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FUNCIONES TRASCENDENTES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Funciones Trigonométricas , Funciones Trigonométricas Inversas , Límites Trigonométricos , Algunos Límites de las Funciones Trigonométricas Inversas , Derivadas de las Funciones Trigonométricas , Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas , Función Exponencial de Base a , Función Logaritmo General de Base a , El Número e , Límites de la Forma: limx->a [f(x)] ^(g(x)) , Derivada de las funciones: Exponencial y Logarítmica , I u este capítulo estudiaremos algunas funciones no algebraicas a las que se les denominan funciones trascendentes. Entre ellas se consideran a las funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas. S.l FU NCIONES T R IG O N O M É T R IC A S En el plano x o y , consideremos la circunferencia unitaria cuyo centro es el origen de coordenadas. La ecuación de esta circunferencia es x 2 + y 2 — 1. Sea i4 (l; 0) el punto de la circunferencia que será fijado como origen de los arcos orientados AT sobre la circunferencia. Esta orientación es positiva si a partir de A se recorre en el sentido antihorario y es negativa si a partir de A se recorre en el sentido horario. Establecemos una correspondencia entre los números reales y los puntos de la circunferencia del modo siguiente; Al número real t le corresponde el punto T de la circunferencia de modo que el arco orientado AT mide |t | unidades. Si t es positivo, el arco tiene orientación positiva y si t es negativo, el arco tiene orientación negativa. Si T (x; y ) es el rmnto que le corresponde al número real í, la abscisa x se llama coseno de t (eos t) y la ordenada y se denomina seno de t (sen t) (Fig. 8.1) y se escribe: x = eos t , y — sen t ó T ( c o s t ; s e n t ) Por ejemplo, considerando que la longitud de la circunferencia es 2n, al número 7r/2 le corresponde el punto B(0; 1). Entonces n n eos - - 0 , sen - = 1 Asimismo, a los números n y 3n les corresponde el punto C(—1; 0). Entonces eos 7r = eos 3n = — 1 y sen n — sen 3n = 0 De esta correspondencia se deducen las siguientes propiedades: 1) Gomo T (eos t-, sen t) es un punto de la circunferencia, se tiene la relación fundamental sen 2 t + eo s2 1 - 1 2) Considerando que T varía sobre la circunferencia, su abscisa y su ordenada varían de - 1 a 1, es decir: - l < c o s t < l y - 1 < sen t < 1 3) Periodicidad del seno y del coseno. El menor número real positivo p para el cual se verifica se n (t + p ) = sen t (ó co s(t + p) = eos t) se denomina período de seno (ó coseno). Si p = 2kn, k e Z, se tiene s e n (t + 2 k n ) = sen t y c o s(t + 2k n ) - eos t. El menor valor positivo de 2 k n ocurre cuando k = 1. Por tanto, se concluye que el seno y el coseno son periódicos de período p = 2n. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 1 4) A los números reales t y - t les corresponde los puntos T y T \ respectivamente. Estos puntos son simétricos respecto a l ‘eje ^ (Fig. 8.2) y tienen la misma abscisa, pero sus ordenadas difieren en un signo. Entonces c o s ( - t ) = eos t s e n ( - t ) = - s e n t. 3 2 6 II/M CIONES TRASCENDENTES ■) ( )tras propiedades (identidades trigonométricas) son: se n (a ± b) - sen a eos b ± sen b eos a eos (a ± b) — eos a eos b + sen a sen b 1 + eos 2a eo s2 a = ■ sen 2 a - 1 - eos 2a sen a + sen b - 2 sen ó 1 + eos b — 2 co s2 í - j ó 1 - cos b = 2sen2 / a + b \ ¡a - b \ (— ) C0S (— J / a + b \ ¡a - b \ sen a - sen b - 2 eos ^—-— J sen ^— — J a + b ¡a — bx eos a + eos b = 2 eos (—— ) eos ^— - — J eos b - eos a — 2 sen ( aa -i- b \ / 1 , |e s e x | > 1 3 2 7 Se denomina función seno a la función cuya regla de correspondencia es f ( x ) = sen x Algunas características de la función seno a) Df = U. , Rf — [—1; 1] b) La función seno es periódica de periodo p = 2n. En general, la función g ( x ) = A sen(m x + n ) , m =*= 0 es periódica de periodo p — 2 n /\m \. c) sen (—x) = — sen (x), es decir, la función seno es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen (Fig. 8.3). TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 8.1.1 FUNCIÓN SENO 8.1.2 FUNCIÓN COSENO Se llama función coseno a ia función cuya regla de correspondencia es f ( x ) - co sx Algunas características de la función coseno a) Df = m , Rf = [—1; 1] b) La función coseno es periódica de período p = 2n. En general, la función g { x ) = A eos (m x + n ) , m í Oes periódica de periodo p = 2n / \ m\ . c) eos ( —x ) — eos x , esto es, la función coseno es par y su gráfica es simétrica respecto al eje y (Fig. 8.4). 328 I UNCIONES TRASCENDENTES (I) Puesto que sen (x 4- n / 2 ) = cosx, la gráfica de y = s e n x s e convierte en la gráfica de y = eos x si el origen se desplaza al punto (jz/2-, 0). e) En la siguiente tabla se presentan ciertas características importantes de las gráficas de y = sen x e y = eos x. Si k e l , entonces: Función Valor 0 en Valor máx. 1 en Valor mín. —1 en sen x x = k n n \ x — — + 2 kn 2 n x = — + 2 k n 2 eos X I n x = — + k n | x = 2 kn x = n + 2 k n 2 8.1.3 FUNCIÓN TANGENTE La función tangente está definida como sen x f ( x ) = t a n x = co sx Algunas características de la función tangente a) Df = R - {x / c o sx = 0} = IR - íx / x = — + kn, k 6 z j , Rf = M b) La función tangente es periódica de período p - n. En general, !a función g ( x ) — B tan (m x + n ) , m =£ 0, es periódica de período p = n / \ m \ . c) Sus asíntotas verticales son las rectas x = tt/2 + kn, k e l , que son las soluciones de la ecuación co sx = 0. d) t a n ( - x ) = - t a n x . esto es. la función tangente es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen (Fig. 8.5). 329 8.1.4 FUNCIÓN CO TA N G EN TE La función cotangente está definida como , , , co sx / (x) = cot X = ------- sen x Algunas características de la función cotangente a) Dr = K — {x / sen x = 0} = R — {x / x = kn, k G Z} , Rf = R b) La función cotangente es periódica de período p = n. En general, la función g { x ) = B co t(m x + n ) , m 0, es periódica de período p = n /\m \ . c) Sus asíntotas verticales son las rectas verticales x - kn, k G Z. que resultan al resolver la ecuación sen x = 0. d) cot (—x ) = —c o tx , V x í kn , es decir, la función cotangente es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen (Fig. 8.6). TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! . ( y Á - 2 * j \ J - * ! V ! , f(x ) = cotx 1 1 'l 1 1 l 1 A V\ '1 1! \\ 1 \ 1 1 \ 1 V i m \ i i2* - * L | \ ¡ - 3 \ 0 j 2 j \ ¡ 2 1 \ 7 | \ i 2JLi \ í * T ! \ ¡ 2 ! \ i 1 \ 1 1 XI ! V í \ Fig. 8.6 8.1.5 FUNCIÓN SECANTE Se denomina función secante a la función cuya regla de correspondencia es f { x ) - se c x --------- c o sx Algunas características de la función secante a) Df - R — jx / x = ^ + kn, k G z j , Rf = ( - oo;- 1 ] u [ 1 ; +oo) b) La función secante es periódica de período p — 2n. En general, la función g ( x ) = A sec(m x + n ) , m í 0, es periódica de periodo p = 2 n /\m \ . c) Sus asíntotas verticales son las rectas x = n /2 + k n , k G Z. que son las soluciones de la ecuación eos x = 0. d) sec (—x ) = sec x , es decir, la función secante es par y su gráfica es simétrica respecto al eje y (Fig. 8.7). 3 3 0 11INCIONES TRASCENDENTES 8.1.6 FUNCI ÓN CO SECA N TE La función cosecante está definida como 1 Algunas características de la función cosecante a) Df - M - fx / x = kn, k G Z] , Rf = < -° o ;- 1 ] U [1; +oo) b) La función cosecante es periódica de periodo p = 2n. En general, la función g ( x ) = B ese ( m x + n), m ^ 0, es periódica de periodo p = 2 n ¡\m \ . c) Sus asíntotas verticales son las rectas verticales x = kn, k G TL, que resultan al resolver la ecuación sen x = 0. d) ese ( - x ) = - e s e x, esto es, la función cosecante es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen (Fig. 8.8). ■ i\ i /i ¡ y i ! i V L / ¡ ! ■ f(x) = CSC X «1 1 I» 1 1 Í J i ü 1 W 1 12- 1- - 1 - - - - t k 2 k k Éi * ] -2*1 —7I¡ - —j i L 2 ! ¿ L o * : i r r r 5* ^ Ti 1 1 12* i — x A í \ Í T \ i k n i Fig. 8.8 331 E je m p lo !. Dadas las funciones /'(x ) = t a n x y g (x) = VI - x 2, obtenga (,9 0 f í ( x ) y su dominio. Solución Dr = R - {x / x = rr/2 + k n , k 6 2} , Dq = [ - 1 ; 1] (9 ° / ) U ) = g ( f ( x )) = V i - ta n 2 x = {x 6 Df / — 1 < tan x < l ) = |/c7r — — ; A:7r + —] kET. Ejemplo 2. Trace la gráfica de la función / ( x ) = 2 sen |2x|. Solución La gráfica de esta función (Fig. 8.9) es simétrica respecto ai eje y. Para trazar su gráfica . se observa que para x > 0, el periodo es p = 2 n / 2 = rr. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I X / ( * ) 0 0 7t/4 2 71/2 0 3rc/4 -2 n 0 5k /4 2 3it / 2 0 8.2 FUN CIO N ES T R IG O N O M É T R IC A S INVERSAS En la sección anterior, se ha destacado que las funciones trigonométricas son periódicas y, por tanto, no son inyectivas. Sin embargo, si se restringe el dominio de cada una de ellas conver 'entemente, se puede conseguir la inyectividad y, por consiguiente, en esa restricción se puede definir la función inversa. A cada una de las funciones inversas obtenidas de esta manera, se le conoce como función trigonométrica inversa. A cada restricción convencional se le conoce como restricción principal. 