Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Logaritmos, Propiedades de los logaritmos, Aplicaciones de logaritmos , Resolución de problemas , Para no cometer errores, MATEMÁTICA 2.º MEDIO Lección Propósito: identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias. Si a es un número real positivo y n es un número natural, se pueden distinguir dos casos: Si n es par: (–a)n = an Si n es impar: (–a)n = –an Además, a = 1 Debes saber… Considera la siguiente relación: 47 = 16 384 Podemos observar que: • 16 384 es la séptima potencia de 4, es decir, el resultado de multiplicar 7 veces el 4 por sí mismo. • 4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí mismo, da como resultado 16 384. Es decir, 4 es la raíz séptima de 16 384. • 7 es el número al cual debemos elevar 4 para obtener 16 384. Decimos que 7 es el logaritmo de 16 384 en base 4. En general, dada la relación ab = c decimos que b es el logaritmo de c en base a, y lo escribimos loga c = b. Corresponde al exponente de la potencia de base a cuyo resultado es c. Es decir, b = loga c ↔ ab = c ¿Cuándo es posible determinar un logaritmo, y qué propiedades tiene? Lo analizaremos mediante los siguientes pasos. Paso 1 Observa los siguientes resultados: 0 = 0 0–2 no está definido 012 = 0 1³ = 1 1–4 = 1 10 = 1 Podemos observar que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no estar definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno su resultado siempre será igual a uno. Para evitar estos problemas, se exigirá en el estudio de logaritmos que la base de este siempre sea distinta de 0 y de 1. Paso 2 En la sección anterior vimos que 5 –1024 =(–1024) =–5 1 5 4 –16 =(–16) 1 4 no está definida. 6 64 =(64) =2 1 6 16 =(16) = 4 1 2 En general, para que una potencia siempre esté bien definida es necesario que su base no sea negativa. Por lo tanto, complementando la condición vista en el paso anterior, se exige que la base a del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1. Ayuda En la expresión logac=b a se llama base del logaritmo. c se llama argumento del logaritmo. 10 Unidad 1 • números 59 1 2 3 4 Paso 3 Observa los siguientes resultados: = = = = = 5 125 5 1 5 1 25 5 25 5 1 25 3 0 –2 5 3 2 5 –2 3 Podemos observar que ninguno de los resultados es negativo ni cero, ya que hemos considerado una base positiva. En general, si la base de una potencia es positiva necesariamente su resultado será positivo, por lo que no tiene sentido preguntarse por el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto, se exige que el argumento de un logaritmo sea positivo. Paso 4 Las definiciones y restricciones anteriores además nos permiten establecer que: Logaritmo de la base Logaritmo de la unidad Logaritmo de una potencia de la base loga a = 1 loga1 = 0 loga an = n Paso 5 Para que el cálculo de logaritmos tenga utilidad es necesario ponerse de acuerdo respecto a la base que se utilizará, es decir, que los logaritmos se calculen siempre en la misma base (en una misma situación o problema). En general, consideraremos la base 10 que define los logaritmos comunes o vulgares, para los cuales simplemente se omite su base, es decir, log10 c=logc Algunos ejemplos de cálculo: = = = = log 0,125 x 1 2 0,125 1 2 1 2 x 3 1 2 x x 3 = = = = log 1 9 2 x 1 9 / x 1 9 x 1 3 x 2 Dato Se llama logaritmo natural (ln) al logaritmo cuya base es el número irracional e. e =2,71828… Este número se presenta en muchos contextos, y es considerado uno de los más importantes de las matemáticas. Dato El estudio de los logaritmos se debe al matemático escocés John Napier (escrito también como Neper) que se dedicó a ellos buscando estrategias para simplificar los cálculos que involucraban números muy grandes, necesarios fundamentalmente para la navegación y la astronomía. Gracias a su obra muchos cálculos se hicieron mucho más sencillos, dando un gran impulso al desarrollo de las