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INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Se denomina inecuaciones trigonométricas a toda desigualdad entre funciones trigonométricas que se va o no a verificar para un conjunto de valores de la variable. Si la inecuación se verifica se llamará compatible en caso contrario incompatible CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Ejm : ✵ Senx > Cos2x ✵ Senx + Cosx ≤ 1 ✵ 2 + 3Senx < Cos2x INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (I.T.E) Es toda inecuación trigonométrica que tiene la forma : Ejemplo : ✵ Sen2x > 1 over 2 ✵ Tgfunc { x over 3} ≤ 1 ✵ Secfunc { LEFT (2x~+~pi over 4 RIGHT )}≥ 2 Cosfunc { LEFT (x over 4 ~-~pi over 3 RIGHT )} < sqrt 3 over 2 CASO I Teniendo la I.T.E deberá asumirse la igualdad : F.T (kx + θ) = N En este caso se deberá resolver en los cuadrantes correspondientes para (kx + θ). Deberá ubicarse en la C.T. los arcos hallados anteriormente, para luego representar la F.T. en un intervalo adecuado, donde se satisfacen las desigualdades iniciales. Para la solución general se agregará 2nπ (n ∈ Z) esto en el caso que la inecuación involucre : Sen, Cos, Sec, Csc. Si la inecuación involucra Tg y Ctg, agregaremos nπ RESOLUCIÓN DE UNA I.T.E Ejm 1 Resolver : func { Sen x~> ~1 over 2} Resolución Analizando en la C.T. ➞ Senx = func { L over 2} ➞ func { STACK { ALIGNL ``x ~=~30 °~o~pi over 6 # ALIGNL ``x~=~150 ~ó ~{ 5 pi } over 6}} En la C.T. observamos que : Senx >1 over 2 se resuelve para : C.S func { pi over 6} < x < func { { 5 pi }over 6} La solución general : func { 2k pi~+~pi over 6 ~<~ `x ~<~2 k pi ~+~{ 2 pi } over 3}, k ∈ Z CASO II En el caso de una inecuación trigonométrica no elemental Ejm : Resolver : Senx > Cos2x Para x ∈ ]0; 2π[ Resolución : I. Graficamos : F(x) = Senx ➞ T = 2π G(x) = Cos2x ➞ T = π II. Sombreamos donde F(x) > G(x) III. Para hallar los puntos de intersección se iguala a : F(x) = G(x) Senx = Cos2x ➞ x + 2x = func { pi over 2} ⇒ x = func { pi over 6} ➞ x + 2x = func { { 5 pi }over 2}⇒ x = func { { 5 pi } over 6} ∴func { pi over 6} < x < func { { 5 pi } over 6} En General : func { 2k pi~+~pi over 6 ~<~x~ < ~2 k pi~+~{ 5 pi } over 6} 01. En cada una de las siguientes inecuaciones se indica una solución, marcar lo incorrecto: A) Senx > 1/2 ; x = 3π/4 B) Tgx < 1 ; x = 7π/6 C) |Cosx| < 1/2 ; x = 11π/6 D) |Ctgx| ≥ 1 ; x = 3π/20 E) Sec2x ≥ 2 ; x = 4π/9 02. Si x ∈ < 0 ; 2π > resolver : func{1 over 2} ≤ Senx ≤ func{sqrt 2 over 2} 03. Resolver: func{{(1 + Senx)(1+Cosx)} over {(1 - Senx)(1-Cosx) }} > 0 , n ∈ Z A) ℝ - func{left\{ ` ` {n pi} over 2 right \}} B) ℝ - {nπ} C) ℝ - func{left\{ ` ` (2n+1) pi over 2 right \}} D) ℝ - func{left\{ ` ` (4n+1) pi over 2 right \}} E) ℝ - func{left\{ ` ` (4n-1) pi over 2 right \}} 04. Resolver : 2Sen2x + 3Senx + 1 ≤ 0 ; x ∈ < 0 ; 2π > A) func{{7π} over 6} ≤ x ≤ func{{11π} over 6} B) func{{π} over 6} ≤ x ≤ func{{5π} over 6} C) func{{π} over 3} ≤ x ≤ func{{2π} over 3} D) < π ; 2π > E) < 0 ; π > 05. Resolver : Cos2xCosx < Cos3x A) (4n+1)func{{π} over 2} < x < (4n+3)func{{π} over 2} B) (4n+1)func{{π} over 2} < x < (2n+1)π ∨ (2n+1)π < x < (4n+3)func{{π} over 2} C) (2n-1)func{{π} over 2} < x < 2nπ ∨ 2nπ < x < (2n+1)π D) (4n-1)func{{π} over 2} < x < 2nπ ∨ 2nπ < x < (4n+1)func{{π} over 2} E) (4n+1)func{{π} over 2} < x < 2nπ ∨ 2nπ < x < (4n+3)func{{π} over 2} 06. Resolver: Senx - sqrt 3Cosx > sqrt 3 ; n ∈ Z A) 2nπ + func{{2π} over 3} < x < (2n+1)π B) nπ + func{{2π} over 