Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

ECUACIONES E INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

Expresa estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es 17. b) Un número más su tercera parte es 16. c) Tres números pares consecutivos suman 42. a) x (x 1) 17 b) x 1 3 x 16 c) 2x (2x 2) (2x 4) 42 Explica razonadamente cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes. a) 2x 6 0 b) (x 3) (x 3) 0 c) 2x2 18 d) 3x 9 Las ecuaciones a y d son equivalentes de primer grado porque tienen igual solución: x 3. Las ecuaciones b y c son de segundo grado y equivalentes entre sí. Su solución es x 3. Aplica las reglas de la suma y el producto para resolver las siguientes ecuaciones. a) 6x 5 17 3x b) 4x 7x 7 8x 22 a) 6x 3x 17 5 ⇒ 3x 12 ⇒ x 4 b) 4x 7x 8x 22 7 ⇒ 5x 15 ⇒ x 3 Calcula cuánto ha costado el abrigo nuevo de Nerea si la cuarta parte del dinero que ha pagado por él más la sexta parte de su precio son 20 euros. Se designa por x la cantidad de euros que ha costado el abrigo de Nerea. Ecuación: x 4 x 6 20 Se multiplica la ecuación por 12: 3x 2x 240. Se suman términos semejantes: 5x 240. Se divide por 5: x 48 euros. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) —2x 3 3— —7x 4 5— 7 b) —2 3 — —x 4 — 1 — x 2 1— 2x c) 1 — 2(x 5 1) — — 3(2 2 x)— a) Múltiplo común de los denominadores: m.c.m.(3, 4) 12 Se multiplica por 12 la ecuación: 8x 12 21x 15 84 ⇒ 29x 87 ⇒ x 3. b) 2 1 x 2 2 3 x 2 1 2x ⇒ 2x 8 6x 6 2x ⇒ x 1 3 c) 1 2x 5 2 6 2 2x ⇒ 10x 4x 4 30 15x ⇒ x 1 1 6 1 4.5 4.4 4.3 4.2 4.1 Clasifica y resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) x2 10x 24 3 b) x2 2x 0 c) x(2x 5) 6 x d) x2 9 2x2 a) Completa. x 10 2 52 ⇒ b) Incompleta. x( x 2) 0 ⇒ c) Completa. 2x2 5x 6 x ⇒ 2x2 4x 6 0 ⇒ x 4 4 8 ⇒ d) Incompleta. 3x2 9 0 ⇒ Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a) 5x2 9x 4 0 b) 2x 6 2x(x 2) a) x 9 1 0 1 ⇒ b) 2x 6 2x2 4x ⇒ x2 x 3 0 ⇒ x 9 2 11 ⇒ x no es número real Un número natural y su cuadrado suman 30. Escribe la ecuación correspondiente y averigua de qué número se trata. Ecuación: x x2 30 Se resuelve: x 1 2 11 ⇒ ( 6) no es un número natural, el número buscado es 5. Clasifica y resuelve las siguientes ecuaciones. a) x4 5x2 4 0 b) 2x4 16x 0 c) x4 26x2 25 d) x6 64x3 0 e) x4 4x2 0 f) 3x3 12x2 12x 0 a) x2 z; x4 z2 ⇒ z2 5z 4 0 ⇒ z 5 2 3 b) 2x(x3 8) 0 ⇒ 2x 0 ⇒ x 0 y x3 8 0 ⇒ x 2 (raíz triple) c) x2 z ⇒ x4 z2; z2 26z 25 0 ⇒ z 26 2 24 d) x3(x3 64) 0 ⇒ x3 0 ⇒ x 0 (raíz triple) y x3 64 ⇒ x 4 (raíz triple) e) x2(x2 4) 0 ⇒ x2 0 ⇒ x 0 (raíz doble) y x2 4 0 ⇒ x 2 f) 3x(x2 4x 4) 0 ⇒ x 0 y x 4 2 0 2 ⇒ Raíz doble 4 ( 4)2 4 1 4 2 1 26 ( 26)2 4 1 25 2 1 5 ( 5)2 4 1 4 2 1 4.9 1 1 2 4 1 ( 30) 2 1 4.8 1 1 2 4 1 3 2 1 ( 9) ( 9)2 4 5 4 2 5 4.7 ( 4) ( 4)2 4 2 ( 6) 2 2 ( 10) ( 10)2 4 1 21 2 1 4.6 x 5 1 3 x 5 1 3 x 0 x 2 x 5 x 6 4 ⇒ x2 4 ⇒ x 2 1 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 25 ⇒ x2 25 ⇒ x 5 1 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 x 1 x 4 5 x 3 x 3 x 3 x 1 Halla las soluciones de estas ecuaciones de tercer grado. a) x3 2x2 x 2 0 b) x3 6x2 3x 10 0 c) x3 2x2 x 2 0 a) Soluciones: x 1, x 1 y x 2 b) Soluciones: x 1, x 2 y x 5 c) Soluciones: x 2, x 1 y x 1 Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones radicales. a) x x 2 b) x 5 x 5 a) x 2 x ⇒ x (2 x)2 ⇒ x2 5x 4 0 ⇒ b) x 5 5 x ⇒ 5 25 10 x ⇒ x 4 Resuelve estas ecuaciones radicales. a) x 2 5 x 1 x 2 b) 4 0 x 2 4 x c) 2 x 1 x 4 6 d) 6 x 2x 2 a) x 2 5x 1 2 (x 2)2 ⇒ x2 5x 1 x2 4x 4 ⇒ x 3 Comprobación: 3 2 5 3 1 3 2 b) 4 0 x 2 2 (x 4)2 ⇒ 40 x2 x2 8x 16 ⇒ 2x2 8x 24 0 x 2 4x 12 0 ⇒ Comprobación: x 6 ⇒ 4 0 62 4 6 ⇒ Sí es correcto. x 2 ⇒ 4 0 ( 2)2 4 2 ⇒ No es correcto. 4.12 4.11 4.10 1 1 6 13 10 1 1 1 37 10 1 1 7 10 10 1 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 3 2 0 P(x) (x 1)(x2 7x 10) x 7 2 3 ⇒ x 5 x 2 7 ( 7)2 4 1 10 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 0 P(x) (x 1)(x2 x 2) x 1 2 3 ⇒ x 1 x 2 1 1 2 4 1 ( 2 ) 2 1 x 5 2 3 ⇒ x 4 x 1 ( 5) ( 5)2 4 1 4 2 1 x 4 2 8 x 6 x 2 4 ( 4)2 4 1 ( 1 2) 2 1 P(x) (x 1)(x2 3x 2) x 3 2 3 2 1 4 1 2 3 2 1 ⇒ x 1 x 2 c) 2 x 1 2 6 x 4 2 ⇒ 2x 1 36 12 x 4 x 4 ⇒ 12 x 4 2 (41 x)2 144(x 4) 1681 82x x2 ⇒ 144x 576 1681 82x x2 ⇒ x2 226x 1105 0 Comprobación: x 5 ⇒ 2 5 1 5 4 6 ⇒ Sí es correcto. x 221 ⇒ 2 221 1 2 21 4 21 15 6 ⇒ No es correcto. d) 6 x 2 ( 2 2x)2 ⇒ 6 x 4 8x 4x2 ⇒ 4x2 7x 2 0 Comprobación: x 1 4 ⇒ 6 1 4 2 1 4 5 