3 3 2 H.2.1 FUNCIÓN INVERSA DE SENO: A RCO SENO r íí Ifi I .i luncion restricción principal F(x) = sen x, x 6 j — — j, es inyectiva y admite función inversa que se denomina función arco seno y está definida por y - F -1 (x) = arcsen x <=> x = sen y r JT Í1 ^arcsen — L 1 > 1J Y ^arcsen — 2^' I ¡1 gráfica de la función arco seno se muestra en la figura 8.10 (derecha). M N('IONES TRASCENDENTES 8.2.2 FUNCIÓN INVERSA DE COSENO: ARCO COSENO La función restricción principal F (x ) = cosx, x 6 [0; 7r], es inyectiva y tiene función inversa que se llama función arco coseno, la cual está definida por y — F -1 (x) — a rc c o sx <=> x = eos y ^arccos í 1' 1] Y ^arccos La gráfica de la función arco coseno se muestra en la figura 8.11 (derecha). La función restricción principal y = F( x) = ta n x , x £ ( - n / 2 ; n/ 2) , es inyectiva y tiene función inversa que se denomina función arco tangente y se define por y — F _1(x) — arctan x <=> x = tan y n n A a rc ta n — K Y ^ a r c t a n = ( — ¡ ~ ) La gráfica de la función arco tangente se muestra en la Fig. 8.12 (derecha). TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 8.2.3 FUNCIÓN INVERSA 1)E TANGENTE: ARCO TA N G EN TE 8.2.4 FUNCIÓN INVERSA DE COTANGENTE: ARCO COTANGENTE La función restricción principal y = F(x') = c o tx , x 6 (0;n). es inyectiva y tiene función inversa que se denomina función arco cotangente y se define como y = F~1( x ) = a rc o tx » x = c o ty ^a rcco t y ^arccot — ( 0 * ^ ) La gráfica de la función arco cotangente se muestra en la figura 8.13 (derecha). I UNCIONES TRASCENDENTES 8.2.5 FUNCIÓN INVERSA DE SECANTE: ARCO SECANTE La función restricción principal y = F (x ) — se c x , x £ [0;7r/2> U (n / 2 ; n \ es inyectiva y tiene función inversa que se denomina función arco secante, la cual está definida por y = F -1 (x) = arc se c x x = se c y D a r c s e c = < - ° ° : 1 ] U [ l ; * . 0 0 ) Y ^ r c s e c = [ o ¡ | > U 7 l] La gráfica de la función arco secante se muestra en la Fig. 8.14 (derecha). 8.2.6 FUNCIÓN INVERSA DE COSECANTE: ARCO COSECANTE La función restricción principal y = F( x) = cscx , x £ [—n/2-,0) u <0; 7t/2], es inyectiva y tiene función inversa que se denomina función arco cosecante y está definida como y = F~’ (x) = a rc c sc x <=> x = ese y Darccsc = u [ 1 ; +o°> y «arccsc = [ - | : 0 ) U ( 0 : | ] La gráfica de la función arco cosecante se muestra en la figura 8.15 (derecha). 335 Las principales propiedades de las funciones trigonométricas inversas son . r TI 7T-I 1) a) arcsen (sen x ) = x , V x e | - - ; - J b) sen (arcsen x) - x , V x 6 [ - 1 ; 1] 2) a) árceos (c o sx ) = X , V x 6 [0; rr] b) eos (árceos x ) = x , V i E [ - 1 ; 1] Las propiedades correspondientes a las otras funciones se dejan como ejercicio al lector. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 8.2.7 PROPIEDADES Ejemplo 3. Calcule el valor de a) a r e s e n í— ) b) a rc ta n (l) V 2 ' d) a rccsc(v 2 ) e) a rc s e c (-2 ) g) a rc c sc (-V 2 ) Solución c) arctan ( — 1) 0 arccot (— —) V3 a) Sea y = aresen (~7= j » entonces f TI TTl 1 n y 6 L—2 : 2J A S 0 n > ' = 7 r L u eg ° ' y = 4 ' b) a rc ta n (l) c) a r c t a n ( - l ) = — 4 e) a rc s e c (-2 ) = 2n 2n T V2 . n d) a rccsc(v 2 J = — . — ' 71 g) a rccsc(—^ 2 ) = —— 8.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS Para el cálculo de los límites trigonométricos, se requiere establecer a.gunos límites básicos. Estos se mencionan en la siguiente proposición. Proposición I i) lim sen x = 0 *->0 sen x i i i) lim ------- = 1 x ~ 0 X 1 — co sx v) lim -------------= x-0 x ii) lim eo s* = 1 *-•0 tan x iv) lim -------= 1 x-*0 X 1 - co sx 1 _ 2 vi) lim JT->0 X Demostración 3 3 6 i) Sea £ > 0. De la (F¡g. 8.16) se tiene que | s e n x | < | x | n n n Ahora, para todo x e — {0} se sabe que |x| < —. Luego, tom ando fi — mín ; e | resulta que si 0 < |x| < 8, entonces |sen x — 0| = |sen x\ < \x\ < S < e Por consiguiente, lim se n x = 0. ii) lim co sx = lim V i ~ sen 2x = 1 x-*0 x->0 s e n x iii) Para dem ostrar que lim -------= 1, usaremos los dos resultados anteriores. *-*o x sen x Solo probarem os que Iim+-------= 1, pues considerando que sen x se n (—t) —sen t sen t lim ------- = lim ------------ = lim ---------- = l i m -------- = 1 *->o- x t->o+ — t t-* o+ — t t-> o+ t sen x se concluye que lim -------= 1. x-»o x I IINCIONES TRASCENDENTES En efecto, si 0 < x < — ,se verifica (ver Fig. 8.16): área AOAB < área del sector OAB < área AOAT M - <=> ------Y--b-- < -(—oa)--Z-■- -A-B- < ^ -O--A-- -A--f 2 2 2 Como OA = 1, B'B = sen x, AT — tan x, entonces sen x x tan x 3 3 7 2 Multiplicando ambos térm inos de esta expresión p o r ------- , se tiene sen x x 1 sen x 1 < ------- < --------, de donde, sen * cosx eos x < ----x--- < 1 sen x Como lim eos x = 1 y lim 1 = 1, se sigue que lim --------- 1. x-*0+ x->0+ X-.0+ X (Teorema del sándwich) ta n x s e n * 1 iv) lim -------= lim ----------------- - 1 *-*o x *->o x eos x 1 - c o s x sen2* v) lim ------------ = ]jm _—------------ - (multiplicando y dividiendo por 1 + eos x) *-o x *-*ox(l + cosx) F 1 sen x sen x 0 = lim ----------------------= 1 • - = 0 *-*o x 1 4- cosx 2 1 - c o s x sen2x /s e n x \2 1 1 vi) lim ------------------ -------= lim —— ---------- = lim -------------- = - *->o x L *->ox2( l + cosx) x—*o ' x > 1 + cosx 2 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Proposición 2 Las funciones trigonométricas son continuas en sus dominios respectivos. 8.4 ALGUNOS L ÍM IT E S DE LAS FUN CIO N ES T R IG O N O M É T R IC A S INVERSAS En el cálculo de los límites de las funciones trigonométricas inversas es necesario recordar los limites que se mencionan en la siguiente proposición. Proposición 3 , , n a) lim a re s e n x = 0 b) lim a rc c o s x = - x - o J *-» 0+ 2 _ aresen x arctan x c) lim ------------= 1 d) lim ------------= 1 x->0 X * - t0 X e)- l.i.m a rc ta n x = - ~n f) lim a rc ta n x = 7-1 JC--M ¿ *->+00 2 D em ostración Solo se demostrará a). Lo demás se deja como ejercicio para el lector. a) Sea t - aresen x, donde - 1 < x < 1 y - - < t , entonces x = sen t. I 2 Si x -> 0 ==> sen t -> 0, de donde t -> 0. Luego, lim aresen x — lim t — 0. AT->0 £-*0 338 I UNCIONES TRASCENDENTES Proposición 4 Las funciones trigonométricas inversas son continuas en sus dominios correspondientes. Dem ostración. (Ejercicio para el lector) Ejemplo 4. Calcule los siguientes limites: .i) lim sen x b^) lim \í sec—nx \ — ,21x1 c)N lim-a-r-e--s-e--n--(-x-- -—-- |—) x-*2 lv 2 / 1 x * i arctan x Solución TI v2 ,i) lim sen x = sen — = — (por la continuidad de la función seno) b) lim ^ s e c — ) — 2xj = sec7r - 4 = — 1 - 4 = — 5 aresen ^ x - ^ j aresen n /(, 2 ' c) üm —------——----- = ------------— = —— = - x -i arctan x arctan 1 rr/4 3 Ln cada uno de estos ejemplos, al calcular el límite, lo hemos evaluado directamente, pues las funciones son continuas en dichos puntos. En lo que sigue, daremos ejemplos para calcular límites de la forma 0/0 (salvo que se indique lo contrario). En ellos se usaran los artificios de multiplicar el numerador y el denominador por una misma cantidad o utilizar alguna identidad trigonométrica que permita adaptar el límite a uno de los límites establecidos en las proposiciones 1, 2 ó 3. sen 6x Ejem plo 5. Calcule lim ---------. x-0 x Solución sen 6x sen óx lim --------- = 6 lim ---------- = 6(1) = 6 x-a x *->o bx sen x (En el segundo límite se ha aplicado la propiedad lim ------- = 1 ) sen ax E jem plo 6. Calcule lim -----;— . *-o sen bx Solución sen a x sen ax sen ax a x ■ a a lim -------— = lim -----------7— = — lim ------= — x-»o sen bx x -a , sen bx b x-o sen bx b x ' bx bx 339 , 1 - eos (sen 4x) Ejemplo 7. Calcule lim --------— ---------- *-o sen2(sen 3 x ) Solución TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1 1 — eos (sen 4x) h m -------- ------r——- = lim- *->o sen 2 (sen 3x) 1 r sen 24x 1 - eos (sen 4x) 16 (4 x )2 sen 24x *-*° gS en23x (3 x ) 2 sen(sen 3x) sen 3x 9 (1 )2(1 )2 9 cosx — eos (sen 2x) Ejemplo 8. Calcule lim --------------------------- . x->0 X2 Solución Sumando y restando 1 en el numerador, este límite lo separamos en dos limites de la forma 0/0. eos x - eos (sen 2x) lim ----------------------------- lim co sx — 1 1 — eos (sen 2x) . 1 - c o s x 4 s e n 22x = lim {--------- ------+ - , x 2 ( 2 x ) 2 1 - eos (sen 2x ) sen 2(2x) } - _ l + 4 ( l ) ( | ) = | Ejemplo 9. Calcule L - lim x->0 Solución sen I x — sen 3x x cosx Separando el limite en dos límites, se obtiene L = lim *-*0 sen 7x sen 3x = lim x~*0 7 sen 7x sen 3xi 1 x eos x x eos X 7x 3x co sx ■ = (7 - 3 ) .l = 4 sen nx Ejemplo 10. Calcule lim ---------. *-3 3 — x Solución En este límite se hace el cambio de variable y = x — 3, de modo que la nueva variable y -> 0. Enseguida, se utilizan las identidades trigonométricas. sen tcx sen n ( y + 3) sen(7ry + 3n) hm —-------= lim ------------------- = lim --------------------- -*3 3 — X y->0 y-*0 -y sen n y eos 3n + eos ny sen 3n sen ny sen ny = lim -------------------------------^------- — = lim ------- - = n lim -------- y-*o —y y-, o y y-> o n y En general, si en un límite trigonométrico la variable x -» a, el cambio de variable y — x — a transforma al limite donde la nueva variable y -> 0. 3 4 0 FUNCIONES TRASCENDENTES s e n ( x 2 - l O x + 2 5 ) E jem plo 11. Calcule L - lim - _ , _ n x-*s x + 5x — 125x 4- 375 Solución l'actorizando (x — 5) en el numerador y denominador, y luego haciendo el cambio de variable y = x — 5, se tiene sen(x - 5)2 1 seny2 1 1 L — lim — ---- — — ------- = lim - *->5 (x — 5)2 (x + 15) y->o y 2 y + 20 20 Ejemplo 12. Calcule n-l*im + o o n sen \ \ y i J Solución Este límite es de la forma co • 0. Transformando el límite a la forma 0/0 y aplicando la propiedad iii) de la proposición 1, se obtiene /X\ sen l nl—im+c o n sen — = x lim —rr^r— = x ( l ) = x \ r L '/ n -*+oo {_ | o x arctan x — sen x E jem plo 13. Calcule lim ------------------------ . x-*+°= X Solución El límite es de la forma oo/oo. De manera análoga al ejemplo 9, se tiene x arctan x — sen x r sseenn xX-i] 71 n = lim arctan x ---------- = ------- 0 —— (*) *-+<» l x J 2 2 lim JC-* + 00 X X sen x 1 / I \ (*) lim --------= lim - - s e n x = 0. I — tiende a 0 y sen x es acotada ! X-.4-00 X Z—rCOX \ x / 18x2 Ejemplo 14. Cafcule lim- 1 — ^ / C O S (7 T X ) Solución El límite es de la forma 0/0. Para simplificar el cociente, multiplicamos numerador y denominador por 1 + y eos ( n x ) . Luego, usando argumentos similares a los de los ejemplos anteriores, se tiene 18 x 2 1 8x2( l + Veosn x ) lim ------- r------ — lim ---------------------------- 1 - Veos ( t t x ) 1 - eos n x 18(1 + Veos 7Tx) 18(2) 72 = lim --- r—--------------r - = ------z— = — jr-»0 7T ( 1 — eos T TX ) 2 71^ ( n x ) 2 n v2/ 3 4 ! arcsen (x - 2) Ejemplo 15 Calcule lim ------ ------------- x- 2 x 2 - 2x Solución Este límite es de la forma 0/0. Aplicando estrategias similares a las de los ejemplos anteriores, nos queda arcsen (x - 2) arcsen(x - 2) 1 1 lim ------ — -------= lim -------------- —— • - = - (pues x - 2 -> 0) x-2 x 2 - 2 x x-2 x - 2 x 2 J arcsen(3x)Vtan x Ejemplo 16 Calcule L = lim -----.