Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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MATEMATICAS EJERCICIOS DEL CUARTO BIMESTRE DE SEGUNDO DE SECUNDARIA EN WORD

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Esta ciencia nos ayuda a recopilar, organizar , interpretar la información que estos datos nos proporcionan para luego incluso inferir o llegar a algunas conclusiones. Veamos algunos casos para entender los conceptos de algunos términos. CASO 1 : Las edades de los alumnos de primer grado “A” del colegio “Lord Kelvin” son: 11; 10;13;11;13;12;13;10;12;11;14;12;11;12;12;11;12;12;12; y 10 años. Organicemos estos datos en una tabla y luego en un gráfico: EDAD 10 3 11 12 13 14 TABLA Nº 1 Esta tabla se llama “DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS” Gráfico de Barras COMPLETE USTED LO QUE A CONTINUACION SE LE SOLICITA: 01.¿Qué es para Usted la ESTADISTICA?. a) Una ciencia b) Un arte c) Un deporte d) Un Técnica e) Una disciplina. 02.¿Qué hace la ESTADISTICA?. .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 03.¿Para qué nos sirve la ESTADISTICA?. .................................................................................................................................... ................................................................................................................................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 04.¿Qué es una TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 05. ¿Qué es un GRAFICO DE BARRAS? ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 06.Según la TABLA Nº 01 ; son 5 los alumnos de primero “A” que tienen 11 años, éste dato (5) se llama frecuencia absoluta ( ) ¿Qué es frecuencia absoluta?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 07.Según la TABLA Nº 01: Son 3 los alumnos de primero “A” que tienen 10 años, pero el total de alumnos es 20, entonces la expresión 3/20 se llama FRECUENCIA RELATIVA. ¿Qué es FRECUENCIA RELATIVA? ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 09. En el caso 01 hemos estudiado las edades de los alumnos del primero “A” del colegio “Lord Kelvin”, de acuerdo a ello: A las edades en estudio se le llama VARIABLE ESTADISTICA. ¿Qué es la VARIABLE ESTADISTICA? ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... 10.A los alumnos del Colegio “Lord Kelvin” se les llama POBLACION. ¿Qué es POBLACION?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................................... PRACTICA DE CLASE Responda a lo que se le solicita: 01.Según la tabla Nº 1,¿Cuál es la edad más frecuente? ........................................................................................................................... 02. ¿Con qué frecuencia se repite la edad 11 años? ........................................................................................................................... 03. Según la tabla Nº 1, ¿Cuántos alumnos son menores de 12 años? ........................................................................................................................... 04. Según la tabla Nº 1, ¿Cuántos alumnos tienen 12 años o más? ........................................................................................................................... 05. ¿Qué porcentaje de los alumnos tienen 11 años? ........................................................................................................................... 06. ¿Cuál es la frecuencia relativa con la que los alumnos de primer grado tienen 12 años? ........................................................................................................................... 07. ¿Cuál es la frecuencia relativa con la que los alumnos de primer grado tienen menos de 13 años? ........................................................................................................................... 08. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos de primer grado que tienen 10 años?. ........................................................................................................................... 09. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?. ........................................................................................................................... TAREA DOMICILIARIA 01.¿Cómo averiguaría el tamaño de la muestra? 02. Qué otras variables estadísticas podríamos estudiar de los alumnos del colegio “Lord Kelvin”. Nombre por lo menos 5. I. OBJETIVOS ESPECIFICOS: 1.1 Elaborar tabla de distribución de frecuencias. 