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DATOS Y AZAR EJERCICIOS RESUELTOS DE CUARTO DE SECUNDARIA PDF

Variable aleatoria continua,Distribución de probabilidad normal,Aplicaciones de la distribución normal, Aproximación de la normal a la binomial., Distribución de medias muestrales, Estimación de la media poblacionaL , • Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y distribución de probabilidad para el caso de una variable aleatoria continua. • Conocer y aplicar la distribución normal en diversas situaciones. • Describir los resultados de un experimento aleatorio, aplicando las distribuciones normal y binomial. • Aproximar la probabilidad de la binomial por la probabilidad de la normal. • Realizar conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias muestrales. • Estimar intervalos de confianza para la media de una población con distribución normal y varianza conocida. Antes de comenzar, resuelve las siguientes actividades, que te permitirán recordar conceptos y procedimientos necesarios para abordar los contenidos de esta unidad. 1. En el experimento “escoger al azar una persona en la calle” se define la variable aleatoria X: edad de la persona, medida en años. a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria? b. Define otra variable aleatoria para el mismo experimento y determina los posibles valores que esta puede tener. 2. En el experimento “lanzar dos dados”, considera las variables aleatorias X: suma de los puntos, e Y: puntaje menor entre los dos dados. a. Describe el espacio muestral del experimento. b. Calcula las probabilidades P(X = 7), P(X < 7), P(Y = 3), P(Y > 2). 3. En el experimento “escoger una persona en la calle”, se define la variable aleatoria X: estatura de la persona. a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria? b. Define otra variable aleatoria para el mismo experimento. c. Explica con tus palabras qué es una variable aleatoria. 4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. La esperanza siempre es un valor positivo. b. La desviación estándar siempre es un valor positivo. c. La esperanza de una muestra siempre es uno de los valores de la muestra. d. La esperanza siempre es mayor que la varianza. e. La varianza siempre es mayor que la esperanza. 5. Si X es una variable aleatoria que tiene distribución X ~ B(10; 0,7), determina: a. μ b. σ2 c. P(X = 8) d. P(X < 3) e. P(X < 5) f. P(X > 5) 6. Si X ~ B(n, p), con μ = 12 y σ = 3, determina: a. n b. p c. P(X < 14) d. P(X = 1) e. P(X < 5) f. P(X > 5) 7. Considera los siguientes resultados de un experimento aleatorio. {1,70; 1,67; 1,72; 1,82; 1,72; 1,73; 1,65; 1,77; 1,66; 1,67; 1,65} a. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar de los datos. b. Dibuja una tabla de frecuencias indicando: frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia acumulada. c. ¿A qué experimento aleatorio puede corresponder esta muestra?, ¿cuál sería la variable aleatoria? 8. Considere los siguientes resultados de un experimento aleatorio. A = {1, 7, 7, 6, 1, 2, 1, 7, 1, 5, 1, 2} B = {4, 3, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4} a. Sin hacer ningún cálculo, ¿qué muestra consideras tú que tiene mayor desviación estándar?, ¿cómo llegaste a esa conclusión? b. Si tanto la muestra A como la muestra B corresponden a notas de dos alumnos distintos, ¿qué estudiante tuvo mejor rendimiento?, ¿por qué? c. Agrega tres valores a la muestra A, que no cambien la media de la muestra. 9. Una ruleta de casino tiene 36 números, un 0 y un 00. Si apuestas un número y la bolita cae en ese número, ganas 36 veces lo que apostaste. ¿Cuánta es la cantidad que puedes ganar si apuestas 100 pesos?, ¿conviene jugar a la ruleta? Justifica tu respuesta. 10. Manuel juega al siguiente juego: saca un naipe al azar de una baraja inglesa sin comodín (52 cartas, 13 números, 4 pintas). Si sale un 2, 3, 4 o 5, Manuel gana 5 puntos; si sale un 6, 7, 8, 9 o 10, Manuel pierde 5 puntos; si sale J, Q o K, no gana nada, y si sale un As, gana 20 puntos. a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b. ¿Cuál es la variable aleatoria asociada al juego? c. Encuentra el “valor esperado” de puntos que ganará Manuel cada vez que juegue. 11. Una fábrica de ampolletas tiene estimado que el 5 % de sus ampolletas llega defectuosa a las tiendas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar 2 ampolletas, ambas salgan quemadas? b. Si las ampolletas vienen en cajas de 20 unidades, ¿cuál es el valor esperado de ampolletas defectuosas que vienen en una caja? 12. A partir de los siguientes datos, desarrolla las actividades. {1, 2, 6, 7, 9, 11, 4, 6, 15, 21} a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden seleccionarse del conjunto anterior? b. Selecciona 5 muestras al azar de tamaño 2 y calcula la media de ellas. Marca la opción correcta en los ítems 13 y 14. 13. Indica cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas respecto de la media de una muestra. I. Es posible agregar datos a una muestra sin que cambie la media. II. El único valor que se puede añadir a una muestra, sin que se altere la media, es el 0. III. Si m es el valor de la media y agregas ese valor a la muestra, se mantiene la media de la muestra. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo II y III D. Solo I y III E. I, II y III 14. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 pueden extraerse con los siguientes datos con y sin reposición, respectivamente? {4, 8, 4, 6, 1, 2, 6, 7} A. 6 561 y 336 B. 512 y 336 C. 20 160 y 6 561 D. 20 160 y 336 E. 6 561 y 512 En el curso anterior conociste la distribución binomial, que es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Recuerda que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta describe cómo se distribuyen las probabilidades de los diferentes valores que puede tomar dicha variable aleatoria. Así, en una variable aleatoria discreta la distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad f (x). Esta función proporciona la probabilidad de que la variable tome un valor particular; en las variables aleatorias continuas, la función de probabilidad es llamada función de densidad de probabilidad (también se denota f (x)). A diferencia de la función de probabilidad, la función de densidad no determina directamente dicha probabilidad, sin embargo, el área bajo la gráfica de f (x) entre dos puntos, a y b, determina la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome un valor en dicho intervalo. En otras palabras, si la variable aleatoria continua X tiene función de densidad f (x), la probabilidad de que X pertenezca al intervalo [a, b] está dada por el área bajo la curva de f entre a y b, tal como se representa en la figura de la derecha. Para que una función f (x) sea una función de densidad se debe cumplir que: 1. f (x) > = 0 para todo valor de x. 2. El área bajo la curva de f en su dominio es igual a 1. Esta propiedad es análoga a aquella que en el caso de variables aleatorias discretas establece que la suma de todas las probabilidades debiera ser igual a 1. 1. Escribe al menos cuatro experimentos aleatorios en los cuales esperarías que la mayor cantidad de resultados estén concentrados alrededor de la media y que, a medida que te alejas hacia los extremos, la frecuencia baje cada vez más. Menciona, además, cuatro experimentos o situaciones en que esperas que esto no ocurra. 2. Determina cuál o cuáles de los siguientes casos se podrían modelar con una distribución normal. a. Sueldos que se pagan en una empresa. b. Edad a la que una persona muere. c. Masa de los estudiantes de la misma edad de un colegio. d. Estatura de una persona en el tiempo. e. Velocidad de los vehículos en cierto punto de la carretera. f. Notas de los estudiantes en una prueba. 3. De un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las estaturas de los varones se distribuyen N(1,71; 0,4), y las de las damas, N(1,64; 0,3), en metros. a. ¿Cuántos varones miden más de 1,71 m? b. ¿Cuántas damas miden menos de 1,64 m? c. Si se selecciona a un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida a lo más 1,67 m? 4. Los tiempos, en segundos, realizados en las prácticas de atletismo del Colegio Cordillera se distribuyen N(12,8; 0,8) y los tiempos del Colegio Entrelagos, N(12,2; 1). Determina qué porcentaje de atletas: a. del Colegio Cordillera demoraron más de 12,8 s. b. del Colegio Cordillera demoraron menos de 13,6 s. c. del Colegio Entrelagos demoraron más de 10,2 s. d. del Colegio Entrelagos demoraron menos de 13,2 s. 5. La variable aleatoria X tiene distribución normal con media 2 y desviación estándar 1. Escribe su función de densidad. Si tenemos una variable aleatoria continua con distribución normal, en la que la media es igual a 0 y la desviación estándar igual a 1, es decir, μ = 0 y σ = 1, entonces la variable aleatoria tiene distribución normal estándar y se denota X ~ N(0, 1). Para el cálculo de probabilidades en distribución normal estándar se han construido tablas que presentan las áreas bajo las curvas y, por lo tanto, permiten determinar de manera rápida las probabilidades de que el valor de una variable aleatoria se encuentre en un intervalo. En la página 429 se presenta una tabla que permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar sea menor que un valor dado z, es decir, P(X < z). Por ejemplo, calculemos la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor menor o igual a 1,41, o sea, P(X G 1,41). Para esto usamos la tabla de la página 429 de la siguiente manera: En la primera columna de la tabla ubicamos las unidades y las décimas de z; en este caso, el 1,4. Luego, en la primera fila buscamos las centésimas de z, es decir, el 0,01. Finalmente, intersecamos la fila con la columna correspondiente donde están los valores anteriores. En nuestro ejemplo, obtenemos finalmente el número 0,92073. Es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a 1,41 es 0,92073. 1. Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar. Utilizando la tabla de la distribución normal, encuentra los valores de z tales que: a. P(Z < z) = 0,5 b. P(Z < z) = 0,5871 c. P(Z > z) = 0,2396 d. P(Z > z) = 0,91149 e. P(Z < z) = 0,8289 f. P(Z > z) = 0,07927 2. Usando la tabla de la distribución normal, calcula las siguientes probabilidades, asumiendo que Z es una variable aleatoria que distribuye N(0, 1). a. P(Z < 1,34) b. P(Z G 1,34) c. P(Z < –1,85) d. P(Z > 1) e. P(2 < Z < 3,4) f. P(Z = 1) 3. Sea X una variable aleatoria con distribución normal estándar. a. ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución?, ¿y la media? b. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor que 1? c. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor que 0,57? d. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 1? 