■ ■ ------ x-*0'r X V C S C X — cotx Solución Aplicando argum entos similares a los ejemplos anteriores, se tiene TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! arcsen 3x tanx arcsen 3x L = lim -------------- i------------------- = lim 3 --------------- x-o+ x ^jcscx —co tx x-o+ 3x sem x c o s x (l — cosx) sen2x arcsen 3x i v 2 \ ( l ) 2 ^ = !-------- T f c s s v ' 3 « ’ í— = 3' 2 E J E R C IC IO S nx 1) Si f ( x ) = sen — 4- cos(arctan x) y g ( x ) = sec(2 — x) — ta n (a rc se c(-x )) , calcule / ( l ) + g{2). R. 1 + V3 4- V2 2) Compruebe que: * x / x — y \ a; arcsen x = arctan . b) arctan x — arctan y = arctan --------- \ ¡ l - x 2 \ l - t - x y / En los ejercicios siguientes (del 3 al 10), esboce la gráfica de las siguientes funciones, si x 6 [ - 2 n ; 2n], 3) f { x ) = eos 4) / ( x ) = sen(7r¡[xj) JIX TÍX 5) f i x ) = 2 e o s— 6) f i x ) = sen — 7) f ( x ) = 2 |se n |x || 8) / ( x ) = sen \2x\ 9) f ( x ) = sen { x - 10) / ( x ) = tan + sen x 3 4 2 I IINCIONES TRASCENDENTES < a lc u le los s i g u i e n t e s lím ite s: tan x - sen x 1 I I ) lim ------------------- R. - x—0 X 2 x sen(sen 2x) 1 13) lim --------- í - --------R. - x-o 1 - eos (sen 4x) 4 15) lim- 1 - x ¿ 17) lim 19) lim x— i sen nx sen(7r — x) 21) lim x { n - x ) 1 - 2 co sx n - 3x X 3 4- 1 23) lim x—i s e n (l — x 2) V/2x2 *-*0+ tan xV secx - 1 eos t 25) lim — — t * n - 2 t 2 R. - n 1 R. - n R- ¿ R. 2 R. 1 V i + c o sx — V2 27) l i m x ------- -— R. 0 *-*° V I — eos x x 29) lim n tan n —+oo TI R. x 31) lim (se c x - tan x) R. 0 33) lim x-o V T ^ r. a co sx (1 - sen x ) 3 35) lim _1_ j - ‘| (1 + eos 2 x )3 ' 64 100 sen 3x 4- 200 eos x 37) lim --------------------------------- X—+co X 71 — 2 arccos x 39) lim -------------------- R. 2 x —0 X tan a x - ta n 3x 12) lim -------:------------- R. a 14) lim x - o 16) lim x-o tan x 1 - eos 3x x-o 1 - eos 4x co sx 16 x ) 1 — eos ax 18) lim - x - 0 x ¿ R. 1 a R' y 20) lim 1 + eos n x x—i x — 2x + 1 R. s e n ( l - x> 22) lim — = --------------------------- — R .- 2 x - i V'x - 1 24) lim V t4 - t 4s e n2t t-o 1 — eos t 26) lim 4 h c o t(4 h) h-* 0 R. 2 R. 1 / 2 1 \ 1 28) l im í ----- -------------------- ------ I R. - x-o vsen^x 1 - c o s x / 2 2 - V cosx — c o sx 3 30) lim ------------- ------------ R. — x - 0 32) lim 1 - V cosx x - o 1 R- 4 sen x + x 2V2 4- n 34) lim ------------- R. *x - 4- x 1 - 2 eos x 36) lim -------------= - x - j sen (x - j ) arcsen 5x 38) lim x—i-oo arctan x R. V 3 R. 5 2 tan x - arcsen x 40) lim -------------------------- R. 1 x-o sen x 343 n , n x \ n 2 sen (V x 2 + 4 - 2) 1 4 t ) l i m - t a n ( —-) R. — 42) lim --------------5----------- R. - x -o x V 2 / 2 *->0 x 2 4 t a n ( l + c o sx ) a:6 43:) lim ----- ------- — - R .- 1 44) lim ----i-r R. 4 x-»ircosCtan x ) — 1 *-»0 (tan x — sen x y V i + sen x — V i — sen x 45) lim ----------------------------------- R. 1 x->o x tan ax 46) lim —---- — ----- - --------- - R. a x —*o ( 1 — eos a x + x )(sec ax ) cos(x + h) - co sx 47) lim ------------------------- R .- s e n x TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1 h-> 0 x — sen ax 1 — a 48) lim — ------- — , b t- - 1 R. *->0 x + sen bx 1 + b 3 sen [(x — 2 )s/3]arctan [(x - 2 )3/5]tan [(x - 2) 7/9] x™ 2 arcsen [(x - 2 )73/45] ( l - cos[(x - 2 )7/ 3]) R + 8.5 DERIVADAS DE LAS FU N CIO N ES T R IG O N O M E T R IC A S Proposición 5. Las funciones trigonométricas son derivables en sus dominios respectivos. Se cumple: a) / ( * ) = s e n x , entonces f ' ( x ) - co sx b) f ( x ) = c o s x , entonces / '( x ) - - s e n x c) f ( x ) = ta n x , entonces / ' ( x ) = sec2x d) / ( * ) = c o tx , entonces / '( x ) = - c s c zx e) / ( x ) = se c x , entonces / '( x ) = se c x ta n x f) f ( x ) = e s e x , entonces / '( x ) - - e s e x c o tx D em ostración a) Si / ( x ) = sen x, por definición de la derivada, tenemos: ,, „ sen (x + h) - sen x sen x eos h + eos x sen h - sen x f ' ( x ) = lim --------------------------- = lim ------------------------------------------------ o h h-> o h = lim h~* 0 1 - c o s h sen h - s e n a : --------------- h co sx h h - - ( s e n x ) ( 0 ) + ( e o s x ) ( l) = c o sx 344 cosíx + h) — co sx f ' ( x ) = Jim I IINCIONES TRASCENDENTES b) Si / ( x ) = e o s x , e n to n c e s ñ->o h eos x eos h — sen x sen h — eos x = limh- o n = hli-m> 0 (1 —c o sh ) sen h ■ c o s x ----- ;-----------sen X—;—- -sen x sen x c) Si /( x ) = ta n x = --------, aplicando la derivada de un cociente para todo cosx x £ Df , se tiene c o s x (c o s x ) - (sen x ) ( - s e n x) 1 / (x) = ---------- ------------ ---------------------= ------— = sec x cos^x co s2x (d), (e) y (f) se dejan como ejercicio al lector. C orolario. Si u = u (x ) es una función derivable, entonces tenemos 1) Dx (sen u ) = co su . Dx (u) 2) Dx ( c o s u ) = — s e n u. Dx ( u ) 3) Dx (tan n ) = sec2u. Dx (u) 4) Dx ( c o t u ) == - e s c2u .Dx (u) 5) Dx ( s e c u ) = sec u tan u. Dx (u) 6) Dx ( c s c u ) = - e s e u cot u . Dx (u) d y Ejemplo 17. Si y = x cot 2x, encuentre y' = ——. ax Solución Utilizando las reglas de derivación, se obtiene d v — = x 2(cot 2 x )' 4- (cot 2 x )(x 2)' = x 2[ - c s c 2(2x)] + 2x cot 2x = —2 x 2. cscz2x + 2x co t2 x Ejemplo 18. Sean /( x ) = tan 3x + sec2x - - , g ( x ) = sen(tan x + secx) y h ( x ) = \ /s ec Vx. Determine a ) / '( x ) b ) g ' { x ) c )ft'(x ) Solución a) f ' M = 3 tan 2x sec2x + 2 s e c x .s e c x tan x - ( ------ ) = t a n x s ec2x (3 t a n x + 2 ) + — , V x £ ' 3 45 b) g'( x) — eos (tan x 4- se e x ) • (sec2x + seex tan x ) = sec x (sec x + tan x) • eos (sec x + tan x ) , V x G Dg 1 1 c) h ' ( x ) ' ■ ___ = • sec Vx • tan V x -----— 4 V se c 3Vx 2 v x V sec Vx. tan Vx = ------------—--------, V x S D ^ A x ^ O 8 Vx TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Jtan x + sen x ------------------, halle /'( x ) . tan x — sen x Solución f ' ( x ) = ------= = = = = • ( a ) , donde 2 /tan x 4 -sen x a = tan x — sen x (sec2x + c o sx (ta n x — sen x) — (tan x sen x )(s e c 2x — c o sx ) (tan x — sen x ) 2 s V tan x — sen x 2[sen x — sec2x. sen x] f (x) — — --------- - ----------------------------------- 2V tan x + sen x (tan x - s e n x ) 2 —sen x ta n 2x tan x (tan x — sen x )V tan 2x — sen 2x tan x — sen * , x (V2 4 -V T T sen2x)cos2x /U\ Ejem plo 20. Si /( x ) = ------ —----- -------------------, calcule f ' ( - ) . V2 - V i 4- sen2x v4 ' Solución Multiplicando numerador y denominador por V2 + V i 4- se n 2 x y simplificando la fracción, se tiene r , N (V2 + V i 4- sen 2x ) 2 ,----------- — / ( x ) = ------- ---------- -------— eos x = (V2 + V 1 + sen 2x) 1 - sen ¿x Derivando la función respecto a x, se obtiene / ,— ;------------— \ / sen x c o s x \ / (x) = 2 (V2 + V 1 + sen 2x j ^ /7T\ 2 4- V3 Por tanto, / ' (—) = — —— . 1 ' W V3 V T T sen^x/ 3 4 6 d v l |em pIo 21. Si tan y = 3x2 4- tan(x 4- y), halle y ' = — . Solución Derivando implícitamente, se obtiene sec2y .y ' = 6x 4- sec2(x 4- y ) ( l 4- y '), de donde y — ---6--x-- -4-----s-e--c--2- -(-x-- -4-----y--)--- sec2y — sec2(x 4- y) F.jemplo 22. D a d a /(x ) = sen 2x, halle / n (x). Solución / '( x ) = 2 sen x co sx = sen2x - - e o s ^2x 4- —) / " ( x ) = 2sen ^2x 4- ‘- 'j = — 2 eos (2x 4- 7r) f " (x) = 2 2sen (2 x 4- 7r) = - 2 2 eos ^2x 4- — ^ / (4)(x) = 23sen ^2x 4- — ^ = - 2 3cos (2x 4- 2n) / (0 ) , / « ‘ » ( te ) --------- x + n H---------------- • Por tanto. sen x = x n! (n + 1 )! 6 e (0; 1) c3 * 5 x n /nn\ x n+1 / Cn + 1) \ 3 Í+ 5! + - + ^ SenÍ T ) + ^ T I J ? s e n (öx + — - n \ , e £ (0; 1) Ejemplo 25. Halle las ecuaciones de la tangente y normal a la curva cuya ecuaciones y = v l + sen 22x en el punto de abscisa x = n / 6 . Solución . ( n /7T\\ i n \Jl El punto de tangencia es P I —; / (— J I = P 6 ' 2 , , , , , sen 4x V ñ / (x) = y = —= = = , e n to n c e s/ ( —) = ----- . VI + sen22x y 7 , . , , . V7 V2T / 7 T \ hcuacion de la recta tangente: y — — = ~ j ~ \ x — — J Ecuación de la recta normal: y - — = ---- — fx - > 2 V21^ 6 ' Ejemplo 26. Trace la gráfica de la función / ( x ) = x tan x, x 6 ( - n / 2 ; n / 2 ) e indique sus valores extremos, puntos de inflexión y asíntotas. Solución / '( x ) = tan x + x se c 2x Si f ' M = 0 => sen(2x) + 2x = 0. Luego, el único valor de x, con x e (— —), que satisface esta condición es x = 0. Así, tenemos la siguiente tabla: Intervalo Signo de f ' ( x ) Crecimiento Extremos (-7T/2; 0> _ decreciente • (0; n / 2 ) + creciente Valor Min. / (0) = 0 3 4 8 Ciimo / " ( x ) = 2 sec2x ( l + x tan x) y considerando que x y tan x tienen el n n n n mismo signo en (— —; 0) y <0; —>,entonces / " ( x ) > 0 , V x e n n Así, f es cóncava hacia arriba en <— —; —> y no existe punto de inflexión. n n Como lim x tan x = +00 y lím x tan x = +co, las rectas x = — y x = ---- son 2 ^ x -2f 2 2 asíntotas verticales. La gráfica se m uestra en la figura 8.17. 