LOS VECTORES EN EL PLANO EJERCICIOS RESUELTOS DE BACHILLERATO PDF

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Trazamos el cuadrado auxiliar que se obtiene al trasladar el dado segu´n el vector guı ´a MN. Los dos cuadrados se cortan en los puntos P y Q. Los puntos R y S se obtienen como los homo´logos de P y Q respecto de la traslacio´n de vector guı ´a NM MN. Los puntos P, S, R y Q son los ve´rtices del paralelogramo buscado. 

Consideramos el vector u perpendicular a r y s y cuyo origen esta´ en r y extremo en s. Se calcula el punto A homo´logo de A en la traslacio ´n de vector guı ´a u. La interseccio´n de la recta que pasa por A y B con s es el punto Q. El punto P es el homo´logo de Q en la traslacio´n de vector guı ´a u. El lugar buscado para la ubicacio´n del puente es el correspondiente al segmento PQ. 1. Expresa el vector u 2i 3j como suma de un vector que tenga la misma direccio´n que a(3, 1) y de otro que sea perpendicular a este u´ltimo. 2. Considera el rombo ABCD de la figura. A B D C a) ¿Puedes escribir los vectores AC y DB que determinan las diagonales, en funci´on de los vectores l que determinan los lados DA y AB? b) Ayuda´ndote del apartado anterior, intenta calcular el producto escalar de los vectores AC y DB. c) ¿Que´ interpretacio´n geome´trica puedes dar? Recuerda que las medidas de los lados de un rombo son todas iguales. 3. Podemos considerar los lados de un tria´ngulo como tres vectores cuya suma es el vector nulo. Con esta idea, y con la ayuda del producto escalar, intenta obtener otra demostracio´n del teorema del coseno. A C B O 4. Dos puntos A y C son diametralmente opuestos en una cierta circunferencia, tal y como muestra la figura. Consideramos otro punto B distinto de los anteriores, pero que tambie´n pertenece a la circunferencia. Demuestra que el a´ngulo ABC es un a´ngulo recto. B C A P Q H 5. Consideramos el tria´ngulo ABC de la figura en el que se han dibujado dos de sus alturas AP y BQ. a) Escribe el vector CH en funcio´n de los vectores CB y BH. b) Escribe el vector BA en funcio´n de los vectores CA y CB. c) Calcula el producto escalar CH · BA. d) Interpreta geome´tricamente el resultado obtenido en el apartado anterior. 6. Dibuja un trapecio del cual solo conoces las medidas de sus bases y las de sus dos diagonales. A B M D C N 7. Trata de dibujar un paralelogramo cuyos ve´rtices este´n situados en cada uno de los lados del cuadrado ABCD de la figura y uno de cuyos lados tenga la misma longitud y la misma direccio´n que el vector de extremos M y N. r s A B 8. Los pueblos A y B esta´n situados a ambos lados del rı´o limitado por las rectas paralelas r y s, tal y como muestra la figura. Los ayuntamientos de ambas localidades quieren construir un puente que atraviese el rı´o y que cumpla las condiciones siguientes: i) El puente debe ser perpendicular a las rectas r y s. ii) El camino que va de A a B, atravesando el puente, debe ser mı´nimo. Indica el lugar exacto donde se ha de realizar la construccio´n. SOLUCIONES 1. Un vector perpendicular a a es b ( 1, 3). esta´n alineados.