Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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LÍMITES Y CONTINUIDAD EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Calcula los siguientes lı´mites de funciones polino´micas: a) lim (x2 2x 1) xA3 b) lim (x4 x 3) xA0 c) lim (x2 3x 2) xA 2. Calcula los siguientes lı´mites de funciones polino´micas: a) lim (4 x2) xA b) lim (x2 3) xA c) lim ( x3 5) xA 3. Calcula los siguientes lı´mites de funciones racionales: a) x2 1 lim xA 1 x 1 b) x4 x3 3x lim x2 x xA0 4. Calcula los lı´mites laterales de las siguientes funciones racionales en los puntos en los que no esta´n definidas. ¿Existe el lı´mite de la funcio´n en esos puntos? a) f(x) 3 x 2 b) f(x) x2 3x x2 x 5. Calcula los siguientes lı´mites de funciones racionales: a) x2 x 1 lim x2 3 xA b) x2 4 lim xA x 1 6. Calcula los siguientes lı´mites de funciones irracionales: a) 1 x lim xA1 1 x b) x 2 2 lim xA2 x 2 7. Calcula los siguientes lı´mites de funciones irracionales: a) lim ( x2 4 x) xA b) lim ( x2 x x) xA 8. Calcula los siguientes lı´mites utilizando funciones equivalentes en x 0: a) sen 3x lim xA0 x b) sen 10x lim xA0 sen 5x c) 5x lim xA0 tg 2x d) x · (1 cos x) lim sen2 x xA0 9. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones a trozos: a) f(x) x 3 si x 0 x 1 si x 0 b) f(x) 2 x2 si x 1 x2 x 1 si 1 x 3 x2 4 si x 3 c) f(x) x2 2 si x 2 x 2 si x 2 10. Una funcio´n f(x) esta´ dada por la expresio´n f(x) si x 1. ¿Co´mo elegirı´as el valor de f(1) para x2 x x 1 que la funcio´n fuera continua en ese punto? 11. Calcula el valor de a para el que la funcio´n f(x) es continua en . x2 a si x 3 4x 1 si x 3 SOLUCIONES 1. a) 4 b) 3 c) 2. a) b) c) 3. a) 1 b) Tiene una indeterminacio´n del tipo . 0 0 3 x4 x3 3x (x3 x2 3) · x lim lim x2 x (x 1) · x xA0 xA0 4. a) f(x) no esta´ definida en x 2. 3 x 2 lim f(x) y lim f(x) xA2 xA2 No existe el lı´mite ya que los lı´mites laterales son distintos. b) f(x) no esta´ definida en x 0 y x 1. x2 3x x2 x En x 0: f(x) 3 x · (x 3) lim lim xA0 xA0 x · (x 1) f(x) 3 x · (x 3) lim lim xA0 xA0 x · (x 1) Como los l´ımites laterales son iguales lim f(x) 3. xA0 En x 1: lim f(x) ; lim f(x) xA1 xA1 No existe el lı´mite ya que los lı´mites laterales son distintos. 5. Todos estos lı´mites tienen indeterminacio´n del tipo . a) Dividiendo por x2, 1 x2 x 1 lim x2 3 xA b) Dividiendo por x, x2 4 lim xA x 1 6. Todos estos lı´mites tienen indeterminacio´n del tipo . 0 0 a) 2 1 x (1 x) (1 x) lim lim xA1 1 x xA1 (1 x) (1 x) b) x 2 2 lim xA2 x 2 ( x 2 2) ( x 2 2) 1 lim xA2 (x 2) ( x 2 2) 4 7. Los lı´mites de este ejercicio presentan indeterminacio ´n del tipo . a) lim ( x2 4 x) xA 0 ( x2 4 x) · ( x2 4 x) lim ( x2 4 x) xA b) lim ( x2 x x) xA ( x2 x x) · ( x2 x x) 1 lim ( x2 x x) 2 xA 8. Estos lı´mites tienen indeterminacio´n del tipo . 0 0 a) 3 sen 3x 3x lim lim xA0 x xA0 x b) 2 sen 10x 10x lim lim xA0 sen 5x xA0 5x c) 5x 5x 5 lim lim xA0 tg 2x xA0 2x 2 d) 0 x · (1 cos x) x · (1 cos x) lim lim sen2 x x2 xA0 xA0 9. a) f(0) 1; lim f(x) 3, lim f(x) 1 xA0 xA0 No es continua en x 0. b) f(1) 1; lim f(x) 1, lim f(x) 1 xA1 xA1 Es continua en x 1 ya que f(1) lim f(x) 1. xA1 f(3) 5; lim f(x) 7, lim f(x) 5 xA3 xA3 No es continua en x 3. c) f(2) 2; lim f(x) 2, lim f(x) 2 xA2 xA2 Es continua en x 2 ya que f(2) lim f(x) 2. xA2 10. Debe ser f(1) x 1 x2 x lim lim xA1 x 1 xA1 11. Para que sea continua en x 3 debe ser: f(3) lim f(x) lim f(x) xA3 xA3 f(3) lim f(x) 13; lim f(x) 9 a xA3 xA3 13 9 a Por tanto, a 4. 