DATOS Y AZAR EJERCICIOS RESUELTOS DE CUARTO DE SECUNDARIA PDF
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Variable aleatoria continua,Distribución de probabilidad normal,Aplicaciones de la distribución normal, Aproximación de la normal a la binomial., Distribución de medias muestrales, Estimación de la media poblacionaL , • Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y distribución de probabilidad para el caso de una variable aleatoria continua. • Conocer y aplicar la distribución normal en diversas situaciones. • Describir los resultados de un experimento aleatorio, aplicando las distribuciones normal y binomial. • Aproximar la probabilidad de la binomial por la probabilidad de la normal. • Realizar conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias muestrales. • Estimar intervalos de confianza para la media de una población con distribución normal y varianza conocida. Antes de comenzar, resuelve las siguientes actividades, que te permitirán recordar conceptos y procedimientos necesarios para abordar los contenidos de esta unidad. 1. En el experimento “escoger al azar una persona en la calle” se define la variable aleatoria X: edad de la persona, medida en años. a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria? b. Define otra variable aleatoria para el mismo experimento y determina los posibles valores que esta puede tener. 2. En el experimento “lanzar dos dados”, considera las variables aleatorias X: suma de los puntos, e Y: puntaje menor entre los dos dados. a. Describe el espacio muestral del experimento. b. Calcula las probabilidades P(X = 7), P(X < 7), P(Y = 3), P(Y > 2). 3. En el experimento “escoger una persona en la calle”, se define la variable aleatoria X: estatura de la persona. a. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria? b. Define otra variable aleatoria para el mismo experimento. c. Explica con tus palabras qué es una variable aleatoria. 4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. La esperanza siempre es un valor positivo. b. La desviación estándar siempre es un valor positivo. c. La esperanza de una muestra siempre es uno de los valores de la muestra. d. La esperanza siempre es mayor que la varianza. e. La varianza siempre es mayor que la esperanza. 5. Si X es una variable aleatoria que tiene distribución X ~ B(10; 0,7), determina: a. μ b. σ2 c. P(X = 8) d. P(X < 3) e. P(X < 5) f. P(X > 5) 6. Si X ~ B(n, p), con μ = 12 y σ = 3, determina: a. n b. p c. P(X < 14) d. P(X = 1) e. P(X < 5) f. P(X > 5) 7. Considera los siguientes resultados de un experimento aleatorio. {1,70; 1,67; 1,72; 1,82; 1,72; 1,73; 1,65; 1,77; 1,66; 1,67; 1,65} a. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar de los datos. b. Dibuja una tabla de frecuencias indicando: frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia acumulada. c. ¿A qué experimento aleatorio puede corresponder esta muestra?, ¿cuál sería la variable aleatoria? 8. Considere los siguientes resultados de un experimento aleatorio. A = {1, 7, 7, 6, 1, 2, 1, 7, 1, 5, 1, 2} B = {4, 3, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4} a. Sin hacer ningún cálculo, ¿qué muestra consideras tú que tiene mayor desviación estándar?, ¿cómo llegaste a esa conclusión? b. Si tanto la muestra A como la muestra B corresponden a notas de dos alumnos distintos, ¿qué estudiante tuvo mejor rendimiento?, ¿por qué? c. Agrega tres valores a la muestra A, que no cambien la media de la muestra. 9. Una ruleta de casino tiene 36 números, un 0 y un 00. Si apuestas un número y la bolita cae en ese número, ganas 36 veces lo que apostaste. ¿Cuánta es la cantidad que puedes ganar si apuestas 100 pesos?, ¿conviene jugar a la ruleta? Justifica tu respuesta. 10. Manuel juega al siguiente juego: saca un naipe al azar de una baraja inglesa sin comodín (52 cartas, 13 números, 4 pintas). Si sale un 2, 3, 4 o 5, Manuel gana 5 puntos; si sale un 6, 7, 8, 9 o 10, Manuel pierde 5 puntos; si sale J, Q o K, no gana nada, y si sale un As, gana 20 puntos. a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b. ¿Cuál es la variable aleatoria asociada al juego? c. Encuentra el “valor esperado” de puntos que ganará Manuel cada vez que juegue. 