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LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Halla los puntos de discontinuidad de la funcio´n f (x ) indicando el tipo de discontinuidad que x 2 2x 3 x 3 presenta en ellos. Indica el salto de discontinuidad o, en su caso, el verdadero valor de la funcio´n en esos puntos. 2. Halla los puntos de discontinuidad de la funcio´n f (x ) indicando el tipo de discontinuidad que x 2 x 6 x 2 x 2 presenta en ellos. Indica el salto de discontinuidad o, en su caso, el verdadero valor de la funcio´n en esos puntos. 3. Halla los puntos de discontinuidad de la funcio´n f (x ) indicando el tipo de discontinuidad que x 6 2 x 2 presenta en ellos. Indica el salto de discontinuidad o, en su caso, el verdadero valor de la funcio´n en esos puntos. 4. Estudia la continuidad de la funcio´n f (x ) x 2 2 x 1 2 x 3x 1 x 1 5. Estudia la continuidad de la funcio´n f (x ) 6 x x 2 6 2 x 3 x 2 3 x 3 6. Halla el valor del para´metro a para que la funcio´n f (x ) sea continua en toda la x 3 1 x 1 ax 1 x 1 recta real. 7. Halla el valor del para´metro a para que la funcio´n f (x ) sea continua en x 2 ax a 1 x 2 L(x 1) x 2 toda la recta real. 8. Halla los valores de los para´metros a y b que hacen que la funcio´n f (x ) senx x 0 x 2 ax b 0 x 3 sea continua en toda la recta real. x 9 x 3 9. Comprueba si la funcio´n f (x ) verifica las condiciones del teorema de Weierstrass en el intervalo ex 1 ex 1 [1, 4]. ¿Se puede asegurar que la funcio´n esta´ acotada en ese intervalo? ¿Se puede asegurar que la funcio´n esta´ acotada en todo su dominio? 10. Estudia si la funcio´n f (x ) esta´ acotada en el intervalo [ 2, 2]. x 2 1 2 x 0 2x 1 0 x 2 SOLUCIONES 1. El dominio de f (x) es R {3}. En x 3 tiene una discontinuidad evitable, ya que: f (x ) (x 1) 4 (x 1) · (x 3) lim lim lim xA3 xA3 x 3 xA3 siendo el verdadero valor en x 3: f (3) 4 2. El dominio de f (x) es R { 1, 2}. En x 2 tiene una discontinuidad evitable, ya que: f (x ) (x 2) · (x 3) x 3 5 lim lim lim xA2 xA2 (x 1) · (x 2) xA2 x 1 3 El verdadero valor es f (2) . 5 3 En x 1, f (x ) tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito: lim f (x ) y lim f (x ) xA 1 xA 1 3. El dominio de la funcio´n es [2, ) {6}. En x 6 tiene una discontinuidad evitable: f (x ) (x 6) · (2 x 2) lim lim xA6 xA6 (2 x 2) · (2 x 2) 4 (x 6) · (2 x 2) lim xA6 6 x siendo el verdadero valor en x 6: f (6) 4 4. Se estudia la continuidad en x 1 f (1) lim f (x ) lim (x 2 2) 1 xA1 xA1 lim f (x ) lim (x 2 3x 1) 1 xA1 xA1 Como f (1) lim f (x ) 1, la funci´on es continua xA1 en toda la recta real. 5. La funcio´n es continua salvo, quiza´, en x 2 y en x 3. Se estudia la continuidad en esos puntos: En x 2: lim f (x ) lim (6 x) 8 xA 2 xA 2 f ( 2) lim f (x ) lim 6 6 xA 2 xA 2 la funcio´n tiene una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 2. En x 3, la funcio´n es continua: f (3) lim f (x ) 6 xA3 lim f (x ) lim 6 6 xA3 xA3 f (3) lim f (x ) lim (x 2 3) 9 3 6 xA3 xA3 Por