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DERIVADAS PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL BASICO PDF

OBJETIVOs : * Adquirir con claridad el concepto de derivada de una función en un punto. * Distinguir entre derivada en un punto x=x0 de una función f(x) y función derivada de f(x). * Calcular rectas tangentes a una curva f(x). * Aprender la técnica de derivación de funciones f(x). * Interpretar aspectos de crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad de funciones a partir de la función derivada y derivada segunda de una función f(x). * Identificar el problema del trazado de la tangente a una curva en un punto . * Identificar la tangente como límite de las secantes. * Determinar la pendiente de la tangente como límite de las pendientes de las secantes. * Obtener geometricamnente la derivada de una función en un punto. * Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto por medio de la derivada. * Determinación de valores máximos y mínimos de funciones f(x) y resolver problemas de optimización INTRODUCCIÓN : El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en las magnitudes que les son propias. Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación. Se necesita estudiar variaciones de la función en intervalos cada vez más pequeños para llegar a entender el concepto de variación instantánea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto Un hallazgo importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto. El concepto de derivada segunda de una función derivada de la derivada de una función también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad aspectos geométricos o de forma de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda. La derivabilidad de una función en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) está asociado al de continuidad. Este aspecto también será tratado en esta unidad. Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc). Conocer la gráfica de una función permite tener un conocimiento muy preciso de su comportamiento . En muchos casos sencillos que hemos visto en temas anteriores, basta el análisis de unos pocos elementos para poder construir su gráfica . En otros casos se requiere de herramientas un poco más poderosas para graficar la función con mayor precisión . Vamos a estudiar algunas de esas herramientas , todas las cuales están basadas de una u otra manera en el concepto de derivada . Comencemos analizando la función . De esta función podemos decir que : * Es continua en * Es impar (la gráfica de f es simétrica con respecto al origen) * Intercepta al eje x una sola vez en (0 ; 0) * La recta y = 0 es una asíntota horizontal a la derecha y a la izquierda, pues * f es positivo si x > 0 y negativa si x < 0 . Con esta información ¿ podemos realmente precisar cómo es la gráfica de f ? A continuación mostramos las gráficas que corresponden a funciones que satisfacen las características mencionadas anteriormente y que , sin embargo , son muy diferentes . Nos quedamos sin conocer aspectos importantes de la gráfica , como la ubicación exacta de los puntos P y Q . Con las herramientas que vamos a estudiar en este tema resolveremos estos problemas . PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE De la geometría analítica , el cálculo tomó la representación gráfica de las funciones en un plano de coordenadas cartesianas . El problema de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva no se pudo resolver con las herramientas que hasta ese entonces tenían las matemáticas . Hoy en día , cualquiera de las ramas del conocimiento , necesita de la investigación científica como fuente fundamental para el análisis de los fenómenos, objeto de su estudio . El método gráfico es de gran ayuda para el buen éxito de dichas investigaciones . *En el gráfico se observa la curva que representa una función y que depende de x . * Para trazar la tangente a la curva en el punto x = xo , inicialmente se dibuja una recta que corte a la curva en el punto x = x1 . La pendiente de dicha recta es : * Si hacemos más pequeño el valor de Dx , la recta secante corta a la curva en el punto correspondiente a x = x2 y la pendiente de dicha recta es * Podemos proceder haciendo más pequeño el incremento Dx y de esta forma ir acercando la secante a la tangente . Si hacemos que entonces la pendiente de la recta secante es igual a la pendiente de la recta tangente . * Como la imagen de x es f(x) la imagen de x+Dx será f(x + Dx) , por lo tanto la pendiente está dada por la expresión : , siempre que exista . *Luego : tg = m a m = tg se le llama ‘‘pendiente’’ de la recta L. * Se observa además que la pendiente de la recta L : es el coeficiente principal . Ejemplo 1 : Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y = 3x2– 1 en el punto x = 3 . Resolución : * Se escribe la expresión que permite calcular la pendiente de la tangente : * Como entonces : * Por lo tanto : * Se desarrolla el cuadrado del binomio y se reducen términos semejantes : *Se reemplaza a Dx por cero y se calcula la expresión: m = 6x + 0 * La pendiente en x = 3 , es m = 6(3) = 18 . Ejemplo 2 : Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = 3x3 , en x = 2 . Resolución : * Se aplica la definición de pendiente de la recta tangente a una curva . * Se desarrolla el cubo del binomio : * Luego se cancela Dx , resultando : m = 9x2 * Reemplazando para x = 2 ; m = 9(2)2 = 36 ecuación de la recta tangente Una recta se caracteriza porque el valor de la pendiente es siempre el mismo, no importa cuales puntos de la recta se utilicen para su cálculo ya que el ángulo de inclinación se mantiene constante . * La recta de la figura pasa por los puntos : * Por lo tanto su pendiente es : * Si tomamos cualquier otro punto por donde pase la recta , se debe cumplir que : * Por lo tanto la ecuación de una recta de la cual conocemos la pendiente y un punto por donde pasa es : Ejemplo 1 : Calcular la ecuación de la recta de pendiente que pasa por el punto P = (–3 ; 5) Resolución : * Se escribe la fórmula de la ecuación : * Se reemplaza la pendiente y el punto conocido : * Al reducir, resulta la ecuación de la recta : Ejemplo 2 : Calcular la ecuación de la recta tangente a : y = x2– x , en x = 8 . Resolución : *Cuando x = 2 y toma el valor : y=(2)2 –2= 2 . Por lo tanto la recta tangente pasa por el punto P=(2 ;2) *La pendiente de la recta se calcula con la expresión: * Se reemplazan f(x) y f(x + Dx) : * Se desarrolla el cuadrado del binomio : * Se reducen términos semejantes : * Se distribuye el denominador : * Se cancelan factores : * Se pasa al límite : mt = 2x – 1 * Cuando x = 2 , la pendiente vale m = 2(2) –1=3 * Por último se halla la ecuación de la recta : Ejemplo 3 : I) Hallar la pendiente de la tangente a la curva xy = 2 , en el punto de abscisa x = a . II) ¿En dónde la pendiente de la tangente es igual a ? III) ¿Qué le ocurre a la recta tangente a la curva en el punto cuando a se aproxima a cero? Resolución : I) Tenemos que : * Luego : II) Esta pendiente será cuando: * Es decir , cuando : a = 4, a = – 4 * Luego la recta tangente a la curva xy = 2 tiene pendiente en los puntos y III) Nótese que la pendiente siempre es negativa . Cuando a se aproxima a cero (ya sea por la izquierda o por la derecha) , la pendiente decrece ilimitadamente (esto es , ) y la recta tangente se hace cada vez más vertical . Ejemplo 4 : Analicemos el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria en línea recta que en los primeros t segundos recorre una distancia de 5t2 metros . ¿A qué velocidad se moverá la partícula cuando hayan transcurrido exactamente 4 segundos? Resolución : * Considerando que x(t) = 5t2 es la posición de la partícula en el instante t y P0 , el punto fijo que tiene abscisa t = 4 . * Eligiendo Q , como un punto variable , con abcisa t = 4 + h * La velocidad media (pendiente de la recta secante) está definida como : * En el lapso que transcurre desde t = 4 hasta t= 4 + h , la velocidad media está dada por: * Reemplazando : * Esta velocidad media vm se aproxima a un valor preciso , cuando Q se aproxima a P0 . (es decir, cuando h se aproxima a cero) * Esto indica que la velocidad media se aproxima al valor límite de la velocidad instantánea v, en cuyo caso : * Es decir, la velocidad en el instante t = 4,es V = 40m/s . *Generalizando , tenemos que siendo, nos queda : , si existe . OBSERVACIÓN : * El cambio en el valor de x , que es x2 – x1 , se denomina variación de x y se denota por : * De manera similar , el cambio en el valor de y , que es y2 – y1 , se denomina variación de y, esto es: * Se denomina tasa de variación promedio (TVM) de una función y = f(x) sobre un intervalo de la variable independiente que va de x a x + Dx a la razón . Es decir : mide la tasa de variación promedio de la función y = f(x) con respecto a x . Geometricamente, la TVM es la pendiente de la secante por P y Q y por tanto la variación instantánea en P será como caso límite la pendiente de la recta tangente en P. * De lo expuesto hasta el momento, podemos concluir que las soluciones de los problemas de la recta tangente y de la tasa de variación instantánea están basados en el cálculo de un límite de la forma: * En muchos otros problemas , estos límites se siguen presentando , por lo que