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LÍMITES Y DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI PDF

1. CONCEPTO DE LÍMITE Dada una función y = F(x), el límite de F(x) cuando x se aproxima o tiende a un valor h, es el valor hacia donde se aproxima la función. Por ejemplo sea F(x) = x2 + 3 cuando x tiende a 2 (observa el cuadro adjunto) F(x) tiende a 7 CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

x tiende a 2 por la izquierda x tiende a 2 por la derecha x 196 197 198 199 2 201 202 203 204 F(x) 68416 68809 69204 69601 7 70401 70804 71209 71616 F(x) tiende a 7 F(x) tiende a 7 1.1 Notación func{ Lim from { x ``→`` h}} F(x) = L ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, es igual a L” func{ Lim from { x ``→`` h^ +}} F(x) = L1 .............. “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la derecha es igual a L1” func{ Lim from { x ``→`` h^ -}} F(x) = L2 ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la izquierda es igual a L2” 1.2 Teorema El límite de una función F(x) cuando x → h, existe si y solo si los límites laterales son iguales, es decir, si : func{ Lim from { x ``→`` h^+}}F(x) = func{ Lim from { x ``→`` h^-}}F(x) = L Entonces : func{ Lim from { x ``→`` h}}F(x) = L Ejemplo : Calcular : a) func{ Lim from { x ``→`` pi over 4}}Senx b) func{ Lim from { x ``→`` pi over 3} {1- Cosx} over x} Solución: A. func{ Lim from { x ``→`` π over 4}}Senx = func{ Sen π over 4 ``=`` sqrt 2 over 2} B. func{ Lim from { x ``→`` π over 3}``{1`-`Cosx} over x`` =`` { 1 ``-`` Cos π over 3} over { π over 3} ``=`` { 1 ``-`` 1 over 2 } over { π over 3} ``=`` { 1 over 2} over { π over 3} ``=`` 3 over { 2 π}} 1.3 Teorema de Intercalación (Teorema de emparedado) Sean F(x), G(x), H(x) funciones que satisfacen : F(x) ≤ G(h) ≤ H(x) para toda x muy próxima a h (con la posible excepción de h). Si F(x) = H(x) = L entonces : G(x) = L Ejemplo : Calcular func{ Lim from { x ``→`` 0}}x2Senfunc{ left ( 1 over x right)} Solución : (✳) Sabemos que : -1 ≤ Senfunc{ left ( 1 over x right)} ≤ 1 ............... (x ≠ 0) (✳) Entonces : func alignl { - x^2 `~<=~x ^2 Sen left ( 1 over x right)~<=~x ^2}# Observa : func{ left. stack { Lim from { x ``→`` 0} F(x) ``=``Lim from { x ``→`` 0}(-x^2) ``=``0 # alignl `` Lim from { x ``→`` 0}H(x) ``=`` Lim from { x ``→`` 0}( x ^2)`` `=``0} right\}} Explicando el teorema anterior se deduce : x2Sen = 0 1.4 Límites de Funciones Trigonométricas func{ Lim from { x ``→`` 0} `( Senx)``=`` 0} func{ Lim from { x ``→`` 0} `( Cosx)``=`` 1} func{ Lim from { x ``→`` 0} `( Tgx)``=`` 0} func{ Lim from { x ``→`` 0} ` left ( Senx over x right)``=`` 1} func{ Lim from { x ``→`` 0} ` left ({ 1 `- ` Cosx} over x right)``=`` 0} func{ Lim from { x ``→`` 0} ` Tgx over x``=`` 1} Demostración de : func{ Lim from { x ``→`` 0}`left ( Senx over x right) ``=`` 1} (✳) Observa que : MP = Senx ; AQ = Tgx además el arco AP = x (✳) Se deduce del gráfico que : MP ≤ AP ≤ AQ Senx ≤ x ≤ Tgx (✳) Se divide a toda la expresión por Senx, obteniendo: 1 ≤ ⇒ invirtiendo (✳) Calculando el límite : func{ Lim from { x ``→`` 0}}1 = 1, func{ Lim from { x ``→`` 0}}(Cosx) = Cos0 = 1 entonces : func{ Lim from { x ``→`` 0}`left ( Senx over x right) ``=`` 1} 1.5 Límites de Funciones Trigonométricas InversaS 2. DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de una función y = F(x) que se denota : F'(x); es : F'(x) = func{ Lim from { h ``→`` 0}`` { F(x ``+`` h ) ``-`` F(x)} over h}, si este límite existe 2.1 Observaciones (✳) La derivada de una función y = F(x) también se representa así : y' ; F'(x) ;func { dy over dx} ; Dxy ; func{ { dF(x)} over { dx}} (✳) Si una función se deriva más de una vez, se les