11 IN< IONES TRASCENDENTES Ejemplo 27 Es conocido que las palomas mensajeras evitan volar sobre grandes áreas de agua, a menos que sean forzadas a hacerlo. Sin embargo, se desconoce la razón de este comportamiento. En este ejemplo, supondremos que nuestra paloma prefiere dar una vuelta en torno a un lago, ya que los efectos de la luz del día y del aire disminuyen sobre el agua fría (lo que aumenta la energía requerida para mantener la altitud del vuelo). Supongamos (ver Fig. 8.18) que nuestra paloma es soltada de un barco (punto B) que navega en el lado oeste de un lago y que el palomar (punto L) está localizado en el lado sudeste. El camino más corto es indicado con la línea punteada. Inicialmente, la paloma se dirige a un cierto punto P en el lado sudoeste, no muy lejos de B, y luego va por la orilla del lago hacia L. Si se considera que la orilla es recta en la dirección este-oeste, localice P de modo que la energía requerida para el vuelo de B a L sea mínima. En otras palabras, ¿cuál es el ángulo e2 ó ex = ce2 para una constante c > 1. La energía total requerida para volar de B a L es — — r t c \ E - e ^ P + e2PL = e1 ------- + e2(s - r cot 9) = e2s + e2r ( ---------- cot 9 ) sen 0 ¿ 2 Vsen 9 ' Vemos que la expresión del último paréntesis sólo depende de 9. Por ello, será suficiente minimizar la función / ( 0 ) = — - cot 9 , D¡¡ = R (o , si x = 0 (6 x + i ) s e n 0 - 4 c o s 0 , si x * 0 ^ n „ _ / " ( * ) = f ' " M = 0 , si x = 0 ( 6 “ I ) sen © - ( ; - ? ) cos © ■ sl 1 * 0 . < V " = 0 , si x = 0 35) Halle /(O ), si /( x ) = sen ( J ’ 51 * * 0 y g ( 0) = 5 '(0 ). l o , si x = 0 36) Sea / ( x ) = co sx , h a l l e / (n)(x) y desarrolle la fórmula de Maclaurin con / n n \ resto de Lagrange. R. f (n’(x) = cos (^x + — J 37) Si f ( x ) = cos2x, halle / W (x). R. 2"“1 cos (2 x + — ) 38) Sea /( x ) = 5 sen x , x e [ - - , - ] y g ( f ( x ) ) = cos x , en el mismo intervalo. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( x ) en 5 V3 V 3 / 5> el punto de abscisa x = - . R. y — — = — yjr1 a: x ~ 2 En los ejercicios del 39 al 41, usando el método de Newton, halle el valor aproximado de la raíz de cada una de las ecuaciones en el intervalo que se indica. 3n 39) x — tan x = 0 en (0 ;— ) R. 4,4935 40) sen x = 1 — x (con tres cifras decimales) R. 0,511 41) x 2 arctan x = 1 (con tres cifras decimales) R. 1,096 Para cada una de las siguientes funciones que se dan en los ejercicios del 42 al 47: a) Halle los intervalos de crecimiento. b) Determine los valores extremos. c) Halle los intervalos de concavidad y puntos de inflexión. d) Determine las asíntotas. e) Bosqueje la gráfica. 353 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN i 42) f ( x ) = x + sen x, 0 < x < 2n R. creciente en (0; 2n), U en {n\ 2n) y fí en (0; n) 43) / ( x ) = sen 2* , x E [0; n] R. / = 1 máx. local 44) / ( x ) = 2 x - tan x , x E [0; n] R. m á x . / Q = 0 ,5 7 , m í n - / '( y ) = 5,71, P.l: (0; 0) y (tt; 2tt) 45) y = sen 3x — 3 s e n * , x E [0; 2n) R. máx. en x = — , mín. en x = — 46) y = sen n x — eos n x , x E [0; 2] 3 7 ¡ \ \ /5 \ R. max. en x = - , mín. en x = — , P. 1: - ; 0 y - : 0 4 4 \4 / \4 / 47) y = sen 2x + 2 c o s x , x 6 [0; 7r] R. máx. en x = —, mín. en x = — 6 6 48) Un cartel tiene sus bordes superior e inferior a la altura m y m /3 co n respecto a la visual de un observador, respectivamente ¿A qué distancia debe colocarse el observador para que el ángulo determinado por el ojo y los bordes sea máxima? R. V 3 /3 m 49) Halle el ángulo del sector circular que debe cortarse de un trozo circular de tela de radio R cm, de modo que la copa cónica determinada por el resto de la tela tenga el máximo volumen. 50) Se transporta una viga de acero de 3m de largo por un pasillo de lm de ancho hasta llegar a un corredor que forma un ángulo recto con el pasillo. Sin considerar el ancho de la viga, calcule el ancho del conedor de manera que la viga pueda pasar por la esquina formada por el corredo- y el pasillo. R. 1,1666 3 5 4 8.6 D ER IV A D A S DE LAS FUNCIO NES T R IG O N O M É T R IC A S INVERSAS Proposición 6. Las funciones trigonométricas inversas son derivables. Se cumple: a) / ( x ) = aresenx, entonces / '( x ) = — , |x| < 1 VI - x 2 b) / ( x ) = arccosx, entonces / '( x ) = — , ........ , |x| < 1 V I - x2 1 c) f (x) = arctan x , entonces f ' ( x ) = ~ , x e 1 1 d) f(x ) = arccotx, entonces / '( x ) = ---------- , x E IR 1 f x ¿ e) /( x ) = areseex, entonces f ' ( x ) = ----- , ----- , ¡x| > 1 |x|Vx2 - 1 1 . , f) f ( x ) = arccscx , entonces / '( x ) = ---------, , |x| > 1 !x|Vx2 - 1 ■ UNCIONES TRASCENDENTES Dem ostración a) Sea f ( x ) = y = a re sen x , x 6 [-1 :1 ] A y e í 71 n—lJ , entonces sen y = x. Derivando esta expresión implícitamente respecto a x. tenemos 1 X eos y. y ' = 1 ó y ' = ------- ( 1) eos y Por otro lado, c o sy = V 'l - sen 2y = V I - x 2 (pues cosy > 0). Reemplazando esta expresión en (1), se obtiene 1 y ' = . , para - 1 < x < 1 VI - x 2 b) S e a /( x ) = y = arcco sx , x 6 [ - 1 ; 1] A y G [0 ;7r], entonces c o sy = x. 1 Derivando implícitamente respecto a x. tenemos: y ' = — y Pero, sen y = V 1 ~ co s2y = V i - x 2 (sen y > 0, pues y E [0; n]). 1 Entonces, y ' = — , 7 , para ¡x| < 1. v i — x 2 355 e) Sea /( x ) = y = arcsecx, y £ [0;^> U (^ ; tc] A x £ ( - 00; —1] u [1; + 00), entonces s e c y = x. Derivando implícitamente respecto a x, se obtiene y ' = ------ i ------- s e c y tan y Si x £ [1; + 00) => y £ [0; —) =* tan y = yjsec2y - 1 = J x 2 — 1 Si x £ ( - 00; - 1 ] =* y £ (-;7 r] => tan y = - J s e c 2y - 1 = - V * 2 - 1 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1 1 si x e (—oo, —i> En resumen, y ' = xVx2 - 1 1 , , si X £ (1. -i-00) ^xVx2 — 1 1 Por tanto, y ' = / '( x ) = ------ , si x £ (-oo; - l ) u (1; + 00). |x|V x2 — 1 C orolario. Si u = u (x ) es una función derivable con respecto a la variable x, entonces 1) D* (arcsen u ) = 2) Dx (arccos u) = - - V i — u 2 V i — u 2 3) D^-Carctan u ) = 4)- D *(arccot u) = - 1 -t- u 2 1 + u 2 5) /^ ( a r c s e c u ) = — Dx ^ 6) D ^(arccscu) = - - |w¡Vu2 - 1 |u jV u 2 Ejem plo 28. Dado / ( x ) = arcsen V i - x 2, |x | < 1, calcule / '( x ) . Solución / '( x ) = — 1 • ( V i - x 2) ' = 4 = ■ „ 1 (—2x) ! ^2 v ' a/^2 -),n _ " v ¡x| < 1 J Il1 - (V i- ----x---25)V ' v * 2 2 V 1 -X 2 |x |V i - : E jem plo 29. Si / ( x ) = arcsec í—r — 1. a) Determine b) Determine / '( x ) y 3 5 6 IUNCIONES TRASCENDENTES Solución .1) Df = l x £ E / — - l > l [ = { x £ E / |x |> V 2 |a |) b) Aplicando la fórmula correspondiente, tenemos / '( * ) = x / a 2 x a 2 fx2 (x 2 — a 2)V x 2 — 2 a 2 Df i - {x £ E / |x | > V 2|a|} / 3a 2x — \ Ejem plo 30. Si /( x ) = arctan ^ (fl2 _ b) / '( * ) y Df : , halle a) Df Solución a) Dr = E — í ± - ¡a V3 b) / '( x ) = 3 a (x 4 + 2 a x 2 + a 4) 3 a 3 a 2x — x 3 a ( a 2 — 3 x 2) 2 a 2( a 2 — 3 x 2) 2 x 2 + a 2 Ejem plo 31. Si /( x ) = xV c2 - x 2 + c 2 arcsen - , c > 0, halle a) Df b) / '( x ) y D/ - Solución a) Si /i(x ) = xV c2 - x 2 y / 2(x) = c2 arcsen 0 => / ( x ) = A (x) + / 2(x) Dfl = {x £ E / c2 - x 2 > 0 } = [-c ; c] 0^2 = (x £ E / - I < í < 1 ] = [—c; c], Luego, Df = n Dh = [—c; c]. b) / '( * ) = c2 — 2x2 c2 Ve2 — x 2 Ve2 — ; 2-v/c2 - x 2 , si |x| < c. Df' = (-c; c) 3 5 7 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Ejemplo 32. Sea / ( x ) = arctan í j—— tan ( - ) j. Halle /'( x ) . Solución / '( * ) a — b 2 1 V a2 — b 2 sec © I Ejemplo 33. Dada / ( x ) = arccot -----—j , halle su derivada respecto a ( l T ? > aresen Solución Sea y = a rc c o t(--------- ) y z = a rc s e n f------- Vi - x 2¡ 3 Vi + x 2) Aplicando la regla de la cadena, se obtiene d y 2 ^ l = d g = 1 + x 2 = I1 - * I _ ( - 1 , si |x| < 1 d z d z 2(1 — x 2) i — x 2 l 1 , si |x| > 1 d x |1 - x 2\ ( l + x 2) Ejem plo 34 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = aresen VWv1i ++ xx 22 > en el punto de abscisa x — 0 . Solución Punto de tangencia: P {0; /(O )) = P ( 0; 0) 1 i y ' - z1--+---x--2t =* m T' = y ' I x = 0 = 1 Ecuación de la recta tangente: y — x. Ejem plo 35 Trace la gráfica de la función / ( x ) = arctan + arccot ( 1 + 3^-2) + arctan ( 3*) Solución i) Df = R ii) A síntotas: Como lim / ( x ) = 0 y lim / ( x ) = n, las asíntotas horizontales X - Ï - C O *-» + 00 de la gráfica de / son las rectas y = 0 (a la izquierda) e y = ir (a la derecha). No tiene asíntotas verticales ni oblicuas. 3 5 8 IUNCIONES TRASCENDENTES o iii) f ' M = — 1 > 0. Entonces, f no tiene valores extremos relativos pues es creciente en iv) r o o 54x Entonces, x = 0 es un punto crítico de inflexión. (1 + 9x2) 2 " El análisis de los signos de f " ( x ) se muestra en la tabla siguiente. Intervalo Signo de f " ( x ) Concavidad Pto. de Inflexión ! (—00; 0) + U / n \ (0; +oo> — R P l : ( 0 ; j ) v) La gráfica se muestra en la Fig. 8.19. / 13 — x \ Ejemplo 36. Sea /( x ) = aresen 1 —----------— . Halle las asíntotas y los intervalos \ x ¿ - x — 12/ de crecimiento de y = / ( x ) y además, bosqueje su gráfica. Solución 13 - x ) „ , a) D, = jx £ K / —1 < < 1 [ = ( - 00; - 5 ] U [5; + 00) u {1} x - 12 b) A síntotas: Como lim / ( x ) = 0. la única asíntota horizontal es y = 0. No X ’ "t" co tiene asíntotas verticales ni oblicuas. c) / '( x ) = x 2 - 26x + 25 (* 2 - * - I 2 ) 2Í M F ^ Í 2 Í Punto crítico: x = 25. 3 5 9 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente. Intervalo Signo de f '( x ) Crecimiento Extremos ( - 00; - 5 ) + crece (5; 25) — decrece.......... (25; + 00) + crece - ------- * '/ ( 2 5 ) = 1,17 mín. ....... d) La gráfica de y = f ( x ) se muestra en la Fig. 8.20 (se debe tener en cuenta que / ( - 5) = | , / ( 1) = - | . / ( 5) = | y /( 1 3 ) = 0). EJERCICIOS En los ejercicios del '1 al 5, determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica y = / ( x ) en el punto de abscisa x — a. 1) y = arctan ( - ) , a = 2 R. LT: 4 y - n = (x - 2) 2) y = arcsen V x, a = — 3) y = arctan x , a = —V3 4) y = x arctan x . a = - 1 5) y = x 2 a r c s e c x , a = V2 6) Utilizando el método de Newton, halle la raíz real de la ecuación x 2 arctan x = 1 con una precisión de 2 cifras decimales. d y En los ejercicios del 7 al 3 6 . halle y ' = —— de cada una de las siguientes dx funciones. 