es conveniente darles un nombre . Así diremos que a un límite de la forma anterior se le llama derivada de f(x) en el punto de abscisa x0 . DERIVADAS Se llama derivada de la función y = f(x) en el punto x ; al límite del cociente incremental : * También se puede representar así: Definición : La derivada de una función f es otra (se lee «f prima») cuyo valor en cada punto es , siempre y cuando exista tal límite . Al proceso empleado para encontrar la derivada se le llama derivación (diferenciación) . OTRAS DEFINICIONES EQUIVALENTE DE LA DERIVADA C) Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene a , x = a . Se dice que f es derivable (diferenciable) en el punto x = a, si existe el siguiente límite : * En este caso al valor límite se le denomina derivada de f en el punto (a ; f(a)) y se le denota por : Así tenemos : Notaciones para la derivada A lo largo de la historia se han utilizado diferentes notaciones para la derivada , las cuales en mayor o menor grado y en dependencia de la aplicación de que se trate , se sigue utilizando en la actualidad . Si y = f(x) ,la derivada se puede denotar como : : Newton (fundamentalmente cuando la variable independiente es el tiempo) Se leen : ‘‘ Derivada de f con respecto a x ’’ Ejemplo 1 : Sea f(x) = 4 – 9x , calcula (4) Resolución : * Aplicando la definición : Ejemplo 2 : Calcular la derivada de la función y = 5x2 + 1 en el punto x = 3 Resolución : * Aplicando la definición : * Se aplica límite a la suma de funciones : * Se calcula la derivada en x = 3 : Ejemplo 3 : Si f(x)= 3x2 + 5x + 4 , hallar f ’(x) Resolución : * Si x = 2, obtenemos , lo cual confirma la respuesta en el ejemplo anterior . Obsérvese la ventaja de calcular como función de un x arbitrario, pues así se tiene una expresión que permite calcular la derivada en cualquier número en que ella exista . A tal función se le llama función derivada . Ejemplo 4 : calcular la derivada de la función : y = cosx , aplicando la definición de derivada . Resolución : * Si y = cosx , entonces : *Se tiene al aplicar : cos(x + y)=cosxcosy –senxseny * Se aplican las propiedades de los límites : * Calculando el límite se tiene : * Entonces , Si : interpretación geométrica de la derivada Consideremos el gráfico de la función f representada por la curva y = f(x) , tomemos los puntos A y B, el punto B muy próximo al punto A cuyas coordenadas son (x ; f(x)) como se muestran en la figura : En este caso hemos supuesto un h > 0 . Observemos que B es un punto de la gráfica de f que se desliza a través de ella a medida que variamos h . Si hacemos que h se aproxime a cero , la recta AB inicialmente secante se convierte en tangente . * Observemos que antes de hacer esta aproximación de h a cero , la pendiente de la recta AB era : *y ahora haciendo que , la pendiente de la recta (que ahora es tangente) es : * y es lo que hemos definido como la derivada de f . * En conclusión : f ’(x) representa geométricamente (en caso de existir) a la pendiente de la recta tangente (de la gráfica de f ) en el punto (x ; f(x)), con y donde * Si S = S( t ) es una magnitud física que depende del tiempo t , entonces es la rapidez con que cambia S en el instante ‘‘t’’ . * En particular , sea : Pendiente de la recta secanteL: Pendiente de la recta tangente: La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f , en el punto (a ; f(a)) es la derivada de f, evaluando en ‘‘a’’ . Ecuación de la Recta Tangente En el punto (a ; f(a)) Ecuación de la Recta Normal En el punto (a ; f(a)) * La recta normal a la gráfica de una función f, en el punto (a ; f(a)) es aquella recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto . Ejemplo 1 : Determinar las pendientes de las tangentes de la parábola en el vértice y en el punto de abscisa . Resolución : * Luego : ...... (en el vértice) ........... (en ) Ejemplo 2 : Determine la ecuación de la recta normal y tangente a la gráfica de la función , para x = 2 Resolución : * Calculemos las coordenadas del punto : (2 ; f(2)) = (2 ; 8) . También calculemos la pendiente de la recta tangente en (2 ; 8) en base a la derivada: * Luego : y casos donde existe la recta tangente Y no existe la derivada en ese punto es tangente al gráfico de f en es tangente al gráfico de f en es tangente al gráfico de f . es tangente al gráfico de f . DERIVADAS LATERALES Por definición , sabemos que la derivada es un límite , y como un límite existe si y sólo si los límites laterales existen y son iguales , tendremos las siguientes definiciones de derivadas laterales : A) Derivada por la derecha de f en el punto x0 : si tal límite existe . B) Derivada por la izquierda de f en el punto x0 : si tal límite existe . * Es consecuencia inmediata de la definición de límite que existe si y sólo si las derivadas laterales existen y son iguales . * Por tanto f es diferenciable en x0 . CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA DERIVADA En consecuencia inmediata de la definición de límite, existe si y sólo si las derivadas laterales existan y son iguales , es decir : Teorema : (Derivabilidad – Continuidad) Ejemplo 1 : Sea ; hallar f ’(2), si existe : Resolución : * Como la ruptura del dominio está dada en 2 , debemos aplicar derivadas laterales . Como , entonces no existe . Ejemplo 2: Sea f la función definida por: Determinar : II) ¿Es f derivable en x = 2 ? Resolución : II) Como , entonces no existe . Ejemplo 3 : ¿Es derivable en x0 = 1 , la función ? Resolución : * Luego : *Luego : *Como no es derivable en OBSERVACIÓN : * Desde un punto de vista geométrico , las derivadas laterales representan pendientes de rectas tangentes por cada lado del número analizado . En muchos casos estas tangentes laterales no coinciden y la curva presenta puntos angulosos . Por el contrario , en aquellos puntos de la gráfica donde las derivadas laterales coinciden se dice que la curva es «suave». Cuando una función se define por tramos es muy probable que la gráfica que resulte no sea suave en los puntos de unión de los tramos e incluso la función ahí puede ser discontinua . * Si f no es continua en x0, entonces f no es diferenciable en x0. * Si f es continua en x0, no se puede afirmar que f sea diferenciable en x0. ejemplo : La función es continua en , pero no es diferenciable en , como ya se vio . * Luego f ’(x) existe DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO En muchos problemas se requiere que una función sea derivable , no es uno , sino en todos los puntos de un intervalo . Definamos este concepto con precisión : Definición : Sea f una función se dice que : I) f es derivable en si para cada x en existe II) f es derivable en si f es derivable en y existe III ) f es derivable en si f es derivable en y existe IV ) f es derivable en si f es derivable en y existen y Ejemplo 1 : Sea f una función cuya gráfica se muestra en la figura adjunta , indicar los intervalos en los que f es derivable . Resolución : f es derivable (o diferenciable) en Ejemplo 2 : Sea f la función definida por : ¿Es diferenciable en ? Resolución : * Veamos esto : * Es fácil determinar que : para : x = 0 *Como entonces f no es diferenciable en x = 0 por lo tanto f no es diferenciable en . Obsérvese que no ha sido necesario calcular y Ejemplo 3 : Dada la función : Analizar si es diferenciable en todo Resolución : * Graficando la función tenemos : *Vemos que no es diferenciable en x = 2; entonces no es diferenciable con todo . DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Los conceptos de continuidad y diferenciabilidad están relacionados entre sí . Veremos que si una función es continua en x0, entonces puede ser diferenciable o no en dicho punto . Teoremas : i) Si f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0. ii) Si f no es continua en x0, entonces f no es diferenciable en x0. iii) Si f es continua en x0, entonces no necesariamente es diferenciable en (es decir, si f es continua en x0, entonces puede ser diferenciable o no en dicho punto x0) * Como f no es continua en x0, no existe f ’ en x0 , ya que f no está definida en x0. * g y h son continuas en x0 * Existe la derivada de g en x0 * No existe la derivada de h en x0 Ejemplo 1 : La función f definida por ¿Será diferenciable en x = 0? Resolución : *Como, se tiene que no existe y en consecuencia f no es continua en x=0. Por el teorema (ii) anterior , decimos que f no es diferenciable en x = 0. Ejemplo 2 : Encontrar los valores de a y b para que f ’(1) exista, si: Resolución : *Si f ’(1) existe , entonces f es continua en x=1. *Luego f (1–) = f(1+) de donde 1 = a + b . * Como f(1–) = 2 y f (1+) = a * Se obtiene a = 2 *Resolviendo las ecuaciones a = 2 a + b = 1, se obtiene a = 2 ; b = –1 Ejemplo 3 : ¿La función f definida por es diferenciable en x = 0? Resolución : * Tenemos que : *Ahora: , luego f es continua en x = 0 . * Analizamos la diferenciabilidad en x = 0 : * Como entonces no exite f ’(0) , es decir f no es diferenciable en x = 0 . reGlas de derivación A continuación estudiaremos las reglas necesarias para operar con funciones diferenciales en un cierto intervalo . Para el efecto emplearemos una lista de derivadas de algunas funciones especiales , que permiten deducir otras más complejas . Asimismo aprenderemos a evaluar las derivadas de funciones en puntos x0 de su dominio . teoremas fundamentales