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DETERMINACIÓN DE BISECTRICES , RADIOS Y ÁREAS EN FIGURAS CON RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI PDF

I) BISECTRICES a) Cálculo de la bisectriz interior (V) Va : bisectriz interior relativa al lado “a” Demostración: Del gráfico deducimos que : SΔABC = SΔABM + SΔAMC ∴ func { V_ a`=`{2bc} over { b+c} Cos left(A over 2 right)} Análogamente * Vb = func{ { 2a.c} over {a+c}Cos left(B over 2 right)} * Vc = func{ { 2a.b} over {a+b}Cos left(C over 2 right)} style="background-color: yellow;">CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

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b) Cálculo de la bisectriz exterior (V’) * V’a : bisectriz exterior relativa al lado a func{ {Vˈ}_ a = {2bc} over {|c - b|}. Sen left(A over 2 right)} Demostración : Sea : c > b, del gráfico deducimos que : SΔABC = SΔABM - SΔACM ⇒ b.c.2Senfunc {left(A over 2 right)}Cosfunc {left(A over 2 right)} =V’aCosfunc {left(A over 2 right)}[c - b] ∴ V’a = func {{ 2bc} over {c - b}Sen left(A over 2 right)} Análogamente: * V’b = func {{ 2ac} over {|a - c|}Sen left(B over 2 right)} * V’c = func {{ 2ab} over {|a - b|}Sen left(C over 2 right)} II. MEDIANA * ma : Mediana relativa al lado “a” func { 4m_a ^2`=`b^2`+`c^2`+`2bcCos(A)} Demostración: Trazando : L1 // AC ∧ L2 //AB ⇒ BACA’ : paralelogramo * Ley de cosenos en el triángulo ABA’ (2ma)2 = b2 + c2 - 2bcCos(B + C) func { 4m_a ^2`=`b^2`+`c^2`-`2bcCos(180° - A)} ∴ func { 4 m_a ^2`=`b^2`+`c^2`+`2bcCos(A)} Análogamente: func { 4 m_b ^2`=`a^2`+`c^2`+`2acCos(B)} func { 4 m_c ^2`=`a^2`+`b^2`+`2abCos(C)} III. ALTURAS * ha : altura relativa al lado “a” func { h_a`=`{b.c} over {2R}} Demostración : Del gráfico : Multiplicando (1) y (2) ⇒func { h_a ^2} = bcSenB.SenC ....... (*) Pero por ley de senos : SenB = func { b over {2R}}; SenC =func { c over {2R}} en (*) ⇒func { h_a ^2} = b.c.func { b over {2R}. c over { 2R}} ∴ func { h_a`=`{b .c} over {2R}} Análogamente * func {h_b``=`{ac} over {2R}} * func {h_c``=`{ab} over {2R}} IV. INRADIO r = (p - a)Tg r = (p - b)Tg r = (p -c)Tg p : Semiperímetro : func { p`=`{a + b+ c} over 2} Demostración: Del gráfico : * 2m + 2n + 2t = 2p ⇒ m = p - (n + t)  ⇒ m = p - a Luego : func { Tg left(A over 2 right) `=`r over m`=`r over { p - a}} ∴ func { r `=`(p - a) Tg left(A over 2 right)} IV. RADIOS DE LAS CIRCUNFERENCIAS EX-INSCRITAS (EX-RADIO) ra : Ex - radio relativo al lado “a” ra = pTgfunc { left(A over 2 right)} Demostración : Del gráfico : * b + m = c + n (por ser tangentes a la circunferencia) * 2p = b + m + c + n  ⇒ 2p = (b + m) + (b + m) ⇒ p = b + m Del gráfico : Tgfunc { left(A over 2 right)} = func { r_a} over { b + m} ⇒ ra = (b + m)Tgfunc { left(A over 2 right)} ∴ func {r_a `` =`` p Tg left(A over 2 right)} Análogamente: * rb = pTgfunc { left(B over 2 right)} * rc = pTgfunc { left(C over 2 right)} Expresiones del inradio y ex-radios en términos del circuncentro y los tres ángulos del triángulo ABC r = 4RSenSenSen ra = 4RSenCosCos rb = 4RCosSenCos rc = 4RCosCosSen * queda para el lector verificar dichas relaciones ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 1. En términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas Se cumple : func { S `=`{d_1 .`d_2} over 2 Senα} Donde : d1 y d2 : Diagonales del cuadrilátero ABCD α : Medida del ángulo formado por las diagonales (S : Área del cuadrilátero ABCD) 2. En términos de sus lados y sus ángulos opuestos Se cumple : func { S`=`{sqrt { (p`-`a)(p `-`b)(p`-`c)(p - d) -`abcd Cos^2 θ}}} Donde : p : Semiperímetro * p =func { a + b+ c+ d} over 2 * θ : Es la semisuma de dos ángulos opuestos ⇒ θ =func { A + C} over 2 ó θ = func { B + D} over 2 Casos particulares a) Para un cuadrilátero inscriptible (θ = 90°) S = func { sqrt { (p`-`a)(p`-`b)(p`-`c) (p`-`d)}} b) Para un cuadrilátero circunscriptible a + c = b + d (teorema de Pitot) S = func { sqrt abcd}.Senθ c) Para un cuadrilátero bicéntrico (inscriptible y circunscriptible a la vez) S = func { sqrt abcd}