Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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HABILIDAD OPERATIVA EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF


















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En este capítulo se proporciona al estudiante una técnica que le permita efectuar operaciones aritméticas con mayor rapidez que lo común, para lo cual se ha recopilado una serie de situaciones en las que hay que operar con números enteros, con números decimales, con expresiones algebraicas; abarcando además de las cuatro operaciones fundamentales, la potenciación y la radicación. Queda sobreentendido el conocimiento básico de dichas operaciones. CALCULO RÁPIDO CON ENTEROS Ejm. 1: Si se sabe que: 5x6x7x8x9x10x11x12 = 19958400 ¿Cuál es el valor de: 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 ? Solución: No se trata de multiplicar todos los números, sólo hay que notar entre otras cosas, que el primer producto tiene el factor 12, el cual no aparece en el Segundo Grupo y este tiene el factor 4 en lugar de 12. Podemos decir que como 4 es la tercera parte de 12, el producto que se está buscando es la tercera parte del primero.  4 x 5 x ... x 10 x 11 = 19958400  3 = 6652800 Ejm. 2: ¿Cuánto se obtiene al efectuar esta operación? 123x366+177x134+123x134+177x366 Solución: Agrupando el primer y el tercer producto se obtiene: 123 x (366+134) = 123 x 500 Agrupando ahora el segundo y el cuatro producto se obtiene: 177 x (134+366) = 177 x 500 Procedemos igual con los productos obtenidos: 123x500+177x500 = (123+177) 500 = 300 x 500 = 150000 II. OPERACIONES Y TÉCNICAS ALGEBRAICAS Ejm. 3: El número N=248-1, es exactamente divisible por dos números que están comprendidos entre 60 y 70. ¿Cuál es la suma de estos números? Solución: Del álgebra elemental sabemos que a2-b2 = (a+b)(a-b) y al aplicar transformaciones sucesivas de este tipo al número N tendremos: N = 248 – 1 = (224-1)(224+1) =( 212 – 1) (2 12+1) (224+1) = (26 – 1) (26 + 1) (212+1) (224+1) N = (63)(65)(212+1)(224+1) De este resultado vemos que N es divisible por 63 y 65, los cuales se encuentran comprendidos entre 60 y 70, y que nos piden sumar. Luego: 63+65=128 Ejm. 4: Hallar la raíz cuadrada de: x: x = - Solución: x2 = ( ) 2 – 2 ( ) ( ) + ( ) 2 = 3+2 - 2 – (2 ) 2 + 3- 2 = 6 – 2 = 4 x2 = 4  x = 2  = III. INDUCCIÓN MATEMÁTICA Tenemos que observar los casos en las cuales una ley de formación se cumple. CASO III.1 Cuando elevamos al cuadrado un numeral formado únicamente por cifras 3,6 ó 9. 2 cifras  (33)² = 1089  Suma de cifras = 18 = 9 (2) 3 cifras  (333)² = 110889  Suma de cifras = 27 = 9 (3) 4 cifras  (3333)² = 11108889  Suma de cifras = 36 = 9 (4) 5 cifras  (33333)² = 1111088889  Suma de cifras = 45 = 9 (5) : : n cifras  (3...33)² = 11..11088...889 (n-1) (n-1) cifras cifras  Suma de cifras = 9 n 2 cifras  (66)² = 4356  Suma de cifras = 18 = 9 (2) 3 cifras  (666)² = 443556  Suma de cifras = 27 = 9 (3) 4 cifras  (6666)² = 44435556  Suma de cifras = 36 = 9 (4) 5 cifras  (66666)² = 4444355556  Suma de cifras = 45 = 9 (5) : n cifras  (66..66)² = 44...44355...556 (n-1) (n-1) cifras cifras  Suma de cifras = 9 n 2 cifras  (99)² = 9801  Suma de cifras = 18 = 9 (2) 3 cifras  (999)² = 998001  Suma de cifras = 27 = 9 (3) 4 cifras  (9999)² = 99980001  Suma de cifras = 36 = 9 (4) 5 cifras  (99999)² = 9999800001  Suma de cifras = 45 = 9 (5) : n cifras  (99..99)² = 99...99800...001 (n-1) (n-1) cifras cifras  Suma de cifras = 9 n En general observamos que al elevar al cuadrado un número formado por cifras 3,6 ó 9, siempre en el resultado se observará que: Suma de cifras = 9n Número de cifras = 2n