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FUNCIONES VECTORIALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Funciones Vectoriales de una variable real, Operaciones con funciones vectoriales, Propiedades operacionales de límite de funciones vectoriales, Continuidad de una función vectorial, Propiedades, ,Derivada de una función vectorial, Interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial, Reglas de derivación, Propiedades de la integral definida, Curvas regulares, Longitud de una curva regular, Vectores unitarios: Tangente, normal, principal y binormal, Planos fundamentales generados por el triedro intrínseco, Curvatura y torsión de una curva, Curvatura , Radio de curvatura , Torsión, Componente normal y tangencial de la aceleración............. Definición 1. Una función / : / c l ^ R n cuya regla de correspondencia es / ( O = (ACO; / ¿ ( O ; - ; / nCO). t e i se denomina función vectorial de una variable real t. Las n funciones reales , (i = 1,2,..., n) se llaman funciones componentes de la función vectorial / . El dominio de la función vectorial / es el conjunto Dí = Dh 0 Dh 0 - Dfn donde Df . es el dominio de la función componente f t , (i = 1,2,..., n) Ejemplo 1. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales: a) /CO = ( t 2: InCt - 2); V4 - t) b) g(t) = ^ _ L _ ; ln (l - í) j Solución a) Si /i ( t ) = t 2, f 2{t) = ln(t - 2) y / 3(t) = V4 - t , entonces Da = R , Dh = <2;+oo) y Dh = <-oo; 4) Luego, Df = Dfx n Dfz n Dfz = (2:4) 1 b) Si 5 i( 0 = J ^ r ^ ’ 9 2CO = y 03^ = ln^ " ^ ’ entonces Dg t= R - { - 2}, Dg2 = < -3 ;3> y Dgj = < -00; 1} Luego, Da = Dg i n D g2 n D g3 = ( - 3 :- 2 ) U (- 2 :1 ) CÁLCULO III Observación 1. Sea f ( t ) = (ACO; / 2( t ) ; / n(t)) la regla de correspondencia de la función vectorial f Si esta regla de correspondencia la escribimos en la forma er* i = a c o X2 = /2 ( 0 ti — /n(0 Se dice que la curva es una curva parametrizada en el espacio E n , y las ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la curva Si en las ecuaciones paramétricas de la curva g se elimina el parámetro t, de tal manera que aparezcan ecuaciones en términos de x l t x 2, ...,xn , estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones cartesianas de la curva &. Observación 2. En algunas situaciones, las funciones vectoriales se utilizan para determinar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva & cuya posición en el tiempo t es CA(t); / 2(0 ; - ; / n ( 0 )- Asi, si / : / - Mn es una función vectorial tal que f ( t ) = (A (t); / 2( t ) ; ...; / n(t)) , ewfowes / ( t ) es el vector deposición del punto f 2(t); ...;/n(t)) ^ la curva & En la figura /. 1 se observa que cuando t toma valores de menor a mayor en el intervalo L el extremo del vector de posición f { t ) traza ¡a trayectoria de la curva £ indicando su orientación. Fig 1.1 FUNCIONES VECTORIALES Ejemplo 2. Troce la imagen de las siguientes funciones a) / ( t ) = (1 4-13; t 2) b) h (t) = (t; t; t 2) c) g (t) = (4 eos t ; 5 sen t) d) r( t) = (eos t ; sen t; t), t > 0 Solución a) Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por la función vectorial / es : tV-‘3.teR Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene y — (x — 1)2/3 La gráfica de esta ecuación cartesiana se muestra en la figura 1.2 b ) Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por la función vectorial g es i[ x = 44 eeooss t 2 (y = 5c sen ft . t e E Para eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas se despeja eos r y sen t, esto es x ,y eos t — - y sen t = — 4 ^ Luego, al utilizar la identidad cos2t -i- sen2t = 1 resulta la ecuación cartesiana íl. yl = i 16 + 25 La gráfica de esta ecuación cartesiana se muestra en la figura 1.3 3 CÁLCULO III Vi N . 1 1 i 1 1 ► _4\ 0 0 JL n 2jr IR \V -5 '4 x Fig 1 3 c) Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por la función vectorial g es Í x — t y = t , t 6 R z = t 2 Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene que los puntos de la curva están situados en la intersección de las supefficies y = x y z = x 2 La gráfica de la curva se muestra en la figura 1.4 d) Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por ía función vectorial r es { x = eos t y = s e n t , t G [0; +oo) z - t Al eliminar el parámetro t en las dos primeras ecuaciones, se obtiene ia ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 4 Esta ecuación indica que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 1, con eje de simetría el eje z. Con la tercera ecuación z = t se localiza los puntes de la curva sobre el cilindro circular recto. La imagen de la función vectorial r se denomina hélice circular recto. (Fig. 1.5) FUNCIONES VECTORIALES OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES Definición 2. Sean/,#: R -♦ iRn funciones vectoriales cuyos dominios son Df y D(] respectivamente, y sea tp: R —* una función real con dominio D^ . Las regias de correspondencia de las funciones / + g , f — g,

(0 /( 0 = < K 0 ( / i( 0 ; - ; / n ( 0 ) . t e ¿ V = Dv r\Df n d) (/ • g )í 0 = /(O • a i 0 = ^T/í(O 0é(O. t £ = Dr n Ds ¿ = 1 e) Si f,g:E.-> K3 son funciones vectoriales con imagen en e! espacio ÍR'5 , entonces la regla de correspondencia de la función producto vectorial / x g es dada por ( / x g m = /(O x 5(0- t £ DfXg = Df nDg Ejemplo 3. Dadas las funciones vectoriales /(t) = (t; t; t 2) y ,g(0 = (f: f3) Halle a) C/ + 5 ) ( " l ) b) ( /• < ? ) ( ! ) c ) ( / x 5 )(2 ) 5 Solución a) Se tiene, / ( - 1) = ( - 1 ; - 1 ; 1) y 5 ( - 1) = ( - 1 ; 1; - 1 ) . Luego, (f + g)(~ 1) = / ( - 1 ) + g {- 1) = (-1 ; -1 ; 1) + (-1 ; 1; - 1 ) = (-2 ; 0; 0) b) Como / ( l ) = (1; 1; 1) y ¿7(1) = ( 1; 1; 1), entonces ( / • g X 1) = /( 1 ) • g{ 1) = (1; 1; l) • (1; 1; 1) = 3 c) Dado que / ( 2 ) = (2; 2; 4) y g{2) = (2; 4; 8), entonces CÁLCULO III ( f x 5 )(2 ) = / ( 2) x 5 (2) = r / k 2 2 4 2 4 8 = (0; —8; 4) Ejemplo 4. Halle una función vectorial que represente a las siguientes curvas a) 9 x 2 + 4y 2 = 36 b) y = x 2 - 4x + 1 Solución a) La curva es una elipse con ecuación canónica *2 y 2 fx \2 fy \2 4 Hay muchas maneras de parametrizar esta curva, una de ellas es elegir x y - = eos t y - = sen t <=> x = 2 eos l y y = 3 sen t Luego, la función vectorial que representa a la curva es / ( t ) = (2cos t ; 3 sen t), t e E b) Una parametrización natural de esta curva es elegir x = t. De donde, y = t 2 — 4t 4- 7 Por tanto, la función vectorial que representa a la curva es g (t) = (t; t 2 - 4 t 4-7), t G 1 Ejemplo 5. Halle una función vectorial que represente a ia curva de intersección de las siguientes superficies. a) x 2 4- y 2 = 16 y z = x y b) z = 16x2 + 9 y 2 y y = x 2 Solución a) Una manera natural de parametrizar la curva de intersección de ias superficies es elegir x = 4 eos t y y = 4 sen £. Entonces z = 16 eos t sen t Luego, la función vectorial que representa a la curva de intersección de las superficies es /( O = (4 eos t ; 4 s e n t; 16 eos t sen t), t E R 6 FUNCIONES VECTORIALES b) Ln este caso, para parametrizar la curva de intersección se elige x = t, de donde y = í 2 y z = 1 6 t2 + 9 t4 Por consiguiente, la función vectorial que representa a la curva de intersección de las superficies es g (t) = (t; t 2;1 6 t2 4- 9 t4), t G l EJERCICIOS IT r a c e la gráfica de la imagen de las siguientes funciones a) / ( t ) = (eos t ; sen t) b) / ( t ) = (3 cosh t ; 5 senh t) f l - 12 2 t \ c) / ( O = ( ; T T t 1 j d) ^ = ^ sen t; 4 cos ^ e) / ( t ) = (3 + t 5; t 2 + 1) f) / ( t ) = ( t2 + 3; 1 + t 3) / t2 t3 g) /( c ) = (t; C; sen t). t e [0; 47r] h) / ( t ) = I t; — ; — / 3t 3 t 2 i) /(O = (a cos t ; a sen t; bt),a > 0 j) /(t) = ( Y T t ^ ' l T t 3 k) / (t) = (3 sen t; 5 cos t ; 7), £ e [0; 27rj 2.- Determinar el punto de intersección de la recta f ( t ) = (9 -i- 31; - 1 0 — 4t; 7 + 2t) con el plano YZ. 3.- Encuentre una representación paramétrica de las siguientes curvas a) x 2 + y 2 = 9, z = 0 R. a ( t) = (3 cos t ; 3 sen t; 0) b) x 2 4- y 2 - 6 x - 4y + 12 = 0, z = 0 c) y = 3x2, z = 0 d) (x - l ) 2 4- 4 (y - 2) 2 = 4, z = 0 R. a ( t) = (1 4- 2 cos t ; 2 4- sen t; 0) 4.- Sean / ( t ) = ( t 2 4-1; 0; £3) y ^ (t) = (sen t; - c o s í; 0). Halle a) / ( a + ¿) b) g ( t — 3) c) /( s e n ¿) x # ( t 2 4-1) 5.- Defina una función vectorial del intervalo [a; b] sobre el segmento de recta de extremos P0 y de íRn. 6.- Defina una función del intervalo [-2; 2] en E 3 cuya imagen sea el triángulo de vértices (3; 2; —1), (2; 0; 1) y ( 1; — 2; 1) 7 CALCULO III 7.- Sean / ( t ) = (2 1-1; V 4 - t 2), ^ ( t) = (ln (t + 1); V i2 + 2t - 8) Calcule f + g, f • g, f x g, 4 / — 2g , y sus dominios de definición. 1.