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EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA – MATEMATICA 3 ESO PDF

Halla el valor numérico de la fracción — x para los valores 2, 0 y 4. Para 2: 0 . Valor indeterminado. Para 0: . No existe valor numérico. Indica si estas fracciones tienen valor numérico para los valores que anulan el denominador. a) — x 2 x 5x 4 6— b) — x x 2 3 9— a) El denominador se anula para x 4. Para este valor, el numerador vale 42 5 4 6 2. No existe valor numérico para x 4. b) El denominador se anula para x 3. Para este valor, el numerador vale 32 9 0. Así que el valor de la fracción algebraica para x 3 es indeterminado. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones: — x x 1— y — x x 2 2 1 x — . Dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos. De modo que se tiene que cumplir que (x 1)(x2 x) x(x2 1). (x 1)(x2 x) x3 x2 x2 x x3 x x(x2 1) x3 x Las fracciones dadas son equivalentes. Escribe tres fracciones equivalentes a — xx 2 1 1 — . x x 2 1 1 (x x 1 )(x 1 1) es equivalente a x 1 1 , x 2 x x , ( x x 1 )(x 3 3) Simplifica las siguientes fracciones. a) — x x 2 4 1 1 — b) — x x 2 2 8 6 x x 1 5 5 — a) x x 2 4 1 1 (x2 x2 1 )(x2 1 1) x 2 1 1 b) Factorizando cada una de sus partes tenemos que x x 2 2 8 6 x x 1 5 5 ( ( x x 1 3 ) ) ( ( x x 5 5 ) ) x x 1 3 . 6.5 6.4 6.3 6.2 6.1 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Simplifica y calcula el valor numérico para x 2. Factorizamos numerador y denominador: x x 3 2 1 1 x2 x x 1 1 . Si x 2, 22 2 2 1 1 7 3 Opera estas fracciones. a) — x 3 7 x 5 — — 6 x x 3 5 1— b) — x 3 xy y — — 1 x 2x y y— a) x 3 7 x 5 6 x x 3 5 1 7x x3 6x 5 1 1 x 3 3 x 5 1 b) x 3 xy y 1 x 2 y xy 3xy x ( 1 y 2xy) x x y y 1 Efectúa las siguientes operaciones. a) — 7 x x 4 3— — x 2 5 x 16 — b) — x 2 x 5 — — x x 2 1 — a) 7 x x 4 3 x 2 5x 16 ( ( 7 x x 4 3 ) ) ( ( x x 4 4 ) ) x 2 5x 16 7x2 x2 3 6x 16 12 b) x 2x 5 x x 2 1 x x 2 2 x 6x 10 5 Realiza estas operaciones: — x 1 2 — — x 1 2 — — x 2 4 4 —. x 1 2 x 1 2 x 2 4 4 Realiza las siguientes operaciones con fracciones: — x x 1 — —x 2 2 — — x x 1 2 — . x x 1 x 2 2 x x 1 2 x 3 x 9 2 x 4x 6 4 Calcula estos productos. a) — x x 1— — x x 1 2 — b) — 2 x x 3 1— — x 2 2 x2 x 4 1— a) x x 1 x x 1 2 (x x(x 1) (x 2 ) 1) x x 2 2 2 1 x b) 2 x x 3 1 x 2 2 x2 x 4 1 Efectúa el producto y simplifica el resultado: — x x 2 1 — — x 2 x 3 1— . x x2 1 x 2 x 3 1 x (x 2(x 2 1)x 1 3 ) x 2(x (x 1) 1 (x )x 3 1) x x 1 6.12 2x3 3x2 3x 1 2x3 6x2 4x 12 (2x 1)(x2 x 1) (x 3)(2x2 4) 6.11 x(x 2)(x 2) 2(x 1)(x 2) (x 1)(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 2) 6.10 (x 2) (x 2) 4 x2 4 6.9 2x2 2x x2 3x 10 x2 6x 5 2x(x 1) (x 2)(x 5) (x 5)(x 1) 6.8 6.7 (x 1)(x2 x 1) (x 1)(x 1) x3 1— x 2 1 6.6 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Opera estos cocientes. a) — 4x x 2 7— — 3 x x 5 1— b) — 5 3 x x 1 1 — — 2 x x 2 2 1 3 — a) 4x x 2 7 3 x x 5 1 4x x 2 7 3 x x 5 1 (4x x 2(3x 7) (x 1) 5) 4x2 3 x3 2 7x x 2 35 b) 5 3 x x 1 1 2 x x 2 2 1 3 5 3 x x 1 1 2 x x 2 2 1 3 ( ( 5 3 x x 1 1 ) ) ( ( 2 x x 2 2 1 3 ) ) Calcula este cociente y simplifica el resultado: — x 2 x 36 — — x 12 x2 6 — x 2 x 36 x 1 2x2 6 x 2 x 36 x 1 2x2 6 12x2(x