Donde “n” es igual al número de cifras al número de cifras del número que vamos a elevar al cuadrado. Ejm. 5: Hallar la suma de cifras de “W” si: W = (1077...777 – 77...778)² 79 cifras 77 cifras Solución: Observaremos que como el sustraendo tiene 2 cifras menos que el minuendo estará dos lugares a la derecha de éste. 79 cifras 1077....777- 77....778 999....999 78 cifras W = (99...99)² ; n = 78 78 cifras  Suma de cifras = 9(78) = 702 CASO III.2 Cuando tengamos un numeral formado únicamente por cifras 1: 2 cifras  (11)² = 121  Suma de cifras = 4 = 2² 3 cifras  (111)² = 12321  Suma de cifras = 9 = 3² 4 cifras  (1111)² = 1234321  Suma de cifras = 16 = 4² 5 cifras  (11111)² = 123454321  Suma de cifras = 25= 5² : : n cifras  (111...11)² = 12...n...21  Suma de cifras = n² ; n < 10 “n” tiene que ser como máximo “9” puesto que es el mayor valor que puede tomar una cifra. Además los números que se forman son números capicúas; es decir números en las cuales las cifras que equidistan de los extremos son iguales y por lo tanto se pueden leer indistintamente de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Ejm. 6: Hallar el valor de “W” si: Solución: Operando primero la cantidad subradical: 10305050301+ 2040604020 12345654321 Observamos que este número es el desarrollo de: 12345654321=(111111)² W = = 111111 CASO III.3 Veamos que sucede con un número que termina en cifra 5 cuando se eleva al cuadrado: (15)² = 225 = (25)² = 625 = (35)² = 1225 = : (85)² = 7225 = : (115)² = 13225 = En general veremos que todo número que termina en cifra 5 al elevarse al cuadrado va a terminar en 25 y las otras cifras serán igual al producto de las cifras que no son 5 por el número consecutivo: Ejm. 7: Hallar “m+n” si: (1 x 3 x 5 x 7 x...)² = Solución: Observaremos que lo que esta elevado al cuadrado es un número formado por factores impares, siendo uno de los factores el número 5. Además recordemos que: Par x N = Par Sin importar si N es par o impar Impar x Impar = Impar También sabemos que al multiplicar un número por otro que termina en cifra 5 se observa: Par x (....5) = ...0 Impar x (....5) = ...5 Entonces: (1x3x5x7x...)²=(...5)²=...25 = Por lo tanto : m = 2 ; n = 5  m + n = 7 CASO III.4 Ahora veamos que sucede cuando multiplicamos 4 números consecutivos y le agregamos la unidad. Por ejemplo: 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25 (1 x 4 + 1)² = 5² = 25 2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 121 (2 x 5 + 1)² = 11² = 121 3 x 4 x 5 x 6+ 1 = 361 (3 x 6 + 1)² = 19² = 361 En general diremos que si operamos: n(n+1)(n+2)(n+3)+1= n(n+3)+1² Ejm. 8: Hallar la suma de cifras de “M” si: M = Solución: Operando: M = M = 10300 + 1 = 10301 Suma de cifras de M es: 1 + 0 + 3 + 0 + 1 = 5 CASO III.5 También tenemos el caso del producto de dos números formados por la misma cantidad de cifras 9 y las cifras de las unidades suman 10. Además a + b = 10 Ejm. 9: Hallar el resultado de “P” si: P = (999997) (999993) Solución: Suman 10 P = (999997) (999993) = 999990000021 Igual cantidad de cifras “9” IV. CIFRAS TERMINALES Se llama así a la cifra de las unidades, después de efectuar diferentes operaciones, lo cual sólo se realiza con las cifras de las unidades. Ejm. 10: Hallar la cifra de las unidades al efectuar: a. (21438) + (43156) – (3142) = (...8) + (...6) - (...2) = ...2 b. (31437) (83473) (21319) = (...7) (...3) (...9) = ...9 (...1) (...9) c. (43173)3 = (...3)3 (...3) (...3) (...3) = ...7 (...9) (...3) En la división, ni en la radicación se puede determinar la cifra terminal; pero en la potenciación vamos a observar que: * Cuando elevamos a cualquier potencia un número que termina en 0, 1, 5 ó 