Conozcamos los principales teoremas que se utilizan en el marco de la diferenciación de ciertas expresiones . Para esto , sean f , g funciones diferenciables en un intervalo , una constante , entonces : Todas estas reglas pueden demostrarse a partir de la definición de derivada . derivadas de algunas funciones especiales Hasta el momento, el proceso seguido para encontrar la derivada de una función se ha basado en aplicar la definición , lo cual en algunos casos ha resultado demasiado tedioso . A continuación exponemos una serie de reglas , las cuales, junto a las anteriores , nos permitirán calcular con prontitud las derivadas : Derivadas de Funciones Trigonómetricas Inversas 1) f(x) = arcsenx 2) f(x) = arcosx 3) f(x) = arc tangx 4) f(x) = arc ctanx 5)f(x)=arcsecx 6) f(x) = arc cscx Ejempo 1 : Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes: A) f(x) = 4x3 B) f(x)= 4x3 + 3x2 C) f(x) = 3x4–2x3+5x D) f(x)=(x2+2x–3)(x3-x) E) F) f(x) = 3x4 G) f(x) = 3x4 + 2x H) f(x) = 4x3–3x2+x+2 I) f(x)=(x2+3x+1)(x2–9x) J) Resolución : A) f ’(x)=34x2 = 12x2 B) f ’(x)=(4x3)’ + (3x2)’ = 12x2 + 6x C) f ’(x)=(3x4)’ –(2x3)’ + (5x)’ = 12x3 – 6x2 + 5 D) f ’(x)=(x2 +2x –3)’ (x3-– x)+(x2+2x –3) (x3 – x)’ = (2x + 2)(x3 – x) + (x2 + 2x + 3)(3x2 – 1) F) f ’(x) = 34x3 = 12x3 G) f ’(x) = (3x4)’ + (2x)’ = 12x3 + 2 H) f ’(x) = (4x3)’ –(3x2)’ + (x)’ + (2)’ = 12x2– 6x + 1 I) f ’(x)=(x2+3x+1)’(x2 – 9x)+(x2+3x+1)(x2 – 9x)’ = (2x + 3)(x2 –9x) + (x2–3x + 1)(2x – 9) Ejemplo 2 : Hallar la derivada de la función : f(x) = 1/xn ; n Resolución : f(x) = 1/xn = f(x) = x–n f ’ (x) = –nx–n–1f ’(x) = Ejemplo 3 : Si , hallar y’ . Resolución : *Aplicando la regla de la derivada de un cociente : Ejemplo 4 : Sea , hallar f ’ (x) Resolución : * Aplicando la regla de la derivada de un cociente : * Tenemos f(x) = 3(x2 – 5x + 1)–1 FUNCIÓN DERIVADA EVALUADA EN UN PUNTO Con f ’(x) designamos al valor que f ’ le hace corresponder a x . Si x0 Dom f ’, entonces f ’(x0) es un valor numérico que se obtiene al reemplazar x por x0 en la regla de correspondencia de f ’ ; esto quiere decir que la función derivada está evaluada en x0 . La última expresión nos indica que para hallar f’ (x0 ) , primero debemos calcular f ’(x) y a continuación reemplazar x por x0 (donde x0 Dom f ’) . Ejemplo 1 : Dada la función f(x) = x3 + 4, hallar : I) f ’(1) II) f ’(4) III) f ’(x0) Resolución : * La derivada de f(x) = x3 + 4 es : I) Para x = 1, nos queda II) Para x = 4 , III) Para x = x0 , Ejemplo 2 : Calcular la derivada de en el punto x=3. Resolución : * La función y es el cociente de las funciones f = 2x y g = 3x + 1 ; por lo tanto para calcular y’ se aplica la fórmula para hallar la derivada del cociente de dos funciones . Ejemplo 3 : Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = senxcosx , en el punto de abscisa . Resolución : * De : f(x) = senxcosx, tenemos: f ’(x) = (senx)’ cosx + (senx)(cosx)’ *Luego : * Entonces : regla de la cadena Cuando una variable y depende de una variable independiente x en una forma muy complicada, es conveniente considerarla como una función compuesta de dos o más funciones . ejemplo : y = (3x2 + x – 5)4 *entonces podemos considerar : y = m4 donde m = 3x2 + x – 5 Esto a veces se representa esquemáticamente como una ‘‘cadena’’ de variables , lo cual da nombre a la regla que veremos más adelante : y podemos leer , y depende de m ; m depende de x . Estudiaremos la derivada de una composición de funciones , la cual es de gran importancia en la resolución de problemas físicos , químicos , etc . derivación de una función compuesta La derivada de una función compuesta está basada en el siguiente teorema : Teorema : Si u es diferenciable en x , y g es diferenciable en u(x), entonces g o u , es diferenciable en x , luego se tiene : Ejemplo 1 : Supongamos que deseamos encontrar la derivada de la función f definida por f(x) = (5x4 + 7)15. ¿Será necesario elevar el binomio a la potencia 15 , para posteriormente derivar ? Lo anterior no es necesario , para esto existe la regla de la cadena . * Por el teorema: g(u(x)) = (5x4 +7)15 u(x) = 5x4 + 7 luego : g(u) = u15 * Ahora : g’(u) = 15u14 y u’(x) = 20x3 * Observa que para obtener el resultado primero se deriva la función externa (la función potencial) y el resultado se multiplica por la derivada de la función interna (que es 5x4 + 7). Ejemplo 2 : Calcular la derivada de la función: y = (3x – 2)3 Resolución : * La función cúbica es externa y 3x – 2 es la función interna . Ejemplo 3: Calcular la derivada de la función h(x)=(5x – 2)3 Resolución : *La función h(x) es una función compuesta por : f(x) = 5x – 2 y g(x) = x3 *Por lo tanto : Corolario : Suponga que g es una función diferenciable y que . I) Si f(x) = xn, entonces f ’(x) = nxn–1 II) Si f(x) = [g(x)]n, entonces : f ’ (x) = n[g(x)] n–1.g’ (x) Ejemplo 4 : Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes : I) f(x) = (4x2 – 3x + 6)5 III) f(x) = [(x2 + 1)6 + 4]4 Resolución : I) f ’ (x) = 5(4x2 – 3x + 6)4(8x – 3) III) f ’(x) = 4[(x2 + 1)6 + 4]3. 6(x2 + 1)5 . 2x = 48x(x2 + 1)5 [(x2 + 1)6 + 4]3 IV) f ’(x)= (2x+3)–2f ’(x) = – 2(2x + 3)–3 (2) NOTACIÓN DE LEIBNIZ PARA LA RECLA DE LA CADENA Sea y = g(u(x)). Queremos expresar , ahora , el teorema anterior de manera más simple . * Para esto hacemos v = u(x)[v depende de x, entonces * Nos queda : y = g(v) [y depende de v , entonces : * Reemplazando en el teorema anterior : * Nos queda : Ejemplo 1 : Halle la derivada de la función : f(x) = (3x2 + x – 5)4 Resolución : * Sea y = f(x) , luego podemos escribir : y = m4 donde m = 3x2 + x – 5 , como * Entonces : = 4(3x2 + x – 5)3.(6x+1) Ejemplo 2 : Calcular : Resolución : *Sea, debemos calcular * Efectuando el cambio de variable : u = x4 – 3x3 + 2 ............................ (u depende de x) * Nos queda ( y depende de u) * Utilizando la notación de Leibnitz : * Pero : * Reemplazando en (I) : * Es decir : Ejemplo 3 : Hallar : Resolución : * Sea y = (3x2 + 2x – 1)20, debemos calcular * Haciendo el cambio de variable : u = 3x2 + 2x –1 (u depende de x) * Nos queda : y = u20 (y depende de u) * Utilizando la notación de Leibnitz : Teorema : Si f es una función continua e inyectiva , definida en un intervalo , entonces su función inversa f * también es continua . Teorema : Si f es una función inyectiva diferenciable, entonces su función inversa f * es diferenciable : OBSERVACIÓN : Si asumimos que f *es diferenciable , la fórmula obtenida en el teorema anterior se puede deducir a partir del hecho que : En efecto , si derivamos ambos lados , obtenemos que : f ’(f*(y)) . (f*)’(y) = 1 y entonces con f ’(f *(y) )0 Ejemplos : 1) Si , entonces 2) Si y g es diferenciable entonces de y = m1/n donde m = g(x) se sigue que : * Es decir : Ejercicio : Halle la derivada de la función y = [g(x)] m/n asumiendo que g es diferenciable . Resolución : * Es claro que y = m m/n donde m = g(x), luego : * Es decir : DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES De acuerdo a lo estudiado anteriormente tenemos que las funciones logarítmicas y exponenciales son continuas en todo su dominio de definición . Se demuestra que dichas funciones son también diferenciables . Tenemos las siguientes reglas de derivación . I) Si: f(x) = ex, entonces : f ’(x) = ex II) Si: f(x) = eg(x), entonces : f ’(x) = g’(x)eg(x) III) Si : f(x) = Lnx , entonces : f ’(x)= IV) Si : f(x) = Ln[g(x)] , entonces:f ’(x) = V) Si : f(x) = Logbx , entonces : f ’(x) = Logbe VI) Si : f(x) = bx, entonces : f ’(x) = (Ln b).bx Ejemplo 1 : Derivar : Resolución : Ejemplo 2 : Calcular la derivada de : y = Ln x3. Resolución : , luego Ejemplo 3 : Calcular la derivada de Resolución : * Hacemos * Se aplica la fórmula de la derivara de una raíz . Ejemplo 4 : Calcular la derivada de y = cos(Ln x2) Resolución : * La función y= cos(Lnx2) ; es de la forma y=cos u donde u es una función de la forma u = Ln v donde v es una función de x . * Si y = cos(Lnx2) Ejemplo 5 : Calcular f ’(x) , si : f(x) = Ln(senx) Resolución : derivadas de orden superior Si la derivada de la función f definida por f(x)= x5 es una nueva función f ’, definida a su vez por f ’(x)=5x4 ; es fácil concluir que si podemos derivar la función f ’, obtenemos una nueva función f’’, definida por f’’(x) = 5(x4)’ = 5×4x3 = 20x3, a la que llamamos segunda derivada de f , mientras que a la anterior, primera derivada de f . Sabemos que la derivada f ’ es diferenciable, obtenemos otra función (f’)’. Continuamos con este proceso, construimos lo que llamaremos derivadas de orden superior : Si continuamos derivando, obtenemos las funciones f ’’’(x) = f(3)(x) ; f IV(x) = f(4)(x), etc . Cualquiera de las siguientes notaciones se usan para las derivadas de y = f(x). Primera derivada : Segunda derivada : Derivada de orden n : Ten presente (por definición) ¿qué representa ? Sabemos que representa la segunda derivada, es decir, es la “derivada de la primera derivada”; así : , donde el símbolo indica la operación derivar . Ejemplo 1 : Ejemplo 2 : Sea y = x5, hallar : y’’’ Resolución : * Tenemos : y = x 5 y’ = 5x4 y’’ = (5x4)’= 5(x4)’ = 5(4x3) = 20x3 * Ahora : y’’’ =(20x3)’ = 20 (x3)’ = 20 (3x2) = 60x2 Ejemplo 3 : Sea y = senx , hallar : y(5) Resolución : * Tenemos : y= senx y’ = cosx y’’ = (cosx)’= – senx y’’’ = (–senx)’ = –(senx)’ = – cosx y4 = (– cosx)’ = (-cosx)’= – (– senx)= senx