x( x 6)( 6 x ) 6) 12x(x 1 6) Calcula el valor numérico para x 2 de cada expresión radical. a) x2 b) 3 x3 c) ( x)2 d) 3 ( x)3 a) 22 4, no existe. c) ( 2)2 4 2 b) 3 23 3 8 2 d) 3 ( 2)3 3 8 2 Comprueba que las siguientes expresiones radicales no son equivalentes. a) x 4 y 3 x 12 b) x 6 y 3 x 6 a) x4 x 42 x2 x4 x 1 3 2 3 x12 b) x6 x 62 x3 x2 x 63 3 x6 Un alumno dice que los radicales x 4 y 3 x 6 son iguales. a) ¿Es cierta esta afirmación? b) ¿Y si los radicales son x 4 y 4 x 8? a) Sí, x4 x 42 x2 x 63 3 x 6 b) Sí, x4 x 42 x2 x 84 4 x 8 Simplifica estos radicales. a) 4 x 6 b) 8 a 4 c) 6 x 3 d) 12 y 8 a) 4 x 6 x 64 x 32 x 3 c) 6 x3 x 36 x 12 x b) 8 a 4 a 48 a 12 a d) 12 y8 y 1 8 2 y 23 3 y 2 Simplifica estos radicales hasta conseguir un radical irreducible. a) 18 x 12y36z 6 b) 45 x 15y30z 15 a) 18 x 12y36z 6 x y z6 3 x 2y6z b) 45 x 15y30z 15 x y z15 3 xy2z 6.19 6.18 6.17 6.16 6.15 6.14 10x3 2x2 15x 3 3x3 x2 3x 1 6.13 41 55 11 55 31 05 11 55 1 6 2 3 6 6 66 1 6 8 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Reduce a índice común estos radicales. a) 15 a b, 5 a b, 3 a b b) 3 x 2y, 9 x 7y2, 6 x y2 a) 15 a b b) 3 x 2y 3 6 (x2y)6 18 x 12y2 5 a b 5 3 ( ab)3 15 a 3b3 9 x 7y2 9 2 (x7y2)2 18 x 14y4 3 a b 3 5 ( ab)5 15 a 5b5 6 x y2 6 3 (xy2)3 18 x 3y6 Realiza las siguientes operaciones. a) 3 x 2y 3 x 2y c) 3 x 3y 2 b) 4 x 7y3 4 x y2 d) 3 x y3 a) 3 x 2y 3 x 2y (x2y) (x2y) (x2y) (x2y) 3 (x2y)2 3 x 4y2 b) 4 x 7y3 4 x y2 (x7y3) (xy2) (x7y3 xy2) (x6y) 4 x 6y c) 3 x 3y 2 3 (x3y)2 3 x 6y2 d) 3 x y3 3 2 x y3 6 x y3 Efectúa estas operaciones. a) 5 x 2y 5 x 3y 5 x 2y b) 3 x 5 6 x 2 6 x 4 a) 5 x 2y 5 x 3y 5 x 2y 5 ( x2y) ( x3y) (x2y) 5 x 3y b) 3 x5 6 x2 6 x 4 3 2 x 5 6 x2 6 x 4 6 x 5 x2 x4 6 x 7 Extrae factores de estos radicales. a) 7 x 15y7z 22 b) 3 x 9y10zt 7 c) 5 x 10y11z 12t13 a) 7 x 15y7z22 7 x7x7xy7z 7z7z7z x2yz3 7 x z b) 3 x 9y10zt7 3 x3x3x3y 3y3y3yzt 3t3t x3y3t2 3 yzt c) 5 x 10y11z1 2t13 5 x 5x5y5y 5yz5z5z 2t5t5t3 x2y2z2t2 5 yz2t3 Calcula estas sumas de radicales. a) x 3y3 x y5 x 3y b) 4 x 4y5 4 x 8y 4 y 9 a) x 3y3 x y5 x 3y xy x y y2 x y x x y (xy y2 x) x y b) 4 x 4y5 4 x 8y 4 y9 xy 4 y x2 4 y y2 4 y (xy x2 y2) 4 y 6.24 6.23 6.22 1 4 1 4 1 4 1 4 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 6.21 6.20 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Realiza estos cálculos. a) 5 x 2y3 5 x y4 c) 6 x 2y3 4 x y2 b) 3 a b2 6 a 4b d) a 3b 6 a 5 a) 5 x 2y3 5 x y4 5 x 3y7 y 5 x 3y2 b) 3 a b2 6 a4b 6 (ab2)2 6 a4b 6 a 6b5 a 6 b 5 c) 6 x 2y3 4 x y2 12 (x2y3)2 12 (xy2)3 12 x d) a3b 6 a 5 6 (a3b)3 6 a 5 6 a4b3 Efectúa las siguientes operaciones. a) a b a b 2 3 3 b b) 5 x y 2 3 x y 2 15 x y a) a b a b2 3 3 b 4 a b a b2 3 3 b 12 a 3b3 a 18b36 b4 12 a21b43 ab3 12 a 9b7 b) 5 x y2 3 x y 2 15 x y 5 x y2 3 x 2y2 15 x y 15 x 3y6 x 10y10 xy 15 x 12y15 y 15 x12 6.26 6.25 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S ¿Cuál es la distancia mínima que tiene que recorrer la araña para salir del cubo de la figura? La distancia mínima es la línea recta que une los dos puntos, que coincide con la diagonal del rectángulo de altura 3 cm y base 6 cm. l2 32 62 9 36 45 ⇒ l 4 5 6,71 cm ¿Cuál es la distancia mínima que tiene que recorrer el caracol para comerse la lechuga? (LO)2 h2 2 2 r 2 1,32 2 0,42 3,27 ⇒ LO 1,8 El caracol debe recorrer 1,8 metros para comerse la lechuga. 