6, el resultado terminará en la misma cifra: (...0)n = ....0 (...1)n = ....1 (...5)n = ....5 (...6)n = ....6 Ejm. 11: Hallar la cifra terminal de: P = Solución: Operando las cifras terminales: P = (...9)+(...9)-(...2) P = ...6 Un número que termina en 6 al elevarse a cualquier potencia termina en 6, por lo tanto: P = ...6 = 6 * También observaremos que sucede cuando el número termina en cifra 4 ó 9 y lo elevamos a cualquier potencia: (...4)²=(...4)(...4)=....6 (...4)3=(...4)(...4)(...4)= ....4 (...4)4=(...4)(...4)(...4)(...4)= ....6 (...4)5=(...4)(...4)(...4)(...4)(...4)=...4 Por inducción vemos que cuando: Si, n es impar  ...4 (...4)n Si, n es par  ...6 Ahora veremos cuándo termina en 9: (...9)²=(...9)(...9)=....1 (...9)3=(...9)(...9)(...9)= ....9 (...9)4=(...9)(...9)(...9)(...9)= ....1 (...9)5=(...9)(...9)(...9)(...9)(...9)=...9 Por inducción vemos que cuando: Si, n es impar  ...9 (...9)n Si, n es par  ...1 Ejm. 12: Hallar la cifra terminal de: A = (21474)1217 + (32879)3146 Solución: (21474)1217 = (...4)IMPAR = ...4 (32879)3146 = (...9)PAR = ...1 Entonces: A = (...4) + (...1) = ...5 * Pero también tenemos que un número puede terminar en 2,3,7 ú 8. En esos casos dividiremos el exponente entre 4 y si el residuo es 1,2 ó 3 la cifra terminal de la base se multiplica dicha cantidad de veces; pero si la división es exacta entonces la cifra terminal se multiplica por si misma 4 veces. Observación Sólo es necesario dividir las 2 últimas cifras del exponente. Ejm. 13: Hallar la cifra terminal de: A = (2143)4375 B = (3148)7473 C = (31427)2148 D = (21422)4314 Solución: * A = (2143)4375 = (...3)75 Dividiendo: 75 4 35 18 3  residuo  la cifra terminal (...3) se repite 3 veces A = (...3) (...3) (...3) = ...7 3 veces * B = (3148)7473 = (...8)73 Dividiendo: 73 4 33 18 1  residuo  la cifra terminal (...8) se repite 1 vez B = (...8) = ...8 1 vez * C = (31427)2148 = (...7)48 Dividiendo: 48 4 -8 12 0  residuo  la cifra terminal (...7) se repite 4 veces C = (...7) (...7) (...7) (...7) =...1 * D = (21422)4314 = (...2)14 Dividiendo: 14 4 3 2  residuo  la cifra terminal (...2) se repite 2 veces D = (...2) (...2) =...4 PROBLEMAS PARA DESARROLLAR EN CLASE 01. Hallar la suma de las cifras del resultado: A = Rpta. ................................... 02. Hallar la suma de las cifras al resolver: B = ( 111 ...... 1 ) 2 9 cifras Rpta. ................................... 03. Hallar la suma de las cifras del resultado: C = ( 6666 .....6)2 (n-1) cifras Rpta. ................................... 04. Hallar la suma de las cifras al resolver: D = 999952 + 9999952 + 99999952 Rpta. ................................... 05. Resolver: E = Rpta. ................................... 06. Hallar la suma de las cifras del resultado: F = 555......5 x 999..... 9 40 cifras 40 cifras Rpta. ................................... 07. Hallar la suma de las cifras del resultado: G = 727272... 72 x 999 ... 9 100 cifras 150 cifras Rpta. ................................... 08. Hallar la cifra terminal al desarrollar: H = (2+1)(22+1)(23+1)...(2700+1) Rpta. ................................... 09. Si: Hallar: “a x b” Rpta. ................................... 10. Si: (ab5)2 + (cd5)4 + (ef5)6 = ... MP Hallar: (M+P) Rpta. ................................... 11. Calcular: E = 4 – 4 + 4 – 4 + ........ Rpta. ................................... 12. Hallar la cifra terminal al desarrollar: E = 227 218 Rpta. ................................... 13. Si: abcd x 9999999 = ....... 3518 Calcular: a+b+c+d Rpta. ................................... 14. Hallar la suma de las cifras al resolver: E = 9999999998 x 9999999992 Rpta. ................................... 