Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

CURVAS Y SUPERFICIES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la recta que pasa por los puntos A (0, 2, 1) y B ( 1, 2, 4). 2. Escribe las ecuaciones parame´tricas del plano que pasa por los puntos A ( 1, 2, 3), B ( 1, 3, 2) y C (1, 1, 0). 3. Halla la ecuacio´n implı´cita del plano que tiene por ecuaciones parame´tricas : x 1 t s y t 2s z 2 3t s 4. Determina las coordenadas cil´ındricas del punto P (3, 3, 3). 5. Determina las coordenadas cartesianas de un punto P cuyas coordenadas cilı´ndricas son P (2, 30 , 3). 6. Determina las coordenadas esfe´ricas del punto P (0, 1, 1). 7. Determina las coordenadas cartesianas de un punto P cuyas coordenadas esf´ericas son P (2 2, 270 , 135 ). 8. Halla la ecuacio´n implı´cita de la superficie cilı´ndrica de directriz la curva C: y de generatrices x 2 cos t y 2 sen t paralelas al vector v ( 1, 0, 1). z 2 9. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la superficie co´nica formada por todas las rectas que pasan por el ve´rtice V ( 1, 0, 2) y se apoyan en la directriz C: x 2t y 2 sen t z 2 cos t 10. Dadas las curvas C1: y C2: , halla la ecuacio´n implı´cita de la superficie de traslacio´n x 2 t x s y 2 t y s z t 2 z 0 engendrada por C1 cuando se mueve sobre C2. 11. Escribe la ecuacio´n de la esfera cuyo centro esta´ situado en el punto C (2, 0, 3) y cuyo radio mide r 4. 12. Escribe la ecuacio´n de la esfera que tiene por dia´metro el segmento de extremos A ( 1, 2, 0) y B (3, 2, 4). 13. Dada la esfera de ecuacio´n x 2 y 2 z 2 2z 3 0 a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio. b) Calcula la ecuacio´n del plano tangente a la esfera en el punto P (0, 0, 3). SOLUCIONES 1. Vector director de la recta: AB ( 1, 0, 3) Ecuaciones parame´tricas: r : x t y 2 z 1 3t 2. Vectores directores: AB (0, 1, 1) y AC (2, 3, 3) Ecuaciones parame´tricas: x 1 2s y 2 t 3s z 3 t 3s 3. A (1, 0, 2) es un punto del plano. u ( 1, 1, 3) y v ( 1, 2, 1) son vectores de direccio´n. La ecuacio´n implı´cita del plano es: 0 7x 4y z 5 0 x 1 y z 2 1 1 3 1 2 1 4. r x 2 y 2 r 32 ( 3)2 12 2 3 y 3 arctg arctg rad 30 x 3 6 z z z 3 P (2 , 30 , 3) 2 3, rad, 3 3 6 5. x r cos x 2 cos 30 3 y r sen y 2 sen 30 1 z z z 3 P ( 3, 1, 3) 6. r x 2 y 2 z 2 r 02 12 12 2 y 1 arctg arctg 90 x 0 x 2 y 2 1 arctg arctg 45 z 1 P ( 2, 90 , 45 ) 7. 2 x r sen cos x 2 2 · · 0 0 2 2 y r sen sen y 2 2 · · 1 2 2 2 z r cos z 2 2 · 2 2 P (0, 2, 2) 8. Ecuaciones parame´tricas de la superficie: x 2 cos t s y 2 sen t z 2 s sen2 t cos2 t 1 y 2 (x s )2 4 4 1 y 2 (x z 2)2 4 4 9. Ecuaciones parame´tricas de la superficie: x 1 s (2t 1) y s · 2 sen t z 2 s (2 cos t 2) x 2st s 1 y 2s sen t z 2s cos t 2s 2 10. El punto comu´n a las dos curvas es el A (2, 2, 0). Las ecuaciones parame´tricas de la superficie de traslacio´n son: x 2 t s 2 x s t y 2 t s 2 y s t z t 2 0 0 z t 2 2t x y 2 x y z (x y )2 z 4 11. (x 2)2 y 2 (z 3)2 42 x 2 y 2 z 2 4x 6z 3 0 12. El centro de la esfera es el punto medio del segmento AB: M (1, 0, 2) El radio coincide con la distancia que separa al centro de A: r d (M, A) r (1 1)2 (0 2)2 (2 0)2 12 (x 1)2 y 2 (z 2)2 ( 12)2 x 2 y 2 z 2 2x 4z 7 0 13. a) D 0 2a a 0 E 0 2b b 0 F 2 2c c 1 G 3 a 2 b 2 c 2 r 2 r 4 2 Centro: (0, 0, 1), radio: 2 b) El vector CP (0, 0, 1) es un vector normal al plano tangente. Por tanto, dicho plano tendra´ por ecuacio´n: z D 0. Como debe pasar por P 3 D 0 D 3 z 3 0 1. Dados los puntos A(1, 2, 1), B(1, 2, 1), C(3, 0, 1) y D(1, 0, 3): a) Demuestra que no son coplanarios. b) Escribe la ecuacio´n de la esfera que pasa por los cuatro puntos. c) Indica las coordenadas del centro y la medida del radio de la esfera anterior. 