2 1 2 3 ⇒ No es correcto. x 2 ⇒ 6 2 2( 2) 2 4 2 ⇒ No es correcto. Escribe las siguientes informaciones utilizando desigualdades. a) He sacado, por lo menos, un 7 en el examen. b) Estoy en la oficina de ocho de la mañana a seis de la tarde. a) x 7 b) 8 x 18 Construye una tabla que te permita encontrar los valores de x que satisfacen cada una de estas inecuaciones. a) 2x 4 3 b) x 5 6 x c) 8x 5 6x 9 d) 5x 3 4x 6 a) b) c) d) Escribe las desigualdades que resultan al operar los dos miembros de 12 2 en cada apartado. a) Sumando 3 c) Restando 2 e) Multiplicando por 3 b) Multiplicando por 2 d) Dividiendo entre 3 f) Dividiendo entre 2 a) 12 3 2 3 ⇒ 15 5 c) 12 2 2 2 ⇒ 10 0 e) 3 · 12 3 · 2 ⇒ 36 6 b) ( 2) · 12 ( 2) · 2 ⇒ 24 4 d) 1 3 2 2 3 ⇒ 4 2 3 f) 12 2 2 2 ⇒ 6 1 4.15 4.14 4.13 x 4 2 1 0,5 2 5 10 1.er miembro: 2x 4 4 0 2 3 8 14 24 2.o miembro: 3 3 3 3 2x 4 3 x 4 3 x 4 3 x 1 0 2 5,5 6 7 10 1.er miembro: x 5 6 5 3 0,5 1 2 5 2.o miembro: 6 x 7 6 4 0,5 0 1 4 x 5 6 x x 5 6 x x 5 6 x x 1 3 5 7 8 9 10 1.er miembro: 8x 5 13 19 35 51 59 67 75 2.o miembro: 6x 9 3 27 39 51 57 63 69 8x 5 6x 9 8x 5 6x 9 8x 5 6x 9 x 3 5 8 9 10 11 12 1.er miembro: 5x 3 12 22 37 42 47 52 57 2.o miembro: 4x 6 18 26 38 42 46 50 54 5x 3 4x 6 5x 3 4x 6 5x 3 4x 6 x 7 8 9 x 1 4 x 2 7 7 2 4 4 ( 2) 2 4 x 226 2 216 x 221 x 5 226 ( 226) 2 4 1 1105 2 1 Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando las reglas de la suma y del producto. a) x 2 3 c) —5x 3 7— x 5 e) 4 x x 6 b) 3x 5 4x d) 3x 6 2x 10 f) x — 1 6 x— 2 — 2 2 x— a) Se suma 2: x 5 o x (5, ]. b) Se opera y se divide todo por 1, con lo que cambia el sentido de la desigualdad: x 5 o x ( , 5). c) Se multiplica por 3, se suma 7 y se resta 3x: 5x 7 3x 15 ⇒ 5x 3x 22 ⇒ 2x 22. Se divide por 2: x 11 o ( , 11]. d) Se resta 2x y se resta 6: x 4 o ( , 4]. e) Se resta x y se resta 4: 2x 10 ⇒ x 5 o ( , 5]. f) Se multiplica por 6 y se opera: 6x (1 x) 12 3(2 x). Se divide entre 8: x 5 8 o x , 5 8 . La edad actual de un padre es el triple que la de su hija. Hace 7 años, la suma de las edades era igual a la edad actual del padre. ¿Cuántos años tienen? Se designa por x la edad actual de la hija ⇒ 3x es la edad del padre. Hace 7 años (3x 7) x 3x ⇒ x 14 La hija tiene 14 años, y el padre, 42. Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 centímetros y a su lado contiguo en 3 centímetros, el área de la figura aumenta en 71 centímetros cuadrados. Calcula el lado del cuadrado. Se designa por x el lado del cuadrado: (x 5) · (x 3) x2 71 ⇒ x2 8x 15 x2 71 ⇒ 8x 56 ⇒ x 7 cm El lado mide 7 cm. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en centímetros, tres números enteros consecutivos. Halla dichos lados. A los lados del triángulo se los llama x, x 1 y x 2. Aplicando el teorema de Pitágoras: (x 2) x2 (x 1)2 Se opera y queda: x2 2x 3 0. Las soluciones de esta ecuación son 3 y 1. Por ser números enteros lo pedido, x 1 no es solución válida. Los lados del triángulo miden 3, 4 y 5 centímetros, respectivamente. La habitación de Gonzalo es rectangular, tiene 6 metros de ancho y la longitud de su perímetro es menor que 30 metros. ¿Cuánto puede medir dicha longitud? Se designa por x la longitud del rectángulo ⇒ 2x 12 30 ⇒ x 9 ⇒ La longitud es menor de 9 metros. En una tienda de comercio justo hay dos tipos de café: uno procedente de Ecuador, en el que cada paquete cuesta 1,30 euros, y otro de Colombia, a 1,65 euros el paquete. Averigua cuántos paquetes de cada tipo se pueden adquirir con 25 euros si se quiere comprar el doble de paquetes de Colombia que de Ecuador. Se designa por x el número de paquetes de café de Ecuador ⇒ 2 · 1,65x 1,30x 25 ⇒ 4,6x 25 ⇒ x 5,4 Como máximo se pueden adquirir 5 paquetes procedentes de Ecuador y 10 de Colombia. R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su duplo en más de 5 unidades? Se llama x a los números buscados: 3x 5 2x ⇒ x 5 es la condición que cumplen dichos números. 