Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. En cada uno de los siguientes casos calcula las coordenadas del vector libre, sabiendo que uno de sus representantes fijos tiene por origen el punto A y por extremo el punto B: a) A (2, 3, 1) y B (4, 5, 2) b) A ( 1, 2, 0) y B (4, 3, 2) 2. a) Del vector PQ (5, 3, 1) se sabe que P ( 1, 2, 3). Calcula las coordenadas del extremo Q. b) Del vector RS ( 1, 3, 2) se sabe que S ( 2, 8, 1). Calcula las coordenadas del origen R. 3. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos A (2, 3, 2) y B ( 4, 3, 2). 4. Escribe las ecuaciones parame´tricas y la ecuacio´n en forma continua de la recta r que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto A ( 1, 3, 2) y tiene como direccio´n la del vector u ( 3, 2, 4). b) Pasa por los puntos A ( 1, 2, 4) y B ( 3, 4, 7). c) Pasa por el punto A ( 3, 4, 0) y su direccio´n es perpendicular a la de los vectores u ( 1, 2, 3) y v (0, 2, 5). 5. Escribe las ecuaciones parame´tricas y la ecuacio´n general del plano que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto A (1, 2, 2) y tiene como vectores directores u ( 1, 2, 0) y v ( 1, 1, 2). b) Pasa por los puntos A ( 1, 2, 1), B ( 1, 0, 3) y C ( 1, 2, 3). c) Pasa por el punto A ( 3, 2, 1) y uno de sus vectores normales es el n (1, 2, 3). 6. Decide, en cada uno de los siguientes casos, si los puntos A, B y C esta´n alineados o forman tria´ngulo: a) A (1, 3, 1), B ( 1, 4, 3), C (3, 2, 1) b) A (1, 2, 2), B (2, 0, 1), C (0, 4, 4) P r α 7. Halla la ecuacio´n del plano que pasa por el punto P ( 1, 1, 2) y contiene a la recta dada por la ecuacio´n r : z x 1 y 2 2 1 u B r A α 8. Halla la ecuacio´n del plano que pasa por los puntos A ( 3, 2, 0) y B (1, 0, 1) y que es paralelo a la recta que tiene por ecuaciones parame´tricas r : x 2 t y t z t 9. Calcula el valor de m para que los puntos del espacio A ( 1, m 1, 0), B (0, m 2, 1) y C (1, 5, 2) pertenezcan a una misma recta. 10. Calcula todos los valores de m que hacen que los puntos del espacio A (0, 2, 2), B (1, 1, m2 1) y C (2, 0, 2m) pertenezcan a una misma recta. 1. a) AB (4 2, 5 3, 2 1) (2, 2, 3) b) AB (4 1, 3 2, 2 0) (5, 5, 2) 2. a) q p PQ q ( 1, 2, 3) (5, 3, 1) (4, 5, 2) Q (4, 5, 2) b) r s RS r ( 2, 8, 1) ( 1, 3, 2) ( 1, 5, 1) R ( 1, 5, 1) 3. M ( 1, 3, 2) 1 x (2 4) 1 m 2 1 y (3 3) 3 m 2 1 z ( 2 2) 2 m 2 4. a) x 1 3t x 1 y 3 z 2 y 3 2t z 3 2 4 2 4t b) Un vector director es AB ( 2, 2, 11) x 1 2t y 2 2t z 4 11t x 1 y 2 z 4 2 2 11 c) Un vector director es: u v 4i 5j 2k i j k 1 2 3 0 2 5 x 3 4t x 3 y 4 z y 4 5t z 2t 4 5 2 5. a) det (AX, u, v ) 0 0 x 1 y 2 z 2 1 2 0 1 1 2 4x 2y 3z 6 0 b) det (AX, AB, AC) 0 0 x 1 0 x 1 y 2 z 1 0 2 4 0 0 4 c) El plano pedido es de la forma: x 2y 3z D 0 Como debe pasar por A: 3 4 3 D 0 D 2 x 2y 3z 2 0 6. A, B y C esta´n alineados rango (AB, AC) 1 a) rango 1 2 1 2 2 1 2 A, B y C esta´n alineados. b) rango 2 1 2 3 1 2 2 A, B y C forman tria´ngulo. 7. La recta r pasa por A (1, 2, 0) y tiene como direccio ´n la del vector u (2, 1, 1) El plano pedido es el determinado por (A, u, AP) Entonces: det (AX, u, AP) 0 0 x 2y 3 0 x 1 y 2 z 2 1 1 2 1 2 8. La recta r tiene como direccio´n la del vector u (1, 1, 1). El plano pedido sera´ el determinado por (A, u, AB). Entonces: det (AX, u, AB) 0 0 x 3 y 2 z 1 1 1 4 2 1 x y 2z 0 9. A, B y C esta´n alineados rango (AB, AC) 1 rango 1 1 3 1 1 3 2 6 m 2 2 6 m 6 m 6 m 0 10. A, B y C esta´n alineados rango (AB, AC) 1 rango 1 1 1 m2 3 1 m2 3 2 2 2m 2 2 2m 2 m2 m 2 0 m 2, m 1 1. Un plano contiene el punto P(2, 0, 2) y la recta r : x 1 y z. Calcula el valor de m que hace que el vector n (m, m 2, 2) sea un vector normal a dicho plano. 