ciencias. John Napier (1550-1617) Razona y comenta § Explica con tus palabras qué es un logaritmo. § Dada la relación: n p =q Escribe un logaritmo que relacione n, p y q. En resumen Dado un número real positivo a 1, y un número real c > 0, se llama logaritmo en base a de c al número al que se debe elevar a para obtener c. Es decir: logac=b a =c ↔ b Practiquemos lo aprendido 60 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Calcula en cada caso el valor de x. a) 3x = 27 b) 5x = 625 c) (–2)x = –32 d) (–9)x = –729 e) (–3) = 1 9 x f) (–0,5)x = 4 g) 8² = x h) 1,1² = x i) (–6) = x j) (–3,1)³ = x k) 1 5 x 4 = l) 7 2 x –3 = m) x² = 36 n) x³ = -1000 ñ) x = 32 o) x = 0,0001 p) x–² = 0,25 q) x– = 243 2. Calcula en cada caso el valor de x. a) 3 125= x b) 5 1024 = x c) 2 0,25= x d) 16 81 4 = x e) – = 1 216 3 x f) – = 1 32 5 x g) 6 x =1 h) x =100 i) x 1 2 3 = j) k) 7 x =–1 l) 5 x =–2 m) x 25=5 n) x 343=7 ñ) x 81=3 o) 1331 8 11 2 x = p) x –0,00001=–0,1 q) x –10,648 =–2,2 3. Determina en cada caso si es posible calcular el valor de x. Cuando no lo sea, justifica. a) 2x = –8 b) 06 = 5x c) (–2)4 = x d) (–3)x = –27 e) x –27 =3 f) x 20 =0 g) 3 –1000 = x h) x 16 =–2 Práctica guiada 4. Expresa como logaritmo las siguientes potencias. Guíate por el ejemplo. 6³ = 216 6³ = 216 → log 216 = 3 a) 3 = 81 b) 2³ = 8 c) 7¹ = 7 d) 4 = 4096 e) 7 = 117 649 f) 9³ = 729 g) 6 = 7776 h) 10³ = 1000 i) 8³ = 512 j) 7 = 2401 k) 2 = 1 64 –6 l) 5 = 1 125 –3 m) 2 = 1 32 –5 n) 4 = 1 4 –1 ñ) 8 1 32768 –5 = o) 4 = 1 64 –3 p) 8 = 1 512 –3 q) 5 6 3125 7776 5 = r) 8 7 32 768 16 807 5 = s) 10 3 10 000 81 4 = t) 9 4 1024 59 049 –5 = u) 5 4 256 625 –4 = 5. Expresa como potencia los siguientes logaritmos. Guíate por el ejemplo. log5 78125=7 log5 78125=7 5 =78125 7 a) log2 32 5 = b) log8 512 3 = c) log9 6561 4 = d) log10 10000000 7 = e) log9 531441 6 = f) log7 117 649 6 = g) log31 0 = h) log = 1 81 9 –2 i) log = 1 32 2 –5 j) log = 1 343 7 –3 k) log = 1 125 5 –3 l) log = 1 36 6 –2 x 1 3 = Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 61 1 2 3 4 m) log 1 46 656 6 –6 = n) log 125 343 5 3 7 = ñ) log 1 4 1 2 2 = o) log 729 262144 3 6 8 = p) log 1024 59 049 9 –5 4 = q) log = 5 13 13 –1 5 r) log 4 4 7 0 16 = Aplica Considera el valor de las siguientes potencias. 2² = 4 3² = 9 5² = 25 7² = 49 2³ = 8 3³ = 27 5³ = 125 7³ = 343 2 = 16 3 = 81 5 = 625 7 = 2401 2 = 32 3 = 243 5 = 3125 7 = 16 807 2 = 64 3 = 729 5 = 15 625 7 = 117 649 6. Utilízalas para calcular el valor de los siguientes logaritmos. a) log2 32 b) log3 27 c) log5 3125 d) log7 16 807 e) log 1 8 2 f) log 1 729 3 g) log 1 243 3 h) log 1 25 5 i) log 1 343 7 j) log 1 117 649 7 k) log1 8 2 l) log1 3125 5 m) log1 7 7 n) log 1 8 1 2 ñ) log 1 729 1 3 o) log1 729 3 p) log 243 3125 3 5 q) log 1 2401 1 7 r) log 1 49 1 7 s) log 2401 81 7 3 t) log 1 9 1 3 u) log 64 729 3 2 7. Calcula el valor de x en cada caso, para que se cumplan las siguientes igualdades. a) logx 27 3 = b) logx 625 4 = c) logx 49 2 = d) logx 729 6 = e) logx 16 807 5 = f) logx 8=3 g) log2 x 4 = h) log3 x 2 = i) log3 x 5 = j) log5 x 6 = k) log7 x 3 = l) log813 x = m) log729 3 x = n) log125 5 x = ñ) log16807 7 x = o) log4 2 x = p) log15625 5 x = q) log 1 2 x 32 = r) log 1 2 x 64 = s) log1 3 x 9 = t) log 1 3 x 81 = u) log1 5 x 5 = v) log 1 5 x 625 = w) log 1 7 x 343 = 8. Desafío: Demuestra las siguientes propiedades de los logaritmos. a) log1 a=–log a x x b) log = 1 b a –loga b 9. Desafío: Resuelve las siguientes operaciones. a) 2log 64 + 1 3 4 log3 27 – log5125 b) 4log 9+ 1 3 3 log16 8 – log2 32 c) 1 3 log10+ 2 3 log10–log10+ log10 d) 3log100 9+log 8 : log 3+log 2 2 log 4 6 6 1 2 § ¿Cuál es el significado de la palabra “logaritmo”. Investiga y explica por qué crees que le pueden haber puesto este nombre. § Investiga el significado de las palabras “guarismo” y “algoritmo”. ¿Qué relación tienen con “logaritmo”? Reflexiona 62 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Lección