Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Calcula el valor de los siguientes determinantes de segundo orden: a) 1 3 5 2 b) 1 2 3 4 c) 1 3 6 7 d) 1 2 5 8 2. Aplicando la regla de Sarrus, calcula el valor de los siguientes determinantes de tercer orden: a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c) 1 3 0 5 7 1 2 4 6 d) 1 5 8 3 5 9 10 10 19 3. Halla el valor de x en cada uno de los siguientes determinantes de segundo orden: a) 0 1 3 x 2 b) 2 1 3 4 4 x c) 5 x 3 2x 4 d) 0 2 x 3 5 x 4 4. Halla el valor de x en cada uno de los siguientes determinantes de tercer orden: a) 0 1 0 x 2 5 6 1 1 1 b) 48 x 2x 3x 4 5 6 1 2 3 c) 143 1 x 2x 3 0 5 0 1 0 2 3 5. Desarrolla cada uno de los determinantes siguientes por los elementos de la fila o columna que ma´s ceros posea y, posteriormente, calcula su valor: a) 0 1 6 0 2 0 5 4 3 3 0 4 2 5 1 2 b) 1 2 0 3 4 3 1 2 1 2 0 2 3 2 3 1 6. Calcula la inversa de las siguientes matrices: A 1 3 2 7 B 0 3 1 5 C 1 1 3 2 1 1 2 2 13 D 1 0 3 2 1 1 1 2 1 7. Calcula el rango de las siguientes matrices: A 1 3 2 2 4 0 2 2 2 B 1 3 2 2 4 0 7 1 6 C 1 2 1 2 3 0 1 1 4 2 0 5 D 1 2 3 4 1 0 1 0 3 4 1 8 8. Resuelve la ecuacio´n matricial A · X B C siendo: A 1 2 1 0 2 0 2 1 1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1 0 1 2 2 2 3 0 3 9. Calcula el rango de la matriz A para los diferentes valores del para´metro t : A 1 2 t 2 4 t t 6 9 SOLUCIONES 1. a) 2 15 13 c) 7 18 25 b) 4 6 2 d) 8 10 18 2. a) 45 96 84 (105 48 72) 0 b) 45 96 84 ( 105 48 72) 0 c) 42 0 6 (0 4 90) 58 d) 95 240 450 ( 400 90 285) 330 3. a) 2 3x 0 x 2 3 b) 4 x 12 2 x 10 c) 4x 6x 5 x 1 2 d) 8 4x 15 3x 0 x 7 4. a) 5 2x 5x 6 0 x 1 7 b) 15x 24x 12x 15x 12x 24x 48 x 2 c) 2 2x 30x 45 143 x 3 5. a) ( 1) · 6 · 0 1 6 0 2 5 4 2 0 4 2 0 5 4 3 0 4 3 3 4 3 3 0 4 2 1 2 2 5 2 2 5 1 2 14 48 34 b) 1 2 0 3 4 3 1 2 1 2 0 2 3 2 3 1 ( 1) · 3 · 1 2 3 1 2 3 1 2 2 4 3 2 3 2 1 1 2 2 8 15 23 6. A 1 (adj A)t 1 · 1 7 2 t WAW 3 1 7 3 2 1 B 1 (adjB)t · 5 t 1 1 1 5 1 3WBW 3 3 0 1 0 3 C 1 t · t 1 1 11 28 6 (adjC) 7 19 4 WCW 1 2 5 1 11 7 2 28 19 5 6 4 1 D 1 (adj D)t · t 1 1 3 1 5 6 4 2 WDW 18 3 7 1 1 1 1 6 3 6 1 2 7 18 9 18 5 1 1 18 9 18 7. WAW 28 0 rango A 3 WBW 0 y 10 0 rango B 2 1 3 2 4 WCW 36 0 rango C 3 1 2 2 3 0 1 4 2 5 C1 y C2 son independientes y adema´s: 0 y 0 1 2 3 1 2 4 1 0 1 1 0 0 3 4 1 3 4 8 rango D 2 8. X A 1 · (C B) · 1 1 1 2 0 2 2 1 0 0 2 7 4 2 4 8 6 3 2 1 2 5 3 2 27 1 2 2 13 2 4 2 9. WAW 2t 2 6t 0 t 0 rango A 2 t 3 rango A 2 Para cualquier otro valor de t, el rango de la matriz es 3. 1. Se considera el determinante de tercer orden 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 a) Sustituye la tercera fila por la diferencia entre ella misma y la segunda multiplicada por un cierto nu´mero de manera que el primer elemento de la nueva tercera fila sea nulo. ¿Es este nuevo determinante equivalente al primero? Factoriza todos los elementos que puedas en el determinante hallado. b) De la misma forma, y considerando el nuevo determinante obtenido en el apartado anterior, sustituye la segunda fila por la diferencia entre ella misma y la primera multiplicada por un cierto nu´mero de manera que el primer elemento de la nueva segunda fila sea tambie´n nulo. c) Desarrolla el determinante por los elementos de la primera columna, extrayendo los factores comunes de las columnas que se pueda y factorizando el resultado. d) Aplica lo anterior para obtener el valor de WAW 1 1 1 2 3 4 4 9 16 2. Se considera el determinante de cuarto orden 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a) Aplicando un procedimiento ana´logo al utilizado en la anterior