Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f(x) x2 4 en los intervalos [0, 2] y [ 2, 0]. 2. Halla la tasa de variacio´n media de las siguientes funciones en el intervalo [a, a h]. a) f(x) x 3 b) f(x) x2 2x 3. Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las siguientes funciones en los puntos que se indica: a) f(x) 3x 2 en x 2 y x 1 c) f(x) en x 2 y x 2 x x 1 b) f(x) x2 1 en x 0 y x 3 d) f(x) x en x 1 y x 4 4. Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las siguientes funciones en el punto gene´rico x a: a) f(x) x2 3 b) f(x) x 1 5. Calcula el valor de la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f(x) 3x 2 en x 2 b) f(x) x2 x 1 en x 1 c) f(x) en x 1 2 x 3 6. Halla la funcio´n derivada de las siguientes funciones utilizando la definicio´n: a) D(3x) b) D(x 3) c) D(x2 3) 7. Halla la funcio´n derivada de las siguientes funciones utilizando la definicio´n: a) D x x 1 b) D 3x c) D x 3 8. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a f(x) x2 2x 1 en el punto de abscisa x 1. 9. Halla el punto de corte del eje OX con la recta tangente a f(x) x2 2x en el punto de abscisa x 1. 10. ¿En que´ punto de la gra´fica de la funcio´n f(x) x2 5x 8 la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Escribe la ecuacio´n de dicha recta tangente. 11. El espacio en metros recorrido por un mo´vil viene dado por la funcio´n s(t) 3t2 1, t en segundos. a) Halla la velocidad media del mo´vil en el intervalo temporal [1, 4]. b) Obte´n la velocidad instanta´nea para t 2 segundos. SOLUCIONES 1. TVM[0, 2] 2 f(2) f(0) 0 ( 4) 2 0 2 TVM[ 2, 0] 2 2. a) TVM[a, a h] 1 (a h) 3 (a 3) h h h b) TVM[a, a h] 2a 2 h 3. a) TVI(2) 3 3(2 h) 2 8 3h lim lim hA0 h hA0 h TVI( 1) 3 3( 1 h) 2 ( 1) 3h lim lim hA0 h hA0 h b) TVI(0) h 0 h2 1 ( 1) lim lim hA0 h hA0 TVI(3) (h 6) 6 (3 h)2 1 8 lim lim hA0 h hA0 c) TVI( 2) 1 h 2 2 h 1 1 lim lim hA0 h hA0 (h 1) TVI(2) h 2 2 h 3 3 1 1 lim lim hA0 h hA0 3(h 3) 9 d) TVI(1) 1 h 1 1 1 lim lim hA0 h hA0 1 h 1 2 TVI(4) 4 h 2 1 1 lim lim hA0 h hA0 4 h 2 4 4. a) TVI(a) (a h)2 3 (a2 3) lim hA0 h lim (h 2a) 2a hA0 b) TVI(a) a h 1 a 1 lim hA0 h 1 1 lim hA0 a h 1 a 1 2 a 1 5. a) Df(2) 3 3(2 h) 2 8 3h lim lim hA0 h hA0 h b) Df(1) (1 h)2 (1 h) 1 1 lim hA0 h lim (3 h) 3 hA0 c) Df( 1) 2 1 h 2 1 1 lim lim hA0 h hA0 h 2 2 6. a) D(3x) 3 3(x h) 3x 3h lim lim hA0 h hA0 h b) D(x 3) 1 (x h 3) (x 3) lim hA0 h c) D(x2 3) (x h)2 3 (x2 3) lim hA0 h lim (2x h) 2x hA0 7. a) D x h x x x h 1 x 1 1 lim x 1 h (x 1)2 hA0 b) D 3(x h) 3x 3 3x lim hA0 h 2 3x c) D( ) x h 3 x 3 x 3 lim hA0 h 1 2 x 3 8. y f(1) f (1) · (x 1) f(1) 2; f (x) 2x 2; f (1) 4 y 2 4 · (x 1) 9. y f( 1) f ( 1) · (x 1); f( 1) 3; f (x) 2x 2; f ( 1) 4 y 3 4 · (x 1) El punto es . 1 , 0 4 10. La pendiente debe ser m 1. f (x) 2x 5 2x 5 1 x 3 El punto es (3, 2). La ecuacio´n de la tangente es x y 1 0. 11. a) vm 15 m/s s(4) s(1) 47 2 4 1 3 b) vi (3h 12) s(2 h) s(2) lim lim xA0 h xA0 12 m/s 1. Calcula la tasa de variacio´n media de la funcio´n f(x) sen en el intervalo . 1 26 , x 2. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) x2 · sen(x 2) en el punto de abscisa x 2. 3. De una funcio´n polino´mica de grado dos, P(x), se conocen las siguientes caracterı´sticas: • Su gra´fica pasa por el origen de coordenadas. • El punto (1, 1) pertenece a la gra´fica de la funcio´n. • La recta tangente a la gra´fica de la funcio´n en (1, 1) es paralela a la recta 3x y 0. Obte´n la expresio´n de la funcio´n P(x). 