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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI PDF

1. NOCIONES PRELIMINARES 1.1. Función Inyectiva Una función F es inyectiva o univalente si y solo si para todo x1, x2 ∈ DF se cumple que: F(x1) = F(x2) ⇔ x1 = x2 CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Interpretación Geométrica: Una función F es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de F a lo más en un punto. De las figuras mostradas se deduce que F es inyectiva. G no es inyectiva en todo su dominio; para que G sea inyectiva se debe redefinir la función, es decir, se restringe el dominio, por ejemplo si se escoge el dominio de G : <-∞;h] entonces G es inyectiva, también se puede elegir como dominio [h;+∞> 1.2. Función Inversa Dada la función F = {(x; y) / y = F(x); x ∈ DF} Si F es inyectiva entonces F tiene inversa y se representa por F* o F-1 y se define por: F-1 = {(y; x) / y = F(x), x ∈ DF} También se puede escribir así: F-1 = {(y; x) / x = F-1 (y), y ∈ RF} La gráfica de F-1 se obtiene reflejando la gráfica de F a través de la recta y = x Se deduce que: = RF = DF 2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Como las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen inversa en todo su dominio. Para que existan las inversas de dichas funciones, se debe restringir el dominio de modo que sean inyectivas. Las restricciones para las Funciones Trigonométricas son: Función (F) Dominio (F) Rango (F) y = Senx y = Cosx y = Tgx y = Ctgx y = Secx y = Cscx func {left[- π over 2`;``π over 2 right]} [0; π] func {left< - π over 2`;``π over 2 right>} < 0; π > func {left[0`;`` π over 2`right>``∪``left<`π over 2`;``πright]}func {left[`- π over 2`;``0` right>``∪``left<`0; ``π over 2`right]} [-1; 1] [-1; 1] <-∞; ∞> <-∞; ∞> <-∞; -1] ∪ [1; ∞> <-∞; -1] ∪ [1; ∞> 2.1. FUNCIÓN SENO INVERSO O ARCO SENO y = ArcSenx Dominio: [-1;1] 2.2. FUNCIÓN COSENO INVERSO O ARCO COSENO y = ArcCosx Dominio: [-1;1] 2.3. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE y = ArcTgx Dominio: ℝ 2.4. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO O ARCO COTANGENTE y = ArcCtgx Dominio: ℝ 2.5. FUNCIÓN SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE y = ArcSecx Dominio: <-∞;-1] ∪ [1; ∞> 2.6. FUNCIÓN COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE y = ArcCscx Dominio: <-∞;-1] ∪ [1; ∞> 3. PROPIEDADES 3.1 Sen (ArcSenx) = x , si : x ∈ [-1; 1] Cos (ArcCosx) = x , si : x ∈ [-1; 1] Tg (ArcTgx) = x , si : x ∈ ℝ Ctg (ArcCtgx) = x , si : x ∈ ℝ Sec (ArcSecx) = x , si : x ∈ ℝ - <-1; 1> Csc (ArcCscx) = x , si : x ∈ ℝ - <-1; 1> Ejemplos: a) Senfunc {left (ArcSen`1 over 4 right)``=``1 over 4} , 1 over 4 ∈ [-1; 1] b) Cosfunc {left (ArcCos left(`- 2 over 3 right) right)``=``- 2 over 3} , -2 over 3 ∈ [-1; 1] c) Tg(ArcTg4) = 4 , 4 ∈ ℝ d) Sec(ArcSec2sqrt 3) = 2sqrt 3 , 2sqrt 3 ∈ ℝ - <-1; 1> e) Cscfunc {left (ArcCsc`1 over 2 right)``=``1 over 2}, ¡tenga cuidado de hacer esto! pues: 1 over 2 ∉ ℝ - <-1; 1> ⇒ Csc func {left (ArcCsc`1 over 2 right)````∄} f) Sen (ArcSenb) = b , siempre que: b ∈ [-1; 1] 3.2 ArcSen(Senx) = x , si : x ∈ func { LEFT [- π over 2`;``π over 2 RIGHT ]} ArcCos(Cosx) = x , si : x ∈ [0; π] ArcTg(Tgx) = x , si : x ∈ func { LEFT < - π over 2`;``π over 2 RIGHT >} ArcCtg(Ctgx) = x , si : x ∈ < 0; π > ArcSec(Secx) = x , si : x ∈ [0; π] - func { LEFT  π over 2 RIGHT } ArcCsc(Cscx) = x , si : x ∈ func { LEFT [ - π over 2`` ;`` pi over 2 RIGHT ]} - {0} Ejemplos: a) ArcSen func {left ( Sen`π over 5 right)}= func { π over 5} , func { π over 5} ∈ func { LEFT [- π over 2`;``π over 2 RIGHT ]} b) ArcCos func {left (Cos {3π} over 4 right)``=``{3π} over 4} , func {3π} over 4 ∈ [0; π] c) ArcTg func {left ( Tg left ( - π over 4 right) right)``=``- π over 4 } , func -{π} over 4 ∈ func { left< - π over 2`;``π over 2 right>} d) ArcSec func {left (Sec π over 7 right)``=``{π over 7}} , func {π over 7``∈``[0;``π]``-`` leftπ over 2right} e) ArcSec func {left (Sec`left (- π over 5 right) right)``≠``-{π over 5}} , pues: func {- π over 5``∉``[0;`π]``-``leftpi over 2 right} Para aplicar la propiedad es necesario hacer un previo cambio: Sabemos que : func {Sec`left (- π over 5 right)``=``Sec`π over 5} Luego: ArcSecfunc {left (Sec left ( - π over 5 right) right)``=``ArcSec`left (Sec`π over 5 right)``=``π over 5} f) Arc Sen func {left (Sen {5π} over 6 right)``≠``{5π} over 6````,````pues:``````{5π} over 6``∈`` LEFT [- π over 2`;``π over 2 RIGHT ]} hacemos un cambio: func {Sen {5π} over 6``=``Sen π over 6} ⇒ ArcSen func {left (Sen`{5π} over 6 right)``=``ArcSen left (`Sen`π over 6 right)``=``π over 6} g) ArcCos (Cosp) = p , siempre que : p ∈ [0; π] 3.3 ArcSen(-x) = -ArcSenx , si : x ∈ [-1; 1] ArcCos(-x) = π - ArcCosx , si : x ∈ [-1; 1] ArcTg(-x) = -ArcTgx , si : x ∈ ℝ ArcCtg(-x) = π - ArcCtgx , si : x ∈ ℝ ArcSec(-x) = π - ArcSecx , si : x ∈ ℝ - <-1; 1> ArcCsc(-x) = -ArcCscx , si : x ∈ ℝ - <-1; 1> Ejemplos: a) func {ArcSen`left (- 1 over 2 right)``=``-ArcSen`1 over 2} b) func {ArcCos`left (- 1 over 2 right)``=``π`-`ArcCos`1 over 2} c) func {ArcTg`(- sqrt 3)``=``-ArcTg`- sqrt 3} d) func {ArcSec`(- 3)``=``π`-`ArcSec`3} e) func {ArcCsc`(- 2)``=``-ArcCsc`2} 3.4 ArcSen(x) = ArcCscfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ [-1; 1] - {0} ArcCos(x) = ArcSecfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ [-1; 1] - {0} ArcTg(x) = ArcCtgfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ < 0; ∞ > ArcTg(x) = - π + ArcCtgfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ < -∞; 0 > ArcCtg(x) = ArcTgfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ < 0; ∞ > ArcCtg(x) = π + ArcTgfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ < -∞; 0 > ArcSec(x) = ArcCosfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ ℝ - < -1; 1 > ArcCsc(x) = ArcCscfunc {left ( 1 over x right)} , si : x ∈ ℝ - < -1; 1 > Ejemplos: a) func {ArcSen`1 over 3``=``ArcCsc`3} b) func {ArcCos``left ( - 2 over 5 right)``=``ArcSec`left ( - 5 over 2 right)} c) func {ArcTg`4``=``ArcCtg`1 over 4} 3.5 ArcSenx + ArcCosx = π over 2 , x ∈ [-1; 1] ArcTgx + ArcCtgx = π over 2 , x ∈ ℝ ArcSecx + ArcCscx = π over 2 , x ∈ ℝ - <-1; 1> Ejemplos: a) func {ArcSen`left ( - 1 over 2 right)``+``ArcCos`left ( - 1 over 2 right)``=``π over 2} b) func {ArcTg`( - sqrt 3)``+`` ArcTg`(- sqrt 3)``=``π over 2} 3.6 Donde: Si : ab < 1 ⇒ k = 0 Si : ab > 1 y a > 0 ∧ b > 0 ⇒ k = 1 Si : ab > 1 y a < 0 ∧ b < 0 ⇒ k = -1 Ejemplos: