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FUNCIONES DERIVABLES-PROPIEDADES LOCALES Y GLOBALES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a la curva de ecuaci´on y 32x2 1 en el punto de abscisa x 0. 2. Halla la ecuacio´n de la tangente a la curva y x 2 5x 6 en el punto de abscisa x 1 y comprueba si es paralela a la recta de ecuacio´n 2x 3y 1 0. 3. Determina la ecuacio´n de una para´bola que pase por los puntos A (0, 1) y B (2, 3) y halla un punto en el segmento de para´bola comprendido entre ellos en el que la tangente a la curva sea paralela a la cuerda determinada por A y B. 4. Comprueba que la funcio´n f (x ) L(e sen x ) verifica las hipo´tesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 5 ] y halla los puntos en los que la recta tangente a la gra´fica de f (x ) es horizontal. 5. Determina el valor de k para que la funcio´n f (x ) 3x 2 4x 4 verifique las hipo´tesis del teorema de Rolle en el intervalo [ 2, k] y halla el valor x c establecido por dicho teorema. 6. Dada la funcio´n f (x ) 3x 2 4x 3, halla el valor medio establecido por el teorema de Lagrange en el intervalo [1, 3]. 7. Determina los valores de a y b para que la funcio´n f (x ) cumpla las hipo´tesis del teorema a si x 1 x 3 x 2 b si x 1 de Lagrange en el intervalo [ 1, 2] y halla el valor intermedio correspondiente. 8. Calcula los lı´mites siguientes: a) x 3 4x 2 12x lim xA0 x 2 6x b) x 3 1 lim xA1 x 2 1 9. Calcula los lı´mites siguientes: a) ex 1 lim xA0 sen x b) tg x x lim xA0 x sen x 10. Calcula los lı´mites siguientes: a) ex cos x lim 2 xA0 1 cos x b) 1 cos x lim xA0 (e x 1)2 11. Calcula el valor del siguiente lı´mite: A (1 x 2) 1 lim 1 cos x xA0 12. Estudia la continuidad de la funcio´n f (x ) 1 sen x ex si x 0 ex 1 0 si x 0 1. Df (x ) 4x · 32x2 1 · L3 f (0) 0 Adema´s, f (0) 3, el punto de tangencia es (0, 3). La ecuacio´n de la tangente es y 3 0. 2. Df (x ) 2x 5 f (1) 3 Adema´s, f (1) 2, el punto de tangencia es (1, 2) La ecuacio´n de la tangente es y 2 3 · (x 1) 3x y 5 0, que no es paralela a la recta 2x 3y 1 0. 3. La para´bola f (x ) x 2 x 1 verifica las hipo´- tesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0, 2]; el valor intermedio nos da el punto en que la tangente es paralela a la cuerda AB: f (c ) 1 f (2) f (0) 2 0 Df (x ) 2x 1; f (c ) 2c 1 1 c 1 El punto buscado es C (1, 1). 4. Como e sen x 0 y es continua, la funcio´n f (x ) esta´ definida y es continua en [0, 5 ]; es derivable con derivada Df (x ) ; adema´s cos x e sen x f (0) f (5 ) 1, por lo que cumple las hipo´tesis del teorema de Rolle. Existe c (0, 5 ) tal que: f (c ) 0 0 cos c 0; por cos c e sen c tanto, c k con k 0, 1, ..., 4. 2 5. f (x ) es continua y derivable en todo R por ser un polinomio, luego lo es en [ 2, k]; por tanto: f ( 2) f (k ) 3k 2 4k 4 0 k 2 3 El valor c tal que f (c ) 0 es 6c 4 0 c 2 3 6. f (x ) es continua y derivable en [1, 3] por serlo en R existe c (1, 3) tal que: f (c ) 6c 4 c 2 f (3) f (1) 36 4 3 1 2 7. Para que sea continua en x 1: f (1) f (x ) f (x ) 1 b a lim lim xA1 xA1 2 Para que sea derivable en x 1: f (1 ) f (1 ) 2 a 4 Resolviendo el sistema a 8 y b 3. La funcio´n f (x ) 8 si x 1 x 3 x 2 3 si x 1 es continua y derivable en [ 1, 2]; por el teorema de Lagrange, existe c ( 1, 2) tal que: f (c ) f (2) f ( 1) 5 2 ( 1) 3 Df (x ) , igualando la deri- 8 si x 1 (x 3)2 2x si x 1 vada el u´nico valor va´lido es c . 2 30 5 8. a) 2 x 3 4x 2 12x 3x 2 8x 12 lim lim xA0 x 2 6x (1) xA0 2x 6 b) x 3 1 3x 2 3x 3 lim lim lim xA1 x 2 1 (1) xA1 2x xA1 2 2 9. a) 1 ex 1 ex lim lim xA0 sen x (1) xA0 cos x b) tg x x tg2 x lim lim xA0 x sen x (1) xA0 1 cos x (1) 2 2 tg x (1 tg2 x) 2 (1 tg2 x) lim lim xA0 sen x xA0 cos x 10. a) ex cos x ex sen x lim lim xA0 1 cos2 x (1) xA0 2 cos x sen x b) 1 cos x sen x lim lim xA0 (ex 1)2 (1) xA0 2 (ex 1) ex (1) cos x 1 lim xA0 4e2x 2ex 2 11. Tomando logaritmos: LA L(1 x 2) 2x lim lim xA0 1 cos x (1) xA0 (1 x 2) sen x (1) 2 A e2 2 lim xA0 2x sen x (1 x 2) cos x 12. Para que sea continua en x 0: f (0) lim f (x ) xA0 0 f (0) 1 sen x ex cos x ex lim lim xA0 ex 1 (1) xA0 ex por tanto, la funcio´n es continua en x 0. Nota: (1) Aplicando la regla de L’Hoˆpital. 