1.2 Interpretar tablas de distribución de frecuencias. II. PROCEDIMIENTOS: A) MOTIVACIÓN: • Como tu mismo has podido deducir: La ESTADISTICA es una........................cada vez más importante en la vida diaria. Estoy seguro que más de una vez escuchaste frases como ésta: • “No voy al centro de Lima en horas punta para ahorrar tiempo” • “Estas son las estadísticas para el primer tiempo: Alianza Lima, disparos al arco once, errados 8 y acertados 3, tiros de esquina, siete”. • “Según la encuesta el candidato favorito lleva una ventaja de 20 puntos a su más cercano contendor” B) CONTENIDO TEÓRICO: La ESTADISTICA nos proporciona métodos para: (1) Recopilar Datos. (2) Organizar los datos por medio de tablas y gráficos. (3) Obtener conclusiones de tablas y gráficos, las cuales se transforman en información. (4) Tomar decisiones teniendo como base la información obtenida. CASO 2 En una encuesta sobre estudios realizados que se hizo a un grupo de 180 personas se obtuvo los siguientes datos: A. Personas que no saben leer ................... 5 B. Personas que apenas leen .................. 10 C. Personas sólo con primaria .................. 44 D. Personas sólo con secundaria .................. 82 E. Personas con estudio superior .................. 39 Organicemos estos datos por medio de una tabla de DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS. RECORDANDO QUE: FRECUENCIA ABSOLUTA: Es el número de elementos de la muestra con el mismo valor. Además se representa por En el caso (01) aparece bajo el nombre de Nº de amigos. FRECUENCIA RELATIVA: Se llama así al cociente de / n y se representa por MUESTRA: Es una parte de la población y se le representa por n . En la TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS, la columna de se escribe al lado derecho de la columna de frecuencias absolutas. Manos a la obra: DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS: X HI A 5 5/180 B C 44/180 D 82 E TOTAL CASO 3 Para estudiar el peso de los adultos mayores de 50 años del lugar donde vivo pesamos a 60 de ellos y estos fueron sus pesos en kg.: 56;68;56;48;60;45;45;56;72;76;56;46;79;80;46; 78;56;58;60;60;60;72;72;72;72;80;80;80;76;76; 78;78;84;56;58;56;60;68;60;60;60;74;68;67;69; 67;71;71;73;80;56;45;46;56;67;68;68;68;70 y 72. Elabore usted una TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS. Debes tener en cuenta que cuando las variables están muy dispersas, se pueden agrupar los datos en CLASES. Por ejemplo en la primera clase pueden agruparse los pesos de 45 a 50 Kg. la segunda clase de 50 a 55 Kg. y así sucesivamente. Pero ahora te preguntarás y en qué clase incluirás el peso de 50 Kg. tu que opinas: ........................................Porqué?, Porque: ................................................................................ .................................................................................................................................................... PRACTICA DE CLASE 01. Entre los estudiantes de un colegio averiguamos mediante una encuesta la cantidad de horas que ven televisión. Las respuestas fueron las siguientes: 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 2 2 3 3 0 2 1 1 0 1 2 3 5 2 1 4 0 1 2 1 4 1 0 3 2. a) Organizar estos datos en una tabla de distribución de frecuencias donde la variable estadística se llama Nº de horas. b) ¿Cuál es la mayor frecuencia?. c) Anota tres conclusiones a la que puedes arribar. 02. Estuvimos investigando algunos asuntos como los siguientes: a) La producción de café de los países del mundo. b) El estado civil de los profesores del colegio. c) La edad de los peruanos. d) El salario de los trabajadores de la empresa HAYDUC. e) El color de refrigeradoras que se prefiere en Chimbote. ¿En cada caso diga usted cuál es la población y cuál es su variable estadística en estudio?. 03. Escojan en su grupo una variable estadística a estudiar en su sección y haga las siguientes anotaciones. Estudiaremos la variable:..........................................................n = ............................... ¿Cómo averiguará sus datos? ....................................................................................................................................... Nuestros datos son:......................................................................................................... Elabore su tabla de distribución de frecuencias. Anote tres conclusiones a la que puede arribar. 