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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF
















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IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. Ejemplos Identidad Algebraica: (a+b)² = a² + 2ab + b² Identidad Trigonométrica: Sen² + Cos² = 1 Ecuación Trigonométrica: Sen + Cos = 1 Para:  = 90º Cumple Para:  = 30º No cumple 2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas. Se clasifican: • Pitagóricas • Por cociente • Recíprocas 2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS I. Sen² + Cos² = 1 II. 1 + Tan² =Sec² III. 1 + Cot² = Csc² Demostración I Sabemos que x² + y² = r² Sen² + Cos² = 1 l.q.q.d. 2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE I. Tan = II. Cot = Demostración I Tan = L.q.q.d. 2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS I. Sen . Csc = 1 II. Cos . Sec = 1 III. Tan . Cot = 1 Demostración I Sen . Csc = 1 L.q.q.d. Observaciones: Sabiendo que: Sen² + Cos² = 1 Despejando: Sen² = 1 – Cos²  Sen² = (1 + Cos) (1-Cos) Así mismo: Cos² = 1 - Sen²  Cos² = (1 + Sen) (1-Sen) 3. IDENTIDADES AUXILIARES A) Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen² . Cos² B) Sen6 + Cos6 = 1 – 3Sen² . Cos² C) Tan + Cot = Sec . Csc D) Sec² + Csc² = Sec² . Csc² E) (1+Sen + Cos)² = 2(1+Sen)(1+Cos) Demostraciones A) Sen² + Cos² = 1 Elevando al cuadrado: (Sen² + Cos²)² = 1² Sen4 + Cos4 +2 Sen² + Cos² = 1 Sen4+Cos4=1–2 Sen².Cos2 B) Sen² + Cos² = 1 Elevando al cubo: (Sen² + Cos²)3 = 13 Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) (Sen² + Cos²)= 1 Sen6 + Cos6 +3(Sen² + Cos²) = 1  Sen6+Cos6=1-3(Sen².Cos²) C) Tan + Cot = 1 Tan + Cot = Tan + Cot =  Tan + Cot = Sec . Csc D) Sec² + Csc² = Sec² + Csc² = Sec² + Csc² =  Sec² + Csc² = Sec² . Csc² E) (1+Sen + Cos)² = 1²+(Sen)²+(Cos)²+2Sen+2Cos+2Sen.Cos = 1+Sen² + Cos² + 2Sen.2cos + 2Sen.Cos = 2+2Sen + 2Cos + 2Sen.Cos Agrupando convenientemente: = 2(1 + Sen) + 2Cos (1 + Sen) = (1 + Sen) (2 + 2Cos) = 2(1 + Sen) (1 + Cos)  (1 + Sen + Cos)² = 2(1+Sen) (1+Cos) 4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos: 1. Se escoge el miembro “más complicado” 2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general) 3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas. Ejemplos: 1) Demostrar: Secx (1 – Sen²x) Cscx = Cotx Se escoge el 1º miembro: Secx (1-Sen²x) Cscx = Se lleva a senos y cosenos: Se efectúa: = Cotx = Cotx 2) Demostrar: Secx + Tanx - 1 1 + Secx - Tanx = 2Tanx Se escoge el 1º Miembro: Secx + Tanx - 1 Secx – Tanx + 1 = Secx + (Tanx – 1) Secx – (Tanx -1)= Se efectúa (Secx)² - (Tanx - 1)² = (1 + Tan²x) – (Tan²x – 2Tanx + 1) = 1 + Tan²x – Tan²x + 2Tanx - 1 = 2Tanx = 2Tanx 5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAR Ejemplos: 1) Reducir: K = Sen4x – Cos4x + 2Cos²x Por diferencia de cuadrados 1 K = (Sen²x + Cos²x) (Sen²x – Cos²x) + 2Cos²x K = Sen²x - Cos²x + 2Cos²x K = Sen²x + Cos²x K = 1 2) Simplificar: E = E =  E =  E = 0 6. PROBLEMAS CON CONDICIÓN Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones. Ejemplo Si: Senx + Cosx = . Hallar: Senx . Cosx Resolución Del dato: (Senx + Cosx)² = Sen²x + Cos²x + 2Senx . Cosx = 1 2Senx . Cosx = - 1 2Senx . Cosx =  Senx . Cosx = - 7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS La idea central es eliminar todas las expresiones trigonométricas, y que al final queden expresiones independientes de la variable. Ejemplo: Eliminar “x”, a partir de: Senx = a Cosx = b Resolución De Senx = a  Sen²x = a² Sumamos Cosx = b  Cos²x = b² Sen²x + Cos²x = a² + b² 1 = a² + b²