7) y = arctan f — ) 8) y = arctan (— ^ ) R- 1 R. V i — x 2' V i — x 2 2x \ 2 1 -i- x 2 / 1 \ 2 9) y = arcsec _ J R. VI - x 2 10) y = (x + a) arctan ( J - j - Vax R. arctan ^ J - j 3 6 0 1 /tan x \ 11) y = — arctan —= - \/2 V V2 / I UNCIONES TRASCENDENTES R. COS^X 1 12) y = -------;— í- — a rctan (aco sx ) a ¿ a s ( b + a c o s x n 13) v = arccos ------;-------- Va + o cos x / 1 + cos2x R. sen x cos2x Va2 - b 2 R. •4) y = — arccos x — - V i — x 2(x 2 + 2) a + b cosx R. x 2 arccos x 15) y = Vsen x — sen2x + arcsen V i — sen x 16) y = x(arcsen x )2 — 2x + 2V i — x 2arcsen x 17) y a 2 + b 2 a sen x arctan a + b eos x Va2 - b 2 V b + cicosx R. —vsen x + sen2x R. (arcsen x )2 ^ Va2 — b2 sen x^ R. cosx 18) y = arctan (*—j + arctan ( - j 19) y = arcsecV 2 — V2x + arccosV2 — V2x (a + b eos x )2 R. 0 R. 0 20) y = arcsen ) + 21) y = - arctan 1 5 tan ( j ) + 4 \ 3 / 3 sen x \ 22) v = arctan ( ----- -------- ) \4 -i- 5 eos x / R. + / 5 t a n g ) 23) y = - arctan x x 24) y = arcsen - • a rc c sc - a a . / I + x \ 25) / ( x ) = arccsc2 ^ _ j 26) / ( x ) = (x 2 + l)a rc c o tx — arccot / 5 t a n g ) i R ' Va2 — x 2 I 2 1 5 + 4 sen x 3 5 + 4 eos x 5 10 + 8 sen x a[; X X a rc c sc -a- -- arcsec —a ¡x¡Vx2 - a 2 R. -■ : arccsc jl + x|Vx R. — 1 + 2x arccot x ( B ) 361 j ^ _2X 27) f i x ) = arcsen x + V * (l - x ) R. —= + • TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I V i - x 2 2 ^ ¡ x ( l - x ) 28) / ( x ) = arcsen \ a 2 - x 2 7-r------ - + arccos 1-^------ r R. 0 o z - x z \ ~ * 29) / ( x j = sen [arcsen (sen (arcsen x 2))] R .2x 30) arctan (x + y) = - [arctan x + arctan y] 31) xy = arctan ( ^ j 32) arccos 33) y j x 2 + y 2 = b arctan í —j 34) x arccos y + y arctan x = arcsen (x + y) 35) arccos (xy) = arcsen (x + y) 36) x = a rc s e n (l — y ) arcsen x 37) Compruebe que y = ■ satisface la ecuación diferencial v i — x2 (1 - x 2) y ' - xy - 1 = 0 38) Compruebe que y = sen (m arcsen x) satisface la ecuación diferencial n 2>,d2y dy z 39) Si - = a rc ta n f—) .h alley ". a W En los siguientes ejercicios, trace la gráfica de las funciones que se indican. 40) y = x arctan x 41) y = x - 2 arctan x 42) y = a rc se n (x 2) 43) y = a rc se n (x 2 + 3x - 10) 44) y = arccos Vx 45) y = arccos V i - x 2 46) y = arctan (x + 1) 47) y = aresee (Vx + 1) 48) y = arcsen V x2 - 1 49) y = arcsecV l - x 2 (*) (*) Su g rá fic a se re d u c e a 2 p u n to s 3 6 2 FUNCIONES TRASCENDENTES / 4 — x 2N| 50) y = arccos 1 + x 2 51) y = r¡x + 4 |2/3|x + 1 |1/3, arctan [(x + l ) 2/3(x — 2 )1/3] , 52) f ( x ) = ■ — — arccot[(x — 2 )2/3(x — 4 )1/3] , n 2 arcsen i R. Asíntotas: y = —x — 3; y = n / 2 máx. en x = —2 y x = 2 ; mín. en x = ( x + 2\ 53) f { x ) arccos /z \ n \ x - 2 ) ~ 2 a rctan [(x + 2 )1/3(x — l ) 2^3] , arccot[(x — l ) 1/3(x — 5 )2/3] — — , v ¡x■ —- 5q|ri//3J||x — 9 |2/3, R. A síntota: y = —n / 2 máx. en x — —1 y x - 1 9/3 : mín. en x n— — arccot 54) f i x ) x + lOx + 9 \ x 2 - lOx + 9 / arctan ^ ( x 3 + l ) 1/ 3 - ^ - ( 1 + x 3) 4/3 o 4 ¡5x - 1 a r e s e e ----------- 1-arctan | J 4 x 4 -1 ( - T W ) 55) f ( x ) arcsen arccos 4 — n x 2 + 4 ) 2 2 — arctan [(x - 2 )3/5(x - 5 )3] , ( x 2 - 15x + 5 0 \ 4 — tr arccot ......... „ ^------ — -1------— \ x 2 + 15x + sO / 2 ( x - 1 0 ) 3/7(x + 1 0 )4/7 + 2 , / l + x — x 2\ arccot ------------- - \ 1 + X + X 2/ X < - 1 - 1 < x < 2 2 < x < 4 x > 4 -4, x = 1 y x = 1 0 /3 x < — 2 2 < x < 1 1 < x < 5 x > 5 = 7 /3 y x = 9 x < - 1 , - 1 < x < 2 x > 2 x < - 2 2 < x < 2 2 < x < 5 5 < x < 10 x > 10 3 63 La función exponencial general de base a es la función real dada por la regla de correspondencia / ( x ) = a x donde a es un número real fijo, con a > 0 y o í 1. El dominio de esta función es Df = M y su rango es Rf = (0; +oo). La gráfica de la función / ( x ) = a x para 0 < a < 1 y a > 1 se muestra en las figuras 8.21 y 8.22, respectivamente. TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 8.7 FUNCIÓN EXPO N EN CIA L DE BASE a 8.7.1 PR O PIED A D ES 1. Sean x e y números reales arbitrarios. Para a > 0 y a * 1, se tiene i) (a * )y = a xy ii) a x ■ a y = a x+y iv) = n x ~y a y / a \ x a x vi) a x = 1 iii) ( a . b ) x = a x. b x X n X ^b' b x a* 2. Si 0 < a < 1, la función / ( x ) = a x es decreciente en todo su dominio; mientras que si. a > 1, la función / ( x ) = a x es creciente en todo su dominio. 3. Si 0 < a < 1, se cumple a) lim a x = + o o X - + - 0 0 b) lim a x ~ 0 (la recta y = 0 es AT-* + oo A.H.D.) (Fig°.8.21) 4. Si a > 1, se tiene a) ^lirn^a* = 0 (la recta y = 0 es A.H.I.) (Fig.8.22) b) lim a x = +oo X —► + OO 364 I-UNCIONES TRASCENDENTES N.8 FUNCIÓN L O G A R ITM O G EN ERA L DE BASE a Dado un número real a > 0 y a =/= 1, la función logarítm ica de base a es la función inversa de la función exponencial general y = f ( x ) = a x y está dada por la regla de correspondencia y = / _1(x) = loga x *=> x = a y Su dominio es ( 0 ; + o o ) y su rango es R = ( —c o ; + o o ) l-n la figura 8.23, se muestra la gráfica de y = logax para 0 < a < 1, y en lafigura 8.24, la gráfica de y = logax para a > 1. Fig. 8.23 8.8.1 PRO PIED A D ES Fig. 8.24 1. Sean A y B números reales positivos cualquiera. Para a > 0 y a ^ 1, tenemos i) loga ( l ) = 0 ii) logQ(a ) = 1 iii) loga (a*) = x , V x 6 l iv) a logaW = x, V x > 0 A V ) logaCA.B) = loga(A) + loga(B) Vi) ¡Oga ~ = loga A - ¡ O g a B vii) loga (/4r ) = r l o g a v4,r G R logc x viii) loga - = - l o g a ^5 ix) loga x = -------- ( x > 0 , c > 0 y c í l ) (cam bio de base) *0§c Cl 2. Si 0 < a < 1, se cumple a) lim logax = 4-oo (la recta x = O es asíntota vertical) x->0+ b) Xl-»im + o ologax = —co c) La función g { x ) = loga x es decreciente en su dominio (jD; 4-co). 365 a) lim logax = —oo (la recta x = O es x-»0+ asíntota vertical) b) lim logax = 4-oo X -* + o o c) La función g( x ) = loga x es creciente en su dominio (0; 4-oo). / 3CL^X — X^ \ 5 Ejemplo 37. Si y = arctan ^ 2 _ 3y2) ) - simplifique w = 4 5'0^ bVarctan “ , dj ondj e a = ---- -------1- -------- - a v , = —d—y . cot [y'(a2 + x 2)] dx Solución Derivando y respecto de x, se obtiene y ' = — = TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 3. Si a > 1, se tie n e dx x 2 + a 2 Sea z = y ' { a 2 4- x 2) = (—------(a 2 4- x 2) = 3a, entonces \ x 2 + a 2/ a retan (a ) = arctan (—!— ) = arctan (tan z) = z Vcotz/ Luego, w = 4 5,0-®4 ^ = 4 l°S4 ( = 4 l°d42 = z = 3a Ejem plo 38. Sea f (x) = - ( a x + a~x) y g ( x ) = ^ ( ax - a~x). Demuestre a) f ( x + y ) = f { x ) f ( y ) + g ( x ) g ( y ) b j 3 O + y ) = f { x ) g { y ) 4- f ( y ) g ( x ) • Solución 1 1 1 a) f ( x + y ) = - [ax+y + a ~ ^ ] . f ( y ) = r (ay + a “y) y <7(y) = ~ (ay - a ' y) ¿ ¿ ¿ Luego, f ( x ) f ( y ) = ^ [ a x+y 4- ax~y + ay- x 4- a-] y 9 ( x ) g ( y ) = ~ [ax+y - a x~y - a y~x + a ~<*+^ ] Por tanto, f ( x ) f ( y ) + g ( x ) g ( y ) = ^ [ax+y + a " tx+y)] = / ( x 4- y ). b) Ejercicio para el lector. Ejem plo 39. Si / (x) = log (— — ), dem uestre que / ( a ) 4- f ( b ) = / ( U + ^ Y M + x ! \1 4- abJ Solución Reescribiendo los valores de / en x = a y x = b, se tiene / ( « ) + / ( * ) = l o g ( ^ ) 4- l o g ( ^ ) = l o g ^ K 1 ¿ ) (1 4- a ) ( l 4- ó) log f 1 - 0 — a 4- a ó ] l l 4- a 4- b 4- abi 366 I UNCIONES TRASCENDENTES l’or otro lado, / a +4- b \ /' ( r r ^ ) = l0g ( a 4- b \] i - l l 4- ab) ( a 4- b \ 1 4- { l + a b ) i = log 1 — b — a 4- ab 1 + a + b + ab ] = / ( a ) + /( ò ) / a + b \ Por tanto, / ( a ) 4- f { b ) = / + — j. Ejem plo 40. Si f ( x ) = 3x y x l t x 2, x 3 son tres números en progresión aritmética, demuestre que / O O - Z f e ) - y / ( x 3) están en progresión geométrica y halle la razón. Solución Si x t , x2 y x3 están en progresión aritmética, entonces x x = a, x 2 = a + r y x 3 = a 4- 2 r Los valores respectivos de / en estos puntos son / O O = 3a , / ( x 2) = 3a+r = 3r • 3“ y / ( x 3) = 3a+2r = (3r ) 2 ■ 3a Luego, / ( x j ) , / ( x 2) y / ( x 3) están en progresión geométrica cuya razón es 3r . Ejem plo 41. Grafique las siguientes relaciones: a) /?! = |( x ;y > G R 2 / y < 2 X , y > Q , x 4- y < 3 j b) R2 = {(x; y) G IR2 / y < log2x , y > 0 , 2x 4- 3y - 6 < 0} Solución a) La gráfica de la relación R 1 es la parte sombreada de la fig. 8.25. b) La gráfica de la relación R2, es la parte sombreada de la fig. 8.26. 3 6 7 1) Trace la gráfica de las siguientes funciones: a) y = - ( 5 * ) b) y = (1 ) c) y = 3" d) y = (V2)* e) y = n~x f) y = — (2~x) g) y = log3* h) y = log05x i) y = k*g2(x + 1) 2) Sombree la gráfica de las siguientes relaciones: a) R = {(x; y) e l 2 / y < 2 X , y > 2~xj b) R = {(x; y) £ I 2 / y < 2~* , x + y > 0 , x2 + y 2 < 4} c) R = {(x; y) e R2 / y < 3 * , x + y < 0 , y < 2~x} d) = {(x; y) 6 IR2 / y < log3x , x 2 + y 2 < 9 , x > 0) e) R = {(x; y) e IR2 / y < log1/2 x , x 2 + y 2 < 16 , x > 0} í) R = {(x; y) E i 2 / x < log2x , x 2 + y 2 < 9 , y > 0) g) R = {(x; y) e R2 / x < 2~y , x - y > 0 , x2 -i-y2 < 16} 3) Resolver las siguientes ecuaciones. a) x = log1/6 36 b) x = Íog23(V 5)v3 c) x = lo g ^ C c o s 30°)4 d) log25x = 3 e) 31ogx 1 0 VIO = 4 f) 2 log1/4 x = 3 g) log2x (V 2 5 )4 = 6 h) x 1’ 1 = ¿ 8.9 EL N Ú M ER O e 1 \" Para establecer el núm ero e, analizarem os la sucesión TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN i E JERCICIO S K n£l Antes de estudiar la sucesión mencionada, enunciamos la siguiente proposición, cuya demostración se deja como ejercicio para el lector. Proposición 7. Sea / : E -> K una función real. Si / es creciente y acotada, entonces lim / ( x ) = L = S u p f/(x ) / x E Df }. ' v—í + m *• ' J 3 6 8 FUNCIONES TRASCENDENTES Sea q: N - definida por g(ri) = ( l H— ) .S e dem ostrará que g es creciente y acotada superiormente. Luego, en virtud de la proposición 7, lim g ( n ) existe y es n-* jo es igual a Sup ( l + —) / n e M j . A este núm ero se denota con e. Al número e se le conoce como la C onstante de N eper. Su valor aproximado es e = 2,718281828459045235... P ro p o sició n 8. l i m ( l + — ) = e = Sup j ( l + — ) / n E N 1\ " Dem ostración En prim er lugar, probarem os que g( n) es creciente. En efecto, según el binomio de Newton, tenem os • 1\ " Desarrollando cada combinatoria, se tiene n ( n - l ) 1 n(n - l) ( n — 2) ... [n - (n - 1)] 1 g{n) = 1 + 1 + ---- —--------- +••• + ----------------------- ;— ---- ---------------- o 2! n 2 n! nn g(n) (a) De esta última igualdad se deduce que g( n) es creciente cuando crece n, pues cada uno de los sum andos aum enta al pasar del valor n al valor n + 1, esto es: 1 2 ! etc Ahora, probarem os que es acotada. En efecto, de (a) se obtiene 1 1 1 1 g ( n ) < 2 + — + — + — . + —< 2 + - + 1 2! 