6.28 6.27 3 cm A P h = 1,3 m L C r = 0,4 m 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Fracciones algebraicas equivalentes Determina el valor numérico de estas fracciones algebraicas para x 1 e y 2. a) — x 2 2 xy y2 — b) — 3x x 2 y y— c) — 5x 4x 2y y — a) 2 12 1 ( ( 2) 2 2 ) 4 5 b) 3 1 1 2 ( 2 ( ) 2) 1 c) 5 4 1 1 2( ( 2) 2) 8 3 Halla los valores de x para los cuales el valor numérico de la fracción algebraica es indeterminado. Las raíces del denominador 3 y 2. Vemos qué ocurre con estos valores cuando los sustituimos en el numerador. Si x 3, 33 3 2 7 3 3 6 6 0 0 . Indeterminado Si x 2, 0 0 . Indeterminado Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. a) — x x 2 1 1 — c) — x x 2 2 2 x x 2 3 — b) — x 2 x2 4 x 4 4— d) a) x x 2 1 1 (x x 1 )(x 1 1) x 1 1 c) ( ( x x 1 1 ) ) ( ( x x 2 3 ) ) x x 2 3 b) x 2 x2 4 x 4 4 (x (x 2 )(x 2 )2 2) x x 2 2 d) x 5 x2 x4 x 2 2 x3 x3 x (x 2 2 x x 2 2) x 1 3 Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas. — x x 1 2 — —x x 1 2 — —x 2 3 2 x x 8 — x x 1 2 x x 1 2 x 2 3 2 x x 8 (x 4 3 )( x x 2) 3x2 6x x3 4x2 4x 16 3x(x 2) (x2 2x 8)(x 2) x3 7x2 14x 8 x3 4x2 4x 16 (x 1)(x 2)(x 4) (x 2)(x 2)(x 4) x3 x2 10x 8 x3 4x2 4x 16 (x 1)(x 2)(x 4) (x 2)(x 2)(x 4) 6.32 x2 x 2 x2 2x 3 x2 — x— 2 x5 x4 2x3 6.31 ( 2)3 7 ( 2) 6 ( 2)2 ( 2) 6 x3 — 7—x 6 x2 x 6 6.30 6.29 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Indica qué pares de fracciones algebraicas son equivalentes. a) — x x 1 1 — y b) — 2x x 1 — y — 2x2 x 2 3x x 1 — c) — ( x x 2 3 9 )2 — y a) Sí son equivalentes, tanto el numerador como el denominador de la segunda coinciden con el de la primera multiplicados por (x2 2). b) No son equivalentes. Si x 2, 2 2 2 1 2 3 y 2 22 2 2 3 2 2 1 6 3 2. c) No son equivalentes. El denominador de la segunda es la factorización del denominador de la primera, y en los numeradores no se establece la relación de igualdad porque el numerador del segundo no coincide con el desarrollo del numerador de la primera fracción. Operaciones con fracciones algebraicas Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas. a) — x x 1 — — x 1 1 — b) — a a 2 2 — — a a 2 2 — a) x x 1 x 1 1 x 2 x x 2 x 1 1 x 2 x2 2 x 1 1 b) a a 2 2 a a 2 2 2 a a 2 2 4 8 Opera y simplifica, reduciendo previamente a común denominador. a) — x x 2 — — 2 x x 2 1— — x 2 1 4 — b) — 3x2 1 3 — — 2x 2 2 — — x x 5 1 —c) —x 1 2 — — 3 x x 3 1— a) x x 2 2 x x 2 1 x 2 1 4 3x2 x 2 x 4 3 b) 3x2 1 3 2x 2 2 x x 5 1 3(x2 1 1) 2(x 2 1) x x 5 1 3x2 3 (x2 9 x 1) 11 c) x x 1 x 3 4x3 2x 2 9x 5 x 1 6 Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas, calculando previamente las áreas de las figuras geométricas que aparecen en los numeradores y en los denominadores. 