actividad, reduce el valor del determinante propuesto al producto de un nu´mero por el valor de un determinante de tercer orden. ¿Hace falta calcular el valor de este nuevo determinante o lo puedes deducir de la actividad anterior? b) Calcula el valor del determinante para el caso en que a log 2, b log 3, c log 4 y d log 5 3. Calcula el valor del determinante 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 1 8 27 64 125 1 16 81 256 626 4. Sabiendo que 5, calcula el valor del determinante x y z x y y z z x a b c a b b c c a r s t r s s t t r 5. a) Comprueba que los nu´meros 297, 351 y 405 son todos mu´ltiplos de 27. b) Demuestra, sin necesidad de desarrollarlo, que el determinante es mu´ltiplo de 27. 2 9 7 3 5 1 4 0 5 6. Calcula el valor del determinante de orden n: x x x x x y x x x x y x ... ... ... ... x x x y 7. Compara el valor de los siguientes determinantes: WAW y WBW 1 x 2 x 3 yz x x 2 1 y 2 y 3 xz y y 2 1 z 2 z 3 xy z z 2 1. a) 1 1 1 1 1 1 a b c a b c 2 2 2 F3 aF2 2 2 a b c 0 b ab c ac 1 1 1 a b c 0 b (b a ) c (c a ) b) 1 1 1 a b c F aF 0 b (b a ) c (c a ) 2 1 1 1 1 0 b a c a 0 b (b a ) c (c a ) c) 1 1 1 0 b a c a 0 b (b a ) c (c a ) b a c a b (b a ) c (c a ) (b a) · (c a) · 1 1 b c (b a) · (c a) · (c b ) d) WAW (3 2) · (4 2) · (4 3) 2 2. a) Resta´ndole, a cada fila, la anterior multiplicada por a, se obtiene un determinante equivalente: 1 1 1 1 0 b a c a d a 0 b 2 ab c 2 ac d 2 ad 0 b 3 ab 2 c 3 ac 2 d 3 ad 2 (b a ) · (c a ) · (d a ) · (c b ) · · (d b ) · (d c ) b) WAW (log 3 log 2) · (log 4 log 2) · · (log 5 log 2) · (log 4 log 3) · · (log 5 log 3) · (log 5 log 4) log · log 2 · log · log · log · 3 5 4 5 2 2 3 3 · log 0,000057 5 4 3. WAW (2 1) · (3 1) · (4 1) · (5 1) · · (3 2) · (4 2) · (5 2) · (4 3) · (5 3) · · (5 4) 288 4. x y y z z x a b b c c a C C C r s s t t r 1 2 3 2(x y z ) y z z x 2(a b c ) b c c a 2(r s t ) s t t r 2 · x y z y z z x a b c b c c a C C r s t s t t r 2 3 2 · x y z z x a b c c a C C r s t t r 3 1 2 · x y z z a b c c r s t t C C 2 3 2 · 2 · 5 10 x y z a b c r s t 5. a) 27 · 11 297 27 · 13 315 27 · 15 405 b) 2 9 7 2 9 297 3 5 1 3 5 351 C 10C 100C 4 0 5 3 2 1 4 0 405 Como todos los elementos de la u´ltima columna son mu´ltiplos de 27, se puede extraer este nu´- mero como factor comu´n y, por tanto, el valor del determinante es mu´ltiplo de 27. 6. Sumando, a cada fila, la fila 1, se obtiene un determinante equivalente: x · (y x )n 1 x x ... x 0 y x ... 2x 0 0 ... 2x ... ... ... ... 0 0 ... y x 7. WBW yz x x 2 yz x x 2 xyz xz y y 2 xz y y 2 xy z z 2 xyz xy z z 2 WAW xyz x 2 x 3 1 x 2 x 3 1 xyz xyz y 2 y 3 1 y 2 y 3 xyz xyz z 2 z 3 xyz 1 z 2 z 3 El valor de los dos determinantes coincide. 5. Dada una matriz cuadrada A, se denominan valores propios de esa matriz a los numeros x que satisfacen la ecuacio´n WA xI W 0. Halla los valores propios de A 2 2 2 1 0 2 1 1 1 6. Dada la matriz A , discute su inversibilidad en funcio´n del para´metro a y calcula su inversa para 3 a a 1 1 0 3 2 0 a 2. 7. Una compan˜ı ´a ae´rea transporta diamantes en cajas de , y 1 kg. Cierto dı´a transporto´ 60 cajas en total, 1 1 4 2 habiendo 5 ma´s de taman˜o pequen˜o que de mediano . Sabiendo que el precio que cobra esta 1 1 kg kg 4 2 compan˜ı´a por transportar cada kg de diamantes es de 4 000 euros y que el importe de los diamantes transportados asciende a 125 000 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar el nu´mero de cajas de cada tipo envasadas. b) Expresa matricialmente el problema y resuelve su determinante asociado. c) ¿Cua´ntas cajas de cada tipo se envasaron? d) ¿Que´ rango tiene la matriz ampliada?