4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto de una variable aleatoria Z con distribución normal estándar. Justifica las falsas. a. P(Z = 0) es igual a la media de la distribución. b. P(Z > 1) = P(Z < 1) c. P(Z > 1) = 1 – P(Z < 1) d. P(0 < Z < 1) < P(0 G Z G 1) 6. En una fábrica de clavos, la diferencia entre la medida ideal de un clavo y su medida real tiene una distribución normal estándar, considerando las medidas en milímetros. a. En promedio, ¿cuántos milímetros de diferencia hay entre la medida real del clavo y su longitud ideal? Explica tu respuesta. b. Si se escoge un clavo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida 0,34 mm menos de lo que debiera medir realmente? c. Si se escoge un clavo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida 1,23 mm más de lo que debiera medir realmente? 1. Para cada una de las siguientes variables aleatorias con distribución normal, escribe el cambio de variable adecuado para que el resultado sea una variable aleatoria con distribución normal estándar. a. X ~ N(1, 1) b. X ~ N(1, 2) c. X ~ N(0, 2) d. X ~ N(2, 2) e. X ~ N(–6, 8) f. X ~ N(–3, 5) 2. Considera la variable aleatoria X ~ N(2, 3). Usando la tabla de la distribución normal estándar, calcula las siguientes probabilidades. a. P(X > 0) b. P(X < 1,1) c. P(X > 2,3) d. P(X > –1,3) e. P(0 < X < 2,3) f. P(–1,3 < X < 1,1) 3. Considera las variables aleatorias X ~ N(1, 2) y Z ~ N(0, 1). Encuentra valores de a para que se cumpla lo pedido. a. P(Z < a) = 0,5 b. P(Z > a) = 0,5 c. P(Z < a) = 0,05 d. P(X > a) = 0,1 e. P(X > a) = 0,5 f. P(X > a) = 0,05 4. Una variable aleatoria tiene distribución normal con media 80 y desviación estándar 54,8. Determina la probabilidades que la variable aleatoria tome un valor: a. menor que 87,2. b. mayor que 76,4. c. entre 81,2 y 86. d. entre 71,6 y 88,4. 5. Explica qué significa X ~ N(a, b). ¿Cuál es la media de la variable aleatoria X?, ¿cuál es su varianza?, ¿y su desviación estándar? 6. Si X ~ N(a + b, 2a – 4b), determina los valores de a y b, de modo que X tenga distribución normal estándar. 7. Los siguientes casos involucran variables aleatorias con distribuciones normales. Determina si la primera probabilidad es mayor, la segunda probabilidad es mayor o las dos probabilidades son iguales. a. La probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 50 y desviación estándar 10 tome un valor menor que 60, o la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene distribución normal con media 500 y desviación estándar 100 tome un valor menor que 600. b. La probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 40 y desviación estándar 5 tome un valor mayor que 40, o la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene distribución normal con media 50 y desviación estándar 6 tome un valor mayor que 40. 1. La cantidad anual de terremotos a nivel mundial es una variable aleatoria que tiene aproximadamente una distribución normal con μ = 20 y σ = 4,5. Determina la probabilidad de que en cualquier año de referencia haya: a. exactamente 19 terremotos. b. a lo sumo 19 terremotos. c. como mínimo 19 terremotos. 2. El tiempo promedio que emplea un suscriptor de una revista de farándula en leer la publicación es de 49 minutos, con una desviación estándar de 16 minutos. Supongamos que los tiempos de lectura tienen una distribución normal. a. Calcula la probabilidad de que el suscriptor tarde al menos una hora en leer la revista. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el suscriptor no demore más de 30 minutos en leer la revista? c. Determina la probabilidad de que el lector tarde entre 33 y 65 minutos en leer la revista. 3. La cantidad promedio de agua caída en una ciudad en el mes de abril es de 35 mm. Supón que la cantidad de lluvias es una variable aleatoria distribuida normalmente y con una desviación estándar de 8 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año cualquiera la cantidad de agua caída en la ciudad sea menor que 20 mm? 1. Determina si las siguientes distribuciones binomiales pueden aproximarse, usando una distribución normal, de manera aceptable. a. B(4; 0,5) b. B(20, 0,6) c. B(50; 0,04) d. B(20; 0,8) e. B(100; 0,995) f. B(75; 0,52) 2. Si X ~ B(n, p), calcula aproximadamente las siguientes probabilidades con los valores n y p dados. Utiliza la tabla de la página 429. a. n = 200, p = 0,4. P(x < 120) b. n = 100, p = 0,5. P(x > 45) c. n = 200, p = 0,45. P(x > 80) d. n = 100, p = 0,6. P(50 < x < 70) e. n = 96, p = 0,4. P(x > 90) f. n = 50, p = 0,75. P(42 < x < 58) 3. Resuelve los siguientes problemas. a. Un jugador de básquetbol lanza 230 tiros libres a lo largo de la temporada. Si su probabilidad de encestar en un lanzamiento libre es de 85 %, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 185 tiros libres en la temporada? b. La probabilidad de que un piloto de carreras sufra un reventón en un circuito es 0,04. Si en la carrera participan 200 conductores, ¿cuál es la probabilidad de que se registren entre 12 y 18 reventones? c. El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Si se empaquetan en cajas de 80 unidades para distribuirlos, ¿cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos? d. Leonardo y Ximena están jugando al ludo. Leonardo asegura que ha lanzado el dado 60 veces y no le ha salido ningún 5. Ximena afirma que eso es imposible. ¿Es realmente imposible? Justifica tu respuesta. 4. El 10 % de las personas de una ciudad afirma que nunca ve televisión. Calcula la probabilidad de que: a. escogidas 100 personas al azar, haya al menos 14 personas que no ven televisión. b. estas personas sean exactamente 4. c. de 250 personas elegidas al azar, menos de la mitad vea televisión. 