11. Una fábrica de ampolletas tiene estimado que el 5 % de sus ampolletas llega defectuosa a las tiendas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar 2 ampolletas, ambas salgan quemadas? b. Si las ampolletas vienen en cajas de 20 unidades, ¿cuál es el valor esperado de ampolletas defectuosas que vienen en una caja? 12. A partir de los siguientes datos, desarrolla las actividades. {1, 2, 6, 7, 9, 11, 4, 6, 15, 21} a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 pueden seleccionarse del conjunto anterior? b. Selecciona 5 muestras al azar de tamaño 2 y calcula la media de ellas. Marca la opción correcta en los ítems 13 y 14. 13. Indica cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas respecto de la media de una muestra. I. Es posible agregar datos a una muestra sin que cambie la media. II. El único valor que se puede añadir a una muestra, sin que se altere la media, es el 0. III. Si m es el valor de la media y agregas ese valor a la muestra, se mantiene la media de la muestra. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo II y III D. Solo I y III E. I, II y III 14. ¿Cuántas muestras de tamaño 3 pueden extraerse con los siguientes datos con y sin reposición, respectivamente? {4, 8, 4, 6, 1, 2, 6, 7} A. 6 561 y 336 B. 512 y 336 C. 20 160 y 6 561 D. 20 160 y 336 E. 6 561 y 512 En el curso anterior conociste la distribución binomial, que es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Recuerda que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta describe cómo se distribuyen las probabilidades de los diferentes valores que puede tomar dicha variable aleatoria. Así, en una variable aleatoria discreta la distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad f (x). Esta función proporciona la probabilidad de que la variable tome un valor particular; en las variables aleatorias continuas, la función de probabilidad es llamada función de densidad de probabilidad (también se denota f (x)). A diferencia de la función de probabilidad, la función de densidad no determina directamente dicha probabilidad, sin embargo, el área bajo la gráfica de f (x) entre dos puntos, a y b, determina la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome un valor en dicho intervalo. En otras palabras, si la variable aleatoria continua X tiene función de densidad f (x), la probabilidad de que X pertenezca al intervalo [a, b] está dada por el área bajo la curva de f entre a y b, tal como se representa en la figura de la derecha. Para que una función f (x) sea una función de densidad se debe cumplir que: 1. f (x) > = 0 para todo valor de x. 2. El área bajo la curva de f en su dominio es igual a 1. Esta propiedad es análoga a aquella que en el caso de variables aleatorias discretas establece que la suma de todas las probabilidades debiera ser igual a 1. 1. Escribe al menos cuatro experimentos aleatorios en los cuales esperarías que la mayor cantidad de resultados estén concentrados alrededor de la media y que, a medida que te alejas hacia los extremos, la frecuencia baje cada vez más. Menciona, además, cuatro experimentos o situaciones en que esperas que esto no ocurra. 2. Determina cuál o cuáles de los siguientes casos se podrían modelar con una distribución normal. a. Sueldos que se pagan en una empresa. b. Edad a la que una persona muere. c. Masa de los estudiantes de la misma edad de un colegio. d. Estatura de una persona en el tiempo. e. Velocidad de los vehículos en cierto punto de la carretera. f. Notas de los estudiantes en una prueba. 