tanto, la funcio´n es continua en R { 2} 6. Para que la funcio´n sea continua en toda la recta real, debe ser continua en x 1: f (1) lim f (x ) lim f (x ) xA1 xA1 a 1 lim f (x ) lim (x 3 1) 0 xA1 xA1 f (1) lim f (x ) lim (ax 1) a 1 xA1 xA1 7. Para que la funcio´n sea continua en toda la recta real, debe ser continua en x 2: f (2) lim f (x ) lim f (x ) xA2 xA2 lim f (x ) 22 2a a 1 3 3a xA2 f (2) lim f (x ) L1 0 xA2 3 3a 0 a 1 8. Para que la funcio´n sea continua en toda la recta real, debe ser continua en x 0 y en x 3: f (0) lim f (x ) lim f (x ) xA0 xA0 lim f (x ) lim sen x sen 0 0 xA0 xA0 f (0) lim f (x ) lim (x 2 ax b ) b xA0 xA0 b 0 f (3) lim f (x ) lim f (x ) xA0 xA3 lim f (x ) lim (x 2 ax b ) 9 3a b xA3 xA3 f (3) lim f (x ) lim (x 9) 3 9 12 xA3 xA3 9 3a 12 a 1 9. f (x ) es continua en todo su dominio R {0}; por tanto, es continua en [1, 4]. Como verifica las condiciones del teorema de Weierstrass, se puede asegurar que esta´ acotada en el intervalo; sin embargo, no esta´ acotada en el dominio, ya que: lim f (x ) y lim f (x ) xA0 xA0 10. Se estudia la continuidad de la funcio´n en x 0: lim f (x ) lim (x 2 1) 1 xA0 xA0 f (0) lim x lim (2x 1) 1 xA0 xA0 Como f (0) lim f (x ) 1. La funci´on es conxA0 tinua en x 0 y, por tanto, en [ 2, 2]. Como verifica las condiciones del teorema de Weierstrass, se puede asegurar que esta´ acotada en ese intervalo. 1. Calcula el verdadero valor de la funcio´n f (x ) en x 0. sen3 x tg x sen x 2. Calcula el verdadero valor de la funcio´n f (x ) en x 0. x 1 1 x 9 3 3. ¿Que´ tipo de discontinuidad presenta la funcio´n f (x ) en x 0? Wx 3 x W x 4. Clasifica las discontinuidades de la funcio´n f (x ) (x 1) · 2 1 1 W x W x 5. Determina para que´ valores de los para´metros a y b es continua en toda la recta real la funcio´n: f (x ) x 2 x 0 ax b 0 x 2 x 3 x 2 2 2 2 6. Demuestra que la funcio´n f (x ) 2x 3 5x 2 x 2 corta al eje de abscisas en el intervalo [ 1, 3]. ¿Puede afirmarse lo mismo de la funcio´n g (x ) ? 2x 1 x 2 7. Demuestra que la ecuacio´n 2x 4x 0 tiene, al menos, dos soluciones reales. 8. Demuestra que las gra´ficas de las funciones f (x ) x 3 x 2 y g (x ) 3 cos x se cortan en un punto cuya abscisa pertenece al intervalo [0, 2]. 9. Calcula el valor de k para que la funcio´n f (x ) tenga en x 2 una discontinuidad evitable y x 2 kx 5 x 2 3x 2 escribe, en ese caso, el verdadero valor de la funcio´n en x 2. 10. Construye una funcio´n adecuada para demostrar, por el teorema de Bolzano, que la funcio´n f (x ) x 3 1 toma todos los valores del intervalo [0, 3]. 1. El verdadero valor es f (0) 2, ya que: sen3 x sen x · sen2 x lim lim xA0 tg x sen x xA0 sen x sen x cos x cos x · (1 cos2 x ) lim xA0 1 cos x lim [cos x · (1 cos x )] 2 xA0 2. El verdadero valor es f (0) 3, ya que: x 1 1 lim xA0 x 9 3 ( x 1 1) · ( x 1 1) · ( x 9 3) lim xA0 ( x 9 3) · ( x 9 3) · ( x 1 1) 3 x · ( x 9 3) ( x 9 3) lim lim xA0 x · ( x 1 1) xA0 ( x 1 1) 3. f (x ) (1 x 2) 1 (x 3 x ) lim lim lim xA0 xA0 x xA0 f (x ) (x 2 1) 1 x 3 x lim lim lim xA0 xA0 x xA0 La funcio´n tiene una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 2. 