3 x 2 1 x (x 2 2 3) x 4 10x 5x 3 18 6x2 3(x 2)(x 3) x(x 3) 4x(x 2) x2(x 2)(x 3) 1 2 2 x (x 2) 6.36 x(x 2)(x 3) (x 1)(x 3) (3x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3) 3x 1 x 3 1 x 2 2 2 3(x 1) 6(x 5)(x 1) 6(x2 1) x(x 2) (2x 1)(x 2) 1 x2 4 x—x 1 6.35 a2 4a 4 a2 4a 4 a2 4 (a 2)2 (a 2)2 a2 4 x(x 1) (x 1) x2 1 6.34 x2 — —3x —9 (x 3) (x 3) x3 x2 —— 2—x 2 x3 x2 2x 2 6.33 —————— + ——————— – ———————— 3 1 x x 2 x + 3 1 2 x x + 2 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Realiza estas operaciones y simplifica el resultado. a) — x x 2 2 1 x — — 4x x2 3 x x3— b) — x x 2 2 9 — — x x 2 3 4— a) x x 2 2 1 x 4x x2 3 x x3 ( ( x x2 1 2 )( x 4 ) x (x 2 3x x 3 ) ) ( x x (x 1) 2 x ) ( x 4 (x 3x 1 2 ) ) x 4 (x 3x 2 2 ) b) x x 2 2 9 x x 2 3 4 (x (x 2 2 9 ) ) ( ( x x2 3 4 ) ) Opera y simplifica. a) —1 x — — 2 1 x — — 3 1 x— — x 1 2 — —1 x — — 2 1 x— b) x —1 x — x —1 x — (x 1) c) —( x x 1 1 )2 — — x 2 x 1— —( x x 1 1 )2— a) 1 x 2 1 x 3 1 x x 1 2 1 x 2 1 x 6 1 x 2 2 x2 2 6x(2 2x 2 x) 6 x 3x b) x 1 x x 1 x (x 1) x 2 x 1 x 2 x 1 ( x 1) ( ( x x 2 2 1 1 ) ) x x ( x 1) x x 2 1 1 c) ( ( x x 1 1 ) ) x 2 ( ( x x 1 1 ) ) 2 ( ( x x 1 1 ) ) x 2 x2 x 1 Expresiones radicales equivalentes Halla el valor numérico de estas expresiones radicales para los valores x 2 e y 1. a) — x 2 2 xyy2 — b) x3y2 5 c) 2 x 3 y 1 a) 2 22 2 12 1 4 5 b) 2 3 12 5 1 3 c) 2 2 3 1 1 6 Calcula las posibles raíces de estas expresiones radicales. a) 144 x4 c) 3 6 4x6 b) 8 1x4 d) 5 3 2x25 a) 144x4 12x2 c) 3 6 4x6 4x2 b) 81x4 9x2 d) 5 32x25 2x5 6.40 6.39 x 1 (x 1)2 x 1 (x 1)2 (x 1)(x2 1) (x 1)2x x 1 (x 1)2 x2 1 x x 1 (x 1)2 6.38 1 (x 3)(x 2) 6.37 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Indica qué pares de expresiones radicales son equivalentes. a) 4 x2 y 3 8 x3 b) 3 8 x6 y 9 5 12x18 c) 9 x4 y 4 8 1x12 a) No lo son, para x 1, 4 12 2 (cuando no se indica el signo, se considera signo positivo), y 3 8 13 2. b) Sí, ya que 3 3 (8x6)2 9 512x18 c) No, ya que 9 x4 2 2 (9x4)2 4 8 1x8 4 8 1x12 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes. a) 4 x 2y8 b) 3 a b a) 4 x 2y8 x y4 8 x 4y16 6 x 3y12 b) 3 a b 9 a 3b3 15 a 5b5 21 a 7b7 Reduce estos radicales a índice común: 3 x 2 x 3 6 x 5 3 x2 6 x 4 x3 6 x9 6 x5 Simplifica los siguientes radicales. a) 16 a 8b4 c) 15 x 12y18 b) 12 (x2y2)3 d) 20 (x2y4)5 a) 16 a 8b4 4 a 2b c) 15 x 12y18 5 x 4y6 b) 12 (x2y2)3 x y d) 20 (x2y4)5 x y2 Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula la diagonal del campo de fútbol. Si x 100 metros e y 80 metros, ¿cuál sería la longitud de dicha diagonal? d x 2 y 2 Si x 100 metros e y 80 metros; d 1 002 802 10 1 64 20 4 1 metros Operaciones con expresiones radicales Realiza estas operaciones con radicales. a) x 12y 6 c) 3 x 2y 3 x 4y2 b) x 5y x y d) x y 4 a) x 12y6 4 x 12y6 x3y y c) 3 x 2y 3 x 4y2 3 x 6y3 x2y b) x 5y x y x5y x y x 4 x2 d) x y 4 x 4y4 x2y2 6.46 6.45 6.44 6.43 6.42 6.41 x y 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Extrae factores de los siguientes radicales. a) 4 6 4x8 b) 3 x4yz5 c) 1 b 6a 3 6 a) 4 64x8 4 26x8 2x2 4 4 b) 3 x 4yz5 xz 3 x yz2 c) 1 b 6 3 a6 24 b 3 a6 4 b a3 b 1 b 4 a3 b Efectúa estas operaciones con expresiones radicales. a) 3 x 2 x 3 b) x 2y3 5 x y c) x 3 3 x 2 d) 3 x y2 4 x 3y5 a) 3 x x 2 3 6 6 x x 9 4 6 x x 4 9 6 x 1 5 6 1 x5 b) x 2y3 5 x y 10 x 10y15 10 x 2y2 10 x 12y17 xy 10 x 2y7 c) x3 3 x 2 6 x9 6 x 4 6 x13 x2 6 x d) 4 3 x x 3 y y 2 5 1 1 2 2 x x 9 4 y y 1 8 5 12 x 5 1 y7 12 x 1 5y7 Opera las siguientes expresiones radicales. a) 1 2x 7 5x 2 7x 4 8x b) 3 a 3 a b3 3 a