2. Dada la esfera de ecuacio´n x 2 y 2 z 2 2x 4y 4 0 y el plano : x 2y 2z 18 0: a) Determina el haz de planos paralelos a . b) Escribe las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera y que son paralelos a . 3. Dadas las rectas r: y s: y la esfera x 2t y z 7 y 0 x 0 z 7 t x 2 y 2 z 2 2x 6y 2z 2 0, halla las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera y que sean paralelos a las rectas r y s. 4. Escribe la ecuacio´n de la superficie formada por todos los puntos pertenecientes a las rectas que se apoyan en el eje OZ y en la recta de ecuaciones r : y cuya direccio´n es perpendicular al vector x 4 t y 12 3t u (0, 0, 1). z t 5. La circunferencia de la figura esta´ determinada por la interseccio ´n de la esfera de ecuacio´n x 2 y 2 z 2 4z 6 0 con el plano de ecuacio´n : 2x y 2z 13 0. a) Calcula el centro C y el radio R de la esfera. b) Determina las ecuaciones parame´tricas de la recta que pasa por C y por el centro T de la circunferencia. c) Calcula las coordenadas de T. d) Calcula la medida del radio r de la circunferencia. 6. Consideramos la curva C: 4y 2 z 2 4 x 0 a) Di que´ tipo de curva es e indica sus elementos ma´s importantes. b) Escribe unas ecuaciones parame´tricas de dicha curva. c) Escribe la ecuacio´n implı´cita de la superficie que se genera al girar la curva alrededor del eje OZ. α π π' C r s π π' C π T C O Z X Y SOLUCIONES 1. a) AB (0, 4, 0), AC (2, 2, 0), AD (0, 2, 2) rango (AB, AC, AD) 3 A, B, C y D no son coplanarios. b) Sea x 2 y 2 z 2 Ex Fy Gz H 0 Los puntos han de verificar la ecuacio´n: E 2F G H 6 E 2F G H 6 3E G H 10 E 3G H 10 E 2, F 0, G 2, H 2 x 2 y 2 z 2 2x 2z 2 0 c) Centro de la esfera: C C(1, 0, 1) 2 0 2 , , 2 2 2 Radio de la esfera: R 12 02 12 ( 2) 2 2. a) Haz de planos paralelos a : x 2y 2z D 0 b) Los planos buscados deben pertenecer al haz anterior y adema´s deben verificar que la distancia del centro de la esfera a ellos coincida con la medida del radio. La esfera es: (x 1)2 (y 2)2 z 2 9 Centro: C(1, 2, 0) Radio: r 1 4 4 3 d (C, plano) 3 W1 4 DW 1 4 4 D 12 : x 2y 2z 12 0 D 6 : x 2y 2z 6 0 3. El vector n normal de los planos buscados debe ser perpendicular a los vectores ur (0, 1, 1) y us (2, 0, 1) de direccio´n de las rectas r y s; por tanto, n ur us ( 1, 2, 2). Los planos tienen por ecuacio´n x 2y 2z D 0. Centro de la esfera: C(1, 3, 1) Radio: r 1 9 1 2 3 d (C, plano) 3 W1 6 2 DW 1 4 4 D 4 : x 2y 2z 4 0 D 14 : x 2y 2z 14 0 4. Se toma un punto gene´rico A del eje OZ y otro B de la recta r : A(0, 0, s ), B(4 t, 12 3t, t ). Para que el vector AB sea perpendicular al vector u (0, 0, 1): (t s) · 1 0 t s. La superficie esta´ formada por las rectas que pasan por A(0, 0, t ), B(4 t, 12 3t, t ): S: x s (4 t ) y s (12 3t ) z t Eliminando los para´metros: s t z x y 4 t 12 3t x y 4 z 12 3z 12x 4y 3zx zy 0 5. a) Centro: C C(0, 0, 2) 0 0 4 , , 2 2 2 Radio: R 02 02 22 ( 6) 10 b) El vector normal al plano tiene la misma direccio ´n que la recta buscada. Entonces: CT: (x 2t, y t, z 2 2t ) c) T es la interseccio´n de CT con . 2(2t ) ( t ) 2(2 2t ) 13 0 t 1 T ( 2, 1, 4) d) Sea r el radio de la circunferencia: (d (C, T ))2 r 2 R2 r 10 ( ( 2)2 12 22)2 10 9 1 6. a) C: z 2 y 2 1 22 x 0 La curva es una elipse contenida en el plano YOZ y de semiejes 1 y 2. b) C: x 0 y cos t z 2sen t c) x cos t sen s y cos t cos s z 2sen t sen2 s cos2 s 1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos2t z 2 1 4 x 2 y 2 1 z 2 4