1) ......................................................................................................................................... 2) ......................................................................................................................................... 3) ......................................................................................................................................... TAREA DOMICILIARIA 01. La siguiente encuestas da a conocer las notas de 40 alumnos del colegio “ Los Triunfadores”, luego de un examen de Matemática:12-14-12-13-12-12-13-15-13-16-13-17-18-20-20-13-14-15-16-12-15-16-17-19-19-13-12-12-13-13-13-13-14-14-14-15-13-14-13-11. Elabora una tabla de distribución de frecuencias y responde: a) ¿Cuál s el tamaño de la muestra?. b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del grupo que obtuvo nota 12?. c) ¿Cuántos obtuvieron 16?. d) ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota mayor que 16?. e) ¿Qué fracción de alumnos obtuvieron nota 15 ó menos?. I. OBJETIVOS ESPECIFICOS: Diferenciar una variable cualitativa de una cuantitativa. Diferenciar una variable cuantitativa discreta de una variable cuantitativa continua. II. PROCEDIMIENTOS: A) MOTIVACIÓN Muchas veces la variable en estudio en una determinada investigación son las siguientes: • El número de páginas de un cuaderno usado por un alumno. • Estado civil en una muestra: casado, viudo, soltero, divorciado, conviviente. • El número de hijos por familia. • El número de viviendas por edificio. • La raza de una persona (blancos, negros, chinos, indios, mestizos, etc. • La estatura de un grupo de personas. • El diámetro de las varillas de fierro que produce Sider Perú. • Las preferencias sobre un determinado deporte: fútbol, voley, natación, tenis, basquetboll. Si Usted puede agrupar en variables cualitativas y variables cuantitativas, hágalo: Variables Cuantitativas ..................................................................................................... ......................................................................................................................................... Variables Cualitativas: .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... De las variables cuantitativas diga cuales son discretas:...................................................... .......................................................................................................................................... B) CONTENIDO TEÓRICO : Analice la siguiente información y complete. Son aquellas variables estadística que se pueden contar o medir, tales como: Las edades de un grupo de personas, la estatura de algunos niños, el contenido de cada botella de gaseosa, la velocidad de los automóviles, el número de hijos por familia, las notas en un determinado curso en el colegio, la longitud de cada fierro producido por Sider Perú. Hemos hablado de variable ............................................................................................ Son aquellas variables que no son medibles, debido a que sólo estudiamos la cualidad en sí de los elementos de la muestra, tales como: estado civil, raza, color de piel, preferencias por una determinada marca de chocolates, preferencia por una determinada programación televisiva, preferencia por algún deporte, etc. Hablamos entonces de variable ............................................................................... Hablamos también de algunas variables tales como: el número de alumnos aprobados en una determinada asignatura, el número de personas que prefieren leer un determinado diario de la capital, el número de viviendas por edificio, el número de amas de casa que prefieren lavar con una determinada marca de detergente; es decir, variables cuantitativas cuyos valores se pueden contar, estas variables son las ............................................. ................................................................................................................................... También podemos formar un grupo de variables así: El diámetro de cada fierro producido por Sider Perú, El peso de cada pan de una panadería, la estatura de los alumnos de un colegio, el peso de los trabajadores de una empresa, la velocidad de los autos, etc. Estas variables sus valores se hallan midiendo, estas variables son las ................................. ................................................................................................................................... A continuación se te presenta dos tablas de Distribución de Frecuencia, analiza detenidamente y saca tus conclusiones: TABLA Nº 1 Peso en Kg Nº de Adultos Frec. Relativa 60 a 65 14 0,08 65 a 70 28 0,16 70 a 75 46 0,26 75 a 80 42 0,23 80 a 85 25 0,14 85 a 90 15 0,08 90 a más 10 0,06 Total 180 1,0 TABLA Nº 2 Sexo Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Masculino 42 0,34 Femenino 82 0,66 Total 124 1 Podemos decir que la TABLA Nº 1 tiene las siguientes características:.......................... .