Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES Y BIDIMENSIONALES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. En la siguiente tabla se muestra el nu´mero de trasplantes de corazo´n realizados en los hospitales de un paı ´s europeo durante ocho an˜os diferentes de la de´cada de los noventa del siglo XX: N.o trasplantes 232 254 287 292 340 375 395 430 a) Calcula la media aritme´tica y la desviacio´n tı´pica. b) ¿Crees que hay mucha diferencia en el nu´mero de trasplantes realizados segu´n el an˜o de que se trate o, por el contrario, los datos esta´n agrupados? 2. En cada una de las siguientes series estadı´sticas bidimensionales: — Dibuja el diagrama de dispersio´n y analiza el tipo de relacio´n que existe entre las dos variables observando el diagrama. — Calcula las medias y utilı´zalas para determinar de manera aproximada la recta de regresio´n de y sobre x. — Calcula el coeficiente de correlacio´n. a) x 1 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 y 1 2 2 3 4 3 4 5 4 5 5 6 6 8 7 8 b) x 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 y 4 2 3 4 1 2 2 3 1 2 1 2 0 1 0 3. Para estudiar la relacio´n entre los gastos en publicidad de seis empresas de productos la´cteos y las ventas realizadas durante un determinado perı ´odo de tiempo disponemos de los siguientes datos: Gastos en publicidad (miles de euros) Ventas (miles de euros) 1 12 2 14 3 14 4 15 5 18 6 16 a) Calcula las medias y las desviaciones tı´picas de las variables x Gastos en publicidad e y Ventas. b) Calcula la covarianza y el valor del coeficiente de correlacio´n lineal. c) Halla la ecuacio´n de la recta de regresio´n de y sobre x. d) ¿Que´ Ventas debemos esperar para un Gasto en publicidad de 8 000 euros? ¿Co´mo de fiable es esta estimacio ´n? 4. Dada la siguiente serie estadı´stica bidimensional: a) Dibuja el diagrama de dispersio´n y calcula el coeficiente de correlacio´n lineal. b) Explica de que´ tipo es la relacio´n entre las variables. c) Halla las rectas de regresio´n de Y sobre X. 5. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen segu´n la siguiente tabla: a) Calcula el coeficiente de correlacio´n. X Y 1 2 2 5 4 2 5 3 6 3 0 5 8 3 8 3 8 10 7 4 9 8 b) Halla la recta de regresio´n de Y sobre X. c) ¿Serı´a fiable el valor que obtendrı´as para X 10? SOLUCIONES 1. a) x 325 2 605 8 s 66 883 123 3252 8 b) La desviacio´n tı´pica es grande en relacio´n con la media aritme´tica. El nu´mero de trasplantes no puede considerarse que sea estable, pues los datos no esta´n muy agrupados. 2. a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 1 4 5 7 6 8 Relacio´n lineal positiva fuerte. x 3,33 50 15 y 1,87 28 15 Sxy 3,89; Sx 2,05; Sy 2,03 y 4,56 (x 4,75) 3,89 2,052 y 0,93x 0,16 r 0,94 3,89 2,05 · 2,03 b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 5 6 7 8 9 4 Relacio´n lineal negativa fuerte. x 4,75 76 16 y 4,56 73 16 Sxy 2,02; Sx 2,09; Sy 1,20 y 1,87 (x 3,33) 2,02 2,092 y 0,46x 3,41 r 0,80 2,02 2,09 · 1,20 3. a) x 3,5; y 14,83 21 89 6 6 Sx 1,71; Sy 1,86 b) Sxy 2,75; r 0,86 2,75 1,71 · 1,86 c) y 14,83 (x 3,5) 2,75 1,712 y 0,94x 11,54 d) Para un gasto en publicidad de 8 000 las ventas serı´an de 19 000 aproximadamente. Esta estimacio´n es bastante fiable ya que el coeficiente de correlacio´n es pro´ximo a 1. 4. a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 1 4 5 7 6 8 9 x 5; y 5,56 45 50 9 9 Sx 2,58; Sy 1,95 Sxy 4,22 r 0,838 4,22 2,58 · 1,95 b) La relacio´n entre las variables es positiva y fuerte. c) y 5,56 (x 5) y 0,63x 2,39 4,22 2,582 5. a) x 5,273; y 4,364 58 48 11 11 Sx 2,988 Sy 2,422; Sxy 2,537 r 0,351 2,537 2,988 · 2,422 b) y 4,364 (x 5,273) 2,537 2,9882 y 0,284x 2,865 c) La correlacio´n es demasiado de´bil para que se pueda usar la recta de regresio´n para hacer estimaciones fiables. 1. Una persona se somete a una dieta de adelgazamiento durante 5 semanas con los resultados que se recogen en la siguiente tabla: N.o de semanas 1 2 3 4 5 Peso (kg) 70 68,5 67 66 65 a) Estudia el tipo de correlacio´n que presentan ambas variables. b) ¿Que´ peso podemos suponer que alcanzara´ esta persona si sigue con la dieta dos semanas ma´s? c) ¿Es razonable intentar predecir el peso que tendrı´a al cabo de seis meses? 2. En una variable bidimensional (X,Y) las rectas de regresio´n vienen dadas por las ecuaciones 4y x 6 0 (recta de regresio´n de Y sobre X) e y 2x 5 0 (recta de regresio´n de X sobre Y). a) Obte´n los valores de las medias de las distribuciones marginales. b) Halla el valor del coeficiente de correlacio´n. 3. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de aspirantes a pilotos de aviacio´n comercial en dos pruebas en las que se trataba de medir la velocidad de reaccio´n y la destreza manual fueron las siguientes: Velocidad de reaccio´n Destreza manual [10-20) [20-30) [30-40) [40-50) [0-10) 5 3 0 0 [10-20) 2 6 1 0 [20-30) 0 1 4 2 [30-40) 0 0 3 3 [40-50) 0 0 1 2 a) ¿Que´ puntuacio´n en destreza manual se espera encontrar en un aspirante calificado con 32 en la prueba de velocidad de reaccio´n? b) ¿Que´ puntuacio´n se espera encontrar en velocidad de reaccio´n si el aspirante ha obtenido 19 en la prueba de destreza manual? c) ¿Co´mo de fiables son las predicciones anteriores? 4. En un estudio realizado para determinar la rapidez de desecacio´n de un compuesto orga´nico destinado a jardinerı ´a se han observado las variables «nu´mero de dı´as transcurridos desde el riego» (X) y «porcentaje de humedad del compuesto» (Y), obtenie´ndose los siguientes datos: X 1 2 3 4 5 Y 90 80 70 50 30 a) ¿Que´ grado de humedad se espera encontrar a los siete dı´as del riego? b) ¿Cua´ntas horas han de transcurrir desde el momento del riego para que el grado de humedad del compuesto sea del 50 %? 5. A partir de una variable estadı´stica bidimensional que toma valores (xi, yi), i 1...n, con frecuencia igual a 1, se construye una nueva variable zi xi · yi. Comprueba que: a) Si z x · y, el coeficiente de correlacio´n de Pearson es rxy 0. b) Recı´procamente, si rxy 0, entonces z x · y. SOLUCIONES A la vista del diagrama de dispersio´n y del valor del coeficiente de correlacio´n observamos que la relacio´n entre las variables X «nu´mero de semanas de re´gimen» e Y «peso» es lineal negativa y fuerte, casi funcional. b) La recta de regresio´n del peso sobre el nu´mero de semanas a re´gimen es y 1,25x 71,05, por lo que podemos suponer con un alto grado de fiabilidad que a las 7 semanas de re´gimen pesara´ 62,3 kg. c) En el contexto del problema no es lo´gico suponer que el ritmo de pe´rdida de peso se mantenga al cabo de 24 semanas, por lo que no serı´a razonable utilizar la recta de regresio´n para realizar esa prediccio´n. Al cabo de ese tiempo el peso se habra´ estabilizado o la persona habra´ enfermado gravemente. 2. a) Como el punto (x, y) pertenece a ambas rectas de regresio´n, es la solucio´n del sistema: 4y x 6 0 y 2x 5 0 Por tanto: (x, y) (2, 1). b) Las rectas de regresio´n vienen dadas por: y 1 · (x 2) y x 2 1 S S S xy xy xy S2 S2 S2 x x x x 2 · (y 1) x y 2 S S S xy xy xy S2 S2 S2 y y y El producto de sus pendientes es r2; por tanto: r2 · ( 2) r 1 1 1 4 2 2 Como las pendientes son negativas, la covarianza es negativa y tambie´n lo es el coeficiente de correlacio ´n: r 1 2 2 2 3. Si llamamos X a la variable velocidad de reaccio´n e Y a la destreza manual: x 29,85 Sx 10,48 y 21,06 Sy 12,78 Sxy 110,01 r 0,82 a) Para determinar la puntuacio´n pedida utilizamos la recta de regresio´n de Y sobre X: y 21,06 (x 29,85) 110,01 10,482 y 1,001x 8,838. La puntuacio´n es 23,22. b) Como en el apartado anterior, determinamos en este caso la recta de regresio´n de X sobre Y: x 0,674y 15,658. La puntuacio´n es 28,46. c) El grado de fiabilidad de las predicciones es alto, puesto que el coeficiente de correlacio´n es r 0,82. 4. x 64 Sx 21,54 y 3 Sy 1,41 Sxy 30 r 0,98 a) A partir de la recta y 15x 109, el grado de humedad es 4 %. b) A partir de la recta x 0,064 7,138, x 3,9 dı´as, es decir, algo ma´s de 93 horas. 5. a) Sxy x · y x · y x · y z i i i N N z z 0, por tanto, rxy 0 Sxy S · S x y b) Si rxy 0, entonces Sxy 0 , es decir: x · y 0 x · y x · y x · y i i i i N N z x · y