y(5) = (senx)’ = cosx derivación implícita En las funciones que hemos estudiado hasta ahora , la variable dependiente se expresa en términos de la independiente , y = f(x) . Los problemas prácticos conducen a ecuaciones en las cuales ‘‘y’’ no está explícitamente despejada , no se expresa a ‘‘y’’ en función de ‘x’’. Por ejemplo , la ecuación de la circunferencia con centro en P = (0 ; 0) y radio 6 , está dada por : y2 + x2 = 36 . Como en esta ecuación , no se ha expresado a ‘‘ y’’ en función de ‘‘x’’ ; y = f(x) , se dice que la variable dependiente ‘‘y’’ está implícita como función de ‘‘x’’. Ejemplo : Dada la ecuación de la circunferencia : y2 + x2 = 4 , encontrar la expresión para calcular la tangente en cualquier punto . Resolución : * Un procedimiento que se puede aplicar consiste en despejar a la variable ‘‘y’’ para expresarla en función de ‘‘x’’ . En este caso se obtendría la ecuación : * De los dos valores de la raíz se escogería uno de ellos para trabajar con la semicircunferencia. Luego se procede a derivar respecto a x . * Otro procedimiento , más práctico , consiste en calcular la derivada implícitamente . Para la ecuación y2 + x2 = 4 , se derivan ambos miembros de la igualdad respecto a la variable independiente x : *Se aplica , derivada de una suma de funciones : * Para derivar el primer término del lado izquierdo de la igualdad se aplica la regla de la cadena ; y en el segundo término , la derivada de la función cuadrática . * La derivada respecto a x del miembro de la derecha es cero , porque 4 es una constante . 2yy’ +2x = 0 * En la ecuación se cancela el 2 y se despeja y’. * Geométricamente , la ecuación y2 + x2 = 4 corresponde a una circunferencia de centro en el punto ( 0 ; 0) y de radio igual a 2 , ilustrada en la figura . * En algunos puntos de la circunferencia , se han dibujado las rectas tangentes . Estas rectas tangentes tiene diferentes pendientes de acuerdo a la ecuación : y – y0 = m(x – x0) * La pendiente de la recta tangente varía de acuerdo con la expresión : DEFINICIÓN : Una ecuación Q(x,y)=0 , define implícitamente una función y = f(x) si , sólo si al sustituir «y» por f(x) en la ecuación , se llega a una identidad . Por suerte, no es necesario despejar ‘‘y’’ de una ecuación en función de x para hallar su derivada ; en su lugar se puede emplear el método de derivación implícita. Dicho método consiste en derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x para después despejar y’ de la ecuación resultante. En los ejemplos de esta sección y de los ejercicios correspondientes, se supone que la ecuación dada determina a ‘‘y’’ en forma implícita como función diferenciable de ‘‘x’’, de modo que se pueda aplicar el método . Ejemplo 1 : Si , hallar Resolución : * Pensamos en ‘‘y’’ como una función de ‘‘x’’ , y derivamos ambos miembros de la ecuación respecto x : * Obtenemos : * Se factoriza y luego se despeja : Ejemplo 2 : I) Si : x2 + y2 = 25 , hallar II) Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 = 25 en el punto (3 ; 4) Resolución : I) En la ecuación x2 + y2 = 25 derivamos con respecto a x , así : II) Para el punto P(3 ; 4) ; la pendiente m de la recta tangente es : y’ en (3 ; 4) igual a . Luego , la ecuación de la recta tangente es : Ejemplo 3 : Calcular la derivada implícita en la ecuación : Resolución : * Dado que ‘‘y’’ depende del valor de ‘‘x’’, entonces se derivan ambos miembros de la igualdad , respecto de la variable x : * Se aplica la regla para derivar la suma de funciones : * Para derivar el primer término del lado izquierdo de la igualdad , se aplica la derivada de una potencia y para el segundo y tercer término , la regla de la cadena : * Se factoriza la derivada de ‘‘y’’ respecto a ‘‘ x’’. * Se despeja DERIVADAS PARAMÉTRICAS Sean f y g , 2 funciones derivables en I. La derivada de C definida por : * en el punto * se define como : Ejemplo : Sea : Calcule Dx y Resolución : Dt y = (coskt) · k Dt x = cost DERIVADAS PARCIALES Sea f una función en dos o más variables . Tenemos una función de tres variables : Se tiene : derivada parcial de f respecto a x . derivada parcial de f respecto a y . derivada parcial de f respecto a z . Para obtener las derivadas parciales de una función respecto a una variable en referencia ; las demás variables se asumen como si fueran constantes . Las derivadas parciales tiene aplicación en matemáticas superiores como , por ejemplo , en la resolución de ecuaciones diferenciales . Ejemplo : Obtener las derivadas parciales de la función : Resolución : APLICACIÓN DE LA DERIVADA I)REgLA DEL HOSPITAL – BERNOULlI Sea en donde la expresión toma la forma para x = a y además f(x) y g(x) son expresiones derivables en “a”. Se deriva separadamente las funciones f(x) y g(x) ; hasta que el límite de la fracción sea determinada . Ejemplo : Calcule : Resolución : * Al evaluar para x = 0 , resulta tenemos la indeterminación . * Aplicando la regla de L ’ Hospital : OBSERVACIÓN : Además las formas : pueden ser transformadas a las formas Ejemplo : Calcular : Resolución : ANÁLISiS DE CRECIMIENTOS Y DECRECIMIENTOS Este acápite está dirigido a reconocer cuándo y dónde una función es creciente o decreciente , siendo esto de vital importancia para efectuar el desarrollo de máximos y mínimos . * Al trazar la gráfica , de izquierda a derecha , observar que la función f crece en un cierto intervalo (la flecha apunta hacia arriba) . FUNCIONES MONÓTONAS * Al trazar la gráfica , de izquierda a derecha , notamos que la función f decrece en un cierto intervalo (la flecha apunta hacia abajo) . Observa que la recta tangente a la curva, en cualquier punto donde f crece , tiene pendiente positiva; mientras que en donde decrece tiene pendiente negativa . Luego decimos : FUNCIONES MONÓTONAS : Sea f : Df una función . Se dice que f es : I) Creciente : si a , y a < b, entonces : II) Estrictamente creciente : Si a , bDf y a < b , entonces: f(a) < f(b) III) Decreciente : Si a , bDf y a < b , entonces : f(a) > f(b) IV) Estrictamente decreciente : Si a , bDf y a < b , entonces : f(a) > f(b) Cuando se dice que una función es monótona se entiende que se trata de una función que es creciente o bien decreciente . Las funciones estrictamente crecientes y las funciones estrictamente decrecientes reciben el nombre genérico de “estrictamente monótonas”. * Más adelante veremos un teorema que permite determinar los intervalos en los que una función es estrictamente creciente y decreciente . Ejemplo : Dado el siguiente gráfico , determinar en qué intervalo crece la función y en cuál decrece : Resolución: * En el gráfico observamos que : y = f(x) decrece si : –6 < x < –3 y = f(x) crece si : –3 < x < 2 y = f(x) decrece si : 2 < x < 5 y = f(x) decrece si : 5 < x < 7 Definición : Sea f una función diferenciable en ]a ; b[ I) Si f ’(x) > 0 ; , entonces f es creciente en ]a ; b[ II) Si f’(x)<0 ; , entonces f es decreciente en ]a ; b[ Ejemplo 1 : Sea f la función definida por f(x) = x2 . Hallar los intervalos en donde f es creciente o decreciente. Resolución : Para responder la pregunta , basta con encontrar la derivada : f ’(x) = 2x . Aplicando la definición anterior , tenemos : * f ’(x) > 0 si 2x > 0 , de donde x > 0 . Entonces f es creciente en ]0 ;[. * f ’ (x) < 0 si 2x < 0, de donde x < 0. Entonces f es creciente en ]– ; 0[ . Ejemplo 2 : Sea f la función definida por : f(x) = x4 – 12x2 + 36 ; Determinar los intervalos en los cuales f es creciente y en los cuales f es decreciente . Resolución : f ’(x) = 4x3 – 24x = 4x(x2 – 6) f ’(x) > 0 en * entonces f es estrictamente creciente en [–2 ; 0] f ’ (x) < 0 en * entonces f es estrictamente decreciente en f ’ (x) > 0 en * entonces f es estrictamente creciente en Ejemplo 3 : Sea f la función definida por : . Hallar los intervalos en donde f es creciente o decreciente . Resolución : * Tenemos que . Ahora : * , si , de donde . * Resolviendo : * Luego f es creciente en : * Por lo tanto decreciente en : MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Gran parte de las aplicaciones de las derivadas a los fenómenos naturales y tecnológicos radica en el cálculo de los puntos donde una función tiene un mínimo o un máximo relativo , lo cual es de gran utilidad , como por ejemplo para saber cuándo el costo de una mercancía es mínimo y cuál es dicho mínimo . * Las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos A , B , C , D , E y F es cero , es decir , las derivadas en dichos puntos es cero . * Obsérvese también que la función f puede tener varíos máximos o mínimos relativos (o locales) , pero un solo máximo o mínimo absoluto (o global) . Pero , sea máximo relativo o absoluto o mínimo relativo o absoluto , las derivadas en dichos puntos son iguales a cero . * Sin embargo (aunque no es muy usual) , si tenemos una función f cuya gráfica como la siguiente , se observa que , en el punto P , f ’ no está definida , pero en P , se da un máximo global de la función f. punto crítico El valor x = c , es un punto crítico de la función y = f(x) si : f ’(c) = 0 ó f ’ (c) no existe * En el primer caso , en el que f ’(c) = 0, la recta tangente al gráfico y = f(x) es horizontal en el punto P0 = (c ; f(c)) . *En el segundo caso, en el que f ’(c) no existe , el gráfico de y = f(x) presenta un pico o un punto anguloso en x = c . OBSERVACIÓN : Los puntos