4.22 4.21 4.20 4.19 4.18 4.17 4.16 ¿Cuánto debe valer un número para que su mitad más 8 sea mayor que sus cinco terceras partes menos 2? Se designa como x el número buscado: x 2 8 5 3 x 2 ⇒ 7x 60 ⇒ La solución es x 6 7 0 . El profesor de Pedro calcula la nota final valorando en un 70% la de los exámenes y en un 30% otras notas (ejercicios de clase, trabajos, etc.). Pedro tiene un 9 de nota de clase. ¿Qué puntuación debe sacar en el examen para que su nota final sea de al menos 6,2 puntos? Se llama x a la nota del examen, de modo que 0,7x 0,3 · 9 6,2 ⇒ 0,7x 3,5 ⇒ x 5. La puntuación del examen debe ser superior a 5 puntos. A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Identidades y ecuaciones Señala cuál de las siguientes ecuaciones es una identidad. a) (x 3)2 x2 6x 9 b) x2 9 c) (x 1) (x 2)5 0 d) 4x 8 0 La identidad es a, ya que: (x 3)2 x2 6x 9 ⇒ x2 6x 9 x2 6x 9 ⇒ 0 0. Clasifica las ecuaciones del ejercicio anterior según el número de soluciones de cada una. a) (x 3)2 x2 6x 9 ⇒ x2 6x 9 x2 6x 9 ⇒ 0 0 Es una identidad, y, por tanto, tiene infinitas soluciones. b) x2 9 ⇒ x 9 R ⇒ No tiene solución. c) (x 1) (x 2)5 0 ⇒ La ecuación tiene 6 soluciones. d) 4x 8 0 ⇒ 4x 8 ⇒ x 8 4 2. La ecuación tiene una solución. Explica razonadamente cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente al resto. a) 5x 7 2x 5 b) — 7x 5 3— 5 c) 6x 3 8x 5 d) 9x 6 12 a) 5x 7 2x 5 ⇒ 5x 2x 7 5 ⇒ 3x 12 ⇒ x 1 3 2 4 b) 7x 5 3 5 ⇒ 7x 3 25 ⇒ 7x 25 3 ⇒ 7x 28 ⇒ x 2 7 8 4 c) 6x 3 8x 5 ⇒ 6x 8x 3 5 ⇒ 2x 8 ⇒ x 8 2 4 d) 9x 6 12 ⇒ 9x 18 6 ⇒ 9x 24 ⇒ x 2 9 4 8 3 La que no es equivalente a las otras es la d, ya que su solución es distinta a las de las otras ecuaciones. Escribe estos enunciados en lenguaje algebraico utilizando una sola incógnita. a) La suma de los cuadrados de tres números impares consecutivos es 42. b) Un tercio del cuadrado de la edad que tenía hace tres años es 26. a) (2x 1)2 (2x 3) (2x 5)2 42 b) (x 3 3)2 26 4.28 4.27 4.26 4.25 4.24 4.23 x 1 0 → x 1 (x 2)5 0 → x 2 (solución quíntuple) Ecuaciones de primero y segundo grado Halla la solución de estas ecuaciones lineales. a) 4x 3 7x 19 c) 5(2x 1) 3x 2 (6x 4) 7 b) — 4 3x— —1 2 — 5x 26 d) — x 6 3— —2x 3 1— —1 4 — — x 1 2 5— —2 3 — a) 4x 3 7x 19 ⇒ 11x 22 ⇒ x 2 b) 4 3x 1 2 5x 26 ⇒ 3x 2 20x 104 ⇒ 17x 102 ⇒ x 6 c) 5(2x 1) 3x 2 (6x 4) 7 ⇒ 10x 5 3x 2 6x 4 7 ⇒ x 8 d) x 6 3 2x 3 1 1 4 x 1 2 5 2 3 ⇒ 2x 6 8x 4 3 x 5 8 ⇒ 9x 18 ⇒ x 2 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores. a) 3(2x 5) 8x 6 —x 2 — (5x 3) b) — 3(x 2 3) — 2(2 3x) 8x 1 2(x 3) c) — 3(x 5 2) — 2( 3x 1) —2 5 — — 4x 15 3— —1 3 6— a) Se aplica el m.c.m. 2 ⇒ 12x 30 16x 12 x 10x 6 ⇒ 37x 36 ⇒ x 3 3 6 7 b) Se aplica el m.c.m. 2 ⇒ 3x 9 8 12x 16x 2 4x 12 ⇒ x 5 c) Se aplica el m.c.m. 15 ⇒ 9(x 2) 30( 3x 1) 6 4x 3 80 ⇒ x 1 Clasifica en tu cuaderno las siguientes ecuaciones de segundo grado según tengan 0, 1 ó 2 soluciones distintas. a) 5x2 6x 2 0 c) x2 6x 1 0 b) 3x2 4x 5 0 d) x2 5 0 a) No tiene solución por salir una raíz negativa. c) Tiene dos soluciones. b) Tiene dos soluciones. d) Tiene dos soluciones. Calcula la solución de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 6x2 11x 3 0 d) 2x2 2x 24 0 b) x2 6x 7 0 e) 3x2 x 5 0 c) x2 6x 9 0 f) 4x2 4x 1 0 a) x 11 1 2 7 ⇒ b) x 6 2 8 ⇒ c) x 6 2 0 3 ⇒ Raíz doble d) x2 x 12 0 ⇒ x 1 2 7 ⇒ e) x 1 2 1 2 3 4 3 5 1 6 59 ⇒ No tiene solución. f) x 4 8 0 2 1 ⇒ Raíz doble 6 ( 6)2 4 1 9 2 1 6 ( 6)2 4 1 ( 7 ) 2 1 11 ( 11)2 4 3 6 2 6 4.32 4.31 4.30 4.29 x 7 x 1 x 4 x 3 x 3 2 x 1 3 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando un procedimiento diferente de la fórmula general. a) 3x2 27 0 b) x2 2x 1 0 c) 7x2 —5 2 —x 0 d) (x 2)2 25 0 a) 3x2 27 ⇒ x2 9 ⇒ x 3 b) x2 2x 1 0 ⇒ (x 1)2 0 ⇒ x 1 ⇒ Raíz doble c) x 7x 5 2 0 ⇒ x 0 o x 1 5 4 d) (x 2)2 25 ⇒ x 2 5 ⇒ x 7 x 2 5 ⇒ x 3 Resolución de otro tipo de ecuaciones Halla la solución de estas ecuaciones bicuadradas con el cambio de variable z x2. a) x4 10x2 9 0 b) 3x4 15x2 12 0 c) x4 20x 64 0 d) x4 26x 25 0 Encuentra la solución de estas ecuaciones por factorización. a) 2x3 4x2 18x 36 0 b) 4x3 24x2 48x 32 0 c) x3 2x2 13x 10 0 d) x3 3x2 4x 12 0 4.35 4.34 4.33 a) Si z x 2 ⇒ z 2 10z 9 0 z 10 1 2 00 36 z1 9 → x 3 z2 1 → x 1 b) Si z x 2 ⇒ 3z 2 15z 12 0 z 15 2 6 25 144 z1 4 → x 2 z2 1 → x 1 c) Si z x 2 ⇒ z 2 20z 64 0 z 20 4 2 00 256 z1 16 → x 4 z2 4 → x 2 d) Si z x 2 ⇒ z 2 26z 25 0 z 26 6 2 76 100 z1 4 → x 2 z2 1 → x 1 a) 2x3 4x2 18x 36 0 (x 2)( 2x2 18) 0 ⇒ 2x2 18 ⇒ x2 9 ⇒ x 3 Soluciones: x 2, x 3 y x 3 2 2 4 18 36 2 2 4 0 36 2 2 0 18 30 c) x3 2x2 13x 10 0 (x 1)(x2 3x 10) 0⇒(x 1)(x 2)(x 5) 0 Soluciones: x 5, x 1 y x 2 2 1 2 13 10 1 2 1 13 10 2 1 3 10 30 2 1 3 4 12 2 2 2 10 12 2 1 5 6 30 d) x3 3x2 4x 12 0 (x 2)(x2 5x 6) 0 ⇒ (x 2)(x 2)(x 3) Soluciones: x 3, x 2 y x 2 b) 4x3 24x2 48x 32 0 (x 2)(4x2 16x 16) 0 ⇒ 4(x 2)(x2 4x 4) 4(x 2)(x 2)2 4(x 2)3 0 Solución: x 2, raíz