3} < x < nπ + func{{3π} over 2} C) 2nπ + func{{π} over 3} < x < 2nπ + func{{2π} over 3} D) nπ + func{{π} over 6} < x < nπ + func{{5π} over 6} E) 2nπ + func{{π} over 4} < x < 2nπ + func{{5π} over 4} 07. Resolver en < π ; 2π > Sen2x + sqrt 3Cosx ≥ 0 A) func{{4π} over 3} ≤ x ≤ func{{3π} over 2} ∨func{{5π} over 3} ≤ x < 2π B) func{{3π} over 2} ≤ x ≤ func{{5π} over 3} C) func{{4π} over 3} ≤ x ≤ func{{3π} over 2} D) func{{3π} over 2} ≤ x ≤ func{{11π} over 6} E) < π ; 2π > - func{left\{ ` ` {3 pi} over 2 right \}} 08. Resolver : |2Senx| - 1 > 0 ; 0 ≤ x ≤ 2π 09. Resolver: Tg2x - sqrt 3Tgx > 0 ; 0 ° < x < 180 ° A) 60 ° < x < 90 ° ∨ 90 ° < x < 180 ° B) 30 ° < x < 60 ° ∨ 120 ° < x < 180 ° C) 30 ° < x < 90 ° ∨ 150 ° < x < 180 ° D) 60 ° ≤ x ≤ 90 ° ∨ 120 ° ≤ x < 180 ° E) 45 ° < x < 90 ° ∨ 135 ° < x < 180 ° 10. Resolver: Cosx < Secx ; k ∈ Z 11. Resolver : 3Sen2x - sqrt 3Sen2x > 3Cos2x ; 0 ° < x < 360 ° A) 60 ° < x < 150 ° ∨ 240 ° < x < 330 ° B) 60 ° < x < 180 ° ∨ 240 ° < x < 360 ° C) 30 ° < x < 150 ° ∨ 210 ° < x < 330 ° D) 30 ° < x < 120 ° ∨ 210 ° < x < 300 ° E) 45 ° < x < 135 ° ∨ 225 ° < x < 315 ° 12. Resolver: (Senx + Cosx)2 - 4Cos2 x < 0 ; k ∈ Z A) kπ - ArcTg3 < x < kπ + func{{π} over 4} B) kπ - ArcTg2 < x < kπ + func{{π} over 6} C) 2kπ - ArcTg2 < x < 2kπ + func{{π} over 4} D) 2kπ - ArcTgfunc{{1} over 2} < x < kπ + func{{π} over 6} E) kπ - ArcTgfunc{{1} over 3} < x < kπ + func{{π} over 3} 13. Hallar los valores de x en para los que existe F(x) si: F(x) = func{{1} over {sqrt{1+Senx-2Cos sup 2 x}}}   14. Resolver: func{left\|2 sup {Cos2x} - 3 over 2 right \| ~ ≤ ~ 1 over 2 } ; -π < x < π   15. Si G(x) = Sen4x + Cos4x / func{{1} over 2} ≤ G(x) ≤ func{{5} over 8}, de los intervalos que se indican, cuál no es una solución   16. Resolver: func{{Cos 2 x - Senx} over {Tg LEFT (x over 2 RIGHT ) - sqrt 2}} < 0 , si x ∈ func{ LEFT < 0 17. Para qué valores de x ∈ se cumple : Ctg func{{x} over 2 } > func{{Senx + Cosx} over {Senx}} A) - func{left\{{pi} over 2 right \}} B) func{left\<{pi} over 3 ~ ; ~ {2pi} over 3 right >} C) func{left\<{pi} over 6 ~ ; ~ {5pi} over 6 right \>} D) func{left\<{pi} over 6 ~ ; ~ {2pi} over 3 right >} E) func{left\<{pi} over 3 ~ ; ~ {5pi} over 6 right >} 18. Resolver: Sen4x + Sen3x - Sen2x + Senx - 2 < 0 ; x ∈ 19. Resolver: func{{Sen sup 2 x - 1/4} over {Senx+Cosx+2 } ~ < ~0 ~ ;~ k ` ` ∈ ` ` Z } A) func{ LEFT } B) func{ LEFT } C) func{ LEFT } D) func{ LEFT } E) func{ LEFT } 20. Si F(x) = Senx + Cosx ; resolver en Fˈˈ(x) > F(x) TAREA 21. De la figura adjunta se deduce: (I) ∀ x ∈ [x1 ; x2] ; a ≤ Senx ≤ 1 (II) ∀ x ∈ [x2 ; x3] ; a ≥ Senx ≥ -1 (III) ∀ x ∈ [x3 ; x4] ; 0 ≤ Senx ≤ a A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) II y III 22. Resolver en func{left\<{pi} over 2 ~ ; ~ {2pi} right >} 2Senx < Tgx 23. Resolver : func{{2Tgx - 1} over {Tgx}} < 1 ; n ∈ Z 24. De los intervalos que se indican, cuál no es solución de: func{{Tg sup 2 x - 1} over {sqrt 3Cosx}} < 0 ; 0 ° ≤ x ≤ 360 ° A) 0 ° ≤ x < 45 ° B) 90 ° < x < 135 ° C) 225 ° < x < 270 ° D) 315 ° < x ≤ 360 ° E) 135 ° < x < 225 ° 25. Resolver: ArcSenx - ArcCosx ≤ func{{π} over 2} A) [-1 ; 1] B) C) [-1 ; 1] - {0} D) - {0} E) [-2 ; 2] 26. Si : F(x) = |Senx| y G(x) = 1 + Cosx resolver : F(x) > G(x) ; si : x ∈   27. Resolver : Tg2 + sqrt 3 ≤ (sqrt 3 + 1)Tgx ; x ∈   28. Resolver : func{{2Cos sup 2x - 1} over {2(Senx + Cosx) ~ -~ 5} ~< ~ 0 ~; ~ k ` ∈ Z}   29. Resolver : -1 ≤ Tg(πx) ≤ sqrt 3 ; si x ∈   30. Resolver: |Senx| - |Cosx| > 0 ; x ∈ <-3π ; -2π>