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición 3. Sea / : E -> E n una función vectorial dada por / ( O = ( / i ( 0 ; / 2( 0 ; - ; / „ ( t ) ) . £ e K y sea t0 un número real cualquiera. Entonces lim / ( t ) = (lim A ( t ) ;...; lim fn(t )) t->t0 U-»to / siempre que existan lim /¿ (t), i = 1,2, ...,n Ejemplo 6. Calcule lim /(£ ) (en caso exista) de las siguientes funciones t-»t0 vectoriales ^ _|_ 1 £ t» = 0 b) / ( O = e - e In t sen (t - 1) t - 1 : Í - £ : t - 1 1 — eos(sen í) eos t - eos (sen t) 1 y ~~ , ^ I ~ cosiesen t) cosisen \ C) /( O = -----------t ;------------------- 7T1-------^ V sen2t t 2 7t —+ nJ ' *o = 0 V ta n (v T ^ T ) t - 1 Solución , , , , í , 1 “ Vt + 1 t \ a) h m /( t) = lim -------------------------------------------— ; lim -- ; l i m 2 = (0; 0; 2) t-+o \£->0 1 4* 2 t-*o 1 4" 1 t-*o J .. , ^ / e t — e ln t sen (t — 1 )\ b) ht-*mo /( t) = \lti->mi -—t -—1 ; limM-—l -- ;tli mm— -—r - l y = v( e ; - l ; l ) 7 .. , ' /,. l - c o s ( s e n í ) , eos t - eos (sen t) 1 \ c) l i m / ( t ) = lim ----------V -----lim --------------- ^ -------- ; l i m ------- t-*n \t-> o sen2t t-»o t 2 t ^ o t + n) -(X ) 8 r*f FUNCIONES VECTORIALES d) lim /( t) = [ lim(2 - t ) tan(2t}; lim 56” ; lim — - - - ) = ( e 2/7t; l ; i ) t - 1 V*-1 «-i ta n ( V F ^ l) w t - 1 ) \ 2 ) PROPIEDADES OPERACIONALES DE LÍMITE DE FUNCIONES VECTORIALES Sean f , g : E -> E n funciones vectoriales de una variable real tales que lim / ( t ) = b = (b^, y lim # (t) = a = (a ^ ...;a n) y sea E una función real tal que lim (p{t) = cr, entonces t->t0 i) lim [ /( t) + ^r(t)] = lim / ( t ) + lim g(t) = b + á t-*t0 ii) lim [ /( t) - (j(t)] = lim / ( t ) - lim # (t) - b - á t->t o t-»t0 t-»t0 iü) tH-»mto [^ (t)5 (t)] =\t- »(tol™ t o \í-*to / / v) lim [ /( t) x ^ (t)] = ( lim / ( t ) ) x ( lim ^ ( t) ) = b x a (solo en IR3) t~*t0 \t-*t o / \t-*t0 / (sen t 1 \ Ejem plo?. S e a n /C O ^ ^ —~— ; eos t ; - - j y / I 4- eos t 1 \ # ( t ) = ( ------------- ; ------- ;5en t + í V sen i eos í / funciones vectoriales con imagen en el espacio R3. Halle: a) !í:-i»m7T [/(t) • g(t)] b) lCi-m»7T[/(í) x # (t)] Solución / sen t 1 \ / 1 \ a) lim /( t) = lim ----- ; lim eos í ; lim --------- = ( 0; — 1; —— 1 t ^ n \t->n t t-*n t->n t + TtJ \ 2u) / 1 + eos t i \ lt-i*mn a (t) = lim----------- ; lim------ ; limísen t -f t) = (0; —1; n ) \t-»7r sen t t->nCQSt t-*K / Luego, lim [/(t) • 0(t)J = ( lim /( í) ) • (lm j5 (t)) = ( 0; - 1 ; . (0; - 1 ; tt) = N>| 00 CALCULO III b) Um[ / ( 0 x 5 (t)] = (lirn /(t)) x (lim ^ (t)) = (o; _ 1i ¿ ) x C°: - l ; w ) <1 - 2rr2 i j k 1 O - 1 -7T O - 1 n 2n 0; O EJERCICIOS 1.- Calcule lim / ( t ) (en caso exista) de las siguientes funciones vectoriales t-»t0 a) / ( O = (V?: t 2; sen t), t0 = 2 b) / ( t ) = (ln t ; V5 + t 2; ^ r ) , t0 = 2 / t 3 + 5t , \ C) m = t0 = 3 ( s e n lt senSt ta n 31\ d) m = t „ . O e) /(O = r:tZ +1)* to = 1 /£*-’ — 1 sen (t - 1) 1 —t 2\ 0 / ( 0 = '— •— 1— -----• = 1 g) t l n t ' í 2 - 1 ' sen n t ) ‘ 1,0 ( t — tan t i l 1 , \ / ( t ) = í ------------; ---------— ---------- cot(t) , to = 0 Vt — s e n t t e 1- — 1 í c o s t / 2 .-Si / ( t ) = ^t + j ^ | ; t + 4; 7 j , determine Hm_/(t) y iim+/ ( t ) f~f"i V2£ — 4 -h V 8 - 3.- Si / ( t ) = ( c ; " — ; 5 - I4 tl; , ........................¡ -Halle Jim / ( t ) 5 + [2 t i ' V 64 sen (t - 6) — t 2 1.3 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición 4. Una función vectorial f : I - * R n es continua en el punto tc e / . y solo si. las funciones coordenadas /¿: / -> R son continuas en t0. i = 1,2,... _ j . £ ■ , r , ( hjemplo 8. Dada la función vectorial f ( t ) = It-2------l-- ; s--e--n--{-n--t-)- -; l--n--t- -+-- -l-\I ' \ t + 1 COS(TTt) ' t + 2 ) Determine si la función vectorial es continua en t = 1. Solución Las funciones coordenadas e t 2 - 1 sen (7rt) ln t + 1 = 7 T T : y r M = T + 2 - son continuas en t — 1, pues lim /i(t) = 0 = / i ( l ) , l m / 2(t) = 0 = / 2( 1) y lim /3(t) = i = / 3( 1) Luego, la función vectorial / es continua en t = 1. FUNCIONES VECTORIALES PROPIEDADES Sean / , <7: l -> R n funciones vectoriales continuas en el punto t0 G /. Entonces i) X f es continua en t0 , siendo A una constante real. ii) / ± 9 es continua en t0 iii) / • g es continua en t0 iv) / x g es continua en í0 (solamente para funciones con imagen en R 3) Observación 3. Una función vectorial f : R - * E n es continua en el intervalo / c: R , si es continua en cada uno de los puntos de l Ejemplo 9. Determine si las siguientes funciones vectoriales son continuas en el punto t0 indicado. ( s e n t ln (l + t) c o s t - l \ ««M — - T ^ —— )■ ' » - 0 b) g (t) = ( 1 - t; ln(2t - 1); t 3 + 1), t0 = 0 Solución sen t a) La función coordenada f x{t) = —-— no es continua en t0, pues /i(0 ) no está definida. Luego, la función vectorial f ( t ) no es continua en tQ = 0. b) La función vectorial g{t) = ( 1 - t; ln(2t - 1); t 3 + 1 ) es continua en t0 = 1, pues las funciones coordenadas g x(t) = 1 - t , g 2(t) = ln(2t - 1) y 9 z(t) = t 3 + 1 son continuas en t0 = 1. 11 1.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican a) / ( O = (V4 - t 2; ln(3 - t ) ; e c~3), t £ [ - 2; 3) ( 2 arcsen t , n \ cos(2 n t)\ ----------- .i t s e n s i t e m ) ln(t) + l ) , si t £ [1; 2] CÁLCULO III EJERCICIOS c) m = 3 (sen 2t j , si t £ [0; 1> (—1; 0; 3) , si t & [1; 2] 2.- Determine la continuidad de las funciones vectoriales en el punto indicado ((a 4 r- arcsen t 1\ b) / ( t ) = ]l. ' ------1-----; s e n t sen - J , si t 0 v (5; 0; 0) , si t = 0 3.- Encuentre los puntos (si es que existen) donde las siguientes funciones no son continuas a) / ( O = (e t -,t\senh i), Df = [0; 4] 1/ sen t \ (t; — ) , si t £ (0; n] (0; 1), si t = 0 c) / ( O = (t; t; Ü2t]]); t € [0; 8] r ( - t ; —2t; t) , si t £ [-2 ; 0] d) / ( í ) = ( ( t 1/3(t - 2)2''3; t 2) , si t £ (0; 2] [ ( (t + 3)V3( í _ 2) 2/3; i ± l ; 2 t + 6 ) , - si t e (-o o ;- 3 ] e) f ( 0 = j ^ 3 ;( t - 1) ln(t + 4) ; V ( t - l ) ( í + 3)4j , s i t £ ( - 3 ; l ] l (3t — 3; — e; sen (nt)) ,si t £ (1; 4-oo> 12 FUNCIONES VECTORIALES 4.- Demuestre que si / : / -> Rn es una función continua en / entonces ||/ || es continua en /. 1.4 DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL Definición 5. Sea / : R Rn una función vectorial con dominio Df. La derivada de la función vectorial / en cualquier punto t G Df es la función vectorial f \ t ) dada por d f ( t ) / ( t + ft) - / ( 0 / (t) = — : = lim ' w dt h->o ----------h----------- ;------- , si el límite existe. Si / ' ( t 0) existe para t0 G Df , se dice que / es derivable o difercnciable en t0. En general, sí / ' ( t ) existe para todo t G / c Df . entonces se dice que / es derivable en el intervalo I c: Df. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Sea / : l -> Rn una función vectorial derivable en el punto t0 G /. d/(t0) Geométricamente, / ' ( t 0) = — es un vector tangente a la curva trayectoria de /(£ ) en el punto / ( t 0) (Fig- 1 *6) 13 Definición 6. Sea / : 1 -> R n una función vectorial derivable en el punto t0 E /. La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva trayectoria de / que pasa por el punto / ( t 0) y es paralela al vector / ' ( t 0) es Lt : (x; y \ z ) = / ( t 0) + t / '( t 0), t 6 R El siguiente resultado nos proporciona un procedimiento conveniente para calcular la derivada de una función vectorial, en términos de las derivadas de las funciones componentes. CÁLCULO III Teorem al. Si / ( t ) = (/i(t); ...;/ n( 0 ) es una función vectorial con imagen en el espacio Mn, donde /i( t) ; f 2( t ) \ ... son funciones reales derivables, entonces n o = CA'Ct); ...;/n'(t)) Observación 4. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva & en el espacio de modo que su vector posición en el tiempo t es /( O = (A (0 ; ACO; •••;/n(0 ); entonces, el vector velocidad i?(t) y el vector aceleración a (t) de la partícula en el instante t son dadas por v( t) = f ' ( t ) = ( f í ( 0 ; / 2'( 0 ; ...; / ñ ( 0 ) a(t) = v'(t) = /" (t) = OV'CO; / 2"(í); El vector velocidad i;(t) tiene la dirección del vector tangente a la curva & en eí punto f { t ) y el vector aceleración a(t) apunta hacia el lado cóncavo de ia curva Q (lado hacia donde se doble la curva).(Fig. 1.7) I I módulo del vector velocidad v (t), esto es, 14 IWOII = ll/'COII = VCA'Ct)]2 + [/2'( t ) P + - + [/n '(í)]2 se denomina rapidez de la partícula en el instante t. FUNCIONES VECTORIALES Ejemplo 10. Halle la derivada de las siguientes funciones vectoriales: a) / ( O = ((t + l ) 3; arctan (2 t2) ; e ~3t) b) g{t) = (c o s(4 t);5 en (2t) ; e l2) Solución .» /■ ( O = ( 3 + b) 5'CO = ( - 4 sen (41); 2 c o s (2 t); 2 te f2) Ejemplo 11. Sea / ( t ) = (í arccos t - Vi - í 2; ln(Vl + í 2) - tarc tan t ; e~í2) C alcule/'(O ) y /" (O ). Solución i) / t t t i f ' ( t ) = arccos t -----------------h ----------- • -------------t ------------------------• \ = (arccos t; — arctan t; - 2 te~t2) n 0) = ( | ; 0 ; O) ¡O / " ( O = ( — - ■; ~ . 2 ; - 2 e -f2 + 4t 2e~t2) ' VI - í 2 1 + í 2 / /"(O ) = ( - 1 ; - 1 ; - 2 ) Ejemplo 12. La imagen de la función vectorial f ( t ) = (e t_1; e -2(t_1)) describe la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano XY. ¡i) Trace la gráfica de la trayectoria de la partícula. b) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para t = 1. c) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva imagen de / en el punto A(e; e -2). Solución a) Las ecuaciones paramétricas de la curva S descrita por la función vectorial f es (x — £ c—* = t e E 15 Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene la ecuación cartesiana 1 y = - 7 , * > 0 La gráfica de esta ecuación se muestra en la figura 1.8. CÁLCULO III b) Los vectores velocidad y aceleración en cualquier instante t son v(é) = / '( O = (e*~i; —2e~2(t“1)) Para t = 1, los vectores velocidad y aceleración son v ( l) = (1; —2) y a ( 1) = (1; 4) cuyas gráficas se muestran en la figura 1.9. c) El vector de posición del punto de tangencia A(e; e “2) se obtiene cuando t = 2, esto es, / ( 2) = (e; e~2) Luego, el vector tangente a la curva g es /'( 2 ) = (e; —2e~2) Por tanto, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto A es Lt \ O; y; z) = (e; e~2) + t(e; -2e~2), t E R 16 FUNCIONES VECTORIALES REGLAS DE DERIVACIÓN Sean f , g : I -> funciones vectoriales derivables de t, c una constante real y a: I R una función real derivable de t. Entonces se tiene: 1.