2. Dado el segmento de extremos A( 3, 4, 4) y B(1, 12, 0), calcula las coordenadas de tres puntos P, Q y R tales que dividan al segmento en cuatro partes iguales. 3. Dado el segmento de extremos A(1, 2, 3) y B( 4, 12, 2), calcula las coordenadas de un punto interior a dicho segmento de manera que las distancias que lo separan de los extremos A y B este´n en la relacio´n de 2 a 5. 4. Se considera el punto P de coordenadas P( 2, 1, 0): a) Calcula las coordenadas del punto sime´trico de A(2, 1, 3) respecto de P. b) Escribe las ecuaciones de la recta sime´trica de r : x 1 2t y 0 respecto de P. z 2 t c) Escribe la ecuacio´n del plano sime´trico de : x 11y 2z 3 0 respecto de P. 5. Se considera el punto P( 1, 3, 0), la recta r : y z x 1 2 y el plano : x y z 3 0: a) Calcula un vector de direccio´n de r y un vector normal a . b) Halla la ecuacio´n del plano que contiene a P, es paralelo a r y perpendicular a . 6. Halla unas ecuaciones parame´tricas para el plano : x y 1 0. 7. Determina la ecuacio´n en forma continua de la recta que es paralela al plano : 2x y z 4 0 y que corta perpendicularmente a la recta s : en el punto P(0, 3, 2). x 2 t y t 1 z t 8. Tres ve´rtices de una de las caras de un paralelepı´pedo son los puntos A(1, 2, 1), B(0, 2, 1) y C (3, 2, 5). a) Calcula las coordenadas del cuarto ve´rtice D de la cara considerada sabiendo que A y C son ve´rtices opuestos. b) Sabiendo que todas las diagonales de paralelepı´pedo se cortan en el punto M(1, 4, 1), calcula las coordenadas de los otros cuatro ve´rtices de la figura. B A Q P R A' P A r r' α α' P r π α P r s α 1. Como se ve, el punto P no pertenece a la recta r. Por tanto, si se toman dos puntos de r, A(0, 1, 1) y B(1, 0, 0), se consideran los vectores PA y PB y se calcula su producto vectorial, se obtiene un vector normal al plano. PA PB 2i 3j k i j k 2 1 1 1 0 2 m 4 m m 2 2 2 3 1 2. AP AB (4, 8, 4) (1, 2, 1) 1 1 4 4 p a AP ( 3, 4, 4) (1, 2, 1) ( 2, 6, 3) q a 2 · AP ( 3, 4, 4) (2, 4, 2) ( 1, 8, 2) r a 3 · AP ( 3, 4, 4) (3, 6, 3) (0, 10, 1) 3. AP AB ( 5, 10, 5) ( 2, 4, 2) 2 2 5 5 p a AP (1, 2, 3) ( 2, 4, 2) ( 1, 6, 1) 4. a) Sea A (x, y, z ) el punto sime´trico de A. P es el punto medio del segmento de extremos A y A . Por tanto: 2, 1, 0 x 2 y 1 z 3 2 2 2 A ( 6, 1, 3) b) Se toman dos puntos A(1, 0, 2) y B( 1, 0, 1) de la recta r y se calculan sus sime´tricos A y B . La recta buscada pasa por A y B . A ( 5, 2, 2), B ( 3, 2, 1), ya que P es el punto medio de los segmentos AA y BB . r : x 5 2t y 2 z 2 t c) Se toman tres puntos A, B y C del plano y se calculan sus sime´tricos A , B y C . El plano que pasa por A , B y C es el plano buscado. A(1, 0, 2), B( 1, 0, 1) y C(2, 1, 3), A ( 5, 2, 2), B ( 3, 2, 1) y C ( 6, 1, 3), ya que P es el punto medio de los segmentos AA , BB y CC . : 0 x 5 y 2 z 2 2 0 1 1 1 5 x 11y 2z 23 0 5. a) Vector director de r : u (2, 1, 1) Vector normal a : v (1, 1, 1) b) (P, u, v ) 0 x 1 y 3 z 2 1 1 1 1 1 : 2x 3y z 11 0 6. Los puntos A(1, 2, 1), B(0, 1, 1) y C( 1, 0, 2) son puntos del plano. Por tanto: (A, AB, AC) : x 1 t 2s y 2 t 2s z 1 2t 3s 7. Los vectores de direccio´n de r debera´n ser perpendiculares al vector v ( 1, 1, 1), vector de direccio ´n de s, y al vector w(2, 1, 1), vector normal de . Por tanto, un vector de direccio´n de r es: u v w ( 2, 3, 1) i j k 1 1 1 2 1 1 u es paralelo al vector (2, 3, 1) r : x y 3 z 2 2 3 1 8. a) El punto N(2, 2, 3), punto medio del segmento AC, debera´ ser tambie´n punto medio del segmento BD. Por tanto, las coordenadas del ve´rtice D son D(4, 2, 7). b) M es el punto medio de las diagonales AA , BB , CC y DD . Por tanto: A (2, 6, 3), B (2, 6, 1), C ( 1, 6, 7) y D ( 2, 6, 9) B A P D M B A C' B' C A'