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... Y se usa para las variables .......................................................................................... De la TABLA Nº 2 sus características son: ................................................................... .................................................................................................................................... Y se usa para variables ............................................................................................... .................................................................................................................................... PRACTICA DE CLASE Desarrolle los siguientes planteamientos: 01. ¿Cuáles de las siguientes variables estadísticas son cualitativas?. a) El estado civil. b) Las preferencias del público. c) El sexo. d) Estudios realizados por un profesional. e) Nacionalidad. f ) Población de las provincias de una región en un determinado año. 02. Agrupe en variables continuas y variables discretas las siguientes: a) La estatura de los alumnos de un colegio. b) El número de hijos de los profesores de un colegio. c) El número de páginas de los libros de una biblioteca. d) Los pesos de un grupo de vacas. e) Las calificaciones de un grupo de alumnos en matemática. f ) El número de goles marcados en cada partido de un campeonato. g) El peso de cada bolsa de un determinado detergente. 03. La figura siguiente muestra una tabla de distribución de frecuencias de las preferencias de lectores de cuatro diarios: a) Número de personas que leen El Comercio. b) Número de personas que leen La Noticia. c) Número de personas que prefieren La Vista. d) Número de personas que prefieren El Crítico. Diarios HI A 72 B 16 C 28 D 44 TOTAL Según esto responde a los siguiente: a) La variable estadística ¿es cualitativa o cuantitativa? b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? c) La variable estadística , ¿es continua o discreta?. d) ¿Cuál es la frecuencia relativa para cada una de las variables? TAREA DOMICILIARIA: Desarrolla los siguiente planteamientos. 01. En tu sección , elige dos variable una cuantitativa, otra cualitativa y realiza lo siguiente: 1. Haz una tabla de distribución de frecuencias. 2. Saca tres conclusiones de cada tabla. I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1.1 Presenta los datos estadísticos mediante los diversos gráficos estadísticos. 1.2 Calcula la media, mediana y moda de un grupo de datos estadísticos. II. PROCEDIMIENTOS : A) MOTIVACIÓN ORGANIZACIÓN DE DATOS : ESTADÍSTICA es derivada de la palabra ESTADO. Desde mucho tiempo atrás los gobernantes realizan censos a fin de averiguar la cantidad de habitantes, de viviendas, de centros médicos, etc. a fin de atender mejor a sus gobernados. La ESTADÍSTICA es una ciencia cada vez más importante en la vida diaria. Estoy seguro que más de una vez escuchaste frases como ésta :  “No voy al centro de Lima en Horas punta para ahorrar tiempo”  “Estas son las estadísticas para el primer tiempo: Alianza Lima, disparos al arco once , errados 8 y acertados 3, tiros de esquina, siete”  “Según la encuesta el candidato favorito lleva una ventaja de 20 puntos a su más cercano contenedor ”.  “César es el más alto que el promedio de la clase” B) CONTENIDO TEÓRICO : La ESTADÍSTICA nos proporciona métodos para : (1) Recopilar Datos (2) Organizar los Datos por medio de tablas y gráficos (3) Obtener conclusiones de tablas y gráficos las cuales se transforman en información. (4) Tomar decisiones teniendo como base la información obtenida. Estudiemos algunos casos: CASO 1. Al averiguar el estado civil entre 300 personas de Breña, se obtuvieron los siguientes datos: TABLA DE DISTRIBUCIÓN ESTADO CIVIL FRECUENCIA ABSOLUTA F FRECUENCIA RELATIVA F % CASADOS 85 85/300 28% SOLTEROS 125 125/300 42% VIUDOS 35 35/300 12% SEPARADOS 55 55/300 18% TOTAL 300 1 100% TABLA N° 1 GRÁFICO DE BARRAS GRÁFICO N° 1 POLÍGONO DE FRECUENCIAS GRÁFICO N° 2 GRÁFICO DE SECTORES GRAFICO N° 3 CASADOS : 85 X 1.2° = 102° VIUDOS : 35 X 1.2° = 42° SOLTEROS : 125 X 1.2° = 150 SEPARADOS : 55X 1.2° = 66° CASO 2: En cada uno de los 24 partidos de fútbol de un campeonato se hicieron goles que registramos en la siguiente tabla de distribución : N° DE GOLES N° DE PARTIDOS FRECUENCIA RELATIVA 0 3 3/24 1 5 5/24 2 8 8/24 3 5 5/24 4 3 3/24 TOTAL : 24 1 TABLA N° 2 GRAFICO N° 4 CASO 3: Las estaturas en centímetros de 42 alumnos y alumnas son: 160 158 155 158 156 154 158 152 148 155 140 152 153 156 140 143 140 141 146 144 152 156 148 142 156 152 142 144 152 153 149 155 150 148 151 150 146 151 152 154 152 150 En casos como estos una tabla como la TABLA N° 2 sería muy grande, por lo cual es preferible disponer estos datos en una tabla de distribución con INTERVALOS. Para esto procedemos así : RECORRIDO = MAYOR DATO  MENOR DATO = 160  140 = 20 Este recorrido nos da una idea de cuán extenso debe ser un INTERVALO. Consideremos aquí que los intervalos se escriban de 5 en 5 pero a partir de 1.38 cm, por ejemplo. INTERVALOS MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA ACUMULADA Hi 138  143 140,5 6 6 143  148 145,5 5 11 148  153 150,5 16 27 153  158 155,5 11 38 158  163 160,5 4 42 TABLA N° 3 Acerca de la TABLA N° 3 observamos lo siguiente:  A los INTERVALOS en los que hemos agrupado los datos. También se les llama CLASES. En ocasiones también se les llama INTERVALOS DE CLASES.  No existe regla fija acerca del número de clases que se forman, pero este debe ser ni muy grande ni muy pequeño.  Un INTERVALO se representa por un punto interior que puede ser su punto medio que recibe el nombre de MARCA DE CLASE ( ). En nuestra TABLA N° 3, el primer intervalo es 138  143 y la MARCA DE CLASE es  ¡ATENCIÓN! Si un dato esta en el limite superior de una clase, lo incluimos en la clase siguiente. Si un intervalo es 143 a 148 y un alumno mide 148 cm. Incluimos este dato en la clase siguiente que va de 148 a 153 cm. Es decir : o lo que es lo mismo : Donde el símbolo significa “sumatoria de todos los términos desde i = 1 hasta i = N”. Si se trata de DATOS AGRUPADOS : Vamos a suponer que son las frecuencias absolutas de donde es el número total de observaciones o datos, entonces la MEDIA ARITMÉTICA se calcula así: o lo que es lo mismo : Regresamos al CASO 2; en la TABLA N° 2vamos a reemplazar la columna de FRECUENCIA RELATIVA por así: N° DE GOLES N° DE PARTIDOS 0 3 0 1 5 5 2 8 16 3 5 15 4 3 12 TOTAL 24 48 Luego la media será: ¡CUIDADO! En una tabla de datos agrupados por intervalos de clase, la media se calcula con esta última formula empleada, solo que aquí representa a las MARCAS DE CLASE. MEDIDAS DE DISPERCIÓN Estas medidas dan una idea de la forma como los datos están dispersados respecto a las medidas de tendencia central. Estas medidas son: Rango O Recorrido: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Desviación: De un valor respecto a la media aritmética, es la diferencia entre ese valor y la media aritmética. Expresa la “separación” respecto a la media aritmética. Desviación Media (DM): Es la media aritmética de los medios absolutos de todas las desviaciones. Varianza ( ) Es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritmética. ó Desviación Típica () : Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. En todas las formulas de medidas de tendencia central y de dispersión, K indica el número de variables diferentes. En la TABLA N° 4 resulta que K = 5  La Frecuencia Acumulada (Hi): Está referida a la suma gradual de frecuencias absolutas Ejemplo: En la TABLA N° 3 la tercera frecuencia acumulada se escribe y es igual a 27, es decir: = 27 = 6 + 5 + 16 Los datos agrupados en INTERVALOS DE CLASE se grafican en HISTORIGRAMAS, en este caso, tenemos el siguiente . HISTORIGRAMA ESTATURA EN CENTÍMETROS Gráfico N° 5 EN ACCIÓN ... Una máquina produce 200 clavos con los siguientes resultados Longitud en mm Frecuencia De 15,1 a 15,5 15 De 15,6 a 16,0 36 De 16,1 a 16,5 57 De 16,6 a 17,0 61 De 17,1 a 17,5 22 De 17,6 a 18,0 9 (a) Establecer la TABLA DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS, que incluya MARCAS DE CLASE ( ) (b) Dibujar el Histograma correspondiente. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son aquellas que dan idea general de que valor sería el más representativo para el grupo de datos. Las más usadas son : MODA : Es el valor que corresponde a la mayor frecuencia en un conjunto de datos. En el CASO 1, la moda es de SOLTEROS porque corresponde a la mayor frecuencia 128. En el CASO 2, la moda es de 2 GOLES porque corresponde a la mayor frecuencia 8. En el CASO 3, hablamos de CLASE MODAL que en este caso es 148153 porque corresponde a la mayor frecuencia 16. aquí la MODA de la MARCA DE CLASE de la CLASE MODAL, es este caso : 150,5. MEDIANA : Es el valor central de los datos, una ves que los ordenados de menor a mayor. Ejemplo : ¡ATENCIÓN! Si el número de datos es par, se toma el valor medio de los dos centrales. Ejemplo : MEDIA : Se representa por y se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. PRACTICA DE CLASE 01. Determina la mediana, moda y media aritmética de los siguientes datos que corresponden en las notas de un alumno al final del primer periodo lectivo, en los ocho cursos: Historia : 16 Lenguaje : 15 Arte : 18 Matemática : 14 Inglés: 13 Religión : 18 Ed. Física 17 Ciencias Naturales 11 02. En el curso de matemática, las notas de los alumnos luego de la última prueba fueron distribuidas en intervalos como se indica a continuación : INTERVALOS MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA ACUMULADA Hi 05  10 2 10  15 18 15  20 10 (a) Completa la tabla en las columnas respectivas a las marcas de clase y las frecuencias acumuladas. (b) Realiza un diagrama de sectores y un histograma. (c) Calcula la moda, mediana y media aritmética. 03. El siguiente histograma de frecuencias nos da una información sobre el consumo de tabaco en personas cuyas edades están comprendidas entre 18 y 30 años. a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? b) ¿Cuántas personas, da las entrevistadas, son menores de 24 años? c) ¿Se puede afirmar que la Moda del grupo entrevistado corresponde al intervalo de edades comprendido entre 24 y 27? 04. Los siguientes polígonos de frecuencias dan a conocer las preferencias de los lectores de dos ciudades, por 5 revistas : A, B, C, D y E. a) ¿Cuántos lectores fueron entrevistados en la ciudad? b) ¿Qué revista está de moda en la ciudad 1? c) ¿Cuántos lectores se entrevistaron en la ciudad 2? 05. El siguiente gráfico de sectores registra información sobre las preferencias de 7200 aficionados al fútbol, respecto a los tres equipos más populares del balompié peruano. ¿Cuántos hinchas de cada equipo se manifestaron? 06. La siguiente tabla muestra algunos datos de un estudio estadístico. Complétalos y determina la CLASE MODA. INTERVALOS MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA ACUMULADA Hi 150 155 3  5  9  10  14  17  19  26 -240 31 TAREA DOMICILIARIA 01. En cada uno de los siguientes grupos de datos determina la MEDIANA. a) 17; 13; 19; 10; 15; 18; 21 b) 20; 10; 8; 17; 15; 11; 13; 19 c) 5; 5; 5; 5; 5; 5 02. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias : INTERVALOS MARCA DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA Hi 10 7 20 25    Sabiendo que todos lo intervalos tienen anchos iguales y que : a) ¿Cuál es la clase modal? b) ¿A que intervalo de clase pertenece la mediana? EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. Se pesan 5 niños, en Kg, registrándose la siguiente tabla : a) Determina el valor x de la media aritmética. b) Calcula la desviación media DM. c) Calcula la varianza d) Calcula la desviación típica Peso - - ( - 10 12 14 15 17 02. El auxiliar de contabilidad de una empresa ha registrado los salarios de un sector de trabajadores, como se indica. a) Escribe los valores adecuados calculando previamente la media aritmética x. b) Calcula la desviación media. c) Calcula la varianza d) Calcula la desviación típica. Salarios ($) - - ( - 400 420 40 450 470 500 510 590 03. El gráfico de barras adjunto muestra las preferencias de los electores por los 5 candidatos a la alcaldía de una ciudad, los cuales son identificados con sus respectivo símbolo. Así mismo se inicia el número de votos inválidos. a) ¿Cuántos votos se han contabilizado? b) Considerando sólo los votos válidos ¿Qué porcentaje correspondió al candidato ganador? 04. Se lanza un dado sobre la mesa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento ? 05. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa, resulte un número menor que 5 ? 06. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa, resulte un número menor que 2 ? 07. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as al extraer una carta de una baraja de 52? 