de extremo local de una función sólo pueden ocurrir donde la tangente es horizontal o no hay recta tangente o en los extremos del dominio de la función . Ejemplo 1 : Determinar los puntos críticos de la función : f(x) = x2 – 6x + 7 Resolución : * Derivando la función resulta : f’(x) = 2x – 6 Como f ’(x) existe para todo x , entonces los únicos puntos críticos de f(x) son aquellos en que f ’ (x) se hace cero . f ’ (x) = 0 2x – 6 = 0 x = 3 Ejemplo 2 : Determinar los puntos críticos de la función : f(x) = 2x3 – 6x2 – 18x + 1 Resolución : * Hallamos la derivada de la función : f ’ (x) = 6x2 – 12x – 18 * Igualamos a cero dicha derivada : f ’(x) = 6x2 – 12x – 18 = 0 6(x2 – 2x – 3) = 0 6(x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 ; x = 1 ............. (puntos críticos) OBSERVACIONES : I) Una función puede carecer de puntos críticos. Ejemplo : Sea : f(x) = 3x + 5 f’(x) = 3 f’(x) = 3 = 0 x0 “En ningún lugar del dominio la pendiente de la función se hace cero” II) Una función puede tener infinitos puntos críticos . Ejemplo : Sea: f(x) = sen x f ’ (x) = cos x f ’ (x) = cos x = 0 “En todos los puntos de absisa : la pendiente se hace cero” Ejemplo 3 : Consideremos la función f(x) = x3 ; . La gráfica de f se muestra en la figura adjunta . Es claro que f’(0) = 0 , de lo cual se sigue que 0 es un punto crítico de f . Sin embargo , 0 no es punto de extremo local de f . Comentario : “El punto crítico puede ocurrir para un extremo relativo máximo o un extremo relativo mínimo” * En A: ocurre un valor crítico x0 que determina un extremo máximo relativo . * En B : ocurre un valor crítico x0 que determina un extremo mínimo relativo . Mínimo y máximo relativo El número f(c) es un mínimo relativo de la función f , si existe un intervalo ]a ; b[ que contiene a c, tal que para todo . Si f(x) < f(c). entonces f(c) es un máximo relativo de la función en f . Al menor de todos los mínimos relativos en [a ; b] se le llama mínimo absoluto y al mayor , máximo absoluto . * Si f está difinida en un intervalo I , y si c es un número del dominio , tal que f ’(c) = 0 ó f ’ (c) no existe o c es uno de los extremos del intervalo I (si es que fuese cerrado) ; entonces decimos que c es un punto crítico de la función f . * Del gráfico anterior, podemos deducir que para la existencia de un máximo o mínimo de una función , esta debe ser continua en un intervalo cerrado . Así tenemos el siguiente teorema : Teorema de la existencia Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a ; b] , entonces f tiene un máximo y un mínimo en dicho intervalo . Ahora nos preguntamos : ¿cómo podemos calcular los mínimos y máximos relativos y/o absolutos de una función en un intervalo dado? Para entender esto , basta con dar una chequeada a la gráfica anterior y podemos concluir : “Para encontrar máximos y/o mínimos relativos de una función continua f , es un punto crítico x = c , basta con que la función sea creciente por un lado de ‘‘c’’ y decreciente por el otro (o viceversa)”. Esto trae consigo el siguiente teorema. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Siendo f continua en [a ; b], calcular los puntos críticos c, donde f’(c) = 0 ó f’(c) no existe. A continuación : I) Representa en la recta numérica estos puntos , junto con los extremos ‘‘a’’ y ‘‘b’’ del intervalo cerrado construyendo de esta manera un cierto número de intervalos . II) Determina el signo de f ’(x) en cada uno de los intervalos construidos . III) Si al ir de izquierda a derecha de x = c . i) f ’ (x) pasa de + a –, entonces f(x) tiene un máximo en x = c, el cual es f(c). ii) f ’(x) pasa de – a +, entones f(x) tiene un mínimo en x = c, el cual es f(c). iii) f ’(x) no cambia de signo , entonces f(x) no tiene máximo ni mínimo en x = c . * Para un mejor entendimiento del teorema anterior, veamos los siguientes gráficos de funciones . Ejemplo 1 : Determinar todos los extremos locales y puntos de extremos local de la función : Resolución : * Puntos críticos : f ’(x) = 0 ; x = 0 ; (como f ’(x) es un polinomio, entonces f ’(x) siempre existe) * Extremos de Df : x = –2, x = 3. * Por el criterio de la primera derivada tenemos que : –2 es un punto de mínimo local f(–2) = 4 es máximo local . O es un punto de máximo local f(0) = 36 es máximo local . es un punto de mínimo local f = 0 es un mínimo local . 3 es un punto de máximo local f(3) = 9 es un máximo local . Ejemplo 2 : Hallar los extremos relativos de la función : y = f(x) = x3 – 6x2 + 2 y esboza su gráfico . Resolución : * Hallamos los puntos críticos : f’(x) = 3x2 – 12x, f’(x) = 0 si x = 0 y x = 4 * Los puntos críticos de f son x = 0 ; x = 4 * Construimos la siguiente tabla para establecer el comportamiento de la función : * La función tiene un valor mínimo local de x =4 y ese valor es f(4) = –30 , y tiene un valor máximo local de x = 0 y ese valor es f(0) = 2. *El siguiente gráfico corresponde a f(x)= x3–6x2+2 Ejemplo 3 : Determinar los extremos relativos de la función f(x) = x3 – 6x2 + 12x – 6 y esboza su gráfico . Resolución : f ’(x) = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 f ’(x) = 0 sólo si x = 2 x = 2 es punto crítico de f . * Nota que para cualquier valor de x2 se tiene: f’(x) = 3(x – 2)2 > 0 * Por consiguiente , x = 2 no corresponde a un extremo relativo de f . * El esbozo del gráfico será : CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN Hemos visto que es útil conocer la primera derivada de una función para determinar los intervalos en los que ella es creciente o decreciente . Sin embargo, esta información no es suficiente para conocer bien el comportamiento de una función . Por ejemplo , suponga que f : [a ; b] es una función creciente en [a ; b]. Las figuras adjuntas muestran las gráficas de funciones que satisfacen la condición anterior . Es claro que ambas gráficas son distintas pues se doblan en diferentes sentidos. ¿Cómo distinguir entre estos dos tipos de comportamiento? Tomemos x en cualquiera , y sea L la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (x ; f(x)) . En el primer caso , L está debajo de la gráfica de la función , mientras que en el segundo L está arriba de la gráfica . Esta diferencia es la que genera el concepto de concavidad que definimos a continuación . Una curva será “cóncava hacia arriba” en cualquier intervalo de crecimiento de la pendiente y “cóncava hacia abajo”en cualquier intervalo de decrecimiento. * Sea I un intervalo abierto. Se dice que f es cóncava hacia arriba en I, si y sólo si f es cóncava hacia arriba en cada x de I . * Se dice que f es cóncava hacia abajo en I si y sólo si f es cóncava hacia abajo en cada x de I. Teorema : Sea f una función diferenciable en un intervalo que contiene a x0 tal que f ’’(x0) existe : I) Si f”(x0) > 0 , entonces f es cóncava hacia arriba en x0 . II) Si f ’’(x0) < 0 , entonces f es cóncava hacia abajo en x0 . Ejemplo : Corolario : Sea f una función diferencial en un intervalo abierto I . a) Si f ’’(x) > 0, , entonces f es cóncava hacia arriba en I . b) Si f ’’(x) < 0 , , entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo : Determinar los intervalos donde la función f(x)= x4–12x2+36 es cóncava hacia arriba o abajo. Resolución : f(x) = x4 – 12x2 + 36 f’(x) = 4x3 – 24x f’ ’(x) = 12x2 – 24 = 12 * f es cóncava hacia arriba en o en * f es cóncava hacia abajo en * Véase que la concavidad cambia en los puntos y . Estos puntos son muy especiales en la gráfica de una función . PUNTOS DE INFLEXIÓN Aquellos puntos de la gráfica de una función , en los que la concavidad se invierte , son llamados puntos de inflexión . A estos tipos de puntos (A y B) se les denomina puntos de inflexión . Como los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cambia de sentido , debe suceder que en ellos f ’’ cambia de signo . Así, para localizar posibles puntos de inflexión necesitamos sólo determinar los x en que f ’’(x) = 0 o en el que f ’’ no está definida . Esto es análogo al procedimiento de localización de extremos relativos de f . OBSERVACIÓN Si (c ; f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces es f ’’(c) = 0 o f ’’(x) no está definida para x = c . Definición : Sea f una función y sea cDf si : * f es continua en c . *La concavidad tiene diferente sentido a cada lado de c . OBSERVACIÓN : Si f ’’(x) es una función continua , entonces ella cambia de signo al pasar por c si f’’(c) = 0 . Si embargo , si f ’’(x) es discontinua en c , entonces en dicho punto también podría haber un punto de inflexión . Ejemplo : Los puntos A , B , C y D son puntos de inflexión de la gráfica de f . PROCEDIMIENTO PARA HALLAR PUNTOS DE INFLEXIÓN : I) Determinar los puntos donde f ’’(x) es cero o no existe. II) Para cada uno de estos puntos críticos c : Si f es continua en c . Si f’’(x) cambia de signo en c entonces (c ; f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f . Ejemplo 1 : Para la función f(x) = x4 – 12x2 + 36, se tiene que : f ’’(x) = 0 para . * Es claro que en y en cambia la concavidad de f . Por lo tanto , los puntos de inflexión de la gráfica de f son y . OBSERVACIÓN : Si f ’’(c) = 0 entonces no necesariamente se cumple que (c ; f(c))sea un punto de inflexión de la gráfica de f. Ejemplo 1 : Consideremos la función f(x) = x4 f ’(x) = 4x3 y f ’’(x) = 12x2 *Es claro que f ’’(0) = 0 y sin embargo la concavidad no cambia