-¿Lf(O±0(O] = /'(O±$'(O 2 . - ^ [ c / ( t ) ] = c / '( t ) 3.- ^ [ a ( t) /( t) ] = a '( t ) / ( t ) + a ( t) / '( O 4.- ^ [ /( t) • # (t)] = / '( t ) • 5 (t) + / ( t ) • 5 '( t) 5.- ^ [ /( t ) x 5 (t)] = / '( t ) x # (t) + / ( t ) x 5 '( t) (válido solo en R3) Observación 5. Si / : / —* Kn es una función vectorial derivable de t tal que 11/(t^)ll = c, Vt e / (c constante real), entonces /'(tW(t) = o listo indica que el vector tangente / ' ( t ) es perpendicular al vector de posición /■(OKjemplo 13. Si / ( t ) = (t; £2;3 + t),g( t) = (c o s t;s e n t; ln (t + 1)) y o (t) = e -4 t, calcule u) ( a / ) ' ( 0) b ) ( / + 5 ) '( 0) c ) ( / * s ) ' ( 0) d ) ( / x 5 ) '( 0) Solución Se tiene / '( t ) = ( l ; 2 t ; l ) , 5 '( 0 = ( “ sen t ; c o s t ; ^ - L ) , a '( t ) = - 4 e ‘ I tiego, al evaluar en t = 0 se obtiene / ' ( 0) = ( 1 ;0 ;1 ) ^ '( 0 ) = (0 ;1 ;1 ) y cr'(O) = - 4 Así, ;il utilizar las reglas de derivación resulta *») (a/y(0) = a'(0)/(0) + a(0)r(0) ,-4t = -4 (0 ; 0; 3) 4- 1(1; 0; 1) = (1; 0; -1 1 ) 17 CALCULO III b) ( / + g ) \ 0) = /'(O ) 4- g'{0) = (1; 0; 1) 4- (0; 1; 1) = (1; 1; 2) c) ( / • 0 ) '( 0) = /'(O ) • ¿(O) 4- /(O ) • £ '(0 ) = 1 + 3 = 4 d) ( / x flf)'(O) = [/'(O ) x 0 (0)] 4- [/(O) x ¿'(O)] í J k r J k 1 0 1 4- 0 0 3 = (0; 1; 0) 4- ( - 3 ; 0; 0) = ( - 3 ; 1; 0) 1 0 0 0 i 1 Ejemplo 14. Determine si el vector de posición de la función vectorial /( O = (co s(t2) ; sen ( t 2)) es perpendicular a su vector tangente en cualquier punto t G Df . Solución Como ||/(t)ll = 1, V£ G E, entonces el vector tangente / '( O = (—21 sen ( t 2); 2t co s(t2)) es perpendicular al vector posición / ( t ) , Vt G E. Ejemplo 15. Dada la función vectorial / ( t ) = ( l - 2t\ t 2\ 2 e2(t_1)). Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por / en el punto en que el vector /'( £ ) es paralelo al vector /(£)• Solución Como ios vectores f { i ) y /'( £ ) = ( —2; 2t; 4 e2(t“1)) son paralelos, entonces existe un escalar k tal que f ( t ) = k f ( t ) <=> ( - 2 ; 2t; 4 e2(f- 1)) = fc(l - 21; t 2; 2 e 2(£_1)) f - 2 = fc(l - 21) <=> ] 2t = k t 2 <=>k = 2 y t = l (4e 2(t-l) _ 2fce 2(t-D Luego, el punto de tangencia y el vector tangente son respectivamente /( 1 ) = ( - 1 ;1 ;2 ) y / ' ( l ) = ( - 2 ; 2; 4) Por tanto, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por / es Lr : (X] y; z) = (—1; 1; 2) 4- s ( - 2 ; 2; 4), s G E Teorema 2. Si / : / -» E n es una función vectorial derivable de t y k = 1 Así, al reemplazar k = 1 en (*) resulta y¡x2 4- y 2 = t <=* x 2 4- y 2 = t 2 (**) Dado que y — vx*- 4 4, entonces y" — x"* 4 4. Al sustituir esta expresión en / ** ), se tiene 2 x 2 + 4 = t 2 => x = (x > 0) Luego, la función vectorial que describe el movimiento de la partícula es /(O = I l\ t 2 - 4 ; t 2 + 4 La derivada de / es // #^■ / ' ( 0 =v = ) W2t2 - 8 V2tf;22 +4- 8«>/ Por tanto, el vector velocidad de la partícula en el instante c = 6 es ,( 6 6 6)=r(6) = (|;4 ) = í;-L) V8 4V5/ \4 2V5/ Ejemplo 18. Una partícula se mueve a lo iargo de la curva g descrita por la función vectorial /(£ ) = (3 sen ( - ) ; 3 eos ( ! ) ; V8t) a) Halle el vector velocidad y la rapidez de la partícula en cualquier instante t. b) Determine el vector aceleración y su módulo. 2 0 FUNCIONES VECTORIALES c) Calcule el ángulo 6 que forman los vectores velocidad y aceleración. Solución a) El vector velocidad y la rapidez de la partícula en cualquier instante t son u (t) = f { t ) = (eos ( ! ) ; —sen ( ! ) > Rapidez: ||u(t)ll = ||/'(0 || = Vi 4- 8 = 3 b) El vector aceleración y su módulo son a(t)=r(t)-(-5*»0 ;-jcos(0 ;o) y ll«(OII-| c) Como \\v(t)\\ = 3, entonces por la observación 5 resulta que los vectores v(t) y 17' (t) = a (t) son perpendiculares. Por consiguiente, la medida del ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración es 6 = n / 2 . EJERCICIOS 1.-Si / ( t ) = ( t ] í ; t 2), g (t ) = (eos t ; s e n t\ t),cp(t) - e~l} halle a) ^ ( # ( 0 ) b) / " ( t ) c) { f • g)'{t) d) ^ [ / ( O x g(t)] e) [< p (t)m Y o Y t [ f ( ( p m 8) ¿[ll5(t)l|] h) T t Í9 > 0 Demuestre que la recta tangente a la hélice en cualquier punto t, forma con el b eje Z un ángulo cuyo coseno es .... ......... Va2 + b2 9.- Referido a la hélice del ejercicio 8, demuestre que los vectores velocidad v(t) y aceleración a (t) tienen longitud constante y que !|i;(£) x a (t )|| _ a ||i;(t)||3 a2 + b2 10.- Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas Cx: f ( t ) = ^J sen x dx: eos t j , t e [ 0 ‘t ti], C2-g(t) = (e c‘; 1 - e 2t), t e R en el punto de intersección de ambas curvas. R. Lx = {(1; 0) 4-1( 1; - 1 ) / t G M}, l 2 = {(1; 0) 4- t( l ; - 2 ) / t G K} N 3 1 la tangente es paralela al plano P: V3 x 4- y — 4 = 0 /?. I — e n,b I D a d a la curva C \f{ t) = (eos £; sen t\ e l), determine el punto en eí cuai V 3 1 Y ; 2 !2.- Halle ia ecuación He ía recta tangente a ía curva Í xz — 2z — 3x 4* 3 = 0 z 2 _ y Z _ 4Z + 3y + 4 - o : en Punt0 correspondiente a t = 0 / ¡ . l r = { (l; 4 ° ) + t ( - i ; | ; 1) / t R I i - Sea / ( t ) = ( A ( t) ;/2( 0 ; / s ( 0 ) una función vectorial derivable de t hasta ei segundo orden y que para t > 2, se tiene ||/( t) || = Vt — 2 a) Demuestre que / '( t ) • / '( O = — /( O • t > 2 23 CÁLCULO III b) Si a es el ángulo que forman los vectores / ( t ) y demuestre que «IH 14.- Considere que el cicloide descrito por la función vectorial / ( O = t); a ( 1 - eos t)), a > 0 Halle el ángulo que forma la recta tangente a la cicloide en t = n / 2 con la pane positiva del eje X. 1.5 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Definición 7. Si / : [a; b] -> Rn es una función vectorial continua en el intervalo [a\b] tal que f ( t ) = (A (t);/2(t); ...;/n(0)> entonces la integral indefinida de / es I f ( t ) d t = ( | f i (t )d .t ; J f 2( t ) d t ; ...; J /„ (t)d t) y la integral definida de / es f f ( t ) d t = ( J A CO dt; j bf 2m t j bf n( t ) d ^ Observación 5. Si / ( t ) = (/i(t); ...;fn(t)) es una función vectorial con imagen en el espacio Kn, entonces al hallar la integral indefinida de / , se tiene I A ( t ) d t = Fa(t) + C1(I f 2(t)dt = F2(t) + C2; J f n(t )d t = Fn(t) + Cn Así, la integral indefinida de la función vectorial / se expresa J f ( t ) d t = (Fx(í) + Ca; F2(t) + C2; ...; Fn(t) + Cn) = (F1(t>,F2(t);...;Fn(t)) + (C1;C2;...;Cn) = F(t) + C donde F '(t) = / ( t ) Ejemplo 19. a) Halle la integral indefinida de la función vectorial 2 4 I UNCIONES VECTORIALES b) /•(O = (c o st — ; t í ' ) Calcule la integral j f ( t ) d t , donde / ( t ) = (z t; —— ; Solución .0 Al integrar cada una de las funciones componentes, se obtiene j f ( t ) d t = eos t d t; J Y"jr¿2 ; J t2dt) = t >arctan + ^ h) I f ( t ) d t = í í 2 t d t ; í ------ dt: í t e 1 dt Jo \ J q ■'o ^ ^ •'o y = ([t2]J; [ln (|l + t|)]J; [te( - e l]&) = (1; ln 2; 1) PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ! Si f , g : [a; b\ -> ¡Rn son funciones vectoriales continuas en [a; b] y a y ¡i son escalares, entonces f la f i t ) ± 0 g(t)]dt = a f f { t ) d t + 0 f g( t) dt Ja Ja Ja ?..- Si f , g : [ a \ b ] - * R n es una función vectorial continua en [a;/?] y C = (C1: ...; Cn) es un vector de constantes, entonces ai j [C • f ( t ) ] d t = C • ( f ( t ) d t j ¿a \¿a / r° / ró \ b/ i [C x / ( t ) ] d t = C x ( j f { t ) d t ¡ (válido solo en el espacio E 3) -'a Va ' 3.- Si / : [a; ¿>] —> E n es una función vectorial continua en [a\ b], entonces f b í f ( t ) d t Ja Teorema 3. (Prim er Teorema Fundamental del Cálculo). Sea / : [a; b] -» R n una función vectorial continua en [a; b], entonces la función ! F definida por F(t) - I f ( u ) d u , a < t < b ~a es derivable y F'it) = 6 [a; fr] 25 CÁLCULO III Teorema 4. (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo). Sea / : [a; b] -> E n una función vectorial continua en [a; b], entonces /' J n f { t ) d t = F(t)]£ = F(b) - F(a') r J I / 4 Ejemplo 20. Calcule I f ( t ) d t x h(0) , donde J o f ( t ) = ^V tan i sec4t;sen3(2 t) eos2 t - sen3C2 t)s én 2t ; ~ j ^ ] y m = (^j t e ' 2-1 d t ; (t 2 — t) d t ; t 3 dt'j Solución Ín/A í f n/4 rn/4 rJr/4 -j L I / (t)dt = ( j (tan t)1/2(l + tan2t)sec2t d t \ j sen3(2t) cos(2t) dt; | - I - d t Jo W o J o Jq t t Itz _ / 2 0 1 1 \ ~ \ ñ ; 8 ; l 2/ Por consiguiente, se tiene Ejemplo 21. La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m = 2 en el plano está dada en función del tiempo i por ía ecuación F(t) = (2 (eos 11 sen t); 2(sen t 4- 1 eos t)) Cuando t = 0 la posición y la velocidad de la partícula son /(O ) = (2; 0) y v (0) = (1; 0)- Halle la velocidad y la posición de la partícula como funciones de t. Solución Por la segunda Ley de Newton, se tiene F(t) = m a (t) = 2 /"(£ ) = (2(cos £ - £ sen t)\ 2(sen t 4- £ eos £)) De donde resulta FUNCIONES VECTORIALES I "(t) = (co st - t sen t;sen t 4- t c o s t ) l’(t) = j f " ( t ) d t = ^J (eos t - t sen t ) d t ; J (sen t 4-£ eos t)dt^j = (t eos t ; £ sen £) 4- C I )mln que u(0) = /'(O ) = C = (1; 0). Entonces, /'( £ ) = (£ eos £ 4- 1: £ sen £) I ( t ) = J f ' ( t ) d t = (t sen £ 4- eos t 4- £; —£ eos £ 4- sen £) 4- Cx ( omo /( 0 ) = (1; 0) 4- C[ = (2; 0) => Q = (1; 0) Por tanto, / (í) = (t sen t 4- eos t + t + 1; - t e o s t 4- sen £) I icmplo 22. Una partícula inicia su movimiento en / ( 0) = (2 ;0 ;0 ) con velocidad inicial v(0) = T - J + k . Su aceleración es a(t) = (2£; 3£2; 6£). I Mermine la función velocidad y la posición de la partícula en cualquier instante i Solución (J(t) = v '(t) = (2 1; 3 t 2; 6 t) =* v (t) = f v ' ( t ) d t = ( t 2; t 3; 3 t 2) + C ( orno v(0) = (0; 0; 0) + C = (1; - 1 ; 1) => C = (1; - 1 ; 1) I uego. la velocidad que satisface la condición inicial u(0) = (1; —1; 1) es w(t) = ( t2 + 1 ; t 3 - l ; 3 t 2 + 1) Dudo que /■'(O = v ( 0 = ( f2 +1; t3 - 1; 3t2 + 1) r I monees f ( t ) = J v ( t) d t = Al hacer t = 0 y utilizando el hecho de que /( 0 ) = (2; 0; 0), se tiene f (0 ) = (0; 0; 0) 4- C¡ = (2; 0; 0) => C¡ = (2; 0; 0) I * i • i consiguiente, la función de posición de la partícula en cualquier instante t es /(0 = (j + t + 2;j-í;t3 + t) t t — + t;— - t; í 3 + t ) + Cx 2 7 CÁLCULO III EJERCICIOS 1.