5. Una fábrica de componentes elabora 2 000 circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del 1 %, ¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos sea mayor que 50?, ¿y menor que 25? Resuelve las siguientes actividades para consolidar los conceptos y los procedimientos que has aprendido. 1. Describe tres situaciones en las cuales podrías definir una variable aleatoria continua y tres situaciones en las que podrías determinar una variable aleatoria discreta. 2. Grafica cada una de las siguientes funciones e indica cuál de ellas define una función de densidad para una variable aleatoria continua. a. f (x) = 1 en el intervalo [0, 1] b. f (x) = x en [–1, 1] c. f (x) = 2 en el intervalo [0, 1] d. f (x) = x en el intervalo [0, 2] 3. ¿Qué características debe cumplir una función para que pueda ser una función de densidad de una variable aleatoria continua? 4. Utilizando la tabla para calcular probabilidades en una distribución normal estándar, y suponiendo que Z ~ N(0, 1), calcula lo siguiente. a. P(Z < 0,46) b. P(Z < –0,78) c. P(Z < 1,29) d. P(Z > 2,18) e. P(0,3 < Z < 0,46) f. P(–0,16 < Z < 0,2) 5. X es una variable aleatoria con distribución normal, cuya media es 7 y cuya varianza es 4. a. Determina la función de densidad de X. b. Escribe la transformación que convierte a X en una variable aleatoria Z con distribución normal estándar. c. Calcula P(x < 6,3), P(x < 7,9) y P(x > 8,5). d. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un número positivo? 6. ¿Qué características debe tener una variable aleatoria con distribución binomial para que sea pertinente aproximarla por una variable aleatoria normal?, ¿cuál es la media y la desviación estándar de esa nueva variable aleatoria? 7. Sea Z una variable aleatoria tal que Z ~ B(150; 0,45). Usando la tabla para calcular probabilidades de la distribución normal estándar, aproxima las siguientes probabilidades. a. P(Z < 75) b. P(Z > 60) c. P(55 < Z < 60) d. P(Z > 80) e. P(50 < Z < 70) f. P(Z > 145) 8. Sea X una variable aleatoria con distribución normal estándar. Encuentra el valor de a en cada caso para que se cumpla lo pedido. a. P(X < a) = 0,5 b. P(X > a) = 0,5 c. P(X < a) = 0,602 d. P(X > a) = 0,398 e. P(X < a) = 0,398 f. P(X > a) = 0,602 9. Claudia posee una cuerda de 3 metros de largo. Si la cuerda se corta en cualquier punto al azar, y todos los puntos tienen la misma probabilidad de cortarse, ¿cuál es la probabilidad de que el trozo izquierdo de la cuerda sea de largo menor o igual a 1 m? Hint: Defina la función densidad correspondiente. 10. Explica qué es una variable aleatoria con distribución normal estándar y en qué se diferencia de una normal no estándar. 11. Describe dos situaciones que se podrían modelar con una distribución normal, y dos que no tengan distribución normal. 12. Explica con tus palabras qué significa “simular un experimento aleatorio”, cuál es su importancia y qué simulaciones se hicieron durante el desarrollo de la unidad. 13. Da un ejemplo de un experimento aleatorio en el cual definas dos variables aleatorias, una discreta y una continua. Explica qué utilidad puede tener el considerar cada una de esas variables aleatorias. 1. Indica si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. a. El diámetro de un tornillo producido por un torno electrónico. b. La cantidad de respuestas acertadas en un examen de veinte preguntas. c. El diámetro de la cabeza de un niño de cinco años. d. La cantidad de minutos de espera en un paradero. e. La talla de calzado de un grupo de estudiantes de un colegio. 2. Utilizando la tabla de la página 429, calcula las siguientes probabilidades, asumiendo que Z es una variable aleatoria que distribuye N(0, 1). a. P(Z < 0,78) b. P(Z > 0,07) c. P(Z < –0,88) d. P(Z > –1,23) 3. Esboza la gráfica de una variable aleatoria con distribución normal estándar. 4. Si una variable aleatoria X presenta una distribución normal estándar, ¿para qué valor de X se cumple que P(X < 0,9)? 5. Supongamos que la estatura en metros de un grupo de personas, se distribuye N(1,65; 0,15). a. ¿Qué puedes decir sobre la cantidad de gente que mide más de 1,80 m, en relación con la cantidad de gente que mide menos de 1,50 m? b. Describe la forma que tendrá la gráfica de la función de densidad. ¿Cuál será su eje de simetría? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a una persona al azar, su estatura sea de 1,65 m? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger a una persona al azar, esta mida entre 1,5 m y 1,7 m? 6. Considera el experimento aleatorio “lanzar tres monedas al aire” y la variable aleatoria X: cantidad de caras que aparecen. a. ¿Qué distribución de probabilidad tiene la variable aleatoria X?, ¿qué valores puede tomar la variable aleatoria?, ¿con qué probabilidades? b. La distribución anterior, ¿puede aproximarse a una distribución normal? 7. Si X ~ B(n, p), calcula aproximadamente las siguientes probabilidades con los valores con n y p dados. Utiliza la tabla de la página 429. a. n = 30, p = 0,5. P(X < 20) b. n = 100, p = 0,4. P(X > 50) c. n = 200, p = 0,25. P(10 < X < 30) d. n = 150, p = 0,6. P(60 < X < 90) e. n = 500, p = 0,8. P(300 < X < 400) 8. Martín dice que cualquier variable aleatoria con distribución binomial puede aproximarse con una distribución normal. ¿Estás de acuerdo con él?, ¿por qué? 9. El 30 % de los trabajadores de una empresa llega en bicicleta. Si se eligen 100 personas al azar, determina la probabilidad de que: a. más de la mitad llegue en bicicleta. b. menos de la cuarta parte llegue en bicicleta. c. más del 75 % no llegue en bicicleta. 