4. La funcio´n es continua en el dominio R {0}; estudiamos el tipo de discontinuidad en x 0. f (x ) ; f (x ) 1 y (x 1) si x 0 2 lim (x 1) · 2 x si x 0 xA0 f (x ) 0, por lo que la funcio´n x 1 lim lim 2 xA0 xA0 2x tiene una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 1 en x 0. 5. Para que la funcio´n sea continua en toda la recta real debe ser continua en x 0 y en x 2: f (0) lim f (x ) lim f (x ) xA0 xA0 b 4 f (0) lim f (x ) 2 xA0 lim f (x ) b xA0 f (2) lim f (x ) lim f (x ) xA2 xA2 f (2) lim f (x ) 2a 4 xA2 lim 2 3 f (x ) xA2 2 2 2 a 1 2 2a 4 2 6. La funcio´n f (x ) 2x 3 5x 2 x 2 es continua y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [ 1, 3], f ( 1) 6 0 yf (3) 14 0; por el teorema de Bolzano, c [ 1, 3] que cumple f (c ) 0. Este razonamiento no es va´lido para la funcio´n g (x ), ya que no es continua en el intervalo [ 1, 3] puesto que no esta´ definida en x 2; sin embargo, se puede observar directamente que la funcio´n corta al eje de abcisas en x [ 1, 3]. 1 2 7. Se considera la funcio´n f (x ) 2x 4x ; esta funcio ´n es continua y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [0, 1]: f (0) 1 f (1) 2 por el teorema de Bolzano, c [0, 1] tal que 2c 4c 0, es decir, c [0, 1] es una solucio´n de la ecuacio´n. Adema´s, f (4) 24 4 · 4 0, por lo que x 4 es otra solucio´n de la ecuacio´n. 8. Sealafuncio´nh(x) f (x) g(x) x3 x2 3 cos x esta funcio´n es continua y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [0, 2]: h (0) 0 h (2) 0 Por el teorema de Bolzano, c [0, 2] que cumple h (c ) 0; es decir, f (c ) g (c ) 0 f (c ) g (c ). 9. Para que exista una discontinuidad evitable: R, y para ello debe anularse el x 2 kx 5 lim xA2 x 2 3x 2 numerador en x 2 22 2k 5 0 k . Para este valor: 9 2 9 5 x 2 x 5 (x 2) · x 2 2 lim lim xA2 x 2 3x 2 xA2 (x 2) · (x 1) 5 x 2 1 lim xA2 x 1 2 que es el verdadero valor de f (x ) enx 2. 10. La funci´on g (x ) x 3 1 c, 0 c 3 es continua en el intervalo [ 1, 2] y toma valores de distinto signo en los extremos: g ( 1) c 0 g (2) 3 c 0 PorelteoremadeBolzano, x0 [ 1,2]quecumple g (x0) 0; es decir, f (x0) c 0 f (x0) c. 1. Estudia la continuidad de f (x ) Wx 3W . 2. Dada la funcio´n f (x ) : (x 1)2 1 x 2 a) Halla sus puntos de discontinuidad. b) Clasifica estas discontinuidades y completa, si es posible, el dominio de f para que sea continua en toda la recta real. 3. Se considera la funcio´n f (x ) : x 2 1 (x 1)2 a) Halla los puntos donde f es discontinua. b) Halla los lı´mites laterales en dichos puntos. c) Indica si se puede completar el dominio de f para que sea continua en toda la recta real. 4. Sea la funcio´n f (x ) . Estudia su continuidad y clasifica sus discontinuidades. 2x si x 1 x 1 si 1 x 2 x 2 3 si x 2 5. Sea f (x ) . Halla el valor de a para que sea continua en todo su dominio de defi x 1 2 si x 3 x 3 a si x 3 nicio´n. ¿Cua´l es este dominio? 