- Calcule las siguientes integrales í 1 r n/2 a) I ( t ; t 1/2; e £) d t b) I (sen t; eos t ; sen31 eos t)d t J o J o r n / 3 C) I (e sent[csc2t - s e c 2t - ese t];s e c t; ese t ) d t Jn¡4 d) í (Ce£; t 2e (; te~l)dt fi. (1; e - 2; 1 - 2 e-1) •'O 2.- Calcule á • b , si a = (2; - 4 ; 1) y ¿ = f ( te 2t; í cosh 2 t ; 2te~2t)dt Jo 3.- Una función vectorial / satisface la ecuación: í; / ' (t) = / ( t ) + t a .t > 0, donde a es un vector no nulo en el espacio IR3. Si se sabe que / ( 1) = 2a y / ' ( l ) = 3a, calcule / " ( 1) y / ( 3 ) en términos del vector a. R- / ' ( l ) = a , /( 3 ) = (6 + 3 ln 3)a él 4.- Sean las funciones vectoriales f ( t ) = (te~tl l ; e t) y g (t) = (1; — 1; t). Calcule r° a) I 1 /(0 x 5 ( 0 ] d í b) •'-l 5.- Sean f , g : [a; &] -> Rn funciones vectoriales continuas y derivables de £. Demuestre que ( [/(O • £ (t) ] d t = |/ ( t ) . 5 (t)]“ - í [ / '( t ) • 5 (t)]d í a Ja 6.- Sean á un vector no nulo en el espacio Rn y / una función vectorial tal que /(£ ) • á = t, Vt e R. Si el ánguio que forman /'( £ ) y a es constante, demuestre que /" ( £ ) es perpendicular a / '( t ) . £[/(O FUNCIONES VECTORIALES I f, < UU VAS REGULARES i »♦ I i ilición 8. Se dice que una curva & c Rn es una curva parametrizada, si existe mili (Unción vectorial a: [a; b] -> R n tal que a([a\ b]) = 0. \ lu función vectorial a ( t) = ( a i ( t ) ; a 2(0 ; ...;a n(0 ) se llama parametrización *1» ln curva i (implo 23. La función vectorial a: [0; 27r] -» R2 definida por a ( t) = (eos t\ sen t) • n un í parametrización de la curva & x 2 + y 2 = 1 i |t tupio 24. La función vectorial a: R -> R2 definida por N ((£; £), t < 0 a - l(t; t 2), t > 0 11 mili parametrización de la curva f t \ í ^ 0 I .i tilica de & se muestra en la figura 1.11 yi Á II 0 i 111 ni pío 25. Halle la parametrización de la curva . (x2 + y 2 4- z 2 = R2 , R > 0 \z = a , 0 < a < R Solución S11 « emplazar z = a en la ecuación * l yJ 4 z 2 — R2, se obtiene CK\ x 2 + y 2 = R2 - a 2 i i pm amctrización de la curva es F.ig. 1 11 ^ j x = v R2 - a2 eos t , t E [0; 27r] c i • I i---------- (y = y¡ R2 — a2 sen t mi r«» existe una función vectorial tal que «• (O m {\lR2 - a 2 eos t : \ R 2 - a2sen t;a ) , t E [0; 27r] I i hunden de esta función vectorial se muestra en ia figura l.L Definición 9. Sea & c E n una curva parametrizada, esto es, existe una función vectorial a: [a; b] -» E n, tal que a([a; b]) = & i) Se dice que C es una curva con puntos dobles si a ( ti) = a ( t 2) , t 1 ^ t2 (Fig. 1.13) ii) Se dice que es una curva simple si no tiene puntos dobles (Fig. 1.14) iii) Se dice que ¿?es una curva cerrada si a (a ) = a(b) (Fig. 1.15) iv) Se dice que £ es una curva regular, si la función vectorial a ( t) tiene derivada continua y a'(t) [a; b] CÁLCULO III Ejemplo 26. La imagen de la función vectorial a: [0; 2n] -> E 2 definida por a(t) = (4 eos t ; 4 sen t) es una curva cerrada (Fig. 1.16), pues a(0 ) = a(2n) = (4;0) 3 0 FUNCIONES VECTORIALLó I (tmplo 27. La imagen de la función vectorial a: R -> R ¿ definida por <»( () (t ’ f- 2t 2; t 3 — t) es una curva con puntos dobles, pues para /, - ( - 1 + \fÍ3 ) y t2 - ‘1 t4 ( - 1 ~ vT3) se cumple /9 3\ \8 : _ 8/ = a( tz^ i i« ni pío 28. La imagen de la función vectorial a: E -» E 3 definida por n i/) (a eos t ; a sen t\ bt) (a > 0, b > 0) es una curva regular, pues ir'(t) - ( - a s e n t; a eos t; ib) =£ (0; 0; 0 ),V t 6 E ¡ •» hnu ion 10. (Reparametrización de una curva regular) Sim c E n una curva regular, es decir, existe una función vectorial a |í/; /;| E n tal que a([a; /?]) = C y a'{t) & 0, Vi £ [a; ¿]. i n.i reparametrización de a(£) es una función vectorial y = a o ^ ¡ [c;d] E n hil que y(u) = (a ° 0 se conserva la misma orientación en la curva reparametrizada. ii) Si [0; 2n] es una función real definida por cp(u) = 2nu , entonces y(u) = (a o 0, entonces la curva y(u) mantiene la misma orientación de la curva a(t). b) Si 0: [0; 2n] -» [0; 2n] es una función real dada por 0 (u) = 2 n — u, entonces y(u) = (a o )(u) = a(cp(u) = (cos(27r - u) ; sen (2n - u)) es una reparametrización de a(£). Como '(u) = - 1 < 0, entonces la curva y(u) invierte la orientación de la curva a(£). LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA REGULAR Definición 11. Sea c r:|a ;¿ ]-> M n una curva regular en [a; b], tal que e- a (t) = (at (t); « 2(0 ; ...; «n(0 ) La longitud de arco de la curva medida desde t = a hasta t = b es ¿(C) = j Ha'COIIdt rb = I + - + [añ(í)]2 dt Ja Observación 7. La función longitud de arco de la curva a(t) es dada por s (t) = Z(t) = | ||a ;(u )||d u ,£ G [a; fe] Ejemplo 30. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas FUNCIONES VECTORIALES «I} 2 u o •'o ll«'(OII = J1 + ^(t2 - f " 2) 2 = |v(t2 + í" 2) 2 = ^(t2 +1-2) Por tanto, la longitud de arco de la curva desde £ = 1 hasta £ = 3 es /.(2) y a '( l ) = (1; 2) son paralelos y tienen el mismo sentido. Luego, el valor de t0 que cumple con las condiciones del problema es t0 = — 1 ii) Si tx es el valor de t donde a(t) y a'(t) son ortogonales, entonces a ( t x) • a ' (tj) = 3tx 4- 2t\ = tx(3 4- 2 t2) = 0 Luego, el valor de que cumple con las condiciones del problema es tx = 0 Por consiguiente, la longitud de arco de la curva desde t — — 1 hasta t = 0 es f o r° J ||a'(£)||d£ = J V' l + 4 t2 d t = V5 2 ■ln(V5 — 2) Ejemplo 32. Sean las curvas t Cx: a(t) = 2in2(cos t ; sen t; 3),0 < t < 2n C2:/?(t) = (t 4- 1; t 2; 3t 4- 3) ¿En cuánto debe incrementarse t para que la longitud de arco de la curva Cx sea igual a V il desde el instante en que C2 interseca a Cx? Solución Sean y t2 los valores del parámetro t en las cuales las curvas Cx y C2 se cortan, esto es Jül a (ti) = 2in2(cos t i ; sen tx, 3) = /5(i2) = ( t2 4- 1; t22; 3 t2 4- 3) De esta igualdad, se tiene t2 4- 1 = 2in2 cos(t1) ... (1) tx = 2in2 sen (t!) ... (2) 3 t2 4- 3 = 3. 2HT2 ... (3) Al resolver las ecuaciones (1) y (3), se obtiefie c o s ^ ) = 1, de donde resulta tx = 0 ó = 2 n ^ Para tx = 0 , se tiene t2 = 0 y estos dos valores satisfacen las tres ecuaciones 34 FUNCIONES VECTORIALES 2 n I*.n i t , = 27r, se obtiene t2 = 2i^z — 1 y estos valores no satisfacen la segunda ecuación. INu consiguiente, las curvas Cx y C2 se intersecan para tx — 0 ó t 2 = 0 I .» derivada de la función vectorial a es t __ t ,, '(i) - 2in2(cos t — sen £; sen t 4- eos t ; 3) y \\af(t)\\ = v i l . 2 ^ 2 I liego, la longitud de arco de la curva Cx desde t = 0 hasta t es ¿(C) = I \\a'(t)\\dt = V u j 2ÍF2du = VTT( 21^2 - l ) = V ñ I )e donde resulta J_ _L_ t 21n2 - 1 = 1 <=> 2in2 = 2 «=> -— = 1 <=> t = ln 2 ln 2 Por tanto, el incremento de t debe ser ln 2 desde t = 0 . I jemplo 33. Una partícula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posición es a ( t) = (21 eos t ; 21 sen t\ - t 2 4- 21) a) Determine la rapidez de la partícula en el instante t = 1 b) Si la partícula toca al plano XY en el instante t = 0, halle otro instante tx en que la partícula toca nuevamente el plano XY. t ) 1 lalle el espacio recorrido por la partícula desde t = 0 hasta t — tx. Solución ,,) ^ '( t) = (2(cos t - t sen t); 2 (sen t + t eos t ); —2t 4- 2) II«'(t) || = >/4(cos t - t sen t ) 2 4- 4(sen t + t eos t ) 2 4- (2 - 2 t)2 = 2V2 V t2 - 1 + 1 I .liego, la rapidez de la partícula en el instante t - 1 es l|a '(l)ll = 2V2 b) 1 a partícula toca al piano XY cuando z = 0. esto es. / = —t 2 4-2t = 0<=?t = 0V £ = 2 Por consiguiente, el instante en que la partícula toca nuevamente al plano XY es t = 2. ■ 1 I I espacio recorrido por la partícula desde t = 0 hasta t = 2 es CÁLCULO III = V2 3V6 + V2 3V2 ^ ----- ------ + — ln(3 + 2V3) EJERCICIOS 1.- Encuentre la longitud de arco de las siguientes curvas: a) « ( 0 = (2 sen t; 5; 2 eos t), t 6 [-1 0 ; 10] b) a(t) = ( V l t j e ^ e - *), 0 < t < 1 c) a ( t) = (21; ln t ; t 2), 1 < í < e d) a ( í) = (/g 2 cos(7tu2) du; 2 sen (7ru 2) du ; 3 V 5 t), 0 < t < n e) a ( t) = a - sen t; 1 - eos í ; 4 sen ^ j , í 6 [0; 2ít] 0 a ( t) = (t; ln(sec t); 3 ), desde t = 0 hasta t = - R. in fl + V2', 4 g) a ( t) = (a(cos t + t sen t); a (sen t - t eos t)) , a > 0 , £ e [0; 27r] R. 27r2a h) a ( t) = ( t;ln ( s e c t) ; ln (sect + t a n t ) ) , t 6 [ 0 ; R. V 2 ln (l + V2) i) a ( t) = (e f eos t ; e c sen t), t 6 [0; 2] R. V 2(e2 - 1) 2.