Propiedades de los logaritmos Propósito: deducir y aplicar propiedades de logaritmos. En los cálculos necesarios para el desarrollo de la astronomía que motivaron a Napier se presentaban operaciones como la siguiente: 387 420 489 : 4 782 969 Realizarla a mano tomaba, como es de suponer, mucho tiempo y se corría un alto riesgo de cometer errores. Sin embargo, si observamos que: 387 420 489 = 3¹ 4 782 969 = 314 su cociente puede calcularse utilizando la operatoria de potencias de igual base: 387 420 489 : 4 782 969 = 3¹ : 3¹ = 3¹ –¹ = 3 Al expresar los números como potencias de una misma base, el cálculo de la división se reduce a una sustracción. Esta es una de las propiedades ventajosas de los logaritmos, que analizaremos a continuación. Paso 1 Supongamos que x e y son números tales que loga x=p a = x p loga y=q a = y q Calcularemos el producto y el cociente entre x e y, representándolos como potencias y utilizando logaritmos. x •y a • a x •y a log x• y p+q log x +log y p q p+q a a a ( ) = = = = x :y a : a x :y a log x: y p–q log x –log y p q p–q a a a ( ) = = = = Se tienen así las siguientes propiedades: Logaritmo del producto Logaritmo del cociente loga(x • y) = loga x + loga y loga(x : y) = loga x – loga y Paso 2 Observa la siguiente deducción: b log c a c a c a c log c qb qlog c a b b q q qb q a q a ( ) = = = = = = Considerando además los casos en que q = –1 y q 1 n = , se tienen las siguientes propiedades: Logaritmo de una potencia Logaritmo de una raíz Logaritmo de un inverso log c nlog c a n a = log c= log c n a n a log 1 c log c log c a a –1 a = =− Elevamos a q Potencia de potencia 11 Unidad 1 • números 63 1 2 3 4 Estas propiedades permiten calcular los logaritmos de todos los números racionales teniendo solo los logaritmos de los números primos. Por ejemplo: ( ) ( ) = = = = = = log 56 log 2 •7 3log 2 + log7 3• 0,3 + 0,85 1,75 log 50 77 log 2 •5 7 •11 log 2• 5 –log 7 •11 log 2 +2log 5–log 7– log11 3 2 2 Paso 3 Las propiedades anteriores se cumplen solo si los logaritmos están expresados en la misma base, pero ¿qué se puede hacer cuando no lo están? Observa la siguiente deducción. = = = = = log c b a c log a log c b •log a log c b log c log a a b p b p p p p p Tenemos así la propiedad del cambio de base: log c= log c log a a p p Esta propiedad tiene especial importancia ya que la mayoría de las calculadoras solo permiten calcular logaritmos en base 10 o e, y de esta manera podemos encontrar su equivalencia. Por ejemplo: Estas propiedades permiten reducir expresiones y lograr así un manejo más sencillo. Por ejemplo: ( ) ( ) = = = = − log 49 + 4 log 21+ log 1 27 log 7 + 4log 3•7 + 1 5 log 1 27 2 log7 + 4 log 3+log 7 + 1 5 log 3 2 log7 + 4 log 3 + 4 log 7– 3 5 log 3 6 log7 + 17 5 log 3 5 2 3 El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propiedades y elaborar tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios del siglo XX. La aparición de calculadoras y computadores las ha dejado en desuso, pero por muchos años constituyeron una poderosa ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del Apolo XI a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas. Ayuda Puedes determinar logaritmos con calculadora; para ello debes digitar alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, log 8: Se aplica la propiedad de logaritmo de una potencia. Despejamos b con a ≠ 1 / logp Razona y comenta § Si x = –3, ¿es válida la siguiente relación? 