triple 2 4 24 48 32 2 2 8 32 32 2 4 16 16 30 Utiliza las igualdades notables y la factorización para encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones. a) 8x3 12x2 6x 1 0 b) 25x4 9 0 c) x5 16x3 0 d) 5(x 3)(x 6)(x 1) 0 a) 8x3 12x2 6x 1 0 ⇒ (2x 1)3 0 ⇒ x 1 2 (solución triple). b) 25x4 9 0 ⇒ (5x2 3)(5x 3) 0 ⇒ x 5 3 (no tiene solución real). x 3 5 c) x5 16x3 0 ⇒ x3(x2 16) 0 ⇒ x3 0 ⇒ x 0 (solución triple). x2 16 0 ⇒ x 4 d) 5(x 3)(x 6)(x 1) 0 ⇒ Soluciones: x 3, x 1 y x 6 Halla la solución de estas ecuaciones radicales. a) x x 6 0 c) x — 2 x — 1 e) x x 1 3 0 b) 8 x 2 x d) 2 x 1 5 — x 3 1 — f) 7 x 1 2 x 4 4.37 4.36 x 5 2 3 ⇒ x 4 x 1 5 ( 5)2 4 1 4 2 1 x 45 8 35 ⇒ x 10 x 5 4 45 ( 45)2 4 4 50 2 4 x 13 2 5 ⇒ x 9 x 4 13 ( 13)2 4 1 36 2 1 x 3 2 5 ⇒ x 4 x 1 3 ( 3)2 4 1 ( 4 ) 2 1 a) x x 6 0 (x 6)2 x 2 x2 12x 36 x Comprobación: x 9 ⇒ 9 3 6 0 ⇒ ⇒ Es correcto. x 4 ⇒ 4 2 6 0 ⇒ ⇒ No es correcto. b) 8 x 2 x 8 x 4 4x x2 x2 3x 4 0 Comprobación: x 4 ⇒ 8 4 2 40 ⇒ ⇒ No es correcto. x 1 ⇒ 8 1 2 1 ⇒ ⇒ Es correcto. c) x 2 x 1 x x x 2 x x x x 2 x ⇒ x2 4x 4 x x2 5x 4 0≤ Comprobación: x 4 ⇒ 4 2 4 1 ⇒ Es correcto. x 1 ⇒ 1 2 1 1 ⇒ No es correcto. d) 2 x 1 5 x 3 1 2 x x 1 1 x 1 5 x x 1 1 x 3 1 2x 2 5 x 1 3 25(x 1) 4x2 20x 25 Comprobación: x 10 ⇒ Es correcto. x 5 4 ⇒ No es correcto. g) 5 x 1 2 x 1 g) 5 x 1 2 x 1 ⇒ 5x 1 4 5 x 1 4 x 1 ⇒ 4x 4 4 5 x 1 ⇒ x 1 5 x 1 x2 2x 1 5x 1 ⇒ x2 3x 0 ⇒ x(x 3) 0 ⇒ x 0 y x 3 Comprobación: x 0 ⇒ 0 1 2 1 ⇒ No es correcto; x 3 ⇒ 5 3 1 2 3 1 ⇒ No es correcto. Desigualdades e inecuaciones. Reglas de equivalencia Distingue cuáles de las siguientes expresiones son desigualdades y cuáles inecuaciones. Si son desigualdades, indica si son verdaderas o falsas, y si son inecuaciones, escribe su solución en forma de intervalo. a) 4 0 d) x 1 g) x 3 2x 1 b) 6 6 e) x 3 h) x 1 x 8 c) 2 3 f) 3 5 i) y 3 2 a) Desigualdad. Falsa d) Inecuación. [ 1, ) g) Inecuación. [2, ) b) Desigualdad. Verdadera e) Inecuación. (3, ) h) Inecuación. R c) Desigualdad. Verdadera f) Desigualdad. Falsa i) Inecuación. (5, ) Escribe las siguientes afirmaciones en forma de desigualdad. a) Elena necesita correr por debajo de 16 segundos para clasificarse en una prueba. b) En algunas atracciones del parque temático exigen una altura superior a 1,20 metros. c) He pasado el kilómetro 125 de la A-42, pero aún no he llegado al 145. a) x 16 b) x 1,20 c) 125 x 145 Resuelve la inecuación 2x 3 x 7, dando valores a la incógnita y completando la tabla. Solución: ( , 4] Indica si estas inecuaciones son equivalentes. a) 2x 14 y x 7 b) —x 2 — 5 y x 10 a) No son equivalentes. b) No son equivalentes. 4.41 4.40 4.39 4.38 x 7 2 3 ⇒ x 5 x 2 7 ( 7)2 4 1 10 2 1 e) x x 1 3 0 x 1 3 x x 1 9 6x x2 x2 7x 10 0 Comprobación: x 5 ⇒ 5 5 1 3 0 ⇒ No es correcto. x 2 ⇒ 2 2 1 3 0 ⇒ Es correcto. f) 7 x 1 2 x 4 7x 1 4(x 4) 7x 1 4x 16 x 5 Comprobación: x 5 ⇒ No es correcto. x 2 0 2 4 5 7 10 2x 3 1 3 7 11 13 17 23 x 7 5 7 9 11 12 14 17 2x 3 x 7 2x 3 x 7 2x 3 x 7 Soluciona las siguientes inecuaciones utilizando las reglas de equivalencia. a) 7x 2(1 3x) 2x 3 d) —x 3 — —5 6 — x b) — 2(5x 3 1) — 4(x 3) —5 2 — e) 5 —3x 2 1— c) 5x —2 3 — 4(3x 6) 2x f) —4x 2 3— x 1 a) 7x 2 6x 2x 3 ⇒ 11x 5 ⇒ x 1 5 1 d) 2x 3x 3 5 6x ⇒ 5x 8 ⇒ x 8 5 b) 20x 4 24x 72 15 ⇒ 44x 83 ⇒ x 8 4 3 4 e) 10 3x 1 ⇒ 9 3x ⇒ x 3 c) 15x 2 36x 72 6x ⇒ 15x 70 ⇒ x 1 3 4 f) 4x 3 2x 2 ⇒ 2x 5 ⇒ x 5 2 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Sea la ecuación bicuadrada ax4 bx2 c 0, con a, b y c distintos de 0. Explica qué sucede en los siguientes casos: a) Si b2 4ac b) Si b2 4ac c) Si b2 4ac ¿Cuántas soluciones tiene en cada caso la ecuación? a) b2 4ac ⇒ b2 4ac 0 ⇒ El discriminante es positivo y, por tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. b) b2 4ac ⇒ b2 4ac 0 ⇒ El discriminante es negativo y, por tanto, la ecuación no tiene soluciones reales. c) b2 4ac ⇒ b2 4ac 0 ⇒ El discriminante es igual a cero y, por tanto, la ecuación tiene una solución doble. Sea la ecuación bicuadrada ax4 bx2 c 0, con a, b y c distintos de 0. a) ¿Cabe la posibilidad de que sus soluciones sean x 1, x 3, x 2 y x 5? ¿Por qué? b) ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes para que la ecuación anterior no tenga solución? a) No, ya que la ecuación bicuadrada ax4 bx2 c 0 solo puede tener “pares” de soluciones que sean opuestas una de la otra; esto es debido a que al resolverla aplicamos el cambio de variable x2 z. b) Apliquemos el cambio de variable anteriormente reseñado: x2 z ⇒ az2 bz c 0 ⇒ z b 2a b2 4 ac . Por tanto, tenemos dos posibilidades para que la ecuación bicuadrada no tenga solución: b2 4ac 0 o z < 0 ⇒ x z No tiene solución real. 4.45 Relaciona en tu cuaderno los elementos equivalentes de las tres columnas. 