3! 4! / 1 1 n -l 1 / 1 1 1 \ 1 g ( n) < 2 H— ( 1 4-----1— t + • • • -4—7—x ] — 2 H— y 2 V 2 2 2 / 2 (I) 2 n-l < 3 Por tanto 2 < , queda dem ostrado que g( n) = ( l + —) < 3 , V n 6 F s l y más aún ( l + < 3 , V n e N En resumen, ^í 1 + —1\J" es creciente y acotada superiormente. Por la proposición 7, existe lim g ( n ) (a este límite se designa con e, donde 2 < e < 3). 3 6 9 TÓPICOS ni; CÁLCULO-VOLUM EN I Proposición 9. Si f: N -> US es una función definida por f i n ) = 1-1---1---i---1---b —1 I— , entonces lim f i n ) = e __________________1! 2!______ n!___________n-oo____________________________ D em ostración (Ejercicio para el lector) . -j." Sugerencia: Considere o(n) = ( l + — J v pruebe g( n) < f i n ) (entonces \ nJ 3 0 < f i n ) — gi n) ). Luego, se prueba que f i n ) —g ( n ) < —. Esto significa que 3 0 < f i n ) — gin) < —. Tomando límites, se obtiene lim [ f i n) — ,g(n)] = 0, y de t i fl-»oo ello se concluye que nl-i»moo f ( n ) = nl-i»mco^(n) = e. Proposición 10. Si / : IR -> IR es una función definida por 1 X X f(x') = [ l + — 1 .en to n ces lim ( 1 + —) = e \ x ) x-^+oo \ X ) Dem ostración 1 X Sea f i x ) = ( l + —j , entonces Df = (—oo; —1) u (0; -feo). Sea x un número real positivo muy grande comprendido entre dos números naturales n y n + 1, esto es: 1 1 1 1 1 1 n < x < j i + l = > ------ < — < — => 1 -j-------- < l - i — < 1 -t- — n + l x n n + 1 x n n-rl Es evidente que si x -* + oo, también n -> +oo. Por consiguiente, n-l*i-mnx 3 (V l + —n)) = nl-i-m+o o (\ l + —n/) (\ l + —n /) = (e ) ( l) = e y ^ n ^ n+1 ^ —1 n-l*im+c o \( l + —n +—1r )/ = nl~i>m+o o (vl + —n -—1- 1/) V( l + n — +t 1t /) = ( e ) ( l )_1 = e 1 X Por el teorem a del sándwich, se concluye lim (1 -i— ) = e. X^ + ooV x / Ahora, veamos el caso donde x - * - o o . Cambiando de variable x + 1 = - t , es decir, x = —(t + 1 ), vemos que cuando t -» + o o , se tiene que x — —ce. Entonces Xl-i—m o o fV 1 + x ) = lti—mro (o l\ -----------1 = lim (-t- -+-- -1)/ t->+oo\ t + 1 / = t—lim+o o \ t / = litm-+ o(ol\+ - ) t )( l\+ - )t ) = Por lo tanto, se ha dem ostrado que lim (1 -i— ) = e. X - . + 00 V x l 3 7 0 8.91 FUNCIÓN EX PO N EN CIA L NATURAL Y FUNCIÓN L O G A R IT M O NATURAL La función exponencial general de base ei numero e se denomina función exponencial n a tu ra l de base e, y se escribe f i x ) = e x, x £ IR I I dominio es — IR y el rango es Rf = (0; + o o ). Se denomina función logaritmo de base e o función logaritm o n a tu ra l a la función inversa de la función exponencial natural, y su regla de correspondencia es y = f ~ 1i x ) = loge x = ln x <=> x = e y El dominio y el rango de la función logaritmo natural son Dt- = {x £ IR / x > 0) = (0; + c o ) y Rí = ¡R Las gráficas de la función exponencial f i x ) - e x y de su función inversa / - * (x) = ln x se muestran en la figura 8.27. I UNCIONES TRASCENDENTES Fig. 8.27 Observación I a) A log10x se le denomina logaritmo decimal o vulgar de x, y se denota con log x. b ) Por ¡afórmula de cambio de base, ¡a relación entre i n x v log x es: ln x logx ,o8 x = rl~n7lO7¡ ó in * = i—loge 371 TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I c) Otras propiedades de las funciones exponencial de base e y logaritmo natural son: 1) ln(e*) = x, x £ 3) ln(e) = 1 5) lim e x = 0 X —’ — ce 7) lim ln x = 0 *->o+ 2) e mx = x, x > 0 4) ln ( l) = 0 6) lim e x = +co X-> + oo 8) lim ln x = +oo X — +0O Una propiedad muy importante de los límites es la que se da en la siguiente proposición. Proposición 11. Si lim /(x ) — L > 0, entonces x-*b i ï m O o g a [ / ( x ) ] } = lo g a [H m / ( * ) ] = lo g a L Demostración. Ejercicio para el lector Proposición 12 (Algunos límites usuales ó notables) a) ^lirn^ ( l + ì ) = e b) H m (l + x ) 1'* = e / CC\X c) Xl-i>m+o o (V1 4 - —y/ ) = e a d) lim a x - 1 x->0 X In a (a > 0 , a ^ 1) Demostración a) El límite se dem ostró en la proposición 8. b) Seax = 1 / t. Com ox -» 0, entonces t -» oo. Luego, lim (l + x ) 1/x = lim ( 1 4- = e x->0 t-t»V t ) c) Sea x = at . Si x -* oo , entonces t -> oo y lim ( l 4- - ) = lim ( 1 4- = lim ( 1 4- - i = lim [ 1 4- - Ì X-*oo V t-> c c \ t ) t * oo V t J t - o o \ t ) d) Sea t = a x — 1 , entonces a x = 1 4 -1 . Tomando logaritmo neperiano a ambos térm inos tenem os In (l 4 -1) x = In a 3 7 2 I UNCIONES TRASCENDENTES Si x -> 0, entonces t -> 0. Luego, a x — 1 t ln a 1 lim --------- = lim --— ------- - = ln a • limx-* o x t->o ln ( l 4 -1) t-*o ln ( l 4- t) t Puesto que ln (l 4 -1) lim ------------ = t->o t a x - 1 se sigue que lim ---------= ln a. *-*o x lim l n ( l 4 - 1 ) 1^ — ln 4- t ) 1/c] = ln ( e ) = 1, 8.10 L ÍM IT E S DE LA FO RM A : lim [/(x )]» W x->ci Para calcular este tipo de límites, debemos tomar en cuenta tres casos: CASO 1. Si existen los límites lim / ( x ) = A y lim g ( x ) = B, entonces x-*a x —*a lim [f(x)]*a CASO 2. Si lim / ( x ) = A + 1 y lim g ( x ) = + o o , el cálculo de lim [ / ( x ) ] flW x~*a x-*a x-»a es inmediato, pues: Si A > 1 y lim g ( x ) = 4-oo => lim [ /( x ) ] fl(3Cj = 4-oo x-+a x-+a Si A > 1 y lim g ( x ) = - o o => lim [ /( x ) ] flW = 0 x-*a x->a Si 0 < A < 1 y lim g { x ) = 4-oo => lim [ /( x ) J alx) = 0 x —>a x-*a Si 0 < A < 1 y lim g ( x ) — —oo => lim [ f ( x ) ] 9^ = 4-oo x-*a x-*a CASO 3. Si lim / ( x ) = 1 y lim g ( x ) = ± o o , entonces hay indeterminación x-*a x-*a de la forma ( l 00). Para calcular este tipo de límites, se define a ( x ) — / ( x ) — 1, de modo que lim a (x ) = 0. Luego, x->a lim [/(x)P<*> = lim {[l 4- a ( x ) ] 1/aW }aWflW = ex™a(x)gix> x-*a x-+a Por tanto, lim [/(x )]flW = e* _ o hma[f(x j-l]-g (x ) 373 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Ejemplo 42. Calcule los siguientes límites: a) lim x - * 4 Solución 16 b) Xl->im + oo /2 x + lv* \ x - 3 ) a) Como lim x 2 - 16 = 8 y lim (x — 2) = 2, entonces x-*4 X — 4 x->4 lim X-*4 - 16 x - 2 = 8 2 64 2x + l b) Dado que lim ------ — = 2 y lim x = + co , entonces lim X-> + °o x->+00 X - /2 x + 1\* _ \ x - 3 ) + oo b) lim a x^o a nx - 1 c) lim- Ejem plo 43 Calcule a x - b x a) lim ----------- *->o x Solución a) Este límite es de la forma 0/0. Factorizando bx en el num erador y aplicando límite notables, se obtiene ax - b x lim ---------- x-0 x = xli->m0 ó1 lim b x ■ lim x-*0 x-*0 ( ? )’ b) Este límite es de la forma 0/0. Dividiendo num erador y denom inador entre x y aplicando límites notables, nos queda a mx - 1 a mx — 1 m lim — -----r = — lim m x m In a m x->o a nx — 1 n x-o a nx — 1 n In a n n x c) Este límite es de la forma 0/0. Para calcularlo, usamos la estrategia de sumar y restar 1 en el numerador. Luego, aplicando límites notables a cada término, se obtiene lim i x 2 — 1 = lim ------- *-*i x + 1 1 = limo x - í 1) — (a 1" 1 — 1) x^l X + 1 x - 1 ;*-l _ l a X~l _ l 1 je = — (In e — In a) = ln i— 2 'Ja 374 PUNCIONES TRASCENDENTES + 3x2 + 2x — 1 x 3 + 2x — 5 x + l Ejem plo 44. Calcule lim X-i + CO Solución liste límite es de la forma 1“ . Para calcularlo, utilizamos la estrategia presentada en el caso 3 de límites exponenciales. De este modo, se tiene Sea a ( x ) x 3 + 3 x 2 + 2 x - 1 x 3 4* 2 x — 5 • — 1 => a ( x ) = 3 x 2 + 4 x 3 + 2x — 5 x->+oo A üim a ( x ) = 0 Luego, se tiene *-l>im + oo x 3 + 3 x 2 + 2 x - 1 x 3 + 2 x — 5 .l.i m —*3—x2 -+--4- --(.x+l) o g x -> + o o x 3 + 2x-5 = e rsen a + sen 3xisen 3* Ejem plo 45. Calcule lim -------------------- *->o Lsen a - sen 3x. Solución Este límite es de la forma 1°°. Utilizando el mismo argumento que en el ejemplo anterior, tenemos sen a + sen 3x 1 / ( * ) = rseznn a— — sen 3x y a W = sen 3x 2 sen 3x a ( x ) = / ( x ) — 1 = ----------------- — y lim a (x ) = 0 sen a — sen 3x x—*o Por tanto, lim x-<0 sen a + sen 3x sen a — sen 3x sen 3x = lim x —*o 1 + 2 sen 3x ] s e n 3 x e* sen a — sen 3xJ .. / 2 s e n 3x \ 1 2 x ío v s e n a - s e n 3 x /s e n 3x — gsen a ^ 2 — V C O S X l/x2 E jem plo 46. Calcule L = lim x-*0 Solución P a /i empezar, reescribiremos el límite como L = lim (2 — V c o sx )1/ 2*2. El límite es de la forma I 00. Utilizando el argumento del tercer caso de límites exponenciales, se obtiene / ( x ) = 2 - V c o sx , g ( x ) = — — , a (x ) = / ( x ) - 1 = 1 - V cosx 2 x 2 Luego, .. l - V c o s X lim [2 — V eos x ]2* = lim [l + (1 — V co sx )]2*7 = e 2*2 = e 1/8 * - * 0 3 75 , , , ln (V cos(ax)) Ejem plo 47. Calcule lim ---- —=-----------. *->o b x 2 Solución Reescribiendo la expresión del límite, se obtiene lim —^ f o x 2 ~~ = lim ln[cos a x ]1/,3fc*2 = ln [lim (c o sa x )1/,3bA:2j El límite es de la forma 1” . Aplicando el tercer caso de límites exponenciales, se obtiene 1 1 .. eos ax- 1 a2 lim[cos (ax)]3bx2 — lim [l + (eos ax — l) ] s bx2 = e 3bx2 = e~6b Por consiguiente, ln Veos a* 2 ... a 2 lim -----— ------= ln (e ~a / 6 b ) = ------- x-o b x 2 6b TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Ejem plo 48. Calcule L = lim eos X - » + o o \ ----\ 4x 3 a \ Solución Este límite es de la forma 1“ . Para calcular este límite, primeramente hacemos un cambio de variable y luego utilizamos el argumento del tercer caso de limites exponenciales. De este modo, tenemos 3 a 3a r 3a Sea z = — => z ¿ = — ó x = — r . Luego, si x —> + c o => z -» 0 + J X X z 2 Aplicando el tercer caso de límites exponenciales, se tiene , im 1 2 0 ( C 0 S Z - 1 ) L = lim [c o s z ]z 2 = lim [1 + (c o sz — 1)] z2 = ez^o+ z2 _ e -6a z-»0+ z-* 0+ Ejem plo 49. Calcule ( e ax - e bx) ln(x2 + 1) eos ( í ? ) arctan(rrx2) L = lim ------------ — -------------- ----------------------- , a * b x->o x 2\¡xz + 1 tan(7rx2) sen(¿ — a)x Solución Este límite es de la forma 0/0. Para empezar, reescribimos el límite como L = lim x ¿ x-»0 , (Ttx\ _ arctan(7rx2) e ' a- b)x - 1 eos (-j-J ln(x + 1) ------ -------- L Vx2 + 1 x 1 tan(7rx2) sen(fc - q )x Calculando cada uno de los límites separadamente, se obtiene n (a — b~) L = — --------- = - 1 n (b — a) 376 I I IN< 'IONES TRASCENDENTES E JE R C IC IO S I ) Determinar, según la base, cuáles de las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. a) / ( x ) = 3X b) f ( x ) = 4 “* c) / ( x ) = log„ x d) / ( x ) = log^2 X c) f ( x ) = loge/4 x f) / ( x ) = 2~x .’) Sombree la región determinada por las siguientes relaciones. a) R = {(x; y ) e IR2 / y < e x , y - 4x — 1 < 0} b) R = {(x; y) E M2 / y > 0 , x < e, y < ln x] / I — x \ / I + a b \ 3) Si / ( x ) = ln - pruebe que / ( a ) + / ( b ) = - / ( Q + ¿ 1) Demuestre a) ln|csc x — cot x\ = — ln|csc x + cot x\. b) Si / ( x ) = — ln|csc x + c o t x |, entonces e 31n V7W = sen x + co sx l 1 1 _ 5) Si / ( x ) = ~ ( e x - e x) y g ( x ) = - ( e x + e *), dem uestre b) g ( x ) + g ( y ) = 2g ( ~ y ^ ) 9 ( ~ j ^ ) c) g ( 2 x ) + g ( 4 y ) / ( 2 x ) + / ( 4 y ) \ f = (j) (* + 2y) d) [ f W + 5 ( x ) ] n = f ( n x ) + g { n x ), n 6 N (usar inducción) e) / es función impar y g es función par. 2 g W - 1 o K|)l - g) [5 W ]2 - [/(* )] A i 2 g { x ) + 1 [ » © ] - 2 _ En los siguientes ejercicios, calcule los límites indicados (si existen). 6) x-l*i+moo J16xsen( ¿ ) R.V2 7) lim X - * + oo x 3 + 2 x + 3 x 3 + 4 R. e 3 7 7 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN í 8) lim (l — sen 3 x )1/2* R.e 3/2 x-*0 10) lim(cosx):* i R. e 2 5 ab 12) lim [V i + sen 3x]sen(^*) R. e 2 14) lim x [ln (x + 1) — ln x ] R. 1 16) lim [co sx + a sen bx]x R.e x —o ab pVX _ p (Sx 18) lim --------- ----------------- *-*osen(a:x) — sen ( px ) 20) lim (2 - x ) tan( £ ) R .l R . e 2' 71 e V sen x _ 22) lim --------------- R.+oo x - 0 + X 24) lim a ^ x2+x (0 < a < 1) R. 0 26) lim e x/x x->0 9) xli-m»0 (eos x )1/* 1 1 ) lim x + 3 x ¿ + 2x + 1 ' J x 2 - 3 x - 13) lim X - » + o o 15) lim h-> o 17) lim x->0 2x + 5x + 4 eos ln(x + K) — ln x R .l R.O e«* _ e /?* 15 ab R. e 2 1 R .- X R . c t - p 19) xl-i>mo(e* + x )m/x R .e2 21) lim x^o ( e x + x ) 1 ( c o t x ) / x (1 + sen x ) x 23) lim e 1/xí 25) lim e i - x 1 x^l+ / I + tan X \ s e n x R.3 27) lim ------------- R. e x->o VI — tan x ) 28) lim x-<0 (xV ñ)3 c o sx nVñ (\ sec x sen x ----e-s- c—x JÌ R.1 ln ( l + x ) 29) lim —-------- - X ( 1 + X ) a - 1 31) lim ----------------- *-»o x e ax - 1 33) lim - r - — - x->o e — 1 x n — a n 35) lim R. 4 (1 + x ) a - 1 30) lim ■ *->o ln ( l + x) R. a 32) lim x - a ln (x n) — ln (a n) R‘ b R. a n 34) lim *->alnx — I n a ln x í - l X 2 — 1 R.e R .l R.O R. a R. a R. 3 7 8 I UNCIONES TRASCENDENTES 8.11 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Proposición 13. Las funciones exponenciales y logarítmicas son derivables en sus dominios correspondientes. Se cumple: a) / ( * ) = a x , x £ IR , entonces / '( x ) = a x • ln a , V x £ M b) / ( x ) = e x , x £ IR , entonces / '( x ) = e x , V x £ IR c) / ( x ) = loga x , x > 0 , entonces / '( x ) = —-— , V x > 0 x ¡na d) f (x) = ln x , x > 0 , entonces / '( x ) = — , V x > 0 1 e) / ( x ) = l n |x |, x í 0 , entonces / '( x ) = - , V x í O D em ostración a) Si / ( x ) = a x (a > 0, a 1), por definición de la derivada, se tiene a x +h _ a x a x ( a h — 1) a h — 1 / (x) = lim ------ ------- = lim -------- ¡--------= a x lim — ----- = a x ln a h-*Q h h->0 h h^0 h b) Si / ( x ) = e x es un caso particular de la función exponencial general, entonces / '( x ) = e * ln e = e x . c) Sea / ( x ) — y = loga x , x > 0 , entonces x = a y Derivando implícitamente la última igualdad respecto a x, tenemos 1 1 1 = a v ■ ln a ■ y ' , de donde y ' = a ^ l n a x l n a i Por lo tanto, s i / ( x ) = loga x , entonces / '( x ) = x ln a d) y e) se dejan como ejercicio para el lector. C orolario. Si u = u (x ) y v — v ( x ) son dos funciones derivables con respecto a la variable x, entonces se tiene a) Dx ( e u) = e u • Dx (u) b) Dx ( au) = a u ■ ln a • Dx ( u ) c) Dx(ln u) = - • Dx (u) d) £>*(loga u ) = — ■ Dx (u) u u ln a e) Dx ( u v) = u v [ln u • Dx ( v ) 4-----^ ( u ) ] = u v • ( tf ln u ) ' 0 Dx (ln |u |) = — • Dx u 3 7 9 Ejem plo 50. Si f ( x ) = In f --^ ), calc u le /'(x ) y Df>. \1 - V x/ Solución El dominio de la función es D ^ j x G l R / > 0J = [0; 1> Como / ( x ) = ln ( l + Vx) — ln ( l — Vx) . entonces f ' M = 7( l + v x7) + 1) í - 17 —~ VSx= (1 - 1 1 1 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN i 2 \ / x ( l + V x ) 2 v x ( l - V i) V x (l - v x ) ' D/ < = < 0; 1 > Ejem plo 51. S i / ( x ) = e cos*, calcule a ) / ' W b ) f ( | ) c ) / ( / '( x ) ) Solución a) / ' ( * ) = e cos* (c o s x )' = - e cos* • s e n x b ) / ' Q = - s e n 0 e COS7r/ 2 = - 1 c) = e cos(~senx eCOS*^ = e c o s (ecosxsen x) Ejem plo 52. Sea / ( x ) = ln Solución i/ x 2 4- 1 — x H a lle /'(x ). V x2 + 1 + x Por propiedad del logaritmo, tenemos / ( x ) = ln (V x 2 4- 1 - x) - ln (\ ¡ x 2 + 1 + x j Entonces, / '( * ) V x2 + 2 V x 2 4- 1 ^ - ( • ^ = - 1 ) - — i - - 1 — X '•V x 4 - 1 ' Vx2 4- 1 4- x W x 2 4 - 1 / 380 I-UNCIONES TRASCENDENTES X — 1 Ejem plo 53. Sea — y ' = - => y " = ... X X <=> y = = 0 Por tanto, y '" = 0. 381 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN i Ejemplo 56. Sea / ( x ) = (1 + X2) arctanx , calcule a) / '( * ) b) /'(O ) Solución a) Para empezar, reescribiremos la función como = (1 + x 2')arctan x = e arctan x - ln(1+*2) Luego, aplicando la regla de la función exponencial, se tiene / '( * ) = e arctan x ■ in(i+jtz) [arctan x ■ ln ( l 4 -x 2)]' = (1 + ^ 2 -jarctan J l n ( l + * 2) . 2x arctan *1 b) /'(O) = 0. 1 + X 2 1 + x 2 , / I + Vsen x \ _____ d 2y Ejem plo 57. Dado y = ln ------- , + 2arctanV sen x, halle y" — \1 — V s e n x / clx2 Solución Mediante las reglas de derivación, se deduce que co sx co sx + + 2Vsen x ( l + Vsen x ) 2Vsen x ( l — Vsen x) V sen x ( l 4- sen x) c o sx co sx 2 co sx Vsen x ( l — sen x ) Vsen x ( l + sen x) Vsen x ( l — sen 2x) 2 = 2 secx V cscx V sen x. eos x —ese x c o tx y " = 2 jse c x 2^fcs Vcsc x se c x tan c x *J = sec xVcsc x [2 tan x — cot x] Ejemplo 58. Si y = ex , halle y ' - ^ 1 dx Solución La derivada de la función está dada por y ' = e x x x ( x * ln x ) ' - 4- ln x 4- ln2x x 3 8 2 Ejemplo 59. Determine los valores extremos relativos, los puntos de inflexión, y trace la gráfica de la función / ( x ) = x 3e 4~2xí. Solución i) Df = IR ii) / '( x ) = x 2e 4_2;c2(3 — 4 x 2) Puntos críticos: x = —V3/2, x = 0 y x = V3/2 El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente. I UNCIONES TRASCENDENTES Intervalo Signo de f ( x ) Crecimiento Extremos / V3> < - f ;0 > 4- decreciente creciente >/ ( - y ) = -7 ,9 1 2 mín. Í 0 ;f > ('2— ; + 00’) 4- creciente decreciente ' • - ' / ( y ) - 7,912 m áxiii) / " ( x ) = 2x e 4 2 * 2 ( 8 x 4 — 14x2 4- 3) V6 1 1 V6 Puntos críticos de inflexión: x = ------, x = — , x = 0, x = - y x = — 2 2 2 2 El análisis de los signos de f " ( x ) se muestra en la tabla siguiente. Intervalo Signo de f " ( x ) i Concavidad i Puntos de Inflexión í <—oo; —V 6 /2 ) <—V ó/2; —1 /2 ) ( - 1 / 2 : 0 ) (0; 1 /2 ) <1/2; V 6 /2 ) (V6 /2 ; 4-oo) _ 1 ^ _ ]"“ ............ ; 7_V-T'P.1.= (-1 ,2 2 ;2 ,4 9 6 8 + | —0 ,5 ;—4,1394) I , + i u _ - - '- r - P .I .= (0 ;0 ) ! ñ P .I.= (0,5 :4 ,1 3 9 4 ) + í y P-1- = (1,22; 2,4968) Se observa que f es una función impar. Su gráfica se muestra en la Fig. 8.28. h \ - 4 -0,9 k 0 0,9 4 / \ l / \ \ 1l // -2^1 \ i / X \ 1 / Fig. 8,28 383 Fig. 8.29 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Ejem plo 60. Trace la gráfica de x 4 + 1 f ( x ) = ln , 1 6 x 2 + 1 , e indique sus valores extremos relativos. Solución i) Df ~ IR ... . 4 x (8 x 4 + x 2 - 8 ) >0 / O ) + 1)(^ Gx2 + 1) Puntos críticos: x = - a , x = 0 y x = a , donde a = 0,939451. El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente. Intervalo Signo de f ' ( x ) Crecimiento Extremos ( - 00; - a ) (—a ; 0) - decreciente - - __ -m ín. ( - 0 ,9 ; - 2 ,1 4 ) + crecien te--'-. <0;a) — decreciente ' - máx. (0; 0) (a; + 00) + creciente --------' -m ín. ( 0 ,9 ;-2 ,1 4 ) / x 4 + 1 \ Como f ( x ) = ln I + I es función par, su gráfica es sim étrica con respecto al eje y (Fig. 8.29). La gráfica corta al eje x en los puntos (—4; 0), (0; 0) y (4; 0). 3x.3 x 2 — 4 E jem plo 61. Trace la gráfica de /( x ) = ln Solución i) Df = K - {-2,0,2} ii) lim f ( x ) = - f e o , lim /(x ) = + o o y lim /(x ) = - o o . x-*—2 x->2 x-»0 Luego, las asíntotas verticales son: x = - 2 , x = 0 y x = 2. No existen asíntotas horizontales. iii) Intersecciones con el eje x en ( - 1 ; 0) y (1; 0). x 2 — 12 iv) / '( x ) = —— — — x ( x 2 — 4) Puntos críticos: x = —2V3 y x = 2-\/3. Para determinar los intervalos de crecimiento, se debe considerar también a los puntos de discontinuidad. Así, tenemos la siguiente tabla: 3 8 4 I 1INCIONES TRASCENDENTES Intervalo Signo de / '( x ) Crecimiento | Extremos (—co; — 2V3) (—2V3; —2) + ! decreciente" . - . Í - 'm í n . e n x = -2 V 3 1 creciente ! ! ( - 2 : 0 ) I decreciente | (0; 2) ¡ i creciente ¡ (2; 2V3> (2V3; +03) - + ¡ d e c rec ien te---.]t - ' mi, n.en x — 2Vr3x 1 creciente - | 32x — x — 48 V) f x 2(x 2 — 4 )2 Puntos críticos de inflexión: x = —y, x = — /?, x = y y x = /?, donde y = n|1 6 + V208 = 5,51 y = ^jl6 — V208 = 1.25 El análisis de los signos de /" ( x ) s e muestra en la siguiente tabla: Intervalo Signo de f " ( x ) \ Concavidad -4- Puntos de Inflexión {—co; —y ) ( - y ; —2) ( - 2 ;- /? ) <0;/?> (P;2) (2; y) (y: + 00) + + ++ ^ P. I. en x = — 5,51 ^ ' " . ' - - - I ' P .I .e n x = - 1 ,2 5 • n * ; Pl - * . _ V - P . I. en x = 1,25 ^ 'l '. '- i 'P . I. en x = 5,51 R /i) Se observa que / es función par. Su gráfica se muestra en la figura 8.30. 