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INDUCCION MATEMATICA PROBLEMAS RESUELTOS Y DEMOSTRACIONES PDF

OBJETIVO : * conocer unos de los métodos más utilizados en la demostraciones de los teoremas matemáticos. Se puede pensar en el método de inducción matemática como en una máquina automática que verifica enunciados, la cual comienza con P(1) y continúa sobre la lista de manera progresiva demostrando cada proposición. Veamos cómo trabaja, encendemos la máquina verificando que P(1) es verdadero . A continuación introducimos P(1) en la máquina. Esta utiliza el hecho de que P(1) es verdadero y automaticamente demuestra que P(2) es verdadero. Entonces tomamos P(2) y lo introducimos en la máquina . De nuevo ella utiliza el hecho de que P(2) es verdadero para obtener la conclusión de que P(3) es verdadero, y así sucesivamente. Observemos que cuando la máquina va a demostrar que P(k+1) es verdadero, ella ya habrá demostrado que P(k) es verdadero (en el paso anterior) Así al diseñar la máquina podemos suponer que P(k) es verdadero, y nuestro trabajo consiste en asegurar que P(k+1) también sea verdadero. No olvidemos que para empezar el proceso, debemos verificar que P(1) sea verdadero. Podemos ahora formalizar el método. La demostración de: P(n) es verdadero para todo por inducción matemática consiste en dos pasos: I) Demostrar la validez del enunciado P(1). II) Suponiendo que el enunciado P(k) es verdadero, demostrar que el enunciado P(k+1) es verdadero. De los pasos (I) y (II) se concluye que la proposición P(n) es válida para cualquier valor de n, entero positivo. Apliquemos este método a la conjetura de nuestro alumno. La proposición a demostrar es P(n) : 1+3+5 +.....+ (2n-1) = n2 , para todo n entero positivo. Verifiquemos la validez de P(1),evidentemente 1=12 Supongamos ahora que la proposición se verifica para un entero positivo k . 1+3+5+7+...+(2k-1)= k2 Si a esta expresión le sumamos a ambos miembros (2(k+1)-1 ) obtenemos: 1+3+5+7+...+(2k-1)+(2(k-1)+1)=k2+2(k+1)-1 1+3+5+7+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k2+2k+1=( k+1)2 Como vemos la proposición P(k+1) también se verifica. Entonces por el método de inducción matemática deducimos que la conjetura del alumno es valida para cualquier entero positivo . Como hemos visto sólo cuando se ha realizado el método de inducción matemática podemos elevar la conjetura al nivel de teorema o propiedad. ACCIDENTES INDUCTIVOS : Sería errado que el alumno plantee la validez del enunciado sólo porque verificó algunos casos particulares , sin embargo la historia de la matemática nos cuenta algunos casos de errores famosos del uso inadecuado del proceso inductivo, por ejemplo consideremos el trinomio n2+n+41, estudiado por Leonhard Euler, si reemplazamos para n = 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 y 10. Obtenemos cada vez un número primo (47;53;61;71;83;97;113;131 y 151 respectivamente) de aquí Euler infirió que al sustituir n por cualquier entero positivo se obtendría un número primo , pero posteriormente observó que con n= 40 , obtenemos 402 + 40 + 41= 1681= 41×41. G.W. Leibniz, eminente matemático alemán del siglo XVII y uno de los fundadores del cálculo, demostró que cualquiera que sea el entero positivo n el número n3-n es divisible por 3, el número n5 –n es divisible por 5 y el número n7 – n es divisible por 7. De aquí supuso que para todo k impar y cualquier n natural el número nk–n es divisible por k, pero pronto observó que 29 –2 = 510 no es divisible por 9. Veamos otro ejemplo de carácter muy instructivo. Si evaluamos 991n2 + 1 para n= 1;2;3... no obtendremos el cuadrado de un número por muchos tiempo que dediquemos a ello . Sin embargo, sería erróneo deducir de aquí que ningún número de este tipo es un cuadrado. Usando un programa de computo podemos encontrar entre los números de tipo 991n2 + 1 cuadrados perfectos; el valor mínimo de n para el cual 991n2 + 1 es un cuadrado es n= 12055735790331359447442538767. Ejemplo 1: Demostrar que para todo n1; 6n es un número que acaba en 6. resolución : * Sea Pn: ‘‘6n acaba en 6’’. * Obviamente P1 es cierto porque 61=6. También lo es P2 pues 62=36 acaba en 6. * Supongamos que Pn es cierto para un valor de n, y probemos Pn+1. Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a +6, con a entero. La hipótesis es, pues, 6n=10a+ 6. Entonces 6n+1 = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3, entero. Esta última escritura prueba que 6n+1 acaba por 6 , o sea que Pn+1 es cierto. * Luego Pn es cierto para todo n1 conclusión : se ha demostrado : La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, la inducción limita la construcción del conjunto : 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también. Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional. observación : Al aplicar el principio de inducción matematica, siempre se siguen dos pasos. 1) Demostrar que P1 es válida . 2) Suponer que Pn es cierta y , a continuación, demostrar que Pn+1 , es cierta también. Con frecuencia , el paso 2 se presto a confusión. Nótese que no se demostróque Pn sea cierta,a excepción de cuando n=1. Lo que se demostró es que si se cumple que Pn es cierta , entonces el enunciado Pn+1 también lo será . La hipotesis de que Pn es cierta se llama hipótesis de inducción.