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EL PERIODO Y LOS DESPLAZAMIENTOS DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI PDF

1. FUNCIÓN PERIÓDICA Si F(x) es una función periódica existe T≠ 0 que cumpla con: F(x+T)=F(x)/x + T ∈ DF CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Al menor valor positivo de T se le denomina periodo mínimo o simplemente periodo Ejemplos: Hallar el periodo de las siguientes funciones : i) F(x) = Sen2x ii) F(x)=Cos(Cosx) Resolución: i) F(x+T) = F(x) ➞ Sen(2x+2T) = Sen2x ⇒ Sen(2x + 2T) - Sen2x = 0 ⇒ 2CosxSenT = 0 ⇒ SenT = 0 ∴ T = π, 2π, 3π, ......... Periodo mínimo : T = π ii) F(x + T) = F(x) ⇒ Cos(Cos(x+T)) = Cos(Cosx) Aplicando el criterio de reducción al primer cuadrante; se reemplaza T por los ángulos cuadrantales : T =π over 2, π , {3π} over 2, 2π, ....... si T = π over 2 ⇒ CosFUNC { LEFT (Cos LEFT (π over 2 ~ + ~ x RIGHT ) RIGHT )} ≠ Cos(Cosx) si T = π ⇒ Cos(Cos(π + x) = Cos(Cosx) si T = {3π} over 2⇒ CosFUNC { LEFT (Cos LEFT ( { 3π } over 2 ~ + ~ x RIGHT ) RIGHT )} ≠Cos(Cosx) Si T = 2π ⇒ Cos(Cos(2π+x)=Cos(Cosx) ⇒ T = π, 2π, 3π, .... ∴ Periodo mínimo T = π 2. CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sea la función : F(x) = AF.T.n(Bx+C) + D para calcular su periodo intervienen las constantes n y B i) Si F.T. : Sen, Cos, Sec, Csc para n impar: para n par : Ejem: * F(x) = 2Sen34x ⇒ T = func {{2π} over 4```= ``π over 2} * F(x) = 3Cos4func {x over 5} ⇒ func {T``= ``π over {1 over 5}}= 5π * F(x) = 4Sec5 func {left( 2 over 3`x right)}⇒ func {T`=`{2π} over{{ 2 over 3}}}= 3π * F(x) = 2Csc6 func { LEFT (6x ~ + ~ π over 4 RIGHT )}⇒ func {T`=`π over 6} ii) Si F.T. : Tg, Ctg para n par o impar : func {T`=`{π} over {|B|}} Ejem : * F(x) = 2Tg34x ⇒ func {T`=`π over 4} * F(x) = 3Tg4 func {left( 3 over 4`x ``-``π over 8 right)} ⇒ func {T``=`π over {3 over 4}} = func {{4π} over 3} * F(x) =1 over 8Ctg5 func left ( x over 3 ``+``π over 4 right)  func {T``=`π over {1 over 3}}= 3π Si : F(x) = A| F.T.(Bx)| para todo F.T. ➞ GRÁFICAS ESPECIALES : 1. i) F(x) = ASenBx (A > 0) func {left\{ stack {~Max: A~~~~Min: -A # Periodo :`` ```{2π} over B~~~~} right\. } NOTA: i) y = -Senx ii) y = -Cosx 3. Desplazamiento Horizontal (D.H.) F(x) = Asen(Bx + C) ➞ D.H. = -func { C over B} NOTA: * F(x)=AF.T.(Bx+C) La constante C no altera el periodo * F(x) = AF.T(Bx) + D La constante D no altera el periodo Ejem : Graficar F(x) = 3Sen(2x - π over 3) ⇒ D.H : = func {left( {- π over 3} over {2} right)}`=`π over 6 (Desplaz. a la derecha) i) Graficamos : F(x) = 3Sen2x ii) Con desplazamiento NOTA: * Si F(x) = Sen|x| No tiene periodo * Si F(x) =Cos|x| = Cosx Periodo : 2π * Si F(x) = Tg|x| No tiene periodo 4. Desplazamiento Vertical F(x) = ASenBx + D ⇒ D.V. = D Ejemplo: Graficar i. F(x) = -Cosx + 1 = Versx NOTA: Grafica de F(x) = Covx 5. Gráficas Generalizadas i. F(x) = ASen(Bx + C) + D, (A > 0) ii) F(x) = ACos(Bx + C) + D Donde : i) Amplitud : A = func {{F sub max``-``F sub min} over 2} siendo : Fmax = A + D ∧ Fmin = A - D ii) Periodo : func {T`=`{2π} over B} iii) Desplazamiento horizontal : func {-``C over B} iv) Desplazamiento vertical : D = Fmáx-A