b6 3 a b9 c) 5 x y2 1 6x3y 4 9 xy6 a) 12x 75x 27x 4 8x 22 3x 52 3x 3 3x 24 3x 8 3 x b) 3 a 3 a b3 3 a b6 3 a b9 (1 b b2 b3) 3 a c) 5 x y2 1 6x3y4 9 xy6 (5y 4xy2 3y3) x Realiza estas operaciones. a) 3 x y3 x y 4 x5y b) 3 x 6 x 4 5 x3 a) 3 x y3 x y 4 x 5y 12 (xy3)4 (xy)6(x5y)3 12 x 25y21 x2y 12 x y9 b) 3 x 6 x 4 5 x3 15 x 3 5 x 2 x9 15 x x 1 1 4 0 15 x 4 6.50 6.49 6.48 6.47 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E ¿Puede ser que el resultado obtenido al calcular el valor numérico de una expresión algebraica sea otra expresión algebraica? Razona tu respuesta. No, porque al calcular el valor numérico de una expresión algebraica resulta un número, no una expresión algebraica. Indica los casos en los que sea necesario factorizar una fracción algebraica para calcular el valor numérico para algún valor en concreto. Pon algún ejemplo. Cuando tenemos el caso de indeterminada 0 0 . Por ejemplo, para x 1. Tenemos 0 0 . Si factorizamos, podemos simplificar, (x x 1 )(x 1 1) x 1 1 , sustituimos x 1 y nos da como resultado 1 2 . Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta. a) (x a ) (x a) x a b) — x x y y — 1 a) Falsa. ( x a) (x a ) x 2 a 2 x a b) Falsa. x y x y ¿Qué debe verificar el índice de la raíz de una expresión algebraica positiva para obtener dos soluciones al calcular dicha raíz? Explícalo con ejemplos. El índice ha de ser un número par. Por ejemplo: 4x2 2x y 2x ¿Existe siempre la raíz cuadrada de la raíz cúbica de una expresión algebraica? Justifica tu respuesta con algún ejemplo. No, por ejemplo, 3 x no existe si x 0. Tenemos un rectángulo cuya base y altura son x e y, respectivamente. Obtenemos otro rectángulo cuyos lados tienen doble longitud. ¿La longitud de la diagonal del nuevo rectángulo también es el doble? Razona la respuesta. D ( 2x)2 (2y)2 4 x2 4y2 4 (x2 y2) 2 x 2 y 2 La longitud de la diagonal del nuevo rectángulo mide el doble que la del rectángulo inicial. En una expresión radical de índice n, ¿por cuánto hemos de dividir el radicando para que la expresión radical quede dividida por 2? n 2 x n n n 2 x n n 2 x ⇒ hemos de dividir por 2n 6.57 6.56 6.55 6.54 6.53 x 1 x 2 1 6.52 6.51 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Realiza las siguientes operaciones utilizando expresiones algebraicas. a) El cociente entre un número y su siguiente más el cociente entre dicho número y su anterior. b) El cociente entre dos números pares consecutivos más el cociente entre dos números impares consecutivos. c) La suma de los inversos de dos pares consecutivos. d) La suma de los inversos de dos números impares consecutivos. a) x x 1 x x 1 c) 2 1 x 2x 1 2 b) 2x 2 x 2 2 2 x x 1 3 d) 2x 1 1 2x 1 3 Expresa, mediante una fracción algebraica, el área del triángulo isósceles de la figura. Sea h la altura del triángulo: h x 2 4 x 2 1 1 5 6 x2 4 15 x A 1 1 6 5x2 Expresa, mediante una fracción algebraica, el área de la parte coloreada. Lado del cuadrado coloreado: l 2 l 2 2 l 2 2 4 l 2 2 2 l A 2 2 l 2 2 4 l 2 l 2 2 6.60 2 x 4 15 x 2 6.59 6.58 x x—2 l 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Hassan vive en un pequeño poblado de Marruecos y le separan de la escuela tres campos de cultivo