1. Calcula el valor de estos lı´mites: a) b) x2 sen2 x sen 5x sen 3x lim lim sen x2 sen x xA0 xA0 2. Calcula el valor de 1 x 1 x lim xA0 3x 3. La funcio´n g(x) toma los valores para 0 x 1 y es continua en el intervalo [0, 1]. Wx3 xW x a) ¿Cua´nto vale g(0)? b) ¿Puede ser continua la funcio´n g(x) en el intervalo [ 1, 1] para algu´n valor de g(0)? 4. Obte´n de manera razonada dos funciones que no sean continuas en un cierto punto x a de su dominio y tales que la funcio´n suma sea continua en dicho punto. 5. Determina cua´l debe ser el valor del para´metro k para que la funcio´n f(x) (1 cos x) · sen x si x 0 x2 k si x 0 sea continua en x 0. 6. Esboza la gra´fica de una funcio´n f(x) que cumpla los siguientes requisitos: • Dominio { 3,1} • lim f(x) 5 xA 3 • Los lı´mites laterales en x 1 son finitos pero distintos. • lim f(x) xA1 • lim f(x) 3 xA 7. Estudia la continuidad de la funcio´n f(x) x · WxW si x 1 x si 1 x 2 4 x six 2 8. Estudia la continuidad de la funcio´n f(x) segu´n los valores del para´metro k. x2 kx k 1 si x 2 sen x six 2 9. Estudia la continuidad de la funcio´n f(x) Wx 2W si x 1 x2 si 1 x 1 2x 1 six 1 10. Halla el dominio de la funcio´n f(x) , sabiendo que (f(x) 2x) 6. 2x2 1 lim x k xA 11. ¿Que´ relacio´n debe existir entre los para´metros a y b para que la funcio´n f(x) ax2 bx 1 si x 1 2bx 2 six 1 sea continua en todos los nu´meros reales? SOLUCIONES 1. a) x2 sen2 x x2 sen2 x lim lim lim sen x2 sen x2 sen x2 xA0 xA0 xA0 0 x2 x2 lim lim x2 x2 xA0 xA0 b) sen 5x sen 3x sen 5x sen 3x lim lim lim xA0 sen x xA0 sen x xA0 sen x 5x 3x lim lim 5 3 2 xA0 x xA0 x 2. 1 x 1 x lim xA0 3x ( 1 x 1 x) · ( 1 x 1 x) lim xA0 3x · ( 1 x 1 x) 2x 1 lim xA0 3x · ( 1 x 1 x) 3 3. a) Wx3 xW (x3 x) lim lim xA0 x xA0 x (1 x2) 1 x x3 lim lim xA0 x xA0 Como g es continua en [0, 1], g(0) 1. b) 1 Wx3 xW x3 x lim lim lim (x2 1) xA0 x xA0 x xA0 No puede ser continua en [ 1, 1], ya que los lı´mites laterales en x 0 son distintos; la funcio´n g(x) no tiene lı´mite en x 0. 4. Por ejemplo: f(x) y 1 si x 0 1 si x 0 g(x) no son continuas en 1 si x 0 1 si x 0 x 0; sin embargo, la funcio´n suma sı´ lo es: f(x) g(x) 0 si x 0 0 si x 0 5. k f(0) lim f(x); xA0 · (1 cosx)·senx (1 cosx) senx lim lim lim x2 x x xA0 xA0 xA0 0 · 1 0 k 0 6. La respuesta es abierta. Una solucio´n puede ser: Y O 1 1 X 7. Posibles puntos de discontinuidad x 1 y x 2. lim f(x) lim x2 1; lim f(x) lim x 1; xA1 xA1 xA1 xA1 f(1) 1 lim f(x) lim x 2; lim f(x) lim (4 x) 2; xA2 xA2 xA2 xA2 f(2) 2 La funcio´n es continua en todo . 8. Los dos trozos de la funcio´n son continuos en sus intervalos. Hay que estudiar la continuidad en x 2. f(2) sen 2 0; lim f(x) lim sen x 0 xA2 xA2 lim f(x) lim (x2 kx k 1) 3 3k xA2 xA2 Para que sea continua debe ser: 3 3k 0 k 1 Si k 1, la funcio´n es continua en todo . Si k 1, la funcio´n es continua en {2}. 9. Posibles puntos de discontinuidad x 1 y x 1. lim f(x) lim Wx 2W 1 xA 1 xA 1 lim f(x) lim x2 1 xA 1 xA 1 f( 1) 1 lim f(x) lim x2 1; xA1 xA1 lim f(x) lim (2x 1) 3; xA1 xA1 f(1) 1 La funcio´n es discontinua en x 1. 10. 6 (f(x) 2x) 2x 2x2 1 lim lim xA xA x k 2k k 3 2kx 1 lim xA x k El dominio de f(x) es {3}. 11. En x 1: lim f(x) lim (ax2 bx 1) xA1 xA1 a b 1 f(1) lim f(x) lim (2bx 2) 2b 2 xA1 xA1 Para que sea continua en x 1: a b 1 2b 2 a b 1