- La imagen de la función vectorial y (t) = (eos 4 t ; sen 4t; 4) describe la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio IR3 a) Trace la gráfica de la trayectoria que describe la partícula. b) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para t = n/4. c) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por la partícula en el punto 71(0; 1; 4) d) Calcule la longitud de la trayectoria que recorre la partícula desde 1 = 0 hasta t = 2 n. 3.- Sea ia elipse descrita porx = a eos t ,y = b sen t , t E [0; 27r], 0 < b < a f TC/2 ___________ Demuestre que la longitud de la elipse es L = 4a I yjl - e 2 se n2t dt, Jo donde e es la excentricidad de la elipse. 36 FUNCIONES VECTORIALES Si una curva tiene la ecuación polar r = /( # ) , donde a < 6 < b < a + 2 n , rb demuestre que la longitud de arco es ( d r \ 2 r2+y ^ I Jse el ejercicio 4 para hallar la longitud de arco de las siguientes curvas dadas en coordenadas polares .») I .a cardioide r = 4(1 + eos 6 ), 0 < 6 < 2n b ) r = 6 , 0 < 0 < n R. ^ ( n 2 4 -1) 1/2 + - ln(7r + ^¡n2 + 1) c) r = e 6 ,0 < Q < n R. ^J2 {en - 1) \ (I) r = s en 26 ,0 < 6 < n R. 2 + - V3 ln(2 + V3) e) r = 1 - eos 6 , 0 < 6 < 2n R. 8 0 r = 1 + eos 9 , 0 < 6 < n R. 4 h I ii los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la intersección de dos superficies. Halle ecuaciones paramétricas para cada curva. a) x 2 + z 2 = 4 , y 2 + z 2 = 4 (primer octante) R. x — t , y — t ,z — V4 - t 2 b) x 2 + y 2 + z 2 = 16 ,x y =f 4 (primer octante) R. x = t , y = - ,z = - v —t 4 4- 1 6 t2 — 16 t t ! Sea C una curva en el espacio dada por a (t) = I (3(u)du Jo donde /?(u) = (u eos(u) ; u sen (u); 1) ('alcule la longitud de arco de la curva C desde el punto a(0 ) hasta eí punto a ( l ) . H I )adas las curvas C{: ír(t) = (sen t; 1 - eos t ; t) y C2:^(t) = ( l “ cos f I 4 (^) Jt ~ sen f) ,i) Halle si existe, un punto de intersección entre Cx y C2. En caso de que exista, halle el ángulo de intersección. R. (0; 0; 0) y 7r/2 b) Calcule la longitud de arco de la curva C2 comprendida entre los puntos (1 7r V 3\ 2n 17 9.- Un punto recorre una curva C c M3 de manera que el vector posición a ( t) siempre coincide con el vector tangente a'(t). a) Halle la ecuación paramétrica de la curva C, si se sabe que a(0 ) = (a; b; c), donde a , b , c > 0 R. a ( t) = (a e f; b e £; ce 1) b) Halle la longitud de la curva C desde t = 0 hasta t = 1 R. Va + b + c (e - 1) CÁLCULO III 10. -Dada la curva C„ : (x2 + y 2 + z 2 = 6 l x 2 —y 2 + z 2 = 4 a) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (1; 1; 2) R. LT: = {(1; 1; 2) + t( - 2 ; 0; 1 ) / t e E} b) Halle la longitud de arco de la curva C desde t = 0 hasta t = V5 R. 5 11.- El salto de una vizcacha es descrita por la función vectorial a(t) = ( t 2; 2 |í|) Calcule la longitud recorrida en el tramo cuando 0 < t < 1 R. 2[V2 + ln(V2 + 1)] 1.7 VECTORES UNITARIOS: TANGENTE, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL 1.9 Definición 11. S e a a :[ a ;¿ ] -> una c u r v a regular El vector tangente unitario denotado por T (t ) en la dirección de a '( t ) está dado por n 0 = « ' ( 0 H a'(t)|| i ------• c ) "r- , Como ||7 (t)|| = 1, entonces T(t ) • 7X0 = 1; luego al derivar esta expresión, se tiene 2r(t) • r'(0 = o <=» r(0 • r x o = o fí9 1.19 Asi, T '(0 es un vector perpendicular al vector tangente T (0 . Vt e [a; o]. Definición 12. El vector unitario que tiene la misma dirección que T'(t) (si r ' ( 0 ^ 0) se denomina normal principal a la curva a: [a; 6] -> IRn en el punto a ( 0 y se denota por 3 8 FUNCIONES VECTORIALES /v( 0 =r'(t) lir'(t)ll MiMiiprc i|ue ||T '(t)|| ^ 0 (Fig.1.20) ' miu) (V. [a; £•] -> E n es una curva regular, i monees la función longitud de arco de la ( ni v¡i a ( 0 es HO = í ||a '(u )||d u Ja I a derivada de esta función real es / ' ( 0 = lla'COII I uc’-o, de la expresión del vector tangente unitario, se tiene cr'(t) - l'(t)T(t) (*) I sia ecuación indica que la dirección del vector velocidad a'(t) es igual a la del vector tangente unitario T(t) y la velocidad escalar o rapidez os dada por f'(t) = lk '( t ) || ‘.i un objeto se mueve a lo largo de una curva C, el vector tangente unitario T(t) .ipunta en la dirección del movimiento, mientras que el vector normal principal N(t) es ortogonal a T(t) y señala la dirección hacia donde gira el objeto (lado cóncavo de la curva C). Además ||A/(t)|| = 1, Vt G [a: b). < )bservación 8. Sea a: [a; b] -> R n una curva regular,.tal que & - a([a\ fe]). ‘.i es derivable en [a; fe], entonces al derivar la expresión (*) resulta „"(o = /"(orco + = n t m o + z'(or'(oiiN(o I uc l ’,0, el v e c t o r a c e l e r a c i ó n a " (t) es c o m b i n a c i ó n lineal de los v e c t o r e s t a n g e n t e uni ta r i o T(t) y n o r m a l p r i nc i p a l N(t). Delinición 13. Sea a : [a; fe] -> E n una curva i ciliar tal que a " ( t) * 0,Vt G [a; fe] I I vector unitario dado por H(t) = T(t) x N(t) y denomina vector binormal a la curva ■ E 3 una curva regular. El plano que pasa por a ( t 0) y es paralelo a los vectores 7 ( t0) y A/(t0) se llama plano osculador de la curva C = a([a;b]) en el punto a ( t 0). (Fig. 1.22). La ecuación cartesiana del plano osculador es P0: ((x; y; z) - O 0;y 0;z 0)) • 5 ( t 0) = 0 Definición 15. (Plano Normal Principal). El plano normal principal a la curva regular a: [a; b] -> E 3 en el punto a ( t 0) = (x0;y 0;z 0), es el piano generado por /V y B con normal 7. La ecuación cartesiana de este plano es Pw:((x ;y ;z ) - (x0; y0; z0)) • r ( t 0) = 0 Definición 16. (Plano Rectificante). Es el plano generado por 7 y B con normal N. La ecuación cartesiana es PR: ( ( x ; y ; z ) - (x0;y 0;z 0)) • W(t„) = 0 Ejemplo 34. Halle los vectores tangente unitario, normal principal y binormai de la espiral cónica a(t) = e t (eos t i + sen t j + k) en un punto arbitrario. Solución a' (t) = (e r(cos t - sen t); e l (sen t + cos t); e c), ||a '( t) || - v'3 e t a '( t ) 1 T(t) = —--y = — (eos t - sen t: sen t + eos t ; 1) II«(011 V3 4 0 FUNCIONES VECTORIALES / '(£) ( - s e n t - eos t ; eos t - sen t; 0) y ||T ( t) || = J - T '( t ) 1 N ( ( ) - ||7./(t )|| = ( - s e n t - eos t ; eos t - sen t; 0) » ( 0 '/’( 0 x N (í) = ( — — (eos t - sen t); — — (sen t + c o sí);-4 r') V V6 V6 Vó/ l i< inpío 35. Halle las ecuaciones de los planos normal principal, rectificante y om ulador de la curva , (x2 + s I* y 2 + z 2 = 6 ... (1) ' 2 - y 2 + z 2 = 4 ... (2) • n vi punto i4(l; 1; 2) Solución Al eliminar la variable y en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene la curva proyectada sobre el plano XZ, esto es, x 2 + z 2 = 5 I .i parametrización de la curva g Q es v W S eos t , z = V5 sen t , t G [0; 27t] Además, si se reemplaza x 2 + z 2 = 5 en una de las ecuaciones (1) ó (2), resulta y ■ i. I imt.o, existe una función vectorial a: [0; 2n] -> E 3 tal que eos t0 = —V5 y sen t 0 = Am, los elementos del triedro móvil son: ■ i'(t) - ( - V 5 sen t ; 0; V5 eos t) => a ' ( t 0) = ( - 2; 0; 1) /(O a'CO V5 = ( - s e n t ; 0; eos 0 => 7 (t0) = í ---- = ; 0;-4=) V V5 V V 1 ( - eos t ; 0; - s e n t) => A/(í0) = ( lk'(0 ll / '(O ( - eos í ; 0; — sen 0 y ll^'ÍOll = 1 7 '( 0 //((„I T(t0) x N ( t 0) = V~5r ;0;_7V5=)/ i J k 2 1 ■— 0 — V5 V5 1 2 'vi u ~Vf = (0; —1; 0) 41 CALCULO III Por tanto, las ecuaciones generadas de los planos son: Plano normal principal: 2x — z — 0 Plano rectificante: x + 2z — 5 = 0 Plano osculador: y = 1 Observación 10. Sea a :/- > R3 una función vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas continuas hasta el segundo orden. Las expresiones de T(t), N (t) y £?(t) en términos de la función a ( t) y sus derivadas son cc\t) _ a ' ( t ) x a " ( t ) [ a ' ( t ) x a " ( t ) ] x a ' ( t ) r ( 0 = Tlra~'7C77OTI7IT >' g ( 0 = ||a '(t) x a " ( t) || ' = ||[ a '( 0 x « " (t)] x «'(011 Si B(t) = b ( b vector constante) Vt 6 /, entonces la curva es plana. Así, la curva esta en el plano osculador. ( , 4 t3\ Ejemplo 36. Sea la curva C: a(t ) = 11; 1 — 2 C ; 1 — — 1 Halle la ecuación del plano osculador de la curva C paralelo al plano z — — 4 Solución Se tiene a'(t) = (1; —4t; —4 í 2), a " ( t) = (0; —4; —8t) / fe a '( t ) x a " ( t ) = 1 —4í —4 í2 = (1 6 t2; 8t; —4) 0 - 4 —8t Como el plano osculador es paralelo al plano z = —4, entonces el vector binormal (que es la normal al plano osculador) es paralelo al vector k = (0; 0; 1). Así, la primera y segunda componente del vector a '( t) x a " ( t) debe ser igual a cero, es decir 1612 = 0 y 8t = 0 => t = 0 Luego, el punto de paso del plano osculador es a ( 0) = (0; 1; 1) y 0 (0) = (0,0, - 1) Por tanto, la ecuación general del plano osculador es P0: [(*; y; z) - (0; 1; 1)] • (0; 0; - 1 ) = 0 » P0: z = 1 Ejemplo 37. Sea C la curva intersección entre las superficies C:y = (x — 2) 2 A z = (x - 2) 2 Halle la ecuación cartesiana del plano osculador a la curva C en los puntos (2; 0; 0), (3; 1; 1) y (x0; y 0; z0) Solución 4 2 M Imccr x t, la regla de correspondencia de la función vectorial que genera la curva C es C. a (t ) = (t; (t - 2)2; (í - 2)2) , t 6 R 1 ucgo, se tiene « '( í) = (1; 2(t - 2); 2(t - 2)) , a "{t) = (0; 2; 2) FUNCIONES VECTORIALES a '( t ) x a " ( 0 = t j k 1 2(t — 2) 2(£ — 2) 0 2 2 (0; —2; 2) a '( t ) x a " ( t) 1 / 1 1 \ ... 