15. Hallar “x”, si (4747)278.(12389)6001+(888)243–(256)199 =....x Rpta. ................................... 16. Hallar: T0C + T0C + ENTRE , Si: T0C x T0C = ENTRE En el cual 0 = cero y letras diferentes, tienen valores diferentes Rpta. ................................... 17. Si: 999999 x 5678 = .......... abcd Hallar: a + b + c + d Rpta. ................................... 18. Si: (a+b+c)2 = 441 Hallar: abc + bca + cab Rpta. ................................... 19. Hallar la suma de las cifras de “R” R = (1030 +1)(1030-1) Rpta. ................................... 20. Siendo a,b y c cifras; hallar “b+c” si: (a+b+c)² = a25 Rpta. ................................... HABILIDAD OPERATIVA 1. En cuántos ceros termina 60! A) 9 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN Total 14 ceros RPTA.: E 2. Calcular: si se cumple que: A) B) C) D) E) 10 RESOLUCIÓN # ceros que ya aparecen: 4 Total de # factores 5  6 ceros=10 Luego: U + N + I + S = 0+ 0 + 0 + 0=0 RPTA.: E 3. Calcule la cifra de unidades que se obtiene al efectuar: A) 6 B) 4 C) 2 D) 8 E) 0 RESOLUCIÓN 0! 1 0! 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 6040 8! = 40320 9! = ……..0 100!=……0 …..4  Impar RPTA.: B 4. ¿Cuál es la cifra de unidades de: t sí: ; donde: : números de Fermat A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 1 RESOLUCIÓN Desarrollando la sumatoria  5 . . . . . . La cifras de unidades: 5 + 19 (7) = …..8 133 138 Luego: S = ……8 Pero: Luego: RPTA.: C 5. Hallar la cifra de unidades que resulta al efectuar A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6 RESOLUCIÓN Luego: T= …..1 + ….3 T = ……4 RPTA.: B 6. Indique la suma de las cifras del resultado de efectuar: 100 cifras 100 cifras A) 339 B) 449 C) 545 D) 454 E) 454 RESOLUCIÓN Por diferencia de cuadrados :R 1000000…….0000 x 090909…….0908 Se obtiene: 000……..….00 100 cifras 100 cifras  Suma de cifras: 49 x 9 + 8 = 449 o también S = 50 x 9 -1 = 449 RPTA.: B 7. Indique el valor numérico de A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN ; Por diferencia de cuadrados.  A . B = 1  5 = 5 RPTA.: E 8. Indique la suma de las cifras del resultado de efectuar: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 60 RESOLUCIÓN = D.C. = = 40000 cifras = 4 RPTA.: A 9. Reducir: A = A) B) 4 C) 9 D) 2 E) 1 RESOLUCIÓN Aplicando: Legendre Luego: RPTA.: E 10. Si: Indique la suma de las cifras de: A) B) 125 C) 1 D) E) 24 RESOLUCIÓN  Aplicando Legendre:  Se pide: 1 + 0 + 0 +…+ 0 = 1 RPTA.: C 11. Después de efectuar: 9876543210 x 9999999999 Indique la raíz cuadrada de la suma de las cifras del producto disminuida en nueve. A) 10 B) 11 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN 9876543210 x (10000000000 - 1) 98765432100000000000 9876543210 98765432090123456790 Suma de cifras = 90 Se pide : RPTA.: E 12. Si se cumple Halle: A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 11 RESOLUCIÓN 2187000000 x = 5 y = 1 z = 6 Se pide: RPTA.: C 13. Después de efectuar: Indique la raíz cuadrada de la suma de las cifras del resultado. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN Si: Luego: Se pide: RPTA.: C 14. Si: 8 términos 50 veces 256 términos 15 veces Calcule: Luego indique la suma de las cifras del resultado A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 RESOLUCIÓN Se pide: 6 + 4 = 10 RPTA.: C 15. Calcule: Si: x = – 2 y = -1 A) 0,1 B) 0,4 C) 0,8 D) 0,9 E) 1 RESOLUCIÓN Luego: RPTA.: C 16. Si el inverso multiplicativo de es ; halle el opuesto de b; si: A) c B) 2 c C) 2b+c D) c-a E) 1 RESOLUCIÓN por ser inversos b = - c Se pide: - b = c RPTA.: A 17. Si el reciproco de es , cuál será el inverso multiplicativo del opuesto de (b + c)? Si: , A) 