3. De un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las estaturas de los varones se distribuyen N(1,71; 0,4), y las de las damas, N(1,64; 0,3), en metros. a. ¿Cuántos varones miden más de 1,71 m? b. ¿Cuántas damas miden menos de 1,64 m? c. Si se selecciona a un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida a lo más 1,67 m? 4. Los tiempos, en segundos, realizados en las prácticas de atletismo del Colegio Cordillera se distribuyen N(12,8; 0,8) y los tiempos del Colegio Entrelagos, N(12,2; 1). Determina qué porcentaje de atletas: a. del Colegio Cordillera demoraron más de 12,8 s. b. del Colegio Cordillera demoraron menos de 13,6 s. c. del Colegio Entrelagos demoraron más de 10,2 s. d. del Colegio Entrelagos demoraron menos de 13,2 s. 5. La variable aleatoria X tiene distribución normal con media 2 y desviación estándar 1. Escribe su función de densidad. Si tenemos una variable aleatoria continua con distribución normal, en la que la media es igual a 0 y la desviación estándar igual a 1, es decir, μ = 0 y σ = 1, entonces la variable aleatoria tiene distribución normal estándar y se denota X ~ N(0, 1). Para el cálculo de probabilidades en distribución normal estándar se han construido tablas que presentan las áreas bajo las curvas y, por lo tanto, permiten determinar de manera rápida las probabilidades de que el valor de una variable aleatoria se encuentre en un intervalo. En la página 429 se presenta una tabla que permite calcular la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar sea menor que un valor dado z, es decir, P(X < z). Por ejemplo, calculemos la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal estándar tome un valor menor o igual a 1,41, o sea, P(X G 1,41). Para esto usamos la tabla de la página 429 de la siguiente manera: En la primera columna de la tabla ubicamos las unidades y las décimas de z; en este caso, el 1,4. Luego, en la primera fila buscamos las centésimas de z, es decir, el 0,01. Finalmente, intersecamos la fila con la columna correspondiente donde están los valores anteriores. En nuestro ejemplo, obtenemos finalmente el número 0,92073. Es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a 1,41 es 0,92073. 1. Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar. Utilizando la tabla de la distribución normal, encuentra los valores de z tales que: a. P(Z < z) = 0,5 b. P(Z < z) = 0,5871 c. P(Z > z) = 0,2396 d. P(Z > z) = 0,91149 e. P(Z < z) = 0,8289 f. P(Z > z) = 0,07927 2. Usando la tabla de la distribución normal, calcula las siguientes probabilidades, asumiendo que Z es una variable aleatoria que distribuye N(0, 1). a. P(Z < 1,34) b. P(Z G 1,34) c. P(Z < –1,85) d. P(Z > 1) e. P(2 < Z < 3,4) f. P(Z = 1) 3. Sea X una variable aleatoria con distribución normal estándar. a. ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución?, ¿y la media? b. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor que 1? c. ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor que 0,57? d. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea igual a 1? 4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto de una variable aleatoria Z con distribución normal estándar. Justifica las falsas. a. P(Z = 0) es igual a la media de la distribución. b. P(Z > 1) = P(Z < 1) c. P(Z > 1) = 1 – P(Z < 1) d. P(0 < Z < 1) < P(0 G Z G 1) 6. En una fábrica de clavos, la diferencia entre la medida ideal de un clavo y su medida real tiene una distribución normal estándar, considerando las medidas en milímetros. a. En promedio, ¿cuántos milímetros de diferencia hay entre la medida real del clavo y su longitud ideal? Explica tu respuesta. b. Si se escoge un clavo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida 0,34 mm menos de lo que debiera medir realmente? c. Si se escoge un clavo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida 1,23 mm más de lo que debiera medir realmente? 1. Para cada una de las siguientes variables aleatorias con distribución normal, escribe el cambio de variable adecuado para que el resultado sea una variable aleatoria con distribución normal estándar. a. X ~ N(1, 1) b. X ~ N(1, 2) c. X ~ N(0, 2) d. X ~ N(2, 2) e. X ~ N(–6, 8) f. X ~ N(–3, 5) 2. Considera la variable aleatoria X ~ N(2, 3). Usando la tabla de la distribución normal estándar, calcula las siguientes probabilidades. a. P(X > 0) b. P(X < 1,1) c. P(X > 2,3) d. P(X > –1,3) e. P(0 < X < 2,3) f. P(–1,3 < X < 1,1) 3. Considera las variables aleatorias X ~ N(1, 2) y Z ~ N(0, 1). Encuentra valores de a para que se cumpla lo pedido. a. P(Z < a) = 0,5 b. P(Z > a) = 0,5 c. P(Z < a) = 0,05 d. P(X > a) = 0,1 e. P(X > a) = 0,5 f. P(X > a) = 0,05 4. Una variable aleatoria tiene distribución normal con media 80 y desviación estándar 54,8. Determina la probabilidades que la variable aleatoria tome un valor: a. menor que 87,2. b. mayor que 76,4. c. entre 81,2 y 86. d. entre 71,6 y 88,4. 