4.44 4.43 4.42 0 5 0 –1 __ 32 0 7 Intervalo Segmento o semirrecta Desigualdad 1, 3 2 (7, ) ( , 5] x 7 x 5 1 x 1,5 ¿Es cierto que 12 12? Sí, ya que se cumple la igualdad. Explica razonadamente si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. a) 17 12 es una desigualdad incorrecta. b) Una inecuación o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas soluciones. c) La solución de x 5 3 es una semirrecta. a) Verdadera b) Falsa c) Verdadera Indica si son ciertas las siguientes igualdades entre intervalos. a) ( , 5] (2, ) [2, 5] b) ( , 4] ( , 0) ( , 4] a) Falsa, ya que 2 no está incluido. b) Verdadera. Señala qué operación de equivalencia transforma la desigualdad 13 2 en 8 7. Restar 5: 13 5 2 5. ¿Qué puedes decir de estas inecuaciones? a) 3x 4 2 b) 7x 2 12 Tienen la misma solución. Relaciona cada inecuación con su intervalo solución. 5x 1 2x 8 ⇒ 5x 2x 1 8 ⇒ 3x 9 ⇒ x 3 ⇒ x ( , 3] 5x 1 2x 8 ⇒ 5x 2x 8 1 ⇒ 7x 7 ⇒ x 1 ⇒ x [ 1, ) 5x 1 2x 8 ⇒ 5x 2x 1 8 ⇒ 7x 7 ⇒ x 1 ⇒ x ( , 1] 5x 1 2x 8 ⇒ 5x 2x 8 1 ⇒ 3x 9 ⇒ x 3 ⇒ x [3, ) P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R El aforo de un estadio de fútbol es tal, que cuando se llenan las —3 5 — partes acuden 1000 espectadores menos que cuando venden —2 3 — de las entradas. ¿Cuántas localidades tiene el estadio? Se llama x al aforo del estadio. 3 5 x 2 3 x 1000 9x 10x 15 000 x 15 000 El estadio de fútbol tiene 15 000 localidades. 4.52 4.51 4.50 4.49 4.48 4.47 4.46 5x 1 2x 8 5x 1 2x 8 5x 1 2x 8 5x 1 2x 8 [ 1, ) ( , 3] [3, ) ( , 1] José ha ganado un premio. Si lo reparte entre sus nietos, cada uno recibirá 3000 euros, pero si lo distribuye entre sus hijos, que son dos menos, cada uno tocaría a 1000 euros más. ¿Cuántos nietos tiene José? ¿Cuánto dinero ha ganado en el premio? x número de nietos; x 2 número de hijos Se iguala el premio cuando lo reparte entre hijos o nietos, 3000x 4000(x 2) ⇒ 3000x 4000x 8000 ⇒ x 8 José tiene 8 nietos, y la cuantía del premio son 24 000 €. Varios compañeros de trabajo aciertan una porra y cada uno gana 15 euros. Si hubieran tenido que compartir el premio con 4 personas más, hubieran tocado a 3 euros menos cada uno. ¿Cuántos compañeros jugaban la porra? x número de compañeros que jugaban la porra. 12(x 4) 15x ⇒ 12x 48 15x ⇒ x 16 ⇒ Jugaban la porra 16 compañeros. Un padre tiene 50 años, y su hijo, 20. ¿Cuántos años hace que la edad del hijo fue la tercera parte de la del padre? x número de años que han pasado. 50 3 x 20 x ⇒ 50 x 60 3x ⇒ x 5 ⇒ Hace 5 años. ¿Cuál es el número cuya cuarta parte es igual a la mitad del número inmediatamente inferior? x número buscado. x 4 x 2 1 ⇒ 2x 4x 4 ⇒ x 2 ⇒ El número buscado es el 2. En la civilización egipcia, debido a las periódicas inundaciones del Nilo, se borraban los lindes de separación de la tierra y, para la reconstrucción de las fincas, necesitaban saber construir ángulos rectos. En un viejo papiro se puede leer lo siguiente: “La altura del muro, la distancia al pie del mismo y la línea que une ambos extremos son tres números consecutivos”. Halla dichos números. Tres números consecutivos: x, x 1, x 2 x 2 (x 1)2 (x 2)2 ⇒ x2 2x 3 0 x 2 2 4 12 ⇒ Los números serán: 3, 4 y 5. Arancha quiere encargar a un cristalero un espejo circular, aunque no tiene claro qué tamaño le conviene. Lo que sabe es que el radio puede variar entre 20 y 25 centímetros. ¿Entre qué valores enteros oscilaría el área del cristal? ¿Y su perímetro? Para obtener los valores enteros aproxima a 3,14. A r 2 ⇒ 3,14 202 A 3,14 252 Los valores enteros entre los que oscilará el área serán: 1256 cm2 A 1963 cm2 L 2 r 2 ⇒ 2 3,14 20 L 2 3,14 25 Los valores enteros entre los que oscilará la longitud serán: 125 cm L 157 cm. 4.58 4.57 4.56 4.55 4.54 4.53 x 3 x 1 La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30 000 euros, a los que hay que sumar 1,50 euros de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12 000 euros por publicidad, ¿cuántas revistas se deben vender para empezar a conseguir beneficios? x n.