de un lado al otro en 0 . criterio de la segunda derivada Otra aplicación de la segunda derivada es para determinar los valores máximos y mínimos locales de una función . Teorema (criterio de la segunda derivada) : Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0 I) Si f ’’(c) > 0, entonces c es un punto de mínimo local . II) Si f ’’(c) < 0, entonces c es un punto de máximo local . III) Si: f’’(c) = 0, el criterio no brinda información. observación : El criterio de la segunda derivada sólo es aplicable para puntos críticos con tangente horizontal. * Si f ’(c) no existe siendo f continua en c , entonces f ’’(c) tampoco existe . * Si f(c) = 0 y f ’’(c) = 0 no puede afirmarse nada acerca de c . Ejemplo 1 : Encontrar los puntos críticos de la función y determinar máximos y mínimos . Resolución : * Se calcula la primera derivada : f ’(x) = x2 – x – 6 * Se hace f ’(x) = 0 x2 – x – 6 = 0 (x + 2)(x – 3) = 0 *Los puntos críticos de esta función son: x=–2 y x = 3 * Ahora determinamos los máximos y mínimos, calculando f ’’(x) en los puntos críticos : f ’’(x) = 2x – 1; f ’’(–2) = 2(–2) – 1 = –5 < 0 O sea que f es cóncava hacia abajo en x = –2 , y éste es un máximo de la función . f ’’(3) = 2(3)– 1 = 5 > 0 , f es cóncava hacia arriba en x = 3 , por lo tanto es un máximo de la función. Ejemplo 2 : Sea f la función dada por f(x) = x4 – 12x2 + 36 , f ’(x) = 4x3 – 24x = 4x(x2 – 6) f ’’(x) = 12x2 – 24 * Los puntos críticos f son y 0 , todos con recta tangente horizontal . * Luego : * entonces es un punto de mínimo local . f ’’(0) = –24 < 0 * entonces f(0) es un punto de máximo local . * entonces es un punto de mínimo local . gráfica de una función A partir de los conceptos y procedimientos que hoy hemos estudiado , tenemos a nuestra disposición , sólidas herramientas para hacer un análisis más completo de la gráfica de una función . Ejemplo : Sea : Determinar las asíntotas, puntos de inflexión , extremos relativos , intervalos de concavidad e intervalos donde la función es estrictamente creciente y decreciente , y su gráfica . Resolución : * Domf = *Asíntota Vertical:cuando * Asíntota Horizontal: No existe. * Asíntota Oblicua: y = –x , cuando * Cálculo de f ’(x) y f ’’(x): * Extremos Relativos : , hay mínimo : , hay mínimo : * Posibles Puntos de Inflexión : f ’’ (x) = 0 x = 0 , 1 * Crecimiento y Decrecimiento : con f ’(x) Para .............(decrece) Si .............(crece) Para ............... (decrece) * Concavidad : con f ’’ (x) Si x < –1 f ’’(x) > 0 (Cóncava hacia arriba) En x = –1 la función no está definida . –1 < x < 0 f ’’(x) < 0 (Cóncava hacia abajo) En x = 0 hay P.I. f(0) = 0 . 0 < x < 1 f ’’(x) > 0 (Cóncava hacia arriba) En x = 1 la función no está definida. Si x > 1 f ’’(x) < 0 (Cóncava hacia abajo) * Gráfico : Técnicas de Graficación Para un trazado de la gráfica de unja función, lo más preciso posible, se recomienda seguir los siguientes pasos: 1) Determinar el dominio de la función y posibles puntos de discontinuidad. 2) Determinar los puntos críticos de primera especie. Esto es, los puntos en que la primera derivada es cero o no existe. 3) Determinar el signo que tiene la primera derivada en cada uno de los intervalos en que los puntos críticos de primera especie dividen al dominio. 4) De acuerdo a lo hallado en el paso 3, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 5) A cada punto crítico de primera especie aplicar el criterio de la primera derivada o el criterio de la segunda derivada, para determinar si en tales puntos críticos existe o no existe un extremo relativo. 6) Hallar los puntos críticos de segunda especie. Esto es, los puntos en que la segunda derivada es cero o no existe. 7) Determinar el signo que tiene la segunda derivada en cada uno de los intervalos en que los puntos críticos de segunda especie dividen al dominio. 8) De acuerdo a lo hallado en el paso 7, determinar los intervalos en que la gráfica es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. 9) En cada punto crítico de segunda especie verificar si cambia o no cambia la dirección de la concavidad y así, determinar si existe o no existe un punto de inflexión en tales puntos. 10) Para mayor precisión hallar, en cada punto de inflexión, la pendiente de la recta tangente con la finalidad de dibujar la dirección de la curva en dicho punto. Puede omitirse este paso. 11) Hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si existen. 12) Hallar los puntos en que la gráfica intersecta al eje Y y, si es posible, al eje X. 13) Dibujar una curva que verifique los resultados obtenidos en los pasos anteriores. Es recomendable expresar en tablas los resultados que se van obteniendo, tal como veremos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 : Sea la función. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento; los extremos relativos, si existe; los intervalos de concavidad; los puntos de inflexión, si existe. Luego, trace la gráfica de f. RESOLUCIÖN: El dominio de f es . Derivada se tiene: Puntos críticos son solo donde f '(x)=0. Osea, x=1 y x=5. Estos puntos dividen al dominio en los intervalos . El signo de f’(x) en cada uno de estos intervalos es como muestra la De esta figura se deduce que f es creciente en los intervalos ; es decreciente en el intervalo . Por el criterio de la primera derivada encontramos que f tiene un valor máximo relativo en x=1 y un mínimo relativo en x=5. La Siguiente Tabla muestra los resultados obtenidos. Derivando nuevamente, se tiene: de donde vemos que existe punto crítico de segunda especie solo si . Es decir, cuando x=3. Este punto divide al dominio en los intervalos . El signo de en estos intervalos se muestran en la siguiente figura . De esta figura y por el criterio de concavidad se deduce que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo y cóncava hacia arriba en el intervalo . Así, existe punto de inflexión en x=3. La siguiente tabla muestra estos resultados. Otro dato adicional es que como f es una función polinomial, su gráfica no tiene asíntotas. Además, la gráfica cruza al eje Y en el (0;5). Omitimos la intersección con el eje X pues encontraríamos que la ecuación f(x)=0 no son racionales. Con estos datos adicionales y la información que muestran las Tablas encontramos que la gráfica de f es : Ejemplo 2 : Trazar la gráfica de la función f(x)=–x4+8x2–10. resolución: El dominio de f es . Derivando se obtiene: f ’(x) =–4x(x + 2)(x–2) de donde encontramos que los puntos críticos de primera especie son: –2 ; 0 y 2. Los signos de f ’(x), en cada una de las regiones en que estos puntos críticos dividen al dominio, son mostrados en la Figura. De la Figura y por el criterio de la primera derivada se obtienen los datos que muestran la Tabla. Derivando nuevamente, se tiene: de donde encontramos que los puntos críticos de segunda especie son:yy los signos de f’’(x) son como muestran la Figura. De esta figura y por el criterio de concavidad se obtienen los datos que muestran la Tabla. Adicionalmente encontramos que la gráfica no tiene asíntotas. Dicha gráfica intersecta al eje Y en el punto (0;–10). Omitimos las intersecciones con el eje X. De todo lo hallado encontramos que la gráfica de f es como muestra la Figura. LOS TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO En muchas ocasiones , es importante determinar la ubicación precisa de los puntos de máximo y de mínimo local . Ya sabemos que estos puntos están entre los puntos críticos de la función , pero nos falta saber los siguientes : * Dado un punto crítico ¿Es o no punto de extremo local? * Si un punto crítico es un punto de extremo local ¿es de máximo o de mínimo local? TEOREMA DE ROLLE Si f : [a ; b] es una función tal que: * Es continua en [a ; b] * Es diferenciable en * f(a) = f(b) entonces existe al menos un número c en tal que f ’(c) = 0 NOTA : Las condiciones de la continuidad de f en y de [a; b] su diferenciabilidad en son indispensables, pues si no se cumpliera alguna de ellas no se podría garantizar la conclusión del teorema de Rolle . * El teorema de Rolle se puede interpretar geometricamente de la manera siguiente : Bajo las condiciones del teorema de Rolle , existe un punto (c ; f(c)) de la gráfica de f(a < c < b) tal que la recta tangente en ese punto es horizontal. * El teorema de Rolle garantiza la existencia de por lo menos un c en tal que f ’(c) = 0; pero no dice cuántos ‘‘c’’ con esa característica existen. El teorema siguiente , conocido como el teorema del valor medio , se puede considerar como una generalización del teorema de Rolle ; pues éste puede verse como un caso particular en el que f(a) y f(b) son iguales . TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f : [a ; b] es una función tal que : * Es continua en [a ; b] * Es diferenciable en entonces existe al menos un ‘‘c’’ en tal que : * Geometricamente : TEOREMA DEL CERO Sea la función f continua en el intervalo se cumple que si : f(a) f(b) < 0 tal que f(x0) = 0 * Graficamente : Ejemplo 1 : Calcule el valor c que satisfaga el teorema del valor medio para los valores de a y b indicados . Resolución : * El c buscado debe satisfacer : * Pero : * entonces: Ejemplo 2 : Estimar una raíz de la función: f(x) = x7 + x – 1 , en forma aproximada . Resolución : * Se deduce que : f(0) = –1 ; f(1) = 1 * Luego por el teorema del