8 (t) - = i v f (0- 2:2) = ( 0: - V ! : V i) - 6 P«»i consiguiente, la ecuación del plano osculador que pasa por el punto (2; 0; 0) es / o: y “ z = 0 < orno el vector binormal B(t) = b es constante, entonces la curva C es plana y »Icscansa sobre el plano osculador, Vt G 1. EJERCICIOS I Determine T y N para cada una de las siguientes curvas: a) a ( t) = (a eos t ; b sen t), t G [0; 27t] ,a,b > 0 b) a ( t) = (a cosh t ; b senh t), a,b > 0 c) a ( t) = (t eos t ; t sen t; ai) , a > 0 d) a ( t) = (a 2 eos t ; a 2 sen t; £>2 1) en r = r0 , a,h constantes e) a ( t) = (312; 2 + 8 t 2; - 5 t 2) en c = 0 I) a ( t) = (9 eos t ; 9 sen t; 3) en t = n ’ En t = 0 y t = 1, encuentre el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez para cada una de las siguientes curvas a) a ( t) = (10 sen 2n t ; 10 eos 2 rrt) b) a(t) — (cos(nt2) ; sen (rrt2)) c) a ( t ) = e “£ (cos - t ; s e n d) a ( t) = ( 4 sen 27rt; 4 eos 2/rt) e) a ( t) = ^cos(2007rt) ;sen (2007rt);— j > - Si a: [a; fr] R3 es una curva regular, demuestre que a ' x a " ( a ' x a " ) x a : B = — ----- — , N - B x T = Til a 'x a " ! l ' ¡|(a' x a " ) x tt'll 43 4.- Dada la curva a(t ) = ( t 2 + 1)í + 8 tj + ( t 2 - 3)k , halle el vector tangente unitario en t = 1, escriba la ecuación del plano normal, plano osculador y plano rectificante en el punto a ( 1). 5.- Sea a ( t) el vector posición de una partícula que se desplaza sobre la esfera de centro en el origen y radio r. Demuestre que el vector velocidad es perpendicular a a ( t) en cada instante. Sugerencia: Derivar a ( t) • a (t) = r 2 6.- Dada la curva a = a(t) y un punto fijo Q, demuestre que si la distancia I k ( 0 ~ <211 alcanza un mínimo para t = t0, entonces a ( t 0) - Q es normal a a'(to)- Sugerencia: [a (t) — Q] • [a (t) - Q] alcanza un mínimo en t = tQ 1- Demuestre que la tangente a una hélice forma un ángulo constante con el ej Z y la normal es siempre perpendicular a ese eje. Sugerencia: usar la parametrización a ( t) = (a eos w t ; a sen w t ; bt) 8.- Determine los puntos en que la curva a ( t) = ( t 2 - l ; t 2 4- l ; 3 t) corta ai plano 3x — 2y - z 4- 7 = 0 R. (3; 5; 6) y (0; 2; 3) 9.- Una partícula se mueve a lo largo de la elipse 3 x 2 4- y 2 = 1 con vector posición a(t ) = f( t )T + g(t)j. El movimiento es tal que la componente horizontal del vector velocidad en el instante t es - g(t). a) ¿Se mueve la partícula sobre la elipse en dirección a favor o contraria a las agujas del reloj? R. Contraria a las agujas del reloj. b) Demuestre que la componente vertical del vector velocidad en el instante t es proporcional a / ( t ) y halle el factor de proporcionalidad. R. 3 c) ¿Cuánto tiempo se necesita para que la partícula recorra toda la elipse una vez? R. 2tt/V3 10.- Si una partícula se mueve sobre la curva a (t). verifique que la aceleración a " ( t) es siempre paralela al piano osculador. 11.- Halle los vectores T, N y B asociado a la curva a ( t) = ( í ; t 2; t 3). Además, halle las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante en t = 1. CÁLCULO III 12.- Halle las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante a ía curva a(t) = 4- 1; e~l - 1; i) en t = 0. 13.- Si a : [a; 6] -» E 3 es una curva regular y # '( t) existe, demuestre que B’(t) es paralela a N (t). 14.- Determínese T,N y B los planos osculador, normal y rectificante en a(0 ) para las siguientes curvas: a) a(t) = (t eos t ; t sen t\ i) b) a (t) = (t - sen t; 1 - eos t ; t) c) a(t) = ( t 2; eos t ; sen t) en t = 1 d) a ( t) = (t; 1 - V, t 4-12) en (1; 0; 2). Demuestre que el plano osculador es paralelo al eje Z. 15.- Dada la curva C: a(t) = (t; ln(sec t) ; ln(sec t 4- tan t)); halle el triedro móvil en el punto en que la curva corta al plano XZ. 1 1 R. T — — (1; 0; 1), iV = (0; 1; 0), B = — (- 1 ; 0; 1) V2 V2 1.8 CURVATURA Y TORSIÓN DE UNA CURVA Rl PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA RESPECTO AL PARÁMETRO LONGITUD DE ARCO FUNCIONES VECTORIALF? Teorema 5. Sea a: [a; b] -> E n una curva regular tal que a([a\ b\) = & y la longitud de arco de la curva desde t - a hasta t = b es L = I |(a '(t)||d t a I monees, la función longitud de arco l. [a; b] -» [0; L] dada por s = m = ( V w i M t *'a es continua y monótona creciente en el intervalo [a; b]. Definición 17. Una curva regular y: [0; L] -> Rn es parametrízada por la longitud de arco s, si y solo si l|y '(s)|| = 1, Vs 6 [0; L] Teorema 6. Toda curva parametrizada por longitud de arco y: [0; L] -» Un es una reparametrización de una curva regular a: [a; b\ -> E n y está dada por i y(s) = a O O ) ) .Vs £ [0;L] r b i donde L = ||a :'(t)||d t y E 3 una curva regular definida por a(t) = (eos t; sen t; t) Halle: a) 5 = l(t) b) 0 ■'o b) Como s = ¿(t) = V 2 t, entonces la inversa de esta función es = ¿_1(s) = -^ ^ 0 V2 c) La reparametrización de la curva regular a en función de la longitud de arco s es m=“((í(s))=“ (^)=(cos ( j é -■sen & ;é) d) r'(s) = ( - ± s e n (-L ) : - L c„s (-L ) ; J - ) y ||,/( S:)|| = i , v s > o Por consiguiente, el vector tangente unitario T(s) es ™ = = ,,'(s) = ( ~ 7 í sen (é):^cos(^):^) Ejemplo 39. Dada la curva C :a (t ) = (t; ln(sec t) ; ln(sec t 4- tan t)) , t E [0;^] ' a) Halle la longitud de arco de C. 4 6 b) Keparametrice C en términos de longitud de arco. Solución r n / 4 r tí ¡ 4 a) L = I ||a '(t)||c it = J V2 sec t dt = V2 ln(V2 + 1) A) b) s = Z(t) = j ||a '(u )||d u = V2 ln(secí + tan í) , t 6 [(); —j FUNCIONES VECTORIALhS Al despejar t en términos de s, se tiene í e% - \ \ / s \ t = (¡o(s) = aresen — s------ = aresen ( — ) ,s 6 [0; V21n(V2 + 1)1 VeVf + 1/ Por consiguiente, K(s) = a( t = 1 2 Luego, el punto de intersección de la curva & con el plano XY es írS3 11 \ CÁLCULO III Al derivar la función vectorial, se tiene a '( 0 = f t + l ; £ - l ; ^ ) y a '( l) = f 2; 0 ; V2 a " { t ) = 1; 1; - V2 2t2 y « " ( ! ) = f 1; 1; - V2 a '( l ) x a " ( l ) = ( — 2 fc(D = Por consiguiente, la curvatura de la curva en el punto P llor'Cl) x cr"(l)|| 2V2 lk '( i) li3 “ 9 es RADIO DE CURVATURA Definición 20. Sea g: a: I -> R3 una curva regular, y sea /c(£) la curvatura de la curva g en el punto a ( t) donde fc(t) =£ 0, Vt G /. El radio de curvatura de la curva en el punto a (t) es dado por Observación 12. A la circunferencia que tiene como radio R(t) (Fig. 1.25) se denomina circunferencia de curvatura o círculo de curvatura en el punto a ( t 0) de la curva gcon k ( t ) ^ 0. El centro de la circunferencia de curvatura se encuentra sobre la recta normal a la curva g en el punto a ( t 0). (Fig. 1.25), y como los vectores T y N están en el plano osculador, entonces la circunferencia de curvatura se encuentra también sobre ei plano osculador. La circunferencia de curvatura (C2) está en el lado cóncavo o interior de la curva g y tiene la misma curvatura que g en a ( t Q). El centro de curvatura de la curva g en el punto a ( t 0) es ei centro de ia circunferencia de curvatura ( C j y es dado por Coito) = a(t0) + RUo)N(to) 5 0 Observación 13. Sea g :y = f ( x ) una curva plana, tal que /'( * ) y / ” (*) existen en v a. Entonces, el centro de curvatura C0(x0;y 0) de la curva g en el punto ( í e sen du = 0 <=* t = 2n 2 J2n 2 hn (1 — 4ti \ I aiego, la curva g corta al plano dado en el punto cx(27t) = P0 (— -— ; 0; 2tc J Por otro lado, se tiene a '( 0 = ( - 1; e sent; 1) y a " ( 2/r) = ( - 1; 1; 1) 51 CALCULO III = (0; e sent c o s t ; 0) y a " ( 2n) = (0; 1; 0) a ' ( 2 n) x a " ( 2 n ) = (—1; 0; - 1) [a'(27r) x a"(27r)] x a'(27r) = (1; 2; - 1 ) [a'(27r) x a"(27r)] x a ’(2n) 1 W = | | [ a , ( 2 í r ) x o ' ' ( 2 í r ) ] x a ' ( 2 j r ) | | = 7 1 ^ ^ _ 1 ) ||a'(27r)||3 3V6 R(2n) = (radio de curvatura) ] a r(2n) x a " { 2n)\\ 2 Así, el centro de curvatura de la curva & en el punto a(2 n ) es C0(2tt) = a{2n) 4- R(2n)N(2n) <1 — 4 7T )\ + 3V6 r 1 i — . v i ( 1 ;2 :- 1 ) II / 47T - 3\ = (2 — 27t; 3; - ) La ecuación del plano osculador de la curva ¿?que pasa por el punto a(2n) es /fIí -- 4477Tr \ (x ;y ;z ) - ^— -— ; 0; 2n j (- 1 :0 ; - 1 ) = 0 » P0:x + z = - Como las coordenadas del centro de curvatura satisfacen la ecuación del plano osculador, entonces la circunferencia de curvatura se encuentra sobre el plano osculador. Ejemplo 43. Dada la curva C: a (t) = (2 t 2\ 1 — t; 3 4- 2 12) Halle la ecuación de la recta paralela al vector curvatura K(t) que pasa por el punto a ( t 0), donde el radio de curvatura es mínimo. Solución a '(t) = (4t; —1; 4t), a"(t) = (4; 0; 4), a '( t) x a " ( t ) i ] K 4 1 - 1 4t 4 0 4 = (- 4 :0 ; 4) Luego, «(to) = • l « ' ( t o ) l l 3 1 24 |« '( t0) x a " ( t 0)|| = í ^ (1 + 32t“) 3/2 ' R'(to) = t0(3 2 t02 + l ) 1/ 2 52 Al igualar a cero la derivada de /?, el único punto crítico de es t0 = 0. Por el criterio de la primera derivada, se tiene FUNCIONES VECTORIALES 1 Intervalo Signo de R \ t 0) ^Ct0) (-oo; 0) (0; 4-co) 4- decrece ^ Min crece Así, el radio de curvatura es mínimo en t0 = 0. Ahora, [ a \ 0) x a"(0 )] x cr'(0) = (4; 0; 4) [ a '( 0) x « " ( 0)] x a ' ( 0) 1 w(°) = ,.L » n n n = 1 = .fr *) m = ||[a'(0)xa"(0)]xa'(0)|| V2 ||a'(0)xo"(0)|| ll«'(0)||3 = 4a/2 , K(0) = /c(0)/V(0) = (4; 0; 4) Por consiguiente, la ecuación vectorial de la recta paralela al vector K( 0) que pasa por el punto a ( 0) = (0; 1; 3) es L: (x; y; z) = (0; 1; 3) 4- t(4; 0,4), t E R Ejemplo 44. Halle la ecuación cartesiana de la evoluta de la parábola y = x 2 Solución y ' = / ' ( * ) = 2 * . y" = / " ( * ) . = 2 Luego, el centro de curvatura (x0;y 0) de la curva plana dada es 1 + 4x2 x0 = x — 2x yo = * + 2 1 + 4*2 = —4x3 6x 2 + 1 Al despejar x e y en términos de x0 y yn , se tiene 1/3 2y0 - i Al reemplazar estas expresiones en la ecuación de la parábola, se obtiene CÁLCULO III Por tanto, la ecuación de la evoluta se obtiene al reemplazar x 0 y y0 por x e y, ^ ( y - Ì Ì esto es E: x TORSIÓN Sea a: [a; b] -> R3 una curva regular parametrizada por longitud de arco, tal que a ( [a ; ¿ ]) = ¿ « ( 0 = ( a i ( t ) ; a 2( t ) ; a 3(t)) y s = f( 0 = í ||a '( u ) ||d u ,t 6 [a;b] Ja La razón de cambio instantáneo del vector binormal con respecto al parámetro dB longitud de arco determina el grado de torsión de la c u rv a re n el punto a(t). Para los vectores unitarios, se tiene B (t) = T(t) X N(t), B'(t) = T (t ) x N'(t) N (t) x B'{t) = W(t) X [7(t) x W'(t)] = [w (0 • w '( t)]r(c ) - [/v(0 • T(t)]N'(t) = o Luego, los vectores N (t ) y B '(t) son paralelos. Al derivar el vector binormal con respecto al parámetro longitud de arco, se obtiene d B (t) _ d B ( t ) dt _ 1 d B (t) 1 ds ~ ~ d T ' d s = !