denomina derivada de orden superior Segunda derivada : y" ; F"(x) ; func{ { d ^2y} over { dx ^2}} ; func{ D { `} _ x ^2 `y} ; func{ { d ^2 F(x) } over { dx ^2}} Tercera derivada : y"' ; F"'(x) ; func{ { d ^3y} over { dx ^3}} ; func{ D { `} _ x ^3 `y} ; func{ { d ^3 F(x) } over { dx ^3}} y así sucesivamente (✳) Otra manera de expresar la definición de derivada es : F'(x) = func{ Lim from { x ``→``h}```{ F(x) ``-`` F(h)} over { x ``-`` h}} Ejemplo : Calcular la derivada de : F(x) = Senx func alignl { ~~~~~~~~~~~~~1} Conclusión : Si F(x) = Senx ⇒ F'(x) = Cosx (✳) La derivada de una función y = F(x) en x = a; se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Observa en la figura adjunta que la pendiente de L es: m = Tgθ = Cuando h es muy pequeño (tiende a cero) el punto Q esta muy próximo a P, por lo tanto la recta L es tangente a la curva en P. Conclusión : Dada una función y = F(x) la derivada de F(x) en x = a es la pendiente de la recta tangente a la curva de F(x) en x = a Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3, en un punto de la curva cuya abscisa es 1. Solución : (✳) Calculamos el punto de tangencia para x = 1 F(1) = 2(1)3 + 4(1)2 - 5(1) - 3 ⇒ F(1) = -2 ; el punto de tangencia es (1; -2) (✳) Calculamos la pendiente de la recta tangente F(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3 ⇒ F'(x) = 6x2 + 8x - 5 Para x = 1 ⇒ F'(1) = 6(1)2 + 8(1) - 5 = 9 ......... (pendiente) (✳) Ecuación de la recta tangente : y - yo = m(x - xo) ⇒ y - (-2) = 9(x - 1) ⇒ 9x - y - 11 = 0 2.2 Derivadas de Funciones Trigonométricas En el cuadro adjunto se muestran las derivadas de las funciones trigonométricas, se considera que u = G(x) donde G es una función derivable y se restringe de tal manera que la función trigonométrica está definida. Dx(Senu) = CosuDxu Dx(Ctgu) = -Csc2uDxu Dx(Cosu) = -SenuDxu Dx(Secu) = SecuTguDxu Dx(Tgu) = Sec2uDxu Dx(Cscu) = -CscuCtguDxu Ejemplos : Calcular F'(x) en cada caso A. F(x) = Sen6x .......... F'(x) = Cos6xfunc alignl { D_ x (6x)} # func alignc { 6} ⇒ F'(x) = 6Cos6x B. F(x) = Cos(x2 + 4) .......... F'(x) = -Sen(x2 + 4)func alignl { D_ x (x^ 2 ``+`` 4)} # func alignc { 2x} ⇒ F'(x) = -2xSen(x2 + 4) C. F(x) = Tg3(5x) .......... F'(x) = 3Tg25x Dx(Tg5x) = 3Tg25xfunc alignl { [Sec ^2 5 x ``D_ x (5x)]} # F’(x) = 15Tg25xSec25x 2.3 Cálculo de Límites Utilizando la Regla de L’ Hospital Regla de L’ Hospital Sea <a; b> un intervalo que contiene a “c” y sean F y G funciones definidas y derivables en <a; b> (excepto posiblemente en c). Si G'(x) ≠ 0 para x ≠ c y F(x) / G(x) tiene la forma indeterminada 0/0 o bien ∞/∞ entonces : = NOTA : La regla de L’Hospital también es válida para límites unilaterales y para límites al infinito : (x → c+; x → c-; x →+∞; x → -∞) Ejemplos : A. Calcular : func{ Lim from { x ``→``π^ - over 2}```left ( { 4 Tgx} over { 1 ``+`` Secx} right)} Solución : (✳) Observa que cuando x → func{ π^ { bold - } over 2} ⇒ Tgx ⇒ -∞ y 1 + Secx → -∞ entonces tenemos la forma indeterminada ∞/∞ (✳) Aplicando la regla de L’Hospital   (✳) Observa que cuando x → 0 : Tgx - x → 0 y x3 → 0 entonces tenemos la forma indeterminada 0/0 (✳) Aplicando la regla de L’Hospital func{ Lim from { x ``→``0}```left ( { Tgx``-``x} over { x^3} right)} = func{ Lim from { x ``→``0}```left ( { Sec ^2x``-``1} over { 3x^2} right)} (✳) Observa que cuando x → 0 : Sec2x - 1 → 0 y x2 → 0 nuevamente tenemos la forma indeterminada 0/0 (✳) Volvemos a aplicar la regla de L’Hospital func{ Lim from { x ``→``0}```left ( {Sec ^2x ``-`` 1} over { 3x ^2} right)} = func{ Lim from { x ``→``0}```left ( { 2 Sec x( Secx Tgx)} over { 3( 2x)}right)} = func{ Lim from { x ``→``0}```left ( {Sec ^2x `Tgx}over { 3x} right)}