4. Desde el punto A(0, 3) se trazan dos rectas que son tangentes a la para´bola de ecuacio´n y x2 4. Calcula las ecuaciones de esas rectas y obte´n los puntos de tangencia. 5. Una partı´cula se mueve a lo largo de la gra´fica de la curva f(x) para x 1. En el punto 2x 1 x2 P la abandona y sigue desplaza´ndose a lo largo de la recta tangente a dicha curva. 4 2, 3 a) Halla la ecuacio´n de dicha recta tangente. b) Si el desplazamiento de la partı´cula es de izquierda a derecha, obte´n el punto P en que la partı´cula se encuentra en el eje OX. 6. La carga ele´ctrica q (en culombios) que pasa por la seccio´n transversal de un conductor varı´a en funcio´n del tiempo segu´n la expresio´n q(t) 3t2 2t. Halla la intensidad de la corriente a los cinco segundos. 7. Halla la derivada de la funcio´n f(x) x · WxW. 8. Halla la derivada de la funcio´n f(x) (x 1) · WxW. 9. Sea g(x) una funcio´n continua en x 0 y sea f(x) x · g(x). Demuestra que la funcio´n f es derivable en x 0 y calcula el valor de f (0) en te´rminos de la funcio´n g. 10. Halla los valores de a y b para que la funcio´n f(x) sea continua y derivable ax2 bx 1 si x 1 2bx 2 six 1 en el conjunto de los nu´meros reales. 11. ¿Co´mo se deben elegir los coeficientes a y b para que la funcio´n f(x) sea continua y x2 si x c ax b si x c derivable en el punto x c? 12. Se considera la funcio´n f(x) x2 2 si x 0 ax b si 0 x 2 x 3 si x 2 2 2 2 a) Calcula los valores de a y de b para que f sea continua en todos los nu´meros reales. b) Estudia en que´ puntos es derivable la funcio´n f. SOLUCIONES 1. TVM 1 sen sen 1 6 2 2 2 , 6 6 2 4 8 2. f (2) f(2 h) f(2) (2 h)2 sen h lim lim xA0 h xA0 h (2 h)2 · 4 sen h lim lim xA0 xA0 h 3. P(x) ax2 bx c; conocemos: P(0) 0 c 0 P(1) 1 a b 1 y P (1) 3 Adema´s: P (1) 2a b 2a b 3 a 4, b 5 a b 1 2a b 3 P(x) 4x2 5x 4. Rectas que pasan por A(0, 3): y mx 3 Los puntos de tangencia son de la forma (a, a2 4) y pertenecen a la tangente: a2 4 m · a 3 f (a) m 2a m Por tanto: a2 4 2a · a 3 a2 1 a 1 Si a 1, el punto de tangencia es (1, 5) y la ecuacio ´n de la tangente y 2x 3. Si a 1 el punto de tangencia es ( 1, 5) y la ecuacio´n de la tangente y 2x 3. 5. a) f (x) , f (2) 2(1 x2) 10 (1 x2)2 9 Recta tangente: 10x 9y 32 0 b) x P y 0 16 16 , 0 10x 9y 32 0 5 5 6. I5 32 amperios. q(5 h) q(5) lim hA0 h 7. f(x) x2 si x 0 2 x six 0 Es derivable en x 0: f (0 ) f (0 ) 0 f (x) 2x si x 0 2x si x 0 8. f(x) . No es derivable en x2 x si x 0 2 x x si x 0 x 0, ya que f (0 ) 1 y f (0 ) 1. f (x) 2x 1 si x 0 2x 1 si x 0 9. g(h) f(h) f(0) h g(h) 0 g(0) f (0) lim lim lim hA0 h hA0 h hA0 Como g es continua en x 0, f (0) g(0). 10. Es derivable en todos los nu´meros reales, excepto, quiza´, en x 1. Para que sea continua en x 1: lim f(x) lim f(x) f(1) xA1 xA1 a b 1 2b 2 a b 1 Para que sea derivable en x 1, las derivadas laterales deben coincidir: f (1 ) f (1 ) 2a b 2b 2a b 0 a 1, b 2 a b 1 2a b 0 11. lim f(x) lim f(x) f(c) c2 ac b xAc xAc Adema´s: f (c ) f (c ) 2c a a 2c, b c2 a 2c 2 c ac b Por tanto: f(x) x2 si x c 2 2cx c six c 12. a) Los posibles puntos de discontinuidad son x 0 y x 2. Para que sea continua en x 0: lim f(x) lim f(x) f(0) 2 b xA0 xA0 Para que sea continua en x 2: f(x) f(x) f(2) 2 lim lim 2a b xA2 xA2 2 a 1, b 4 b 2 2 2a b 2 f(x) x2 2 si x 0 4 x si 0 x 2 x 3 si x 2 2 2 2 b) f (0 ) 0 y f (0 ) 1 2 f (2 ) f (2 ) 1 2 2 La funcio´n es derivable en todos los nu´meros reales, excepto en x 0.