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FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la operatoria con fracciones numéricas, establecer estrategias para operar con este tipo de expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que estas están definidas. Establecimiento de estrategias para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples, con binomios tanto en el numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria Una de las primeras dificultades conceptuales de los estudiantes al comenzar a trabajar con números racionales es la tendencia a pensar que una fracción no representa, propiamente, un número racional, sino que debe expresarse en forma decimal. Así, si se les pregunta por el número “tres cuartos” es menos común que lo identifiquen como tal; en cambio sí identificarán 0,75. La manipulación y análisis de fracciones permite establecer restricciones y estudiar el comportamiento de sus valores cuando se modifican su numerador o denominador. El problema planteado en el inicio de esta sección se puede plantear con otras cantidades —como se pide hacer a los estudiantes—, lo que requiere estudiar con detención cuáles son las condiciones que hacen que el problema “funcione”. Plantee el problema a los estudiantes como motivación, y pídales si es necesario verificar la solución utilizando material concreto —y con este buscar también otras posibles fracciones o cantidades de camellos que permitan obtener un problema similar—. Por lo sorprendente del resultado, puede resultar una interesante motivación para ellos. Realizar operaciones y ordenar fracciones Para este indicador, verifique que los estudiantes manejen con soltura la operatoria de fracciones, no solo logrando llegar a los resultados pedidos sino también empleando los métodos más eficientes en cada caso. Es posible que algunos estudiantes no simplifiquen las fracciones o no determinen el mcm de los denominadores; si bien los ejercicios propuestos no llevan a números tan grandes, es fundamental que aproveche esta oportunidad para enfatizar que, si bien los resultados obtenidos pueden ser correctos, en la medida que las expresiones se complejicen será necesario simplificar las tareas. Como puedes observar, en álgebra existen fracciones cuyos denominadores son expresiones algebraicas que contienen letras. En general, una fracción cuyos términos son expresiones algebraicas corresponde a una fracción algebraica o expresión algebraica fraccionaria. Por ejemplo: 3 2a 5x y–2 3a–1 2b–3 Ya que una letra puede tomar diferentes valores, es preciso restringirlos para que no estén indefinidas, es decir, para que sus denominadores sean distintos de 0. En los ejemplos anteriores las restricciones son, respectivamente: 3 2a 2a 0a 0   5x y–2 y–2 0 y 2 3a 1 2b 3 2b 3 0 2b 3 b 3 2 − −  −   Debes saber… § Una fracción es un número expresado de la forma x y con y  0. El valor de una fracción corresponde al resultado de la división x : y. § Una expresión algebraica es una combinación de números y letras mediante las operaciones aritméticas, por ejemplo: 2a; a + b ; 5b – 3 ; 1 3 a+4a2−c Observa que… a 0 =x0•=a Ayuda Una fracción del tipo a+b 2 no suele considerarse fracción algebraica ya que puede escribirse como 1 2 a+ 1 2 b, es decir, como términos con coeficiente 1 2 . La denominación fracción algebraica suele reservarse para las fracciones cuyo denominador contiene letras. 22 165 1 2 3 4 Practiquemos lo aprendido Repaso 1. Determina en cada caso una fracción que cumpla las siguientes condiciones. a) Su denominador sea 4. b) Su numerador sea 17. c) Su numerador sea el triple de su denominador. d) Sea equivalente a la fracción 2 3 . Práctica guiada 2. Identifica, entre las siguientes fracciones, cuáles son fracciones algebraicas y justifica por qué. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: la fracción 3a 2b es una fracción algebraica, pues su denominador es 2b, un término con parte literal. a) 5 b b) a 2 c) 3–a b+3 d) b–2a 5 3. Determina las restricciones de las siguientes fracciones algebraicas. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: x x+7 Paso 1 Se identifica el denominador de la fracción, y se iguala a 0. x + 7 = 0 Paso 2 Se resuelve la ecuación, donde el o los valores de x corresponden a las restricciones. x + 7 = 0 x = –7 La restricción de la fracción es x  –7. a) a a+2 b) a +1 5a c) 2a 3a +1 d) 4 +a 2a–2 e) a + 6 a– 1 5 f) 2a +1 5a–7 Aplica 4. Utiliza fracciones algebraicas para representar las siguientes cantidades. a) La rapidez v de un automóvil que recorre d + 2 kilómetros en 4 + t segundos. b) La cantidad de dinero que recibe cada niño, si se reparten 500 + 2p pesos en partes iguales entre n niños. c) La cantidad de flores que recibe cada mamá de los alumnos de un curso del liceo en su día, si se reparten 2n +10 flores entre n mamás. d) El promedio de pasajeros por bus que llevó una empresa de buses el día viernes de un fin de semana largo, si la suma de los pasajeros de ese día fueron 6x + 2 y la empresa cuenta con 3x + 1 buses. e) La cantidad de gallinas que hay en la parcela de la señora María, si pusieron un total de 300 + m huevos y cada una puso en promedio n + 3 huevos. 5. Desafío: ¿Para qué valores de x se encuentra indefinida la fracción 2 x2 – 4 ? (Ayuda: utiliza factorización y responde la pregunta ¿qué debe ocurrir para que el producto de dos números sea iguala 0? 6. Conexiones: Investiga sobre fórmulas matemáticas que se utilicen en física y química que estén formadas por fracciones algebraicas. ¿Qué tienen en común cada una de ellas? § ¿Qué similitudes y diferencias observas entre una fracción numérica y una fracción algebraica? Explica. Reflexiona Razona y comenta § ¿Existen fracciones algebraicas que no tengan restricciones? Si crees que existen, da un ejemplo. Si no, justifica por qué. En resumen Se llama fracción algebraica al cociente entre dos polinomios a b , en la que el numerador a y denominador b son polinomios. Si b es igual a 0, la fracción está indefinida. 166 Lección Fracciones algebraicas y fórmulas Propósito: analizar una fracción algebraica. § Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores. Las fórmulas matemáticas que se utilizan en otras áreas como la física, química, biología, sociología etc. utilizan una o más variables. § Evaluar una expresión algebraica consiste en obtener el valor numérico para ciertos valores de la(s) variable(s) que la componen. Ejemplo: Si la expresión 2a + b se evalúa para a =2 y b =1, se obtiene: 2 • 2 + 1 = 4 + 1 = 5 Debes saber… La presión (P) se define como la fuerza F (en Newton) o peso por unidad de área A (en m2) siendo su expresión P = F A y su unidad de medida es el pascal N m2     . Carolina está realizando un estudio de la presión en diferentes objetos, para lo que utilizará un dinamómetro que le permitirá medir la fuerza en Newton que ejercerá en una superficie de área determinada (A).Para esto presionará con una fuerza constante algunos objetos sobre una superficie de polietileno (plumavit), y observará el efecto que causa. Paso 1 Carolina construye la siguiente tabla con las áreas en m2 de los objetos que utilizará: Objeto Cuaderno Moneda Filo de un cuchillo Área 0,003 0,00314 5 x 10-7 Paso 2 Carolina ejerce fuerzas de 50 N y 90 N sobre cada objeto calcula la presión que estos ejercen sobre la superficie de polietileno y observa lo que sucede con ella. Objeto Área Presión Observación Cuaderno 0,003 P 50 0,003 = =16 666,6 No sucede nada. P = 90 0, 003 = 30000 Se hunde muy levemente. Moneda 0,00314 P = 50 0, 00314 =15923,56 Se hunde un poco y deforma levemente el polietileno. P 90 0,00314 = 28 662,42 Se hunde y deforma el polietileno. Filo del cuchillo 5 x 10-7 P 50 5x10 10 –7 = = 8 Se hunde y deja una marca en el polietileno. P 90 5x10 1,