cero ; como : f(0). f(1)<0 , entonces existe una raíz en . TEOREMA DE LA RAÍZ MÚLTIPLE Si es una raíz de multiplicidad k de la función f(x) se cumple : * Donde : es la derivada de orden (k–1) de f(x) . Ejemplo : Sea P(x) = x4 + ax3 + bx + c Calcule : a – b + 3c, si “1” es una raíz P(x) de multiplicidad tres . Resolución : * P(x) = x4 + ax3 + bx + c x = 1 P(1) = 1 + a + b + c = 0 ................... (I) * P ’ (x) = 4x3 + 3ax2 + b x = 1 P’(1) = 4 + 3a + b = 0 ................... (II) * P ’’(x) = 12x2 + 6ax x = 1 P’’(1) = 12 + 6a = 0 ....................... (III) * De (III) : a = –2 * Reemplazando en (II): b = 2 * Reemplazando en (III): c = –1 * Se pide : – 2 – 2 + 3(–1) = – 7 suma de las potencias de las raíces Se tiene la función polinomial f(x) y f ’(x) su derivada al efectuar la división , por Horner se tiene : donde : donde x1 ; x2 ; x3 ;..... , xn; son raíces de f(x) que es de grado n . Ejemplo : Sean : a ; b ; c y d raíces de : x4 + x2 + 1 = 0 Calcular : a3 + b3 + c3 + d3 Resolución : * Sea : * Dividiendo , por Horner : * Entonces : a3 + b3 + c3 + d3 = 2 DIFERENCIALES En la figura está representada la gráfica de una función f y , debajo de ella , la gráfica de la recta tangente en el punto (x ; f(x)). Como se observa en la figura , para h pequeño , se puede aproximar f(x + h) – f(x)htan, pero tan= f ’(x), entonces f(x + h) – f(x)hf ’(x) * La diferencia f(x + h) – f(x) recibe el nombre de incremento de f desde x a x + h, y se denota . * El producto f ’(x)h se denomina diferencial en x con incremento h , y se denota df . *Usualmente , a h se le denota por , entonces : * La figura nos dice que para h pequeño, y df son aproximadamente iguales . * Del gráfico anterior , cuanto más cercano esté el punto Q del punto P , la diferencia entre y dy será menor o tiende a cero , es decir : Entonces : f(x +) – f(x) – f ’(x)= 0 *Por lo tanto : Esta relación es la llamada propiedad de aproximación del valor de una función por diferenciales . Ejemplo 1 : Determinar el valor aproximado de Resolución : * Sea : , entonces : * Como : * Luego : * Haciendo : x = 144 y, tenemos : Ejemplo 2 : Determinar el valor aproximado de sen32° Resolución : * Si : * Además : * Haciendo: * Entonces : razón de cambio Recuerda que anteriormente definimos la derivada como una razón de cambio . En este sentido , las derivadas pueden representar cantidades , como la razón a la cual crece o decrece una determinada población , el costo de producir un objeto , la tasa de inflación , la velocidad de un objeto en movimiento, etcétera. El objetivo de este tema es mostrar la relación entre derivadas y razón de cambio a partir de situaciones prácticas . Dada la función y = f(x), recuerda que para x = x0. * razón de cambio promedio * razón de cambio instantánea = f ’ (x0) Ejemplo 1 : Supón que estamos interesados en determinar la velocidad de desplazamiento del ferrocarril central que une a las ciudades de Lima , Huancayo y Huancavelica . ¿Cómo calculamos la velocidad promedio del ferrocarril? ¿A qué velocidad se desplaza el ferrocarril a las cuatro horas de viaje? Especialistas de la empresa administradora de este servicio de transporte han estimado que la distancia recorrida después de t horas de viaje es : donde . Resolución : * Para cualquier móvil , se sabe que : velocidad promedio Razón de cambio instantánea de la distancia recorrida por un móvil . Luego, la velocidad del ferrocarril en el instante t = 4 será igual a d’(4) . Así , primero calculamos d ’ (t) = 8t + 10 y enseguida : d ’ (4) = 8(4) + 10 = 42 km/h nota : * Si y = f(t) es una función de posición de un objeto que se mueve en línea recta, entonces la función de velocidad en el tiempo t es : V(t)= f ’(t). * Además , se puede hallar la razón de cambio de la velocidad , que es la función de aceleración en el tiempo t . Es decir : a(t) = Dt [V(t)] = Dt [f ’(t)] = f ’’(t) Función de aceleración , medida en (m/s2),(km/h2), etc. f ’’(t) es la segunda derivada . Ejemplo 2: Una ciudad tiene la forma de un rectángulo de lados x(x + 3) kilómetros . A causa de la expansión urbana , x está creciendo a razón de km/año. Hallar la razón de cambio (instantáneo) del área urbana cuando está ocupada 108 km2. Resolución : * Las variables que intervienen son el área , los lados que dependen de ‘‘x’’ y el tiempo ‘‘ t ‘’. A continuación relacionamos las variables , así: El área urbana A es función de x . A(x) = x(x + 3) = x2 + 3x .......................... (I) * Por dato, nos dicen que x está creciendo a razón de km/año , lo cual simbolizamos por, nos queda ................................................... (II) * Nos piden la razón de cambio (instantáneo) del área urbana A . Esta es cuando A = 108 . * Relacionando A con t , de (I) tenemos : * Luego : ..................... (III) * Para encontrar , a partir de (III) necesitamos conocer el valor de x (ya que se conoce ) . * Pero nos piden cuando A = 108 . Luego: A = x(x + 3) = 108 , de donde x = 9. * Luego en (III) : Ejemplo 3 : Una masa m cae verticalmente por acción de la gravedad , partiendo del reposo . Asuma que la resistencia del aire es depreciable . Hallar la tasa de cambio de la velocidad en el instante t . Resolución : *En el instante inicial (t=0)parte del reposo(v= 0) * En el instante t , después de iniciado el movimiento , la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso mg . *Por la segunda ley de Newton , asumiendo como positiva la dirección del movimiento hacia abajo ; nos queda : ma = mg, de donde luego * Entonces, la tasa de cambio de velocidad respecto al tiempo (aceleración) es la gravedad. A partir de aquí , nota que la velocidad es : v = gt+c , donde c es una constante ; como la masa cae a partir del reposo, tenemos para t=0, v= 0 . Luego reemplazando en la ecuación encontrada tenemos que c = 0 . * Finalmente , encontramos que la velocidad está dada por v = gt . Graficación de Curvas Parametrizadas Para curvas de ecuaciones de la forma y = f(x) puede considerarse que x es el parámetro. Al analizar los signos tanto de f’(x) como de f’’(x), siempre se considera que x aumenta. Así, cuando se afirma que f es creciente en el intervalo [a; b], significa que los valores de f(x) aumentan (crecen) a medida que los valores de x van aumentando a partir de a hasta b. Por lo contrario, los valores de f(x) irán disminuyendo si x disminuye desde b hasta a. Cuando la curva está definida por medio de ecuaciones paramétricas, puede ocurrir que cuando t aumente, x aumente o disminuya. Esta doble posibilidad hace que la aplicación del criterio de la primera derivada, a partir del signo de dy/dx, se haga confusa en algunos casos. En lugar de hacer el análisis a partir del signo de dy/dx es más conveniente hacerlo a partir de los signos de dx/dt y dy/dt. La concavidad de la curva se determina de la misma forma que para las curvas definidas por ecuaciones de la forma y=f(x); es decir, a partir del signo de d2y/dx2. Sabemos que para curvas parametrizadas en que x(t) e y(t) son funciones diferenciables, se verifica : Expresión que nos permite calcular dy/dx en términos del parámetro t. Si ahora hacemos: Por la regla de la cadena, se tiene: Si , entonces dividiendo entre dx/dt, se obtiene: Expresión que permite hallar d2y / dx2 en términos del parámetro t y para los t en que y’ sea diferenciable. Ejemplo : Trace la gráfica de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: resolución: Derivando cada una de las ecuaciones paramétricas se obtienen: y luego reemplazando estas derivadas en la ecuación , se obtiene: Vemos que dy/dx=0 si t=–1 ó t=1. Vemos también que dy/dx no existe (es infinito) en t= –1/2. Así, los puntos críticos son: –1,–1/2 y 1. Estos puntos dividen al dominio en 4 intervalos. Por el método de los puntos críticos se determinan los signos que tienen dx/dt y dy/dt en cada uno de estos intervalos, tal como se muestra en la Tabla. En la tabla se concluye que en el punto (2;5) y tiene un máximo debido a que al aumentar t desde – hasta –1, x decrece e y crece. Esto significa que los puntos de la gráfica se van generando hacia la izquierda y hacia arriba, hasta el punto (2;5). Luego, si cuando t aumenta de –1 a –1/2, x sigue decreciendo pero y decrece, significa que del punto (2;5), los puntos se van generando hacia la izquierda pero hacia abajo. Así, en el punto (2;5), y tiene un máximo relativo. Análices semejantes se hacen alrededor de los otros puntos críticos, determinando las conclusiones de la Tabla. Derivando la ecuación (I), se obtiene: y luego reemplazando valores en la ecuación, se obtiene: Como t2 + t + 1 > 0 para todo t, entonces el único punto crítico es t = – 1/2. Además, d2y/dx2 < 0 para t< –1/2, y d2y/dx2 > 0 para t > – 1/2. Por lo tanto, la gráfica es cóncava hacia abajo para t < –1/2 y cóncava hacia arriba para t > – 1/2. La Figura muestra la gráfica de la curva. Nótese que para t= –1 y t = 1, la recta tangente es horizontal, y para t = – 1/2, la tangente es vertical. Nótese también que la curva pasa por un mismo punto dos veces. A tal punto se le denomina punto doble . Para hallar dicho punto doble se resuelve el sistema: cuya solución es t1= – 2 y t2=1 que determinan, casualmente, el punto (6;1) en donde y tiene su valor mínimo. Problemas de Modelación y Optimización En esta sección aplicaremos, los procedimientos