º de revistas vendidas Gastos: 30 000 1,5x Beneficios: 3,5x 12 000 30 000 1,5x 3,5x 12 000 ⇒ 30 000 12 000 3,5x 1,5x ⇒ 9000 x A partir de 9000 ejemplares vendidos se empezarán a obtener beneficios. Dos compañías telefónicas proponen estas ofertas. a) ¿Cuántos minutos debe el cliente llamar a móviles en un mes para que le resulte más económica la compañía B? b) ¿Cuál es el importe de la factura en este caso? a) 40 0,3x 60 0,2x ⇒ 0,1x 20 ⇒ x 200 minutos b) Factura 60 0,2 200 ⇒ Factura 100 € Si el precio de un artículo aumenta en un 20%, resulta 36 euros más caro que si su precio se disminuye un 4%. ¿Cuánto cuesta ese artículo? x precio del artículo x 1 2 0 0 0 x x 1 4 00 x 36 ⇒ 100x 20x 100x 4x 3600 ⇒ x 150 El artículo cuesta 150 €. Marcos ha comprado un reproductor MP4 en las rebajas con un 15% de descuento. Una semana más tarde ha visto que podía haberse ahorrado 4 euros, porque la misma tienda lo vendía con un 20% de descuento. ¿Cuánto costaba el MP4 antes de las rebajas? x precio del MP4 x 1 1 0 5 0 x x 1 2 0 0 0 x 4 ⇒ 100x 15x 100x 20x 400 ⇒ x 80 Antes de las rebajas, el MP4 costaba 80 €. Si se suman dos múltiplos de 5 consecutivos y al resultado se le resta 5, se obtiene un número 20 veces menor que si se multiplican ambos números. Averigua de qué números se trata. Los múltiplos de 5 consecutivos son (5x) y (5x 5). 20 [(5x) (5x 5) 5] 5x(5x 5) ⇒ 20 10x 25x2 25 ⇒ 8x x2 x ⇒ x2 7x 0 Las posibles soluciones son 0 y 7, con lo cual 5x 0 no es un múltiplo de 5. La única solución válida corresponde a x 7. Los números buscados son 35 y 40. Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Una de ellas advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión? En la reunión hay x personas. Cada persona da la mano a x 1 personas. x (x 2 1) 66 ⇒ x(x 1) 132 ⇒ x2 x 132 0 ⇒ x 1 2 23 ⇒ Concurrieron 12 personas. 1 1 4 ( 132 ) 2 4.64 4.63 4.62 4.61 4.60 4.59 x 12 x 11 Banda Ancha + llamadas a fijos gratis: 40 € / mes Llamadas a móviles: 0,30 € / min Banda Ancha + llamadas a fijos gratis: 60 € / mes Llamadas a móviles: 0,20 € / min R E F U E R Z O Ecuaciones de primero y segundo grado Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las estrategias estudiadas según el tipo de ecuación. a) 2(5x 1) —3x 3 2— — 5 3 5— 4(x 1) c) 5x2 7x 0 b) 20x2 11x 3 0 d) 4( 6x 1) 5(3x 2) 7(3x 5) a) 30x 6 3x 2 55 12x 12 ⇒ x 1 b) x 11 4 0 19 ⇒ c) 5x2 7x 0 ⇒ x (5x 7) 0 ⇒ d) 24x 4 15x 10 21x 35 ⇒ x 7 6 Escribe las siguientes ecuaciones de segundo grado en la forma ax2 bx c 0 y resuélvelas. a) — 3 2 x2— —4x 4 1— — 2x(x 6 3) — — 1 1 7 2 — b) 3x2 4x 5(x2 2) — 3x(x 2 2) — 14 a) 18x2 12x 3 4x2 12x 17 ⇒ 14x2 14 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 b) 3x2 4x 5(x2 2) 3x(x 2 2) 14 ⇒ 6x2 8x 10x2 20 3x2 6x 28 ⇒ 13x2 2x 48 0 x 2 26 50 ⇒ c) 36x2 6 4x2 12x 5x2 2 24x2 59 ⇒ 51x2 12x 63 0 ⇒ 17x2 4x 21 0 x 4 3 4 38 ⇒ Otras ecuaciones Calcula la solución de estas ecuaciones utilizando las estrategias estudiadas según el tipo de ecuación. a) x4 5x2 36 0 b) 4x3 4x2 14x 6 0 c) 1 2 x x 8 4.67 4 4 2 4 17 ( 21) 2 17 2 ( 2)2 4 13 ( 48 ) 2 13 4.66 11 1 21 4 ( 6 0) 40 4.65 x 4 u 9 ⇒ x 3 x 13 u 4 no es correcta a) x4 5x2 36 0 Cambio: u x2 ⇒ u2 5u 36 0 u 5 2 2 5 1 44 ⇒ b) 4x3 4x2 14x 6 0 2x3 2x2 7x 7 0 c) 1 2 x x 8 ⇒ x2 17x 52 0 x ⇒ 17 2 89 208 2 1 2 2 7 7 1 1 2 0 7 1 2 0 7 0 (x 1)(2x2 7) 0 2x2 7 0 ⇒ x 7 2 x 1 5 x 3 4 x 2 x 1 2 3 4 x 1 x 1 2 7 1 x 0 5x 7 0 → x 7 5 c) 6x2 1 — 2x( x 3 3) — — 5x2 6 2— 4x2 — 5 6 9— Desigualdades e inecuaciones Transforma la desigualdad 12 3 aplicando en ambos miembros las operaciones que se indican en cada caso. a) Suma 2. b) Resta 5. c) Multiplica por 1. d) Divide entre 3. a) 12 2 3 2 ⇒ 14 1 c) ( 12) ( 1) 3 ( 1) ⇒ 12 3 b) 12 5 3 5 ⇒ 17 2 d) ( 12) ( 3) 3 ( 3) ⇒ 4 1 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 3x 3 6 (2 4x) c) x — 1 6 x— 2 — 2 2 x— b) —5x 3 7— x 5 d) 1 2(x 5) 3 a) 3x 3 6 2 4x ⇒ x 7 ⇒ x 7 b) 5x 7 3x 15 ⇒ x 11 ⇒ x ( , 11) c) 6x 1 x 12 3(2 x) ⇒ x 5 8 ⇒ x , 5 8 d) 1 2x 10 3 ⇒ x 3 ⇒ x ( , 3) e) 6x 1 2x 8 2x ⇒ x 3 2 ⇒ x , 3 2 Escribe una inecuación cuya solución se corresponda con la dada en cada caso. a) [ 3, ) b) c) ( , 2) d) {3} a) x 2 1 b) x2 5 c) 2x 7 x 5 d) (x 3)2 0 A M P L I A C I Ó N Resuelve estas ecuaciones aplicando el cambio de variable que consideres oportuno. Explica razonadamente los pasos que realizas. a) x6 7x3 8 0 b) x6 2x3 1 0 c) x8 17x4 16 0 d) x10 31x5 32 0 4.71 4.70 4.69 4.68 u 8 ⇒ x3 8 ⇒ x 2 u 1 ⇒ x3 1 ⇒ x 1 u 16 ⇒ x4 16 ⇒ x 2 u 1 ⇒ x4 1 ⇒ x 1 u 32 ⇒ x5 32 ⇒ x 2 u 1 ⇒ x5 1 ⇒ x 1 a) x6 7x3 8 0 Cambio: u x3; u2 x6 ⇒ u2 7u 8 0 u 7 2 9 ⇒ 7 ( 7)2 4 1 ( 8) 2 1 b) x6 2x3 1 0 Cambio: u x3; u2 x6 ⇒ u2 2u 1 0 u 2 2 0 1 ⇒ x3 1 ⇒ x 1 2 ( 2)2 4 1 1 2 1 c) x8 17x4 16 0 Cambio: u x4; u2 x8 ⇒ u2 17u 16 0 u 17 2 15 ⇒ 17 ( 17)2 4 1 16 2 1 d) x10 31x5 32 0 Cambio: u x5; u2 x10 ⇒ u2 31u 32 0 u 31 2 33 ⇒ 31 ( 31)2 4 1 ( 3 2) 2 1 e) 3x — 1 2 2x— 4 x Dos amigos viven a 15 kilómetros de distancia. Todas las tardes salen a la misma hora de sus casas para reunirse en un punto del camino. Uno hace el recorrido en bicicleta a una velocidad de 30 kilómetros por hora, y el otro lo realiza corriendo a 14 kilómetros por hora. ¿Qué distancia ha recorrido cada uno en el punto donde se encuentran? 3 x 0 15 1 4 x ⇒ 14x 450x 30x ⇒ x 10,23 El amigo que lleva una velocidad de 30 km por hora recorre 10,23 km, y el que va a 14 km por hora recorre 15 x 4,77 km. Comprueba que si conocemos las soluciones de una ecuación de segundo grado (m y n, respectivamente), entonces podemos escribir la ecuación de la que provienen: x2 Sx P 0, donde S m n y P m n. La ecuación inicial es x2 bx c 0, cuyas soluciones vienen dadas por la fórmula: x b 2 b2 4 c ⇒ Por tanto: m n b 2 b2 4 c b 2 b2 4 c 2 2b b S m n b b2 2 4 c b 2 b2 4 c b2 (b 4 2 4c) 4 4 c c P Utiliza el resultado de la actividad anterior para: a) Averiguar cuáles son las raíces de la ecuación: x2 x 20 0 b) Construir una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 3 y 7. a) ⇒ → d 1 2 1 80 1 2 9 ⇒ Por tanto, las soluciones de la ecuación son 5 y 4. b) ⇒ ⇒ x2 4x 21 0 es la ecuación buscada. Calcula los valores de m para que: a) m2x2 mx 1 0 tenga solución. b) 2mx2 (4m 1)x 2m 3 0 tenga una única solución. a) m2x2 mx 1 0. Para que tenga solución se ha de verificar que el discriminante de la ecuación sea positivo, es decir, b2 4ac 0 ⇒ m2 4m2 0 ⇒ 3m2 0 ⇒ m2 0 ⇒ Para ningún valor de m perteneciente a los números reales se verifica la desigualdad anterior. Por tanto, la ecuación no tiene solución para ningún valor de m. b) 2mx2 (4m 1)x 2m 3 0. Para que tenga una única solución se ha de verificar que el discriminante de la ecuación sea igual a cero, es decir, b2 4ac 0 ⇒ (4m 1)2 4 2m (2m 3) 0 ⇒ 16m2 1 8m 16m2 24m 0 ⇒ ⇒ 32m 1 0 ⇒ m 32 1 4.75 S 3 7 4 P ( 3) 7 4 21 S c d P c d d1 4 → c1 5 d2 5 → c2 4 1 c d → c 1 d 20 c d → 20 ( 1 d) d → 20 d d2 → d2 d 20 0 S c d P c d 4.74 4.73 4.72 m b 2 b2 4 c n b 2 b2 4 c Una inecuación en la que aparece un valor absoluto da lugar en realidad a dos inecuaciones: | x a | r ⇒ r x a r. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) | 3x 1 | 5 b) | 4x 3 | 2 a) 5 3x 1 5 ⇒ 4 3x 6 b) 4x 3 2 ⇒ 4x 1 ⇒ x 4 1 3 4 x 2 4x 3 2 ⇒ 4x 5 ⇒ x 4 5 Solución: 3 4 , 2 Solución: , 4 5 4 1 , Halla el intervalo de valores que son solución a la vez de las dos inecuaciones siguientes. a) —3x 4 1— 2x 2( 5x 6) 1 b) 2(4x 3) — x 2 4— 6x 5 a) 3x 1 8x 8 ( 5x 6) 4 ⇒ 3x 8x 40x 1 48 4 ⇒ x 5 5 3 1 ⇒ x , 5 5 3 1 I 1 b) 4 (4x 3) x 4 12x 10 ⇒ 16x x 12x 12 4 10 ⇒ x 29 6 ⇒ x , 2 6 9 I 2 I1 I2 , 29 6 P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R La conducción del gas El croquis muestra dos puntos, A y D, entre los que se va a construir un canal para conducir el gas. Como se quiere aprovechar un trozo de un antiguo canal que unía los puntos B y D, hay que ubicar el punto C donde se unirán el tramo nuevo y el reformado. El coste del tramo nuevo AC es de 10 euros el metro, y el de reparar cada metro del tramo antiguo CD es de 2 euros. a) La tabla muestra las tres opciones que se consideran para ubicar el punto C. Indica cuál es la más económica. b) Calcula la distancia x que debería tener BC para que el coste total fuera de 1270 euros. Longitud del tramo nuevo: 7 52 x 2 Longitud del tramo conservado: 250 x Coste del tramo nuevo: 10 7 52 x 2 Coste del tramo conservado: 2 (250 x) Coste total: 10 5 625 x2 2x 500 a) Opción A: Coste 10 5 625 302 60 500 1248 unidades monetarias Opción B: Coste 10 5 625 502 100 500 1301 unidades monetarias Opción C: Coste 10 5 625 1002 200 500 1550 unidades monetarias La mejor es la primera opción. b) 10 5 625 x2 2x 500 1270 ⇒ 10 5 625 x2 770 2x ⇒ 100(5625 x2) 592 900 4x2 3080x 96x2 3980x 30 400 0 ⇒ x 3080 1 92 4600 40 metros 4.78 4.77 4.76 Opción I II III Distancia BC 30 m 50 m 100 m 1 0 – —6— 29 A 75 m B C D 250 m x