|a'(t)ll d i = ||a '( t ) l|B (t) Como los vectores N (t) y ¿^(O son paralelos, entonces se tiene d fi(t) Donde r ( t) es una función real. Al número real r ( t) se llama torsión de la curva & en el punto a(t). Observación 15. i) r( t) = 0 , Vt 6 / si y solo si es una curva plana ' 5 4 FUNCIONES VECTORIALES ii) La torsión r ( t) mide como se está torciendo la curva & con relación al plano osculador. ii¡) Si a: [a: b] -> R3 es una curva regular parametrizada, tal que a ' ( t ) , a " ( t ) y a " '( t ) existen en [a; b], entonces se tiene l jcmplo 45. Halle la torsión de la curva C: a(t) = (eos t ; sen t ; t) en t = 0 Solución u '( t) = ( - s e n t ; eos t ; 1) , a " ( t) = (— eos t ; - s e n t; 0) a " \ t ) = (sen t; - eos t ; 0) , a '(0 ) = (0; 1; 1) , a " ( 0) = (- 1 ; 0; 0) a '" ( 0) = (0; — 1; 0) , a '( 0) x a " ( 0) = (0; - 1 ; 1) Por tanto, la torsión de la curva dada en el punto correspondiente a t = 0 es [ a ' ( í ) x a " ( t ) ] . a ' " ( 0 ) 1 T ( 0 ) = - |a '( t) x a " ( t ) ||2 ( 2 t + 1 t 2 \ rjem plo 46. Sea ^ una curva dada por a ( t) = I —— + a) Halle la torsión de la curva ß Vt ^ 1 b) Halle la ecuación del plano osculador en la que se encuentra ia curva dada Vt * 1. Solución / 3 t 2 - 2t \ / 6 2 \ a) a '( t ) = f - ( t _ l ì 2 ; f t _ 1) 2 ; l ) . (t - 1)2 ' (t - l ) 2 ' 7 ’ a W(t) - VL(t -_ l )3 '; (t _- 1)3 ;' Oj 18 6 (t — l ) 4 ' ~ (t — l )4 a '"(t) = ( - * ? _ ■ - - A - ; ° ) , [« '(t) x o " (t)] • « '" (0 = 0 , Vt * 1 Luego, [a '(t) x a " (t)j • a" '(t) T-rn = -——------- — ------ — = o vt * i n tJ ||a ' ( 0 x a " (t) | | 2 Por tanto, la curva ß es plana para todo t ^ 1 b) Es fácil verificar que «■(0 x *"(t> = 3: - 3 ) . Bit) = 3: - 3 ) 55 CALCULO III Por consiguiente, la ecuación del plano oscular en la que se encuentra la curva dada, Vt ^ 1 es P0 : P0\x — 3y 4- 3z - 5 = 0 (-1 ; 3; - 3 ) = 0 , esto es Ejemplo 47. Dada la curva £\ a ( t) = - sen t; 1 — eos t ; 4 sen , halle la curvatura y la torsión de la curva & en el punto donde el plano normal principal a la curva es paralelo al plano z = 1. Solución Como el plano z — 1 es paralelo al plano normal principal, entonces sus vectores normales k = (0; 0; 1) y T(t) = ^[| son paralelos. Luego, se tiene ||C£ v^JII k x a '(t) = ( - s e n t; 1 - eos t ; 0 ) = (0 ; 0 ; 0 ) «=> f sen 1 = 0 „ => t = 0 t i - eos t = 0 También, se tiene a"(t) = (sen t;cost;-sen ^ j , a (t) = feos t ; -s e n t ; e o s ^ a '( 0) = (0; 0; 2), o " ( 0) = (0; 1; 0), a " '( 0) = ( l ; 0; - ^ y a'(0) x a "(0) = (—2; 0; 0) Por consiguiente, la curvatura y la torsión de la curva C en el punto “ (0) = (0; 0; 0) son |a'(0) x a"(0)|| 1 m = r(0) = ll«'(0) ||3 4 [ a '( 0) x a " ( 0)] • a " '( 0) 1 ||a '( 0) x a " ( 0 )||2 _ ~ 2 Ejemplo 48. Determine la ecuación del plano oscuiador y 1a torsión para la curva £\ a(t) - ( arctan t ; - —— : ln(t + V I + t 2) ) V 1 4- t / en un punto donde el vector tangente a la curva tiene la dirección de ia recta L\x -r \ — y — \ — z — 2 Solución / I 1 1 ^ 0 “'« = (rTF:(TT^;^ffF) esParaleloalarecta L: (x; y; z) = ( - 1 ; 1; 2) 4- s ( l; 1; 1), s G E , entonces 5 6 ir' (t) x d FUNCIONES VECTORIALES j k 1 1 i + t2 (14-t) 2 VTTT2 i i i v ri 4- ¡ i i i + - <(i + 0 2 VTT72 ’ i + t 2 V T T t^ ’ i + —tt 22 (( ii ++- —tt))22)) = (0; 0; 0) I )c donde resulta t = 0 también se tiene a(0 ) = (0; —1; 0) , a '(0 ) = (1; 1 / f f 21 2 « " ( 0 (1 + t 2) 2 ' (1 + t) 3 ’ (l + t 2)3/2 a " ( 0) = (0; —2; 0) — 2 4- 6 t 2 2t , a " '( 0) = ( - 2 ; 6; - 1) ^(1 4- t 2) 3 ’ (1 + t ) 4 ' (1 + t 2) 5/2, a '( 0 ) x « " (0 ) = (2; 0; —2) Luego, la ecuación del plano oscuiador de la curva & en el punto « (0) = (0; —1; 0) es P0: [(x; y; z) - (0; - 1 ; 0)] • (2; 0; - 2 ) = 0<=>f’o: x - z = 0 La torsión de la curva ¿?en el punto a(0 ) = (0; —1; 0) es [a'(0)xa"(0)]«a'"(0) 1 r(0) ||« '( 0) x a " ( 0 )||2 Ejemplo 49. Dada la curva e. j xz - 3x - 2z -r 3 = 0 [z2 — yz -r 3y — 4z -r 4 = 0 Calcule su torsión en ei punto en que ia curva atraviesa ei piano XY. Solución Al hacer z = 0 en las ecuaciones de las superficies que generan se obtiene r - 3 x + 3 = 0 ... (1) l3y 4-4 = 0 ... (2) 4 Al resolver (1) y (2), se obtiene x = 1 ,y = - - / 4 \ Luego, la curva interseca al plano XY en el punto P0 ^1; 0 j CÁLCULO 111 Al despejar x en la ecuación de la primera superficie e y en la ecuación de la segunda superficie, resulta 2z — 3 z 2 — 4z + 4 z — 3 z - 3 Al definir z = t, se obtiene la ecuación vectorial de la curva esto es ( 2 t - 3 t 2 - 4 t + 4 \ / 4 \ a m = { j = 3 ~ ' - 3 :tj y“(°) = (1:-3 :°) De la función vectorial a (t), se obtiene . / 3 t 2 — 6t + 8 a (0 = - (t — 3)2 ’ (t - 3)2 ; l ) . “ (t> = ( ( t - 3) 3 : (t - 3) 3 : ° ) ' a " (° ) = ( —27 ' “ 27' ° ) a " ,(t) = ( - - ( f é ÿ :l°) • = ( - t v ■- b '°) a'( ( 2 6 6 0)xaM(0 = í\2-7 ;--2-7 ) 27/ Por tanto, la torsión de la curva g en el punto correspondiente a t = 0 es = [« '(0 ) X « "(0 )] - « '"(0 ) = n j ||a '( 0) x a " ( 0 )||2 COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN Sea (} una curva regular en R3 , esto es, existe una función vectorial a: [a; b] -> M3 tal que a([a; b]) = & Sea a(t) = ( a x(t); a 2(t)] a 3(t)) el vector posición de una partícula P que se mueve en el espacio, donde t es el tiempo. Entonces & representa la trayectoria de la partícula. Luego, el vector velocidad de la partícula en cualquier punto a(jt) = Q G g, es dado por y(o = a'(t) = //a)no = ik'(oiino donde T es ei vector tangente unitario y l es la función longitud de arco. De la observación 8, el vector aceleración es dado por 58 a( 0 = 1/(0 = /"(ono + íf(t)r(0 = a"(t) a(o = /"(ono + fc(t)[/'(t)]2yv(t) FUNCIONES VECTORIALES Ih linición 22. El coeficiente de T (t) se llama componente tangencial de la w rlrrnción y se denota por |<*r(o = i " ® I I coeficiente de N(t) se llama componente normal del vector aceleración y se denota por [« „ (t) = fc(t)[/'(t)]2 I ¡t rapidez de la partícula en un instante t es llv(t)ii = r e o I ,i componente tangencial de la aceleración es la razón de cambio del módulo de l.i velocidad de la partícula. 1 ,i componente normal de la aceleración es siempre positiva. Además vemos que si el módulo de la velocidad es constante, entonces la componente normal aumenta al aumentar la curvatura. I slo explica por qué un automóvil que toma una curva cerrada a velocidad moderada o a una curva suave a gran velocidad exige, en ambos casos, una fuerza normal (rozamiento de los neumáticos) de gran magnitud para que el vehículo no se salga de la carretera. I jemplo 50. Una partícula se mueve según la ley a ( t) = (t; ln(sec t + tan t ) ; ln(sec t)) Halle sus vectores velocidad y aceleración, su velocidad escalar, ios vectores unitarios 71 y Ai, y los componentes normal y tangencial del vector aceleración, todo para t = n/3. Solución v(t) = a ’(t) = (1; sec i ; tan t), v = (l; 2; v 3) = v a (t) = a " ( t ) = (0 ;s e c tta n r ; sec2t ), a ( - ) = (0;2V 3;4) = a l'(t) = Ha'COII = V2 se c t , V ( | ) = 2 ^ 2 /" (t) = -s/2 sec t tan t , l" ( —) = 2Vó I a velocidad escalar, el vector tangente unitario y la curvatura en t = n /3 son 59 CÁLCULO III |a'(?)|| 2V2 ' /7T\ ® (o ) 1 __ 7'(5) = lü%=i7 f(I:2:V5) = r n « '( S ) x a " ( £ ) 1 k ( 7 ) = ~ — - f ------------------= - = f c Como a = l" ) T + k [^(^O] N , entonces N = ^ ; 0 «r0 -.”(f) = 2V6 , <.„(f) = kK)f = 2 EJERCICIOS En los siguientes ejercicios halle los vectores unitarios T, N y B. a) a ( t) = (1 + t; 3 - t; 2t 4- 4) b) a (t) = (e"2t; e 2t; 1 4- t 2) c) cr(t) = (eú sen t; e 2t eos t ; e - t ) d) a (t) = t r 1 - t 2.- Sea una curva de ecuación vectorial C: a ( t) = (t; ln(sec t ) ; ln(sec t 4- tan t)) Halle los vectores 7, N y B y la ecuación del plano osculador en el punto en que la curva corta al plano YZ. 1 / 1 1 \ /?. 7 = — (1;0 ;1 ), /V = (0 ;1;0), B = ( — - ; 0 ; — : P0: * - z = 0 V2 v y¡2 yf2.j 3.