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GEOMETRIA EJERCICIOS DEL SEGUNDO BIMESTRE DE CUARTO DE SECUNDARIA EN WORD

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DEFINICIÓN DE POLIGONOS: Es la porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada, las cual recibe el nombre de “Contorno” del polígono. La longitud total del contorno de un polígono recibe el nombre de “perímetro”. II. ELEMENTOS DE UN POLIGONO: Los elementos de un polígono son: ● LADOS: son los segmentos que lo limitan. ● Vértice: (A, B ,C, etc) son la intersecciones de dos lados consecutivos, el número de lados es igual al número de vértices. ● Ángulos interiores: (1, etc) son los ángulos formados por dos lados consecutivos. ● Ángulos Exteriores: (1, etc) son los ángulos formados en un vértice por un lado y prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores. ● Diagonales: son las líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos. III. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS: Los polígonos s e clasifican según los siguientes criterios. A. Por la forma de su contorno: Convexo: Son aquellos polígonos que en los que cualquier recta secante determina a lo más, dos puntos de corte. En un polígono convexo, todos los ángulos internos son convexos. CONCAVO: Son aquellos polígonos en los que una recta secante puede determinar más de dos puntos de corte. En un polígono cóncavo existe sal menos un ángulo interior cóncavo. EQUILATERO: Son aquellos polígonos que tiene todos sus lados iguales. EQUIANGULOS: Son aquellos polígonos que tienen todos sus ángulos iguales. REGULARES: Son aquellos polígonos que tiene sus ángulos y sus lados iguales entre sí. En consecuencia, los polígonos regulares son a la vez: convexos, equiláteros y equiángulos. Todo polígono regular es inscriptible y circunscriptible a una circunferencia. IRREGULARES: Son aquellos polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales. B. Por el número de lados: Triángulos : 3 lados Cuadriláteros : 4 lados Pentágonos : 5 lados Hexágono : 6 lados Heptágono : 7 lados Octágono : 8 lados Nonágono : 9 lados Decágono : 10 lados Endecagono : 11 lados Dodecágono : 12 lados Pentadecágono : 15 lados Icoságono : 20 lados III. PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS: a) Propiedades generales de los polígonos: 1. La suma “S” de los ángulos interiores de un polígono (convexo y cóncavo) de “n” lados, es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono. 2. La suma “S” de los ángulos exteriores de un polígono (convexo o cóncavo) de “n” lados, es igual a 360º. 3. El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono es igual al número de lados menos tres. 4. El número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono es: b) Propiedades de los polígonos regulares. 1. El valor de un ángulo interior “” de un polígono regular de “n” lados es: 2. El valor del ángulo exterior “” de un polígono regular de “n” lados es: 3. La suma de los ángulos centrales de un polígono regular es igual a 360º. 4. El valor de un ángulo central de un polígono regular es igual a: PRACTICA DE CLASE 01. ¿En qué polígono de diagonales es igual al número de lados.? a) hexágono b) Pentágono c) octágono d) cuadrilátero e) triangulo 02. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados? a) 138° b) 160° c) 120 d) 118° e) 145° 03. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo en el cual, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 5 veces la suma de las medidas de los , exteriores? a) 10 b) 11 c) 12 d) 5 e) 6 04. La suma de las medidas de los ángulos internos de cierto polígono regular excede a la suma de los externos en 900° ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 16 b) 18 c) 9 d) 12 e) 5 05. El número de diagonales de un polígono regular, es igual a la suma del número de ángulos centrales. Hallar el número de lados de dicho polígono. a) 5 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 06. En un polígono regular se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcular el número total de diagonales.. a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56 07. En un polígono regular la suma de las medidas de sus ángulos internos más la suma de las medidas de sus ángulos centrales es 1260°. Calcular el número de vértices. a) 9 b) 12 c) 4 d) 5 e) 6 08. En un heptágono, tres de sus ángulos interiores miden 120° cada uno- Calcular la medida de los otros cuatro ángulos sabiendo que son congruentes. a) 130| b) 120° c) 115° d) 135° e) 155° 09. Si la medida del ángulo central de un polígono regular es numéricamente igual al número de diagonales de un octágono. Calcular la medida del ángulo interior del polígono. a) 120° b) 150° c) 60° d) 160° e) 80° 10. ¿Cuál es el polígono regular en el cual al aumentar en 3 su número de lados, la medida de su ángulo exterior disminuye en 27? a) 6 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 11. ¿Cuál es el polígono convexo en el que al duplicarse el número de lados la suma de los ángulos internos se cuadruplica? a) triángulo b) cuadrado c) heptágono d) Hexágono e) Eneágono 12. La diferencia de los ángulos interiores de los polígonos regulares es 15°. Hallar en cuanto difieren sus ángulos centrales. a) 20° b) 50° c) 30° d) 15° e) 60° 13. Calcular el número de lados de un polígono si desde 3 vértices consecutivos se trazan 140 diagonales. a) 25 lados b) 70 lados c) 50 lados d) 55 lados e) 75 lados 14. La diferencia entre el número de lados de dos polígonos regulares es 2; y los ángulos centrales difieren en 15°. ¿Cuántos lados tiene el polígono de mayor número de lados? a) 6 b) 7 b) 8 d) 9 e) 10 15. Se tiene 2 polígonos regulares en donde el número de diagonales difieren en 4 y sus ángulos exteriores están en la relación de 5 a 6. Hallar el número de lados del polígono mayor. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11 EJECICIOS PROPUESTOS N° 01 01. El número de diagonales de un polígono convexo es el doble que su número de lados. Calcular la suma de sus ángulos internos. a) 540° b) 720° c) 900° d) 1080° e) 1360° 02. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que si su número de lados aumenta en 8 su número de diagonales aumenta en 52? a) 45 b) 6 c) 12 d) 14 e) 8 03. ¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene 119 diagonales? a) 12 b) 15 c) 17 d) 18 e) 19 04. El número de lados de un polígono es igual a la mitad del número de diagonales. ¿Cuál es el número de lados? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 05. ¿En que polígono, el número de diagonales es igual al número de lados? a) Hexágono b) Pentágono c) Octágono d) Cuadrilátero e) N.a 06. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono de 18 lados? a) 120° b) 160° c) 118° d) 145° e) 138° 07. Los ángulos internos de un pentágono convexo tiene por medidas números consecutivos, expresados en grados sexagesimales. Hallar la medida menor. a) 108° b) 105° c) 107° d) 106° e) 109° 08. Hallar el número de diagonales de un decágono. a) 24 b) 32 c) 42 d) 36 e) 35 09. Hallar el número de diagonales de un polígono convexo cuyo ángulo interiores suman 900° a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 10. Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus ángulos internos y externos es 3960°. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 11. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígonos que tiene tantas diagonales como números de lados. a) 540° b) 480° c) 610° d) 720° e) 700° 12. ¿Cuál es el polígono convexo en que el número de lados es igual a 1/3 del número de diagonales? a) 9 b) 8 c) 7 d) 12 e) N.a 13. ¿Cuál es el polígono convexo sabiendo que su número de diagonales es el triple del número de lados? a) 12 b) 9 c) 85 d) 10 e) N.a 14. ¿Cuál es el polígono convexo sabiendo que el número de lados y el número de diagonales están en la relación de 2 a 25? a) Polig. 28 lados b) Icoságono c) Polig. 28 lados d) Decágono e) N.a 15.¿Cuál es el polígono convexo, sabiendo q ue la suma del número de lados más el número de diagonales es igual a 91? a) Polígono de 14 lados b) Polígono de 18 lados c) Polígono de 16 lados d) Polígono de 26 lados e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01. En un polígono rectangular, el doble del número de diagonales es el quíntuplo del número de lados. La medida de si ángulo interno es: a) 115° b) 120° c) 125° d) 130° e) 135° 02. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en que el número de diagonales es mayor en 133 al número de lados? a) 19 b) 23 c) 16 d) 24 e) 5 03. La suma de los ángulos de cierto polígonos regular excede a la suma de los ángulos externos en 900° ¿Cuántos lados tiene le polígono? a) 16 b) 18 c) 9 d) 12 e) 5 04. ¿En que polígonos se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 7? (Dar el número de lados). a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 13 05. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3° mayor que cada ángulo del original ¿Cuántos lados tiene el polígono original? a) 25 b) 27 c) 20 d) 16 e) 30 I. DEFINICIÓN: Se denomina triángulo a una región del campo plano limita por tres rectas que se cortan dos a dos. En general el triángulo se denota como: ∆ABC. II. ELEMENTOS: Los elementos de un triangulo son : ● Vértice: Son los extremos comunes A, B, C de los segmentos rectilíneos que forman el triangulo ABC. ● Lados: Son los segmentos limitados por los vértices A, B, C. ● Ángulos interiores: ( ) son los ángulos formados por los lados y el vértice común. ● Angulo Exteriores: Son los ángulos que se forman mediante un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente ( ). Perímetro: Se denomina perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus tres lados. El perímetro se denota por el símbolo “2p”. Asi: III. CLASIFICACIÓN: Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. A. Según sus lados: Equilátero: son los triángulos que tiene sus tres lados congruentes. Isósceles: Son los triángulos que tiene dos lados congruentes. El lado desigual se llama base. Escaleno: Son los triángulos que tienen sus tres lados desiguales. IV. COMPONENTES DE UN TRIANGULO: Son los componentes fundamentales de un triangulo son: sus tres lados y sus tres ángulos. Además de estos componentes fundamentales mencionaremos los siguientes: ALTURAS: De un triangulo son los segmentos de perpendicular trazos de cada vértice a la recta que contiene el lado opuesto. En la figura: las alturas son ; a la altura se le llama altura donde A o altura correspondientes a lado BC; en forma similar se denominan a las alturas trazadas desde los otros vértices. Las tres alturas de un triángulo o sus prolongaciones se cortan en un punto, llamado ortocentro. MEDIDAS: De un triangulo son los segmentos que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. En la figura: son las medianas del triángulo SBC R, P y Q son los respectivos puntos medios de los lados . Las tres medianas de un ángulo se cortan en un punto llamado baricentro. BISECTRIZ: De un triángulo es la bisectriz de cada uno de sus ángulos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un llamado Incentro. MEDIATRIZ: De un triángulo es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado. Circuncentro. PRACTICA DE CLASE 01. De las siguientes afirmaciones, marca con una “V” lo verdadero y con una “F” lo falso. I) Triángulo escaleno: lados diferentes longitudes. II) Triángulo Isósceles: si sus tres lados son de igual longitud. III) Triángulo Equilátero: si tiene dos lados de igual longitud. a) VVV b) FVV c) FVF d) VFF e) FFF 02. De las afirmaciones ¿Cuáles son verdaderas y cuales falsas? a) Triangulo acutángulo: si sus lados tres ángulos interiores son agudos. b) Triángulo obtusángulo: si tiene ángulo obtuso. c) Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo recto. a) VVV b) FVF c) VFV d) FFV e) N.a 03. Señalar el lado mayor del triángulo PQR mostrado. a) b) c) d) F.D e) N.a 04. Hallar ““. a) 11º b) 16º c) 15º d) 10º e) 9º 05. En la figura hallar a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 06. En la figura que se muestra. Calcular ““: a) 20º b) 50º c) 30º d) 60º e) 80º 07. 1. Ángulos iguales a) isósceles 2. Ángulos diferentes b) equilátero 3. Dos Ángulos iguales c) escaleno Marca la alternativa correcta: a) 1b,2c,3a b) 1c,2b,3a c) 1b,2a,3a d) 1a,2b,3c e) 1c,2a,3b 08. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en la porción de 4, 6 y 8. Calcular el menor de los ángulos interno de dicho triángulo. a) 60º b) 40º c) 80º d) 90º e) 50º 09. Un triángulo tiene por los lados 3 y 7 cm, si el tercer lado del triángulo mide el triple de uno de ellos, hallar el perímetro del triángulo. a) 31cm b) 19cm c) 30 cm d) 31 ó 19cm e) F.D 10. La suma y diferencia de dos ángulos de un triángulo son 100º y 40º respectivamente. Hallar el tercer ángulo de dicho triángulo. a) 30º b) 90º c) 80º d) 70º e) N.a 11. Hallar a) 115º b) 103º c) 105º d) 145º e) 95º 12. Hallar a) 60º b) 40º c) 55º d) 50º e) 30º 13. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados miden 5cm y 12cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? a) 22cm b) 22 ó 29cm c) 29cm d) F.D e) N.a 14. En la figura: a) 120º b) 90º c) 30º d) 60º e) 180º 15. En la figura, hallar a) 40º b) 80º c) 70º d) 60º e) 75º PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 02 01. Calcular la medida del tercer ángulo de un triángulo ABC, si las medidas de los otros dos son: A = 58°40’15” B = 35°10’20” a) 80°40’15” b) 86°10’15” c) 84°20’15” d) 86°10’45” e) N.a.. 02. Si uno de los ángulos agudos de un triángulo mide 47°38’. Calcule el otro ángulo. a) 40°20’ b) 40°22’ c) 42°22’ d) 42°32’ e) N.a.. 03. Si la medida de uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es 4/5 de la medida del otro.¿Cuánto mide el ángulo menor? a) 40° b) 30° c) 50° d) 80° e) N.a.. 04. En un triángulo ABC, el ángulo B es el doble del ángulo A y el ángulo C es igual a la suma de A+B. ¿Cuánto mide el ángulo menor? a) 30° b) 40° c) 20° d) 50 e) N.a.. 05. En la figura cuanto mide el ángulo C, sabiendo que el triángulo es isósceles. a) 60° b) 20° c) 25° d) 30° e) 48° 06. En un triángulo ABC, el ángulo A es la mitad del ángulo B y el ángulo C es los 2/3 del ángulo A. ¿Cuánto mide al ángulo C? a) 40° b) 60° c) 50° d) 30° e) 20° 07. La suma de las medidas de los ángulos B y C de un triángulo ABC es 105°. Si la medida del ángulo A excede a la del ángulo C en 40. ¿Cuál es la medida del ángulo B? a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) N.a.. 08. Hallar “x” en al siguiente figura: a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 09.En los siguientes grupos de medidas indicar las que pertenecen a los lados de un triángulo 7 cm; 12 cm; 4 cm En el triángulo ABC, dadas las medidas de sus lados, señala sus ángulos mayor, medio y menor 10. =10cm; =6cm; =8cm 11. =12cm; =6cm; =10cm 12. =10cm; =8cm; =2cm 13. El perímetro de un triángulo es 96 cm, si un lado mide 24 cm y lo otros están en la relación de 3 es a 5. ¿Cuánto mide cada uno de estos lados? a) 3 y 5 b) 20 y 45 c) 27 y 45 d) 10 y 18 e) N.a.. 14. la medida de