10. La cantidad de palabras por minuto que una persona lee puede modelarse por medio de una distribución normal en la que la media es 150 palabras y la desviación estándar es 24. Determina la probabilidad de que, al escoger a una persona al azar, esta lea: a. menos de 120 palabras por minuto. b. más de 130 palabras por minuto. c. entre 100 y 200 palabras por minuto. 6. De las siguientes variables aleatorias, ¿cuál o cuáles se pueden aproximar fielmente como una distribución normal? Justifica tu respuesta. a. B(4; 0,5) b. B(3; 0,1) c. B(20; 0,3) d. B(25; 0,25) e. B(40; 0,9) f. B(100; 0,42) 7. La variable aleatoria X tiene distribución binomial X ~ B(50; 0,45). a. ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución? b. La distribución binomial, ¿puede aproximarse fielmente por medio de una distribución normal? Justifica tu respuesta. c. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor que 20? 8. La cantidad real de café instantáneo que una máquina llenadora vierte en pocillos de 180 g varía de un pocillo a otro y se puede considerar como una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una desviación estándar de 2 g. ¿Cuál debe ser la cantidad media vertida en estos pocillos si solo el 2 % de ellos debe contener más de 200 g de café? 9. La cantidad promedio de lluvias en una ciudad en el mes de abril es de 70 mm. Supón que la cantidad de lluvias es una variable aleatoria distribuida normalmente y con una desviación estándar de 1,6 mm. a. ¿Qué porcentaje del tiempo la cantidad de lluvia en el mes de abril es mayor que 60 mm? b. ¿Qué porcentaje del tiempo la cantidad de lluvia en el mes de abril es menor que 50 mm? 10. Dibuja la gráfica de una función que puede ser una función de densidad de una variable aleatoria continua. 11. ¿Para qué valor de a la función f (x) = 2x + 1, en ]1, a[, puede ser una función de densidad de una variable aleatoria continua? 12. Dado el experimento aleatorio “medir el tiempo que tarda una persona en dar una vuelta a una cancha de fútbol“, define una variable aleatoria discreta y una continua. 13. Dadas las variables aleatorias continuas: X ~ N(4, 6) Y ~ N(–4, 4) Z ~ N(2, 8) responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuál de las tres variables aleatorias tiene mayor probabilidad de tomar un valor positivo? b. ¿Cuál de las tres variables aleatorias tiene menor probabilidad de tomar un valor menor que 4? c. ¿En cuál de las tres variables aleatorias la gráfica de su función densidad es más ancha? d. ¿En cuál de las tres variables aleatorias la gráfica de su función densidad está desplazada más hacia la derecha? 14. Esboza la gráfica de una distribución normal estándar para una variable alatoria X, y pinta el área bajo la curva que representa las siguientes probabilidades. a. P(x = 2) b. P(x < 3) c. P(x > 0) d. P(x G 0,12) 15. Sea Z ~ N(0, 1). Usando la tabla de la página 429, calcula las siguientes probabilidades. a. P(Z < 0,08) b. P(Z > 0,49) c. P(0,7 < Z < 1,64) d. P(–2,15 < Z) e. P(–2,74 > Z) f. P( 0,8 < Z < 1,25) 16. En el 4º medio A, los resultados de una prueba tienen una distribución normal con media 5,2 y desviación estándar 0,6. En el 4º medio B, los resultados de la misma prueba se distribuyen N(5,7; 0,4). a. ¿En qué curso los resultados de la prueba son más dispersos?, ¿cómo lo supiste? b. ¿En qué curso es más probable encontrar alumnos con una nota superior a 6,0? Explica cómo lo resolviste. 17. La variable aleatoria X tiene distribución binomial X ~ B(120; 0,3). Calcula la probabilidad de que X tome un valor menor que 46. 2. A partir de lo que han realizado hasta el momento, y de lo que observan en el histograma, respondan las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es el tamaño de la población total?, ¿cuál es el tamaño de las muestras seleccionadas? b. ¿Cuántas muestras utilizaron para representar la distribución de medias muestrales?, ¿qué porcentaje del total de muestras de ese tamaño, posibles de extraer, utilizaron? Expliquen cómo lo calcularon. c. ¿Cómo es la distribución de medias muestrales?, ¿qué valores tienen más probabilidades de ocurrir?, ¿cuáles tienen menos?, ¿qué forma tiene la distribución? d. A partir de lo anterior, ¿qué tipo de distribución creen que tienen las medias muestrales? Justifiquen su respuesta. 3. A partir de la misma población anterior, representen la distribución de las medias muestrales en que las muestras sean todos los números que estén en una fila. Luego, respondan. a. ¿Cuántas muestras utilizaron?, ¿de qué tamaño son? b. Expliquen, paso a paso, cómo construyeron el histograma que representa la distribución de medias muestrales. c. ¿Qué forma tiene la distribución de medias muestrales?, ¿qué ocurre en los valores centrales?, ¿y en los extremos? d. ¿En qué se parece esta distribución a la obtenida antes?, ¿en qué se diferencian ambas? Comenten. e. ¿Qué tipo de distribución creen que tienen las medias muestrales en este caso?, ¿por qué? 4. Consideren una población en la que hay 20 números aleatorios entre 1 y 20. a. Utilicen GeoGebra para representar la población anterior. ¿Cómo lo hicieron? b. Construyan la distribución de medias muestrales seleccionando 20 muestras de tamaño 2. Luego, construyan otra distribución de medias muestrales a partir de 20 muestras de tamaño 4. ¿En qué se parecen y en que se diferencian las distribuciones que obtuvieron? c. Calculen el promedio de las medias muestrales en ambos casos, y también la media poblacional. ¿En cuál de las distribuciones el promedio es más cercano a la media poblacional?, ¿por qué creen que ocurre eso? d. ¿Qué sucede con la distribución de las medias muestrales a medida que el tamaño de las muestras aumenta? Verifiquen su respuesta representando la distribución de medias muestrales para 10 muestras de tamaños 6, 10 y 12. e. Para cada una de las distribuciones de la pregunta anterior, determinen el promedio de las medias muestrales. ¿En cuál distribución su promedio es más cercano al de la media poblacional?, ¿en cuál distribución su valor es el más alejado? 