08. En una urna hay 12 bolas del mismo tamaño y hechas del mismo material, de las cuales 5 son de color rojo, 3 blancas y el resto negras. ¿Cuál es la probabilidad de al extraer una resulte negra? 09. Skanito tiene 4 pares de zapatos del mismo modelo pero de diferentes colores, todos colocados en una caja y en forma desordenada.¿Cuál es la probabilidad de que, a oscuras, pueda extraer un par del mismo color? 10. Se lanzan dos monedas, simultáneamente. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento? 11. Se lanzan dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? 12. Al lanzar simultáneamente dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara? 13. Se lanzan dos dados simultáneamente y se anotan los resultados. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento? 14. Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos números iguales? 15. En simultaneo se lanzan dos dados sobre la mesa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números que sumen más de 9? 16.¿Cual es la probabilidad que al lanzar dos dados simultáneamente, resulten dos números que sumen más de 7? 17.¿Cual es la probabilidad que al lanzar dos dados simultáneamente, los números obtenidos tengan por suma 10? 18. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la suma más probable para los números obtenidos? 19. Sobre una mesa se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento? 20. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y cara? I. Objetivos Específicos : 1.1 Interpreta la probabilidad de un Suceso 1.2 Aplica la definición de Probabilidad en la Solución de Situaciones de la Vida cotidiana. II. Procedimientos : A) Motivación Imagina la siguiente situación : Lanzamos sobre una mesa tres monedas e intentamos contestar a las preguntas : 1. ¿Se obtendrá al menos un sello? 2. ¿Es muy posible que se obtengan dos caras? B) Contenido Teórico El lanzamiento de las tres monedas es un experimento aleatorio. Al responder preguntas como (1) y (2) damos lugar a sucesos los cuales pueden tener uno o varios resultados. Veamos otro ejemplo: Lacemos un dado sobre una mesa. Aquí nos podremos preguntar ¿Saldrá el resultado menor que 4°? ¿Saldrá impar? De cada una de estas preguntas surge un suceso. SUCESOS RESULTADOS “menor que” (1, 2, 3 ) “obtener impar” (1, 3, 5) “sacar 3” (3) “tres o mas” (3, 4, 5, 6) TABLA N° 5 EN ACCIÓN ... Confecciona una tabla similar a la TABLA N° 5 respondiendo a las siguientes preguntas: ¿Saldrá 6?, ¿Saldrá par?, ¿saldrá 1?, ¿Saldrá mayor o igual que 3?, ¿saldrá 4? REVISEMOS EL DICCIONARIO : 1. Experimento Aleatorio : Es un experimento en el que no se puede predecir resultado. Decimos entonces que el experimento está sujeto al azar. Ejemplos :  tirar un dado  lanzar una moneda al aire  extraer al azar una bola de una urna donde hay bolas de igual tamaño pero de distintos colores. 2. Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados que se obtiene al realizar un experimento. Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso Si este último consta de un solo elemento se llama suceso elemental. Ejemplo : Cuando lanzamos un dado, el espacio muestral E es : E = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } Este espacio muestral tiene 6 sucesos elementales. “Obtener par” es un suceso cuyo resultado es el conjunto {2; 4; 6} PROPIEDADES DE LA FRECUENCIA Y DE LA PROBABILIDAD Frecuencia Absoluta y Frecuencia Relativa de un Suceso Digamos que tenemos un experimento aleatorio realizado N veces. = frecuencia absoluta de A = n = frecuencia relativa de A = Propiedad Fundamental Si f (s) es la frecuencia relativa de un suceso S se comprueba que : Demostración : De la definición de frecuencia resulta que el número de veces que se presenta el suceso S en N pruebas cumple con: ; dividiendo todo por N : Probabilidad de un Suceso (p) : Sigamos con el dado. El suceso “salir impar” se verifica al obtener 1 ó 3 ó 5. Resultados favorables = 3 Resultados posibles = 6 Entonces esperamos que salga impar 3 de cada 6 veces es decir : Probabilidad de que salga impar o también P {1; 3; 5} = 0,5 Más ejemplos regresamos a la TABLA N° 5 SUCESO PROBABILIDAD “menor que 4” ó {1; 2; 3} “obtener impar” ó {1; 3; 5} “sacar 3” ó {3} “tres o más” ó {3; 4; 5; 6} 3/6 = 0,5 = 50% 3/6 = 0,5 = 50% 1/6 = 0,17 = 17% 4/6 = 0,67 = 67% Sucesos Equiprobables : Son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Al tirar el dado existen 6 posibilidades de resultado; cada una con p = 1/6 Regla de Laplace : Cuando los resultados son Equiprobables: Ejemplo : En una urna se tienen 8 bolas numeradas del 8 al 8. todas del mismo peso, tamaño y color. ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar bolas numeradas menores que 6? Suceso : “menor que 6” ó {1; 2; 3; 4; 5} N° de resultados favorables = 5 N° de resultados posible = 8 Probabilidad = p = 5/8 ó p = 0,625 Si p = 0 suceso imposible; si p = 1 suceso seguro. Diagrama del Árbol Veamos un caso, lanzamos dos monedas al aire. Se nos pide calcular la probabilidad de obtener alguna cara. Moneda 1 Moneda 2 N° de casos favorables = 3 N° de casos posibles p (alguna cara) = PRACTICA DE CLASE 01.Se lanzan dos dados sobre una mesa y se anota el resultado obtenido. Escribir el espacio muestral de este experimento. A demás escribir los sucesos “obtener al menos un 2” y “obtener 7 al sumar los números obtenidos”. ¿Cuál es la suma de los elementos de estos dos últimos subconjuntos? 02. En una bolsa hay dos bolas rojas y cuatro bolas azules. Si extraemos al azar tres bolas, escribir los sucesos “obtener tres bolas de igual color” y “obtener una bola azul”. ¿Cuál es la suma de los elementos de estos subconjuntos? 03. Cuando lanzamos 70 veces un dado se obtuvo seis veces el número 3, cinco veces el número 5, cuatro veces el número 6 y tres veces el número 4. a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso “obtener número par”? b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “obtener número impar”? c) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso “obtener número primo”? 04. Si en un salón de clase hay 20 alumnos y 30 alumnas, ¿Cuál es la probabilidad de que al salir un alumno del aula este sea mujer? 05. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de tres monedas? 06. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al sumar los puntos de las caras superiores al lanzar dos dados? Sugerencia : Una tabal de doble entrada (numeración del 1 al 6 en ambos lados) permitirá conocer el número de casos posibles 07. Se lanzan dos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 10 en la suma de los puntos de las caras superiores? 08. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 10 al multiplicar los puntos de las caras superiores? 09. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire obtenga cara? 10. Se lanza un dado al aire, ¿Qué probabilidad hay que se obtenga 3? 11. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado sobre una mesa resulte un número par? 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un as? 13. En una caja blanca se tienen 12 bolas negras y 18 azules. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una al azar resulte azul? 14. Una tienda vende únicamente 4 bebidas, ¿Cuál es la probabilidad que el próximo comprador elija una de estas 4 bebidas? 15. En un salón de clase hay 35 alumnos, de los cuales 20 son limeños, ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado? 02. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar al aire dos monedas? 03.Se lanzan dos dados sobre una mesa ¿Cuál es la probabilidad que la diferencia de los puntos sea menor que 3? 04. En una fiesta por cada tres varones habían dos mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer? 05. En una urna colocamos 15 bolas, de las cuales 7 son rojas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola que no sea roja al extraer una bola de la urna? 06. Se lanza un dado y se desea saber, ¿Cuál es la probabilidad que el número sea compuesto? 07. Se lanzan tres monedas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos? 08. Del problema anterior , ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo dos caras? 09. ¿Cuál es la probabilidad que el producto de puntos sea mayor que 12°? 10. ¿Cuál es la probabilidad que el número de puntos de uno sea divisor del número de puntos del otro ? 11. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea múltiplo de 5? 12. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea un múltiplo de 3? SOLUCIONARIO CLAVES 01 1. E 5. C 9. C 13. C 17.D 2. C 6. A 10. A 14. B 18. A 3. B 7. B 11. B 15. C 19. A 4. D 8. D 12. E 16. B 20. C 01. a) 10 3,6 12,96 12 1,6 2,56 14 0,4 0,16 15 1,4 1,96 17 3,4 11,56 Total = 10,4 29,2 b) c) c) 02. Similar al anterior : a) b) c) d) 03. a) 2 + 10 + 15 + 22 + 35 + 53 = 137 mil votos. b) CLAVES 02 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 2/3 1/3 1/13 1/3 1/4 4 1/2 3/4 36 1/6 1/9 5/12 1/12 7 12 1/4