3 85 Ejem plo 62. Halle los puntos máximos y mínimos de / ( x ) = e x*. Solución i) Df — (0; + 00) ii) lim / ( x ) — e , pues lim x x — 1. No tiene asíntotas X->0+ x-»0+ verticales. Üi) f ' ( x ) = e x*xx ( l n x + 1). L u e g o ,/'(x ) = 0 =* \ n x = - 1 => x = e ~ x Punto crítico: x — e ~ x El análisis de los signos de / '( x ) se muestra en la tabla siguiente. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Intervalos Signo de f ' ( x ) Crecimiento Extremos (0; e _1) — decreciente 1 (e _1; + 00) + creciente Mín. en P ( e ~ 1; e*2) La gráfica de / ( x ) se muestra en la Fig. 8.31. Ejem plo 63. Halle el área del rectángulo más grande que tiene dos de sus vértices sobre la curva y - 4 e - *2 — 4 y el otro lado sobre la recta y = —4. Solución Como lim / ( x ) = —4, y = —4 es asíntota horizontal de y = f ( x ) . X -* ± o o La Fig. 8.32 muestra el rectángulo que tiene un lado sobre la recta y = - 4 y dos vértices sobre la gráfica y = / ( x ) = 4 0) y altura h = / ( a ) - ( - 4 ) = está dado por /l(a ) = 2 a (4 e ~ a") = 8 a e ~ a¿, a > 0 La derivada de A ( a ) con respecto de a es A'{a) = 8 e _“2( l — 2 a 2) V2 Haciendo A'(a) = 0, se obtiene el punto crítico de interés: a = — . + — Signo de / '( x ) 0 V2 /2 \Í2 El criterio de la prim era derivada verifica que a = — corresponde a un máximo relativo. Luego, el área del mayor rectángulo con las cbndiciones dadas es N 2 \ 4V2 2 A \ — \ = — u 2 v e 3 8 6 I11\( MONFSTRASCENDENTES > S < k B . A / l \ - 1 / 2 0 1 / 2 * x F i g . 8 . 3 3 Ejem plo 64. Halle el área del triángulo que tiene como vértices los puntos extremos relativos de la función / ( x ) = x 22 8 ~ ^^ 2XX^ . Solución 1.a derivada de f es / '( x ) = 2x 28-Iñ"2x2( l — 4 x 2) 1 1 Puntos críticos: x = — - , x = 0 y x = - . + Signo de / ‘(x) - 1 / 2 1/2 El criterio de la prim era derivada verifica que x = - - y x = - producen máximos relativos y x = 0 produce mínimo relativo. Los puntos extremos relativos sobre la gráfica de la función son: B (0 ;0 ) y La gráfica de la función se muestra en la figura 8.33. El área del triángulo ABC es 1 g 1 , Area = - • 2 n>z u 2 O 3 8 7 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I EJE R C IC IO S dy En los ejercicios del 1 al 18, halle y ' - ( x + V x2 — 4 1) y = ln 2) y = ln 2 / V3 V i + x + V i — X V i + x — V i - x 1 arctan dx ’ / V 3a2 — 12 R. V x2 — 4 x 2 — 3 R. - x v r 3) y = (x - - arctan x j arctan x - i ln ( l + x 2) . ( X - 1 \ 1/6 V2 / x \ 4) j, = " '(.7 T T J ' + T arc,anb f J 5) y - ln 1 + V2x + x 2 1 — V2x + x 2 + 2 arctan R. R. V2x 1 — x 2 R. x z arctan x 1 + x 2 X2 x 4 + x 2 - 2 4V2 1 + x 4 6) y = : ln X2 - y flx + í \ \\Í 2 Vx2 + V2x + 7) y = ln |s e c x + ta n x | R. 8) y = — co sx 2 se n 2x 2 + - l n tan 1 + x 4 R. se c x R. csc3x 9) y = V x 2 + 1 - ln 1 + V x2 + 1 R. 10) y = .^ ln ¡x 2 — a 2\ + ~ l n |——— I 2 2 a ix + a 1 11) y ~ ^ [sen(ln x) - cos(ln x)] V I + x 2 x n x + m R. R. se n (ln x ) 12) y = (sen x ) A 13) y = x*** 14) y = x e* 15) y = x * x 3 8 8 I 6 ) x y = y x R. - I UNCIONES TRASCENDENTES x ln y - y Ly ln x - x y r x + y 17) ln ( y x 2 + y 2) = arctan — R. x — y i*Wy 18) e ^ + lnl “ ^ > - 8 R. y' = 19) Si y = ln ( ------- ) , dem uestre qu ex y ' + 1 = ey. \1 + x/ 1 / ( y + l ) 2 \ 1 / i (y + 1J \ l / ¿2yy--1 1\\ V i + 3x + 3x2 20) Si u — - l n —----------- 1 —arctan ( — —— ), donde y = 6 Vy ~ y + 1 / V3 V V3 / du 1 dem uestre que —— = ■ dx x y (l + x)" 21) Sea g:R.~* E una función diferenciable tal que g { — 1) = 4 , g ' { — 1) = 4. Calcule: a) F '(x ) y F '(0 ) , si F (x ) = 2xg ( x 2 - 1). b) G '(x) y G '(0) , si G(x) = ln ( l + 2x) g ( 1 — 2e*). En los ejercicios del 22 al 25, halle las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a las curvas dadas en los puntos indicados. 22) y = x 2e ~x , x = 1 R. LT: x — e y — 0 , LN: e 2x + e y — 1 — e 2 = 0 23) y = x ~ 2e 2x , x = —1 24) y = ln x , x — e 25) y = x ln x , x = e R. Lr : 2 x - y = e , LN: x + 2y = 3e 26) Halle la derivada del orden indicado para ias siguientes funciones: , , (—l ) n+1( n - l ) ! a n a) y = ln (ax + b ) , y v"' R. y tn) = -------- ;--------—--------- ^ 7 (a x + b ) n b) y = e xcosa ■ sen (x sen a ) , y^n) R. y (n) = excosas e n (x sen a + na) c) y — e~x c o s x , y (4) R. y ^ = —4y 3 8 9 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I d )(V 2 ) x -y y X n -y j y + ln I* + v'y - 1 0 27) Si / ( x ) = (V 5)arccotx2- arctanA;2, halle / '( 1 ) . r y(n) = o , n > 3 R. - ln 5 En los siguientes ejercicios, hasta el N° 36, determine los intervalos de crecimiento, los de decrecimiento y los valores extremos de las funciones que se indican. 28) f ( x ) = e ~x2+2x 29) f ( x ) = x 2 ln G) 30) / ( x ) = — x 31) / (x) = e •'sen x , x e [0; 2rr] 32) / ( x ) =* x* 33) / ( x ) = x ln2x 34) / ( x ) = e xxX 35) / ( x ) = 3*** X 36) / ( x ) = - [ s e n ( l n x ) + eos (ln x )] R. Máx en x = 1 R. Máx en x = e ~ 1/2 R. Mín en x = 2 , 3 n l n R. Max en x = — , m in en x = — R. Máx en Mín en ■ + 2kn , k G ( e :y j ’ /? = Y +2k71, k e 7 í En los siguientes ejercicios, hasta el N° 51, halle los valores máximos, valores mínimos, puntos de inflexión (si existen) y trace la gráfica de cada una de las funciones que se indican. 37) / ( x ) = ln (8 x - x 2) R. Máx. / ( 4 ) = ln 16 38) / ( x ) = x 2 in x R. Mín.. / ( 4 = ) ~ '■ P l ( e _3/2; - ^ e _3j 39) / ( x ) = x 2e~x R. M áx.( 2 ; 4 e -2) ; M ín ( 0 ;0 ) ; P .I .e n x = 2 + V 2 3 9 0 I IINCIONES TRASCENDENTES 40) / ( x ) = (1 + x 2) e x 41) / ( x ) = 42) / ( x ) = e~x ■ sen x , x e [0; 27r] 43) / ( x ) = x z e 1/x x + 2 x 3 + 1 44) / ( x ) = ln 45) / ( x ) = ln 46) / ( x ) = x 4e 8~2x2 47) / ( x ) = ln I 1 _ X 48) / ( x ) = ln x - 1 49) / ( x ) = x 2 — 4 ln (x 2) 50) / ( x ) = x — ln (8 x 2 — x 4) fx 3 4- 5 x 2 — 4x — 20 51) / ( x ) = ln x 2 + 1 7r 3rr R. P. I. en x = — y x = — 2 2 R. Mín. en x = - 3 52) Se obtiene un tubo al girar la función y = e , —10 < x < 10, alrededor de la recta y = x ¿Cuál es el radio de la mayor esfera que puede pasar por ese tubo? 53) Una compañía, que crece de forma acelerada, estima que el número de sus empleados N ( t ) , después de t años, estará dado por el modelo N ( t ) = 1 0 0 0 0 0 (0 ,0 4 )(0's)t. a) ¿Cuántos empleados tiene inicialmente la compañía? R. 4000 b) ¿Al cabo de cuántos años se triplicará su fuerza laboral? c) ¿Cuál es el tope del número de sus empleados? R. 100000 391 54) En el restaurante “Las Brisas de Mayami”, el número promedio A/(x) de clientes para el almuerzo depende del precio x (en nuevos soles) del menú del día, según el modelo: 3500 / / x \ \ WW = — ( í + K i o ) ) • í : ! 3 a) ¿A qué precio debe vender el menú del día para maximizar el número de clientes? ¿Cuál es el número máximo de clientes para ese precio? (Exprese los resultados en números enteros) b) ¿A qué precio debe vender el menú del día para maximizar su ingreso totai del día? ¿Cuál es su ingreso total para ese precio? R. a) S/.6; 48 b) S/.10; S/.350 55) La editorial PALLANCOS S.A. produce libros de matemática a un costo de S/. 10 cada uno, y estima que si se venden a x nuevos soles la unidad, los estudiantes comprarán aproximadamente ZOOOe-0'04* libros por mes. a) ¿A qué precio deberá vender cada libro para maximizar su ingreso total? b) ¿A qué precio deberá vender cada libro para maximizar su utilidad? R. a) S/.25 b) S/.35 56) La imprenta THALES S.A. puede vender las facturas que produce a un precio de 50 nuevos soles el millar. El costo de producir x millares al mes (en nuevos soles) es C (x) = lO x ln x + 15 ¿Cuántos millares de facturas debe producir la imprenta al mes para maximizar su utilidad? R. 55 millares 57) La temperatura en grados Celsius en la ciudad de lea durante un día promedio de verano varía aproximadamente de acuerdo al modelo 7Xt) = 3 0 e~ (1-§) , 0 < í < 18 donde t es el tiempo en horas medido a partir de las 6:00 a.m (t = 0 corresponde a las 6:00 a.m.). ¿A qué hora del día la temperatura de la ciudad de lea es máxima? R. 3:00 p.m. 58) La editorial MITOGRAMA S.A. estima que el costo de producir x ejemplares del libro de Cálculo 1 se modela por la función C (x) = 2 x ln , x > 0 Si la editorial puede vender a 16 nuevos soles cada libro que produce, ¿cuántos libros debe producir para maximizar su utilidad? R. 23848 libros TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 392 S9) Jaimito adquiere gran número de conocimientos del Cálculo Diferencial cuando se prepara para el examen final del curso de Cálculo 1. En un tiempo de t semanas después del examen final, el porcentaje de los conocimientos que jaim ito es capaz de recordar está dado por el modelo 175 + 2 5e°'4t P ( t) = 1 + e 0M a) Calcule P (0 ) y P (5) e interprete el resultado. R. P ( 0) = 100 y P (5 ) = 42,88 b) Calcule lim P ( t) e interprete t-»oo el resultado. R. 25 c) El porcentaje de conocimientos del cálculo diferencial que Jaimito recuerda a través del tiempo, ¿está decreciendo? R. Sí I IINCIONES TRASCENDENTES 60) La base de un triángulo es AB y su altura es h = limx++in*. Si A es el punto de intersección de la asíntota horizontal de / ( x ) = ln (e - - ) con el punto de valor máximo relativo de abscisa negativa de g ( x ) = 2\x\ - x 2 y B es el máximo relativo de h(x) = \ j (x - 2)2 + \J(x - 4)2 + 2. determ ine el área del triángulo. 61) Dadas las funciones 2 1 f ( x ) = 10 e x3(x-6)5 a W = _ [ 2I A ' ' fl« - « , , , l h ( x ) = ta n (x + 6) + 10 , x £ [ - 7 ; - 5 ] j ( x ) = arctan [(x + 1 2 )2/3x 1/3] - 1 Halle el área del trapecio isósceles con bases paralelas al eje x, de modo que el primer vértice es el máximo relativo de j ( x ) , el segundo es el punto de inflexión de h( x) , el tercero es el punto máximo local de / ( x ) y el cuarto es el punto máximo relativo de g (x ). R . 132 u 2 En los ejercicios del 62 al 71, trace la gráfica de las funciones dadas e indique sus valores extremos relativos y asíntotas.