LÍMITES Y DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - TRIGONOMETRÍA PROBLEMAS RESUELTOS PARA PREUNIVERSITARIOS



  • CLICK AQUI PARA ver LIMITES TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS
  • CLICK AQUI ver VIDEOS



  • CLICK AQUI PARA ver DERIVADAS TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
  • CLICK AQUI ver VIDEOS

  • CLICK AQUI PARA VER PDF
    1. CONCEPTO DE LÍMITE Dada una función y = F(x), el límite de F(x) cuando x se aproxima o tiende a un valor h, es el valor hacia donde se aproxima la función. Por ejemplo sea F(x) = x2 + 3 cuando x tiende a 2 (observa el cuadro adjunto) F(x) tiende a 7 x tiende a 2 por la izquierda x tiende a 2 por la derecha x 196 197 198 199 2 201 202 203 204 F(x) 68416 68809 69204 69601 7 70401 70804 71209 71616 F(x) tiende a 7 F(x) tiende a 7 1.1 Notación func{ Lim from { x ``→`` h}} F(x) = L ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, es igual a L” func{ Lim from { x ``→`` h^ +}} F(x) = L1 .............. “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la derecha es igual a L1” func{ Lim from { x ``→`` h^ -}} F(x) = L2 ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la izquierda es igual a L2” 1.2 Teorema El límite de una función F(x) cuando x → h, existe si y solo si los límites laterales son iguales, es decir, si : func{ Lim from { x ``→`` h^+}}F(x) = func{ Lim from { x ``→`` h^-}}F(x) = L Entonces : func{ Lim from { x ``→`` h}}F(x) = L Ejemplo : Calcular : a) func{ Lim from { x ``→`` pi over 4}}Senx b) func{ Lim from { x ``→`` pi over 3} {1- Cosx} over x} Solución: A. func{ Lim from { x ``→`` π over 4}}Senx = func{ Sen π over 4 ``=`` sqrt 2 over 2} B. func{ Lim from { x ``→`` π over 3}``{1`-`Cosx} over x`` =`` { 1 ``-`` Cos π over 3} over { π over 3} ``=`` { 1 ``-`` 1 over 2 } over { π over 3} ``=`` { 1 over 2} over { π over 3} ``=`` 3 over { 2 π}} 1.3 Teorema de Intercalación (Teorema de emparedado) Sean F(x), G(x), H(x) funciones que satisfacen : F(x) ≤ G(h) ≤ H(x) para toda x muy próxima a h (con la posible excepción de h). Si F(x) = H(x) = L entonces : G(x) = L Ejemplo : Calcular func{ Lim from { x ``→`` 0}}x2Senfunc{ left ( 1 over x right)} Solución : (✳) Sabemos que : -1 ≤ Senfunc{ left ( 1 over x right)} ≤ 1 ............... (x ≠ 0) (✳) Entonces : func alignl { - x^2 `~<=~x ^2 Sen left ( 1 over x right)~<=~x ^2}# Observa : func{ left. stack { Lim from { x ``→`` 0} F(x) ``=``Lim from { x ``→`` 0}(-x^2) ``=``0 # alignl `` Lim from { x ``→`` 0}H(x) ``=`` Lim from { x ``→`` 0}( x ^2)`` `=``0} right\}} Explicando el teorema anterior se deduce : x2Sen = 0 1.4 Límites de Funciones Trigonométricas func{ Lim from { x ``→`` 0} `( Senx)``=`` 0} func{ Lim from { x ``→`` 0} `( Cosx)``=`` 1} func{ Lim from { x ``→`` 0} `( Tgx)``=`` 0} func{ Lim from { x ``→`` 0} ` left ( Senx over x right)``=`` 1} func{ Lim from { x ``→`` 0} ` left ({ 1 `- ` Cosx} over x right)``=`` 0} func{ Lim from { x ``→`` 0} ` Tgx over x``=`` 1} Demostración de : func{ Lim from { x ``→`` 0}`left ( Senx over x right) ``=`` 1} (✳) Observa que : MP = Senx ; AQ = Tgx además el arco AP = x (✳) Se deduce del gráfico que : MP ≤ AP ≤ AQ Senx ≤ x ≤ Tgx (✳) Se divide a toda la expresión por Senx, obteniendo: 1 ≤ ⇒ invirtiendo (✳) Calculando el límite : func{ Lim from { x ``→`` 0}}1 = 1, func{ Lim from { x ``→`` 0}}(Cosx) = Cos0 = 1 entonces : func{ Lim from { x ``→`` 0}`left ( Senx over x right) ``=`` 1} 1.5 Límites de Funciones Trigonométricas InversaS 2. DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de una función y = F(x) que se denota : F'(x); es : F'(x) = func{ Lim from { h ``→`` 0}`` { F(x ``+`` h ) ``-`` F(x)} over h}, si este límite existe 2.1 Observaciones (✳) La derivada de una función y = F(x) también se representa así : y' ; F'(x) ;func { dy over dx} ; Dxy ; func{ { dF(x)} over { dx}} (✳) Si una función se deriva más de una vez, se les denomina derivada de orden superior Segunda derivada : y" ; F"(x) ; func{ { d ^2y} over { dx ^2}} ; func{ D { `} _ x ^2 `y} ; func{ { d ^2 F(x) } over { dx ^2}} Tercera derivada : y"' ; F"'(x) ; func{ { d ^3y} over { dx ^3}} ; func{ D { `} _ x ^3 `y} ; func{ { d ^3 F(x) } over { dx ^3}} y así sucesivamente (✳) Otra manera de expresar la definición de derivada es : F'(x) = func{ Lim from { x ``→``h}```{ F(x) ``-`` F(h)} over { x ``-`` h}} Ejemplo : Calcular la derivada de : F(x) = Senx func alignl { ~~~~~~~~~~~~~1} Conclusión : Si F(x) = Senx ⇒ F'(x) = Cosx (✳) La derivada de una función y = F(x) en x = a; se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Observa en la figura adjunta que la pendiente de L es: m = Tgθ = Cuando h es muy pequeño (tiende a cero) el punto Q esta muy próximo a P, por lo tanto la recta L es tangente a la curva en P. Conclusión : Dada una función y = F(x) la derivada de F(x) en x = a es la pendiente de la recta tangente a la curva de F(x) en x = a Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3, en un punto de la curva cuya abscisa es 1. Solución : (✳) Calculamos el punto de tangencia para x = 1 F(1) = 2(1)3 + 4(1)2 - 5(1) - 3 ⇒ F(1) = -2 ; el punto de tangencia es (1; -2) (✳) Calculamos la pendiente de la recta tangente F(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3 ⇒ F'(x) = 6x2 + 8x - 5 Para x = 1 ⇒ F'(1) = 6(1)2 + 8(1) - 5 = 9 ......... (pendiente) (✳) Ecuación de la recta tangente : y - yo = m(x - xo) ⇒ y - (-2) = 9(x - 1) ⇒ 9x - y - 11 = 0 2.2 Derivadas de Funciones Trigonométricas En el cuadro adjunto se muestran las derivadas de las funciones trigonométricas, se considera que u = G(x) donde G es una función derivable y se restringe de tal manera que la función trigonométrica está definida. Dx(Senu) = CosuDxu Dx(Ctgu) = -Csc2uDxu Dx(Cosu) = -SenuDxu Dx(Secu) = SecuTguDxu Dx(Tgu) = Sec2uDxu Dx(Cscu) = -CscuCtguDxu Ejemplos : Calcular F'(x) en cada caso A. F(x) = Sen6x .......... F'(x) = Cos6xfunc alignl { D_ x (6x)} # func alignc { 6} ⇒ F'(x) = 6Cos6x B. F(x) = Cos(x2 + 4) .......... F'(x) = -Sen(x2 + 4)func alignl { D_ x (x^ 2 ``+`` 4)} # func alignc { 2x} ⇒ F'(x) = -2xSen(x2 + 4) C. F(x) = Tg3(5x) .......... F'(x) = 3Tg25x Dx(Tg5x) = 3Tg25xfunc alignl { [Sec ^2 5 x ``D_ x (5x)]} # F’(x) = 15Tg25xSec25x 2.3 Cálculo de Límites Utilizando la Regla de L’ Hospital Regla de L’ Hospital 
    Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

    SI DESEAS OTRO TEMA BUSCAR AQUÍ

    Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad

    LIBROS PREUNIVERSITARIOS RUBIÑOS