Las kilocalorías La tabla muestra la capacidad energética media (en kilocalorías por gramo) de algunos nutrientes fundamentales. Un alimento tiene las siguientes características en su composición. • Posee el doble de gramos de grasas que de glúcidos. • La masa de las proteínas es veinte veces la masa de los glúcidos. • En 100 gramos de ese alimento hay, en total, 20,7 gramos de glúcidos, proteínas y grasas. a) Escribe una expresión que determine el número de kilocalorías que poseen x gramos de dicho alimento. b) Si se han consumido entre 150 y 250 gramos del mencionado alimento, ¿entre qué valores está comprendido el número de kilocalorías consumidas? En 100 gramos de ese alimento hay c gramos de hidratos, 20c de proteínas y 2c de grasa. Por tanto: x 20c 2c 23c 20,7 ⇒ c 2 2 0 3 ,7 0,9 En 100 gramos de ese alimento hay 0,9 gramos de hidratos, 18 de proteínas y 1,8 de grasa. En 1 gramo de ese alimento hay 0,009 gramos de hidratos, 0,18 de proteínas y 0,018 de grasa. En x gramos de ese alimento hay 0,009x gramos de hidratos, 0,18x de proteínas y 0,018x de grasa. a) Los x gramos de ese alimento aportan 0,009 4x 0,18 4x 0,018 9x 0,918x kilocalorías. b) Si 150 x 250 ⇒ 150 0,918 0,918x 250 0,918 ⇒ 150 0,918 0,918x 250 0,918 ⇒ 137 kilocalorías 229,5 A U T O E V A L U A C I Ó N Encuentra la solución de la siguiente ecuación de primer grado: —3( 2x 2 — 1) 5(x 3) — 3x 4 1— —1 2 — 6( 2x 1) 20(x 3) 3x 1 2 ⇒ 12x 20x 3x 1 2 6 60 ⇒ 35x 65 ⇒ x 1 7 3 Resuelve esta ecuación de segundo grado: (4x 5)(2x 3) 3 8x2 22x 12 0 ⇒ 4x2 11x 6 0 ⇒ x ⇒ x 3 4 y x 2 Halla la solución de esta ecuación con radicales: 4 x 1 3 2 2x 3 4x 13 4 4 x 13 4 2x 3 ⇒ 2 4 x 13 3x 7 ⇒ 9x2 26x 3 0 ⇒ ⇒ x ⇒ x 1 9 y x 3. En la comprobación de resultados, la única solución válida es x 3. Resuelve esta ecuación de grado 4: 6x4 7x3 52x2 63x 18 0 Ruffini: P(x) (x 3)(6x3 25x2 23x 6) (x 3)(x 3)(6x2 7x 2) (x 2)(x 3) x 2 3 x 1 2 Soluciones: x 3, x 3, x 2 3 y x 1 2 Indica cuál de los siguientes intervalos es la solución de la inecuación 3x 1 2. a) [1, ) b) ( 1, ) c) ( , 1] d) ( , 1] Solución: [1, ) 4.A5 4.A4 26 6 76 108 18 4.A3 11 1 21 96 8 4.A2 4.A1 4.79 Glúcidos Proteínas Grasas Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2x2 16 0 b) (x 4)2 49 c) 9x2 12x 4 0 d) 7x2 5x 0 a) 2x2 16 0 ⇒ 2x2 16 ⇒ x2 8 ⇒ x 8 2 2 b) (x 4)2 49 ⇒ x 4 7 ⇒ x 11 y x 3 c) 9x2 12x 4 0 ⇒ (3x 2)2 0 ⇒ 3x 2 0 ⇒ x 2 3 (solución doble) d) 7x2 5x 0 ⇒ x(7x 5) 0 ⇒ x 0 o x 7 5 En cada caso, construye una ecuación que tenga las soluciones que se indican. a) 2 y 7 b) 4, 6 y 1 c) 6 y 6 d) —3 4 — a) (x 2)(x 7) 0 ⇔ x2 5x 14 0 c) (x 6)(x 6) 0 ⇔ x2 36 0 b) (x 4)(x 6)(x 1) 0 ⇒ x3 x2 26x 24 0 d) x 3 4 0 Considera estas inecuaciones: a) x 7 5 b) x 1 7 c) 2 x 10 d) 3x 6 30 Señala cuáles son equivalentes a x 2 10 y, en los casos afirmativos, indica la transformación que permite pasar de una a otra inecuación. Las inecuaciones equivalentes a la dada son a y c. Las transformaciones son x 7 5 5 5 para a y (2 x)( 1) ( 10)( 1) para c. Reparte 130 euros entre tres personas de modo que la primera reciba 5 euros más que la segunda, y la tercera tenga tantos como las otras dos juntas. x 5 dinero 1.a persona x dinero 2.a persona 2x 5 dinero 3.a persona (x 5) x (2x 5) 130 ⇒ x x 2x 130 5 5 ⇒ 4x 120 ⇒ x 30 La primera persona recibe 35 €; la segunda, 30, y la tercera, 65. M A T E T I E M P O S La edad de mi abuela Mi abuela dio a luz a mi padre con menos de 20 años, y yo nací cuando mi padre tenía más de 25 años. Si mi padre tiene ahora menos de 45 años y yo curso 4.º de ESO, ¿cuántos años podría tener mi padre cuando yo nací? ¿Qué edad puede tener ahora mi abuela? Si está en 4.º de ESO, puede tener entre 15 y 18 años. Vamos a ver qué edad puede tener el padre, consideramos todas las opciones: Luego cuando nació, su padre tendría entre 26 y 29 años. Su abuela pudo dar a luz a su padre entre los 15 y los 19 años. Presentaremos la información en una tabla: Por tanto, la edad de la abuela puede estar comprendida entre 56 y 63 años. 4.A9 4.A8 4.A7 4.A6 Padre Edad Al nacer Edad Al nacer Edad Al nacer Edad Al nacer Edad del hijo el hijo actual el hijo actual el hijo actual el hijo actual 15 26 41 27 42 28 43 29 44 16 26 42 27 43 28 44 17 26 43 27 44 18 26 44 Edad actual Al nacer el hijo Mínima: 15 26 15 41 26 15 41 56 Máxima: 19 29 15 44 29 19 44 63 Edad de la abuela al dar a luz Abuela Padre