1. Considera la población conformada por el conjunto de números naturales menores que 5. a. ¿Qué tamaño tiene la población? b. Escribe una lista con todas las muestras de tamaño 2, con reposición, que pueden extraerse de la población anterior. ¿Cuántas muestras obtuviste? c. Construye la distribución de medias muestrales para todas las muestras de tamaño 2. d. ¿Cuál es la media de la distribución? 2. Pide a 3 compañeros que cada uno diga 3 números del 1 al 10, al azar, y escríbelos en tu cuaderno. Luego, realiza las siguientes actividades. a. Escribe 20 muestras de tamaño 2 de la población anterior y calcula las medias muestrales. b. Construye la distribución de medias muestrales para las muestras de tamaño 2 que seleccionaste. c. ¿Cuál es el promedio de las medias muestrales de la distribución que construiste?, ¿cómo es este valor respecto de la media poblacional? 3. Conexión con la bioestadística La masa de los recién nacidos en un hospital sigue una distribución normal N(3,01; 0,3) en kilogramos. a. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la población? b. Al seleccionar una muestra de 25 recién nacidos, ¿cuál es la media y la desviación estándar de la muestra? c. ¿Qué tipo de distribución tiene la media de la muestra? d. ¿Cuál es la probabildad de que al elegir una nueva muestra de 25 recién nacidos el promedio del peso de ellos se inferior a 3 kg.? e. ¿Cuál es la probabildad de que al elegir una nueva muestra de 25 recién nacidos el promedio del peso de ellos esté entre 2,9 kg y 3,1 kg? 4. Lanza un dado 5 veces y registra los valores que obtuviste. Luego construye la distribución de medias muestrales considerando 20 muestras del tamaño que se indica, en cada caso. Considera que las muestras son con reposición. a. Tamaño 2. b. Tamaño 3. c. Tamaño 4. d. Tamaño 5. 5. La edad a la que contraen matrimonio los hombres de una ciudad es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación estándar de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha ciudad. Sea X la media muestral de la edad de casamiento. ¿Cuáles son la media y la varianza de X? Explica cómo lo calculaste. 6. Uno de los objetivos de un estudio sobre los hábitos deportivos es conocer el promedio de horas que corren las personas diariamente. a. Por estudios previos se sabe que la desviación estándar del nº de horas que corre un persona diariamente es 0,3. Para realizar la estimación al 95 % de confianza con un margen de error máximo de 0,01, ¿cuál es el tamaño necesario de la muestra? b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se aumenta el nivel de confianza a un 99 %, manteniendo el margen de error? Justifica. c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el caso anterior? 8. El número de horas diarias que dedican a ver televisión los niños de cierta ciudad es una variable aleatoria con distribución normal, cuya desviación estándar es 1,5. Se toma una muestra al azar de 10 niños y se registra el número de horas que vieron televisión un día en particular. Los valores son: 6,0 3,4 5,6 6,3 6,4 5,3 5,4 5,0 5,2 5,5 a. Determina el intervalo de 90 % de confianza para el número medio de horas diarias que ven televisión los niños de esa ciudad. ¿Qué amplitud tiene este intervalo? b. Si el margen de error hubiese sido de 1 hora, ¿Cuál sería el nivel de confianza que se tendría? c. ¿Qué tamaño muestral se necesitaría si se considera un margen de error igual al considerado en la pregunta a, y un nivel de confianza igual al de la pregunta b? 9. Con la finalidad de conocer el gasto estimado en útiles escolares durante un año académico, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 59 escolares. En promedio, los 59 estudiantes gastaron $ 81 960 y la desviación estándar fue de $ 28 320. a. ¿Cuál es el intervalo de confianza al 95 % para el gasto promedio en útiles escolares durante un año académico? b. ¿Qué amplitud tiene el intervalo que obtuviste en la pregunta anterior? Explica. 10. La expresión s √n se conoce como error estándar. a. ¿Qué ocurre con el valor de esta expresión si aumenta el tamaño de la muestra? b. Al aumentar el tamaño de la muestra, ¿qué sucede con la amplitud del intervalo? c. Al escoger otra población con una desviación estándar mayor, ¿qué ocurre con la amplitud del intervalo si mantenemos el tamaño de la muestra? d. ¿Qué relación tiene la amplitud del intervalo con el error estándar? e. Patricio dice que si tenemos dos poblaciones con diferente desviación estándar, y en ambas extraemos una muestra del mismo tamaño, podemos saber de antemano en cuál el error estándar será mayor. ¿Estás de acuerdo con Patricio?, ¿por qué? 11. Una marca de artículos deportivos está interesada en conocer el promedio de edad de sus clientes. Una muestra aleatoria de 25 clientes arrojó una edad promedio de 19 años, con una desviación estándar de 3 años. Determina el intervalo al 95 % de confianza para la edad promedio de los clientes y su amplitud. 