2log(7+x)=log(7+x)2 ¿Y qué ocurre si x = –8? Justifica. log 5= = log 5 log 3 0,7 0, 48 3 1, 4583 Los logaritmos verifican las siguientes propiedades: Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente Logaritmo de una raíz loga x•y =loga x+loga y ( ) log x y a =loga x–loga y log c= log c n a n a Logaritmo de un inverso Cambio de base log 1 c a =logac =–log c –1 a log c= log c log a a p p En resumen Practiquemos lo aprendido 64 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Expresa como logaritmo las siguientes potencias. a) 2³ = 8 b) 7¹ = 7 c) 4 = 4096 d) 9³ = 729 e) 6 = 7776 f) 2 = 1 32 –5 g) 4 = 1 4 –1 h) 8 1 32 768 –5 = i) 8 = 1 512 –3 j) 5 6 3125 7776 5 = 2. Expresa como potencia los siguientes logaritmos. a) log2 32 5 = b) log8 512 3 = c) log10 10 000 000 7 = d) log9 531441 6 = e) log7 117 649 6 = f) log31 0 = g) log = 1 32 2 –5 h) log = 1 343 7 –3 3. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a) log3 27 b) log5 5 c) log4 64 d) log 0,1 e) log 1 8 2 f) log 1 49 7 g) log1 81 3 h) log0,11000 i) log12111 j) log 1 16 4 k) log 81 3 l) log 64 3 27 2 Práctica guiada 4. Aplica las propiedades de logaritmos para descomponer las siguientes expresiones en términos de a, b, c y d. Guíate por el ejemplo. Sea: a = log p b = log q c = log r d = log s Descomponer la expresión log p q r 2 Se tiene que: = ( ) = = = log p q r log p q –log r log p + log q – log r 2 logp + log q – log r 2a+b–c 2 2 2 a) log rs b) log pqs c) log p q d) log pr q e) log rq ps f) log 1 p g) log 1 rq h) log sr pq i) log pq s 3 j) log sr pq 2 ( ) k) log 3 p l) log 1 s 4 m) log r ps 5 n) log r2 4 q ñ) log q r s 2 o) log 1 q s p) log r s 5 q) log 3 pqr2 r) log p 4 q s) log pr s q 3 2 4 3 2 5. Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando las propiedades vistas. Guíate por el ejemplo. Calcula log3 81 5 Se tiene que: log 81 1 5 log 81 1 5 log 3 1 5 • 4 4 5 3 5 3 3 = = 4 = = a) log 1 8 2 b) log 1 625 5 c) log7 49 21 d) log7 7 e) log 32 1024 2 6. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. Guíate por el ejemplo. Reducir la expresión log p + 5log p–log p +log 1 p 2 3 2 Se tiene que: log p + 5log q– log p +log 1 q 2 logp + 5 log q – 2 3 log p– log q 4 3 log p + 4 log q log p + log q log p q 2 3 2 3 4 4 (3 4 4 ) = = = = 6 r5 Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 65 1 2 3 4 a) log 3 + log 2 b) log 12 + log 3,5 c) log 21 – log 7 d) log 35 – log 23 e) log 19 + log 3 – log 6 f) log 28 – log 4 – log 7 g) log 16 – log 5 + log 2 – log 20 h) log18– log 15 i) log 24 – log 3 6 j) 1 3 log p – 1 2 log q – 1 2 log r k) 3 2 log x + 5 2 log y l) log x + 1 2 log y–2 log z m) log (a + b) + log (a – b) n) 1 2 log x– 1 3 log y + 1 4 log z ñ) log (a – b) – log 3 o) log a – 4 log b + 1 5 (log c –2 log d) p) log a–5 log b + 1 5 2 (log 3 c – 2 log d) q) logq – logp + 3 4 3 4 (log q2 – 6 log p) Aplica 7. Demuestra que las siguientes igualdades son correctas. a) log 1 a – 3 2 log a + log a =–log a2 b) log 125 99 + log 363 + log 27 25 =log 5 c) 1 4 log x + 8x +15 + 1 4 log x+5 x+3 ( 2 ) =log x+5 d) log x +8x+15 –log x+5 1 4 log x+3 x+5 4 ( 2 ) = e) log 343 117 – log7 log 1 507 – log 27 49 = f) log 125 361 + log 6859 75 log19 – 1 2 = log 45 g) log x x+1 x –1 log x– 1 2 log (x+1) – log (x –1) 2 = 8. Considera los siguientes valores: log 2 = a log 3 = b log 5 = c log 7 = d log 11 = e log 13 = f log 17 = g log 19 = h Determina una expresión para los siguientes logaritmos en términos de a, b, c, d, e, f, g y h. a) log 4 b) log 6 c) log 8 d) log 10 e) log 12 f) log 18 g) log 24 h) log 91 i) log 95 j) log 99 k) log 3 4 l) log 7 25 m) log 15 44 n) log 102 9 ñ) log 3,25 o) log 8,91 p) log 1,1 9. Resuelve los siguientes problemas. a) Si log 1 3 3 x = , log1 y 3 2 = , log 1 2 z 2 =− , determina el valor de xyz. b) Si log (x²y³)=m y log x y =n, encuentra una expresión equivalente a logx. c) Si x log 3 log 1 3 = e y log 1 4 log 1 27 = , calcula x y 10. Desafío: determina en cada caso el valor de x para el cual se verifica la igualdad. a) log 2 + log (11−x2 )=2 log (5− 2x) b) 2 logx 3+ log x 10 = c) log (2x−7)−log (x−1)=log 5 d) log x + log (x+3)=2 log (x+1) § En el libro que expone por primera vez el uso de los logaritmos, Napier se refiere a ellos como “maravillosos”. ¿Qué motivo crees que puede haber tenido para esto? Comenta con tu profesor. Reflexiona 66 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Lección Aplicaciones de logaritmos Propósito: resolver problemas aplicando logaritmos. La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2), siendo 10–12 W/m2 la menor intensidad que puede captar el oído humano. A partir de 1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído. Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los decibeles (Db), mediante la siguiente fórmula: Db=120+10log I donde I es la intensidad en W/m². Paso 1 Compararemos los valores, en decibeles, de las intensidades descritas. Menor intensidad Umbral del dolor 120+10 log 10 120+ –12 •10 log10 120 –12•10 0 ( –12 )= ( ) = = 120+10 log 1 120+10•0 120 ( )= = La menor intensidad audible corresponde a 0Db, mientras que el umbral del dolor comienza en los 120 Db. Se obtiene así una escala que utiliza números más pequeños y manejables. A esto se le llama escala logarítmica. Paso 2 En general, se recomienda que al usar audífonos no se superen los 80 Db. Sin embargo, muchas personas los utilizan cerca de los 100 Db. ¿Cuál es la diferencia entre estas magnitudes? 80 120 +10 log I –40 10 log I –4 log I I 10 W m –4 2 = = = = = = = = 100 120 +10 log I –20 10 log I –2 log I I 10 W m –2 2 Para determinar estos valores fue necesario resolver una ecuación cuya incógnita se encontraba en el argumento de un logaritmo. Para hacerlo utilizamos la definición de logaritmo, es decir, si elevamos la base del logaritmo a su valor se obtiene el argumento. Este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones logarítmicas. Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos: a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos. b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales. c) Utilizar la de nición de logaritmo para sacar la incógnita del argumento. d) Veri car la solución para considerar las posibles restricciones. Observa que… = = 10 10 10 100 –2 –4 2 es decir, 100 Db corresponde a 100 veces la intensidad recomendada. 12 Unidad 1 • números 67 1 2 3 4 Paso 3 Observa los siguientes ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas. Ejemplo 1: log (8 – 4x)– log (3–2x)=2 Tenemos que: ( ) ( )= = = = = = = = log 8–4x –log 3–2x 2 log 8– 4x 3–2x 2 8– 4x 3–2x 10 100 8– 4x 300 – 200x 196x 292 x 292 196 73 49 2 Al remplazar en la ecuación, obtenemos = = = log 8– 4• 73 49 – log 3–2 • 73 49 log 100 49 – log 1 49 log 100 – log 49 – log1+ log 49 2 No hay restricciones, por lo que la solución obtenida es válida. Ejemplo 2: 2 log (x+1)– log (x –2)=log (x+3) Tenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = 2 log x+1 – log x–2 log x+3 log x+1 x –2 log x+3 x+1 x –2 x+3 x +2x+1 x +x –6 x –7 2 2 2 2 Al remplazar en la ecuación tenemos: 2 log (–7 + 1)– log (–7 –2)=log (–7 + 3) 2 log (–6)– log (–9)=log (–4) Hay logaritmos con argumento negativo, por lo que la solución no es válida. Se aplican propiedades de logaritmos. Se aplican propiedades de logaritmos. Se aplica la definición de logaritmo. Se igualan los argumentos. Razona y comenta § Una persona expuesta a más de 90 Db durante dos horas o más se arriesga a un daño auditivo que puede llegar incluso a la sordera total. La mayoría de los audífonos soportan una intensidad de 100 Db o más. Si una persona escucha música con audífonos y otra a su lado puede oírla, el volumen es excesivo. ¿A qué volumen escuchas música? ¿Te has informado de los cuidados que debes tener para no dañar tus oídos? En resumen Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición. Practiquemos lo aprendido 68 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Repaso 1. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a) log (x+5) + log (x –2) b) log (2x+7)– log (x+1) c) log (x2+5x+1)– log (x –1) d) 1 2 log (x2+4x+4)– log (x+2) e) log (x2+7x+12) – log (x2+4x+3) f) log (x2+4x –5) – log (x+5)– log (x+1) g) log x – 2 – log (x+7)– log (x – 2) Práctica guiada 2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Guíate por el ejemplo. Resolver la ecuación: log (32x+12)– log (5x –8)=1 Paso 1 Se aplican las propiedades de logaritmos para reducir la expresión. ( ) ( )= = log 32x+12 –log 5x –8 1 log 32x+12 5x–8 1 Paso 2 Se aplica la definición de logaritmo y se resuelve log = = 32x+12 5x–8 1 32x+12 5x –8 101 32x+12 5x–8 10 32x+12 50x –80 92 18x x 46 9 = = = = Paso 3 Se verifica la solución. = = = log 32 • 46 9 +12 –log 5• 46 9 –8 1 log 1472+12 •9 9 – log 230–9• 8 9 1 log 1364 9 – log 158 9 1 No se presentan restricciones, por lo que la solución es válida. a) log (x+5)=1 b) log (2x+125)=2 c) log (–2x+5)=–1 d) log (3x+8)=log (2x – 3) e) log (4x+24)=log (9x+2) f) log (5x –16)=log (6x+15) g) log (3x+2)+log (x+4)=log (3x2 –2x+4) h) log (4x+7)=log (4x2+5x – 6)–log (x – 3) i) log (5x+4)+log (x+1)=log (5x2+4x+1) Aplica Resuelve los siguientes problemas. 3. El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración de moles de hidrógeno utilizando la fórmula: pH=–log H+ Donde [H+] corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro. a) Calcula el pH de una sustancia, cuya concentración de iones de hidrógeno es de 0,00000038 moles por litro. b) En algunos lugares muy contaminados se produce el fenómeno llamado “lluvia ácida”. Se han dado lluvias con un pH de 2,8. Calcula su concentración de iones de hidrógeno. c) Calcula la concentración de iones de hidrógeno de las siguientes sustancias, conociendo su pH aproximado. Sustancia pH Vinagre 2,9 Jugo gástrico 1,5 Jugo de naranja 4,5 Orina 6,5 Jabón de manos 9,5 Practiquemos lo aprendido Unidad 1 • números 69 1 2 3 4 § Al principio de la unidad se planteó la necesidad de establecer escalas y comparaciones para representar ciertos fenómenos. ¿Qué utilidad tienen para ello los logaritmos? Comenta con tus compañeros. Reflexiona 4. Considera la fórmula que relaciona la intensidad del sonido y los decibeles Db = 120 + 10 log l a) Si un equipo de música genera un sonido cuya magnitud en W/m2 es el triple de la de otro, ¿cuánto mayor es la intensidad en decibeles que posee? b) Un amplificador para una guitarra eléctrica tiene 2500 W/m2 de salida. ¿Cuál es su intensidad en decibeles? c) Calcula la magnitud del sonido en W/m2 que producen los siguientes fenómenos, conociendo sus decibeles. Fenómeno Intensidad Bomba atómica de Hiroshima 200 dB Avión despegando 130 dB Perforadora eléctrica 100 dB Personas gritando 90 dB Conversación tranquila 40 dB 5. La energía liberada en los terremotos se mide en escala de Richter. Pese a ser modificada para intensidades superiores a 7, se puede relacionar la magnitud de un sismo y la energía liberada en él mediante la fórmula log E = 1,5R + 11,8 donde E es la cantidad de energía liberada medida en Ergios, y R es su intensidad en grados Richter. a) Completa la siguiente tabla con la intensidad o la energía liberada en los siguientes terremotos ocurridos en Chile: Magnitud (R) Energía liberada (E) Terremoto de Valdivia (1960) 9,6 Terremoto de Cauquenes (2010) 8,8 Terremoto de Algarrobo (1985) 3,16 • 1023 Terremoto de Vallenar (2013) 1,9 • 1022 b) El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó, comparado con el de Chile en 2010? 6. En Chile, a partir del año 2012 se estableció la ley de “Tolerancia 0” al alcohol, con la que se redujo a 0,3 g/L de sangre la concentración de alcohol considerada como “estado de ebriedad”. Se estima que el riesgo de sufrir un accidente (en porcentaje) se relaciona con la concentración de alcohol mediante la siguiente fórmula: R = 6ekx a) Se estima que una concentración de 0,04 g/L de alcohol en la sangre (x = 0,04) corresponde a un riesgo del 10% (R = 10). Determina el valor de la constante k. b) Una persona que, de acuerdo con la ley chilena, conduce en estado de ebriedad, ¿qué riesgo tiene de sufrir un accidente? c) Si una persona presenta el doble de concentración de alcohol que otra, ¿cuánto mayor es su riesgo de accidente? d) ¿Para qué concentración de alcohol en la sangre se puede estimar un riesgo de accidente del 100%? ¿Qué significa eso? Discute con tus compañeros. 