RECTAS Y PLANOS BACHILLERATO RESUELTO PDF

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS
1. En cada uno de los siguientes casos calcula las coordenadas del vector libre, sabiendo que uno de sus representantes fijos tiene por origen el punto A y por extremo el punto B: a) A (2, 3, 1) y B (4, 5, 2) b) A ( 1, 2, 0) y B (4, 3, 2) 2. a) 
Del vector PQ (5, 3, 1) se sabe que P ( 1, 2, 3). Calcula las coordenadas del extremo Q. b) Del vector RS ( 1, 3, 2) se sabe que S ( 2, 8, 1). Calcula las coordenadas del origen R. 3. 
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos A (2, 3, 2) y B ( 4, 3, 2). 4. Escribe las ecuaciones parame´tricas y la ecuacio´n en forma continua de la recta r que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto A ( 1, 3, 2) y tiene como direccio´n la del vector u ( 3, 2, 4). b) Pasa por los puntos A ( 1, 2, 4) y B ( 3, 4, 7). c) Pasa por el punto A ( 3, 4, 0) y su direccio´n es perpendicular a la de los vectores u ( 1, 2, 3) y v (0, 2, 5). 5. Escribe las ecuaciones parame´tricas y la ecuacio´n general del plano que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto A (1, 2, 2) y tiene como vectores directores u ( 1, 2, 0) y v ( 1, 1, 2). b) Pasa por los puntos A ( 1, 2, 1), B ( 1, 0, 3) y C ( 1, 2, 3). c) Pasa por el punto A ( 3, 2, 1) y uno de sus vectores normales es el n (1, 2, 3). 6. Decide, en cada uno de los siguientes casos, si los puntos A, B y C esta´n alineados o forman tria´ngulo: a) A (1, 3, 1), B ( 1, 4, 3), C (3, 2, 1) b) A (1, 2, 2), B (2, 0, 1), C (0, 4, 4)
1.Estudia la posicio´n relativa de los planos y en los siguientes casos: Determina la ecuacio´n del plano perpendicular a la recta r: y que pasa por el punto P (2, 1, 4). x 1 y 2 z 1 2 4 8. Determina las ecuaciones de la recta perpendicular al plano : 2x y 3z 0 y que pasa por el punto P ( 2, 1, 0). 9. Escribe la ecuacio´n del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 3) y Q (3, 3, 1) y es paralelo a la recta de ecuaciones parame´tricas r: x 1 2t y 1 t z 2t 10. Calcula el valor de k para que la recta de ecuaciones parame´tricas r: este´ contenida en el plano x 1 t y 1 t de ecuaci´on general : 2x 3y kz 0. z 1 t 11. Dada la recta r: 2x y z 0 x y z 1 0 a) Escribe la expresio´n algebraica del haz de planos cuya arista es la recta r. b) Determina la ecuacio´n del plano que contiene a la recta r y que pasa por el punto P ( 1, 2, 2). SOLUCIONES 1. a) rango M rango 1 2 1 1 6 3 3 rango M* 2 2 1 1 2 6 3 3 2 Planos paralelos. b) rango M rango 2 1 1 0 1 0 1 rango M* 2 1 1 0 1 1 0 1 2 Planos secantes. 2. a) Ar (0, 2, 5) As ( 3, 5, 6) ur (3, 2, 4) us (1, 1, 3) ArAs ( 3, 7, 1) rango (ur , us ) 2 y rango (ArAs , ur , us) 2 Las rectas se cortan. b) Ar (0, 0, 0) As (1, 1, 0) ur (1, 2, 3) us (3, 2, 1) ArAs (1, 1, 0) rango (ur , us ) 2 y rango (ArAs , ur , us) 3 Las rectas se cruzan. c) Ar (0, 2, 0) As (5, 5, 5) ur (2, 2, 3) us (4, 4, 6) ArAs (5, 3, 5) rango (ur , us) 1 y rango (ArAs , ur , us) 2 Las rectas son paralelas. 3. a) Escribiendo la recta r en parame´tricas y sustituyendo en el plano, se obtiene: 2t t t 0 0 · t 0 La recta esta´ contenida en el plano. b) 3 (10 3t ) 2 ( 7 2t ) 1 t 1 0 6 · t 18 t 3 La recta corta al plano en el punto P (1, 1, 2). 4. a) M M* 1 1 1 1 1 1 0 3 2 0 3 2 0 1 1 0 2 1 0 2 1 rango M 2 y rango M* 2 Los tres planos se cortan en una recta. b) M
a) Calcula su dominio y dibuja su gra´fica. b) Define la funcio´n f en x 0 para que sea continua en ese punto. c) Estudia si, al dar a f(0) el valor obtenido en el apartado anterior, la funcio´n es derivable en x 0. Y 2. Una funcio´n f(x) tiene por derivada f (x) cuya gra´fica es la dada en la figura. 
Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n. 3. Una funcio´n f(x) tiene por derivada f (x) cuya gra´fica es la dada en la figura. Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n. 4. Una funcio´n f(x) tiene por derivada f (x) cuya gra´fica es la dada en la figura. Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcio´n f(x) e indica do´nde tiene ma´ximos, mı´nimos o puntos de inflexio´n. 5. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f(x) y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de 1 x x 2 la funcio´n, calculando el punto de corte. 6. 
Halla las ası´ntotas de la funcio´n f(x) y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de x 1 x2 1 la funcio´n, calculando el punto de corte. 7. Representa las siguientes funciones: a) f(x) x2 2x 3 b) f(x) 6x x2 8. Representa las siguientes funciones: a) f(x) x3 3x 2 b) f(x) (x 1)3 9. Representa las siguientes funciones: a) f(x) x x 1 b) f(x) x2 x 1 SOLUCIONES 1. a) Dominio {0} b) f(0) lim f(x) 0 xA0 c) f (x) 0 si x 0 2x 1 si x 0 f (0 ) 0 y f (0 ) 1 Como las derivadas laterales son distintas, la funcio´n no es derivable en x 0. 2. Si x 2 f (x) 0: f(x) es creciente. Si x 2 f (x) 0: f(x) es decreciente. f (2) 0 y f pasa de ser positiva a ser negativa f(x) tiene un ma´ximo en x 2. Como f (x) es decreciente, f(x) es siempre co´ncava y no tiene puntos de inflexio´n. 3. Si x 2 o x 2 f (x) 0: f(x) es creciente. Si 2 x 2 f (x) 0: f(x) es decreciente. En x 2, f ( 2) 0 y f pasa de ser positiva a ser negativa f(x) tiene un ma´ximo en x 2. En x 2, f (2) 0 y f pasa de ser negativa a ser positiva f(x) tiene un mı´nimo en x 2. En x 0, f (x) pasa de ser decreciente a ser creciente f(x) pasa de ser co´ncava a ser convexa y, por tanto, hay un punto de inflexio´n. 4. Si x 1 f (x) 0: f(x) es decreciente. Si x 1 f (x) 0: f(x) es creciente. En x 1, f ( 1) 0 y f pasa de ser negativa a ser positiva f(x) tiene un mı´nimo en x 11. En x 0 y en x 2 cambia el crecimiento de f (x) cambia la curvatura de f(x) y, por tanto, hay puntos de inflexio´n. 5. El denominador se anula en x 2.
1. En cada uno de los siguientes casos, calcula las coordenadas del vector cuyo origen es el punto A y cuyo extremo es el punto B: a) A(2, 3) y B(4, 5) b) A( 2, 4) y B( 4, 5) 2. a) Del vector PQ (5, 3) se sabe que P( 1, 2). Calcula las coordenadas del extremo Q. b) Del vector AB ( 2, 6) se sabe que B( 2, 4). Calcula las coordenadas del origen A. 3. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los segmentos que tienen por extremos los puntos A y B en los siguientes casos: a) A(2, 3) y B( 4, 3) b) A( 2, 4) y B( 4, 6) 
4. Calcula la ecuacio´n vectorial, las ecuaciones parame´tricas, la ecuacio´n general y la ecuacio´n explı´cita de la recta r en los siguientes casos: a) r pasa por el punto A( 1, 3) y tiene como direccio´n la del vector u ( 3, 2). b) Pasa por los puntos A( 1, 2) y B( 3, 4). c) Pasa por el punto A( 3, 4) y su pendiente vale m 2. 5. Calcula el punto de interseccio´n de las siguientes rectas: 6. Comprueba si las siguientes rectas son secantes, paralelas o coincidentes. En el caso de que sean secantes, calcula el correspondiente punto de corte. 
7. Calcula la ecuacio´n de la recta s que pasa por el punto P(2, 3) y es paralela a la recta r en los siguientes casos: a) r: 2x y 0 b) r: 2x 3y 7 0 c) r: y 8 0 8. Decide en cua´les de los siguientes casos los puntos A, B y C esta´n alineados y en cua´les forman tria´ngulo. a) A( 1, 5), B(0, 3), C( 2, 7) b) A(1, 2), B(2, 7), C( 1, 3) 9. Calcula las ecuaciones de las medianas del tria´ngulo de ve´rtices A(1, 2), B(2, 7) y C( 1, 3). 10. Dado el tria´ngulo de ve´rtices A(3, 1), B(2, 2), C(0, 0). a) Calcula las coordenadas de su baricentro. b) Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el baricentro y son paralelas a cada uno de los lados del tria´ngulo. c) Escribe la ecuacio´n del haz de rectas cuyo ve´rtice es el baricentro del tria´ngulo. 11. Calcula el valor de k para que la recta 2kx (3k 2) y k 0 pase por el punto A( 1, 5). 12. Calcula el valor de k para que la recta x (1 k) y 3 k 0 forme con los ejes coordenados un tria´ngulo de cuatro unidades cuadradas de a´rea. SOLUCIONES

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