1 B) - 1 C) - a D) E) RESOLUCIÓN Luego: b + c + 1 = 0 b + c = - 1 El opuesto: - (b + c) = 1 El inverso : RPTA.: A 18. Después de efectuar: Se obtiene: A) B) C) D) E) 1 RESOLUCIÓN RPTA.: A 19. Si: x = 10000001 Indique la suma de las cifras del resultado de A) 256 B) 156 C) 61 D) 126 E) 216 RESOLUCIÓN 16 14 cifras Se pide la suma de las cifras: 14 (9) = 126 RPTA.: D 20. Reducir: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN Recordar: Luego: RPTA.: D 21. Halle la suma de las cifras del resultado: 666………...666 + 888………..88 40 cifras 30 cifras A) 240 B) 230 C) 220 D) 210 E) 200 RESOLUCIÓN 10 cifras 30 cifras 666…..666…..66 88 ….88 666…..755 54   = 10 (6) + 1 + 5 (30) - 1  = 60 + 150 = 210 RPTA.: D 22. Halle la suma de las cifras del resultado de efectuar: 121 cifras A) 14 B) 12 C) 9 D) 7 E) 525 RESOLUCIÓN  suma cifras = 9 suma cifras =9 s.cifras=9 s.cif= 9 121 cifras RPTA.: C 23. Halle la suma de las cifras del resultado de efectuar: 20 cifras A) 187 B) 188 C) 180 D) 178 E) 175 RESOLUCIÓN . . . 20 cifras 19 cifras 19 cifras   cifras = 9(19) + 2+ 5 =178 RPTA.: D 24. Halle la suma de las cifras del resultado de efectuar: 30 cifras A) 290 B) 280 C) 275 D) 270 E) 250 RESOLUCIÓN  s. cifras = 9 s. cifras = 2(9)=18 s. cifras= 3(9)=27 . . . s.cifras= 30 cifras RPTA.: D 25. Halle la suma de las cifras del resultado: 20 cifras A) 120 B) 124 C) 126 D) 128 E) 130 RESOLUCIÓN  suma cif=2(6)=12 suma cif=4(6)=24 s.cif = 6(6)=36 . . . s.cif=20(6)=120 20 cifras RPTA.: A 26. Halle la suma de las cifras del resultado de efectuar: 111 cifras A) 111 B) 333 C) 999 D) 81 E) 9 RESOLUCIÓN Por propiedad; suma de cifras: 111 (9) = 999. RPTA.: C 27. ¿Cuál es el menor Z+ por el cual se debe multiplicar a 11025 para que el producto sea un cubo perfecto? A) 15 B) 35 C) 21 D) 75 E) 105 RESOLUCIÓN  x = 105 RPTA.: E 28. Si: Indique la suma de las cifras del resultado de efectuar. A) 32 B) 34 C) 35 D) 37 E) 40 RESOLUCIÓN x 975 650 1625 169975 Se pide: RPTA.: D 29. Indicar la cifra de unidades del producto 67891 cifras A) 1 B) 3 C) 9 D) 7 E) 4 RESOLUCIÓN Equivale a la cifra de unidades de: RPTA.: D 30. Indique la cifras de unidades del producto 5555 cifras 4444 cifras A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 2 RESOLUCIÓN La cifra de unidades es equivalente a: = …6 RPTA.: C 31. La suma de dos números es cuatro, y cuatro veces su producto es 15. Halle la diferencia de sus cuadrados. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN Sean los números: x e y x + y = 4 4x . y = 15 Se pide: ..(I) Legendre: En (I) RPTA.: C 32. La suma de dos números es dos y dos veces la suma de sus cuadrados es 68. Halle la diferencia de sus cuadrados. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN Sean los números x e y x + y = 2 Se pide: ..(I) Legendre En (I) RPTA.: D 33. Si se cumple: Indique el mínimo valor de: A) 0,5 B) 0,25 C) 2 D) 4 E) 1 RESOLUCIÓN Triángulos de Pascal Se pide: ó RPTA.: B 34. ¿ Cuál es el mínimo valor de: A) 2 B) 1 C) 8 D) 64 E) 128 RESOLUCIÓN  RPTA.: D 35. Si: n = 444, calcule el valor de: A) 2 B) 20 C) 200 D) 2 000 E) 20 000 RESOLUCIÓN RPTA.: C 36. Si n = 222, calcule: A) 3 B) 8 C) 100 D) 256 E) 243 RESOLUCIÓN RPTA.: A 37. Después de efectuar: 40 cifras Indique la suma de las cifras que ocupan el lugar 40 y 41 del desarrollo. A) 13 B) 4 C) 5 D) 6 E) 11 RESOLUCIÓN 4 cif 4 cif 3 cif . . . 40 cif 40 cif 39 cif Se pide: 1 + 5 = 6 RPTA.: D 38. Calcule: A) B) 8 C) 3 D) 12 E) 1 RESOLUCIÓN Por partes: Z = 12  RPTA.: D 39. Calcule: Nota: Los dos factores del radicando tienen 20 cifras A) 10 B) C) D) E) 7 RESOLUCIÓN RPTA.: A 40. Halle el valor de: A) B) C) D) 1111111 E) 11111 RESOLUCIÓN RPTA.: C