LÍMITES Y CONTINUIDAD BACHILLERATO RESUELTO PDF

1.Halla los puntos de discontinuidad de la funcio´n f (x ) indicando el tipo de discontinuidad que x 2 2x 3 x 3 presenta en ellos. Indica el salto de discontinuidad o, en su caso, el verdadero valor de la funcio´n en esos puntos. 2. Halla los puntos de discontinuidad de la funcio´n f (x ) indicando el tipo de discontinuidad que x 2 x 6 x 2 x 2 presenta en ellos. Indica el salto de discontinuidad o, en su caso, el verdadero valor de la funcio´n en esos puntos. 
Halla los puntos de discontinuidad de la funcio´n f (x ) indicando el tipo de discontinuidad que x 6 2 x 2 presenta en ellos. Indica el salto de discontinuidad o, en su caso, el verdadero valor de la funcio´n en esos puntos. 4. Estudia la continuidad de la funcio´n f (x ) x 2 2 x 1 2 x 3x 1 x 1 5. Estudia la continuidad de la funcio´n f (x ) 6 x x 2 6 2 x 3 x 2 3 x 3 6. Halla el valor del para´metro a para que la funcio´n f (x ) sea continua en toda la x 3 1 x 1 ax 1 x 1 recta real. 7. Halla el valor del para´metro a para que la funcio´n f (x ) sea continua en x 2 ax a 1 x 2 L(x 1) x 2 toda la recta real. 8. Halla los valores de los para´metros a y b que hacen que la funcio´n f (x ) senx x 0 x 2 ax b 0 x 3 sea continua en toda la recta real. x 9 x 3 9. Comprueba si la funcio´n f (x ) verifica las condiciones del teorema de Weierstrass en el intervalo ex 1 ex 1 [1, 4]. ¿Se puede asegurar que la funcio´n esta´ acotada en ese intervalo? ¿Se puede asegurar que la funcio´n esta´ acotada en todo su dominio? 10. Estudia si la funcio´n f (x ) esta´ acotada en el intervalo [ 2, 2]. x 2 1 2 x 0 2x 1 0 x 2 SOLUCIONES 1. El dominio de f (x) es R {3}. En x 3 tiene una discontinuidad evitable, ya que: f (x ) (x 1) 4 (x 1) · (x 3) lim lim lim xA3 xA3 x 3 xA3 siendo el verdadero valor en x 3: f (3) 4 2. El dominio de f (x) es R { 1, 2}. En x 2 tiene una discontinuidad evitable, ya que: f (x ) (x 2) · (x 3) x 3 5 lim lim lim xA2 xA2 (x 1) · (x 2) xA2 x 1 3 El verdadero valor es f (2) . 5 3 En x 1, f (x ) tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito: lim f (x ) y lim f (x ) xA 1 xA 1 3. El dominio de la funcio´n es [2, ) {6}. En x 6 tiene una discontinuidad evitable: a) ¿Cua´ntas copias hace la ma´quina cuando se compra? b) ¿La revisio´n de los 4 an˜os cambia el rendimiento de la ma´quina o no se nota el arreglo? c) Junto con la ma´quina la empresa ofrece una garantı´a de un mı´nimo de 5 copias por minuto por vieja que sea la ma´quina. ¿Es fiable esta garantı ´a? d) ¿Serı´a va´lida la garantı´a si no se pasa la revisio´n? 4. Jose´ comprueba un dı´a que esta´ perdiendo pelo alarmantemente. La funcio´n que determina el nu´mero de pelos que pierde en funcio´n de los dı´as, t, que pasan es f (t ) 57t 30. Al de´cimo dı´a de notar el problema decide ponerle remedio y compra un crecepelo que asegura no solo frenar la caı´da del cabello, sino que su uso prolongado la detiene completamente. Jose´ observa, ahora, que el nu´mero de pelos que pierde varı´a en funcio´n de f (t ) 150t t 10 a) Escribe la funcio´n que describe el proceso de la caı´da de pelo de Jose´. b) ¿Noto´ Jose´ alguna variacio´n el primer dı´a que se echo´ el crecepelo? c) ¿Es cierto que el producto detiene completamente la caı´da del cabello? 5. Demuestra que la funcio´n f (x ) e x x 2 corta a la parte positiva del eje OX. 6. La funcio´n f (x ) tg x toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo , y, sin embargo, no 3 se anula en dicho intervalo. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano? 4 4 7. ¿Se puede utilizar el teorema de Bolzano para asegurar que la ecuacio´n x 24 0 tiene una solucio´n 1 en el intervalo (0, 1)? ¿Y en el intervalo (2, 4)? x 3 8. Considera las funciones f (x ) x 3 y g (x ) x 2 1 a) Representa la funcio´n (g f )(x ) b) ¿Esta´ acotada dicha funcio´n en el intervalo [1, 4]? c) ¿Cua´les son sus ma´ximo y mı´nimo absolutos en este intervalo? 9. ¿Se puede asegurar que la funcio´n f (x ) esta´ acotada en el intervalo [2, 5]? ¿Y en el intervalo [0, 3]?

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad