Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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LOS VECTORES EN EL PLANO EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Efectu´a las siguientes operaciones: a) (5, 3) ( 3, 1) b) ( 2, 4) ( 1) [(2, 1) ( 1) ( 3, 4)] c) ( 2) (3, 3) 3 ( 3, 3) (1, 0) d) (1, 2) ( 2) (3, 4) ( 3) (5, 6) e) 3[2( 2, 3) ( 2) (3, 4)] ( 1, 2) f) ( 1, 3) ( 2) 1 1 1 , 2 3 2 e c b d p f k g a h m n 2. Dados los vectores de la figura, decide cua´les de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cua´les falsas. a m m k b h b e f g g d c n c p n p B D A C O 3. Dado el rombo de ve´rtices ABCD, completa las siguientes igualdades: Ejemplo: AB BC ( 2, 4) (2, 4) (0, 8) AC AB BO OC CD CA AB BC CD OD DC CD AB OB OD CD DA AB 4. Calcula el producto escalar de los siguientes vectores: a) u (3, 4), v (2, 5) b) u ( 2, 4), v (2, 1) c) u ( 3, 4), v (2, 0) Y 1 X 1 v w u 5. Dados los vectores de la figura, calcula el valor de las siguientes operaciones: a) u · v u · w b) u · (v w) w · (u v) c) u · (2v 3w) w · (3u 2v) 6. Calcula el mo´dulo de los siguientes vectores: a) u (3, 4) b) v ( 6, 8) c) w ( 24, 32) 7. Consideramos los vectores u (2, 2) y v 2i j . Dibu´jalos y calcula el a´ngulo que forman. 8. Calcula un vector unitario y que tenga la misma direccio´n que el vector u (16, 30). 9. Calcula un vector unitario y que sea ortogonal al vector u (15, 8). A B r s 10. Dadas las rectas r y s y el segmento AB de la figura, traza otro segmento CD de la misma longitud que AB y paralelo a e´l y tal que el punto C pertenezca a la recta s y el punto D a la r. SOLUCIONES 1. a) (2, 4) d) ( 20, 12) b) ( 7, 1) e) ( 31, 40) c) ( 14, 15) f) 7 5 , 6 2 2. a m falsa, ya que no tienen el mismo sentido. b e verdadera. c n verdadera. m k falsa, ya que no tienen el mismo mo´dulo. f g verdadera. c p falsa, ya que no tienen el mismo sentido. b h verdadera. g d verdadera. n p falsa, ya que no tienen el mismo sentido. 3. AB BO ( 2, 4) (2, 0) (0, 4) AO OC CD (0, 4) (2, 4) (2, 0) OD CA AB (0, 8) ( 2, 4) ( 2, 4) CB BC CD (2, 4) (2, 4) (4, 0) BD OD DC (2, 0) ( 2, 4) (0, 4) OC CD AB (2, 4) ( 2, 4) (0, 0) O OB OD ( 2, 0) (2, 0) (0, 0) O CD DA AB (2, 4) ( 2, 4) ( 2, 4) ( 2, 4) CB 4. a) u · v (3, 4) · (2, 5) 6 20 26 b) u · v ( 2, 4) · (2, 1) 4 4 8 c) u · v ( 3, 4) · (2, 0) 6 0 6 5. u (4, 2) v (4, 4) w ( 1, 3) a) (4, 2) · (4, 4) (4, 2) · ( 1, 3) 16 8 4 6 26 b) (4, 2) · (3, 7) ( 1, 3) · (0, 2) 12 14 6 32 c) (4, 2) · (5, 13) ( 1, 3) · (4, 2) 20 26 4 6 56 6. a) WuW 32 42 25 5 b) WvW ( 6)2 82 100 10 c) WwW ( 24)2 ( 32)2 1 600 40 Y X 1 1 v u 7. cos (ur, v ) u · v Wu W · Wv W cos (ru, v ) 4 2 6 3 4 4 4 1 40 10 (ru, v ) 18,43... 18 26 6 8. Para obtener un vector en la direccio´n de u y que sea unitario, basta dividir u por su mo´dulo: y u 16 30 , 2 2 2 2 Wu W 16 ( 30) 16 ( 30) 16 30 8 15 , , 34 34 17 17 9. Un vector ortogonal al vector u (15, 8) es v (8, 15) ya que u · v 120 120 0. Para obtener un vector en la direccio´n de v y que sea unitario, basta dividir v por su mo´dulo: y v 8 15 8 15 , , 2 2 2 2 Wv W 8 15 8 15 17 17 10. Se traslada la recta s segu´n el vector AB. La interseccio´n de dicha recta con la r da el extremo D del segmento buscado. El otro extremo, C, se obtiene como traslacio´n del punto D segu´n el vector guı ´a AB BA. A B C D r s 1. Expresa el vector u 2i 3j como suma de un vector que tenga la misma direccio´n que a(3, 1) y de otro que sea perpendicular a este u´ltimo. 2. Considera el rombo ABCD de la figura. A B D C a) ¿Puedes escribir los vectores AC y DB que determinan las diagonales, en funci´on de los vectores l que determinan los lados DA y AB? b) Ayuda´ndote del apartado anterior, intenta calcular el producto escalar de los vectores AC y DB. c) ¿Que´ interpretacio´n geome´trica puedes dar? Recuerda que las medidas de los lados de un rombo son todas iguales. 3. Podemos considerar los lados de un tria´ngulo como tres vectores cuya suma es el vector nulo. Con esta idea, y con la ayuda del producto escalar, intenta obtener otra demostracio´n del teorema del coseno. A C B O 4. Dos puntos A y C son diametralmente opuestos en una cierta circunferencia, tal y como muestra la figura. Consideramos otro punto B distinto de los anteriores, pero que tambie´n pertenece a la circunferencia. Demuestra que el a´ngulo ABC es un a´ngulo recto. B C A P Q H 5. Consideramos el tria´ngulo ABC de la figura en el que se han dibujado dos de sus alturas AP y BQ. a) Escribe el vector CH en funcio´n de los vectores CB y BH. b) Escribe el vector BA en funcio´n de los vectores CA y CB. c) Calcula el producto escalar CH · BA. d) Interpreta geome´tricamente el resultado obtenido en el apartado anterior. 6. Dibuja un trapecio del cual solo conoces las medidas de sus bases y las de sus dos diagonales. A B M D C N 7. Trata de dibujar un paralelogramo cuyos ve´rtices este´n situados en cada uno de los lados del cuadrado ABCD de la figura y uno de cuyos lados tenga la misma longitud y la misma direccio´n que el vector de extremos M y N. r s A B 8. Los pueblos A y B esta´n situados a ambos lados del rı´o limitado por las rectas paralelas r y s, tal y como muestra la figura. Los ayuntamientos de ambas localidades quieren construir un puente que atraviese el rı´o y que cumpla las condiciones siguientes: i) El puente debe ser perpendicular a las rectas r y s. ii) El camino que va de A a B, atravesando el puente, debe ser mı´nimo. Indica el lugar exacto donde se ha de realizar la construccio´n. SOLUCIONES 1. Un vector perpendicular a a es b ( 1, 3). u 2i 3j (2, 3) (3, 1) ( 1, 3) (3 , 3 ) , 3 2 3 11 3 3 10 10 Por tanto: u a b 3 11 10 10 2. a) DB DA AB AC AB BC AB DA b) AC · DB (AB DA) · (DA AB) AB · DA AB · AB DA · DA DA · AB WABW2 WDAW2 l2 l2 0 c) Las diagonales de un rombo son siempre perpendiculares. 3. B C A a c b a b c 0 a (b c) a · a (b c) · (b c) b · b b · c c · b c · c a2 b2 c2 2b · c b2 c2 2bc · cos(180 A) a2 b2 c2 2bc cos A 4. Sea r el radio de la circunferencia. AB AO OB OB BC OC BC OC OB AO OB AB · BC (AO OB) · (AO OB) AO · AO OB · OB r2 cos 0 r2 cos 0 r2 r2 0 Por tanto: AB BC ArBC 90 5. a) CH CB BH b) BA CA CB c) CH · BA (CB BH) · (CA CB) CB · CA CB · CB BH · CA BH · CB CB · CA CB · CB BH · CB CB (CA CB BH) CB (CA CH) CB · HA 0 d) Los vectores CH y BA son perpendiculares y el segmento CH estara´ contenido en la tercera altura del tria´ngulo. Por ello, se deduce que las tres alturas de un tria´ngulo son concurrentes en el punto H. 6. Consideremos el problema resuelto tal y como se ve en la figura. B' B C A D A D Observamos que al trasladar la diagonal DB segu´n el vector DA se puede formar el tria´ngulo AB C que tiene por lados las dos diagonales conocidas y la suma de las dos bases. Por tanto, para construir el trapecio dibujamos primero el tria´ngulo B AC y posteriormente dibujamos el segmento paralelo al B A y que tiene por extremo el punto B. El otro extremo sera´ el ve´rtice D del trapecio. 7. A B D R S C Q P Trazamos el cuadrado auxiliar que se obtiene al trasladar el dado segu´n el vector guı ´a MN. Los dos cuadrados se cortan en los puntos P y Q. Los puntos R y S se obtienen como los homo´logos de P y Q respecto de la traslacio´n de vector guı ´a NM MN. Los puntos P, S, R y Q son los ve´rtices del paralelogramo buscado. 8. r u s A A' P Q B Consideramos el vector u perpendicular a r y s y cuyo origen esta´ en r y extremo en s. Se calcula el punto A homo´logo de A en la traslacio ´n de vector guı ´a u. La interseccio´n de la recta que pasa por A y B con s es el punto Q. El punto P es el homo´logo de Q en la traslacio´n de vector guı ´a u. El lugar buscado para la ubicacio´n del puente es el correspondiente al segmento PQ. El camino A P Q B es mı´nimo, ya que los puntos B, Q y A esta´n alineados.