12. Las siguientes notas corresponden a 12 de los 45 estudiantes de un curso. Si se sabe que la desviación estándar poblacional es igual a 1,23, observa y responde: 5,4 3,6 6,8 4,2 5,5 5,5 5,9 3,6 7,0 3,3 6,1 6,3 a. Calcula el intervalo de 95 % y 99 % de confianza para el promedio total del curso. b. ¿En cuál de los intervalos anteriores la amplitud del intervalo es más pequeña?, ¿por qué? c. Determina el margen de error que se comete en cada caso. d. ¿De qué tamaño debería ser la muestra si se considera un margen de error de 0,5 con un 99 % de confianza? e. ¿Qué ocurre con la amplitud del intervalo si en vez de seleccionar 12 muestras seleccionamos 15? 23. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución, respectivamente? A. 25 y 0,6 B. 15 y 0,55 C. 25 y 2,45 D. 15 y 2,45 E. 25 y 0,55 24. Si se selecciona una muestra de tamaño 20, ¿cuál es la media y la desviación estándar aproximados de la muestra? A. Media: 15; desviación estándar: 0,55 B. Media: 15; desviación estándar: 2,45 C. Media: 25; desviación estándar: 0,55 D. Media: 25; desviación estándar: 2,45 E. Media: 25; desviación estándar: 0,6 25. Al seleccionar al azar un elemento de la muestra, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra cualquiera tenga una media inferior a 14,4? A. 0,07493 B. 0,1377 C. 0,42465 D. 0,57535 E. 0,92507 26. La masa media de una muestra elegida al azar de 196 manzanas es de 320 g, y la desviación típica es de 35 g. ¿Cuál es el intervalo de confianza aproximado de la media poblacional para un nivel de confianza del 95 %? A. [315,1; 324,9] B. [319,65; 320,35] C. [315,1; 320,35] D. [315,1; 319,65] E. [319,65; 324,9] 27. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de una población con N(125, 7) se encuentre en el intervalo [120,952; 127,445], si el tamaño de la muestra es 25 y su media es 124,2? A. 95 % B. 96 % C. 97 % D. 98 % E. 99 % 28. Una población se distribuye en forma normal. ¿Qué tamaño debe tener una muestra para que, con un nivel de confianza del 90 %, el error estándar no supere 90? (1) La media de la muestra es 320. (2) La desviación estándar de la población es 32. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 29. ¿Cuál es la desviación estándar de una muestra seleccionada al azar, sin reposición, de una población que tiene distribución normal N(9, 2)? (1) La población tiene tamaño 340. (2) La muestra tiene tamaño 36. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 1. Considera el conjunto de números enteros positivos que son divisores de 12. a. Escribe la población por extensión. ¿Cuál es su tamaño? b. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden extraerse de la población, con reposición? c. Construye la distribución de medias muestrales de todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse de la población anterior. d. ¿Cuál es el promedio de las medias muestrales?, ¿cómo es ese valor en relación con la media de la población? Explica. 2. Determina la desviación estándar de una muestra de tamaño dado extraída, con reposición y de una población con distribución normal cuyos parámetros son los indicados, en cada caso. a. Tamaño de la muestra: 25; población con distribución N(120, 12). b. Tamaño de la muestra: 36; población con distribución N(31 750, 300). c. Tamaño de la muestra: 144; población con distribución N(9 840, 168). d. Tamaño de la muestra: 576; población con distribución N(865, 72). 3. Una variable aleatoria X tiene media igual a 12. a. ¿Es posible que al extraer una muestra de tamaño 10, el promedio de estos datos sea un número distinto de 12? Justifica tu respuesta. b. ¿Es posible que al tomar una muestra de tamaño 10 000, el promedio de los datos sea igual a 4?, ¿por qué? c. Explica qué pasa con los promedios de las muestras a medida que el tamaño de la muestra aumenta. 4. Explica con tus palabras el teorema del límite central. 5. Considerando como población el conjunto {1, 2, 3, 4}, construye una distribución de medias muestrales de las muestras, extraídas con reposición, del tamaño que se indica en cada caso. a. 12 muestras de tamaño 2. b. 15 muestras de tamaño 3. 6. La estatura de un grupo de personas sigue una distribución normal N(1,67; 0,22) en metros. a. Al seleccionar una muestra de 40 personas, ¿cuál es la media y la desviación estándar del promedio de esta muestra? b. ¿Qué tipo de distribución tiene la media de la muestra? ¿por qué? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una muestra, su media sea inferior a 1,70 m? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una muestra, su media sea mayor a 1,55 m e inferior a 1,70 m? 7. Una variable aleatoria tiene distribución binomial B(120, 0,4). a. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución? b. Si se selecciona una muestra de tamaño 64, ¿cuál es, aproximadamente, la media y la desviación estándar de la muestra? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una muestra, su media se inferior a 3? 8. La puntuación media obtenida por una muestra de 81 alumnos de 4º medio en un ensayo PSU fue 506 puntos. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones de la población es normal, con desviación estándar igual a 110 puntos, ¿cuál es el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza del 95 %? 