de trigo, avena y centeno, como indica la figura. ¿Cuál es la expresión algebraica que hace mínimo el trayecto recorrido por Hassan para llegar a la escuela? Primero, Hassan recorre la diagonal del campo de trigo: d1 x 2 y 2 Después, la del campo de centeno: d2 y 2 (x y)2 x 2 2y 2 2x y La distancia total que recorre Hassan es: d x 2 y 2 x 2 2y 2 2x y En la fotografía observamos la catedral de Santiago de Compostela. Esta catedral posee una planta en forma de cruz latina como la de la figura. Expresa el área de dicha planta como una expresión algebraica en x. Dividimos la planta en tres rectángulos (de izquierda a derecha) y calculamos el área de cada uno de ellos. A1 45 [103 x (x 20)] 45(123 2x) 5 535 90x A2 x (103 x) 103x x2 A3 (x 20) 45 45x 900 El área total es: A A1 A2 A3 5 535 90x 103x x2 45x 900 x2 58x 4 635 m2 En el código de circulación, las señales en forma de triángulo indican peligro. La señal de ceda el paso solo difiere de un triángulo equilátero en sus vértices, ya que estos están redondeados. Suponiendo que fuese un triángulo equilátero, expresa el área de la señal si el lado mide x centímetros. h x 2 2 x 2 3 4 x2 2 3 x cm A 4 3 x2 cm2 x 2 3 x 2 6.63 6.62 6.61 y Poblado Escuela x y x Escuela Poblado Centeno Trigo Avena x 45 m 103 m (x – 20) (103 – x) 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Expresa el área del siguiente trapecio isósceles. Área de cada triángulo: h 9 x2 A x 9 2 x2 cm2. Área del rectángulo: A 8 9 x2 cm2 AT 2 x 9 2 x2 8 9 x2 (x 8) 9 x2 cm2 6.64 x 8 cm 3 cm 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES R E F U E R Z O Fracciones y radicales equivalentes Simplifica estas fracciones algebraicas. a) — x x y 1 y— b) — 2 x x 2 4 4 — c) — x 2 x x 1 1 — d) — x x 2 2 2 x x 6 3— a) x x y 1 y (x x 1 1 )y y c) x 2 x x 1 1 . No se simplifica. b) 2 x x 2 4 4 (x 2(x 2) (x 2 ) 2) x 2 2 d) x x 2 2 2 x x 6 3 ( ( x x 1 2 ) ) ( ( x x 3 3 ) ) x x 1 2 Simplifica las siguientes expresiones radicales. a) 15 x 5y20z 10 b) 3 x 14y7z 23 c) 12 a 4b8c6 d) 8 x 2y4z8 a) 15 x 5y20z1 0 3 x y4z2 c) 12 a 4b8c6 6 a 2b4c3 b) 3 x 14y7z23 . No se puede simplificar. d) 8 x 2y4z8 4 x y2z4 Calcula el valor de cada fracción para x 2 y para x 1. a) — x x 2 2 3 x x 6 2 — b) a) 0 0 . Indeterminado. b) 0 0 . Indeterminado. x x 2 2 3 x x 6 2 ( ( x x 2 2 ) ) ( ( x x 3 1 ) ) x x 3 1 x 3 x2 2 x2 x x 2 2 x 2 x x 2 2 Sustituimos x 2, 2 2 3 1 5. Sustituimos x 2, 6 0 . No existe valor numérico. Sustituimos x 1, 1 1 3 1 1. Sustituimos x 1, 12 1 1 2 2 2 3 . ¿Cuál de las siguientes expresiones radicales no es equivalente a 3 x y2z? a) 6 x 2y4z2 b) 9 x 3y6z2 c) 12 x 4y8z4 La b, porque 3 xy2z 9 x 3y6z3 9 x 3y6z2 ¿Cuál de estas fracciones algebraicas no es equivalente a — x x 4 3 2 5 x x 3 2 3 6 x x 2 — ? a) — x x 2( 2 x 2x 1) — b) — x 2 x 2 ( x 3x 1) — c) — x x 2 2 x — x x 4 3 2 5 x x 3 2 3 6 x x 2 x x 2 ( ( x x 2 2 5 2 x x 6 3 ) ) x x( 2 x (x 2 1 ) ) ( ( x x 3 3 ) ) La fracción no equivalente es la b. 6.69 6.68 ( 2)2 ( 2) 2 2 2 (x 1)(x2 x 2) (x 1)(x 2) 13 2 12 1 2 12 1 2 ( 2)2 ( 2) 6 ( 2)2 3 ( 2) 2 x3 2x2 —— —x 2 x2 x 2 6.67 6.66 6.65 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Operaciones con fracciones algebraicas