinomios: P(x; y) = Ax4 + Bx2 y + Cy2 Q(x; y) = Dx4 + Ex2 y + Fy2 Si P es idéntico a Q: Ax4 + Bx2 y + Cy2  Dx4 + Ex2 y + Fy2 Entonces se cumple: A = D  Coeficientes de x4 B = E  Coeficientes de x2 y C = F  Coeficientes de y2 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 01. Dados los polinomios: P(x)= ax2 + 3x + bx + 5x2 + c - 2 Q(x) = 7x2 + 5x - 1 Calcular los valores de a, b y c, si los polinomios son idénticos. SOLUCIÓN: Por dato: ax2 + 3x + bx +5x2 + c - 2  7x2 + 5x - 1 Reduciendo términos semejantes en el primer miembro: (a + 5) x2 + (b + 3) x + (c - 2)  7x2 + 5x - 1 Entonces se cumple: Coef. de : a + 5 = 7  a = 2 Coef. de x : b + 3 = 5  b = 2 Coef. de : c – 2 = -1  c = 1 02. Si el polinomio: P(x) = 5xa - 18 + 15xa - b + 15 + xc - b + 16 es completo y ordenado en forma descendente, entonces el valor de (a + b + c) es: SOLUCIÓN: Si el polinomio es completo y ordenado descendentemente podemos establecer que: I. a – 18 = 2  a=20 II. a – b + 15 = 1  b=34 20 – b + 15 = 1 III. c – b + 16 = 0  c=18 c – 34 + 16 = 0 Por lo tanto: a + b + c = 20 + 34 + 18 a + b + c = 72 Respuesta. 03. Determinar (m + n + p) sabiendo que el polinomio: P(x) = 3xm + n + 8 + 7xn + p + 2 + 5xp + m - 9 Es ordenado y completo en forma ascendente. SOLUCIÓN: Por dato del problema los exponentes de “x” de izquierda a derecha deben ser: 0; 1; 2 respectivamente: m + n + 8 = 0  m + n = - 8 ....... (1) n + p + 2 = 1  n + p = - 1 ....... (2) p + m - 9 = 2  p + m = 11 ....... (3) Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene: 2m + 2n + 2p = 2 Dividiendo entre 2: m + n + p = 1 respuesta 04. Determinar el valor de “a” sabiendo que el polinomio: P(x; y) = es homogéneo. SOLUCIÓN: Para que el polinomio sea homogéneo el grado absoluto de todos los términos debe ser el mismo. De la igualdad (I), podemos determinar el valor de “n”. n2 + 5=n2 + 4n – 11  4n = 16  n = 4 Reemplazando el valor de “n” en la igualdad (II). n3 + 5 = 3a + 9 (4)3 + 5 = 3a + 9 3a + 9 = 69 3a = 60  a = 20 Respuesta. PRACTICA DE CLASE Nº 07 I. Desarrolla en tu cuaderno. 01. Calculamos el grado relativo y grado absoluto en los monomios: a) 32x7 y4 z5 b) x6 y17 z8 c) 5 - 3 x4 y9 z3 xy3 d) 37 a3 b2 cmn e) - 15a7 b6 c4 f) M(x ; y) = x7 y11 g) A(x ; y ; z) = x5 y z13 h) B(x; y) = 34 x5 y12 i) M (x; y) 2m xm + 3 y4 j) A(x; y) = xm + 2 yn ab 02. Calcular el grado relativo y grado absoluto en los polinomios: a) 2x3 y2 - 5xy7 + 7x2 y5 b) 53 x6 y9 z2 + x5 y8 z4 + 2xy9 z7 c) - 3x2 abc3 - 26 xa4 b5 + 4a3 b2 c9 d) P(x; y) = 2x3 y4 - 33 x2 y + x5 e) A(x; y) = 4ax3 - 3x2 y6 + 2ab x7 + y7 f) B(x) = 5x5 + 3x4 - 11x3 + x - 12 g) Q(x; y; z) = x3 y5 - 6yz8 + 33 x2 y4 z9 03. Señalar el coeficiente de: M(x; y) = 8a + b x2a yb - 2. Sabiendo que su grado absoluto es 7 y el grado relativo respectivo a “y” es 1. a) 25 b) 28 c) 218 d) 29 e) N.a. 04. Si el monomio: P(x; y)=3(a+2b) x3a - 5 y(b + 1) / 2 El grado relativo de x es 4 y el grado absoluto es 6. Hallar el coeficiente. a) a = 5 ; b = 3 b) a = 2 ; b = 5 c) a = b = 3 d) a = 6 ; b = 9 e) N.a. 05. Calcular “a” y “b” si en el monomio: xa + 1 yb - 3; se cumple que su grado absoluto es 12 y GR(x) = 3GR(y). a) a = 5 ; b = 3 b) a = 2 ; b = 5 c) a = b = 3 d) a = 6 ; b = 9 e) N.a. 06. Hallar “n” si es de segundo grado. 07. Si en el polinomio: P(x; y) = 5b xa yb + 2, el grado absoluto es 8, mientras que el grado relativo de “x” es 5. Calcular el valor de “b”. 08. Dado el polinomio: P(x; y) = xa - 2 yb + 5 + 2xa - 3 yb + 7xa - 1 yb + 6 ; GA = 17 ; GR(x) = 0 calcular (a – b). 