descritos para hallar los valores extremos de las funciones, a la solución de problemas ya sean geométricos o físicos o de aplicación a las ciéncias, ingeniería o la administración. Las empresas están interesadas en maximizar sus ganancias y a su vez, minimizar sus costos. Así, es frecuente observar en el mercado que las latas que contienen, por ejemplo 100cm3 de un determinado producto, todas, independiente de la marca, tienen iguales dimensiones. Esto no és una casualidad, sino que obedece a que existen dimensiones que determinando un volumen de 100cm3, minimizan la cantidad de metal a usar en la manufactura de la lata. Generalmente en el proceso de solución de un problema de aplicación, no se tiene inicialmente ecuaciones matemáticas que debamos resolver. Más bién, previamente debemos realizar una formulación matemática del problema que nos permita hallar dichas ecuaciones. En los siguientes problemas de aplicación de máximos y mínimos, describiremos los procedimientos más usuales en la formulación matemática y posterior solución de las aplicaciones más frecuentes. Ejemplo: Se dispone de una lámina cuadrada de cartón de 60cm de lado y con ella se quiere construir una caja abierta por arriba, cortando un cuadrado de cada esquina y doblando los bordes. Encontrar las dimensiones que debe tener la caja de modo que tenga un volumen máximo. ¿Cuál es este volumen máximo? Resolución: Sea x cm la longitud del lado del cuadrado a recortar. La Figura muestra la lámina con los cuadrados recortados de cada esquina. Luego de doblar como se indica se obtiene la caja rectangular que muestra la Figura. La figura muestra también las dimensiones de la caja. El volumen de la caja será: Obtenemos una caja solo si x es un valor del intervalo (0;30). Sin embargo, puede considerarse que si x=0, la altura de la caja es 0, y que cuando x=30, el lado del cuadrado de la base es 0. Podemos considerar que el volumen de la caja es función de x tal que: siendo V(x) una función continua en el intervalo cerrado [0;30]. Por lo tanto, la solución del problema se reduce a calcular el valor máximo absoluto de una función en un intervalo cerrado en donde es continua. Bastará determinar los puntos críticos de V en el intervalo [0;30] y luego, evaluar V en dichos puntos críticos y en los extremos 0 y 30. El mayor valor que se obtenga nos dará la solución que buscamos. Así, derivando: Si V’(x)= 0, entonces x=100 ó x=30. Así, los puntos críticos son 10 y 30. Ambos números están en el intervalo [0;30]. Evaluando V en los puntos críticos y en los extremos del intervalo, se tiene: V(10) = 16000 , V(0) = 0 , V(30) = 0. De los tres valores el mayor es V(10)=16000. Por lo tanto, la longitud del cuadrado a recortar para obtener el volumen máximo es x=10. Con este valor encontramos que el lado de la base medirá 40cm y su altura será de 10cm. Así, el volumen máximo que puede tener la caja será de 16000 cm3. observación : Muchos problemas de aplicación de máximos y mínimos presentan una formulación matemática parecida al del Ejemplo anterior , por lo que para sus soluciones puede seguirse un procedimiento semejante. Se recomienda seguir los siguientes pasos: 1) Si es posible y necesario, hacer un dibujo ilustrativo. 2) Identificar cuáles son las variables y encontrar relaciones entre ellas. 3) Reducir el número de variables hasta encontrar una función de una sola variable que debe ser maximizada o minimizada. 4) Hallar el dominio de la función; es decir, el conjunto de valores de la variable para los cuales se obtiene un valor posible. 5) Encontrar los valores máximos y mínimos de la función en el dominio hallado. Ejemplo : Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 50 y 100cm respectivamente, en los siguientes casos: I) Si dos de sus lados están sobre los catetos y un vértice en la hipotenusa. II) Si dos vértices están sobre la hipotenusa y los otros dós vértices uno en cada cateto. resolución: I) La Figura (m) ilustra este caso. Sean x cm e y cm las longitudes de los lados del rectángulo. Por semejanza entre los triángulos ADE y ABC, se obtiene la siguiente relación: El área del triángulo es: A = xy = 100x – 2x2. Se obtienen áreas diferentes variando la posición del vértice E sobre la hipotenusa. Si E coincide con A, x=0. Si coincide con C, x = 50. Así, el área es función de x; es decir: Notamos que A(x) es continua en el intervalo [0;50]. Para hallar los puntos críticos hallamos la derivada e igualamos a cero: Así, los puntos críticos son: 25 y 50. Evaluando A(x) en estos puntos se obtienen: El mayor de los tres valores es 1 250. Por lo tanto, concluimos: el área máxima que puede obtenerse es de 1250cm2, y los lados del rectángulo medirán 25 y 50 cm, respectivamente. II) La Figura (n) ilustra este caso. Denotemos por a y b las longitudes (en cm) de los lados del rectángulo inscrito. Por semejanza entre los triángulos EBG y ABC y entre los triángulos AFE y EBG, se obtienen las siguientes relaciones, respectivamente: o bién : El área del rectángulo es A = ab = 100x – 2x2. Se obtienen áreas diferentes variando la posición del punto G sobre el cateto BC. Vemos que x puede variar de 0 a 50. Así, el área es función de x tal que: Encontramos que es la misma función de la parte (I). Por lo tanto, el área máxima que puede tener dicho rectángulo es de 1250cm2 y se obtiene para x=25cm. Para este valor y=50 cm. Con estos valores las dimensiones del rectángulo son: . ejercicios Completar la siguiente tabla : Verificar si es verdadero o falso : Relacionar cada función con su respectiva derivada: Si ; halla f ’(5). a)Halla la derivada de la función definida por ,en el punto (3;2). b) Encuentra la pendiente de la recta tangente de dicho punto . c) Halla la derivada de f(x) con respecto a x . d) Efectúa la gráfica de f(x) y de f’(x) . ¿A qué conclusiones puedes llegar acerca de la función pendiente? Dada ; halla f’(2) . Igual que el caso anterior, pero y el punto es Halla la derivada de cada una de las siguientes expresiones : a) Si , halla y’. b) Si , halla y’. c) Si , halla f ’(x). d) Si , halla f ’(x) e) Si , halla y’. Usando la notación de Leibinz , calcula : Aplica la regla de la cadena y calcula la derivada de las siguientes funciones : Halla la derivada de cada una de las siguientes expresiones : Deriva implicitamente y despeja la derivada en cada una de las siguientes ecuaciones : Para cada una de las siguientes ecuaciones , calcula en el punto dado : a) , en x = 1. b) , en x = 0. c) , en x = –2 . d) , en x = 1. e) , en x = 1. f) , en x = 3. a) Sea , halla y’’’. b) Sea y = cosx , calcula y(5). c) Sea y = ex, encuentra y(n). d) Demuestra que si y = ex+senx , entonces y(4)= y. e) Halla los valores de x que hacen , cuando y = 3x2 – 6 . Dada la gráfica adjunta, entonces existe f’(a). ¿Es verdadero o falso? Justifica tu respuesta . Indica la verdad o falsedad de la afirmación: la gráfica de y’ corresponde a la de la función derivada de y = (x – 3)2 + 2 . Indica la verdad o falsedad de la siguiente regla: Si es falsa, ¿cuál sería la regla verdadera? Indica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones : a) , entonces f ’(x) = –2x + 4 b) Si , entonce c) Si f(x) = x3 – 2x , entonces f ’(1) = 1 d) f(x) = senx + 5x , entonces Calcular las derivadas de : a)f(t) = 12 – 3t4 + 4t6 b)k(x) = (2x2 – 4x + 1)(6x – 5) c) f(x) = (4x – 5) / (3x + 2) d) f(x) = 1 / (1 + x + x2 + x3) Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones : a) La recta tangente a una curva y = f(x) en el punto (x0, y0) , corta a la gráfica de la función necesariamente en otro punto . Justifica tu respuesta graficamente . b) La recta tangente a una curva y = f(x) en punto (x0 , y0) no corta a la gráfica de la función en otro punto . c) La recta secante a una curva y = f(x), corta a la gráfica de f en dos o más puntos. La siguiente proposición es verdadera o falsa: Existen funciones que tienen la misma derivada . Justifica algebraicamente tu respuesta . Por ejemplo considera f(x)= x + 1 y g(x)= x – 3. Da un par de ejemplos más . Indica la verdad o falsedad de la siguiente afirmación : Si f es una función diferenciable, entonces f(x) y f(x) + c tienen la misma derivada . Indica la verdad o falsedad de la siguiente proposición : Si una función f es continua en x0, entonces será diferenciable en x0 . Justifica tu respuesta. Demuestre que es diferenciable en todo su dominio . Demuestra que f(x) = cosx es diferenciable sobre . Dada la función a) ¿Para qué valor de “a”, f es continua en todo su dominio? b) ¿Existe (3) y (3) ? c) ¿Es f diferenciable en ? Dada la función , halla: a) f’(1) b)f’(8) c)f’(x0) Halla la pendiente de la recta tangente a la curva definida por f(x) = 2x + senx en el punto abscisa Halla la pendiente de la recta tangente a la curva definida por f(x) = x3 + 3 en el punto de ordenada y0 = 4 . Dada la función definida por : a) Determina si f es continua en x = 1. b) Determina si f es diferenciable en x = 1. Dada la función f(x) = x|x| a) ¿Es continua en x = 0? b) ¿Es derivable en x = 0? Dada la función definida por : a) ¿Es f diferenciable en x = –1? b) ¿Es f continua en x = –1? Sea f(x) = 15x2 + (65 – 10x)2, halla los máximos y mínimos relativos de f , si existen. Dada la función , halla los valores extremos relativos de f , si existen. Efectúa la gráfica de