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DISTRIBUCIONES DISCRETAS , DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Sea X una variable aleatoria que toma valores en {2,3,4,5,6} con las siguientes probabilidades: p(2) p(3) p(4) p(5) p(6) 1 2 1 4 1 15 15 5 15 3 a) Comprueba que p(X) es una funcio´n de probabilidad y represe´ntala gra´ficamente. b) Calcula la media y la distribucio´n tı´pica de esta distribucio´n. c) Calcula la probabilidad de p(X 3), p(X 4) y p(3 X 6). 2. La funcio´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla: xi 1 2 3 4 5 pi a 0,2 b 0,4 c Sabiendo que p(X 3) 0,4 y p(X 3) 0,7, se pide: a) Completa la distribucio´n de probabilidad. b) Halla la esperanza matema´tica y la desviacio´n tı´pica de la distribucio´n. 3. De una bolsa que contiene dos bolas rojas, tres negras y una blanca se extrae una bola, se observa su color y se devuelve a la bolsa. Se considera la variable aleatoria X «nu´mero de bolas negras que han salido en un total de diez extracciones». a) Calcula la probabilidad de haber extraı´do exactamente tres bolas negras. b) Calcula la probabilidad de haber extraı´do menos de tres bolas negras. c) ¿Cua´l es el nu´mero medio de bolas negras que esperarı´amos extraer al realizar diez extracciones? 4. En un juego de dados el jugador se anota un punto cada vez que, al lanzar dos dados, obtiene un seis doble. Cada partida se juega a cinco lanzamientos. a) Calcula la probabilidad de no obtener ningu´n punto en una partida. b) Calcula la probabilidad de obtener al menos dos puntos en una partida. 5. Una compan˜ı´a aseguradora comienza una campan˜a telefo´nica destinada a aumentar el nu´mero de po´lizas de seguros del hogar. Por su experiencia previa en este tipo de campan˜as se sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada suscribe una nueva po´liza. Si en un dı´a llaman a 25 personas: a) ¿Cua´l es la probabilidad de que no consigan ninguna nueva po´liza? b) ¿Cua´l es la probabilidad de que consigan como ma´ximo dos po´lizas nuevas? 6. Segu´n una encuesta, el 40 % de la poblacio´n convive con algu´n animal dome´stico y el resto no tiene ninguna mascota. Elegidas diez personas al azar, se desea saber: a) La probabilidad de que las diez tengan alguna mascota. b) La probabilidad de que ninguna de las diez tenga una mascota. c) La probabilidad de que exactamente la mitad de ellos tenga una mascota. 7. El 15 % de los envases de leche que se venden en un determinado supermercado no tiene etiqueta con el precio por unidad. Si elegimos al azar 6 envases: a) ¿Cua´l es la probabilidad de que ninguno tenga la etiqueta del precio? b) ¿Cua´l es la probabilidad de que al menos la mitad este´n etiquetados? SOLUCIONES 3. a) En cada lanzamiento son posibles dos resultados A «obtener bola negra» o A; el resultado de cada lanzamiento es independiente de los anteriores; la probabilidad de e´xito p(A) es cons- 1 tante. 2 Se trata de una distribucio´n binomial de para´- metros n 10 y p B 10; . 1 1 2 2 p(X 3) · · 0, 1667 3 7 10 1 1 3 2 2 b) p(X 3) p(X 0) p(X 1) p(X 2) 0, 0547 c) n · p 5 bolas negras. 4. a) X «total de puntos». En cada lanzamiento son posibles dos resultados A «obtener seis doble, es decir, un punto» o A; el resultado de cada lanzamiento es independiente de los anteriores; la probabilidad de e´xito p(A) es constante. 1 36 Se trata de una distribucio´n binomial de para´- metros n 5 y p B 5; . 1 1 36 36 p(X 0) · · 0, 86861 0 5 5 1 35 0 36 36 b) p(X 2) 1 p(X 2) 0,0073 5. X «nu´mero de po´lizas nuevas» sigue una distribucio ´n binomial B(25; 0,05). a) p(X 0) 0,2774 b) p(X 2) 0,8729 6. X «nu´mero de personas que tienen una mascota» sigue una distribucio´n binomial B(10; 0,4). a) p(X 10) 0,0001 b) p(X 0) 0,006 c) p(X 5) 0,2007 7. X «nu´mero de envases sin etiqueta» sigue una distribucio´n binomial B(6; 0,15). a) p(X 10) 0,3771 b) p(X 3) 0,9527 1. Una bolsa contiene cuatro bolas numeradas de 0 a 3. En el experimento aleatorio que consiste en extraer dos bolas de la bolsa se definen las variables aleatorias: X: «ma´ximo valor extraı´do». Y: «suma de los valores extraı´dos». Determina las funciones de probabilidad asociadas a estas variables aleatorias y el valor medio esperado si no se devuelve la primera bola a la bolsa. 2. De una urna U con tres bolas numeradas del 1 al 3 se extraen al azar, una tras otra, las tres bolas, anota´ndose el nu´mero de tres cifras que resulta tras las tres extracciones. Se considera la variable aleatoria que mide el nu´mero de puntos fijos de la permutacio´n que se obtiene como resultado del experimento, es decir, el nu´mero de coincidencias con la permutacio´n ordenada 123. a) Expresa la distribucio´n de probabilidad asociada a este modelo. b) Calcula el valor medio esperado de esta distribucio´n. 3. El encargado de un restaurante que solo da cenas previa reserva sabe, por experiencia, que el 15 % de las personas que reservan mesa no acuden despue´s a cenar. Si el restaurante acepta 25 reservas, pero solo dispone de 20 mesas, ¿cua´l es la probabilidad de que pueda atender a todas las personas que realmente vayan a cenar? 4. Dos jugadores de ajedrez de igual nivel de destreza en el juego se enfrentan en un torneo. ¿Que´ es ma´s probable, ganar dos partidas de cuatro o ganar tres de seis? Las tablas no se tienen en cuenta. 5. Un segmento AB de 25 cm de longitud esta´ dividido en dos partes por un punto C en una relacio´n 3:2. Sobre este segmento se marcan al azar cuatro puntos. Halla la probabilidad de que exactamente dos de ellos este´n a la izquierda de C. Se supone que la probabilidad de que un punto caiga en un determinado segmento es proporcional a la longitud de este y no depende de la posicio´n. 6. Tras una serie de observaciones sobre el flujo de tra´fico en un determinado cruce de calles se ha llegado a las siguientes conclusiones: • El 30 % de los coches gira a la derecha en el cruce. • El 20 % de los coches gira a la izquierda en el cruce. Si en este momento hay diez coches detenidos en el sema´foro previo al cruce: a) ¿Cua´l es la probabilidad de que ninguno de ellos gire a la derecha? b) ¿Cua´l es la probabilidad de que a lo sumo tres de ellos giren a la izquierda? c) ¿Cua´l es la probabilidad de que exactamente la mitad de ellos siga de frente? 7. Una partı´cula se desplaza por el eje de abscisas sobre los puntos ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... de la siguiente forma: cada segundo salta una unidad hacia la derecha o hacia la izquierda con probabilidad igual a 0,5 en ambos casos. Si sale del origen en el momento cero: a) ¿Cua´l es la probabilidad de que a los 11 segundos se encuentre en 3?, ¿y en 4? b) ¿Cua´l es la probabilidad de que, al cabo de un minuto, se encuentre de nuevo en el origen? 8. Si X es una variable aleatoria con media y varianza 2. a) Obte´n la media de la variable aleatoria Y (X c)2 en funcio´n de y 2, siendo c una constante. b) ¿Para que´ valor de c alcanza su valor mı´nimo la media de la variable aleatoria Y? 9. Demuestra que si X es una variable aleatoria que sigue una distribucio´n binomial B(n, p), se verifica la siguiente fo´rmula: p(X r 1) · p(X r) (n r) · p (r 1) · (1 p) SOLUCIONES