1. Halla la ecuacio´n de la tangente a la gra´fica de la funcio´n f (x ) sen x L(tg x ) en el punto de abscisa x . 4 2. Halla los puntos de la curva f (x ) x 2 2 en los que la tangente a esta pasa por el punto P(0, 1). Escribe las ecuaciones de dichas rectas tangentes. 3. Estudia para que´ valores de a, b y c la recta que une los puntos A( 1, 1) y B(1, 3) es tangente en el punto B a la gra´fica de la funcio´n f (x ) aL(1 x 2) bx c. 4. Halla la ecuacio´n de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es paralela a la tangente a la curva f (x ) en su punto de interseccio´n con la recta x 2. x 3 x 2 3 5. Calcula el valor de m, n y k para que la funcio´n f (x ) cumpla las hipo´tesis 3x 2 3 si x 0 3 x mx n si x 0 del teorema de Rolle en el intervalo [k, 1] y determina el valor x c que predice este teorema. 6. Calcula el valor de a, b y k para que la funcio´n f (x ) cumpla las 3x si x 1 2 ax b (x 1) 4 si x 1 hipo´tesis del teorema de Rolle en el intervalo [ 2, k] y determina el valor x c que predice este teorema. 7. Demuestra que para cualquier nu´mero real p, la ecuacio´n 2x 5 x p 0 no tiene nunca dos soluciones reales. 8. Sin calcular la derivada de la funcio´n f (x ) x · (x 2 1) · (x 3), estudia cua´ntas raı´ces reales tiene la ecuacio´n f (x ) 0 y determina los intervalos a los que pertenecen. 9. Escribe la fo´rmula de los incrementos finitos para cada una de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. a) f (x ) cos x en [ , h ] b) f (x ) sen 2x en [2, 2 h ] 10. Calcula el valor del siguiente lı´mite: x (e 1) 1 lim x xA0 1. D f (x ) cos x 1 tg2 x tg x f cos 2 1 tg2 4 2 4 4 2 tg 4 Adema´s, f sen L tg : el punto 2 4 4 4 2 de tangencia es . La ecuacio´n de la tan- 2 , 4 2 gente es y · 2 2 2 x 2 2 4 2. Los puntos de tangencia son: A(a, f (a )) A(a, a 2 2) Las ecuaciones de las tangentes son: y 1 mx con m f (a ) m 2a Como A pertenece a la tangente a2 2 1 (2a) · a y resolviendo la ecuacio´n a 1. Los puntos de tangencia son A1( 1, 3) y A2(1, 3) y las tangentes t1: y 3 (x 1) y t2: y 3 (x 1). 3. La gra´fica pasa por B: f (1) 3 aL2 b c 3 la recta que pasa por A y B tiene pendiente m 1 y es tangente en B, f (1) 1; como f (x ) b 1 a b. Por tanto, 2ax 1 x 2 a 1, c 3 b (1 b) L2 y b es un para´metro que se puede elegir de forma arbitraria. 4. La pendiente de la recta buscada es f (2): f (x ) f (2) 20 x 2(x 2 9) (x 2 3)2 Por lo tanto, la recta pedida es: y 0 20(x 1) 20x y 20 0 5. Para que sea continua en x 0: f (0) lim f (x ) lim f (x ) n 3 xA0 xA0 Para que sea derivable en x 0, f (0 ) f (0 ) m 0 Para que f (x ) 3x 2 3 si x 0 3 x 3 si x 0 continua y derivable en [k, 1], verifique las hipo´tesis del teorema de Rolle f (1) f (k ) f (k ) 4. Para k 0: 3k2 3 4 k 3 3 D f (x ) f (c ) 0 c 0 6x si x 0 2 3x si x 0 6. Para que sea continua en x 1: f (1) lim f (x ) lim f (x ) 3 a 4 xA1 xA1 a 1 Para que la funcio´n: f (x ) sea continua 3x si x 1 2 x 5x 1 si x 1 y derivable en [ 2, k] y verifique las hipo´tesis del teorema de Rolle: f ( 2) f (k ) 6; si k 1; k2 5k 1 5 k 5 3 5 2 D f (x ) 3 si x 1 2x 5 si x 1 f (c ) 0 2x 5 0 c 5 2 7. Por reduccio´n al absurdo: sean x1 y x2 soluciones reales distintas de la ecuacio´n x1 x2. La funcio´n f (x ) 2x 5 x p verifica las hipo ´tesis del teorema de Rolle en [x1, x2] y, por tanto, existe c, x1 c x2 tal que f (c ) 0; es decir, 10c 4 1 0 10c 4 1, imposible si c es real. Por tanto, la ecuacio´n no puede tener dos soluciones reales. 