Realiza las operaciones. a) — x 3 x 5 — — 2 x x 2 1— b) — 2 x x 2 4 1— — 3 x x 2 1— c) — 2x 3 x 1— — x 2 x 3x 2 1 — d) — x2 x x 3 1— — 4 x x 1 7— a) 5 x x 2 2 3 5 x x 1 5 0 b) 2 x x 2 4 1 3 x x 2 1 3x2 x2 3x 4 1 c) 2x 3 x 1 x 2 x 3x 2 1 3 (2 x x (x 2 1) 3 (x x 2 1 ) ) 3 2 x x 3 2 9 3 x x 2 3 2 x d) x 2 x x 3 1 4 x x 1 7 4x x 4 3 7 1 x3 Opera y simplifica. a) — x x 2 2 — — x x 2 2 — x —4 x — b) —1 x — — x x 1 — —1 x — — x x 1 — a) x x 2 2 x x 2 2 x 4 x x2 x 4 8 b) 1 x x x 1 1 x x x 1 x x (x 1 1) x2 x x (x 1 1) x 2 x x 2 2 x x 1 1 Operaciones con expresiones radicales Realiza las operaciones. a) 3 x y 3 x 2y c) 3 x 2y 5 x 4y3 e) 4 x 2y3 3 b) 5 x 2y 5 x y d) 6 3 x y f) 3 x 4y 9 x 3y2 a) 3 x y 3 x 2y 3 x y x2 y x 3 y2 d) 6 3 x y 6 3 x y 18 x y b) 5 x 2y 5 x y 5 x 2y x y 5 x e) 4 x 2y3 3 4 (x2y3)3 xy2 4 x 2y c) 3 x 2y 5 x 4y3 15 x 10y5x12 y9 x 15 x 7y14 f) 3 x 4y 9 x 3y2 9 x 12y3 x3y2 x 9 y Extrae factores de los siguientes radicales. a) 5 x 17y7 b) 7 x 22y8 c) 6 x 12y3 d) x13y4 a) 5 x 17y7 x3y 5 x 2y2 c) 6 x 12y3 x2 6 y 3 b) 7 x 22y8 x3y 7 x y d) x 13y4 x6y2 x Calcula estas sumas de radicales. a) 4 x 3 x 5 x x 3 b) 4 x 5 4 x 9 4 x a) 4x 3 x 5 x x 3 2 x 3x2 x x2 x (2 2x2) x b) 4 x 5 4 x9 4 x x 4 x x2 4 x 4 x (x2 x 1) 4 x 6.74 6.73 6.72 (x 2)2 (x 2)2 x2 4 6.71 (x2 x 1)(x 1) x3(4x 7) 2x 1 (3x 1)(x 2) x2 4 3x(x 2) (2x 1)(x 5) (x 5)(x 2) 2x 1 x 2 3x x 5 6.70 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES A M P L I A C I Ó N Opera y simplifica. a) — 4 6 a a 3b 5b 2 4 3 a a 4b b 5 — b) — 4 x2y 10 3 x 3y 6 2 x4y6 — a) 4 6 a a 3 5 b b 2 4 3 a a 4b b 5 1 2 12 (a (a 3b 5b 2) 4 3 ) ( 2 a (a 4b b) 5 6 )4 12 a a 2 1 5 6 b b 2 1 6 4 12 a 9b12 b 12 a9 b) 4 x2y 10 3 x 3y 6 2 x4y6 12 (x 2 1 y 0 x 3) 3 3 y (x 2 4y6)2 xy 1 0 12 x x 3y 2y 2 9 xy 120 x x 2 3 0 6 y y 9 2 0 4 xy 60 y x 3 8 3 Opera las siguientes fracciones algebraicas. a) b) a) b) Calcula cuánto han de valer los números A y B, para que se verifique la siguiente igualdad: —x 2 A 3x — — x B 2 — — x 3 3 x 3 6 x2 — x 2 A 3x x B 2 Ax2 (x 2 B(x 3 2 x )x2 3x) (A ( x2 B)x 3 x)x 3B x 3 3 x 3 6 x2 ⇒ ⇒ Escribe con un solo radical la siguiente expresión x y z 3 t. x y z3 t x 2y z 3 t x4y2 z3 t 4 x 4y2z3 t 4 3 x 12y6 z3 t 12 x 12y6z3 t 6.78 A 1 B 2 A B 3 3B 6 6.77 6.76 6.75 1 —1 x — 1 1 1 1 2 —1 x — 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 x 1 1 2 1 1 2 2 x x 1 2 1 2 2 1 2 2 2x x 1 1 1 2 1 x x 1 2 2 2 1 2 2 2x x 1 2 2 1 1 2 x x 1 1 x 2 2 2 1 2 4x 2 x 2 1 x 2 2 1 x x 1 1 2 4x 3 3x 2 2x 1 3x 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 x 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Expresa el área del cuadrilátero coloreado, mediante un polinomio en x. ¿Cuánto miden los lados de dicho cuadrilátero? Para resolver el problema, le restaremos al área del rectángulo grande el área de los cuatro triángulos rectángulos, que son iguales dos a dos: A1 A2 y A3 A4. Área (A1) Área (A2) (6 2 x)x ; Área (A3) Área (A4) (4 2 x)x Área del rectángulo 4 6 24 cm2; Área de la figura 24 (6 x)x (4 x)x 2x2 10x 24 cm2 El cuadrilátero es un paralelogramo, y, por tanto, tiene los lados iguales dos a dos. Usamos el teorema de Pitágoras para calcular los lados l y m del