dos ángulos internos son 38° y 63°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo interno? a) 69° b) 70° c) 79° d) 81° e) 29° 15. Los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a 2, 4 y 6. ¿Cuáles con sus medidas? a) 30°, 60°, 90° b) 40°, 50°, 90° c) 50°, 50°, 80° d) 20°, 40°, 60° e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar a) 90º b) 60 c) 70º d) 80º e) 75º 02. Hallar a) 100º b) 101º c) 99º d) 180º e) N.a 03. Hallar : a) 16º b) 18º c) 14º d) 26º e) 10º 04. La suma de dos ángulos de un triángulo ABC es 140º y su diferencia es 20º. Hallar el menor ángulo externo de dicho triángulo. a) 100º b) 120º c) 140º d) 130 e) 110º 05. Dado un triángulo isósceles cuyos lados miden 8cm y 17cm. Hallar el semiperímetro del triángulo. a) 33cm b) 21cm c) 42cm d) 43cm ó 42cm e) N.a 1. Suma de los Ángulos interiores: 2. Medida de un ángulo exterior: COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo. 3. Desigualdad de longitudes de sus lados. 4. Relación de lado – Angulo 5. “P” un punto interior cualquiera: ANGULOS FORMADOS POR LINEAS NOTABLES 1. Por dos bisectrices interiores. 2. Por bisectrices exteriores. 3. Por bisectriz, y exterior 4. Por una altura y bisectriz 5. Por dos alturas 6. Por dos mediatrices 7. Ang. Formado por una bisectriz y lado opuesto. 8. Por una altura y mediana (Triángulo rectángulo) 9. Por un bisectriz y mediana. (Triángulo rectángulo) 10. Propiedad de la mediatriz 11. Ang. Formado por 2 Bisectrices 12. Ang. Formado por Bisectrices. PRACTICA DE CLASE 01. 1. Angulo < 90º a. Recto 2. Angulo = 90º b. Acutángulo 3. Angulo > 90º c. Obtusángulo Marca la alternativa correcta: a) 1a,2b,3c b) 1b,3c,2a c) 1c,2a,3b d) 1b,2a,3c e) N.a 02. En un triángulo se sabe que: = 3x+20; = 2x; = 4x – 20. Hallar . a) 30º b) 18º c) 20º d) 19º e) 28º 03. Calcular . Si . a) 40º b) 30º c) 35º d) 45º e) N.a 04. En la figura que se muestra. Calcular . a) 180° b) 120° c) 360° d) 540° e) 720° 05. En la figura mostrada, calcular “x”: a) 40° b) 45° c) 50° d) 60° e) 70° 06. En la figura mostrada, calcular “”: a) 5° b) 10° c) 20° d) 30° e) 40° 07. En le grafico mostrado, calcular “”: a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 08. En la figura, calcular “” a) 160° b) 180° c) 190° d) 200° e) 150° 09. En la figura mostrada, Hallar “x”: a) 100° b) 110° c) 120° d) 130° e) 140° 10. Hallar “x”: a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90° 11. en la figura que se muestra, Calcular “x”. a) 160° b) 180° c) 200° d) 200° e) 210° 12. En la figura: , entonces “x” mide: a) 108° b) 54° c) 72° d) 90° e) N.a 13. En la figura , Calcular “x. a) 20° b) 18° c) 23° d) 36° e) N.a 14. En la figura, hallar “x”. a) 100° b) 80° c) 90° d) 95° e) 120° 15. En la figura, hallar . a) 249° b) 250° c) 251° d) 252° e) N.a. PROBLEMAS PROPUESTOS N° 03 01. La suma de los lados de un triángulo son: a+b =29; b+c= 21 y a+c = 24. ¿Cuánto mide el lado menor del triángulo? a) 15 b) 16 c) 13 d) 8 e) N.a 02.En la figura, calcular el valor de “x” sabiendo que es bisectriz del ángulo ABC y APB - BPC =18°. a) 5° b) 8° c) 9° d) 4° e) N.a 03.Determinar el valor de “x” sabiendo que el  MON es equilátero. a) 75° b) 30° c) 50° d) 40° e) N.a 04. El perímetro de un triángulo mide 90. Calcular la medida de sus lados sabiendo que son 3 números enteros consecutivos. a) 25, 26 y 27 b) 28, 92 y 30 c) 30, 31 y 32 d) 29, 30 y 31 c) N.a 05. La suma de los lados de un triángulo son: a+b =29; b+c= 21 y a+c = 24. ¿Cuánto mide el lado menor del triángulo? a) 15 b) 16 c) 13 d) 8 e) N.a 06.El perímetro de un triángulo mide 28. Calcular la medida de sus lados sabiendo que el lado mayor excede al intermedio en 3 y éste excede al menor en 5. a) 5,10 y 13 b) 8,12 y 8 c) 5,12 y 11 d) 4,10 y 14 c) N.a 07.Hallar entre qué valores está “x”: a)5