7. Al tomar un medicamento la cantidad de milígramos que quedan de él en la sangre luego de t horas de haber sido administrado se calcula mediante la fórmula C = 10e–0,2t a) ¿Cuántos miligramos del medicamento hay en la sangre luego de una hora? b) Si la cantidad de miligramos no puede bajar de 3, ¿aproximadamente, cada cuánto tiempo debe tomarse el medicamento? c) Según esta fórmula, ¿hay algún momento en que deja de haber medicamento en la sangre? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros. 70 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Considera la siguiente secuencia de números 5 - 15 - 45 - 135 - 405… Se puede observar que su primer término es 5, y para obtener el siguiente término se multiplica por 3. Se sabe que el número 1937102445 pertenece a esta secuencia. ¿En qué posición está? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos tenemos del problema? Los primeros términos de una secuencia, la regla con que se forman y uno de sus términos, con posición desconocida. b. ¿Qué se quiere averiguar? La posición que ocupa en la secuencia un número dado. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar En primer lugar se determinará una fórmula para relacionar un término y su posición. Luego, se planteará la ecuación igualando la fórmula al número dado, y se resolverá. Paso 3 Resuelve el problema Observa que: Primer término: 5 Segundo término: 5 • 3= 5 • 32–1 Tercer término: 5 • 3 • 3 = 5 • 32 = 5 • 33–1 Cuarto término: 5 • 3 • 3 • 3 =5 • 33 = 5 • 34–1 Quinto término: 5 • 3 • 3 • 3 • 3 = 5 • 34 = 5 • 35–1 En general, el término en la posición n (lo llamamos an) puede determinarse mediante la fórmula 5 • 3n – 1. Por lo tanto, para averiguar el valor de n, planteamos y resolvemos la ecuación 1937102 445 5•3 387 420 489 3 log 387 420 489 log 3 log 387 420 489 n–1 log 3 log 387 420 489 log 3 n–1 log 387 420 489 log 3 +1 n n–1 n–1 ( n–1) ( ) = = = = = = Con calculadora se obtiene que n = 19, es decir, es el término que ocupa la posición 19. Paso 4 Revisa la solución Verifica que 5 • 319–1 = 5 • 318 = 5 • 387 420 489 = 1 937 102 445 Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 72. Unidad 1 • números 71 Para no cometer errores 1 2 3 4 § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos? Reflexiona Danitza necesita desarrollar la siguiente expresión: log (p2 – q2 ) Para ello, sigue estos pasos: log p –q log p –log q 2 log p–2 log q ( 2 2 )= 2 2 = Razona y comenta § ¿Cuál es el error cometido por Danitza? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con logaritmos? Danitza utilizó erróneamente la siguiente relación log(p2−q2 )=log p2−log q2 En general, el logaritmo de una diferencia no es equivalente a la diferencia de los logaritmos. Lo correcto es: log p –q log p+q p– q log p+q +log p–q ( 2 2 ) (( )( )) ( ) ( ) = = Analiza la situación Aprende la forma correcta Elías debe resolver la siguiente ecuación logarítmica: log (3x+4)+log (2x+2)=log (6x2+15x+10) Aplicando las propiedades de los logaritmos se da cuenta de que es equivalente a la ecuación log 3x+4 2x+2 log 6x +15x+10 log 6x +14x+8 log 6x +15x+10 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (( )( ))= = Resolviendo esta última obtiene que: = = 6x +14x+8 6x +15x+10 –2 x 2 2 Al verificarla en la ecuación obtiene que: log 6• –2 +14 • –2 +8 log 6 • –2 +15• –2 +10 log 24–28 +8 log 24–30+10 log 4 log 4 ( ( )2 ( ) ) ( ( )2 ( ) ) ( ) ( ) = = = Elías concluye, por lo tanto, que la solución encontrada es válida pues no presenta restricciones. Razona y comenta § ¿Cuál es el error cometido por Elías? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones logarítmicas? La ecuación en la que Elías comprueba la solución no es la ecuación original. Si el valor se remplaza en la ecuación original se tiene que: log (3 • –2 + 4) = log (–6 + 4) = log (–2) log (2 • –2 + 2) = log (–4 + 2) = log (–2) Ya que estas expresiones no están definidas, no es posible aplicar las operaciones de logaritmos. En general, la solución de una ecuación debe verificarse en la ecuación original. Analiza la situación Aprende la forma correcta 72 MATEMÁTICA 2.º MEDIO Evaluación Integrando lo aprendido Lección 10: Logaritmos 1 Expresa las siguientes igualdades en la forma equivalente que se indica. a. 2⁷ = 128, como raíz. b. 3 = 6561, como raíz. c. 0,5– = 16, como logaritmo. d. 3 1728 =12, como potencia. e. 2 256 =16, como logaritmo. f. 5 –1=–1, como potencia. g. p 5,22 =s, como potencia. h. q 2,51=2m, como logaritmo. i. log 5 1 2 5 = , como potencia. j. log3,18528,91037441=8, como raíz. k. log 729 117 649 3 6 7 = , como raíz. l. log = 1 b a –c, como potencia. m. log1 s a t = , como raíz. 2 Calcula en cada caso el valor de x. a. logx 36 2 = b. logx 49=–2 c. logx 8 0,5 = d. log = 1 81 x –0,25 e. log7 x=–1 f. log0,2 x 5 = g. log x 1 4 4 = h. log x 3 2 9 = i. log6 36 x = j. log 1 125 5 x = k. log 21 x 21 = l. log 9 16 2 x 3 = 3 Resuelve los siguientes problemas. a. Ordena de menor a mayor las siguientes expresiones: log 105 – log100 10 – 2 log 1 2 0,5 – log99 1 b. Si log x = y, determina una expresión que corresponda al valor de log x2. Lección 11: Propiedades de los logaritmos 4 Aplica las propiedades para reducir las siguientes expresiones a un logaritmo. a. log 3 + log (x+1) b. log 8x–log 4y c. log 3 p2 + log 5 p3 d. log 1 a +log 3a 2 e. log 1 b – log b 4 2 f. log x+log 5x – log x 2 4 ( 2 ) g. log (p+q) + log 5 p2q3 – 0,5 log (p2+2pq +q2 ) h. log a • log 3x –log 1 x a 5 Aplica las propiedades a las siguientes expresiones. a. log (pq2 ) b. log 5p q r xy 3 7 2 5 c. log 4m+5 2x+8 d. ( ) log 1 3 x+4 e. log 3q 5x 2p f. log 5x x+3 9y 2 g. ( + )( + ) log x 1 x 7 5xy Unidad 1 • números 73 Evaluación 1 2 3 4 6 Resuelve los siguientes problemas. a. Sea U = log a + log b y V = log (a–1b). Determina cuál de las siguientes expresiones es equivalente a V U 1 a² 1 a2 –logab a b ( –1 ) log a b ab ( –1 ) b. Determina el valor de x en la siguiente igualdad log 256–2 log 2 log 1 2 1 log x 2 1 4 0,25 1 2 + = Lección 12: Aplicaciones de logaritmos 7 Resuelve las siguientes ecuaciones. a. log (x – 2)=2 b. log (5x)=–1 c. log (5x –2)=log (3x+7) d. log (x2+8x –3)=2 log (x+5) e. log (8x+1)=log (2x – 2) + log 3 f. log (x–1)–log (x –5)=log (x+7)–log (x– 4) g. log (2x –3)–log (x+4)=log (2x+1)–log (x – 9) 8 Resuelve los siguientes problemas. a. Si una persona deposita cierta cantidad C de dinero en un banco a un i% de interés mensual, el dinero que tiene al cabo de n meses se calcula con la fórmula C(n) C 1 i 100 n = + Calcula cuántos meses habrá que mantener $150 000 en el banco —con un interés del 5%— para que al cabo de ellos haya $221 618. b. Para calcular el pH de una solución química se utiliza la fórmula pH = –logH+, donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. ¿Cuál es el pH de una solución que tiene una concentración de H+ igual a 9,5 • 10–12? 9 Analiza la siguiente ecuación log (2x+5) + log (x – a) – log (x+1)=log (2x+8) Determina un valor de a para el cual la ecuación tiene solución, y otro para que no la tenga. Justifica en cada caso. Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección? Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección? ¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección? Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Autoevaluación Indicador Mínimo sugerido Puedes repasar en la(s) página(s) Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias 2 respuestas correctas 58 y 59 Deducir y aplicar propiedades de logaritmos 2 respuestas correctas 62 y 63 Resolver problemas aplicando logaritmos 2 respuestas correctas 66 y 67