09. Sea: 4xm3n + 2p y2m + n + 3p z3m + 2n + p tiene grado absoluto 60. Hallar el grado absoluto de: A(x; y) = - 4m + 2 yn + p + 3 z4 . 10. Hallar (m – p) si el polinomio: 4xm + p + 3 yp - 2 + 9xm + p + 1 - 5xm + p + 1, es de grado absoluto 14; y se cumple : GR(x) = GR(y) + 4 II. A continuación exponemos un conjunto de ejercicios que te deben permitir repasar la teoría explicada en clase y resumida al iniciar el capítulo que se indica. 01. El polinomio P(x; y) es homogéneo, calcular: E = a – b + ab. P(x; y) = 2xa - 5 y2 - 5xb + 3 y7 - 2x9 y5 02. El polinomio: P(x; y) = 2xm + 1 y3 - mxn + 1 + mnx5 y4 , es homogéneo. Calcular la suma de sus coeficientes. 03. Dado el polinomio: P(x) = xa + 2 - xb - 3 + 2xc + 1 , ordenado y completo decrecientemente, calcular a, b y c. 04. Si se cumple la siguiente identidad: (m - 4)x + (n + 1)  0. Calcular m y n. 05. Si se cumple la siguiente identidad; calcular 3m – n + p. 7x2 - 5x + (p + 4)  (m + 1) x2 + (n - 4) x + 7 06. Determinar (m + n + p), sabiendo que el polinomio: P(x, y) = 5xm + 2 yn + 2xm + 1 y2 + x2p y4 + 3xq - 1 y5, es homogéneo de grado 7. 07. Si el polinomio: P(x) = 2xd + c - 3xa + b + xa + c - 4xb - 1 , está ordenado consecutivamente en orden descendente; calcular (a + b) (c + d). 08. Si los polinomios: P(x) = (a + 2) x2 + (3b - 1) x + 5 ; Q(x) = (2a + b) x2 - (b + 2) x - c ; son idénticos; entonces (2a + 2b + c) es: 09. Si el polinomio x5a + 3 yb + 2 + x4a + 5 - 2xy8 ; es homogéneo. Entonces (3a – 2b) es: 10. Si el polinomio 3xa + 2b-c + 2xa + b - x2b - 3 + 1, es completo y ordenado, entonces el valor de (a + b + c) es: 11. Hallar el grado absoluto del polinomio P si se sabe que es homogéneo y que la suma de los exponentes de “x” es igual a 20. P(x; y) = 8xm + 2n yn - 2xm + n y12 12. Hallar (m – n) si: 2(x+7)  m(x+2) + n(x-3) 13. Si el polinomio es idénticamente nulo; entonces el valor de (bc : a) es: P(x) = (3a - b) + (b + c + 2)x + c + 1. 14. Hallar el grado absoluto del polinomio “P”, si se sabe que es homogéneo; y que el grado relativo a “x” es 2 menos que el grado relativo a “y”. P(x; y) = 7xm + n yn + 2xm + 6 yn + 4 15. En el polinomio ordenado y completo: P(x) = x2a+1 + 2xb+3 + 3xc+2 + ... + 2c Hallar (a + b + c). 16. En un polinomio homogéneo ordenado y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad? 17. Hallar (a + b + c) si el polinomio P(x)= x3a – b + x2n + 3x3b + c + 12ya + b + c es completo y ordenado. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 07 01. Calcular (a +b) si: M(x, y) = 4b x3a + 2b y5a - b, es de GA = 10 y GR(x)=7. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si GR(x) = a, GR(y) = b. Hallar el GA de: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 03. Hallar (m - n) si el polinomio P(x, y) es homogéneo: P(x, y) = 3x3m + 2ny4 - 2x2m - a y-2a - 1+7x2myn+7 a) 5 b) 7 c) – 2 d) - 5 e) - 8 04. Hallar m + n + p, si el polinomio en completo y ordenado en forma descendente. P (x) = xm – 10 – 3xm – n + 5 + 15xP – n + 6 a) 10 b) 12 c) 16 d) 38 e) 40 05. Si el polinomio: P(x, y) = mx2 + 4my2 + 3nx2 + 4x2 - 3y2, es idéntico a F(x, y) = 13x2 + 9y2 Hallar (m + 2n). a) 3 b) 2 c) 10 d) 7 e) 19 06. Determinar “n” si el monomio es de segundo grado: a) 1 b) 7 c) 3 d) 5 e) 9 07. Si el polinomio: P(x) = a(x+2)2 + b(x + 3)2 - a(2x + 3)2 + c, es idénticamente nulo. Hallar el valor de: a) 0 b) 1 c) 2 d) Indeterminado e) N.a. 08. Calcular “m + n” si el polinomio: P(x,y)= 3x2m + a - 4 ym + n + 2 + 5x2m + a - 3 ym + n + 1 - 7x2m + a - 2 ym + n , es de grado 10 y la diferencia entre los grandes relativos a “x” e “y” es 4. a) - 6 b) 8 c) 4 d) 1 e) 2 09. El grado absoluto de: xm y2n + 1 z [xm - 1 y zn - 1 + (xy)m zn ] es 17. Determinar (mn)m. Si GR (y) = 9. a) 36 b) 6 c) 5 d) 9 e) N.a. 10. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: P(x)= c(xa + xb) +a(xb + xc) + b(xa + xc) + abc a) 6 b) 18 c) 12 d) 10 e) N.a. 11. En el polinomio: P(x) = (2x + 1)n + (x + 2)a - 128 (2x + 3), “n” es impar. Además la suma de coeficientes y término independiente suman 1. Hallar el valor de “n”. a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) N.a. 12. Si  3x + 2 Hallar F(x) a) 3x2 + 6x - 5 b) 3x2 - 6x + 5 c) 3x2 - 6x - 5 d) 3x2 + 6x + 5 e) N.a. 13. Calcular: F(x) = 60x5 - 185x4 - 45x3 - 92x2 - 10x - 12 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) N.a. 14. Calcular la suma de coeficientes en: P(x - 1) = (3mx - 4m)2 + (3x + 4) - x2 + 4 M  Z+, sabiendo que es cuádruple de su término independiente. a) (24)2 + 16 b) (24)2 - 16 c) (24)2 -+2 d) (24)2 e) N.a. 15. Si el monomio: A(x, y, z) = xm + n yn + p z p + m Es grado 18, y los grados relativos a, x, y, z son números consecutivos (en este orden). Calcular: mnp. a) 24 b) 22 c) 25 d) 23 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA Nº 07 01. Si: F(x, y) = ab (xy2)7 - a y-b P(x, y) = ba(x2y)b - 2 Son términos semejantes, calcular a - b. 02. Si el polinomio: P(x) = - 3xa + 1+ 2xb - 4+6 es completo y ordenado, calcular a + b. 03. Sea el polinomio: P(x) = (a - 4) x2 + + ab que se reduce a primer grado. Hallar “m”, si: m2 = P (P (a + b)), m  0. 04. Hallar el coeficiente del monomio: M(x; y) = 2m - n x2m - n ym + n Si: GR(x) = 6 y GA (M) = 15 05. Sabiendo que el grado absoluto del monomio. es 8, calcular “n”. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Realizar el reconocimiento de una expresión algebraica a partir de su número de términos y la naturaleza de su exponente. 2. Reconocer términos algebraicos semejantes para su posterior aplicación en la resolución de problemas. PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN Cuando se logra abstraer cantidades en variables, se está innovando el conocimiento matemático que da origen a la formación del ÁLGEBRA, constituyéndose como un nuevo conocimiento matemático abstracto y generalizado. En el álgebra, para lograr la generalización, la cantidades se representan mediante letras (variables), las cuales pueden representar todos los valores. B. CONTENIDO TEÓRICO Definición de Álgebra Rama de la matemática que trata de la cantidad considerada del modo más general, sirviéndose de letras para representarla. Expresión Algebraica Es toda asociación de constantes numéricas y letras (variables), entrelazados por cualquiera de los operadores matemáticos de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, o una combinación limitada de éstos. Para que una expresión sea considerada algebraica, una variable nunca se debe ubicar como exponente de una potenciación o índice de una Radicación. Ejemplos: 25 3 + 52 – ( - 3 ) -5 3x - 2xy3 - + x3 2x1/2 + xy -1/3 - y - 2 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se puede realizar de acuerdo a: 1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA. Es aquella expresión algebraica cuya parte literal está afectada de exponentes naturales. Eso implica que no tiene letras o variables en el denominador. Ejemplo. a) – 7 b) x2 - 2x - 3 c) 5xy - + 2y3 EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA Es aquello expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente ENTERO NEGATIVO en su parte literal (variable). Eso implica que posee letras en el denominador. Ejemplos: 2x4  3xy + x4  3xy + 2x3 - 3y2 + xy4  EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL Es aquella expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente fraccionario en su parte literal. Es decir presenta radicales afectando a la parte literal o variable. Ejemplo: x3 y1/2 3xyz – + x2 2ab - 1/3 + a2 2x1/2 - y1/3 - 2 Observaciones • Las expresiones que no corresponden al concepto de expresión algebraica conforman al conjunto de expresiones no algebraicas o trascendentes. • El conjunto de las expresiones algebraicas y las no algebraicas conforman el universo de la expresión matemática. • Todas las constantes numéricas diferentes de cero son consideradas como expresiones algebraicas RACIONALES ENTERAS de grado igual a cero. • Sólo la expresión algebraica posee el concepto de grado algebraico. • Es una expresión algebraica, los exponentes de su parte literal deben estar comprendidos en el campo de los números racionales (Q). Por lo expuesto; analicemos las expresiones: Es una expresión algebraica irracional x2 - 2xy + y2 Es una expresión algebraica racional xy + y - 2 Es una expresión algebraica racional fraccionaria 34 + Es una constante numérica, por lo que será una expresión algebraica racional entera. 2x + 3 No es una expresión algebraica, se trata de una expresión trascendente exponencial. (x + 1)2 Es una expresión trascendente exponencial Cos2 (x2 - x + 3) Es una expresión trascendente trigonométrica. 14x + x2 + x3 + ...  No es una expresión algebraica porque tiene infinitos términos. EJERCICIOS EXPLICATIVOS Con la finalidad de fijar correctamente los conceptos antes expuestos, presentamos algunas expresiones algebraicas y su correspondiente clasificación, de acuerdo a la naturaleza de sus exponentes. 2x4 + 6y5 - 7x5 Racional entera 2y Racional entera 4x3 + 5y3 + 6z2 Racional fraccionaria Racional Entera 4x1/3 + 5y1/4 + 3 Irracional Racional fraccionario 2 - 13 Irracional Racional entera Irracional Racional entera 2x - 2 - 5y - 3 - Racional fraccionaria TÉRMINO ALGEBRAICO (MONOMIO) Es la expresión algebraica mínima en la cual sus elementos (variables y números) no están separados por el signo “+” o el signo “-”. Estando asociados sus elementos con los operadores matemáticos de : Multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos: 5xyz Es un monomio racional entero - x3 y7 Es un monomio racional entero - Es un monomio irracional Es un monomio irracional x - 4 yz2 Es un monomio racional fraccionario ELEMENTOS: Un término algebraico consta de los siguientes elementos : Se distingue: SIGNO: Símbolo matemático que indica la cualidad del término, puede ser positivo (+) o negativo (-). Ejemplo: - 4x2 y3 el signo es “-“ + 7x5 y el signo es “+” Cuando se trata de un término precedido del signo (+) se puede omitir la escritura del mismo. Ejemplo : 12x5 y2 el signo que se antepone es + COEFICIENTE: Es el número o parámetro que multiplica a la parte literal o variable, considerándose con todo y signo. Ejemplo: - 4x2 y3 El coeficiente es - 4 PARTE LITERAL: Conformada por las letras (variables) que aparecen en el término algebraico. Ejemplo: - 4x2 y3 La parte literal es “y” EXPONENTE: Número que se coloca en la parte superior derecha de la letra o variable. Ejemplo: - 4x2 y3 El exponente de x es 2. El exponente