9. La masa de los usuarios de un gimnasio tiene una media desconocida y una desviación estándar de 5,4 kg. Alberto toma una muestra aleatoria de 100 usuarios y obtiene una media de 60 kg. Luego, Alberto asegura que “la masa media de un usuario de ese gimnasio está comprendida entre 58,6 kg y 61,39 kg”. ¿Con qué probabilidad esta afirmación es correcta? 10. Se ha estudiado el número de horas semanales dedicadas a practicar deporte por jóvenes entre 14 y 18 años, obteniéndose una variable aleatoria con distribución normal y desviación estándar igual a una hora. Si se toma una muestra aleatoria de 64 jóvenes entre 14 y 18 años, resulta que practican deporte una media de 6 horas semanales. a. ¿Cuál es el error de estimación del tiempo medio que practican deporte los jóvenes, con un nivel de confianza del 98 %? b. ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea menor que media hora, con un nivel de confianza del 95 %? 11. Una muestra aleatoria de 81 televisores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promedio de presentación de fallas técnicas (en años) es de [2,113; 2,287]. Considerando que la desviación estándar es de 0,4 años, ¿cuál es el nivel de confianza de este intervalo? 12. Las longitudes de unos pernos siguen una distribución normal de media desconocida y desviación estándar 2 mm. Se toma una muestra de tamaño 25 y se obtiene una longitud media de 38 mm. Andrea afirma que, con un nivel de confianza del 95 %, la media de la población es 40 mm. ¿Estás de acuerdo con ella? Justifica. Marca la opción correcta en los ítems 13 a 15. 13. Una población tiene distribución normal N(60, 36). Al seleccionar una muestra de 9 individuos, ¿cuál es la media y la desviación estándar de la muestra, respectivamente? A. 60 y 6 B. 10 y 6 C. 60 y 12 D. 60 y 4 E. 10 y 36 14. Una población tiene distribución normal con desviación estándar s. Se extrae una muestra de tamaño n y la media muestral es x. Si con un nivel de confianza k se obtiene un intervalo de confianza de amplitud A, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? I. Al aumentar el valor de k, A también aumenta. II. Al aumentar el valor de n, A también aumenta. III. Al aumentar el valor de A, la probabilidad de encontrar la media poblacional en el intervalo es mayor. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III 15. Se ha obtenido que el intervalo de confianza de la media poblacional, considerando un nivel de confianza del 95 %, es [6,66; 8,34]. ¿Cuál es, respectivamente, la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener el intervalo señalado? Considera que la población se distribuye en forma normal con desviación estándar igual a 3. A. 7,5 y 7 B. 7 y 7,5 C. 7,5 y 49 1. Considera la siguiente función definida en el intervalo [0, 5]. f(x) = 0,2 a. Construye la gráfica de f. b. Demuestra que f puede definir una función de densidad de una variable aleatoria continua. c. ¿Cuál es el valor de P(X = 3)? d. ¿Cuál es el valor de P(1 < X < 3)? 2. Sea Z una variable aleatoria continua con distribución normal estándar. Calcula las siguientes probabilidades. a. P(z < 1,23) b. P(z > 1,23) c. P(z < –1,32) d. P(z > –0,09) e. P(–2 < z < 3,5) f. P(1,44 < z < 3,14) 3. Sea X una variable aleatoria continua con distribución normal, cuya media es 30 y su desviación estándar es 5. Calcula las siguientes probabilidades. a. P(x < 39) b. P(x > 29) c. P(x < 26) d. P(x > 40) e. P(39 < x < 45) f. P(23 < x < 37) 4. En una prueba, cada pregunta tiene 4 alternativas, de las cuales solo una es correcta. Si la prueba tiene 100 preguntas y los alumnos aprueban con más de 50 respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe marcando todas las alternativas al azar? 5. La estatura, en centímetros, de las mujeres mayores de 15 años en Chile tiene distribución normal con varianza 5 cm. Si se tomó una muestra de 49 mujeres mayores de 15 años y el promedio de sus estaturas fue 168 cm, ¿se puede asegurar con un nivel de confianza del 95 % que el promedio de la estatura de las mujeres en Chile es mayor que 165 cm? Justifica tu respuesta. 6. Considera el conjunto de los números enteros positivos pares de una cifra. a. Escribe el conjunto por extensión. b. Determina la media y la desviación estándar del conjunto anterior. c. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 puedes obtener del conjunto anterior si son con reposición? Escríbelas. d. Construye la distribución de las medias muestrales para muestras de tamaño 3. e. ¿Cuál es la media de la distribución?, ¿y la desviación estándar? 7. Si X ~ B(50; 0,5), encuentra aproximaciones normales para P(X < 20), P(X > 25) y P(10 < X < 30). 8. Para estimar la cantidad de años de escolaridad de la población mayor de 30 años de una comuna, se decide tomar una muestra de 500 personas. Se sabe que la desviación estándar de la población es 3 años y la media de la muestra es 8 años. ¿Cuál es el error porcentual con un 95 % de confianza? 9. Uno de los objetivos de un estudio acerca de los hábitos alimenticios es conocer la cantidad de personas que consumen comida chatarra al menos una vez a la semana. a. Para realizar la estimación al 95 % de confianza, con un margen de error máximo de 0,01 y un desviación estándar de 0,5, ¿cuál es el tamaño necesario de la muestra? b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se aumenta el nivel de confianza a un 99 %, manteniendo el margen de error? Justifica tu respuesta. c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el caso anterior?, ¿por qué crees que ocurre esto?