- En los siguientes ejercicios, halle para el valor particular dado t, los vectores 7, N y B; la curvatura, las ecuaciones de la recta tangente y la ecuación dei plano osculador a las curvas . v 2 a) a ( t) = (e L eos t ; e L sen t\ e l), t = 0 /?. P0:x 4- y - 2z 4- 1 = 0; k = — 3 b) a(t) - ( 2 cosh ( - j ; 2 senñ ( | ) ; 2t j , t = 0 R. P0 :2y - z = 0 ; k = ^ 6 0 FUNCIONES VECTORIALES t 2 t 3 I - Sea una curva de ecuación vectorial a ( t) = 2t; V V2 3 ;i) I lalle el centro de la circunferencia de curvatura en a(0 ). R. (0; 2V2; 0) b) ¿Cuál de los siguientes puntos • Pi (0; V2; V2), P2 (2 V2; 2 V2; 0), P3 (VI; 0; 0) pertenece a la circunferencia de la curvatura? R. P2 ' Si tiene la representación paramétrica r( 0 = (eos t ; sen t; — J , t £ [0; 47r] Determine todos los puntos en donde Atiene un vector tangente paralelo a uno de los planos coordenados. í> Si es una curva con representación paramétrica 1 + t l - t 2N a( a ( 0 = t) t t a) Calcule su torsión R. r = 0 b) Determine la ecuación del plano osculador en el punto en que t = 1 R. P0:x - y 4- z -r 1 = 0 c) ¿Sería distinta la ecuación del plano osculador en otro punto? Justifique su respuesta. R. Es el mismo. / Sea C una curva con representación paramétrica a(t) = (2 — t 1/2; \t2 — 1|) I lalle su torsión en el punto de intersección de la curva con el plano * 4- y 4- z = 5 R. r = 0 S Dada ia curva parametrizada por a ( t) = ( l - 21; t 2; 2 e2(í-1)) I lalle la ecuación del plano que contiene a ia circunferencia de curvatura de ía curva en el punto donde a'(t) es paralelo a a(t). Determine también si eí punto (3; 2; 14) está en dicho plano. R. P0: 2x -i- 4y - z = 0 ,f Sea la curva de intersección de las superficies y 2 = x . x 2 = z. En el punto ( I : I i I), halle los vectores unitarios 7, N y B\ ecuación del plano osculador. pl.ino normal y del plano rectificante. Mi Sc.i ( una curva parametrizada u ( t ) = (a ( eos t 4- 1 sen t); a(sen t - te os t); t 2), t > 0 61 CÁLCULO III Reparametrizar la curva con respecto a la longitud de arco como parámetro. 1 1 Dada la curva parametrizada por a (t) = (312; 5 - t; 5 + 3 t2) Halle la ecuación de la recta paralela al vector curvatura y que pasa por el punto en donde el radio de curvatura es mínima. R. L = { ( 0 ; 5 ; 5 ) + A ( l ; 0 ; l ) / A 6 R } 12.- Halle la distancia que recorre una partícula que se desplaza sobre la curva C: x 2 4- y 2 4- z 2 = 1 A x 4- z = 1 (1 '\/ 2 1 \ ^ 2 desde el punto ¿4(1; 0; 0) hasta el punto B R. — n y 2 2 2 J 4 13.- Dada la curva parametrizada por a ( 6 ) = (6 — sen Q\ 1 — eos 0), 0 < 9 < 2 n y sea L la recta que pasa por el centro de la circunferencia de curvatura de la curva en 6 = n/3, en la dirección del vector curvatura. Halle la intersección de L con el eje X. R. ; o) 14.- Dada la curva C: x 2 - 2yz = 0 A y 4- z - V2x - 1 = 0 -a) Halle la ecuación del plano osculador en el punto ( ---- — V 2V2 4 4/ b) Halle la curvatura y la torsión en dicho punto. ( 1 - 21 Cl 15.- Dada la curva parametrizada por a(t) = y— -— ; J e senudu ; 1 Halle la circunferencia de curvatura de ¿?en el punto donde la curva 1 ( 3\ 3 - intersecta al plano x 4-y + z = - . R. Centro: ( 2; 3; - - ] , Radio: -V 6 2 V 2/ 2 16.- Halle el radio de curvatura de la curva a ( t) = (31 — t 3; 3 12; 31 4- 13) en el punto ( - 2 ; 12; 14). 17.- Halle la torsión de la curva a(t) = (1 + t; e t+1; í 2 + 1) (t > 0) en el punto de intersección con la curva /?(t) = ( — ■ ; e 4t; 1 4- 2 t ) , t > 0 \1 -f t ) 2 e2 R. t = ■ 4- 4 6 2 FUNCIONES VECTORIALES IH Si es una curva en R3 descrita por « ( 0 = ” 5en t; 1 “ eos t ; - 4 e o s G [0; 27r] I lalle la longitud de arco de g entré el punto de curvatura máxima y el punto de curvatura mínima. R. L = 4V2 I Demuestre que la hélice descrita por a(t) = (a eos w t ; a sen w t ; bwt) a tiene curvatura constante k = —— pr a 2 4- d Un punto se mueve en el espacio según trayectoria a ( t) = (4 eos t ; 4 sen t; 4 eos £) a) Pruebe que la trayectoria es una elipse y halle la ecuación del plano que contiene dicha elipse. b) Pruebe que el radio de curvatura es 2V2(1 4- sen2t ) 3/2 ?. 1 Para la curva cuya ecuación vectorial es a(t) = ( e l; e ~t : V2t), demuestre V 2 que la curvatura es k(t) = 7— ------- — ^e L -h e -t) 2 22.- Calcule el radio de curvatura de las siguientes ecuaciones polares: (6 2 4- l )3/2 r- fí a)r = 9, R. —2 + 2~ b) r = e , ß. V2e° c) r = 1 + eos 9 en 9 = - , R. - ¡2 + V 2 4 3> 23.- Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t - 2 para el movimiento de una partícula, descrito por la curva 12 a (t) = (\n (t 2 + 1) ; 2 arctan t ; 2y¡t2 4 l ) R. aT = 0 , aN = —7= ^ J 5v30 24.- Encuéntrese la trayectoria a = a ( t ) de una partícula dado que a(0 ) = (0: 0; 1600) , a'(t) = (500; 1000; - 3 2 t) . ¿Qué distancia recorre ia partícula comenzando en el instante t = 0 antes de tocar el piano XY? Proporcione fórmulas para las componentes normal y tangencial de la aceleración. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria cuando t = 5? R. a(t) = (500; lOOOt; - 1 6 t 2 4 1600), d = 11284 R{5) = 40950 25.- Una partícula se desplaza sobre la curva Cl9 descrita por 63 a ( t) = (2 1 4- 4 )3/ 2; 4 — 21; t 2 4- 4t^ , con una rapidez constante de 4 m /seg Si la partícula parte del reposo del punto (0; 8; —4) a) Halle el vector velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante en que cruza a la curva C2, descrito por /4 \ 4 /?(0 = 4- t 2) 21; 20 — lO tj P. = 0 , cif; = ~ b) Desde que la partícula parte del reposo, ¿cuánto demora hasta cruzar C2? R. t = 2 seg CÁLCULO III 26.- Dos partículas se mueven de acuerdo a los vectores posición a (t) = (1 + t; 2 + 3t) y /?(0 = (1 - t; 3 - t 3) respectivamente, donde t es el parámetro, partiendo de t = 0 a) ¿Colisionan las partículas una a otra? En caso que sea así ¿en qué punto? b) Halle las ecuaciones de las rectas normales a ambas trayectorias en el punto donde estos sean paralelos. R. L = {P / P = (0; 2) 4 -1(—3; 1), t 6 1} 27.- Sea una curva descrita por la función vectorial a(t) = (a 2 eos t ; a 2sen t; b2t) con a y b constantes. Determine la curvatura, radio de curvatura y torsión en cualquier punto. 28.- Sea S el sólido encerrado por el cilindro parabólico z = 4 - y por el paraboloide elíptico z = x 2 4- 3y2 y £ la curva de intersección de ambas superficies. Halle la longitud y la curvatura de 29.- Sea C la curva descrita por / ( t ) = (212; 1 — t; 3 4- 212) y P0 eí centro de curvatura de C en el punto donde la curvatura es máxima. Halle la ecuación de la recta que pasa por P0 paralela al vector curvatura. /4 3 ^ 30.- Sea & la curva descrita por a ( t) = y - eos t ; 1 - sen t; - 3 eos t) , t > 0 Demuestre que ¿?es una circunferencia y encuentre su centro y radio. / /-------- c ^ 3 1 Sea la curva descrita por a(t) = ( ln(t 4- V 1 4 -12) ; ^ — ; in (i 4 -1)j Halle la ecuación del plano osculador y la torsión para la curva & en un punto donde el vector tangente tiene ía dirección de ía recta x — \ — y — 2 = z — 5. 6 4 FUNCIONES VECTORIALES 32.- Sea la curva e en U3 descrita por a ( t ) , t e D„. Halle el centro de curvatura de 0 y a'(1) = (6;2:2) / 18 6 \ ( - t ; - s ; 2s ) ; ; Halle las coordenadas del centro de curvatura de la curva Cx descrita por « ( 0 = ( t 3 4- 6; 3t 4- 4; t 2) en un punto de intersección con la curva C2 descrita por ^ ( 0 = ( t 2 - 3; 31 - 5; ln(e4t 4- 1 - 1)) M 1 lalle la ecuación del plano osculador a la curva C descrita por e . ( t 2 t 3\ a = 1 para 1 = 2* Una partícula se mueve en el plano a lo largo de la espiral r = e° con una rapidez constante de 5 pies/seg. a) Calcule el vector velocidad y las componentes de la aceleración de ia partícula cuando 6 = n / 4 . R■ v © = (0; 5)' aT = 0. aN = y V2 e - ^ 4 b) ¿Cuánto tardará la partícula en ir desde el punto correspondiente a 0 = 0 hasta el punto correspondiente a 6 = n i V2 Rm t = T í e n ~ 1) c) Si 6 = 0 cuando t = 0, halle la función vectorial que describa la trayectoria de la partícula. R. <*(() = ( ( ^ t + l ) (eos In + l ) ) ; sen (l„ ( ± t + 1) ) j W> I lalle la curvatura k (n ) y la torsión r(rr) para la curva d descrita por •>{.!•,) = (^4- c o s s ; 1 - sen s; 3 eos s j\ siendo s la longitud de arco de la curva . Sobre que superficie se encuentra ¡a curva 0? R. fc(rr) = 1 , r(rr) = 0, 3x -f 4z = 0 65 CÁLCULO III 37.- Halle el centro de la circunferencia de curvatura y el plano osculador de la curva C: a(t) G R3, t G IR en a(0 ) = (0; 0; 1), si se sabe que: a '(0 ) = (0; 0; 2), T '( i) = | ( 2 ; 1; - 2 ) , 7*'(t) es paralelo a 1; y - 1; t ) y a " ( t) = 2tT (t) + 2/V(t) /?. ( 0 ; 2 ; l ) , x = 0. 38.- Halle y grafique el círculo de curvatura y una porción de la curva descrita por: a(t) = (t sen t 4- eos t ; sen t — t eos t ) , t > 0 en un punto en donde el vector tangente es paralelo al eje X. 39.- La curva g es la intersección del cilindro x 2 4- y 2 + 2(y — x) - 2 = 0 con el plano x — y — 2z — 2 = 0. Halle la curvatura, torsión y el plano osculador en el punto (3; —1; 1). 40.- Una partícula se desplaza en el plano R2 a lo largo de la curva g de ecuación y = ln(x 4- yJx2 — V) , x > 1 con rapidez constante (V 3/2) m j seg. y parte del punto (1; 0) en el instante t = 0. Halle la ecuación del círculo de curvatura de en el punto en que se encuentra la partícula después de haber transcurrido 2 seg desde su partida. R. (x - 4) 2 + (y + - ln(2 + V3)) = 1 6 41.- Sea Cx la curva descrita por la función a(t) = ( 1 4 - 1; e 3 -t; ln (t2 4- 2t + 1) — ln 4) y C2 la curva descrita por m = ~ 0 ^ • Halle la torsión de la curva Cx en el punto de intersección de C1 y C2. 42.- Diga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. a) Sea a(t) = a 2(t); a 3(t)) una función vectorial. Si t es la longitud de arco, entonces los vectores a '( t ) y a " (i ) son ortogonales. b) Si a: [a; b] -> R3 es una curva, tal que ||a'(O II = 1* entonces a ( t) es una circunferencia en R3. c) La curva a(t ) = (212\ 1 - t\ 3 4 -12) interseca al plano 3x — 14y 4- z - 10 = 0 en dos puntos. R. VFV