paralelogramo: l ( 4 x) 2 x2 2 x2 8 x 16 cm y m ( 6 x )2 x2 2 x2 1 2x 36 cm 6.79 x 6 cm 4 cm x x x A3 A2 l A1 m A4 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Población de aves En unas lagunas naturales de un espacio protegido por la ley se ha observado que el número de individuos de una cierta especie de aves se puede expresar mediante la fracción algebraica: —200 4 0 x x 2 —250 siendo x el número de años que han transcurrido desde un año inicial x 0. a) Completa la tabla siguiente. b) Cuando hayan pasado muchos años, ¿qué población crees que habrá? c) De los siguientes gráficos, ¿en cuál de ellos se aprecia mejor la contestación a la pregunta anterior? a) b) La población tiende a estabilizarse en los 500 individuos. c) El primer gráfico es mejor al contar con datos de años más separados del inicio. 6.80 2 3 20 300 Años transcurridos 0 1 30 100 200 400 500 600 0 N.° de individuos 5 10 2 3 6 300 Años transcurridos 0 1 7 100 200 400 500 0 N.° de individuos 4 5 Años transcurridos 0 1 2 3 10 Población 125 375 425 446 482 Años transcurridos 0 1 2 3 10 Población 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES A U T O E V A L U A C I Ó N Reduce a común denominador estas fracciones. a) — x 2 1 1 —, — x 1 1 — , — x 2 2 1 x 1 — b) — x 1 1 — , — x 1 2 — , — x 2 1 x 2 — a) x 2 1 1 (x 1) 1 (x 1) (x x 1 )2(x 1 1) b) x 1 1 (x x 1 )(x 2 2) x 1 1 ( ( x x 1 1 ) ) 2 ( ( x x 1 1 ) ) x 1 2 (x x 1 )(x 1 2) x 2 2 1 x 1 (x 1 1)2 (x x 1 )2(x 1 1) x 2 1 x 2 (x 1) 1 (x 2) Opera los siguientes radicales. a) 1 8x 5 0x 3 2x 9 8x b) a 3b3 a b3 3 a 3b5 2 a b a) 18x 50x 32x 9 8x 9 2x 2 5 2x 1 6 2x 4 9 2x 11 2x b) a 3b3 a b3 3 a 3b5 2 a b a2b2ab b 2ab 3 a2b4ab 2 a b (ab b 3ab2 2) a b Realiza estas operaciones con fracciones algebraicas. a) — 3 x x 3 2— — 2 x x 2 9 5— — x 2 x 3 — b) — x 3 x 1— — x 2 5 x2 x — —2 x — a) 3 x x 3 2 2 x x 2 9 5 x 2x 3 5x2 x 2 x 9 1 b) x 3x 1 x 2 5 x2 x 2 x ( 3 x x (x 1 2 ) 5 x x ) 2 2 x 5 6 x Simplifica las siguientes fracciones. a) b) a) (x x 1 )(x 2 2) b) x x 2 2 Realiza las siguientes operaciones con expresiones radicales. a) 5 x y4 5 x 2y 5 x y b) 3 x y 4 x y 6 x y a) 5 x y4 5 x 2y 5 x y 5 x y4x2yx y y 5 x 4y b) 3 x y 4 x y 6 x y (xy) 13 14 16 (xy) 1 5 2 12 (xy)5 6.A5 (x 2)(x2 x 1) (x 2)(x2 x 1) x3 3x2 3x 2 x3 x2 x 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 3) (x 3)(x 1)(x 2) x4 x3 7x2 x 6 x3 6x2 11x 6 x3 3x2 —— 3—x 2 x3 x2 x 2 x4 x3 7x2 —— —x 6 x3 6x2 11x 6 6.A4 (3x 2)(x 3) (2x 5) 2x(x 3) x2 9 6.A3 6.A2 6.A1 6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES Halla el valor numérico de estas expresiones: — 3 2 x x 2y 1 1— — 2xy xy 3 — a) Para x 1 e y 2. b) Para x 1 e y 2. a) 3 2 1 2 1 2 1 1 7 3 b) 5 1 5 2 1 1 2 2 3 1 2 1 2 Simplifica los siguientes radicales. a) 12 a 4b8c6 b) 18 x 12y36 c6 a) 12 a4b8c6 6 a 2b4c3 b) 18 x 12y36c6 3 x 2y6c Comprueba si las fracciones — x x 2 2 2 x x 6 3— y — x x 1 2 — son equivalentes. x x 2 2 2 x x 6 3 ( ( x x 1 2 ) ) ( ( x x 3 3 ) ) x x 1 2 . Sí, son equivalentes porque son iguales. Escribe dos expresiones radicales equivalentes a 3 x 2y. Respuesta abierta, por ejemplo: 6 x 4y2, 12 x 8y4 6.A9 6.A8 6.A7 2 ( 1) ( 2) 3 ( 1) ( 2) 3 ( 1)2 ( 2) 1 ( 2) 1 1 6.A6