6. Sea f (x ) . Halla los lı´mites laterales en los puntos de discontinuidad, si existen, y clasifica x 2 si x 0 x 2 six 0 dichas discontinuidades. 7. Sea la funcio´n f (x ) , sabiendo que f (2) 3 y que es continua en todo su dominio, Lx si 0 x 1 2 ax b si x 1 halla los valores de a y b. 8. Se sabe que la funcio´n f (x ) cumple las siguientes condiciones: x 2 m si 0 x 2 nx 4 si2 x 4 a) f (1) f (3) b) Es continua en el intervalo (0, 4) Con esta informacio´n, halla los valores de m y n. 1. Dada la funcio´n f (x ) 2x 1 1 x a) Halla su dominio. b) Halla sus puntos de discontinuidad y clasifica sus discontinuidades. 2. Halla el valor de a y b para que la funcio´n f (x ) sea continua en toda la recta real. e x a si x 0 ax 2 b si 0 x 2 bx 2 si x 2 x 1 3. Una empresa vende una ma´quina fotocopiadora cuya capacidad de hacer copias por minuto se va deteriorando con el paso de los an˜os, aunque para paliar el problema aconseja hacerle una revisio´n al cabo de 4 an˜os. La funcio´n que, en este caso, da el nu´mero de copias por minuto en funcio´n de los x an˜os transcurridos viene dada por la funcio´n f (x ) 15 2x si 0 x 4 5x 2 si x 4 x 2 a) ¿Cua´ntas copias hace la ma´quina cuando se compra? b) ¿La revisio´n de los 4 an˜os cambia el rendimiento de la ma´quina o no se nota el arreglo? c) Junto con la ma´quina la empresa ofrece una garantı´a de un mı´nimo de 5 copias por minuto por vieja que sea la ma´quina. ¿Es fiable esta garantı ´a? d) ¿Serı´a va´lida la garantı´a si no se pasa la revisio´n? 4. Jose´ comprueba un dı´a que esta´ perdiendo pelo alarmantemente. La funcio´n que determina el nu´mero de pelos que pierde en funcio´n de los dı´as, t, que pasan es f (t ) 57t 30. Al de´cimo dı´a de notar el problema decide ponerle remedio y compra un crecepelo que asegura no solo frenar la caı´da del cabello, sino que su uso prolongado la detiene completamente. Jose´ observa, ahora, que el nu´mero de pelos que pierde varı´a en funcio´n de f (t ) 150t t 10 a) Escribe la funcio´n que describe el proceso de la caı´da de pelo de Jose´. b) ¿Noto´ Jose´ alguna variacio´n el primer dı´a que se echo´ el crecepelo? c) ¿Es cierto que el producto detiene completamente la caı´da del cabello? 5. Demuestra que la funcio´n f (x ) e x x 2 corta a la parte positiva del eje OX. 6. La funcio´n f (x ) tg x toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo , y, sin embargo, no 3 se anula en dicho intervalo. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano? 4 4 7. ¿Se puede utilizar el teorema de Bolzano para asegurar que la ecuacio´n x 24 0 tiene una solucio´n 1 en el intervalo (0, 1)? ¿Y en el intervalo (2, 4)? x 3 8. Considera las funciones f (x ) x 3 y g (x ) x 2 1 a) Representa la funcio´n (g f )(x ) b) ¿Esta´ acotada dicha funcio´n en el intervalo [1, 4]? c) ¿Cua´les son sus ma´ximo y mı´nimo absolutos en este intervalo? 9. ¿Se puede asegurar que la funcio´n f (x ) esta´ acotada en el intervalo [2, 5]? ¿Y en el intervalo [0, 3]?