8. f (x ) es continua y derivable en R y, adema´s, f ( 3) f ( 1) f (0) f (1) 0. La funcio´n cumple las hipo´tesis del teorema de Rolle en los intervalos [ 3, 1], [ 1, 0] y [0, 1] y, por tanto, f (x ) 0 tiene al menos una solucio´n en el interior de cada uno de ellos. Como f (x ) es de grado tres, tiene exactamente tres raı´ces, una en cada intervalo. 9. a) cos ( h ) cos h sen c con c h b) sen [2(2 h )] sen 4 2h cos 2c con 1. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a la curva f (x ) 1 x 2 en el punto (1, 0). 2. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a la curva f (x ) x en el punto de abscisa x 4. 3. Halla los puntos en los que la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa x 2 corta a los 1 x 1 x ejes coordenados. 4. Dada la funcio´n f (x ) ax 2 bx, halla el valor de a y b para que la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1) sea paralela a la recta 4x y 7 0. 5. ¿Existe algu´n punto en el que la curva f (x ) e x 1 tenga una recta tangente paralela al eje OX? Razo´nalo. 6. Razona por que´ la curva f (x ) Wx 3W no tiene recta tangente en x 3. 7. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n f (x ) y escribe su funcio´n deri- 1 si x 0 x 1 x 2 1 si x 0 vada. 8. Determina m y n para que la funcio´n f (x ) sea continua y derivable en todo . x 2 n si x 1 mx 2 si x 1 9. Estudia la derivabilidad de la funcio´n f (x ) y escribe su funcio´n derivada. x 2 si x 0 x e 1 si x 0 10. Estudia el dominio de definicio´n, la continuidad y la derivabilidad de la funcio´n: 1. Considera el tria´ngulo que forman los ejes coordenados con la recta tangente a la curva f (x ) xLx en el punto de abscisa x 1. a) ¿Que´ tipo de tria´ngulo es? b) Halla su a´rea. 2. Considera la funcio´n f (x ) . Halla el valor de a y de b sabiendo que la funcio´n es derivable e x a si x 0 bx 3 si x 0 en x 0. 3. Dada la funcio´n f (x ) estudia su continuidad y su derivabilidad en la recta real y escribe 1 x si x 0 x e si x 0 su funcio´n derivada. 4. Considera la funcio´n definida de la siguiente manera: f (x ) x si x 1 2 x 2 1 si x 1 a) Estudia su continuidad. 4 b) Estudia su derivabilidad. c) Escribe su funcio´n derivada. d) ¿Es continua f en x 1? 5. Se tiene un recipiente meta´lico de forma cu´bica de 10 cm de lado. Al calentar el recipiente, el lado experimenta una dilatacio´n del 1 %. a) Halla la tasa de variacio´n absoluta (incremento) de su volumen. b) Halla el valor de la diferencial en ese momento. c) Halla el error cometido. 6. Considera la funcio´n f (x ) x 2 3x, calcula: a) El incremento de la funcio´n en x 2 para un incremento de la variable independiente de 0,02. b) El valor de la diferencial y el error que se comete al estimar dicho incremento a trave´s de la diferencial. c) El punto de la gra´fica de f en el cual la recta tangente tiene de pendiente 5. 7. Si se calienta un disco meta´lico, se observa que su radio, medido en cm, sufre un aumento en funcio´n de la temperatura que viene dado por la fo´rmula r 10 0,002t, donde t representa la temperatura en C. a) ¿Cua´l es la superficie del disco a 0 C? b) Escribe la expresio´n que da la superficie del disco en funcio´n de la temperatura. c) Calcula el incremento del a´rea cuando la temperatura pasa de 90 C a 100 C. d) Calcula el valor de la diferencial del a´rea en ese momento. e) Halla el error que se comete al estimar la tasa de variacio´n de la superficie del disco por medio de la diferencial. f) ¿Cua´nto ha aumentado la temperatura si teniendo el disco a 0 C se le ha calentado y se ha observado que la superficie se ha incrementado 2 cm2? g) Estima este incremento de temperatura por medio de la diferencial. 8. Halla las tres primeras derivadas de la funcio´n f (x ) L(x 2 1).