5. Explica qué significa X ~ N(a, b). ¿Cuál es la media de la variable aleatoria X?, ¿cuál es su varianza?, ¿y su desviación estándar? 6. Si X ~ N(a + b, 2a – 4b), determina los valores de a y b, de modo que X tenga distribución normal estándar. 7. Los siguientes casos involucran variables aleatorias con distribuciones normales. Determina si la primera probabilidad es mayor, la segunda probabilidad es mayor o las dos probabilidades son iguales. a. La probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 50 y desviación estándar 10 tome un valor menor que 60, o la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene distribución normal con media 500 y desviación estándar 100 tome un valor menor que 600. b. La probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal con media 40 y desviación estándar 5 tome un valor mayor que 40, o la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene distribución normal con media 50 y desviación estándar 6 tome un valor mayor que 40. 1. La cantidad anual de terremotos a nivel mundial es una variable aleatoria que tiene aproximadamente una distribución normal con μ = 20 y σ = 4,5. Determina la probabilidad de que en cualquier año de referencia haya: a. exactamente 19 terremotos. b. a lo sumo 19 terremotos. c. como mínimo 19 terremotos. 2. El tiempo promedio que emplea un suscriptor de una revista de farándula en leer la publicación es de 49 minutos, con una desviación estándar de 16 minutos. Supongamos que los tiempos de lectura tienen una distribución normal. a. Calcula la probabilidad de que el suscriptor tarde al menos una hora en leer la revista. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el suscriptor no demore más de 30 minutos en leer la revista? c. Determina la probabilidad de que el lector tarde entre 33 y 65 minutos en leer la revista. 3. La cantidad promedio de agua caída en una ciudad en el mes de abril es de 35 mm. Supón que la cantidad de lluvias es una variable aleatoria distribuida normalmente y con una desviación estándar de 8 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que en un año cualquiera la cantidad de agua caída en la ciudad sea menor que 20 mm? 1. Determina si las siguientes distribuciones binomiales pueden aproximarse, usando una distribución normal, de manera aceptable. a. B(4; 0,5) b. B(20, 0,6) c. B(50; 0,04) d. B(20; 0,8) e. B(100; 0,995) f. B(75; 0,52) 2. Si X ~ B(n, p), calcula aproximadamente las siguientes probabilidades con los valores n y p dados. Utiliza la tabla de la página 429. a. n = 200, p = 0,4. P(x < 120) b. n = 100, p = 0,5. P(x > 45) c. n = 200, p = 0,45. P(x > 80) d. n = 100, p = 0,6. P(50 < x < 70) e. n = 96, p = 0,4. P(x > 90) f. n = 50, p = 0,75. P(42 < x < 58) 3. Resuelve los siguientes problemas. a. Un jugador de básquetbol lanza 230 tiros libres a lo largo de la temporada. Si su probabilidad de encestar en un lanzamiento libre es de 85 %, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 185 tiros libres en la temporada? b. La probabilidad de que un piloto de carreras sufra un reventón en un circuito es 0,04. Si en la carrera participan 200 conductores, ¿cuál es la probabilidad de que se registren entre 12 y 18 reventones? c. El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Si se empaquetan en cajas de 80 unidades para distribuirlos, ¿cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos? d. Leonardo y Ximena están jugando al ludo. Leonardo asegura que ha lanzado el dado 60 veces y no le ha salido ningún 5. Ximena afirma que eso es imposible. ¿Es realmente imposible? Justifica tu respuesta. 4. El 10 % de las personas de una ciudad afirma que nunca ve televisión. Calcula la probabilidad de que: a. escogidas 100 personas al azar, haya al menos 14 personas que no ven televisión. b. estas personas sean exactamente 4. c. de 250 personas elegidas al azar, menos de la mitad vea televisión. 5. Una fábrica de componentes elabora 2 000 circuitos electrónicos al día.