de y es 3. OBSERVACIONES: • Si en un término algebraico el coeficiente es un número entero positivo indicará las veces que debe repetirse como sumando la expresión afectada. Ejemplos : (n  Z+) • Si el exponente es un número entero positivo indicará las veces que debe repetirse como producto (factor) la expresión afectada. Ejemplos : (n  Z+) TÉRMINOS O MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal afectada por los mismo exponentes. Ejemplo: 2x2 y3 ; - x2 y3 Son términos algebraicos semejantes porque poseen las mismas variables “x” e “y” afectadas con los mismos exponentes, así : El exponente de “x” es 2 en ambos monomios. El exponente de “y” es 3 en ambos monomios. OBSERVACIONES: • Los monomios x2 yz ; x2 zy son semejantes porque poseen iguales variables afectadas de los mismos exponentes, asimismo observamos que presentan igual coeficiente. Por lo tanto; además de ser semejantes también son iguales. • x2 y3 ; 3x4 y2 no son términos semejantes, presentan las mismas variables pero afectadas de exponentes distintos. PROPIEDAD ADITIVA DE LOS TÉRMINOS SEMEJANTES Si dos o más términos son semejantes estos pueden sumarse algebraicamente atendiendo a sus coeficientes. Ejemplo : + 1997 + 26 - 15 Sumando algebraicamente sus coeficientes: 1 + 1997 + 26 - 15 = 2009 Luego, obtenemos: 2009 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 01. Si los términos: 3ma + 2 nb + 1 ; 2mb + 3 n4 son semejantes. Entonces (a + b) es: SOLUCIÓN: Si son semejantes, se cumple : a + 2 = b + 3 a = b + 1 ... (1) b + 1 = 4 b = 3 ... (2) Reemplazando (2) en (1): a = 4 , luego : a + b = 7 02. Si: t1 = abxa y3 ; t2 = 2x2 yb , son términos semejantes. Calcular: t1 + t2 . SOLUCIÓN: Por dato: abxa y3 ; 2x2 yb son semejantes; luego: a = 2 ; b = 3 Se concluye: t1 = (2) (3) x2 y3 = 6x2 y3 t2 = 2x2 y3  t1 + t2 = 8x2 y3 PRÁCTICA DE CLASE Nº 08 01. Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, según la naturaleza de sus exponentes. a) 512 + b) 3xy = c) = d) + y - 1 = e) 3x2 - = f) 16x2 - 12y2 = g) 2xy - 22 + x = h) 5ab3/4 + x + b2 i) - 3x - 1 + y - 2 = j) xyz - x + 02. Calcular el valor de (a + 2b) si los términos siguientes son semejantes: 3ya + b ; 2 ; - 0,2yb + 3 a) 13 b) 12 c) 15 d) 9 e) N.a. 03. Calcular la suma de los coeficientes sabiendo que t1 y t2 son semejantes de variables “x” a “y”. t1 = a3 bx - 3 y2 ; t2 = ab3 xa ya + b + 1 a) -198 b) -270 c) –300 d) 324 e) N.a. 04. Dar la suma de los coeficientes de los siguientes 3 términos semejantes que tienen a “x” como única variable. 3,2m + a ; - 0,2 m2 x2 + a ; 0,8 mx8 a) 2 b) 4 c) 0,8 d) 0,4 e) N.a. 05. Dado los términos algebraicos: t1 = (m + 2a) x6 ; t2 = (8 + m) x3b - 3 . Calcular el valor de: a) 13 b) 12 c) 9 d) 8 e) N.a. 06. Indicar el resultado que se obtiene de P(x) = (a + b) xa + (a + 1) xb + 1 - abx5 si está formado por 3 términos semejantes. a) x5 b) 2x5 c) - 3x5 d) - 5x5 e) N.a. 07. Sabiendo que la expresión: P(x) = (a + b) x12 + axb + a + bx2b + 4 esta conformada por términos semejantes, hallar P(x). a) 24x12 b) 18x12 c) 15x12 d) 12x12 e) N.a. 08. Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, según la naturaleza de sus exponentes: a) 5 - 2 b) 6x2 - 25xy + y2 c) 2x2 z + z2 d) axy - ay + b2 ym e) 3 + y2 x3 f) x - 2 y-3 + 2x - 4 - 5 g) + y h) 17 abc i) xyz3 - x + y2 j) 3x - 2 + x7 - 11 09. Considerando que la expresión: F(x) = 2ax2 + b + 2bx4 + a + abx3b esta formada por 3 términos semejantes, reducir la expresión que a continuación se indica: P(x)= 3ax2 + 2bx2 - abx2 a) 6x2 b) 8x2 c) 3x2 d) 2x2 e) N.a. 10. Reducir los siguientes términos semejantes, si tienen como única variable a la letra “z”. - 6mzm + 5mz8 - 2mz8 a) 32z8 b) - 16z8 c) - 32z8 d) z8 e) Imposible 11. Reducir el siguiente polinomio a su mínima expresión, si todos sus términos son semejantes: P(x) = (a + b) xa + 3 (a + 2b) xb - 5abx2 a) 2x2 b) x2 c) - 2x2 d) 4x2 e) 6x2 12. Si todos los términos del siguiente polinomio son semejantes. ¿Cuál es el polinomio reducido? P(y) = (m + t) ym + t + y8 - (m - t) yt + 7 a) y3 B) 6y3 c) 15y3 d) 3y3 e) 9y3 13. Indique el resultado que se obtiene luego de reducir: 2 - 3 + 3 - 2 + 3 - 4 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 08 01. De las siguientes expresiones: x2y + x2 / y ; ; x2y - 2 ; . Cuántas son racionales? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si los términos: T1 (x) = axa + 3 y T2 (x) = (a+ 2)x3a – 7. Se puede reducir a uno solo; dan la suma de coeficientes. a) 12 b) 10 c) 8 d) 15 e) N.a. 03. Expresar 183.124 como 2x . 3y, señalar luego el valor de (x + y). a) 11 b) 16 c) 21 d) 18 e) 15 04. La expresión: E(x;y)= xn - 2 + y5 - n es racional entera. ¿Cuántos valores puede tomar “n”? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. Después de reducir: La expresión algebraica que se obtiene es: a) Racional entera b) Racional fraccionaria c) Irracional d) No se sabe e) N.a. 06. Sean: Señalar que clase de expresión algebraica es: a) Racional entera b) Racional fraccionaria c) Irracional d) No se puede determinar e) 5 07. Después de reducir: la expresión algebraica que se obtiene es: a) Racional entera b) Racional fraccionaria c) Irracional d) No se puede determinar e) N.a. 08. Calcula la suma coeficientes de los términos semejantes: T1 (x) = (a - 2) x- a + b + 3 T2 (x) = ab x3a - 12 T3 (x) = (a - b) x3a -12 a) 18 b) 80 c) 90 d) 100 e) N.a. 09. La expresión: E (x, y, z) = mx7 - 2n y 3n - 6 zn - m es racional entera. Calcular “m + n”, sabiendo que m>1. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a. 10. Obtener la suma de los términos semejantes: (c + 5) x4c - 3 ; (2c) xc + 9 a) 17 x13 b) 11 x3 c) 8 x3 d) 10 x3 e) N.a. 11. ¿Cuántas de las siguientes expresiones algebraicas? x-2 + x2 ; ; log x ; x- 2+x2 + x3+x4 +... a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 12. Indicar si las expresiones son racionales (R) o irracionales (I) I) x2/ 3 y2 II) 3/x + 1 III) IV) a) IRRI b) RIRI c) RRII d) IIIR e) N.a. 13. Indicar SI las expresiones algebraicas son racionales enteros (RE) o racionales fraccionarias (RF). I) II) III) IV) a) RE, RF, RE, RF b) RE, RE, RF, RF c) RE, RF, RE, RF d) RF, RF, RF, RF e) N.a. 14. La expresión algebraica: P(x) = 2/ 3 x3n-7 es racional entera y Q(x) = es racional fraccionaria. Hallar “n”. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15. E(x)= x-2+n +y5-n es una expresión entera. Calcular la suma de los posibles valores de “n”. a) 8 b) 7 c) 6 d) 10 e) 11 TAREA DOMICILIARIA Nº 08 01. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas: a) 5x2 + xy - 1 b) 5x + c) 6x4 - 3x2 d) 5x5 + x- 1 e) f) 7x + (yz)2 / 3 g) 1/ 2 (xy)6 + 1 h) x + 1/ x j) 8 02. Hallar la suma de los términos semejantes dados: a2 (xy2)7 - ay- 6 ; - n a(x2y)n - 2 03. Si la expresión racional entera: 4x6/ n + 2y (n +1) / 2 Calcular la suma de los valores que toma “n”. 04. Después de realizar: Se obtiene una expresión algebraica: ............. 05. ¿Qué clase de expresión algebraica se obtiene después de reducir la expresión: SOLUCIONARIO